1 Linere Gleichungssysteme 1. Begriffe Bspl.: ) 2 x - 3 y + z = 1 3 x - 2 z = 0 Dies ist ein Gleichungssystem mit 3 Unbeknnten ( Vriblen ) und 2 Gleichungen. Die Zhlen vor den Unbeknnten heißen Koeffizienten. b) Dsselbe System, die Unbeknnten sind diesml durchnummeriert: 2 x 1-3 x 2 + x 3 = 1 3 x 1-2 x 3 = 0 c) Ds llgemeine Gleichungssystem dieses Typs; die Koeffizienten sind systemtisch bezeichnet und durchnummeriert, ebenso die Werte uf der rechten Seite: 11 x 1 + 12 x 2 + 13 x 3 = c 1 21 x 1 + 22 x 2 + 23 x 3 = c 2 Konvention: i j ist der Koeffizient in der i-ten Gleichung vor der j-ten Unbeknnten. Ds spezielle System us (b) erhält mn durch die Whl: 11 = 2, 12 = -3, 13 = 1 21 = 3, 22 = 0, 23 = -2 c 1 = 1, c 2 = 0
2 Def. 1 Ein Gleichungssystem vom Typ (1) 11 x 1 + 12 x 2 + 13 x 3 +... + 1n x n = c 1 (2) 21 x 1 + 22 x 2 + 23 x 3 +... + 2n x n = c 2. ( ).. (k) k1 x 1 + k2 x 2 + k3 x 3 +... + kn x n = c k heißt lineres Gleichungssystem mit k Gleichungen und n Unbeknnten. Auf der rechten Seite stehen nur Terme, welche die Unbeknnten nicht enthlten (sog. Störglieder ). Für k = n heißt ds Gleichungssystem qudrtisch. Ein System, ds mehr Gleichungen ls Unbeknnte ht ( k > n), heißt überbestimmt. Ein System, ds weniger Gleichungen ls Unbeknnte ht ( k < n), heißt unterbestimmt. Ds Gleichungssystem heißt liner, weil die gesuchten Unbeknnten nur in Ausdrücken der Form + i j x j vorkommen ( lso nur in der ersten Potenz, uch keine Produkte von Unbeknnten ). Bspl.: Ds folgende Gleichungssystem ist nicht liner: x 2 1 + x 2 = 1 x 1 x 2 - x 1 / x 2 = 0 Bem. Linere Gleichungssysteme treten in sehr vielen Anwendungen uf, z.b. - elektrische Netzwerke - Sttik - Betriebswirtschft
3 Def 2. Mn erhält eine kompkte Schreibweise des lineren Gleichungssystems () durch die Einführung der folgenden Größen: x = Vektor der Unbeknnten ( n dimensionl ) c = Vektor der Störglieder ( k dimensionl ) A = 11 21 k1 12 22... k 2......... 1n 2n kn Mtrix der Koeffizienten ( k n - Mtrix) Die Mtrix ht hier k Zeilen und n Splten. Die Vektoren müssen hier us formlen Gründen ls Spltenvektoren geschrieben werden. Der Lösungsvektor wird weiter unten (Abschnitt 2) us Gewohnheit ber wieder ls Zeile geschrieben. Dmit schreibt sich ds linere Gleichungssystem so: A x = c. Ds Produkt A x muss offensichtlich ein Vektor sein. Der Punkt wird oft weggelssen. Die erste Komponente muss die linke Seite der ersten Gleichung von () ergeben, die zweite Komponente muss die linke Seite der zweiten Gleichung von () ergeben, etc. Merkregel dzu: mn knn die Zeilen der Mtrix ebenflls ls Vektoren uffssen, lso die erste Zeile ls die zweite Zeile ls z ( 11, 12,..., 1n ), 1 z ( 21, 22,..., 2n ), etc. 2
