Aalysis Grezwerte ud Stetigkeit: Gazratioale Fuktioe Bedeutug der Stetigkeit Methode zur Utersuchug der Stetigkeit Traiigsaufgabe Datei 00 Stad: 7. Jauar 08 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
00 Stetigkeit Gaz wichtiges Vorwort Vor dem Arbeite mit diesem Tet bitte lese. Der Begriff der Stetigkeit eier Fuktio ist für die Aalysis, also für die Aalyse vo Fuktioe, eifach grudleged. We ma weiß, dass eie Fuktio stetig ist, da weiß ma auch, dass sie gaz besodere Eigeschafte hat, auf Grud derer da Folgeruge ud Awedugsmethode möglich werde. Es gibt verschiedee Methode für de Uterricht: Leider ist die sehr aschauliche Bedeutug der Stetigkeit etwas heikel, de der Begriff Stetigkeit verlagt Beweise, mit dee ma rasch a die Greze der Schulmathematik stößt. Will der Mathematiklehrer tiefer eidrige ud damit mathematisch eakt vorgehe, muss er etweder mit Folge arbeite, oder er muss gar eie eigetlich ur och a de Hochschule übliche Methode mit ud Umgebuge erarbeite. Für beides wird soll der Schüler icht ur abicke viel Zeit otwedig sei. Im Zeitalter des G8-Gymasiums eierseits ud dem Tred eher weg vo der Theorie ud hi zu Awedugsaufgabe wird diese Zeit fehle. Mache Lehrer zeige daher vielleicht ur och eemplarisch die Folge-Methode. Viele werde ur och aschaulich auf die Bedeutug der Stetigkeit eigehe ud vielleicht mit Hilfe vo Grafik- oder CAS-Recher Beispiele zum Verstädis zeige. Was ma aber auf jede Fall lere muss, das ist das Löse vo Stadardaufgabe, die gewisse Stetigkeitsutersuchuge verlage, ud zwar ohe groß auf Beweismethode eigehe zu müsse. Für mich als Autor eies Tetes, der für alle lesbar sei soll, wird es daher sehr schwer, eie Weg zu fide, mit dem alle etwas afage köe. Ich werde daher zuächst gaz aschaulich vorgehe um ohe Beweise zuerst eimal sicher zu stelle, dass der Leser ei Gefühl dafür bekommt, was die Mathematiker mit dem Begriff Stetigkeit ausdrücke wolle. Ich habe daher diese Tet als Zetraltet für de Begriff der Stetigkeit gestaltet, weil ma vo ihm aus auf die adere Tete zu diesem Thema zugreife sollte. Da zeige ich eemplarisch a Beispiele die Folgemethode auf. Die Strategie mit de ud Umgebuge wird irgedwa i eiem eigee Tet geschildert. Dieser wird sicher auch für Studete iteressat werde. Der Hauptpukt wird da aber der Traiigsteil sei, damit die Leser die übliche im Uterricht, i Klausure ud Prüfuge gestellte brave Aufgabe löse köe. Derzeit gehöre diese Tete zusamme: Zetraltet 00 Aschauliche Bedeutug, Beweisführug mit Zahlefolge. Musterbeispiele ud Aufgabe zu gazratioale Fuktioe 005 Grezwerte ud Stetigkeit bei gebroche ratioale Fuktioe Übugstet 0 Stetigkeit zusammegesetzter Fuktioe
00 Stetigkeit Ihalt Eie Zauberstude i Hogwarts Eiführugsstory zur Stetigkeit Grezwerte ud Stetigkeit Grezwertberechug für gazratioale Fuktioe mit Zahlefolge. Grezwerte für. Grezwerte für f f 6 6. Stetigkeit vo gazratioale Fuktioe allgemei 7. Traiigsaufgabe 8 Lösuge 9 5 Grezwerte für 6. Die Fuktio f 6. Ausführliches Beispiel zur Grezwertberechug bei gazrat. Fuktioe 6. Kurzmethode für alle vier Fälle 7 Übersicht 8
00 Stetigkeit Eie Zauberstude i Hogwarts - Eiführugsstory Wie Harry Potter eie Bahstrecke verzaubert ud die Strecke ustetig macht I der Klasse vo Harry Potter kame sie i eier Zauberstude zur Aufgabe, eie Eisebahstrecke i Eglad zu verzauber. Bisher gab es eie durchgehede Bahstrecke vo Lodo über Hogwarts ach Liverpool. I eier stilisierte Ladkarte sieht dies so aus: Abb. Ma kote i Lodo ei- ud i Hogwarts aussteige, ebeso erreichte ma die Schule vo Liverpool aus. Joe ahm sich als erster der Aufgabe a. Seie Idee war diese, ur eie eizige Pukt der Bahstrecke zu maipuliere. Er verlegte de (jetzt als Pukt gedachte) Bahhof vo Hogwarts (H) eifach 0 Meile weg, ach Blewsto B). Diese fiese Idee hatte eie irre Wirkug: Wer ach Hogwarts fuhr, erreichte de Bahhof fast! I geau dem Augeblick, i dem der Zug