i=1 j=1 Die Zeitentwicklung dieses generalisierten Impulses wird durch die Euler Lagrange-Gleichung dl i dt = I ij ϕ j = L

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1 86 Lgrnge-Formlismus: Anwendungen IV.. b Bewegungsgleichungen Entsprechend den 6 Freiheitsgrden eines strren Körpers wählt mn ls verllgemeinerte Koordinten für die Beschreibung seiner Bewegung einerseits die 3 krtesischen Koordinten X i des Ortsvektors X eines bestimmten Punkts des Körpers und ndererseits drei Winkel ϕ i ; die letzteren beschreiben Drehungen des strren Körpers um drei zueinnder senkrechte x i -Achsen, die reltiv zum Körper fest bleiben. Die zugehörigen verllgemeinerten Geschwindigkeiten sind Ẋi und ϕ i : die drei ϕ i sind die krtesischen Komponenten der Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ des Körpers. Die Stndrd-Lgrnge-Funktion des strren Körpers lutet dnn L ( {X i }, {ϕ i }, {Ẋi }, { ϕ i } ) = M 3 (Ẋi ) ϕ i I ij ϕ j V ( {X i }, {ϕ i } ), (IV.4) i=1 mit einem Potentil V. Dbei sind die I ij die Komponenten des Trägheitstensors bezüglich der körperfesten Drehchsen, die den drei Winkeln ϕ i entsprechen. Ausgehend von dieser Lgrnge- Funktion liefern die Euler Lgrnge-Gleichungen (III.1) die Bewegungsgleichungen des strren Körpers. Trnsltionsbewegung des strren Körpers Betrchten wir zuerst die Bewegungsgleichung für die Koordinten X i. Lut der Definition (III.13) ist der zu X i knonisch konjugierte Impuls durch i,j=1 p i L = MẊi (IV.5) Ẋi gegeben. Dies ist offensichtlich die i-te krtesische Komponente des Gesmtimpulses p = M X des strren Körpers. Dnn lutet die dmit ssoziierte Euler Lgrnge-Gleichung dp i dt = MẌi = L X i = V X i. (IV.5b) Auf der rechten Seite ist V/ X i die i-te Komponente der Gesmtkrft uf den strren Körper. Flls X(t) die Position im Inertilsystem B I des Schwerpunkts des Körpers ist, entspricht Gl. (IV.5b) dem üblichen Schwerpunktstz (II.1) für ein Mehrteilchensystem. Rottionsbewegung des strren Körpers Benutzt mn die uf Gl. (IV.) offensichtlich Symmetrie I ij = I ji für jedes mögliches Pr (i, j), so findet mn für den zu ϕ i knonisch konjugierten verllgemeinerten Impuls L i = L 3 ϕ i = I ij ϕ j. (IV.6) Dies ist die i-te krtesische Komponente des Eigendrehimpulses des strren Körpers um den Nullpunkt von B. Die Zeitentwicklung dieses generlisierten Impulses wird durch die Euler Lgrnge-Gleichung dl i dt = 3 j=1 j=1 I ij ϕ j = L ϕ i = V ϕ i (IV.6b) gegeben, wobei die verllgemeinerte Krft uf der rechten Seite der Gleichung ds Drehmoment ist. Beispiel: Homogener dünner Stb ls physiklisches Pendel Sei ein homogener unendlich dünner Stb mit Länge l und linerer Mssendichte (d.h. Msse pro Längeneinheit) µ. Dementsprechend ist seine Gesmtmsse M = µl. Ein Endpunkt des Stbs ist m Nullpunkt des Koordintensystems eines rumfesten Inertilsystems ufgehängt. Der Stb knn sich in der (Y, Z)-Ebene, d.h. um die X-Achse, unter dem

