Signalverarbeitung 1

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1 Signalverarbeitung 1 Skript zur Vorlesung an der Hochschule Heilbronn 1 (Stand: 24. Juni 2017) Prof. Dr. V. Stahl 1 Der Inhalt dieses Skripts ist teilweise wörtlich oder sinngemäß aus den im Literaturverzeichnis genannten Quellen entnommen. Es handelt sich um keine wissenschaftliche Veröffentlichung.

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Dirac Impuls Faltung Fourier Reihen Fourier Transformation Abtastung und Aliasing Fourier Reihe des Impulszugs Abtastung Aliasing Bandbegrenzte Signale Signalrekonstruktion Tiefpass Filter Fensterung Zeitdiskrete Fourier Transformation Diskrete Fourier Transformation Bandbegrenzte periodische Signale Matrix Notation Beispiele Schnelle Fourier Transformation 40 5 Eigenschaften der DFT Zyklische Verschiebung Zyklische Faltung Schnelle Faltung mit FFT 57 A Anhang 62 A.1 Die wichtigsten Fourier Transformationspaare A.2 Rechengesetze für die Fourier Transformation

3 1 GRUNDLAGEN 3 1 Grundlagen 1.1 Dirac Impuls Wir betrachten eine Rechteckfunktion im Zeitfenster 0 t < ε und Ampliude 1/ε: d ε (t) { 1 ε falls 0 t < ε 0 sonst Unabhängig von ε ist der Flächeninhalt unter dieser Funktion immer 1, d.h. d ε (t)dt 1. Interessant wird diese Funktion, wenn man ε immer kleiner macht. Die Zeitdauer geht dabei gegen Null, die Amplitude gegen unendlich. Das Ergebnis heißt Einheitsimpuls δ(t) oder Dirac Impuls: δ(t) lim ε 0 d ε (t). Genau genommen existiert dieser Grenzwert gar nicht in der Menge der reellen Funktionen R R. Daher nennt man δ(t) eine verallgemeinerte Funktion oder Distribution. Die wesentlichen Eigenschaften von δ(t) sind { 0 falls t 0 δ(t) falls t 0 und δ(t)dt 1. Mit unendlich großen Zahlen kann man genauso rechnen wie mit unendlich kleinen Differentialen dx. In beiden Fällen handelt es sich um eine Vereinfachung der Notation, hinter der sich ein Grenzwert versteckt. Eine recht nützliche Eigenschaft des Einheitsimpulses ist, dass er eine gerade Funktion ist, d.h. δ(t) δ( t). Wie die Einheitssprungfunktion kann man auch den Einheitsimpuls an eine beliebige Stelle t a verschieben durch { 0 falls t a δ(t a) falls t a Da der Einheitsimpuls eine gerade Funktion ist, gilt δ(t a) δ(a t). Multipliziert man eine Funktion f(t) mit dem verschobenen Einheitsimpluls δ(t a), erhält man das zunächst erstaunliche Ergebnis f(t)δ(t a) f(a)δ(t a).

4 1 GRUNDLAGEN 4 Man kann sich aber leicht davon überzeugen, dass das so stimmt: Für t a sind beide Seiten Null und für t a steht auf beiden Seiten f(a)δ(0). Hieraus folgt eine wichtige Eigenschaft für den Dirac Impuls: f(τ)δ(t τ)dτ f(t) f(t). f(t)δ(t τ)dτ δ(t τ)dτ Theorem 1.1 Sei f R R. Dann gilt f(τ)δ(t τ)dτ f(t).

5 1 GRUNDLAGEN Faltung Die Faltung f g zweier Funktionen f, g ist definiert durch (f g)(t) f(τ)g(t τ)dτ. Die Faltung ist also eine zweistellige Funktion von Funktionen, ebenso wie z.b. die Komposition oder die Addition von Funktionen. Die Faltung ist kommutativ, d.h. es gilt Dies erhält man aus (f g)(t) f g g f. τ mit der Substitution µ t τ und dτ dµ: τ f(τ)g(t τ)dτ f(τ)g(t τ)dτ µ µ τ (g f)(t). f(t µ)g(µ)dµ g(µ)f(t µ)dµ g(τ)f(t τ)dτ Interessant ist z.b. die Faltung einer Funktion f mit dem Einheitsimpuls δ. Aus Theorem 1.1 folgt Somit gilt (f δ)(t) f(t). f δ f, f(τ)δ(t τ)dτ d.h. δ spielt bei der Faltung die gleiche Rolle wie die Eins bei der Multiplikation. Die Faltung hat viele weitere Eigenschaften, von denen einige im folgenden Theorem zusammengefasst sind. Theorem 1.2 (Faltung) δ f f f g g f (f g) h f (g h) a(f g) (af) g f (g + h) (f g) + (f h)

6 1 GRUNDLAGEN Fourier Reihen Theorem 1.3 Sei f(t) ein stückweise stetiges T -periodisches Signal. Dann gibt es A k und ϕ k so dass f(t) A 0 + A k cos(kωt + ϕ k ), k1 ω 2π/T für alle t, an denen f(t) stetig ist. Ein T -periodisches Signal lässt sich also als Überlagerung von harmonischen Schwingungen darstellen, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz ω 2π/T ist. Wir können diese Summe unter Verwendung von komplexen Zahlen etwas vereinfachen. wobei f(t) A 0 + A 0 + A 0 + A A A 0 + A 0 }{{} z 0 + A k cos(kωt + ϕ k ) k1 k1 re (A ) k e j(kωt+ϕ k) re ( A k e jϕ k e jkωt) k1 k1 A k e jϕ k e jkωt + A k e jϕ k e jkωt k1 A k e jϕ k e jkωt + A k e jϕ k e jkωt k1 1 2 A ke jϕ k e jkωt A ke jϕ k }{{} + z k1 0 z k, k1,2,... k z k e jkωt + k1 z k e jkωt e jkωt + 1 k k1 1 2 A ke jϕ k e jkωt 1 2 A ke jϕ k }{{} k 1 z k, k 1, 2,... z k e jkωt z 0 A { 0 1/2Ak e z k jϕ k für k > 0 1/2A k e jϕ k für k < 0. e jkωt

7 1 GRUNDLAGEN 7 Die Fourier Koeffizienten z k treten in konjugiert komplexen Paaren auf, d.h. z k z k. Aus einem Fourier Koeffizenten z k kann man die Amplitude und die Phase der k-ten Oberschwingung ablesen: A 0 z 0 A k 2 z k ϕ k (z k ), k 1, 2,... Zur Berechnung des n-ten Fourier Koeffizienten z n der Funktion f(t) geht man von der Gleichung f(t) k z k e jkωt aus und multipliziert beide Seiten mit e jnωt : f(t)e jnωt dt k z k e jkωt e jnωt dt. Integration für t 0,..., T auf beiden Seiten liefert T 0 f(t)e jnωt dt T 0 k k 0 z k e jkωt e jnωt dt T z k e j(k n)ωt dt. Das Integral lässt sich wie folgt berechnen: Falls k n gilt T 0 e j(k n)ωt dt T 0 1 dt T. Falls k n gilt T 0 [e j(k n)ωt] T e j(k n)ωt dt 1 j(k n)ω 1 j(k n)ω 1 j(k n)ω 1 (1 1) j(k n)ω 0 0 ( e j(k n)ωt 1 ) ( ) e 2πj(k n) 1 ω 2π/T k n Z

8 1 GRUNDLAGEN 8 Damit gilt T 0 e j(k n)ωt dt { T falls k n 0 sonst. und folglich T 0 f(t)e jnωt dt T z k e j(k n)ωt dt k 0 }{{} T falls k n, 0 sonst z n T bzw. z n 1 T T 0 f(t)e jnωt dt. Theorem 1.4 (Fourier Reihe) Sei f R R eine T -periodische Funktion und z k 1 T T 0 f(t)e jkωt dt wobei ω 2π/T. Dann gilt f(t) z k e jkωt für alle t, an denen f stetig ist. k

9 1 GRUNDLAGEN Fourier Transformation Eine Fourier Reihenentwicklung ist nur für T -periodische Funktionen f(t) möglich. Um auch nichtperiodische Funktionen im Frequenzbereich analysieren zu können, wird die Fourier Transformation wie folgt definiert. Definition 1.5 (Fourier Transformation) Die Funktion F (ω) f(t)e jωt dt heißt Fourier Transformierte von f(t). Umgekehrt heißt f(t) 1 F (ω)e jωt dω 2π inverse Fourier Transformierte von F (ω). Die wichtigsten Eigenschaften der Fourier Transformation sind im Anhang zusammengefasst.