ahielt, befad ma sich i Blewsto, ud zwar gleichgültig, ob ma vo Lodo oder Liverpool aus agereist kam. Die Freude über diese Scherz war allgemei groß solage ma icht selbst betroffe war. Chris kam da auf eie gaz böse Idee: Er verlegte de Bahhof Hogwarts gaz weg vo der Erde is Nichts. Ma stelle sich also die Abbildug eifach ohe die Statioe H (wo da ei Loch ist) ud B vor. Die grausame Realität sah da so aus, dass sich die Reisede im Augeblick des Ahaltes i Hogwarts irgedwo im Weltall fade we sie überhaupt och eistierte. Die Freude über diese Idee verebbte schell, ma kote ja selbst vo diesem Uheil betroffe sei. Charles plate seie Zauberstreich so, dass er gleich die gaze Bahstrecke vo Liverpool ach Hogwarts so verlegte, dass der Zug gleich direkt ach Blewsto fuhr (Abb. ) Ud wer aus Lodo afuhr, erreichte Hogwarts, wurde jedoch im Momet des Ahaltes ach Blewsto gebeamt. Übriges, wer aus Blewsto da ach Lodo wollte, schaffte dies ur über das Rückbeame ach Hogwarts. Abb. Abb. Ei leerer Kreis als Puktsymbol bedeutet, dass der Zug im Momet des Ahaltes wegsprigt, währed der ausgefüllte Kreispukt de sichere Halt bedeutet hat.
00 Stetigkeit 5 Abb. Abb. Eie ähliche Pla wie Charles (Abb. ) hatte sich Clarissa ausgedacht (Abb. ). Hier komme alle i Hogwarts a. Die aus Lodo direkt ud gaz ormal ohe Probleme, währed die aus Liverpool sich erst wuder, warum sie i Blewsto akomme, jedoch im Augeblick des Haltes da doch i Hogwarts sid. Iteressat ist die Atwort auf die Frage: Wie verhalte sich die Züge, we sie (i Abb. ) vo Blewsto aus oder (i Abb. ) vo Hogwarts aus weiterfahre? I Abb. startet also ei Zug i Blewsto. Hat er die Richtug Liverpool, da passiert ichts Aufregedes: Er fährt eifach dorthi. Hat er jedoch die Richtug Lodo, da wird er im Augeblick des Afahres i de Bahhof Hogwarts trasferiert, vo wo aus er gaz ormal ach Lodo fährt. I Abb. starte die Züge i Hogwarts ud fahre ach Liverpool mittels eies Beamsprugs ach Blewsto im Augeblick des Afahres, bzw. gaz ormal ach Lodo. Hery hatte die Idee, eie gazes Stück Bahstrecke eifach wegzulasse. Die Reisede aus Liverpool edete da i Wullroy ohe Chace, Hogwarts ahe zu komme. Dies gab eie schlechte Note, die Lösug wurde als uiteressat abgeleht. Nu verlasse wir usere Beobachtugs- poste i der Zauberklasse ud werte mathematisch aus, was diese Schüler so alles eigefalle ist. Abb. 5 Für das, was sich diese Zauberlehrlige überlegt habe, gibt es eie mathematische Hitergrud, de ma Stetigkeit et. Dies soll us u beschäftige:
00 Stetigkeit 6 Die Fahrt eies Zuges vo Lodo ach Liverpool (oder umgekehrt) ist eie Fuktio der Zeit: Zu eiem bestimmte Zeitpukt befidet sich der Zug a eier bestimmte Stelle. Das Schaubild dieser Fuktio ist usere Eisebahliie. Es ist eie durchgehede Liie, die ma ohe abzusetze zeiche ka. Abb. Dies ist die eifachste Vorstellug vom Begriff der Stetigkeit. Ma köte sage: Die Fuktio Zugverbidug Lo-Liv ist eie stetige Verbidug, eie stetige Fuktio. Das wird sofort aders, achdem Joe seie Bahstrecke verzaubert hat. Er verleiht der Fuktio eie Sprug. Geau zu dem Zeitpukt, i dem der Zug i Hogwarts ahält, wird er ach Blewsto gebeamt. Die Kurve hat a der Stelle H ei Loch, ist also uterbroche: Die Zugfuktio ist a der Stelle H icht mehr stetig. Auch alle weitere Zauberstücke führe zu icht mehr stetige Zugverbiduge: Abb. Abb. Abb. Beide Fuktioe habe eie Sprug a der Stelle H, sid dort also ustetig, ud zwar auf uterschiedliche Art, wie es obe besproche worde ist. Etscheided ist jedoch, dass icht beide Pukte B ud H ausgefüllte Kreispukte sid. Der Zug ka ja icht gleichzeitig i H ud i B sei. Ma muss sich scho für de eie oder adere Halt etscheide, darf ih aber auch gaz weglasse, wie es Chris vorhatte. Da allerdigs verschwade die Züge im Nichts. Aber auch die große Lücke vo Herys Idee bedeutet Ustetigkeit. Merke wir us also: Durchziehe ohe abzusetze, so ka ma sich Stetigkeit vorstelle.
