Der Gauß - Algorithmus

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 Der Guß - Algorithmus Der Algorithmus von Guss ist ds universelle Verfhren zur Lösung beliebiger linerer Gleichungssysteme. Einführungsbeispiel: 7x+ x 5x = Drei Gleichungen x x + 4x = 5 mit drei Vriblen 4x + x x = Rechenschem: Die Umformung soll ergeben: x x x x x x 7 5 * * * * 4 5 * * * 4 * * Es wird zeilenweise gerbeitet. Zeilen drf mn: - vertuschen - mit einer Zhl multiplizieren - durch eine Zhl dividieren - ddieren - subtrhieren * bedeutet irgendeine Zhl Splten dürfen ebenflls vertuscht werden, wenn die Vrible x i mitgenommen wird x x x 7 5 4 4 5 8 4 7 8 48 8 56 4 II + I 8 7 7 III + I 8 48 : 4 44 9 9 :4 9 4 4 7 5 9 9 4 4 7 5 9 47 47 :9 9 45 45 III + II 7 5 4 4 Ermittlung der Lösung durch Rückwärtseinsetzen 4x = 4 x = x + = x = x = 7x + 5 = 7x = 7 x = L = ; ; Probe: 7 (-) + 5 = ( w) ( ) + 4 = 5 ( w) 4 ( ) + = ( w) Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 Hinweis für blutige Anfänger: Die Vorgehensweise knn in einzelne kleine Schritte zerlegt werden.. Brüche vermeiden durch zeilenweise Multipliktion mit dem Huptnenner.. Die erste Zhl in der ersten Zeile soll positiv sein (ev. mit - multiplizieren).. Sorgen Sie durch Multipliktion oder Division dfür, dss in der ersten Splte lle Zhlen den gleichen Betrg hben. In Zeile und soll die erste Zhl negtiv sein. 4. Addiere zur. und zur. Zeile jeweils die erste. Ddurch entstehen in der ersten Splte Nullen. 5. Die zweite Zhl in der. Zeile soll positiv sein (ev. mit - multiplizieren). 6. Sorgen Sie durch Multipliktion oder Division dfür, dss b der. Zeile in der zweiten Splte lle Zhlen den gleichen Betrg hben. In Zeile soll die zweite Zhl negtiv sein. 7. Addieren Sie zur. Zeile die. Zeile. Ddurch entsteht in der. Zeile die. Null. 8. Ermittlung der Lösung durch Rückwärts einsetzen. Die gleiche Vorgehensweise knn uch uf Systeme mit mehr ls drei Gleichungen übertrgen werden. Die Umformungen knn mn uch nders durchführen. Ds wie ist gnz dem Geschick des Mthemtikers überlssen. Erst durch intensive Übung gelngt mn zu einem optimlen Weg. Brüche sind möglichst zu vermeiden um keine unnötigen Fehler zu riskieren. Wer fit ist, knn uch mehrere Umformungen gleichzeitig mchen, ddurch ist weniger zu schreiben, die Fehlerquote steigt ber. tusche: x x x 7 5 4 5 I II 4 4 5 7 5 II - 7 I 4 III + 4 I -4-5 - 9 9-9 -9 4 5 99 7 7 : 9 99 9 9 III + II -4-5 - - - Ermittlung der Lösung durch Rückwärtseinsetzen x = x = x + = y = x = x + 4 = 5 x = 7 x = L = ; ; Probe: 7 ( ) + 5 = ( w) ( ) + 4 = 5 ( w) 4 ( ) + = ( w) Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 Beispiel : (leicht) x x + 4x = 8 x + 4x 5x = 4 4x 6x + x = x x x 4 8 6 4 5 4 4 4 6 8 4 48 : 6 6 6 II - I 8 9 III - I - 4 8 4-44 -64-5 -45 Ermittlung der Lösung durch Rückwärtseinsetzen 5x = 45 x = 4x 44 = 64 4x = 68 x = x + 4 = 8 x = x = L = ; ; Probe: + = + = + = ( w) 4 8 w 4 5 4 w 4 6 Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 4 7..9 Beispiel : (mittelschwer) x + x 4x = 4x 5x + x = 9 8x + 7x 9x = x x x 4 8 4 5 9 6 8 7 9 4 6 6 : 8 4 8 54 II - I 4 7 9 III - I -4 - -46 5 7 : II III 5 5 