4 Dnn erhält mn die linken Seiten von () durch die Sklrprodukte z x, z x etc. 1 2 Wenn mn die Bezeichnungen in x einml festgelegt ht, reicht lso zur Beschreibung der linken Seite einer Gleichung der entsprechende Zeilenvektor und zur Beschreibung ller linken Seiten die Koeffizientenmtrix. Bspl. : ) Sind die Koeffizientenmtrix A = 3 2 0 1 0 1 2 4 7 und die rechte Seite c 0 = 4 1 gegeben, lutet ds entsprechende LGS für die Unbeknnten x = : 3 x 1 - x 2 +2 x 3 = 0 2 x 1-4 x 3 = 4 x 2 +7 x 3 = -1 b) Ds LGS x 2 y + 4 z = 9-2x + y = 2 - y + 2 z = 0 ht die kompkte Schreibweise A x = c mit A = 1 2 0 2 1 1 4 0 2, c 9 = 2 0, x = Die Zeilenvektoren von A sind : z 1 = ( 1, -2, 4 ), z 2 = ( -2, 1, 0 ), z 3 = ( 0, -1, 2 )
5 Def 3 Ds linere Gleichungssystem A x = 0 ( lso c = 0 ) heißt homogen. Ds linere Gleichungssystem A x = c ( lso c 0 ) heißt inhomogen. Der Vektor c 0 heißt uch Inhomogenität. Bem. In den Anwendungen modelliert mn mit einem LGS ds (linere) Verhlten des untersuchten Systems (z.b. ein elektrisches Netzwerk). Ds homogene LGS beschreibt zunächst ds System n sich (die internen Zusmmenhänge). Dher enthält ds homogene System nur Terme, in denen die (System-) Vriblen (z.b. die internen Ströme und Spnnungen) vorkommen. Ds inhomogene LGS enthält uch Störglieder: diese Terme beschreiben den Einfluss der externen Umgebung, der unbhängig von den Systemvriblen ist (Terme, in denen die Systemvriblen nicht vorkommen; z.b. die von ußen eingeprägte Spnnung oder der eingespeiste Strom; dditive Ankopplung). Mthemtisch zulässig sind uch Terme der Art: äußere Größe * Systemvrible (multipliktive Ankopplung). Ein solcher Term gehört dnn zum homogenen Teil des LGS.
6 2. Lösungsverhlten linerer Gleichungssysteme A) Ein homogenes qudrtisches Gleichungssystem A x = 0 ht immer die Lösung x = 0. Diese Lösung heißt dher trivil. Ein homogenes qudrtisches Gleichungssystem knn uch beliebig viele Lösungen hben (eine dvon ist dnn x = 0 ). Die neuen Lösungen heißen nicht-trivil. Solche (unendlich vielen) nicht-trivilen Lösungen existieren genu dnn, wenn (mindestens) eine Gleichung us den nderen hervorgeht. Angenommen, es sei die i-te Gleichung, die us den nderen hervorgeht. D die rechte Seite in llen Gleichungen Null ist, muß mn nur uf die linke Seite chten. Diese linke Seite wird durch den i-ten Zeilenvektor der Koeffizientenmtrix, lso z i, beschrieben und für ihn gilt dnn: er ist eine Linerkombintion der nderen Zeilenvektoren: z i = j z j. ji ji heißt: der Index j nimmt lle möglichen Werte n, nur nicht den Wert i ; dbei können ntürlich viele der j Null sein. Die Zeilenvektoren sind dnn liner bhängig. Bspl. (1) 3 x - 4 y + 2 z = 0 (2) x - 6 y + 4 z = 0 (3) x + y - z = 0 Hier gilt : Gl. (2) = Gl. (1) - 2 * Gl. (3) ; diese Gl. enthält lso keine neuen Bedingungen für die Bestimmung der Unbeknnten: uf diese Gl. knn mn (wenn es nur um die Bestimmung der Unbeknnten geht) verzichten. Ds System ist eigentlich unterbestimmt. Die Koeffizientenmtrix lutet : 3 1 1 4 6 1 2 4 1 Für die Zeilenvektoren gilt: z 2 = z 1-2 z 3 ; sie sind liner bhängig.
