7 Elektrodynamik. 7.1 Die Grundgesetze der Elektrodynamik. Elektrodynamik Seite 135. Alle Einschränkungen der Elektrostatik und Magnetostatik, also

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1 Elektrodynamik Seite Elektrodynamik 7.1 Die Grundgesetze der Elektrodynamik lle Einschränkungen der Elektrostatik und Magnetostatik, also ( E) t 0 und t 0 entfallen also: q ε 0 (1) Ed bzw. Dd q frei () - Eds Γ t d (3) d 0 (4) ds µ 0 (S ε + 0 t Γ E) d bzw. Hds Saussen Γ + D d t Noch einmal Hinweis: ei Schreibweise von (1) und (4) mit D und H ist zu beachten, daß bei - D nur freie Ladungen q frei - H nur äußere Ströme gemeint sind. Saussen

2 Seite 136 GET-Skript 7. Die Induktionsvorgänge 7..1 Der im Magnetfeld bewegte Leiter a - l v U a,b b + Versuch: Leitfähiger Stab, Länge l wird im Feld mit Geschwindigkeit v ( v ) bewegt. Zwischen den Enden ab, entsteht Spannung. U ab Grund: - Die Ladungsträger im Leiter werden mit Geschwindigkeit v bewegt und erfahren Lorentzskraft FL q v in Stabrichtung und laufen zum oberen Stabende. - Die Ladungsträger laufen solange bis das E -Feld zwischen positivem Ende b und negativem Ende a so groß ist, daß die elektrostatische Kraft FE auf die Ladung entgegegengesetzt gleich wird. FL - In diesem Gleichgewicht ist also FE q E -q v -FL und wenn v l, ist das Integral über E längs des Drahts b E d l U ab l v a - ei ewegung des Magneten mit Geschwindigkeit - v gegenüber einem festen Draht, also bei gleicher Relativgeschwindigkeit v erhält man die gleiche Spannung U ab, obwohl v 0 (Erklärung hier zu schwierig, weil relativistisch). Zusammenfassung: ei Relativbewegung zwischen Magnetfeld und geradem Leiter v l entsteht eine induzierte Spannung U ab l v ewegungsinduktion

3 Elektrodynamik Seite 137 φ m 7.. Änderung des magnetischen Flusses in Leiterschleifen U I R Versuch: Durch Ein- und usschalten bzw. Vergrößern und Verkleinern des Stromes I wird das Magnetfeld (Induktion ) durch die Fläche der Leiterschleife geändert. Es ändert sich der magnetische Fluß φ m d. entsteht an den En- Während der zeitlichen Flußänderung den der Leiterschleifle ein Spannung U. φ m t Grund: - ei zeitlich veränderlichem -Feld gilt in der Elektrodynamik Eds - d Γ t (nicht mehr wie Elektrostatik Eds ) Γ - Längs des Randes Γ der Fläche entsteht ein E-Feld mit Zirkulation gleich der zeitlichen Änderung des Flusses φ m durch. Hier bildet die geschlossene Leiterschleife selbst den Rand um die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche. Die Spannung U 0 um die Leiterschleife ist also U 0 - φ m t (Vorzeichen siehe später) Zusammenfassung: φ m t 0 ei zeitlicher Änderung des magnetischenflusses φ m durch die Fläche einer Leiterschleife entsteht ebenfalls eine induzierte Spannung U U 0 - φ m t Transformationsinduktion

4 Seite 138 GET-Skript Sowohl für die ewegungsinduktion als auch für die Transformationsinduktion kann die Zählrichtung von U ab bzw. U 0 aus den obigen Formeln bestimmt werden (Kreuzprodukt, Flächenorientierungen, Richtungen von Integrationswegen). Da dies i.. aufwendig ist, benutzt man fast ausschließlich die Lenz sche Regel. Lenz sche Regel: Der durch die induzierte Spannung verursachte Strom fließt in einer solchen Richtung, daß er durch sein Magnetfeld die Flußänderung, durch die er entsteht, zu verhindern sucht. eispiel 1: S N N S ewegung ewegter Magnet läßt nach links gerichtetes wachsen; deshalb muß Strom nach rechts gerichtetes erzeugen. Tieferes Prinzip der Lenz schen Regel ist die Energieerhaltung. Würde der Strom in eispiel 1 anders fließen, so würde - der Stabmagnet angezogen (Gewinn mechanischer Energie) - der Strom die Spule erwärmen( Gewinn von Wärmeenergie) wir hätten also ein Perpetuum mobile. eispiel : F Der leitfähige Ring springt beim Einschalten von der Spule weg.