00 Stetigkeit 7 Fuktiosgleichuge dazu. Die i de Schaubilder dargestellte Fuktioe habe atürlich auch Gleichuge. Wir müsse jetzt diese Zugfuktioe modellhaft als Gleichuge darstelle. Die ormale Zugverbidug vo Lodo über Hogwarts ach Liverpool wird hier durch eie Fuktio f beschriebe, die folgede Gleichug hat: f für 0 8. 6 Abb. Wir vermute zu Recht (was icht gaz eifach zu beweise ist), dass diese Fuktio (überall) stetig ist, dass also die zugehörige Kurve keie Sprug macht. Der Zug fährt also erwartugsgemäß ohe Zaubertricks, wie ma es vo ihm erwartet. Die Zugfuktio vo Joe ist icht mehr stetig. Sie hat diese Gleichug: für 0 8 aber 6 f für Ma erket, dass ma de Sprug a der Stelle = auf diese komplizierte Art darstelle muss. Ma hätte auch dies aschreibe köe: für 0 oder 8 6 f für Jetzt müsse wir de Begriff des Grezwertes eiführe: Kommt der Zug vo Lodo her, erreicht er de Zielbahhof Hogwarts (de wir us mathematisch modelliert als Pukt vorstelle müsse), er kommt ihm beliebig ahe, erreicht ih aber icht. Der Abstad zu ihm geht gege 0. Erst i diesem uedlich kleie Augeblick we der Abstad 0 wird, wird der Zauber wirksam ud beamt de Zug ach Blewsto. Ma sagt dazu: Der Grezwert der Fuktio f bei Aäherug vo rechts gege die Zahl ist ud schreibt dies so auf: lim f ud liest das so: Limes vo f vo für gege vo rechts gleich. Die Schreibweise (oder auch 0) bedeutet Aäherug a vo rechts. lim f ist der Grezwert bei Aäherug vo liks (aus Liverpool kommed) gege. We beide Grezwerte idetisch sid, ka ma beide Schreibweise auch zu eier Aussage zusammefasse: lim f wobei da das + oder hiter der weggelasse wird. Abb. Bei der uverzauberte Bah sid beide Grezwerte ud der Fuktioswert f() idetisch: Dort sid Ziel ud Haltepukt gleich: lim f f. f ist a der Stelle (bei Hogwarts) stetig.
00 Stetigkeit 8 Der verzauberte Zug vo Joe gehört zu eier Fuktio, die a der Stelle icht stetig ist. Die Ustetigkeit a der Stelle = besteht dari, dass dieser Grezwert Fuktioswert f übereistimmt Beim Vorschlag vo Chris ist der Haltepukt gaz im Nichts verschwude. Dort liegt also bei = auch keie Stetigkeit vor, de ist zwar lim f, aber der Bahhof f() eistiert gar icht mehr. Die Kurve hat daher ei Loch a der Stelle. Dieses hat die Koordiate L. Die zugehörige Fuktio ka ma so darstelle: f für 0 8 aber 6 lim f icht mit dem Jetzt folge die Fuktiosgleichuge zu de Abbilduge (Charles) ud (Clarissa). Für de Abschitt Liverpool-Blewsto, der eie gerade Liie darstellt, welche die Steigug m hat, beötigt ma die Gleichug y. Setzt ma die Gleichuge zusamme erhält ma für Abb. : für Abb. : 6 f f 6 Abb. für 0 für 8 für 0 für 8 Abb. a Abb. Fällt dir der etscheidede Uterschied auf? I Abb. ist der Fuktioswert f() =, i Abb. gilt jedoch f() =. Der Rest ist idetisch. Nu eie Übug zum selbst löse: Beschreibe die Art der Ustetigkeit i beide Abbilduge, idem du agibst, wie die Grezwerte vo liks ud rechts gege aussehe ud wie diese Grezwerte mit dem Fuktioswert f() zusammehäge. Die Lösug steht gleich auf der ächste Seite.
00 Stetigkeit 9 Hier die Auflösug: Zu Abb. : Für die hier verwedete Fuktio f gilt: Grezwert bei Aäherug a = vo liks: Fuktioswert a der Stelle : Grezwert bei Aäherug a = vo rechts: lim f f lim f Vo liks her stimme also Grezwert ud Fuktioswert überei, icht so vo rechts her. Dort gibt es de Fuktiossprug. Zu Abb. : Für die hier verwedete Fuktio f gilt: Grezwert bei Aäherug a = vo liks: Fuktioswert a der Stelle : Grezwert bei Aäherug a = vo rechts: lim f f lim f Vo rechts her stimme also Grezwert ud Fuktioswert überei, icht so vo liks her. Dort gibt es de Fuktiossprug. Nu eie weitere kleie Aufgabe. Abb. 5 stellt de Zaubervorschlag vo Lewis dar. Auch er wurde mit Applaus aufgeomme. Beschreibe mit Worte, was die Areisede vo Lodo bzw. Liverpool erlebe. Stelle eie geeigete Fuktiosgleichug für die zugehörige Fuktio f 5 auf. Da gib die Grezwerte für sowie de Fuktioswert f() a ud beschreibe die Art der Ustetigkeit userer Zugfuktio. Abb. 5 Die Lösug folgt auf der ächste Seite.
