Anlysis I 4. Übungssunde Seven Biln sevenb@suden.ehz.ch biln.uk/eching June 6, 07
Erinnerung Sz. (Prielle Inegrion) f (x) g(x)dx = [ ] b f(x)g(x) f(x) g (x)dx. Sz 6..5 (Subsiuion) Sei f : [, b] R seig, F eine Smmfunkion von f, g : [α, β] R der Klsse C ([α, β]), sowie 0 in [α, β], so dss g([ 0, ]) [, b]. Dnn gil: 0 F (g())g ()d = 0 f(g())g ()d = g( ) g( 0 ) f(x)dx. Bemerkung. Miernchsformel (uswendig) Inegrion (III) x + bx + c = 0 x, = b ± b 4c Bemerkung. (Subsiuion) Folgend wird ufgelise bei welchen Funkionen welche Subsiuionen nüzlich sein können: (i) e x, sinh(x), cosh(x) Subsiuion: = e x, dx = d, sinh(x) =, cosh(x) = + (ii) log(x) Subsiuion: = log(x), x = e, dx = e d (iii) x + b, subsiuiere die Wurzel (m besen im Nenner) Subsiuion: x, x + = x; b x = b x (iv) cos (x), sin (x),..., n(x) Subsiuion: = n(x), dx = + d, sin (x) = +, cos (x) = + (v) cos(x), sin(x), cos 3 (x),... Subsiuion: = n ( ) x, dx = d, sin(x) =, cos(x) = + + + (vi) x + bx + c im Zähler, benuze sin (x) + cos (x) = oder cosh(x) sinh(x) = x dx: subsuiere mi x = sin(x), cos(x) x dx: subsuiere mi x = cosh(x) x + dx: subsuiere mi x = sinh(x) (vii) + b x Subsiuion: x = n(), dx = b d oder x = sinh(), dx = cosh() d b cos () b b (viii) b x Subsiuion: x = b cos(), dx = b sin() cos () d oder x = b cosh(), dx = b sinh()d
Bemerkung. In der Serie Aufgbe wird meisens die Subsiuion ngeben. Die Bsisprüfung wird whrscheinlich ähnlich ussehen, wobei die Subsiuion mi hoher Whrscheinlichkei dnn in der offiziellen Zusmmenfssung zu finden sein wird. Ds bedeue, dss ihr bei.b) von n ( ) = u selbs uf (v) von der obigen Bemerkung kommen solle. Deshlb finde ihr folgend die Herleiung. Vorusgesez wird: sin (x) + cos (x) = () sin(x) = sin(x) cos(x) () n(x) = sin(x) cos(x) (3) 3
( ) n = sin( ) cos ( ) ( ) ( ) ( ) sin = n cos ( ) ( ) () = n sin ) ) ( )) ) ( ( ( sin = n sin ( ) ( ) ( ) = n n sin ) ) ) ( ( ( ( sin + n sin = n ( ) ( ( )) ( ) sin + n = n ( ) ( ) sin = n + n ( ) ( ) n ( ) sin = + n ( ) (4) ( ) ( ) () sin() = sin cos ( ) ( ) = sin sin (4) n ( ) ( ) = + n ( ) n + n ( ) n ( ) = + n ( ) = n( ) ) + n ( Subs. n( )=u = sin(u) = u + u nlog = cos(u) = u + u + n ( Wie ihr sieh, is ds meg hässlich, mi Null Lerneffek, d.h. ihr seid gefrg den Hupssisenen zu überzeugen, dss er für euch jeweils die vollsändige Subsiuion uf die offizielle Zusmmenfssung schreib, wie in der obigen Bemerkung. Bemerkung. Wenn wir zwei Brüche hben und sie ddieren, müssen wir für ds einen gemeinsmen ) 4
