Prüfung Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik b) Wie lautet die risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsbelegung?

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1 Prüfung Grundrinziien der ersicherungs- und Finanzatheatik Aufgabe : ( Minuten Unterstellen Sie für den Basistitel einer Terinosition einen eineriodigen Binoialrozess it Startwert s und einer rozentualen Aufwärtsbewegung von % bzw einer rozentualen Abwärtsbewegung von % Der eineriodige inssatz für eine sichere Kaitalanlage bzw Kaitalaufnahe betrage % a Weisen Sie nach, dass der Modellarkt arbitragefrei ist! b Wie lautet die risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsbelegung? c Bestien Sie auf dieser Grundlage den arbitragefreien Preis einer eineriodigen Putotion auf die Aktie, die einen Ausübungsreis von X besitzt d Bestien Sie alternativ den Wert der Putotion auf der Grundlage des Dulikationsrinzis e Bestien Sie den Wert eines eineriodigen Forwards auf den Basistitel auf der Grundlage des Dulikationsrinzis f Bestien Sie alternativ den Wert des Forwards auf der Grundlage eines geeigneten arbitragefreien Modellarkts Lösungsskizze: a u betrachten ist das Gleichungssyste T w, wobei in diese Falle, w 9 Es gilt det( T det( Das Gleichungssyste ist dait (eindeutig lösbar Es bezeichne des Weiteren w * (w, die Lösung des Gleichungssystes * * T w T w, dh es gilt w 9 w Nach der Craerschen Regel folgt:

2 P w 3 9 w Es liegt soit eine (eindeutige und strikt ositive Lösung des Gleichungssystes vor Dait ist der Modellarkt arbitragefrei b Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeitsbelegung ergibt sich aus T ( q,q ( + r w Mit + r folgt: 7 q w 3 7 q w 3 c Für die Putotion gilt aus Sicht des Investors allgeein P a (X - S,, dh i vorliegenden Falle: Es gilt ( E (P, wobei P Hieraus folgt: P Q ( P d Die Dulikationsbedingungen sowie die Law of One Price-Beziehung lauten: (I + y (II 9 + y (III + y P

3 3 Aus (I (II folgt -/3 und dait y 389 Aus (III folgt hieraus P e Für die Forwardosition gilt aus Sicht des Investors: F 9 F t t Dabei ist F der zu bestiende Forwardreis Erwirbt der Investor Einheiten des Basistitels und y der sicheren Anlage, so gelten für die Dulikationsosition dait die folgenden Bedingungen: +y (t + y F (t, Fall a 9 + y 9 F (t, Fall b Aus (II (III folgt und dait y - Aus (II und (III folgt dait jeweils F, dh der Forwardreis entsricht de zu sicheren ins aufgezinsten heutigen Wert des Basistitels (Cost-of-Carry-Preis f u betrachten ist der Modellarkt it Basistitel, sicherer Anlage und Forward Die State Sace-Matri lautet in diese Fall 9 F 9 F und der Preisvektor ist gegeben durch w ur Prüfung der Arbitragefreiheit ist das Gleichungssyste T w zu betrachten, für dessen Lösung (w T, w

4 4 F w 9 9 w F gelten uss, in For von Einzelgleichungen soit (I (w + w (II w + 9w (III F w + (9 F w ( Die Bedingung (III ist äquivalent zu (I w + 9 w F (w + w Unter Beachtung von (I und (II resultiert hieraus F ( und soit schließlich F ( [Alternativ: Elizite Lösung für (I + (II aus Aufgabenteil a, ithin w / ] w Aufgabe : ( Minuten a Es seien {,, T } und {,, T } zwei ahlungsreihen it zugehörigen Barwerten P und P bzw Macaulay-Durationen D und D on ahlungsreihe werden Einheiten, von ahlungsreihe werden y Einheiten erworben Setzen Sie voraus, dass für die Duration D W der ahlungsreihe W + y die folgende Beziehung gilt: D W P D P + yp + yp D Ein Investor öchte einen Anlagebetrag von EUR bei eine derzeitigen Marktzins von 4% a und flacher insstruktur in festverzinsliche Wertaiere investieren Ih stehen Einheitszerobonds it einer Restlaufzeit von eine Jahr bzw zehn Jahren zur erfügung Wie uss er sein Investitionsbudget aufteilen, dait sein erögen nach vier Jahren gegen ögliche insänderungen, die sich unittelbar nach Anlage realisieren, iunisiert ist? Wie viele absolute Einheiten der erobonds uss er hierfür erwerben? (ernachlässigen Sie dabei Ganzzahligkeitsbedingungen b Wir gehen aus von eine fristigkeitsunabhängigen Marktzins r und betrachten arktkonfore Kuonbonds (dh der Noinalzins i des Bonds entsricht jeweils de Marktzins unterschiedlicher Laufzeiten n Die Duration eines solchen arktkonforen Kuonbonds it Laufzeit n beträgt