00 Stetigkeit 0 Lösug: Aus Liverpool kommed erreicht ma de Zielbahhof Blewsto, beim Halte sprigt der Zug jedoch ach Middleham. Das besage der Grezwert 5 lim f ud der Fuktioswert f 5 () =. Aus Lodo kommed erreiche die Reisede de Bahhof Hogwarts, werde aber im Augeblick des Haltes sofort ach Middleham gebeamt. Das besage der Grezwert 5 lim f ud der Fuktioswert f 5 () =. Die Fuktio ist also a der Stelle = icht stetig, weil die Grezwerte vo liks ud vo rechts icht mit dem Fuktioswert übereistimme. Die Fuktiosgleichug ka ma so agebe: für 0 f für für 8 6
00 Stetigkeit Grezwerte ud Stetigkeit Vorahuge. Bevor wir lere, wie ma Grezwerte vo Fuktioe bereche ka, sollte wir eie Vorstellug vo diesem Begriff habe. I der Eiführugsgeschichte war der Zielbahhof der Grezwert, dem der Zug etgegegefahre ist. I der Mathematik geht es darum, welchem Wert sich eie Fuktio aähert, we ma gege eie bestimmte Zahl rücke lässt. Die Fuktio f ka etwa durch f - defiiert sei. Wir deke us diese Gerade als Schiee für eie Bah, die wir a der Stelle = 0 besteige. User Ziel ist die Statio bei =. Dieses Ziel köe wir bereche: f. Wir wolle also ach P fahre. Die Frage ist u: Komme wir auch dort a? I der Eiführugsgeschichte hat dies icht immer geklappt. Wir werde also lere de Grezwert zu erreche, de wir wirklich erreiche, we wir gehe lasse. Wir müsse also diese Grezwert bereche: Geauer müsste wir sogar schreibe: lim f lim f, weil wir us vo liks aäher. Mache Buchautore bzw. Lehrer verwede auch diese Schreibweise: 0 lim f Diese Uterscheidug ist wichtig, we ma ka sich auch vo rechts her der Stelle = äher. De so erreichte Grezwert schreibt ma so auf: lim f oder 0. lim f. Im Idealfall, de sich Zugreisede ud auch Mathematiker wüsche, stimme Grezwert auf de der Zug tatsächlich zufährt) ud Ziel-Fuktioswert (wo wir eigetlich hi wolle) tatsächlich überei. Ma ka eie Fuktio als stetig a eier Stelle = a bezeiche, we bei Aäherug a diese Stelle der Grezwert ud der Fuktioswert übereistimme: Oder so: a a lim f lim f f(a) a lim f f(a). Eie eifache geometrische Beschreibug der Stetigkeit eier Fuktio i eiem Itervall lautet so: Bei vorhadeer Stetigkeit ka ma de Fuktiosgraphe ohe abzusetze durchzeiche..
00 Stetigkeit Grezwertberechug für gazratioale Fuktioe mit Zahlefolge I diesem Abschitt lere wir, wie ma Grezwerte vo Fuktioe dadurch berechet, dass ma die Aäherug gege eie Stelle a mit Hilfe eier Zahlefolge realisiert, die sozusage usere Zug darstellt. Grezwerte für die Fuktio f=- +, berechet mit Zahlefolge. () Die Fuktio f hat als Schaubild eie Gerade, die jeder mit eiem Lieal ohe abzusetze durchzeichet. Wir etehme der Aschauug, dass ma beim Aäher a die Stelle = das Ziel P wirklich erreicht, oder aders ausgedrückt, dass der Grezwert der Fuktio f für auch wirklich dasselbe ist wie der Fuktioswert Wir vermute also, dass f, was ja die y-koordiate vo P ist. lim f f gilt, was ma ja gerade die Stetigkeit vo f a der Stelle et. Doch wie beweist ma, dass der Grezwert lim f ist? () Im afägliche Beispiel aus Hogwarts habe wir als Bewegugsmittel hi zur Stelle = eie Zauberzug verwedet. Ei geeigeter mathematischer Zug ka eie Zahlefolge sei, dere Grezwert ebe usere Zahl ist. Folgebeispiel : Die Folge, die ma auch so darstelle ka: Wir müsse jetzt Ketisse über Zahlefolge voraussetze. Um diese Folge äher kee zu lere, bereche wir zuächst eiige Werte: 5 9,5, 7,5 0 0 0 0, 000 000 00 000 000,00 usw. Ma erket, dass diese Folge sich offesichtlich der Zahl ähert: Dies ka ma mit dem Grezwertsatz beweise: lim. lim lim lim 0 0