Nenner finden: x x + + x + = x (x + ) + (x + ) (x + )(x + ) = 3x + x + (x + )(x + ) Jez wollen wir die Richung umkehren und von rechs nch links gehen, ber wie funkionier ds? Mi Hilfe von der Prilbruchzerlegung! (vergleiche mi Sz 6..6 us dem Skrip) Kochrezep für die Prilbruchzerlegung (PBZ) Gegeben: Eine rionle Funkion f(x) = p(x) q(x) Gefrg: Prilbruchzerlegung von f(x) (i) Flls deg(p) deg(q), dnn berechne die Polynomdivision und erhlen die folgende Form: f(x) = p(x) q(x) = q(x)s(x) + p(x) q(x) }{{} Reserm Flls deg(p) < deg(q), dnn seze p(x) = p(x). (ii) Suche die Nullsellen von q(x) und fkorisiere q(x). Bemerkung. Für den Fll, dss ihr die Nullsellen nich direk sieh, könn ihr hier die Miernchsformel oder ein Trick verwenden, indem ihr die Nullselle erre (ese:,,,, ec.) und dnn eine Polynomdivision durchführ. (iii) Benuze den Ansz zur Prilbruchzerlegung: q(x) =(x x 0 )(x x ) k (x + x + b ) f(x) = p(x) q(x) = A 0 (x x 0 ) +... + A n +... (einfche Nullsellen) (x x n ) fkorisieres q(x) vom Schri (ii) + A (x x 0 ) +... + A k (x x 0 ) + B +... (mehrfche Nullsellen) k (x x ) + A x + B (x + x + b ) +... + A k x + B k +... (komplexe, mehrfche Nullsellen) (x + x + b ) k (iv) Bringe den gefundenen Ansz uf einen gemeinsmen Nenner, d.h. der Nenner is q(x) und führe einen Koeffizienenvergleich durch (#Unbeknne = deg(q)). Beispiel : (Prilbruchzerlegung ligh us dem 4.PDF) Zerlege f(x) = (x+)(x ). 5
Lösung:! = A (x + )(x ) x + + B x + A(x ) + B(x + ) = (x + )(x ) (A + B)x + (B A) = (x + )(x ) Koeffizienenvergleich:! = (A + B)x + (B A) A + B = 0 B A = A = B B A = ( ) A= B = B ( B) = 3B = B = 3 ( ) B= 3 = A = 3 = (x + )(x ) = 3 x + + 3 x + = 3(x + ) + 3(x + ) Beispiel : Zerlege: f(x) = x4 4x 3 +34x +x 3x 3 x +3x+. Lösung: (i) deg(p) > deg(q) mi: p(x) = x 4 4x 3 + 34x + x q(x) = 3x 3 x + 3x + Also müssen wir eine Polynomdivision durchführen: ( x 4 4x 3 + 34x + x ) : ( 3x 3 x + 3x + ) = 7x + 3x + 8x x 4 + 4x 3 x 4x 3x 3 x + 3x + 3x + 8x Wir definieren p(x) = 3x + 8x. (ii) Suche die Nullsellen von q(x) und fkorisiere: f(x) = q(x)s(x) + p(x) q(x) = ( 3x3 x 3x + 8x + 3x + ) 7x + (x )(x + )(3x + ) }{{} Reserm 6
(iii) Benuze den Ansz für den Reserm: A x + B x + + C 3x + (iv) Bringe den gefundenen Ansz uf einen gemeinsmen Nenner: A x + B x + + C 3x + = A(x + )(3x + ) + B(x )(3x + ) + C(x )(x + ) (x )(x + )(3x + ) = (3A + 3B + C)x + (5A B)x + (A B C) (x )(x + )(3x + ) Koeffizienenvergleich: 3x + 8x 3x 3 x + 3x + = 3x + 8x (x )(x + )(3x + )! = (3A + 3B + C)x + (5A B)x + (A B C) (x )(x + )(3x + ) Poenz von x Ansz gegebenes Zählerpolynom x : 3A + 3B + C = 3 x : 5A B = 8 x 0 : A B C = + Löse dieses Gleichungssysem, hier könn ihr die Mehoden us der lineren Algebr benuzen. Dmi erhle ihr die folgende Lösung: A = B = C = Lezendlich erhlen wir somi die folgende Prilbruchzerlegung: 39x 5 50x 4 + 6x 3 + 5x + 3x 3x 3 x + 3x + 3x + 8x = 3x 3 x + 3x + = x x + 3x + Somi erhlen wir ls Gesmlösung: f(x) = ( 3x 3 x + 3x + ) 7x x x + 3x +. Definiion. (Gmmfunkion) Die Gmmfunkion is für reelle α > 0 definier durch: Γ(α) = 0 7 α e d.