10 2 ABTASTUNG UND ALIASING 10 2 Abtastung und Aliasing 2.1 Fourier Reihe des Impulszugs Sei p(t) n δ(t nt ) ein Impulszug mit Periodendauer T. Anschaulich betrachtet ist p(t) überall Null außer an den Stellen t, die ein ganzzahliges Vielfaches von T sind. Man bezeichnet p(t) daher auch als Kamm- oder Rechenfunktion. Da der Impulszug T -periodisch ist, kann man ihn in eine Fourier Reihe entwickeln: p(t) z k e jkωt, k ω 2π/T. Die Fourier Koeffizienten z k berechnet man wie folgt: z k 1 T 1 T 1 T 1 T 1 T T 0 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 T/2 p(t)e jkωt dt p(t)e jkωt dt δ(t)e jkωt dt δ(t)e 0 dt δ(t)dt 1 T Die Fourier Koeffizienten z k des Impulszugs sind also alle gleich 1/T. Damit ist die Fourier Reihe des Impulszugs p(t) 1 T k e jkωt.

11 2 ABTASTUNG UND ALIASING Abtastung Um ein zeitkontinuierliches Signal f(t) in einem digitalen Rechner verarbeiten zu können, muss es zunächst abgetastet werden. Man betrachet also nur noch Funktionswerte zu Zeitpunkten nt s wobei T s das Abtastinterval ist. Der Index s steht hierbei für sampling, das Englische Wort für Abtastung. Die Abtastung wird zunächst dadurch bewerkstelligt, dass man f(t) mit dem Impulszug p(t) n δ(t nt s ) multipliziert. Im vorigen Abschnitt wurde die Fourier Reihe des Impulszugs hergeleitet: p(t) 1 e jkωst, ω s 2π. T s T s k Multipliziert man das zeitkontinuierliche Signal f(t) nun mit dem Impulszug, erhält man ein neues (immer noch kontinuierliches) Signal f p (t), das ebenfalls aus einer Folge von Impulsen besteht. f p (t) f(t)p(t) f(t) n n n δ(t nt s ) f(t)δ(t nt s ) f(nt s )δ(t nt s ) Wie erwartet spielen also nur noch die die Funktionswerte von f zu den Abtastzeitpunkten t nt s eine Rolle. Diese Abtastwerte können nun in Form einer Folge f n f(nt s ) verarbeitet werden.

12 2 ABTASTUNG UND ALIASING Aliasing Wie spiegelt sich die Abtastung von f(t) im Frequenzbereich wider? Verwendet man die Fourier Reihe des Impulszugs, erhält man f p (t) f(t)p(t) f(t) 1 T s 1 T s k k e jkωst f(t)e jkωst. Die Fourier Transformierte F p (ω) von f p (t) erhält man aus der Fourier Transformierte F (ω) von f(t) und der Korrespondenz Mit ˆω kω s erhält man f(t)e j ˆωt F (ω ˆω). f(t)e jkωst F (ω kωs ). Aufgrund der Linearität der Fourier Transformation gilt somit f p (t) 1 T s k F (ω kω s ). } {{ } F p (ω) Wie lässt sich dieses Ergebnis interpretieren? Nun, F (ω kω s ) ist die Fourier Transformierte F (ω) der ursprünglichen Funktion f(t) um kω s verschoben. Die Summe F (ω kω s ) k bedeutet, dass unendlich viele Kopien von F (ω) jeweils um ω s verschoben nebeneinander gesetzt werden. Wenn sich die Kopien überlappen, wird im Überlappungsbereich aufsummiert. Man kann dann F (ω) nicht mehr einfach durch Ausschneiden entnehmen. Dieses Phänomen heißt Aliasing. Je größer die Abtastfrequenz ω s ist, d.h. je mehr Abtastwerte pro Sekunde man betrachtet, umso weiter liegen die Kopien von F (ω) auseinander und umso unwahrscheinlicher tritt Überlappung ein. Halten wir also fest: Abtastung mit T s Periodische Fortsetzung mit ωs

13 2 ABTASTUNG UND ALIASING 13 f(t) F (ω) t ˆω ˆω ω f p (t) F p (ω) T s t ω s ω s 2 ω s 2 ω s ω f p (t) F p (ω) T s t ω s ω s 2 ω s 2 ω s ω Abbildung 2.1: Oben: Banbegrenztes Signal f(t) mit Grenzfrequenz ˆω und Fourier Transformierte F (ω). Mitte: Abgetastetes Signal f p (t) f(t)p(t). Die Abtastfrequenz ω s 2π/T s ist größer als 2ˆω, daher kein Aliasing. Die Kopien von F (ω) überlappen sich nicht. Unten: Abtastfrequenz ω s ist kleiner als 2ˆω, daher tritt Aliasing ein. Die Kopien von F (ω) überlappen sich.

14 2 ABTASTUNG UND ALIASING Bandbegrenzte Signale Eine Funktion f R R heißt bandbegrenzt mit Grenzfrequenz ˆω wenn F (ω) 0 für alle ω mit ω ˆω. Anschaulich bedeutet dies, dass f(t) keine Schwingungskomponenten enthält, deren Frequenz oberhalb von ˆω ist. Aliasing, d.h. eine Überlappung im Frequenzbereich nach Abtastung wird also vermieden, wenn die Kopien von F (ω) um mehr als 2ˆω auseinander liegen. Die Bedingungen um Aliasing zu vermeiden sind somit: Das Signal f(t) ist bandbegrenzt mit einer Grenzfrequenz ˆω. Für die Abtastfrequenz ω s gilt ω s > 2ˆω.

15 2 ABTASTUNG UND ALIASING Signalrekonstruktion Nachdem die Abtastwerte im Rechner digital verarbeitet wurden, soll nun aus den Abtastwerten eine zeitkontinuierliche Funktion rekonstruiert werden. Diesen Schritt nennt man auch digital-analog Wandlung. Wie oben gezeigt, besteht die Fourier Transformierte von f p (t) aus einer unendlichen Wiederholung von Kopien von F (ω) im Abstand ω s. Wenn Aliasing vermieden wurde, genügt es eine dieser Kopien auszuschneiden und mit der inversen Fourier Transformation in den Zeitbereich zurück zu transformieren. Hierzu verwendet man einen sog. idealen Tiefpass mit Verstärkungsfaktor T s, der im Frequenzbereich folgende Darstellung hat: { Ts falls ω < ω H(ω) s /2 0 sonst. Im Frequenzbereich ergibt die Multiplikation von F p (ω) und H(ω) die Fourier Transformierte F (ω) der ursprünglichen Zeitfunktion f(ω): ( ) 1 F p (ω)h(ω) F (ω kω s ) H(ω) F (ω). T s k Beim letzten Schritt war essentiell, dass F (ω) bandbegrenzt mit Grenzfrequenz ω s /2 ist. Da im Rechner lediglich die Folge der Abtastwerte bzw. die Funktion f p (t) vorliegt, muss die Multiplikation mit H(ω) im Zeitbereich ausgeführt werden. Mit dem Faltungstheorem gilt (f p h)(t) F (ω)h(ω). Die inverse Fourier Transformierte h(t) von H(ω) berechnet man wie folgt: h(t) 1 H(ω)e jωt dω 2π T s 2π T s 2πjt T s πt ωs/2 ω s/2 1 2j T ( s πt im T ( ) s πt πt sin T s ( ) πt si e jωt dω [ e jωt ] ω s/2 ω s/2 (e jωst/2 + e jωst/2) T s sinc(t/t s ). e jωst/2) da ω s 2π T s wobei si(x) sin(x) x und sinc(x) si(πx).