00 Stetigkeit Ma erket, dass die Aäherug dadurch passiert, dass die Zahlefolge gege geht, we. Diese Folge bildet die -Koordiate der Pukte, die u etlag der Gerade auf de Pukt P zugleite. Weil wir us aber icht auf der -Achse, soder etlag der Gerade bewege, berechet ma die zugehörige y-koordiate durch eie y-folge y f 5. Die erste Möglichkeit: Die y-koordiate werde eizel berechet: 5 y f5 5,75: P 5,75 9,5 y f,5,5,5,875 P,5,875, y f,9 P,,9 7,5 0 7 7 y f,9 P,5,9 0 0 0, 00 y f,975 P,,975 00 0 00 00,0 0 0 0 0 0 y f,9975 P,0,9975 00 00 00 Ma sieht die Folge mit dem Grezwert, die Bildfolge y mit dem Grezwert ud aus beide zusammegesetzt die Puktfolge P y mit der Grezlage Die Abbildug veraschaulicht lim f P. 0 00 Die zweite Möglichkeit: Berechug des Bildfolge-Terms y = f y f f, also ist y. Diese hat ach dem Grezwertsatz de Grezwert, weil lim 0 ist. Demach habe wir aus ud y eie Puktfolge gebildet, die ma so schreibe ka: P y bzw. P, die für dem Grezpukt Folgerug: lim f P.
00 Stetigkeit Ergebis: Mit Hilfe der Puktfolge berechet ma die Bildfolge y. Für strebt die Urfolge gege ud die Bildfolge y gege. Die Puktfolge P also gege P. Ma erket also, dass f für bei Aäherug vo rechts gege de Wert geht. Diese Zahlefolge liefert also das Ergebis lim f Hiweise: a) Bei Wahl eier adere Folge mit lim vo rechts, erhält ma deselbe Grezwert. b) Als ächstes müsse wir de Grezwert lim f Dazu wähle wir eie eue Folge: bereche, also bei Aäherug vo liks. Folgebeispiel : Die Folge, die ma auch so darstelle ka:. Berechug eiiger Werte der Folge: 7 0 9 0 0,,5,,667, 0,9 000 000 999 000 000,999 usw. Ma erket, dass diese Folge sich offesichtlich der Zahl ähert: lim Die Folge hat ur Folgeglieder, die kleier als sid. Sie wächst streg mooto ud ähert sich daher vo liks dem Grezwert. Berechug der Bildfolge: Folgerug: y f f, also ist y. Diese hat ach dem Grezwertsatz de Grezwert, weil lim 0 ist. Die Fuktio f hat de liksseitige Grezwert lim f Wer möchte, ka hier auch och die Puktfolge aufschreibe: P y bzw. P Sie strebt vo liks obe her auf der Gerade dem Grezpukt P etgege, we gege Uedlich geht. Isgesamt wisse wir also: ud lim f, was ma zu lim f lim f zusammefasse ka.
00 Stetigkeit 5 () Allgemeier Beweis für die Stetigkeit vo f a der Stelle : Es sei eie beliebige Zahlefolge mit dem Grezwert :. lim y f. Die Bildfolge dazu ist: lim y lim lim Dere Grezwert wird: Das habe wir bewiese: Zu jeder beliebige Folge, die sich der Zahl = ähert, gehört eie Bildfolge y f mit dem Grezwert. Ud weil f auch der Fuktioswert vo ist, stimme Grezwert ud Fuktioswert überei: lim f f. f ist also bei = stetig. () Allgemeier Beweis für die Stetigkeit vo f a eier Stelle a: Es sei eie beliebige Zahlefolge mit dem Grezwert a: lim a. y f Die Bildfolge dazu ist: Dere Grezwert wird: lim y lim lim a Der Fuktioswert a der Stelle a ist: a f a a Also stimme Grezwert ud Fuktioswert a der Stelle a überei: lim f f a Diese Eigeschaft formuliert ma so: a f ist also bei = a stetig. Ud weil f a jeder Stelle stetig ist, sagt ma: f ist eie stetige Fuktio.
