Rottionskörper mit Integrlrechnung W. Kippels 24. Februr 27 Inhltsverzeichnis Grundlgen 2. Herleitung der Berechnungsformel...................... 2.2 Beispiele.................................... 3.2. Beispiel............................... 3.2.2 Beispiel 2............................... 5 2 Übungsufgben 7 2. Aufgbe................................... 7 2.2 Aufgbe 2................................... 7 2.3 Aufgbe 3................................... 7 2.4 Aufgbe 4................................... 8 2.5 Aufgbe 5................................... 8 2.6 Aufgbe 6................................... 8 2.7 Aufgbe 7................................... 9 3 Lösungen 3. Aufgbe................................... 3.2 Aufgbe 2................................... 3.3 Aufgbe 3................................... 2 3.4 Aufgbe 4................................... 4 3.5 Aufgbe 5................................... 6 3.6 Aufgbe 6................................... 7 3.7 Aufgbe 7................................... 9
Grundlgen Eine von vielen) Anwendungen der Integrlrechnung sind Rottionskörper. Drunter versteht mn Körper, die durch Rottion eines Funktionsgrphen um die Abszisse -Achse) entstehen. Mn könnte sie uf der Drehmschine herstellen, indem der Drehmeißel den Funktionsgrphen entlng fährt. Nebenstehend ist ein Beispiel dzu drgestellt. Die Oberknte stellt eine beliebige Funktion f) dr. Durch Rottion um die -Achse beschreibt dieser Funktionsgrph die Oberfläche des Drehkörpers. Links und rechts ist der Drehkörper durch einen senkrechten Schnitt begrenzt.. Herleitung der Berechnungsformel Nebenstehend ist der Rottionskörper in der Seitennsicht drgestellt. Die Oberknte stellt die Funktion f) dr. Spiegelbildlich entsteht dzu durch die Rottion die untere Begrenzungslinie, die mn durch f) beschreiben könnte. = f) b Nun stellt mn sich vor, dss der Rottionskörper durch eine Anzhl zlinderförmiger Scheiben ngenähert wird. Eine solche Scheibe ist in der Skizze stellvertretend für lle gelb eingezeichnet. Ihr Volumen ist ds Produkt us ihrer Höhe hier und ihrer kreisförmigen Grundfläche. Dbei ist der Rdius der -Wert, der zum betrchteten -Wert gehört, n der die Scheibe betrchtet wird. Demnch knn die Kreisfläche so bestimmt werden: 2 A r 2 2 f)) f 2 ) Ds Volumen der Scheibe ist dnn: V = A h f 2 ) 2
Ds Volumen des Drehkörpers knn mn sich nun zusmmengesetzt vorstellen us gnz vielen solcher Scheiben. Ds Gesmtvolumen ist dnn die Summe ller Scheibenvolumen: V = b V ) = = b π f 2 ) = Mcht mn nun den Grenzwertübergng mit, dmit ds Ergebnis genuer wird, dnn erhält mn ein Integrl. V = lim b π f 2 ) = = b π f 2 ) d Wenn mn nun noch ds π us dem Integrl herusnimmt, erhält mn zusmmengefsst die Formel für einen Rottionskörper in den Grenzen von bis b: V b f 2 ) d.2 Beispiele.2. Beispiel Eine Prbel mit der Funktionsgleichung f) = 2 + 5 4 wird im Bereich zwischen den Nullstellen um die - Achse rotiert, wie nebenstehend drgestellt. Bestimmen Sie ds Volumen ds dbei entstehenden Rottionskörpers! 