16 2 ABTASTUNG UND ALIASING 16 Damit kann man aus den Abtastwerten f(nt s ) die zeitkontinuierliche Funktion f(t) wie folgt rekonstruieren: f(t) (f p h)(t) ( ) f(nt s )δ(t nt s ) h(t) n n n n n n n n f(nt s ) (h(t) δ(t nt s )) f(nt s ) h(τ)δ(t nt s τ)dτ f(nt s ) h(t nt s )δ(t nt s τ)dτ f(nt s )h(t nt s ) δ(t nt s τ)dτ } {{ } 1 f(nt s )h(t nt s ) ( ) t nts f(nt s ) sinc T s f(nt s ) sinc (t/t s n). Theorem 2.1 (Abtasttheorem) Sei f(t) bandbegrenzt mit Grenzfrequenz ˆω und seien f n f(nt s ), n,..., die Abtastwerte von f n mit Abtastintervall T s 2π/ω s. Dann kann f(t) exakt aus den Abtastwerten f n rekonstruiert werden falls Für die Rekonstruktion gilt ω s > 2ˆω. f(t) n f n sinc (t/t s n).

17 2 ABTASTUNG UND ALIASING 17 f(t) F (ω) t ˆω ˆω ω f p (t) F p (ω) T s t ω s ω s 2 ω s 2 ω s ω f(t) F s (ω)h(ω) F (ω) t ω s 2 ω s 2 ω Abbildung 2.2: Oben: Banbegrenztes Signal f(t) mit Grenzfrequenz ˆω und Fourier Transformierte F (ω). Mitte: Abgetastetes Signal f p (t) f(t)p(t). Die Abtastfrequenz ω s 2π/T s ist größer als 2ˆω, daher kein Aliasing. Die Kopien von F (ω) überlappen sich nicht. Unten: Durch Multiplikation von F p (ω) und H(ω) entsteht F (ω). Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt das Originalsignal f(t).

18 2 ABTASTUNG UND ALIASING Tiefpass Filter Mit der Theorie des letzten Kapitels wird nun gezeigt, wie man ein Signal f(t) Tiefpass filtern kann mit Cutoff Frequenz ω c. Im Frequenzbereich bedeutet dies, dass die Fourier Transformierte F (ω) für alle ω mit ω ω c Null gesetzt wird. Dies wird durch Multiplikation mit einer Übertragungsfunktion F (ω)u(ω) U(ω) { 1 falls ω < ωc 0 sonst. erreicht. Im Rechner ist das Signal f(t) nur duch Abtastwerte f n f(nt s ) gegeben. Der Impulszug p(t) bzw. seine Fourier Reihe wurden im vorigen Kapitel hergeleitet: p(t) δ(t nt s ) 1 T s n k e jkωst Für das abgetastete Signal f p (t) gilt damit f p (t) f(t)p(t) f(t) 1 T s 1 1 T s k e jkωst f(t)e jkωst T s k k F p (ω). F (ω kω s ) Es wird angenommen, dass die Voraussetzungen des Abtasttheorems erfüllt sind, d.h. f(t) ist bandbegrenzt mit Grenzfrequenz ˆω und ω s > 2ˆω. In diesem Fall überlappen sich die um kω s verschoebenen Kopien F (ω kω s ) von F (ω) nicht und es gilt F (ω) T s F p (ω) für alle ω mit ω < ˆω. Für die Tiefpass Filterung mit Cutoff Frequenz ω c < ˆω gilt daher F (ω)u(ω) T s F p (ω)u(ω) für alle ω. Die Multiplikation mit U(ω) bewirkt ja, dass beide Seiten Null sind falls ω ˆω.

19 2 ABTASTUNG UND ALIASING 19 Multiplikation mit Übertragungsfunktion U(ω) entspricht Faltung mit Impulsantwort u(t), die man durch inverse Fourier Transformation erhält: u(t) 1 U(ω)e jωt dω 2π 1 ωc e jωt dω 2π ω c 1 ( e jω ct e jωct) 2πjt 1 πt sin(ω ct) ω c π si(ω ct) Die Multiplikation im Frequenzbereich F (ω)u(ω) T s F p (ω)u(ω) wird nun im Zeitereich durch Faltung ausgeführt. Um die Notation zu vereinfachen, definieren wir Damit gilt H(ω) T s U(ω) bzw. h(t) T s u(t). (f u)(t) T s (f p u)(t) (f p T s u)(t) (f p h)(t) ( ) f n δ(t nt s ) h(t) n n n n (f n δ(t nt s ) h(t)) f n (δ(t nt s ) h(t)) f n h(t nt s ). Von diesem Tiefpass gefilterten Signal soll nun der l-te Abtastwert berechnet

20 2 ABTASTUNG UND ALIASING 20 werden. (f u)(lt s ) f n h(lt s nt s ) n n n (f h) l. f n h((l n)t s ) f n h l n Die Faltung in der letzten Zeile bezeichnet hierbei die diskrete Faltung der Abtastwerte f l f(lt s ) und h l h(lt s ). wobei Die Koeffizienten des Tiefpass Filters sind somit h l h(lt s ) T s u(lt s ) T s ω c π si(ω clt s ) 2ω c si(ω c lt s ) ω s 2ω ( ) c 2πωc si l ω s ω s αsinc(αl) α 2ω c ω s. Da die Berechnung der unendlichen Faltungssumme praktisch nicht durchführbar ist und die sinc-funktion für betragsgroße Wert von l abklingt, genügt es, endlich viele Summanden zu betrachten, d.h. (f h) l n N/2 n N/2 h n f l n h n f l n. Es handelt sich hier um ein nicht kausales System, d.h. um den l-ten Abtastwert von f h berechnen zu können, werden Abtastwerte von f zu zukünftigen Zeitpunkten l n mit n < 0 benötigt. Dies lässt sich beheben, indem man f h

21 2 ABTASTUNG UND ALIASING 21 um N/2 Takte verzögert. Damit ergibt sich die Formel g l (f h) l N/2 N/2 n N/2 h n f l N/2 n N h n N/2 f l n n0 N h nf l n n0 Die Koeffizienten des kausalen Tiefpassfilters h mit N/2 Takten Verzögerung sind somit h l h l N/2 αsinc(α(l N/2)), l 0,..., N.

22 2 ABTASTUNG UND ALIASING Fensterung Im letzten Abschnitt wurde zur praktischen Durchführug der Tiefpass Filterung die unendliche Summe h n f l n durch eine endliche Summe n N/2 n N/2 h n f l n approximiert. Dies bedeutet, dass die Filterkoeffizienten h n bzw. u n für n N/2 Null gesetzt wurden. Was bedeutet dies für die Frequenzeigenschaften des Filters? Im zeitkontinuierlichen Bereich lässt sich das Nullsetzen eines Teils der Impulsantwort u(t) durch Multiplikation u(t)w(t) mit einer Fensterfunktion w(t) realisieren, wobei w(t) { 1 falls t < ˆT 0 sonst und ˆT N/2T s die Fensterbreite ist. Durch die Approximation wird das Signal f(t) also nicht mit u(t) sondern mit u(t)w(t) gefaltet. Mit dem Faltungssatz folgt und damit u(t)w(t) 1 U(ω) W (ω) 2π f(t) (u(t)w(t)) F (ω) 1 (U(ω) W (ω)). 2π Anstatt also wie beabsichtigt im Frequenzbereich mit U(ω) zu multiplizieren, wird mit 1 U(ω) W (ω) 2π multipliziert. Durch Fourier Transformation erhält man W (ω) ˆT ˆT 1 jω 1 jω w(t)e jωt dt e jωt dt 2 ω sin(ω ˆT ) 2 ˆT si(ω ˆT ). [ e jωt ] ˆT ˆT ) (e jω ˆT jω ˆT e

23 2 ABTASTUNG UND ALIASING 23 Wenn ˆT gegen unendlich geht, ist W (ω) 1 2πδ(ω) und damit 1 U(ω) W (ω) U(ω). 2π Für endliche Werte von ˆT ist die Berechnung der Faltung nicht geschlossen möglich: 1 1 U(ω) W (ω) 2π 2π ˆT π ωc U(α)W (ω α)dα si((ω α) ˆT )dα ω c 1 ( Si((ω + ω c ) π ˆT ) Si((ω ω c ) ˆT ) ) wobei Si(x) eine Stammfunktion von si(x) ist. Um jedoch einen Endruck zu gewinnen, was die Fensterung bewirkt, ist in nachfolgenden Bildern die Tiefpassfilterung mit Cutoff Frequenz ω c 1 und Fensterbreite ˆT 7 bzw. ˆT 20 Sekunden dargestellt.