00 Stetigkeit 6 f=. Grezwerte ud Stetigkeit für die Fuktio 6 -+ Das ist die adere im Hogwartsbeispiel erwähte Fuktio, welche die eigetliche Bahliie vo Liverpool über Hogwarts ach Lodo darstellt. Ihr Schaubild ist eie Parabel. () Zur Berechug vo lim f verwede ich die Folge. Sie hat de Grezwert hat, de lim 0. Ferer sid alle Glieder der Folge kleier als, ud weil streg mooto fällt, wächst vo liks gege. () Berechug der Bildfolge: Grezwert der Bildfolge: y f f 6 y 6 8 6 6 y N lim y 6, de lim 0 ud lim 0. Folgerug: Also hat auch die Fuktio f de Grezwert : () Mit der Folge Also gilt isgesamt: zeigt ma aalog dazu: () Der Fuktioswert ist f Aufgabe: lim f (vo liks). lim f (vo rechts). lim f Weil Grezwert ud Fuktioswert idetisch sid, ist f a der Steller = stetig. Beweise, dass f a jeder Stelle a stetig ist: Lösug: NR : Es sei eie beliebige Zahlefolge mit dem Grezwert a: lim a. 6 Die Bildfolge dazu ist: y f - lim y lim lim lim a a Dere Grezwert wird: 6 6 6 Der Fuktioswert a der Stelle a ist: a f a a a Also stimme Grezwert ud Fuktioswert a der Stelle a überei: lim f f a Diese Eigeschaft formuliert ma so: f ist also bei = a stetig. a 6
00 Stetigkeit 7. Stetigkeit vo gazratioale Fuktioe allgemei Uter eier gazratioale Fuktio versteht ma eie Fuktio, dere Term sich auf die Form brige lässt. f a a... a a a O Mit der allgemeie Folgemethode ka ma zeige: Jede gazratioale Fuktio ist (überall) stetig. Ich beweise, dass f a eier beliebige Stelle a stetig ist, idem ich zeige, dass lim f f a Dazu verwede ich eie Folge m : Hiweis.. Schritt: Es sei m eie Folge mit dem Grezwert z: lim m a m. Schritt: Ihre Bildfolge bezüglich der Fuktio f ist: y f a a... a a a m m m m m m O a. Schritt: Der Grezwert der Bildfolge wird mit dem Grezwertsatz berechet: m lim y lim a a... a a a m m m m m O m ist. a lim a lim... a lim a lim a m m m m O m m m m O aa a a... aa aaa f a Ergebis: Grezwert ud Fuktioswert stimme überei. Also ist f a dieser Stelle z stetig. Weil die gazratioale Fuktio de Grad hatte, musste ich für de Ide der Folge eie adere Buchstabe verwede, ich habe m verwedet. Ma sollte auch icht die allgemeie Koeffiziete a, a 0 mit der Stelle = a verwechsel. KONSEQUENZ: Ma ka das Schaubild jeder gazratioale Fuktio ohe abzusetze durchzeiche.
00 Stetigkeit 8. Traiigsaufgabe Aufgabe Gegebe ist die Fuktio f durch y f. Bereche mit de Beispielfolge die Grezwerte lim f bzw. lim f Zeige da, dass f a der Stelle stetig ist, ud zwar zuerst ahad dieser Folge, ud da gaz allgemei a der Stelle = a. Aufgabe a) b) Gegebe ist die Fuktio f durch y f. Bereche mit de Beispielfolge die Grezwerte lim f. Zeige da allgemei, dass f a der Stelle stetig ist, ud zwar zuerst ahad dieser Folge, ud da gaz allgemei a der Stelle = a. a) Aufgabe 0 b) 0 Zeige gaz durch eie allgemeie Folge, dass f überall stetig ist. a) f 5 f 5 b) c) f 5 d) f 6 f 8 5 e) 5
00 Stetigkeit 9 Lösug Aufgabe a) Berechug des Grezwerts lim f bzw. lim f für y f durch die Folge. Lösug: () Die Folge hat de Grezwert: lim lim lim lim 0. Die Folge ähert sich vo rechts dem Grezwert, weil alle Folgeglieder größer als sid. Erklärug: Hier wurde der Grezwertsatz für Folge agewadt (siehe Tet 0). Die Folge wird dabei i ihre Teilfolge a (eie kostate Folge,,,,.) ud b zerlegt. Dere Grezwerte sid da bzw. 0. Ud ihre Summe ist der gesuchte Grezwert für die Folge. () Berechug der Bildfolge: Sie besteht aus de Fuktioswerte zu alle Folgeglieder. y f. Sie hat diese Grezwert: Der Grezwert der Fuktio f für 0 lim y lim lim lim 0 ist also 0 lim f. Nicht verlagt aber hilfreich fürs Verstädis: () Veraschaulichug: Aus ud y ka ma eie Puktfolge bilde: P y Hier die erste 5 Pukte dieser Folge ud rechts ihre Lage im Koordiatesystem: P 6 ; P,5 5 ; P ; P ; P 5 5 5 Ma erket, dass sie atürlich auf der Gerade y = liege, dem Schaubild vo f. Sie strebe dem Grezpukt P* etgege, dem sie immer äher komme ud für erreiche (we ma diese Gedakesprug zulässt). y P Ma erket auch, dass lim f gilt (auch we dieses Ergebis ur a eier Beispielfolge erarbeitet worde ist.)