5 Elektrodynamik Seite Induktionsgesetz und Flußregel Trotz unterschiedlicher Mechanismen lassen sich die Effekte der - ewegungsinduktion und der - Transformationsinduktion in eine gemeinsame Darstellung bringen, der allerdings kein tieferliegendes Prinzip zugrundeliegt. eide Phänomene werden durch die bereits von der Transformationsinduktion bekannte Flußregel beschrieben. Dazu wird die ewegungsinduktion als Folge einer zeitlichen Flußänderung dargestellt. a ds 1a v U b 1b Der Stab () der Länge l bewegt sich (wie zuvor) im homogenen Magnetfeld mit Geschwindigkeit v ( v l). Seine Enden ab, sind jetzt über die Schienen (1a) und (1b) an das Voltmeter angeschlossen. Die ruhenden Schienen erzeugen keine Induktionsspannung, d.h. die durch ewegungsinduktion erzeugte Spannung des Stabes ist wieder U ab l v etrachtet man nun die Spannung als zeitliche Änderung des Flusses φ m so bewirkt zuächst die Flächenänderung d eine Flußänderung -dφ m d l ds l v. Die etrachtung auf der Grundlage der transformatorischen Induktion führt also zum gleichen Ergebnis und es ist U l v Flußregel: uch die ewegungsinduktion läßt sich als Folge einer zeitliche Flußänderung darstellen. Dabei ist die induzierte Quellspannung U -dφ unabhängig davon, ob die Flußänderung durch zeitliche Änderung der Fläche (ewegungsinduktion) oder durch zeitliche Änderung des Magnetfeldes (transformatorische Induktion) zustandekommt.

6 Seite 140 GET-Skript 7..4 nwendung des Induktionsgesetzes eispiel 1: Windungen. Der Spu- Induzierte Spannung in einer Spule mit N lenfluß einer Spule mit N Windungen ist N ψ φ i N φ Windung i 1 lso: U N ( φ) ( t) ( ψ) ( t) eispiel : Rotierende Spule im konstanten -Feld. U α l b l cosα Der Winkel α ω t ändert sich proportional zur Zeit t ( ω const Winkelgeschwindigkeit) Zur Zeit t 0 ist α 0 und φ( t 0) φ max Zu beliebiger Zeit t ist α ωt und φ() t ( b l cosα), also φ() t cosα φ max cosωt und ut () -N d φ Nφ max ω sinωt Man bezeichnet die Spannung U max N φ max ω, bei π, 3π usw. als Scheitelspannung. Damit schreibt man auch ut () U max sinωt

7 Elektrodynamik Seite 141 φ π/ π 3π/ π T/ T ωt t u U max π/ π 3π/ π ωt eispiel 3: Da durch Flußregel nur Phänomene, nicht das Wesen der ewegungsinduktin beschrieben wird, gibt es Fälle, in denen die Flußregel nicht funktioniert. eim arlow schen Rad ist der Stromkreis (gestrichelt ---- ) immer örtlich fest und ist zeitlich konstant. lso kein dφ sichtbar. Trotzdem wird die Spannung aus der ewegungsinduktion erzeugt. v - + U

8 Seite 14 GET-Skript 7.3 Selbstinduktion und Gegeninduktion isher (7.) etrachtung der induzierten Spannung u, wobei - in der Induktionsschleife kein Stom floß, also die - Induktionsschleife selbst kein erzeugte. Jetzt: Stromkreis geschlossen, also i - Strom in der Induktionsschleife erzeugt selbst i - ei zeitlicher Änderung di dieses Stroms resultiert d - Das eigene -Feld der Schleife induziert in der Schleife selbst ein dφ, (Selbstinduktion) und erzeugt eine Spannung u L Selbstinduktion i(t) u L di φ(t) dφ Eine Stromquelle erzeugt zeitlich wachsenden Strom it () mit Stromänderung di in Richtung i also dφ in Richtung φ. Falls it () genügend langsam (quasi stationär) sind φ und i proportional φ L i und bei geeigneter Wahl der ZPR von u L ist u L dφ L ---- di Die Proportionalitätskonstante L ist nur von der Geometrie der nordnung abhängig. L heißt Selbstinduktivitätskoeffizient, kurz Induktivität. Die Einheit von L ist [ L] V s 1 Henry 1H