24 2 ABTASTUNG UND ALIASING 24 U(ω) ω ω c ω c W (ω) ω 1 U(ω) W (ω) 2π ω c ω c ω Abbildung 2.3: Gefensterter Tiefpassfilter mit ω c 1 und ˆT 7. Durch das relativ kurze Fenster wird der Tiefpass stark verfälscht.

25 2 ABTASTUNG UND ALIASING 25 U(ω) ω ω c ω c W (ω) ω 1 U(ω) W (ω) 2π ω c ω c ω Abbildung 2.4: Gefensterter Tiefpassfilter mit ω c 1 und ˆT 20. Durch das relativ lange Fenster nähert sich W (ω) einem Dirac Impuls und der Tiefpass wird nur geringfügig verfälscht.

26 2 ABTASTUNG UND ALIASING Zeitdiskrete Fourier Transformation Es gibt übrigens noch eine zweite Möglichkeit, die Fourier Transformierte F p (ω) von f p (t) zu berechnen. Ausgehend von f p (t) n erhält man mit der Korrespondenz f(nt s )δ(t nt s ) δ(t nt s ) e jnωt s. die Fourier Transformierte f p (t) n f(nt s )e jnωts. } {{ } F p (ω) Man kann also F p (ω) entweder direkt aus den Abtastwerten f(nt s ) berechnen oder aus F (ω): F p (ω) F (ω kω s ) k n f(nt s )e jnωts Aus beiden Darstellungen sieht man sofort, dass F p (ω) periodisch mit Periodendauer ω s ist, d.h. F p (ω + ω s ) F p (ω) für alle ω. Wir nehmen nun der Einfachheit halber an, dass das Abtastintervall T s 1 und damit ω s 2π ist. Mit der Folge von Abtastwerten gilt daher f n f(nt s ), n 0, 1, 2,... F p (ω) n f n e jnω. Diese Transformation einer Folge f n in den Frequenzbereich heißt zeitdiskrete Fourier Transformation (DTFT). Falls f n 0 für n < 0 ist F p (ω) nichts anderes als die z-transformierte von f n für z e jω. Man kann aus F p (ω) durch inverse Fourier Transformation wieder den Impulszug f p (t) und daraus die Abtastwerte f n berechnen. Es gibt jedoch auch einen direkteren Weg: Hierzu multipliziert man zunächst beide Seiten mit e jkω F p (ω)e jkω n f n e jnω e jkω

27 2 ABTASTUNG UND ALIASING 27 und integriert dann für ω von 0 bis 2π: 2π 0 F p (ω)e jkω dω 2π 0 f n e jnω e jkω dω n n 0 2π f n e j(k n)ω dω Da 2π 0 e j(k n)ω dω { 2π falls k n 0 sonst folgt bzw. 2π 0 F p (ω)e jkω dω 2πf k f k 1 2π 2π 0 F p (ω)e jkω dω. Der Unterschied zur inversen Fourier Transformation von F p (ω), bei der der Impulszug f p (t) herausgekommen wäre, besteht darin, dass nur von 0 bis 2π integriert wurde und nicht von bis. Zusammenfassend ist die DTFT und ihre Inverse wie folgt definiert. Der Zusammenhang gilt auch dann, wenn die Voraussetzungen des Abtasttheorems nicht efüllt sind. Man kann aus F p (ω) immer die Abtastwerte f k exakt rekontruieren, aber nicht f(t) falls zu langsam abgetastet wurde. Definition 2.2 (Zeitdiskrete Fourier Transformation) Die zeitdiskrete Fourier Transformation (DTFT) der Folge f k ist definiert durch Damit gilt F p (ω) f k 1 2π k 2π 0 f k e jkω. F p (ω)e jkω.

28 3 DISKRETE FOURIER TRANSFORMATION 28 3 Diskrete Fourier Transformation 3.1 Bandbegrenzte periodische Signale Sei f(t) ein T 0 -periodisches Signal mit Fourier Reihe f(t) k z k e jkω0t, ω 0 2π/T 0. Weiterhin wird angenommen, dass f(t) bandbegrenzt mit Grenzfrequenz ˆω ist. Dies bedeutet, dass nur endlich viele Fourier Koeffizienten z k ungleich Null sind, wie nachfolgend gezeigt wird. Mit der Korrespondenz e jkω0t 2πδ(ω kω0 ) lässt sich die Fourier Transformierte F (ω) von f(t) bestimmen. F (ω) 2π k z k δ(ω kω 0 ). Da f(t) bandbegrenzt ist, folgt F (ω) 0 falls ω ˆω und damit z k 0 falls kω 0 ˆω bzw. falls k ˆω ω 0. Das Signal wird nun während einer Periode an n äquidistanten Stellen abgetastet, d.h. ω s nω 0. Weiterhin wird angenommen, dass die Voraussetzungen des Abtasttheorems erfüllt sind, d.h. Daraus folgt und damit ω s > 2ˆω. n 2 > ˆω ω 0 z k 0 falls k n 2. In der Fourier Reihe bleiben also nur endlich viele Summanden übrig und es gilt f(t) n/2 1 k n/2+1 n/2 1 k n/2+1 z k e jkω0t z k e jkωst/n.

29 3 DISKRETE FOURIER TRANSFORMATION 29 Für die Abtastwerte f l f(lt s ) gilt f l n/2 1 k n/2+1 n/2 1 k n/2+1 z k e jklωsts/n z k e 2πjkl/n. Um zu einer vektoriellen Schreibweise zu gelangen, muss die Sum- Kosmetik. me f l n/2 1 k n/2+1 z k e 2πjkl/n in eine Summe f l k0... umgeformt werden. Dazu definieren wir die Fourier Koeffizienten z k für k n/2,..., n 1, die ja in der Ausgangssumme gar nicht aufreten und bisher Null waren, wie folgt um: z n/2 0 z k z k n, k n/2 + 1,..., n 1, siehe Bild 3.1. Für die negativen k-summanden in der Ausgangssumme erhält man damit 1 k n/2+1 z k e 2πjkl/n kn/2+1 kn/2+1 kn/2+1 kn/2+1 z k n e 2πj(k n)l/n z k e 2πjkl/n e 2πjnl/n z k e 2πjkl/n e 2πjl }{{} 1 z k e 2πjkl/n.

30 3 DISKRETE FOURIER TRANSFORMATION 30 Für die gesamte Summe gilt nun f l n/2 1 k n/2+1 1 k n/2+1 kn/2+1 z k e 2πjkl/n z k e 2πjkl/n. k0 n/2 1 z k e 2πjkl/n + z k e 2πjkl/n k0 n/2 1 z k e 2πjkl/n + z k e 2πjkl/n k0 z 3 z 3 z 2 z 1 z 1 z k z 3 z 3 z 1 z 2 z 2 z k Abbildung 3.1: Beispiel für n 8. Die Koeffizienten z k mit k 1, 2, 3 werden nach k 7, 6, 5 verschoben.