2 3 4 5 Lösung: Zunächst müssen die Integrtionsgrenzen bestimmt werden. Ds sind die Nullstellen der gegebenen Funktion f). Dzu wird die Funktion gleich Null gesetzt. f = 2 + 5 4 = ) 2 5 + 4 = /2 = 5 25 2 ± 4 4 /2 = 5 2 ± 3 2 = 2 = 4 3
Dmit sind die Integrtionsgrenzen beknnt, ds Volumenintegrl knn ufgestellt werden. V 2 4 4 4 f 2 ) d 2 + 5 4) 2 d 4 5 3 + 4 2 5 3 + 25 2 2 + 4 2 2 + 6 d 4 3 + 33 2 4 + 6 d [ 5 5 5 ] 4 2 4 + 3 2 2 + 6 [ 5 45 5 ] 2 44 + 4 3 2 4 2 + 6 4 2,8 4,7) 8, V 25,447 [ 5 5 5 ]) 2 4 + 3 2 2 + 6 Ergebnis: Ds Volumen beträgt ungefähr 25,447 Volumeneinheiten. 4
.2.2 Beispiel 2 Ein zlinderförmiges Drehteil mit einer Länge von 6 mm und einem Durchmesser von 2 mm ht in der Mitte einen prbelförmigen Wulst, wie nebenstehend drgestellt. Der Wulst ist mm breit und ht einen Außendurchmesser von 35 mm. Ø35 Ø2 Ds Drehteil soll us Drehsthl S235JR mit der Dichte ρ = 7,85 g gefertigt werden. Welche Msse ht ds cm 3 Drehteil? 6 Lösung: Für die Lösung muss mn zunächst ein pssendes Koordintensstem in ds Drehteil legen. Dbei muss die Abszisse in die Rottionschse gelegt werden. Wo die Ordinte hingelegt wird, ist zweitrngig, es ist ber zweckmäßig, sie in diesem Beispiel genu in die Mitte zu legen. Der Rottionskörper knn nun in drei Teile zerlegt werden, ds blu mrkierte Mittelteil mit der prbelförmigen Begrenzungslinie und die beiden gelb mrkierten zlindrischen Rndstücke. Diese Rndstücke können zu einem einzigen Zlinder mit 5 mm Länge und 2 mm Durchmesser zusmmengelegt und seprt uf klssische Weise berechnet werden. Für ds Mittelteil kommt die Integrlformel für Rottionskörper zum Einstz. Innerhlb der Rechnung wird in Millimetern gerechnet, die Einheit ber us Vereinfchungsgründen weggelssen. Nun ist us den gegebenen Abmessungen die Funktionsgleichung für die obere Prbel zu bestimmen. Wegen der smmetrischen Lge zur Ordinte lutet die llgemeine Form nicht: f) = 2 + b + c sondern: f) = 2 + c. D hierbei der Prmeter c den -Achsenbschnitt drstellt, knn dieser Wert ls hlber Durchmesser des Wulstes übernommen werden: c = 35 2 = 7,5 Dmit lutet die Funktionsgleichung: f) = 2 + 7,5 Es muss nur noch der Prmeter bestimmt werden. Dzu knn mn beispielsweise den rechten oberen Rndpunkt des Mittelteiles verwenden: P 5; ). Wir setzen diese Koordinten in die Funktionsgleichung für und ein: 5