Definiion. (Guss sche Inegrl) 0 e d = π. Definiion 6.4. (Sruwe Skrip) Sei f : (, b) R über jedes kompke Inervll [c, d] (, b) Riemnn-inegrbel. f heiss über (,b) uneigenlich Riemnn-inegrbel, flls exisier. f dx := lim c +, d b d c f dx Definiion. (Michels: Uneigenliche Inegrle vom Typ ) (i) Sei f(x) uf [, ) seig. Dnn sez mn R f(x) dx := lim f(x) dx, flls der Grenzwer exisier. Dieser Wer heiss uneigenliches Inegrl. (ii) Sei f(x) uf (, b] seig. Dnn sez mn f(x) dx := lim R R f(x) dx, flls der Grenzwer exisier. Dieser Wer heiss uneigenliches Inegrl. Definiion. (Michels: Uneigenliche Inegrle vom Typ b) (i) Sei f(x) uf (, b] seig. Dnn sez mn f(x) dx := lim f(x) dx, ε 0 + +ε flls der Grenzwer exisier. Dieser Wer heiss uneigenliches Inegrl. (ii) Sei f(x) uf [, b) seig. Dnn sez mn f(x) dx := lim ε 0 + ε f(x) dx, flls der Grenzwer exisier. Dieser Wer heiss uneigenliches Inegrl. Sz 6.4. Sei f : [, ) R + monoon fllend. Dnn konvergier die Reihe wenn f dx konvergier und in diesem Fll gil: k= f(k) genu dnn, 0 f(k) k= f dx f(). 8
. Konvergenzkrierien für uneigenliche Inegrle Bemerkung. (Krierium : Direke Berechnung & Definiion) Einige uneigenliche Inegrle besizen die Eigenschf, dss mn ds (unbesimme) inegrl explizi berechnen knn. In diesen Siuionen zeig mn die Konvergenz des Inegrls mi Hilfe der Definiion 6.4.. Beispiel 3. Zeige die Konvergenz von Lösung: Flls p = : dx. x p Also divergier ds Inegrl. Flls p > : R Def. dx = lim x x dx = lim [log x ]R = lim log R log = lim log R = Def. dx = lim xp [ = lim R x p dx (p )x p ] R = lim (p )R p (p ) p = lim = lim p >0 = (p )R + p p ( ) p R + p ( 0 + ) p = p < Also konvergier ds Inegrl. 9
Flls p < : Also divergier ds Inegrl. R Def. dx = lim xp =... = lim p <0 x dx p p = ( + ) p }{{} <0 = ( ) R + p Zusmmenfssend hben wir die folgende wichige Merkregel hergeleie: dx konvergier p >. xp Sz. (Krierium : Vergleichskrierium) Es seien f, g uf [, ) seig mi (i) Is (ii) Is g(x) dx konvergen, so uch f(x) dx divergen, so uch Sz. (Krierium b: Vergleichskrierium) Es seien f, g uf (, b] seig mi (i) Is (ii) Is g(x) dx konvergen, so uch f(x) dx divergen, so uch 0 f(x) g(x) x [, ) f(x) dx, g(x) dx. 0 f(x) g(x) x (, b] f(x) dx, g(x) dx. Sz. (Krierium 3: Absolue Konvergenz) f(x) dx < f(x) dx <. Sz. (Krierium 3b: Absolue Konvergenz) f(x) dx < f(x) dx <. Sz. (Krierium 4: Grenzweres) 0
Tes Tes Tes 3 (i) f(x), g(x) uf [, ) seig f(x) (ii) lim = A x g(x) dnn g(x) dx < konvergier f(x) dx konvergier. (i) f(x) uf [, ) seig (ii) lim x x p f(x) = A für ein p >. dnn konvergier (i) f(x) uf [, ) seig (ii) lim x xf(x) = A 0,. dnn divergier Sz. (Krierium 4b: Grenzweres) Tes Tes Tes 3 (ii) dnn (ii) f(x) dx und somi uch f(x) dx (bsolue Konvergenz) f(x) dx. (Beche: Tes 3 versg, flls A = 0). (i) f(x), g(x) uf (, b] seig f(x) lim = A x + g(x) g(x) dx < konvergier (i) f(x) uf (, b] seig lim x +(x )p f(x) = A für ein 0 < p <. dnn konvergier (ii) (i) f(x) uf (, b] seig f(x) dx und somi uch lim x +(x )f(x) = A 0,. dnn divergier f(x) dx konvergier. f(x) dx (bsolue Konvergenz) f(x) dx. (Beche: Tes 3 versg, flls A = 0). Sz. (Krierium 5: Leibniz-Krierium für uneigenliche Inegrle) Sei f(x) eine seige Funkion uf [, ). Is die Funkion f(x) monoon fllend und gil f(x) = 0, so konvergieren die uneigenlichen Inegrle lim x f(x) sin(x) dx bzw. f(x) cos(x) dx. Sz. (Krierium 5b: Leibniz-Krierium für uneigenliche Inegrle) Sei f(x) eine seige Funkion uf (, b]. Is die Funkion f(x)(x ) monoon wchsend
und gil lim x + f(x)(x ) = 0, so konvergieren die uneigenlichen Inegrle ( ) f(x) sin dx x bzw. ( ) f(x) cos dx. x Sz. (Krierium 6b: Beschränke Funkion uf beschränkem Inervll) Es sei f uf (, b] seig. Gil lim f(x) = A, x + so konvergier ds Inegrl f(x)dx.