9 Elektrodynamik Seite 143 ei Spulen mit N Windungen gilt N φ k ψ L i k 1 N φ k u L dψ N dφ L---- di Induktivität L ist Eigenschaft einer Spule so wie Kapazität C Eigenschaft eines Kondensators ist Gegeninduktion ei zwei verkoppelten Spulen hängt sowohl die Spannung an Spule 1, als auch die Spannung an Spule von den Stromänderungen beider Spulen ab. Zur Vereinfachung fließe zunächst nur Strom in Spule 1 i 1 u 1 u φ 11 φ 1 i 1 Mit φ 11 φ in Spule 1 von Strom 1 und φ 1 φ in Spule von Strom 1 ist dann u 1 N 1 dφ 11 und u N dφ 1 Nun fließe nur Strom in Spule i u 1 u φ φ 1 i Mit φ φ in Spule von Strom und φ 1 φ in Spule 1 von Strom ist dann u 1 N 1 dφ 1 und u N dφ

10 Seite 144 GET-Skript Die Spannungen bei Strom in beiden Spulen (Superposition!) u 1 (u 1 + u 1 ) N 1 dφ 11 + N 1 dφ 1 u ( u + u ) N dφ 1 + N dφ Die Flüsse φ 11 und φ 1 kommen von i 1. Die Flüsse φ und φ 1 kommen von i. lso folgende Proportionalitäten N 1 φ 11 N φ L 11 i 1 ; N φ 1 L i ; N 1 φ 1 L 1 i 1 L 1 i L 11 und L heißen Selbstinduktionskoeffizienten der Spule 1 bzw., L 1 und L 1 heißen Gegeninduktionskoeffizienten. Es gilt (eweis später) L 1 L 1 M. Dann ist di 1 di u 1 L L di 1 di u L L bschätzung von Induktivitäten Die allgemeine erechnung von ist recht schwierig und soll hier nicht gezeigt werden. Man kann aber Flüsse von Spulen abschätzen und daraus die Induktivitäten berechnen: Selbstinduktionskoeffizient : Es galt für Spule j : N j φ jj L jj i oder L jj N j φ jj Das Ohm sche Gesetz des magnetischen Kreises j besagt: N j i j Θ j R mjj φ oder φ jj N j i j oben eingesetzt: jj L jj L jj N j Rmjj also Selbstinduktion proportional N j. L ij j R mjj i j

11 Elektrodynamik Seite 145 Ähnlich gilt für Gegeninduktionskoeffizient L jk zwischen Spule j und k L jk Nj φ jk i k und unter formaler nwendung des Ohm schen Gesetzes für den magnetischen Kreis jk ist φ jk N k i k R mjk, also L jk N j N k R mjk Der Gegeninduktionskoeffizient ist also proportional zum Produkt der Windungszahlen. eispiel: bschätzung der Induktivität einer langen Zylinderspule mit Länge l, Fläche. also zur bschätzung: N j R m ( Innenraum Spule) N k l µ 0 R m ( ussenraum) «R m ( Innenraum) R m l R m ( Innen) + R m ( ussen) µ 0 L µ 0 N --- l Induktivität einer langen Zylinderspule 7.4 Energie im magnetischen Feld Die magnetische Energie einer stromdurchflossenen Spule Einschalten eines Kreises mit Induktivität und Widerstand: u R u 0 R u L L i u 0 u R + u L i R+ L ---- di