7 B) Ein inhomogenes qudrtisches Gleichungssystem A x = c ( lso c 0 ) knn keine, genu eine oder beliebig viele Lösungen hben. Ein solches System ht genu eine Lösung, wenn ds zugehörige homogene Gleichungssystem A x = 0 nur die trivile Lösung ht. Ein solches System ht beliebig viele Lösungen, wenn (mindestens) eine Gleichung us den nderen hervorgeht. Angenommen, dies wäre die i-te Gleichung. Dnn gilt wie oben: z i = Bspl. j z j und zugleich c i = jc j. ji ji (1) 3 x - 4 y + 2 z = 1 (2) x - 6 y + 4 z = -3 (3) x + y - z = 2 Die linke Seite, lso die Koeffizientenmtrix, ist die gleiche wie oben, d.h. z 2 = z 1-2 z 3 und hier gilt uch c 2 = c 1-2 c 3. Gl. (2) geht lso us den nderen hervor: Gl. (2) = Gl. (1) - 2 * Gl. (3). Ein solches System ht keine Lösung, wenn die Gleichungen inkonsistent sind. Dies ist dnn der Fll, wenn z.b. in der i-ten Gleichung die linke Seite us den nderen linken Seiten hervorgeht, die rechte Seite ber nicht; lso: z i = Bspl. jz j, ber c i jc j. ji ji (1) 3 x - 4 y + 2 z = 1 (2) x - 6 y + 4 z = 10 (3) x + y - z = 2 Die linke Seite, lso die Koeffizientenmtrix, ist die gleiche wie oben, d.h. z 2 = z 1-2 z 3, ber c 2 c 1-2 c 3.
8 C) Ein inhomogenes System, ds überbestimmt ist, knn keine, genu eine oder beliebig viele Lösungen hben. Ein inhomogenes System, ds unterbestimmt ist, knn keine oder beliebig viele Lösungen hben. Ds zugehörige homogene System ht zumindest die trivile Lösung. Hinweis: über ds Lösungsverhlten gibt uch die Determinnte der Koeffizientenmtrix Auskunft; s. ds Kpitel über Mtrizen und Determinnten.
9 Bspl. ) (1) x + y = 0 (2) x - y = 1 Ds LGS ht eine eindeutige Lösung : x = (x, y ) = ( ½, - ½ ). Ds zugehörige homogene System ht nur die trivile Lösung x = ( 0, 0 ). Geometrische Interprettion: beiden Gleichungen beschreiben Gerden im R 2, die sich in einem Punkt schneiden. Der gemeinsme Punkt, lso der Schnittpunkt, ist die Lösung des LGS. b) (1) x + y = 2 (2) - 3 x - 3 y = -6 Gl. (2) geht us der nderen Gl. hervor: (Gl. 2) = (-3) * (Gl. 1) ; wir können eine Gl. nch einer Unbeknnten uflösen, z.b. nch x; jeder Lösungsvektor ht dnn die Struktur x = ( x, 2 x). D x beliebig gewählt werden knn, ht ds LGS ht beliebig viele Lösungen: L = { x x = ( x, 2 x) } Geometrische Interprettion: die beiden Gleichungen beschreiben dieselbe Gerde im R 2 ; jeder Punkt uf dieser Gerden löst ds LGS. c) (1) x + y = 2 (2) 3 x - 3 y = -8 Die Gleichungen sind inkonsistent : z 2 = - 3 z 1, ber c 2-3 c 1. Geometrische Interprettion: beiden Gleichungen beschreiben prllele Gerden im R 2 ( kein Schnittpunkt ).
10 Bem. In einem LGS mit 3 Unbeknnten beschreibt jede Gl. eine Ebene im R 3 ( z.b.: x 2 x 3 = 0 beschreibt eine Ebene, die über der Winkelhlbierenden x 2 = x 3 in der x 2 - x 3 Ebene errichtet wird; x 1 ist beliebig ) In einem LGS mit n Unbeknnten beschreibt jede Gl. eine (Hyper-) Ebene im R n. Bspl. d) (1) x + y = 2 (2) x - y = 1 (3) - 3 x - 3 y = -6 Dieses LGS ist überbestimmt, ber (3) geht us (1) hervor : ds LGS ist lso nur scheinbr überbestimmt; us (1) und (2) erhält mn eine eindeutige Lösung. e) (1) x + y = 2 (2) x - y = 1 (3) - 3 x - 3 y = -8 Dieses LGS ist überbestimmt. Die Gl. sind inkonsistent, denn Gl. (3) psst nicht zu (1): ds LGS ht keine Lösung. f) (1) x + y = 2 (2) - 3 x - 3 y = -6 (3) 2 x + 2 y = 4 Dieses LGS ist überbestimmt, ber (2) UND (3) gehen us (1) hervor : ds LGS ist lso nur scheinbr überbestimmt; d (1) ls einzige relevnte Gl. übrig bleibt, ist es sogr unterbestimmt und ht hier beliebig viele Lösungen.