4 Relativbewegung eines Massenpunkts
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- Dominic Beck
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1 27 4 Reltivbewegung eines Mssenpunkts Die Differentitionsregeln für Geschwindigkeit und Beschleunigung sowie der Ipulsstz gelten in ihrer einfchen For nur bezüglich eines rufesten Koordintensystes, ds uch ls Inertilsyste bezeichnet wird. Häufig knn die Bewegung oder Teilbewegung einer zusengesetzten Bewegung jedoch in eine bewegten Koordintensyste einfcher beschrieben werden, wie bereits die Verwendung von Zylinderkoordinten zeigte. In diese Fll ist es günstig, prllel it zwei Koordintensysteen zu rbeiten, eine rufesten und eine bewegten. Ein Vektor ist eine gerichtete Größe i Ru und dit in seiner physiklischen Bedeutung unbhängig von Koordintensysteen. Die Drstellung eines solchen Vektors in verschieden Koordintensysteen ist i Allgeeinen dgegen unterschiedlich. Der Zusenhng zwischen diesen beiden Drstellungen knn über eine orthogonle Drehungstri hergestellt werden. Dit ergeben sich uch unterschiedliche Interprettionen bei der Beobchtung eines zeitlich veränderlichen Vektors. Beobchtet n einen Lgevektor von eine rufesten Koordintensyste us, ergeben sich durch Differentition Absolutgeschwindigkeiten bzw. Absolutbeschleunigungen. Differenziert n dgegen einen i bewegten Koordintensyste beschriebenen Vektor, ergeben sich drus Reltivgeschwindigkeiten und -beschleunigungen. Jede dieser Größen knn nschließend in beiden Koordintensysteen drgestellt werden, behält dbei ber ihre physiklische Bedeutung. Die Anwendung des Ipulsstzes erfordert die Verwendung einer Absolutbeschleunigung. Möchte n den Ipulsstz in eine bewegten Syste forulieren, uss n zusätzliche Tere ergänzen, die sich us der Bewegung des Koordintensystes ergeben. Ein bewegter Beobchter epfindet diese Trägheitstere ls nichterklärbre zusätzliche Kräfte, weshlb sie uch ls Scheinkräfte bezeichnet werden. Schiff in Ströung Fhrgst in Strßenbhn
2 28 4 Reltivbewegung eines Mssenpunkts 4.1 Koordintentrnsfortion Koordintendrstellung eines Vektors Vektor (t) Koordintensyste K O, e, e y, e z Koordintensyste KO, e, e y, e z e z e z O y (t) e y z y z ez e O (t) y ey z y e y e y z e z e y e y z e z y K z y K z Koordintentrnsfortion ez e z S 21 S 31 S 11 ey y e e e S 11 S 21 S 11 e S 21 e y S 31 e z e K S 31 S 12 S 22 y S 12 e S 22 e y S 32 e z e yk S 32 S 13 S 23 z S 13 e S 23 e y S 33 e z e zk S 33 cos() cos(y) cos(z) cos(y) cos(yy) cos(zy) cos(z) cos(yz) cos(zz)
3 4 Reltivbewegung eines Mssenpunkts 29 e y e y z e z Drstellung in K K e K y e yk z e zk S 11 S 12 S 13 S 21 S 22 S 23 y z S 31 S 32 S 33 y z S 11 S 21 S 31 S 12 S 22 S 32 S 13 S 23 y S 33 z K S KK K Trnsfortionstri (Drehungstri) Eigenschften der Drehungstri Drehungstri: S KK e K e yk e zk K K Es gilt: e e y e z 1, e e y e e z e y e z. Drus folgt: ez e z ey S T KK S KK (t) y e T K e T yk e T zk e K e yk e zk S T KK S KK S KK ST KK E e T e e T y e e T z e e T e y e T y e y e T z e y e T e z e T y e z e T z e z K z y 1 Drehungstri ist orthogonl S 1 KK ST KK det S KK 1 S. KK ST KK ~ K y K z 1 z 1 y Winkelgeschwindig keitsvektor drgestellt in K Rücktrnsfortion K S T KK K S KK S T KK