12 Seite 146 GET-Skript In der Zeit t bis (t+) fließt der Strom i Quelle in der Zeit ist i() t und dierbeit der u 0 i i R + L i di dw ges, d. h. die rbeit i der Spannungsquelle liefert u 0 - Wärmeenergie dw T i R und - magnetische Energie dw M L i di eachte: während die vom Widerstand erzeugte Wärmeenergie mit der Zeit des Stromflusses wächst, hängt die Zunahme der magnetischen Energie der Induktivität nicht von der Zeit, sondern nur von der Stromzunahme di ab. Die gesamte magnetische Energie der Induktivität erhält man durch ufsummieren aller dw M von Strom i 0 am nfang bis Strom i I am Ende: i I W M L i di i L I Magnetische Energie einer Spule Vergleiche: 1 W E --CU Elektrische Energie einer Kapazität 7.4. Energie mehrerer (gekoppelter) Spulen W M Mit Spule 1 an u 01 und Spule an u 0 gilt di 1 di u 01 L L i 1 di di u 0 L L i und Daraus ergibt sich wie in u 01 i 1 L 11 i 1 di 1 + L 1 i 1 di und u 0 i L i di + L 1 i di 1 und die magnetische Energie ändert sich insgesamt um dw M L 11 i 1 di 1 + L 1 i 1 di + L 1 i di 1 + L i di

13 Elektrodynamik Seite 147 uch hier hängt W M nicht von der Zeit, sondern nur von der Stromzunahme di ab. ufsummierung zu in zwei Schritten: W M Zunächst Spule 1 einschalten: i 0 auf i I 1 Wegen i di 0 bleibt nur W M1 i 1 I 1 1 L 11 i 1 i i 1 0 d L 11 I 1 Jetzt dazu Spule einschalten: i 0 auf i I (wobei nun di 1 0 ist) W M W M1 + d W M W M1 i I + L i i + i 0 d i I i W M --L 11 I L I + L 1 I 1 I L 1 i 1 di ei anderer Reihenfolge (erst i dann i 1 einschalten) ist 1 1 W M --L 11 I L I + L 1 I 1 I WeilW M aber nicht von der Reihenfolge abhängen darf und gleich sein muß, ist L 1 L 1 M und die Magnetische Energie zweier gekoppelter Spulen: 1 1 W M --L 11 I L I + M I1 I Die Größe der Gegeninduktivität M läßt sich wie folgt abschätzen: Die in den Induktivitäten gespeicherte magnetische Energie W M muß aus physikalischen Gründen stets positiv sein, also 1 --L 11 i M i 1 i + --L i 0 Das bleibt auch richtig wenn man durch die stets positive Größe L 11 i teilt, also auch i i i M > 0 i L 11 L L 11

14 Seite 148 GET-Skript Die linke Seite ist ein Polynom in (i 1 /i ), das Nullstellen bei i i 1, M± M L 11 L L 11 besitzt. Da die obige Ungleichung aber für alle Ströme i 1 und i, also für alle Verhältnisse (i 1 /i ) richtig ist, dürfen die Nullstellen nicht im Reelen liegen und es muß gelten M L 11 L Man schreibt auch oft M k L 11 L mit 0 k 1 Dabei ist k ist der Koppelkoeffizient zwischen den Spulen, also - kleiner gemeinsamer Fluß (lose Kopplung): - großer gemeinsamer Fluß (feste Kopplung): k 0 k Das magnetische Feld als Sitz der magnetischen Energie Die magnetische Energie sitzt im magnetischen Feld. Die Herleitung ist hier zu schwierig, aber man kann sich die Situation wie folgt plausibel machen. Man denkt sich ein beliebiges Feld aus vielen kleinen homogenen Zellen aufgebaut. Es genügt daher zunächst die Feldenergie im homogenen Feld einer solchen Zelle, einer langen dünnen Spule zu berechnen (Volumen V l dw M u L i N dφ i N i dφ (Energiedich- Die Zunahmen der Energie pro Volumen te) ist V l N i dφ dw M dw M V oder dw M l und mit Θ l H bzw. φ Θ --- d φ l Ā -- dw M H d und wenn H (isotrope Materialien) dw M H d

15 Elektrodynamik Seite 149 (ei exakterer Herleitung zeigt sich, daß dies immer gilt, auch wenn H und nicht parallel sind). Durch ufsummieren erhält man aus den Energiedichteänderungen die gesamte Energiedichte w M 0 Hd Ohne Materie ist µ 0 H und damit 1 1 w M d µ µ H 0 µ 0 Die Gesamtenergie ergibt sich dann aus der Energiedichte durch ufsummieren über das Volumen zu 1 1 W M dv µ 0 V µ H dv V Energieverluste durch Ummagnetisierung Die Energiedichte w M Hd kann in einem Stoff, bei dem 0 f( H) nicht linear ist (z.. Eisen) graphisch anhand der Magnetisierungskurve integriert werden. (ei der Magnetisierungskurve wurde wie gewohnt auf der Hochachse aufgetragen, obwohl über d integriert wird!) H d W M Hd ei Magnetisierungskurve mit Hysterese kann man den Energieverlust pro Ummagnetisierung in vier Schritten bestimmen: 3 3 H W H H W W 1 W 3