5 + i D(i i [ ( + i n ] Gegeben sei nun ein eitunkt T i Welchen Wert nit ein in t zu Marktzins investiertes erögen N zu eitunkt T an? ii Iunisieren Sie den Wert dieses Endverögens in T durch eine geeignete Investition in arktkonfore Kuonbonds! Wie lautet die Iunisierungsstrategie? (ernachlässigen Sie wiederu Ganzzahligkeitsbedingungen c Bei erwendung einer fristigkeitsunabhängigen zeitstetigen insrate u ergibt sich als Barwert eines Bonds it ahlungsreihe {,, T } P u T t t e ut und als zeitstetige Macaulay-Duration T ut D(u t e / P(u t t i Stellen Sie die zeitstetige Macaulay-Duration als Funktion von P '(u dp / du dar! ii Bestien Sie die zeitstetige Macaulay-Duration eines erobonds der Laufzeit T! Lösungsskizze: a Investor erwirbt Einheiten von erobond sowie y Einheiten von erobond ielduration: D W 4 D, D P (+r - (4 - P (+r - (4 - Bedingung : Folgerung: I P + y P y P I P Bedingung : 4 D W D P + (I I P D

6 6 Investitionswert in erobond : P I(4 D (D D I(D 4 6 (D D 9 3 Entsrechend Investitionswert in erobond : 3 Absolute Stückzahlen: ( y ( b i T N(+r T N(+i T ii Ansatz für Iunisierungsstrategie: + i D(i [ ( + i i n ] T Hieraus folgt n + i ( + i + i Ti und dait + i ln i Ti ln( i Ti n + + ln( + i ln( + i Die Iunisierungsstrategie besteht darin, einen arktkonforen Standardbond der Laufzeit n zu erwerben Anerkung: Es ist + i Ti > sicherzustellen, dh T < ( + i / i c i Es gilt ii Es gilt: D(u P'(u T e e ut T ut T t t e ut Σ und dait T D(u P'(u / P(u Auch i zeitstetigen Fall entsricht die Macauley-Duration der Laufzeit des erobonds!

7 7 Aufgabe 3: ( Minuten Ein -jähriger ersicherungsneher schließe eine aufgeschobene Leibrente (Aufschubzeit: Jahre gegen eine laufende vorschüssige Präie während der Aufschubzeit ab a Bestien Sie den Leistungsbarwert der vorstehenden aufgeschobenen Leibrente als Funktion der gestutzten Lebensdauer CT! b Bestien Sie den Erwartungswert dieses Leistungsbarwerts! c Bestien Sie die arianz dieses Leistungsbarwerts! d Stellen Sie den Präienbarwert als Funktion der gestutzten Lebensdauer CT dar Unterstellen Sie dabei, dass eine i eitablauf gleich hohe Nettoräie der Höhe NP gezahlt wird Lösungsskizze: a Es gilt d v; CT CT ( Für CT,, : LBWLR Für CT, +,, w : LBW LR v v + v + ( v + + v CT + CT v / d v ä ( + v + + v CT + CT v w b E (LBWLR ( v d t t + t q c unächst gilt CT CT : LBW LR Dait gilt E (LBW v v d LR ( v d ( v [ v CT + w t CT + ( v / d + v t + CT CT (CT + t q ] v d,,,, w CT CT w,,,, w t + (t + [ v v ] + t t q