55 :5-4 - - 5 5 4 5 : 5 5 III + II 4 48 88 Ermittlung der Lösung durch Rückwärtseinsetzen 48x = 88 x = 6 x + 6 = x = 5 x + 5 4 6 = x = x = 4 L = 4 ; 5 ; 6 Probe: + = 5 5+ 6 = 9 ( w) + = 4 5 4 6 w 4 4 8 4 7 5 9 6 w Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: 4 von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 5 7..9 Beispiel : (schwer) 4 x x + x = 4 5 8 x+ x + x = 4 8 5 4 x x + x = 8 5 4 Ermittlung der Lösung durch Rückwärtseinsetzen 58x = 4 x = 4 6x 9 4 = 6 6x = 5 x = x + 5 4 = 6 x = x = L = ; ; 4 Probe: 4 + 4 = 4 5 8 5 6+ 5 = 4( w) + + 4 = 4 8 5 5 5 + + 8 = ( w ) 4 + 4 = 8 5 4 8 + = 8 w x x x 4 5 8 4 4 4 8 5 4 4 5 4 8 5 6 5 8 9 8 6 5 6 5 4 84 8 9 : 4 64 76 II - I 4 5 75 4 III - I 5 6 54 6 544 : 4 4 5 48 : 5 6 6 9 6 78 5 6 5 6 68 77 768 : 68 75 6 III - II - 5 6 6-9 6-58 -4 Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: 5 von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 6 7..9 Anwendung des Guß- Algorithmus zur Berechnung der Funktionsgleichung einer gnzrtionlen Funktion von der 4 Punkte beknnt sind. G Ausführlicher Guß- Algorithmus f x = x + x + x+ P 4 f = + + + = 4 P f = 8 + 4 + + = P 4 4 f 4 = 64 + 6 + 4 + = 4 P 5 f 5 = 5 + 5 + 5 + = 4 4 4 8 II I 4 6 64 4 III I 5 5 5 IV I 4 7 5 6 III II 4 4 4 6 IV 4 II 4 7 = = 6 + 4 = 6 6 + 4 = 6 4 6 = 6 : 6 = 6 + + 7 = 8+ 7 = = + = 9 6 4 6 + + + = 4 96 4 IV III + 9 6+ = 4 4 + 4 = 4 4 = 7 6 4 6 f x = x 6x + 9x Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: 6 von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7 7..9 G Ausführlicher Guß- Algorithmus f x = x + x + x+ P f() = + + + = 9 9 P f = + + = P 8 f = 8 + 4 + = 8 5 5 P4 f ( ) = 7 + 9 + = 9 4 8 8 9 7 5 9 II I 4 8 6 6 III I 6 8 54 5 IV I 4 4 : 6 6 8 7 : 8 6 56 6 : 4 6 9 III + II 4 4 4 IV + II 4 4 6 IV III 4 4 4 4 = 4 = 4 = 4 = + 4 = : = + = + = = : = 6 + + + = + + = 7 = + 7 = 4 : = f( x) = x + x 6x Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: 7 von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8 7..9 G Ausführlicher Guß- Algorithmus f x = x + x + x+ P 6 f = + + = 6 P f = 8 + 4 + + = P 4 f 4 = 64 + 6 + 4 + = P 6 9 f 6 = 6 + 6 + 5 + = 9 4 6 4 8 II I 4 6 64 III I 6 6 6 9 IV I 6 9 7 : 5 5 65 5 :5 7 5 7 7 :7 6 9 III II 5 IV II 6 9 8 4 8 8 IV III 6 9 8 8 8 8 = 8 = + = 8 + = 8 = 8 : = 9 + + = 9 9+ = 9 6 = 9 + 6 = 5 + = 6 5 9 = 6 5 = 6 + 5 = 9 f x = x 9x + 5x+ 9 Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: 8 von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 9 7..9 G4 Ausführlicher Guß- Algorithmus f x = x + x + x+ P 7 f = + + = 7 P 6 f = 8 + 4 + = 6 P f = 7 + 9 + + = P f = 7 + 9 + = 4 7 4 8 6 II I 9 7 III I 9 7 IV I 7 7 4 8 8 6 III + 4 II 8 6 9 IV II 7 7 = = = 7 = 7 + + 4 7 = 6 : = + 7 = 7 = 5 = + 5 = 4 : = 4 + = 7 = 7 + = 7 = 4 Die Funktionsgleichung: f ( x) = x x 4x + 4 Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: 9 von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 G5 Ausführlicher Guß- Algorithmus f x = x + x + x+ P f = 8 + 4 + + = P 4 44 f 4 = 64 + 6 + 4 + = 44 P 4 4 f 4 = 64 + 6 4 + = 4 P 8 4 f 8 = 5 + 64 + 8 + = 4 4 4 8 88 = 7 = 4 4 6 64 44 II I 4 6 64 4 III I 48 + 96 = 48 8 64 5 