4 3 4 Reltivbewegung eines Mssenpunkts 4.2 Reltivkinetik Annhen: rufestes Koordintensyste K O, e, ey, ez bewegtes Koordintensyste KO, e, e y, e z bgekürzte Schreibweise: S KK : S, S T KK : ST Lgebeschreibung z.b. Pilot P : r r O r z Koordintendrstellung in K : r K r OK r K r OK Sr K in K : r K r OK r K S T r OK r K Geschwindigkeit z ro y r O r P y Absolutgeschwindigkeit: v dr dr O dr Ableitung i rufesten Koordintensyste K : v K ṙ K d r OK Sr K ṙ OK S. r K Sṙ K v K v OK ~ K r K v K Dies entspricht einer Koordintendrstellung der Vektorbeziehung v vo rv
5 4 Reltivbewegung eines Mssenpunkts 31 Verschiedene Geschwindigkeitsdefinitionen: Größe physiklische Bedeutung Drstellung v K ṙ K Absolutgeschwindigkeit (reltiv zu K) in K v K S T v K Absolutgeschwindigkeit (reltiv zu K) in K ṙ K keine v K ṙ K Reltivgeschwindigkeit (reltiv zu K ) in K v K Sv K Reltivgeschwindigkeit (reltiv zu K ) in K ṙ K keine v K, v K sind Koordintendrstellungen der Absolutgeschwindigkeit v d r v K, v K sind Koordintendrstellungen der Reltivgeschwindigkeit v d r Allgeein gilt für die Differentition von Vektoren: d d Beschleunigung Absolutbeschleunigung: d v dv O d r dr dv dv O d : O. : Absolutbeschleunigung des Ursprungs O Drehbeschleunigung des Koordintensystes An.: d dr dr rv r dv dv v d d Reltivbeschleunigung von P bez. K
6 32 4 Reltivbewegung eines Mssenpunkts eingesetzt: O. r r 2 v Reltivbeschleunigung Coriolisbeschleunigung Zentripetlbeschleunigung Eulerbeschleunigung Ursprungsbeschleunigung Absolutbeschleunigung Sonderfälle: Prllelverschiebung (S E S. ) r ro r v vo v O Drehung u Fipunkt (v O ) r ro r v rv. r r 2 v
7 4 Reltivbewegung eines Mssenpunkts Reltivkinetik 2. Newtonsches Grundgesetz F Absolutbeschleunigung F O. r r 2 v O. r r 2 v F F O. r r 2 v Interprettion ls Scheinkräfte F F T F E F Z F C F C 2 v Corioliskrft v F C F Z r Zentrifuglkrft. r F Z F E. r Eulerkrft r F E F T O Trägheitskrft F T O O
8 34 4 Reltivbewegung eines Mssenpunkts
Zur Erinnerung. Kepler Gesetze. Stichworte aus der 6. Vorlesung: Effektives Potential. Planetenbewegung. Inertialsysteme. Galilei-Transformation
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6.5 Stückweise konstantes Potential: Potentialtopf
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Abitur 2018 Mathematik Geometrie VI
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Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion
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6 Extrempunte Deinition: Eine Funtion : x (x) ht n der Stelle x ID ein loles (reltives) Mximum/Minimum, wenn die Funtionswerte in einer beliebig leinen Umgebung von x leiner/größer ls n dieser Stelle sind
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3. Kreisbewegung Ein wichtiger technischer Sonderfall ist die Bewegung auf einer Kreisbahn. Dabei hat der Massenpunkt zu jedem Zeitpunkt den gleichen Abstand vom Kreismittelpunkt. Beispiele: Punkte auf
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19 3 Räuliche Punktbewegung Unsere 3-diensionalen Rau entsprechend benötigt an drei Koordinaten ur eindeutigen Beschreibung der Lage eines Massenpunkts i Rau. Wählt an ein raufestes Koordinatensste und
v P Vektorrechnung k 1
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Definition 1.20 Ein metrischer Rum besteht us einer Menge X und einer Abbildung d : X X R, die jedem geordneten Pr von Elementen us X eine reelle Zhl zuordnet, d.h. (x,y) X X d(x,y) R. Diese Abbildung
Kapitel 1. Das Riemann-Integral. 1.1 *Motivation
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