31 3 DISKRETE FOURIER TRANSFORMATION Matrix Notation Im vorigen Abschnitt wurde eine Formel für die Abtastwerte eines T -periodischen Signals f(t) hergeleitet. Es wurde vorausgesetzt, dass das Signal bandbegrenzt ist und die Forderung des Abtasttheorems eingehalten wurde. Damit gilt f l z k e 2πjkl/n. k0 Man kann diese Summe auch als Produkt eines Zeilen- und eines Spaltenvektors interpretieren: z 0 f l (e 2πj0l/n e 2πj1l/n... e 2πj()l/n) z 1.. z Mit erhält man b kl e 2πjkl/n f l (b 0l b 1l... b,l ) z 0 z 1. z Schreibt man diese Formel für die n Abtastwerte f 0,..., f einer Periode untereinander, ergibt sich eine Matrix Vektor Multiplikation f 0 b 00 b b,0 z 0 f 1 b 01 b b,1 z } f {{ } } b 0, b 1,... {{ b, }} z {{ } f B z. bzw. f B z. Die Matrix B ist übrigens symmetrisch, da b kl e 2πjkl/n e 2πjlk/n b lk. Man kann die Indizes von b kl also beliebig vertauschen. Um aus gegebenen Abtastwerten die zugehörigen Frequenzkomponenten zu berechnen, muss man B invertieren, d.h. z B 1 f. Die Berechnung von B 1 ist aber denkbar einfach, da die Spaltenvektoren von B paarweise orthogonal sind und Norm n haben:

32 3 DISKRETE FOURIER TRANSFORMATION 32 Theorem 3.1 Seien bu b u0 b u1. b u,, bv die u-te bzw. v-te Spalte von B. Dann gilt { bu 0 falls u v b v n sonst b v0 b v1. b v, Beweis. Seien b u und b v wie in Theorem 3.1 und Ist u v dann ist s b u b v b uk b vk k0 e 2πjuk/n e 2πjvk/n k0 e 2πjk(v u)/n. k0 e 2πjk(v u)/n e 0 1 und damit s e 2πjk(v u)/n k0 Sei nun u v. Dann ist 1 n. k0 s e 2πjk(v u)/n k0 (e 2πj(v u)/n) k k0 a k k0 } {{ } a Multiplikation mit a ergibt as a a k k0 n k1 a k

33 3 DISKRETE FOURIER TRANSFORMATION 33 und damit as s n k1 s(a 1) a n 1 a k a k a n 1 k0 s (a n 1)/(a 1). Da aber folgt Damit gilt B B a n e 2πj(v u) 1 s 0. n n ne n wobei E die n n Einheitsmatrix ist und B die adjungierte Matrix von B, d.h. die Matrix, die man erhält wenn man B transponiert und alle Komponenten komplex konjugiert. Multiplikation mit B 1 von rechts und Division durch n ergibt 1 n B B 1. Die Inversion von B ist mit dieser Formel sehr einfach und man erhält f B z z 1 n B f. Man kann also aus den Abtastwerten f l durch eine simple Matrix-Vektor Multiplikation die Amplituden und Phasen z k der beteiligten Schwingungen erhalten. Diese Operation nennt man diskrete Fourier Transformation (DFT). Die Umkehroperation, d.h. die Berechnung der Abtastwerte f l aus den komplexen Fourier Koeffizienten z k heißt inverse diskrete Fourier Transformation (IDFT). Definition 3.2 (Diskrete Fourier Transformation) Sie diskrete Fourier Transformation DFT C n C n ist definiert durch DF T ( f) 1 n B f. Die inverse diskrete Fourier Transformation IDFT C n C n ist definiert durch Hierbei ist B C n n mit IDF T ( z) B z. b kl e 2πjkl/n, k, l 0,..., n 1.

34 3 DISKRETE FOURIER TRANSFORMATION 34 Komponentenweise sind die Formeln f l z k e 2πjkl/n l 0,..., n 1 k0 z k 1 f l e 2πjkl/n k 0,..., n 1. n l0

35 3 DISKRETE FOURIER TRANSFORMATION Beispiele Beispiel 3.3 In Bild 3.2 oben ist eine Periode der T 0 -periodischen Funktion f(t) cos(2ω 0 t + π) cos(3ω 0 t) cos(6ω 0 t) mit ω 0 2π/T 0 dargestellt. Es handelt sich also um eine Überlagerung von Schwingungen mit doppelter, dreifacher und sechfacher Grundfrequenz. Das Signal wird während einer Periode an n 16 äquidistanten Stellen abgetastet. Die Abtastfrequenz beträgt somit ω s 16ω 0. Da die höchste im Signal auftretende Frequenz nur 6ω 0 und damit kleiner als ω s /2 8ω 0 ist, sind die Voraussetzungen des Abtasttheorems erfüllt. Aus den Abtastwerten f l, l 0,..., 15 werden mit der DFT die Fourier Koeffizienten z k berechnet. Aus z 0 A 0 z k 1 2 A ke jϕ k, k 1, 2,..., 7 berechnen sich die Amplituden der k-ten Oberschwingung durch A 0 z 0 A k 2 z k, siehe Bild 3.2 unten.

36 3 DISKRETE FOURIER TRANSFORMATION 36 f l cos(2ω 0 t + π) cos(3ω 0 t) cos(6ω 0 t) T 0 l 1 A k 2 z k k Abbildung 3.2: Diskrete Fourier Transformation für n 16.

37 3 DISKRETE FOURIER TRANSFORMATION 37 Beispiel 3.4 Das selbe Signal wie im vorigen Beispiel wird nun an doppelt so vielen Stellen abgetastet, d.h. die Abtastfrequenz ist nun ω s 32ω 0, siehe Bild 3.3 oben. Die diskrete Fourier Transformation liefert im Prinzip die selben Werte (Bild 3.3 unten). Man sieht, dass hier noch viel mehr Platz für höhere Frequenzen wäre als im vorigen Beispiel. In der Tat wäre hier das Abtasttheorem noch erfüllt wenn Frequenzkomponenten bis zur 15-fachen Grundfrequenz auftreten würden während das Limit vorher bei der 7-fachen Grundfrequenz lag. f l cos(2ω 0 t + π) cos(3ω 0 t) cos(6ω 0 t) T 0 l 1 A k 2 z k Abbildung 3.3: Diskrete Fourier Transformation für n 32. k

38 3 DISKRETE FOURIER TRANSFORMATION 38 Beispiel 3.5 In einer Rechteckschwingung treten beliebig hohe Frequenzen auf. Sie ist daher mit Sicherheit nicht bandbegrenzt. Dennoch tasten wir ein Rechtecksignal ab und berechnen die DFT der Abtastwerte, siehe Bild 3.4. Rechnet man von den Fourier Koeffizienten z k wieder mittels der Formel n/2 1 f(t) A 0 + A k cos(kωt + ϕ k ) z 0 A 0 k1 z k 1 2 A ke jϕ k, k 1, 2,..., n/2 1 auf das Ausgangssignal zurück, erhält man nur eine Approximation. Der Grund hierfür liegt in der Verletzung des Abtasttheorems. Alle Frequenzen größer oder gleich der halben Abtastfrequenz wurden vernachlässigt. Die Abtastwerte f l können aber natürlich wieder exakt durch f B z aus den Fourier Koeffizienten berechnet werden.

39 3 DISKRETE FOURIER TRANSFORMATION 39 f l { 1 falls 0 t < T0 /2 f(t) 1 falls T 0 /2 t < T T 0 l A k 2 z k k 7 f(t) A 0 + A k cos(kω 0 t + ϕ k ) k1 T 0 l Abbildung 3.4: Diskrete Fourier Transformation für n 16.

40 4 SCHNELLE FOURIER TRANSFORMATION 40 4 Schnelle Fourier Transformation In Definition 3.2 wurde die DFT eines Signalvektors f R n definiert als z 1 n B f. Man kann von den Fourier Koeffizienten z k auf die ursprünglichen Abtastwerte f k zurückrechnen mit f B z. Diese Operation wird auch inverse diskrete Fourier Transformation (IDFT) genannt. Die Matrix B hat die Einträge b kl e 2πjkl/n, k, l 0, 1,..., n 1. Da b kl b lk ist B symmetrisch und man braucht sich daher keine Gedanken zu machen welcher Index der Zeilen- bzw. Spaltenindex ist. Für n 4 ist z.b B 1 j 1 j j 1 j Schaut man sich B zeilenweise an und stellt jeden Eintrag als komplexen Zeiger dar, sieht man dass sich der Zeiger in der ersten Zeile gar nicht dreht, in der zweiten Zeile mit 90 dreht, in der dritten Zeile mit 180 dreht, in der vierten Zeile mit 270 dreht und zwar immer gegen den Uhrzeigersinn. Allgemein dreht sich der Zeiger in der k-ten Zeile mit 2πk/n Radian gegen den Uhrzeigersinn, siehe Bild 4.1 oben. Die Matrix B ist gleich wie B, nur dass alle Komponenten konjugiert komplex sind. (Da B symmetrisch ist, hat die Transposition keinen Effekt.) In Bild 4.1 unten erkennt man dies darin, dass sich die Zeiger nun im Uhrzeigersinn drehen. Berechnet man die DFT durch Matrix Vektor Multiplikation, so kostet dies n 2 komplexe Multiplikationen für die Multiplikation B f. Da B keine zufällige Matrix ist sondern eine sehr regelmäßige Struktur hat, kann man die Multiplikation viel effizienter durchführen. Dies ist insbesondere dann der Fall wenn n eine Zweierpotenz ist. Der Algorithmus hierfür heißt schnelle Fourier Transformation bzw. Fast Fourier Transform (FFT).