f P ) = P 5 2 + 7,5 = 7,5 25 = 7,5 : 25 =,3 Hiermit lutet die Funkktionsgleichung: f) =,3 2 + 7,5 Jetzt knn mit dieser Funktionsgleichung ds Volumen des Mittelteils bestimmt werden. V W ulst 2 5 5 5 5 f 2 ) d,3 2 + 7,5 ) 2 d,9 4,5 2 + 36,25 d [,8 5 3,5 3 + 36,25 ] 5 5,8 5 5 3,5 5 3 + 36,25 5 ),8 5) 5 3,5 5) 3 + 36,25 5) )) ) 5 5) V W ulst = 2 3π Ds Gesmtvolumen der beiden gelb mrkierten) Zlinder wird berechnet: V Zl r 2 h 2 5 V Zl = 5 π Ds Volumen des gesmten Drehteils ist dnn die Summe beider Teilvolumen. Ds Volumen beträgt: V 22 994 mm 3 V = V Zl + V W ulst = 5 π + 2 3π V = 7 3π V 22 994 Jetzt knn die gesuchte Msse bereechnet werden. Zusmmengefsst: m 8,29 g m = ρ V 7,85 g 22 994 mm3 cm3 m 8,29 g 6
2 Übungsufgben 2. Aufgbe Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers, der sich ergibt, wenn der Funktionsgrph der Funktion f) = 2 + 6 5 um die Abszisse -Achse) rotiert. Die linke und rechte Begrenzung des Körpers ergibt sich durch die Nullstellen der gegebenen Funktion f). 2.2 Aufgbe 2 Berechnen Sie ds Volumen des Elipsoides, der sich ergibt, wenn der Funktionsgrph der Funktion f) = 4 2 + 2 7 4 um die Abszisse -Achse) rotiert. Die linke und rechte Begrenzung des Körpers ergibt sich durch die Nullstellen der gegebenen Funktion f). 2.3 Aufgbe 3 Eine Blechschüssel mit einem prbelförmigen Querschnitt ht einen Durchmesser von 4 cm. Die zugehörige Funktionsgleichung in der Einheit Dezimeter lutet: f) =,25 2 Wieviele Liter Wsser können drin eingefüllt werden? 7
2.4 Aufgbe 4 Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers, der sich ergibt, wenn der Funktionsgrph der Funktion f) = 3 9 2 + 24 6 um die Abszisse -Achse) rotiert. Die linke und rechte Begrenzung des Körpers ergibt sich durch die Nullstellen der gegebenen Funktion f). 2.5 Aufgbe 5 Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers, der sich ergibt, wenn der Funktionsgrph der Funktion f) = 4 8 3 + 6 2 um die Abszisse -Achse) rotiert. Die linke und rechte Begrenzung des Körpers ergibt sich durch die Nullstellen der gegebenen Funktion f). 2.6 Aufgbe 6 Eine Riemenscheibe soll für den Flchriemen-Antrieb eines mechnischen Hmmers im Schmiedemuseum ngefertigt werden. Die Riemenscheibe ht eine Dicke von mm. Der Außendurchmesser beträgt 8 mm. In der Mitte ht sie eine Bohrung mit einem Durchmesser von mm. Hier wird sie uf die Antriebswelle des Hmmers ufgesetzt. Die Riemenscheibe soll us Gusseisen mit einer Dichte von ρ = 7,2 g gefertigt cm 3 werden. Beknntlich muss eine Riemenscheibe für Flchriemen m Außendurchmesser eine bllige Kontur ufweisen, dmit der Riemen nicht bspringt. Der Durchmesser m Rnd dieser Kontur beträgt 75 mm. Die Kontur wird durch folgende Funktion beschrieben: f) = 4 + b Diese Funktion gilt für den Fll, dss ds Koordintensstem mit der Abszisse -Achse) uf die Rottionschse und die Ordinte -Achse) mittig in die Riemenscheibe gelegt wird. Die Einheit ist dbei Millimeter. Welche Msse ht die Riemenscheibe? Ø Ø75 Ø8 8