00 Stetigkeit 0 b) Berechug des Grezwerts lim f bzw. lim f für y f für durch die Folge. Lösug: () Die Folge hat de Grezwert: lim lim lim lim 0 Die Folge ähert sich vo liks dem Grezwert, weil alle Folgeglieder kleier als sid. 0 () Nu werde die Fuktioswerte zu alle Folgeglieder berechet, idem ma i f eisetzt. So etsteht die Bildfolge Sie hat diese Grezwert: y f. Dies u der Grezwert der Fuktio f für lim y lim lim lim 0 : 0 lim f. Nicht verlagt aber hilfreich fürs Verstädis: () Veraschaulichug: Aus ud y ka ma eie Puktfolge bilde: Q y Hier die erste 5 Pukte dieser Folge ud rechts ihre Lage im Koordiatesystem: 9 8 Q ; Q,5 ; Q ; Q ; Q 5 5 5 Ma erket, dass sie atürlich auf der Gerade y = liege, dem Schaubild vo f. Sie strebe dem Grezpukt P* etgege, dem sie immer äher komme ud für erreiche (we ma diese Gedakesprug zulässt). Nu habe wir eie Aäherug vo rechts mit lim f, eie Aäherug vo liks mit lim f ud de Fuktioswert a der Stelle : f Alle drei stimme überei, also ist f a der Stelle stetig. Q Achtug: Das ist kei Beweis, de es ist icht klar, ob ma mit eier adere Folge dasselbe Ergebis bekommt. y
00 Stetigkeit Allgemeier Beweis, dass f bei = stetig ist. Es sei eie beliebige Zahlefolge mit dem Grezwert : y f. Berechug der Bildfolge: lim. Dere Grezwert ist lim y lim lim, also ist Fuktioswert: f lim f Damit ist der Beweis beedet, de es liegt ja eie beliebige Zahlefolge vor, die ur die Bedigug erfülle muss, de Grezwert zu habe. Ud Grezwert ud Fuktioswerte stimme überei, Bei der Grezwertberechug wurde wieder der Grezwertsatz agewadt. Allgemeier Beweis, dass f bei = a stetig ist. Es sei eie beliebige Zahlefolge mit dem Grezwert a: y f. Berechug der Bildfolge: lim a. Dere Grezwert ist lim y lim lim a a f a also ist lim f f a a Damit ist der Beweis beedet, de es liegt ja eie beliebige Zahlefolge vor, die ur die Bedigug erfülle muss, de Grezwert zu habe. Ud Grezwert ud Fuktioswerte stimme überei.
00 Stetigkeit a) Berechug des Grezwerts lim f () Die Folge hat diese Folgeglieder: Lösug Aufgabe 0 0,, für y f durch die Folge 0 0,0,0 0 0,00,00 usw. Sie hat de Grezwert: lim lim 0 lim lim0 0. Alle Glieder der Folge sid größer als, sie ähert sich vo rechts ihrem Grezwert. () Bildfolge: 0 y f f 0 0 0 y 0 0 0 y 0 0 lim y lim 0 0, Ihr Grezwert ist: Also gilt: de es ist lim f lim0 0 ud b) Berechug des Grezwerts lim f für () Die Folge hat diese Folgeglieder: 0 0, 0,9 0 0,0 0,99 0 0,00 0,999 0. lim 0 lim lim 0 0 00 y f durch die Folge 0 usw. Sie hat de Grezwert: lim lim 0 limlim0 0. Alle Glieder der Folge sid kleier als, sie ähert sich vo liks ihrem Grezwert. () Bildfolge: 0 y f f 0 0 0 y 0 0 0 y 0 0 lim y lim 0 0, Ihr Grezwert ist:. Also gilt: de es ist lim f lim0 0 ud 0 00 lim 0 lim lim 0 Ergebis: Also liefert auch diese Folge lim f
00 Stetigkeit Allgemeier Beweis, dass f bei = stetig ist. Es sei eie beliebige Zahlefolge mit dem Grezwert : Berechug der Bildfolge: lim. y f. Dere Grezwert ist Daher ist auch Der Fuktioswert ist lim y lim lim lim. lim f. f lim f f Damit ist der Beweis beedet, de es liegt ja eie beliebige Zahlefolge vor, die ur die Bedigug erfülle muss, de Grezwert zu habe. Ud Grezwert ud Fuktioswerte stimme überei, Bei der Grezwertberechug wurde wieder der Grezwertsatz agewadt. Allgemeier Beweis, dass f bei = a stetig ist. Es sei eie beliebige Zahlefolge mit dem Grezwert a: lim a. Berechug der Bildfolge: y f. Dere Grezwert ist Also ist auch: lim f a a a Der Fuktioswert ist fa a a Ud das besagt, dass f a jeder Stelle a stetig ist. lim y lim lim lim a a a a a lim f f a Damit ist der Beweis beedet, de es liegt ja eie beliebige Zahlefolge vor, die ur die Bedigug erfülle muss, de Grezwert a zu habe. Ud Grezwert ud Fuktioswerte stimme überei, Bei der Grezwertberechug wurde wieder der Grezwertsatz agewadt.