41 4 SCHNELLE FOURIER TRANSFORMATION 41 B B Abbildung 4.1: Matrix B und B für n 8.

42 4 SCHNELLE FOURIER TRANSFORMATION 42 Vereinfachung. Um die Darstellung etwas einfacher zu machen, lassen wir den Faktor 1/n bei der Definition der DFT vorübergehend einfach weg. Die so modifizierte DFT eines n-stelligen Vektors f R n ist also der Vektor z C n mit z B f bzw. z k (B f)k f l e 2πjkl/n, k 0, 1,..., n 1. l0 Aufwandsberechnung. Die Idee der FFT besteht darin, eine DFT der Ordnung n durch zwei DFT s der Ordnung n/2 zu berechnen. Da der Aufwand für die Matrix Vektor Multiplikation quadratisch ist, gewinnt man hierdurch Rechenzeit: Aufwand für eine n-dft: n 2 Multiplikationen. Aufwand für zwei n/2-dfts : 2(n/2) 2 n 2 /2 Multiplikationen. Allerdings entsteht durch diese Zerlegung zusätzlicher Rechenaufwand von n/2 Multiplikationen. Dennoch gewinnt man insgesamt Rechnzeit, da n 2 /2 + n/2 < n 2. Natürlich kann man die beiden n/2-dft s wiederum durch jeweils zwei n/4- DFT s berechnen usw. Falls n eine reine Zweierpotenz ist, lässt sich diese Zerlegung ld(n) Mal durchführen. Zuletzt ist man bei DFT s der Ordnung 1 angelangt, die keinen Rechenaufwand kosten. Bei jedem der ld(n) Schritte entsteht Overhead von n/2 Multiplikationen, so dass der Gesamtaufwand für die FFT ld(n)n/2 Multiplikationen beträgt. Für n 1024 erhält man n , ld(n)n/2 500, d.h. die FFT ist um Faktor 200 schneller als die DFT.

43 4 SCHNELLE FOURIER TRANSFORMATION 43 Formeln. Die Summe zur Berechnung von z k wird zunächst in zwei Teilsummen zerlegt, wobei in der ersten Teilsumme nur die geraden Abtastwerte von f auftreten und in der zweiten die ungeraden: z k f l e 2πjkl/n l0 f l e 2πjkl/n + f l e 2πjkl/n. l0,2,4,... l1,3,5,... Die Summationsvariable l kann durchgängig von 0 bis n/2 1 laufen, indem man in der ersten Summe l durch 2l ersetzt und in der zweiten durch 2l + 1: z k n/2 1 l0 n/2 1 l0 n/2 1 f 2l e 2πjk2l/n + l0 n/2 1 f (g) l e 2πjk2l/n + l0 f 2l+1 e 2πjk(2l+1)/n f (u) l e 2πjk(2l+1)/n wobei f (g) f 0 f 2 f 4. Rn/2, f (u) f 1 f 3 f 5. Rn/2. Durch Anwenden der Gesetze der e-funktion und 2/n 1/(n/2) erhält man z k n/2 1 l0 n/2 1 l0 n/2 1 f (g) l e 2πjkl/(n/2) + f (g) l e 2πjkl/(n/2) } {{ } a k a k + b k e 2πjk/n. l0 ( n/2 1 f (u) l + l0 f (u) l e 2πjkl/(n/2) e 2πjk/n e 2πjkl/(n/2) } {{ } b k ) e 2πjk/n In der zweiten Summe konnte man den Faktor e 2πjk/n ausklammern, da er von l unabhängig ist. Der entscheidende Punkt, durch den Rechenaufwand gespart werden kann, besteht darin, dass a k a k+n/2 und b k b k+n/2. Wenn man also für ein bestimmtes k den Wert von z k berechnen möchte und dazu a k und b k bestimmt hat, kann man ohne Zusatzaufwand auch gleich z k+n/2 berechnen. Man bekommt also zwei Fourier Koeffizienten zum Preis von einem.

44 4 SCHNELLE FOURIER TRANSFORMATION 44 Dies sieht man wie folgt für a k (und analog für b k ). Damit gilt a k+n/2 a k n/2 1 l0 n/2 1 l0 n/2 1 l0 f (g) l e 2πj(k+n/2)l/(n/2) f (g) l e 2πjkl/(n/2) e 2πj(n/2)l/(n/2) f (g) l e 2πjkl/(n/2) e } 2πjl {{} 1 z k+n/2 a k+n/2 + b k+n/2 e 2πj(k+n/2)/n a k + b k e 2πjk/n e 2πj(n/2)/n a k + b k e 2πjk/n e πj }{{} 1 a k b k e 2πjk/n. Zu Berechnen ist somit für k 0,..., n/2 1: a k b k n/2 1 l0 n/2 1 l0 f (g) l e 2πjkl/(n/2) f (u) l e 2πjkl/(n/2) z k a k + b k e 2πjk/n z k+n/2 a k b k e 2πjk/n Man kann nun die a k und b k, die man ja nur für k 0,..., n/2 1 berechnen muss, zu Vektoren mit jeweils n/2 Komponenten zusammenfassen: a B n/2 f (g) b B n/2 f (u). Dies sind die eingangs erwähnten beiden n/2-dft s, deren Berechnung n 2 /2 Multiplikationen kosten. Zusätzlich hat man n/2 Multiplikationen für die Produkte Der Gesamtaufwand beträgt somit b k e 2πjk/n, k 0,..., n/2 1. n 2 /2 + n/2 Multiplikationen.

45 4 SCHNELLE FOURIER TRANSFORMATION 45 f 0 ( n 2 ) 2 Multiplikationen a 0 z 0 f 2 f 4 n/2¹ Ì a 1 a 2 z 1 z 2 f 6 a 3 z 3 f 1 b 0 z 4 f 3 f 5 f 7 ( n 2 n/2¹ Ì ) 2 Multiplikationen b 1 b 2 b 3 z 5 z 6 z 7 n/2 Multiplikationen a k b k a k b k z k z k+n/2 z k a k + b k e 2πjk/n z k+n/2 a k b k e 2πjk/n Abbildung 4.2: Reduktion einer DFT der Dimension n 8 auf zwei DFT s der Ordnung n/2 4.

46 4 SCHNELLE FOURIER TRANSFORMATION 46 Rekursion. Der selbe Trick wird nun angewandt um die DFTs der Ordnung n/2 auf jeweils 2 DFTs der Ordnung n/4 zu reduzieren, siehe Bild 4.3. Vier DFTs der Ordnung n/4 kosten ( n ) 2 n Multiplikationen. Hinzu kommen noch n/2 Multiplikationen um die Ergebnisse der DFTs der Dimension n/4 zu kombinieren und n/2 Multiplikationen um die Ergebnisse der DFTs der Dimension n/2 zu kombinieren. Der Gesamtaufwand beträgt also n 2 /4 + n. Diesen Prozess kann man so lange weiterführen bis man bei DFT s der Ordnung 1 angelangt ist, was nach ld(n) Schritten der Fall ist. Da eine DFT der Ordnung 1 gar nichts kostet, bleiben nur in jedem Schritt n/2 Multiplikationen, d.h. insgesamt 1 2 nld(n) Multiplikationen.