8 8 und insgesat ar (LBW LR E(LBWLR E(LBWLR d Es gilt (d v; CT CT CT NP( + + v PBW NP( + + v bzw NP CT+ ( v PBW d NP ( v d CT,, CT CT CT,, w,,,, w Aufgabe 4: ( Minuten Gegeben sei ein eineriodiges Binoialodell für die DAX-Entwicklung, wobei die Periodenlänge fünf Jahre betrage Der Startwert des DAX betrage DAX( 7 A Ende der Periode beträgt der DAX-Stand entweder DAX( 9 8 oder DAX( 4 9 Die annualisierte (! Fünf-Jahres-Sot Rate betrage r % Ein 6-jähriger ersicherungsneher schließe nun eine Lebensversicherung auf den Erlebensfall it Jahren Laufzeit ab Eine Todesfallleistung wird nicht fällig bzw wird in der Analyse ausgeblendet, ebenso bleiben Betriebskosten außen vor a Die ersicherungsleistung bei Erleben betrage indestens EUR 4 oder bei ositiver DAX-Entwicklung EUR 4 verehrt u die ositive (nicht-annualisierte DAX-Rendite Bestien Sie die Einalräie dieser ersicherung auf Basis einer direkten Dulikation des Rückzahlungsrofils (eine Elizierung der eingebetteten Otion ist in diese Fall nicht erforderlich! b Bestien Sie alternativ die Einalräie der ersicherung unter a, inde Sie insbesondere die eingebettete Otion isolieren und ittels Dulikationsrinzi bewerten Welche Otion ist in der ersicherung eingebettet? c Die Erlebensfallversicherung werde nun gegen eine Einalräie von EUR erworben Die Rückzahlung betrage indestens EUR oder aber EUR verehrt u die Partiziation an der (nicht annualisierten DAX-Rendite it Partiziationsrate < r < Bestien Sie in diese Falle die arbitragefreie Partiziationsrate a einfachsten über die direkte Dulikation des Rückzahlungsrofils (wie in Aufgabenteil a oder alternativ über die Dulikation der eingebetteten Otion (wie in Aufgabenteil b

9 9 Lösungsskizze: a DAX-Entwicklung: (+4% 4 9 ( 3% L a{4,4 DAX( / DAX(} a{4,4 (4} a{4,9 6} Dulikation in t : (I ( y 9 6 (II ( y 4 Aus (I (II folgt 49 6 bzw Hieraus folgt ( y bzw y 8 4( Der Preis des Dulikationsortfolios in t beträgt Dies ist zugleich der Marktwert des Rückzahlungsrofils der Lebensversicherung Die zugehörige Einalräie beträgt EP b Es gilt L DAX( DAX( a 4,4 + 4 DAX( a{dax( DAX(,} C Eingebettet in die ersicherung ist eine fünfjährige Euroäische Callotion auf den DAX it eine Ausübungsreis von X DAX( 7

10 Entwicklung der Callotion: 8 C Dulikation in t : (I ( y 8 (II ( y Aus (I (II folgt bzw 7487 und y 8( Preis des Dulikationsortfolios: 7 ( Dies ist zugleich der Wert C des Call in t Der Marktwert L der ersicherungsleistung ergibt sich dait zu L 4 ( + ( Die Bewertung ist dait identisch it de Resultat unter Aufgabenteil a! c Die Entwicklung der Lebensversicherung lautet EP (+4 r Dabei gilt EP L 6, wobei L den Marktwert in t des Rückzahlungsrofils L der Lebensversicherung bezeichne Dulikation in t : (I ( y ( + 4 r (II ( y (I (II ergibt r bzw ( 4 r / 4 9 und dait

11 ( y ( 4 r bzw y ( 4 r( Hieraus folgt in t L 6 und dait 7 + y 7 4 r + ( 4 r( bzw 7487 r + ( 6 ( und hieraus schließlich r / r ( r Bei der alternativen orgehensweise über die Dulikation der eingebetteten Callotion ergibt sich L + r 7 C und dait L 6 Hieraus folgt: ( ( C + r 7 6 und soit insgesat r 6 6 ( ( , + r C ithin insgesat eine identische Lösung!