2.7 Aufgbe 7 Für den Anschluss einer Goubeu- Leitung wird ein Trichter mit einer eponentiellen Innenform benötigt. Dieser Trichter mit einer Länge von 4 mm soll us Messing hergestellt werden. Die Außenkontur des Trichters ist ein Prmidenstumpf mit 6 mm Durchmesser m linken und 3 mm Durchmesser m rechten Rnd. Die verwendete Messinglegierung CuZn5 ht eine Dichte von ρ = 8,86 g cm 3. Ø Ø6 4 Ø3 Der Trichter beginnt links mit einem Innendurchmesser von mm und endet rechts mit gleichem Innen- und Außendurchmesser. Legt mn ds Koordintensstem mit der Abszisse uf die Rottionschse und die Ordinte uf die linke Rndfläche, dnn ht die Funktionsgleichung für die Innenkontur diese Form: f) = e b Bestimmen Sie die Msse des fertigen Goubeu-Eponentiltrichters! 9
3 Lösungen 3. Aufgbe Zunächst müssen die Nullstellen der Funktion bestimmt werden, f ) = 2 + 6 5 = ) 2 6 + 5 = /2 = 3 ± 9 5 /2 = 3 ± 2 = 2 = 5 Hiermit sind die Integrtionsgrenzen beknnt, ds Volumenintegrl knn ufgestellt werden. b V 5 5 5 f 2 ) d 2 + 6 5 ) 2 d 4 6 3 + 5 2 6 3 + 36 2 3 + 5 2 3 + 25 d 4 2 3 + 46 2 6 + 25 d [ 5 5 3 4 + 46 3 3 3 2 + 25 [ 5 55 3 5 4 + 46 ] 3 53 3 5 2 + 25 5 625 5 3 ) 5 52 5 V 7,233 ] 5 [ 5 5 3 4 + 46 ]) 3 3 3 2 + 25 Ds Volumen beträgt: V 7,233 VE
3.2 Aufgbe 2 Zunächst müssen die Nullstellen bestimmt werden. Diese stellen die Integrtionsgrenzen dr. f ) = 4 2 + 2 7 4 = )2 4 2 + 2 7 4 = 4) 2 8 + 7 = /2 = 4 ± 6 7 /2 = 4 ± 3 = 2 = 7 Hiermit knn ds Volumen über die Integrlformel bestimmt werden. V b f 2 ) d 7 4 2 + 2 7 4 2 d 7 [ 4 2 + 2 7 4 d 2 3 + 2 7 ] 7 4 [ 2 73 + 7 2 74 ] 7 8 2 9 V 28,274 98 2 )) 2 [ 2 3 + 2 74 ]) Ds Volumen beträgt: V 28,274 VE
3.3 Aufgbe 3 Die prbelförmige Schüssel ht für die Anwendung der Integrlformel nicht die richtige Lge. In der ngegebenen Form erfolgt die Rottion um die Ordinte -Achse). Die Integrlformel verlngt jedoch eine Rottion um die Abszisse -Achse). Eine Spiegelung n der 45 -Achse im ersten Qudrnten muss durchgeführt werden. Dies geschieht durch Bilden der Umkehrfunktion f ). Mit der Umkehrfunktion erhlten wir den nebenstehend drgestellten Verluf des Funktionsgrphen. f,25 2 = 4 2 = 4 = ± 4 f ) = 4 Beim Ziehen der Wurzel kommt die positive und die negtive Wurzel in Betrcht. D eine Funktion ber rechtseindeutig sein muss ein eindeutiges Ergebnis liefern muss), entfällt für die Umkehrfunktion ds Minuszeichen. Die Integrtionsgrenzen werden benötigt. Die untere mit = ist beknnt, die obere knn mit Hilfe des Schüsseldurchmessers bestimmt werden. Bei einem Schüsseldurchmesser von d = 4 cm = 4 dm beträgt der Schüsselrdius 2 dm. Dies ist der Funktionswert n der oberen Integrtionsgrenze b. f b) = 2 4 b = 2 ) 2 4 b = 4 : 4 b = Hiermit knn nun ds Volumenintergl ufgestellt werden. 2