47 4 SCHNELLE FOURIER TRANSFORMATION 47 f 0 f 4 f 2 f 6 f 1 f 5 f 3 f 7 DFT DFT DFT DFT z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 4 ( ) n 2 4 Mult. n/2 Mult. n/2 Mult. Abbildung 4.3: Reduktion einer DFT der Dimension n 8 auf vier DFT s der Ordnung n/4 2. f 0 f 4 f 2 f 6 f 1 f 5 f 3 z 0 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 f 7 n/2 Mult. n/2 Mult. n/2 Mult. z 7 Abbildung 4.4: FFT der Dimension n 8. Es sind 1 2 nld(n) komplexe Multiplikationen erforderlich.

48 4 SCHNELLE FOURIER TRANSFORMATION 48 Bitumkehr. Wie man in Bild 4.3 sieht, werden die Komponenten des Eingabevekors f zuerst umsortiert, bevor sie in die DFT Kette eingespeist werden. Für n 8 ist die Reihenfolge f 0, f 4, f 2, f 6, f 1, f 5, f 3, f 7. Das allgemeine Prinzip hinter dieser Umsortierung wird klar, wenn man die Indizes binär darstellt und mit der normalen Reihenfolge vergleicht: Die Reihenfolge, in der die f-komponenten eingespeist werden müssen, erhält man also dadurch, dass man die Zahlen 0,..., n 1 binär codiert, die Bitfolgen umkehrt und ins Dezimalsystem zurückrechnet. Für n 16 erhält man dementsprechend folgende Reihenfolge: Beispiel 4.1 Berechnet man eine DFT für n 1024, was in der Signalverarbeitung durchaus realistisch ist, so wären mit einer Matrix Multiplikation ca. 1 Million Multiplikation erforderlich, mit dem oben beschriebenen Verfahren jedoch nur ca Multiplikationen. Man hat also einen Faktor 200 an Rechenaufwand gespart.

49 5 EIGENSCHAFTEN DER DFT 49 5 Eigenschaften der DFT Im Folgenden sei f R n ein Vektor, dessen n Komponenten aus den Abtastwerten eines Signals bestehen. Die Komponenten von f werden von 0 bis n 1 indiziert. Die DFT von f wird mit F bezeichnet, d.h. F DFT( f). Mit der Definition der DFT auf Seite 33 gilt bzw. F 1 n B f F k 1 f l e 2πjkl/n. n l0 Wie von der Fourier Transformation her bekannt, wird hierfür auch die Notation bzw. verwendet. Modulo Funktion n, definiert durch wobei q Z so gewählt ist, dass Hierzu ein paar Beispiele: f F f l Fk Für jede ganze Zahl l Z ist l mod n, gelesen l modulo l mod n l + qn 0 l + qn < n. 7 mod mod mod mod mod 3 0. Für positive l ist l mod n einfach der Rest der ganzzahligen Division von l durch n. Allgemein gilt für jedes n N l mod n l für l 0, 1,..., n 1 n mod n 0 1 mod n n 1.

50 5 EIGENSCHAFTEN DER DFT Zyklische Verschiebung Sei g R n der Vektor, der durch zyklische Verschiebung der Komponenten von f R n um eine Stelle entsteht, d.h. und g l f l 1 für l 1, 2,..., n 1 g 0 f. Mit der Modulo Funktion lässt sich dies wie folgt in einer Formel schreiben: g l f (l 1) mod n, l 0, 1,..., n 1. Wie in Bild 5.1 dargestellt, kann man sich die zyklische Verschiebung so vorstellen, dass alle Abtastwerte von f um eine Position nach rechts wandern und der letzte Abtastwert bei Position Null eingefügt wird. f l 0 n 1 l g l f (l 1) mod n 0 n 1 l Abbildung 5.1: Zyklische Verschiebung Theorem 5.1 (Zyklische Verschiebung) f (l 1) mod n e 2πjk/n F k Dies lässt sich wie folgt herleiten:

51 5 EIGENSCHAFTEN DER DFT 51 f (l 1) mod n 1 f (l 1) mod n e 2πjkl/n n l0 e 2πjk/n 1 f (l 1) mod n e 2πjk(l 1)/n n e 2πjk/n 1 n e 2πjk/n 1 n e 2πjk/n 1 n l0 n 2 l 1 ( n 2 f l mod n e 2πjkl/n ) f l e 2πjkl/n + f e 2πjk( 1)/n l0 ( n 2 ) f l e 2πjkl/n + f e 2πjk()/n l0 e 2πjk/n 1 f l e 2πjkl/n n e 2πjk/n F k l0 Hieraus folgt allgemein für eine beliebige zyklische Verschiebung um m Stellen f (l m) mod n e 2πjkm/n F k

52 5 EIGENSCHAFTEN DER DFT Zyklische Faltung Definition 5.2 (Zyklische Faltung) Die zyklische Faltung R n R n R n ist definiert durch ( f h) l m0 h m f (l m) mod n. Für die zyklische Faltung gelten die gleichen Rechengesetze wie für die kontinuierliche Faltung, also z.b. f h h f (c f) h c( f h) ( f + g) h ( f h) + ( g h). Von besonderer Wichtigkeit ist für uns jedoch der Zusammenhang zwischen der zyklischen Faltung und der DFT. Theorem 5.3 (Zyklische Faltung) Die zyklische Faltung entspricht im Frequenzbereich der Multiplikation, d.h. 1 n ( f h) l Fk H k. Theorem 5.3 lässt sich vektoriell schreiben als 1 n ( f h) F H wobei die Multiplikation auf der rechten Seite komponentenweise durchzuführen ist. Aufwandsberechnung. Das o.g. Theorem ist wichtig, weil damit der Rechenaufwand für die zyklische Faltung reduziert werden kann. Die Berechnung von ( f h) l m0 h m f (l m) mod n kostet n Multiplikationen. Die Berechnung von kostet folglich n 2 Multiplikationen. f h Man kann die zyklische Faltung viel schneller via FFT durchführen. Hierzu multipliziert man beide Seiten mit n 2 und erhält n( f h) (n F )(n H).

53 5 EIGENSCHAFTEN DER DFT 53 Die Berechung von n F und n H kostet mit der FFT insgesamt nld(n) Multiplikationen. Die komponentenweise Multiplikation G F H kostet n Multiplikationen. Damit hat man n( f h) n 2 G bzw. 1 n ( f h) G. Die inverse Fourier Transformation von G kostet nochmal 1 2 nld(n) Multiplikationen. Zum Schluss muss man noch jede Komponente mit n Multiplizieren um auf f h zu kommen, was nochmal n Multiplikationen kostet. Der Gesamtaufwand ist somit nld(n) + n + 1 ( ) 3 2 nld(n) + n n 2 ld(n) + 2. Für n 256 würde die Faltung im Zeitbereich Multiplikationen kosten, der Weg über den Frequenzbereich mit FFT jedoch nur

54 5 EIGENSCHAFTEN DER DFT 54 Und nun noch die Herleitung von Theorem 5.3: 1 F k H k F k n m0 h m e 2πjkm/n } {{ } H k 1 F k h m e 2πjkm/n n m0 1 1 f l e 2πjkl/n h m e 2πjkm/n n n m0 l0 }{{} F k 1 n 2 h m f l e 2πjk(l+m)/n m0 1 n 2 m0 1 n 2 m0 1 n 2 m0 l0 m+ lm ( lm ( lm h m f l m e 2πjkl/n m+ h m f l m e 2πjkl/n + ln m 1 h m f l m e 2πjkl/n + 1 n 2 h m f (l m) mod n e 2πjkl/n m0 1 n 2 l0 l0 m0 h m f (l m) mod n }{{} ( f h) l 1 n 2 ( f h) l e 2πjkl/n l0 1 n ( f h) l. l0 e 2πjkl/n h m f l m e 2πjkl/n ) h m f (l m) mod n e 2πjk(l+n)/n )

55 5 EIGENSCHAFTEN DER DFT 55 Beispiel 5.4 Analog zum kontinuierlichen Fall kann man auch im diskreten Fall einen Einheitsimpuls definieren durch Wie erwartet gilt δ R n, δ l { 1 falls l 0 0 sonst. f f δ. Aus der Definition der zyklischen Faltung ( f δ) l m0 δ m f (l m) mod n. In dieser Summe ist jeder Summand außer der für m 0 Null. Folglich ist m0 δ m h (l m) mod n f l. Das gleiche Resultat erhält man auch unter Verwendung der DFT. Für die DFT des Einheitsimpulses gilt Mit Theorem 5.3 gilt folglich δ l 1 δ l e 2πjkl/n n l0 1 n e 2πjk0/n 1/n. und damit 1 n ( f δ) l Fk 1 n ( f δ) l Fk. Da auch f l Fk folgt ( f δ) l f l.