4 IV I 48 4 = 48 + 4 4 8 56 48 = 7 : 48 = 6 7 8 III + II 6 6 54 8 IV II 4 8 56 48 96 48 4 6 48 IV III 4 8 56 48 96 48 88 7 + + 56 = + 8 4 = + 4 = 4 = 8 : = 9 + + 4 + 8 = + 8+ 6 = + = = Die Funktionsgleichung: f ( x) = x + x + 9x 4 Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 G6 Ausführlicher Guß- Algorithmus f x = x + x + x+ P f = + + + = P f = + + = P 6 f = 8 + 4 + + = 6 P 4 f = 7 + 9 + = 4 4 II I 4 8 6 III I 9 7 4 IV I 5 = 5 = + = 5 7 6 III + II + = 5 = 4 8 8 4 = = + 6 5 : = = 8 4 :8 5 IV III 5 5 5 + + + = + + = + 4 = 4 = 4 f x = x + x 4 Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 G7 Ausführlicher Guß- Algorithmus f x = x + x + x+ P f = + + + = P f = 8 + 4 + + = P 4 f = 8 + 4 + = 4 P 9 f = 7 + 9 + + = 9 4 = = 4 8 II I 4 8 4 III I + = 9 7 9 IV I + = = : = 7 9 III+ II + + 7 = 8 6 8 IV II + 7 = + 4 = 4 = 5 7 + + + = IV III 5 + = 6 5 = + 5 = 6 7 f x = x x 5x+ 6 Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 G8 Ausführlicher Guß- Algorithmus f x = x + x + x+ P 6 f = + + + = 6 P 4 f = 7 + 9 + + = 4 45 45 P f 8 = + + = 8 4 8 77 7 9 77 P 4 f 8 = + + = 8 4 8 6 9 7 4 45 4 8 8 8 9 7 77 4 8 8 8 = = 6 9 7 4 II I 7 = 8 4 45 III 8 I + 7 = 7 8 8 7 77 IV 8 I = : = 5 6 8 6 + 8 + 6 = 6 9 III + 6 II 4 + 6 = 5 5 IV + II 4 = + 4 6 = 4 : = 8 6 4 47 6 : + + + = 6 9 5 5 : 45 6 + 5+ = 6 8 6 = 6 + = 8 7 5 5 IV III f( x) = x 5x + x+ 8 6 8 6 7 Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 4 7..9 G9 Ausführlicher Guß- Algorithmus f( x) = x + x + x+ 9 9 P f() = + + + = P f = + + = 5 5 P f ( ) 7 9 = + + + = 5 5 5 5 5 P 4 8 f 8 = + + = 8 4 9 8 8 9 7 5 8 5 5 5 4 8 8 8 8 8 8 8 6 8 8 8 8 44 II I 8 4 7 6 III I 8 5 5 64 IV I 8 8 8 8 6 :4 6 6 8 :4 6 64 8 6 : 4 8 4 8 :7 9 4 4 4 6 5 4 III + II 4 6 9 4 IV II 9 4 4 6 48 4 : 8 6 5 4 : 9 4 4 6 5 8 IV III 9 4 4 6 = : = + 6 = + 6 = 6 = : = 4 4 = 4 4 = + 4 4 = 4 : 4 = 6 + + + = 9 + = 9 = 9 + = 4 : = f( x) = x x 6x+ Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: 4 von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 5 7..9 G Ausführlicher Guß- Algorithmus f x = x + x + x+ P 5 f = + + + = 5 P 49 f = + + = 49 P 7 f = 7 + 9 + + = 7 P 5 5 f 5 = 5 + 5 + 5 + = 5 4 5 49 II I 9 7 7 III I 5 5 5 5 IV I 5 74 8 6 III+ II 4 4 4 IV+ II 5 74 8 4 7 4 68 IV III 5 74 8 4 7 48 48 48 = 48 = 8 + 4 = 7 8 + 4 = 7 4 8 = 96 : 8 = = 74 = 74 + = 7 : = 6 + + + = 5 + 6 + = 5 + 5 = 5 5 = f x = x x + 6x Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: 5 von 6

R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 6 7..9 Aufgben zur Übung Zur Ergebniskontrolle ist die Probe durchzuführen.. 5. 7. 8. x + x + x = 8 x + x + x = L = ;5 ;7 x + x + x = x + x x = 7 x x + x = L = 5;; x + x + x = 7 x + x + x = 9 x + x + 4x = 5 L= 5;; x + x + 9x = x + x x + x = 7 4 x + x 4x 5x = 6 4 x x + x = 6 x + 4x 6x + x = 4 x + x 4x + x = 9 4 x + 4x 8x + x = 4 x 6x x + x = 4 x = 5 4. 4. 6. x + x + x = x + x + x = L = ; ; x + x + 4x = 4x + x x = 8 5x + 4x 6x = 8 L = ; ;,5 x + x + 4x = 9 x + x + x = 9 x x x x x + x + x = 4 L= 5;; x + x + 6x = 4 7 4 5 6 L = ; ;; 6 4 6 x x x x 4 4 9 4 8 L = ; ;;5 6 5 Erstellt von R Brinkmnn p guss_lg.doc 7..9 : Seite: 6 von 6