V b f )) 2 d 4 ) 2 d 4 d [2 2] [2 ] 2 [ 2 2]) 2 ) V 6,283 Ds Volumen beträgt: V 6,283 l 3
3.4 Aufgbe 4 Zunächst werden die Nullstellen bestimmt. f ) = 3 9 2 + 24 6 = D es sich um ein Polnom dritten Grdes hndelt, ist eine nltische Lösung nicht möglich. Durch plnvolles Rten erhält mn z. B. diese Lösung: = Dmit ist eine Polnomdivision 2 möglich. Es wird dividiert durch ). 3 9 2 +24 6) 2 ) 8 2 +24 6 8 2 +8 ) 6 6 6 6) : ) = 2 8 + 6 Übrig bleibt ein Polnom 2. Grdes. Dessen Nullstellen können mit Hilfe der p-q-formel bestimmt werden. 2 8 + 6 = 2/3 = 4 ± 4 2 6 2/3 = 4 ± 2 = 4 Dmit knn ds Volumen mit Hilfe der Integrlformel bestimmt werden. Näheres dzu z. B. hier: http://www.dk4ek.de/lib/ee/fetch.php/nullst.pdf 2 Näheres dzu z. B. hier: http://www.dk4ek.de/lib/ee/fetch.php/polnomd.pdf 4
b V 4 4 f 2 ) d 3 9 2 + 24 6 ) 2 d 6 8 5 + 29 4 464 3 + 864 2 768 + 256 d [ 7 7 3 6 + 29 ] 4 5 5 + 6 4 + 288 3 384 2 + 256 [ 7 47 3 4 6 + 29 ] 5 45 + 6 4 4 + 288 4 3 384 4 2 + 256 4... [... 7 7 3 6 + 29 ] ) 5 5 + 6 4 + 288 3 384 2 + 256 ) 2 8 792 463 35 35 = 2 7 329 π 35 V 85 922 Ds Volumen beträgt: V 85 922 VE 5
3.5 Aufgbe 5 Zunächst werden die Nullstellen bestimmt. f ) = 4 8 3 + 6 2 = 2 2 8 + 6) = Ein Lehrstz sgt: Ein Produkt ist Null, wenn einer der Fktoren Null ist. Aus dem ersten Fktor ergibt sich sofort: = Zur Bestimmung der weiteren Nullstellen muss nur noch der zweite Fktor untersucht werden. 2 8 + 6 = 2/3 = 4 ± 4 2 6 2/3 = 4 ± 2 = 4 Mit diesen beiden Werten stehen die Integrtionsgrenzen fest. Dmit knn ds Volumen mit Hilfe der Integrlformel bestimmt werden. V b 4 4 f 2 ) d ) 4 8 3 + 6 2 2 d 8 6 7 + 96 6 256 5 + 256 4 d [ 9 9 2 8 + 96 7 7 28 3 6 + 256 5 5 [ 9 49 2 4 8 + 96 7 47 28 3 46 + 256 ] 5 45 = 3 72 π 35 V 37,222 ] 4 ) Ds Volumen beträgt: V 37,222 VE 6
3.6 Aufgbe 6 Zunächst muss die Funktion für die Kontur der Riemen-Luffläche bestimmt werden. Die llgemeine Form der Funktion lutet: f) = 4 + b Beknnt sind zwei Punkte der Funktion: in der Mitte und m Rnd. ) f) = 4 4 + b = 4 b = 4 2) f5) = 375 5 4 + b = 375 Aus Gleichung ) hben wir sofort b = 4 erhlten. Ds knn in Gleichung 2) eingesetzt werden. 5 4 + b = 375 6 25 + 4 = 375 4 6 25 = 25 : 6 25 = 25 Dmit lutet die Funktionsgleichung: f) = 25 4 + 4 Als nächstes berechne ich ds Volumen der Rolle V R ohne die Bohrung mit Hilfe der Integrlformel. 7
b V R 5 5 5 5 f 2 ) d ) 2 25 4 + 4 d 62 5 8 2 625 4 + 6 d [ 562 5 9 2 ] 5 3 25 5 + 6 5 [ 562 5 59 2 ] 3 25 55 + 6 5... [... 562 5 5)9 2 ] ) 3 25 5)5 + 6 5) [ ] [ 325 2 + 8 325 ] ) + 2 8 9 9 = 4 462 5 π 9 V R 5 66 944 Ds Volumen der Bohrung V B knn m einfchsten klssisch ls Zlindervolumen berechnet werden. V B = π 4 d2 h = π 4 2 V B 785 398 Die Differenz ist ds Volumen V ges der fertigen Rolle. V ges = V R V B 5 66 944 785 398 = 4 82 546 Ds Volumen der Rolle beträgt: V ges 4 82 546 mm 3 = 4 82,546 cm 3 Jetzt muss nur noch die Msse bestimmt werden. m = ρ V = 7,2 g cm 4 82,546 3 cm3 6 75 g = 6,75 kg Die Msse Riemenscheibe beträgt: m 6,75 kg 8