00 Stetigkeit a) Grezwert vo f 5 Lösug Aufgabe Es sei eie beliebige Zahlefolge mit dem Grezwert a: lim a y f 5 Bildfolge: Ihr Grezwert: lim y lim 5 lim lim 5 lim limy a a 5a Also ist limf a a 5a a Es ist aber auch faa a 5a Also ist f a jeder Stelle a stetig. f 5 b) Grezwert vo Es sei eie beliebige Zahlefolge mit dem Grezwert a: y f 5 Bildfolge: lim a Ihr Grezwert: lim y lim 5 lim lim 5 lim y a a 5 Also ist lim f a a 5 a f a a a 5 Es ist aber auch Also ist f a jeder Stelle a stetig. c) Grezwert vo 6 f 5 Es sei eie beliebige Zahlefolge mit dem Grezwert a: y f 5 Bildfolge: 6 lim Ihr Grezwert: 6 6 a lim y lim 5 lim lim 5 lim lim y a a 5a 6 lim f a lim f a f a f a Also ist lim f a a 5a a Es ist aber auch 6 6 f a a a 5a a lim f f a Also ist f a jeder Stelle a stetig.
00 Stetigkeit 5 d) Grezwert vo f Es sei eie beliebige Zahlefolge mit dem Grezwert a: lim a y f Bildfolge: Ihr Grezwert: lim y lim lim lim lim y a a Also ist lim f a a a Es ist aber auch faa a Also ist f a jeder Stelle a stetig. f 8 5 e) Grezwert vo 5 Es sei eie beliebige Zahlefolge mit dem Grezwert a: y f 8 5 Bildfolge: 5 5 Ihr Grezwert: 5 5 lim a 5 lim y lim 8 lim lim lim 8 5 lim y a a a 8 5 5 Also ist lim f a a a 8 a 5 Es ist aber auch 5 5 f a a a a 8 Also ist f a jeder Stelle a stetig. a lim f lim f a f a f a
00 Stetigkeit 6. Die Fuktio f Ma beötigt das Wisse, dass lim 0 ist. Grezwerte für Damit ka ma das Verhalte jeder gazratioale Fuktio utersuche. Dazu muss ma vier Fälle uterscheide.. Ausführliches Beispiel zur Grezwertberechug eier gazratioale Fuktio f mit dem Merkmal: Ugerader Grad ud. Koeffiziet > 0. Die Fuktio Die ausführliche Utersuchug beruht auf der Methode, dass ma die höchste -Potez f ausklammert: Für große, also für werde die Summade ud so klei, dass ma sie verachlässige ka. Mathematiker schreibe das so: lim 0 ud lim 0. Wer mehr Aufklärug beötigt, sollte sich das a Beispiele asehe: Statt f 000.000.000.000 000.000.00.999.997 erhält ma durch Ausklammer f 000000 000.000.000.000 000 000.000.000 0 0 f 000 000 000.000.000 000 000.000.000 0 0 ud Ma sieht also ach diesem Ausklammer, dass i der Klammer die Summade mit im Neer sehr klei werde ud keie wesetliche Rolle mehr spiele. Daher ka ma ach dem Ausklammer sage: f verhält sich für wie die Fuktio g. Das Verhalte dieser Potezfuktio ist so: Für folgt: Für folgt: Dasselbe gilt jetzt auch für f. g g
00 Stetigkeit 7. Kurzmethode für alle Fälle f mit dem Merkmal: Ugerader Grad ud. Koeffiziet > 0. Beispiel : f Wege lim 0 ud lim 0 Ergebis: Für folgt: f Für folgt: f Beispiel 6. gilt für große : f 7 mit dem Merkmal: Gerader Grad ud. Koeffiziet > 0. 7 f 7 6 6 7 Wege lim 0 ud lim 0 gilt für große : : Ergebis: Für folgt: Für folgt: Beispiel : 6 f f f f(). 6 f mit dem Merkmal: Ugerader Grad ud. Koeffiziet < 0. f 6 6 Wege lim 0 ud lim 0 gilt für große : Ergebis: Für folgt: Für folgt: f f f(). 6 f mit dem Merkmal: Gerader Grad ud. Koeffiziet<> 0. Beispiel : 6 f 6 6 Wege lim 0 ud lim 0 gilt für große : f(). 6 Ergebis: Für folgt: f Für folgt: f
00 Stetigkeit 8 Übersicht - Merkblatt Es gibt geau Möglichkeite, wie sich eie gazratioale Fuktio außerhalb des Zeicheblattes verhalte ka: f f 7 f 6 6 f 6 Für : (ach rechts) f f f f Für : (ach liks) MERKE: f f f f Dieses Verhalte wird alleie durch de Summade mit dem höchste Epoete bestimmt. ugerade gerade ugerade gerade fpos.. f eg.. f pos.. f eg.. z. B. f... f... f... 6 6 f... 6 Damit ka auch eie Aussage über die Wertmege der Fuktioe mache: W W y ; W mi W ; y ma