56 5 EIGENSCHAFTEN DER DFT 56 Beispiel 5.5 Sei h l der um eins verschobene Einheitsimpuls, d.h. h R n, h l { 1 falls l 1 0 sonst. Für die zyklische Faltung von f und h gilt nun ( f h) l m0 h m f (l m) mod n. In dieser Summe ist jeder Summand außer dem für m 1 Null. Daher gilt Folglich ist m0 h m f (l m) mod n f (l 1) mod n. ( f h) l f (l 1) mod n, d.h. der Effekt der zyklische Faltung von f mit h ist eine zyklische Verschiebung von f um eine Stelle. Zum gleichen Ergebnis kommt man auch unter Verwendung von Theorem 5.3. Die DFT von h ist Folglich gilt H k 1 h l e 2πjkl/n n l0 1 n e 2πjk/n. bzw. 1 n ( f h) l 1 F k n e 2πjk/n ( f h) l e 2πjk/n F k. Nach Theorem 5.1 gilt aber auch f (l 1) mod n e 2πjk/n F k und damit folgt ( f h) l f (l 1) mod n.

57 6 SCHNELLE FALTUNG MIT FFT 57 6 Schnelle Faltung mit FFT Nachdem gezeigt wurde, dass man die zyklische Faltung sehr effizient mit Hilfe der FFT berechnen kann, geht es nun darum die lineare Faltung durch zyklische Faltungen zu realisieren. Damit kann auch die für die Signalverarbeitung wichtige lineare Faltung sehr effizient durch FFT s berechnet werden. Die diskrete Faltung zweier Signale f und h ist definiert durch (f h) l h m f l m. m In vielen Anwendungen ist h die Impulsantwort eines FIR Filters und damit nur in einem Intervall l 0,..., H 1 ungleich Null, d.h. Damit gilt h l 0 für l [0, H 1]. g l (f h) l H 1 m0 h m f l m. Die Berechnung von g l kann also durch ein Skalarprodukt zweier Vektoren mit jeweils H Komponenten realisiert werden. Faltung eines Signalblocks. Zunächst wird vereinfachend angenommen, dass auch das zu filternde Signal f l nur in einem Intervall l 0,..., F 1 mit F H ungleich Null ist, d.h. f l 0 für l [0, F 1]. In Bild 6.1 ist dies dargestellt für H 4 und F 9. In den gestrichelt dargestellten Bereichen sind die Abtastwerte Null. Seien h, f R F Vektoren, deren Komponenten gleich den ersten F Abtastwerten von h bzw. f sind. Die lineare Faltung f h ist natürlich nicht gleich der zyklischen Faltung f h, das Ergebnis ist aber für bestimmte Werte von l gleich. In Bild 6.2 ist die zyklische Faltung für H 4 und F 9 dargestellt. Das Ergebnis der linearen und der zyklischen Faltung stimmt für l 3,..., 8 überein. Allgemein gilt ( f h) l (f h) l für l H 1,..., F 1. Dies sollte durch einen Vergleich von Bild 6.1 und Bild 6.2 ersichtlich sein und kann wie folgt nachgerechnet werden. Sei also H 1 l F 1. Dann gilt ( f h) l F 1 m0 H 1 m0 H 1 m0 (f h) l. h m f (l m) mod F h m f (l m) mod F h m f l m da l H 1 da h m 0 für m H

58 6 SCHNELLE FALTUNG MIT FFT 58 Fall l 5 f l 0 l F 1 m h l H 1 m g l l F + H 2 Fall l 1 f l l F 1 m h l H 1 m g l l F + H 2 Fall l F + H 2 f l 0 F 1 l m h l H 1 m g l l Abbildung 6.1: Diskrete Faltung g l (f h) l für H 4 und F 9

59 6 SCHNELLE FALTUNG MIT FFT 59 Fall l 5 f 0 l F 1 m h H 1 m g l Fall l 1 f 0 m l F 1 m zyklisch linear h H 1 m g l Fall l 3 f 0 l F 1 m h H 1 m g l Abbildung 6.2: Zyklische Faltung g f h für H 4 und F 9.

60 6 SCHNELLE FALTUNG MIT FFT 60 Faltung eines unbegrenzten Signals. Wenn f ein zeitlich unbegrenztes oder sehr langes Signal ist, greift man sukzessive einen Block der Länge F aus f heraus und faltet zyklisch mit h. Die ersten H 1 Werte des Ergebnisses sind wie oben gesehen unbrauchbar, die übrigen F H + 1 Werte sind gleich wie bei einer linearen Faltung. Wenn sich die aus f herausgegriffenen Blöcke also immer um H 1 Werte überlappen, kann man das gesamte Signal f h berechnen. Bei jeder zyklischen Faltung werden F H + 1 Werte des Signals g f h berechnet, siehe Bild 6.3. Die exakte Berechnung der Indizes ist etwas mühsam, muss aber für die Implementierung in einem Computerprogramm durchgeführt werden: Der erste Block enthält die Abtastwerte f H+1 bis f F H und liefert nach zyklischer Faltung mit h und Elimination der ersten H 1 Komponenten g 0 bis g F H. In jeder weiteren Operation verschieben sich alle Indizes um um F H + 1. Der i-te Block enthält für i 0, 1, 2,... somit die F Abtastwerte f H+1+i bis f F H+i. Nach der zyklischen Faltung mit h werden vom Ergebnis die ersten H 1 Werte verworfen. Die übrigen F H + 1 Koeffizienten sind g i bis g F H+i.

61 6 SCHNELLE FALTUNG MIT FFT 61 0 f l f 3... f 5 falsch h l g 0... g 5 f 3... f 11 falsch h l g 6... g 11 f 9... f 17 falsch h l g g 17 Abbildung 6.3: Faltung g f h für H 4 und F 9.

62 A ANHANG 62 A Anhang A.1 Die wichtigsten Fourier Transformationspaare n e j ˆωt 2πδ(ω ˆω) cos(ˆωt) π(δ(ω ˆω) + δ(ω + ˆω)) sin(ˆωt) jπ(δ(ω ˆω) δ(ω + ˆω)) δ(t) 1 1 2πδ(ω) { 1 falls T < t < T 2T si(ωt ) 0 sonst { 1 falls 0 t < T 1 0 sonst jω (1 e jωt ) p(t) δ(t nt s ) ωs δ(ω kω s ), n ω s 2π T s

63 A ANHANG 63 A.2 Rechengesetze für die Fourier Transformation Symmetrie Linearität Zeitverschiebung Frequenzverschiebung Frequenzmodulation Zeitumkehr f(t) reell, gerade F (ω) reell, gerade f(t) reell, ungerade F (ω) imaginär, ungerade a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t) a 1 F 1 (ω) + a 2 F 2 (ω) f(t ˆt) e jωˆt F (ω) f(t)e j ˆωt F (ω ˆω) f(t) cos(ˆωt) 1 (F (ω ˆω) + F (ω + ˆω)) 2 f( t) F ( ω) F (ω) Zeitdehnung f(at) 1 ( ω ) a F a Ableitung im Zeitbereich f (t) (jω)f (ω) f (t) (jω) 2 F (ω) Integration im Zeitbereich t Ableitung im Frequenzbereich Faltung im Zeitbereich Faltung im Frequenzbereich f(u)du 1 jω F (ω) ( jt)f(t) F (ω) ( jt) 2 f(t) F (ω) (f g)(t) F (ω)g(ω) f(t)g(t) 1 (F G)(ω) 2π

64 Literatur [1] McClellan, J. H. ; Schafer, R. W. ; Yoder, M. A.: Signal Processing First. Pearson, 2003 [2] Oppenheim, A. V. ; Schafer, R. W.: Discrete-Time Signal Processing. Prentice Hall,