3.7 Aufgbe 7 Ich rechne in der Einheit Millimeter. Aus Vereinfchungsgründen lsse ich während der Rechnung diese Einheit weg. Zunächst müssen die Prmeter und b in der Funktionsgleichung bestimmt werden. Dzu können die Punkte uf dem Funktionsgrphen m linken und m rechten Rnd verwendet werden: P ; 5) und P 2 4; 5). Die Koordinten werden für und in die Funktionsgleichung eingesetzt. ) f) = 5 e b = 5 2) f4) = 5 e b 4 = 5 Aus Gleichung ) knn sofort bestimmt werden: e b = 5 e = 5 = 5 = 5 Ds Ergebnis wird in 2) eingesetzt, um b zu berechnen. 5 e b 4 = 5 : 5 e b 4 = 3 ln... b 4 = ln 3 : 4 ln 3 b = 4 b,85 Dmit lutet die Funktionsgleichung: f) = 5 e,85 Ab hier gibt es mindestens) zwei verschiedene Methoden, wie mn weitermchen knn, um zu einer Lösung zu gelngen.. Mn berechnet ds Volumen des mssiven) Kegelstumpfes uf klssische Weise und ds Volumen des Hohlrumes mit der Integrlformel und subtrhiert die Ergebnisse voneinnder. 2. Mn bestimmt die Funktionsgleichung der Lineren Funktion, die den Körper ußen ls Rottionskörper begrenzt. Dnn bestimmt mn sowohl ds Volumen des mssiven) Kegelstumpfes ls uch ds Volumen des Hohlrumes mit der Integrlformel und subtrhiert die Ergebnisse voneinnder. 9
Lösungsvrinte : Ds Volumen des Kegelstumpfes wird berechnet: V KS h 3 R2 + R r + r 2 ) 4 5 2 + 5 3 + 3 2 ) 3 = 3 72 π V KS 686 725 Ds Hohlrumvolumen des Trichters wird mit der Integrlformel bestimmt. V T richter b 4 4 = 25π f)) 2 d 5 e,8 5 ) 2 d 25 e,7 d 4 e,7 d ] 4 [ e,7 = 25π,7 47π [e,7] 4 4 68 [e,7] 4 [e,7 4 = 4 68 ] [ e,7 ]) 4 68 9 ) V T richter 4 52 Hiermit wird nun ds Gesmtvolumen des fertigen Eponentiltrichters bestimmt. V ges = V KS V T richter = 687 4 52 V ges = 7 535 Ds Gesmtvolumen beträgt: V ges = 7 535 cm 3 2
Hiermit knn die Msse berechnet werden. m = ρ V ges = 8,86 Die Gesmtmsse beträgt: m = 66,76 kg g cm 3 7 535 cm3 66 76 g Lösungsvrinte 2: Für diese Vrinte muss zunächst die Linere Funktion für die Außenseite des Kegelstumpfes bestimmt werden. g) = m + b Der Prmeter b ist ls Ordintenbschnitt mit b = 3 beknnt. Nur noch die Steigung m muss berechnet werden. m = = 2 2 = 5 3 4 =,3 Die Funktionsgleichung lutet dmit: g) =,3 + 3 Hiermit knn ds Kegelstumpfvolumen mit der Integrlformel berechnet werden: V KS b 4 4 g)) 2 d,3 + 3) 2 d,9 2 + 8 + 9 d [,3 3 + 9 2 + 9 ] 4 ) [,3 4 3 + 9 4 2 + 9 4] [,3 3 + 9 2 + 9 ] 3 72 V KS 686 725 Der restliche Lösungsweg ist mit dem ersten identisch. 2