16 Seite 150 GET-Skript rechter Teil: w 13 w 1 w 3 > 0 linker Teil: w 31 w 34 w 41 > 0 Für einen Umlauf um die Hystereseschleife erhält man dann w 1341 w 13 + w 31 > 0 Die Fläche zwischen den Ästen der Hysteresekurve w 1341 entspricht also der bei einer Hin- und Rückmagnetisierung vom Eisen aufgenommenen Energie erechnung von Kräften aus der magnetischen Energie Prinzip der virtuellen Verrückung: Gewonnene mechanische rbeit bnahme der magnetischen Energie oder Fdx dw M homo- eispiel: Kraft zwischen zwei Eisenteilen. Luftspalt so klein, daß gen. d N dx F S Querschnitt soll bei Verschiebung dx konstant sein. Die magnetische Energie im Spalt wird um die Energie des Volumens dx kleiner, also dw M w MLuft V dx µ 0 Läßt man die magnetische Energie des nachrückenden Eisens außter cht (um Faktor µ r» 1 kleiner), so gilt Fdx dx µ 0 oder F µ 0 Kraft zwischen den Polenschuhen

17 Elektrodynamik Seite Wirbelströme Versuch 1 leitfähiges lech v - Im -Feld durch ewegungsinduktion Lorentzkraft. Strom i fließt nach unten und kann außerhalb (keine Kraftwirkung) nach oben zurückfließen. - Es fließt ein zirkularer Strom, ein sog. Wirbelstrom. Die Richtung ist nach Lenz so, daß Ursache (Herausziehen verhindert werden soll, also F in Gegenrichtung vman nutzt diese remswirkung auch technisch bei der Wirbelstrombremse. Versuch kammartiges lech v Ebenfalls Spannung längs der Zähne, aber kein Rückflußweg für einen Strom i.

18 Seite 15 GET-Skript Versuch 3 ii 0 sinωt 0 sinωt dφ Eisenklotz Wirbelströme gleicher mag. Widerstand isolierte lechpakete praktisch keine Wirbelströme Durch ufteilen magnetischer Leiter in isolierte lechpakete werden Wirbelstromverluste bei häufigem Ummagnetisieren (Wechselstrom) vermieden. 7.6 Der Verschiebungsstrom und sein Magnetfeld Die Gl (4) der Grundgesetze heißt vollständig ds µ 0 S ε + 0 t Γ E d ein. Für eine ge- Maxwell führte (1865) den Term schlossene Hüllfläche ist ε 0 Ed t Ed t ε 0 ε 0 t d q Ed ε I ε 0 Der Term hat also die edeutung eines Stromes und heißt Verschiebungsstrom. Für eine geschlossene Hüllfläche ist kein Rand Γ vorhanden (zugebundener Luftballon, Γ 0 ), also ds 0 µ 0 Γ und damit wird aus der obigen Gleichung (4) 0 S + ε 0 E d t (Strom + Verschiebungsstrom)

19 Elektrodynamik Seite 153 Strom und Verschiebungsstrom zusammengenommen hat keine Quellen, bildet also geschlossene ahnen. Durch Umschreiben erhält man die sog. Kontinuitätsgleichung Ed Sd -ε 0 t - dq Ein aus einer geschlossenden Hüllfläche austretender Strom ist gleich der Ladungsabnahme im Innern (Ladungserhaltung)! etrachtet man Strom und Verschiebungsstrom durch nicht geschlossene Flächen und betrachtet das Magnetfeld längs des Randes, so zeigt sich, daß das Magnerfeld eines Stromes und eines entsprechenden Verschiebungsstromes gleich ist. 1 Γ E I dq I egründung: längs Γ darf nicht von der Form der Flächen 1 bzw. abhängen. Durch 1 fließt Strom I. Durch flließt Verschiebungsstrom. Verschiebungsstrom bildet ja Fortsetzung von I und erzeugt ebenfalls.