2 IV. Strre Körper 87 Einfluss des Schwerefeldes g e Z drehen. Somit bildet der Stb ein ebenes Pendel. (37) Als körperfestes Koordintensystem wird ein System mit dem Nullpunkt O im Aufhängepunkt, mit der x-achse prllel zur X-Achse des Z rumfesten Systems und der y-achse entlng des Stbs. Somit streckt O sich der Stb von y = bis y = l. Für dieses eindimensionle System z knn mn dnn für eine beliebige Funktion f der Position θ l y l ρ( r)f( r) d 3 r = µ(y)f(x=, y, z =) dy V schreiben; mit f 1 ergibt sich z.b. die Gesmtmsse M = µl. Y Abbildung IV. Wer nicht mit einer lineren Mssendichte µ(y), sondern mit der üblichen Mssendichte (pro Volumeneinheit) ρ( r) rbeiten möchte, knn einfch ρ( r) = µ(y) δ(x)δ(z) betrchten: mit dieser Mssendichte ergibt sich genu die obige Gleichung. Sei θ der Ablenkwinkel des Stbs us der Lotrichtung. D θ einer Drehung um die x-achse entspricht, gilt in der Sprche der Gl. (IV.4) (IV.6) (d.h. mit x = x 1 ) θ = ϕ 1. Dnn ist ϕ 1 = θ: um eine Bewegungsgleichung für θ zu erhlten, sollte mn Gl. (IV.6b) mit i = 1 benutzen. D wir nur eine Rottionsbewegung um die x-achse betrchten wollen, ist die Winkelgeschwindigkeit ω = θ e X, d.h. mit nur einer ϕ 1 -Komponente: ϕ = ϕ 3 =. Dementsprechend ist nur die Komponente I 11 des Trägheitstensors um den Punkt O nötig, um Gl. (IV.6b) für i = 1 zu schreiben: Aus Gl. (IV.b) folgt dnn I 11 = dl 1 dt l = 3 I 1j ϕ j = I 11 θ. j=1 µ(y)y dy = µl3 3 = Ml 3, wobei wir benutzt hben, dss r δ 11 (x) für x = z = einfch gleich y ist. Betrchten wir jetzt ds Potentil des Stbs im Schwerefeld. Für ein Mssenelement µ dy im Abstnd y vom Aufhängepunkt, entsprechend einer Höhe Z = y cos θ (vgl. Abb. IV.) ist es V = (µ dy)gz = µg cos θ y dy. Die potentielle Energie des gnzen Stbs ist dnn V = l ( µg cos θ)y dy = µg l l cos θ cos θ = Mg. Dbei erkennt mn, dss l cos θ/ die Höhe des Schwerpunkts des Stbs ist: lles pssiert, ls ob die gnze Msse in diesem Schwerpunkt konzentriert wäre. Schließlich ist die Bewegungsgleichung (IV.6b) für θ I 11 θ = Ml 3 = V θ = Mg l sin θ 3g θ = sin θ. l Diese Gleichung ist mthemtisch ähnlich der Gl. (III.5) für ds mthemtische Pendel und wird ähnlich gelöst IV.. c Trägheitstensor Um zu zeigen, dss die I ij die (krtesischen) Komponenten eines Tensors bilden, soll mn ihr Verhlten unter Drehungen untersuchen. (38) Sei R eine Drehmtrix. Unter ihrer Wirkung trnsformieren sich die Komponenten eines Ortsvektors bezüglich B gemäß x i x i = R i ix i. (37) Im Gegenstz zum mthemtischen Pendel des III..4 mit msselosem Stb und Punktmsse m Ende wird dieses System mit mssebehftetem Stb physiklisches Pendel gennnt. (38) Einige Definitionen und Ergebnisse über Tensoren werden im Anhng A drgestellt.

3 88 Lgrnge-Formlismus: Anwendungen Dementsprechend trnsformiert sich ds Produkt x i x j in x i x j = R j j Ri i xi x j. Andererseits gilt R i i R j j δij = R i i δ ij (R T ) j j = R i i (R T ) j i = δ i j, wobei R T die zu R trnsponierte Mtrix bezeichnet, die gleichzeitig die inverse Drehmtrix R 1 ist, wie in der letzten Gleichung benutzt wurde. Somit trnsformieren sich beide Terme mit Indizes in der Definition (IV.) der I ij gleich unter Drehungen, und zwr derrt, dss I ij sich insgesmt gemäß I ij I i j = R i i R j j Iij = R i i(r T ) j j Iij (IV.7) trnsformiert, d.h. wie die Komponenten eines Tensors zweiter Stufe. In tensorieller Form lutet der Trägheitstensor I = [ m ( x ) g 1 ] x x flls der strrer Körper us diskreten Mssenpunkten besteht, oder I = ρ( r) [ r g 1 r r ] (IV.8) (IV.8b) für einen kontinuierlichen Körper. In diesen Formeln bezeichnet ds Tensorprodukt (vgl. A.1.3 b A.1.3 c), während g 1 der inverse metrische Tensor (vgl. A.1.4) ist, dessen Komponenten in einer krtesischen Bsis g ij = δ ij sind. Identifiziert mn den Tensor I mit einer 3 3-Mtrix mit Elementen I ij, die ebenflls mit I bezeichnet wird, so knn die letzte Gleichung noch in Mtrixform ls I I = R I R T (IV.9) geschrieben werden. Gleichermßen gilt für die Rottionsenergie in Gl. (IV.3) T Rot. = 1 ωi (t)i ij ω j (t) = 1 ω(t)t I ω(t) (IV.3) mit dem zu ω(t) trnsponierten Zeilenvektor ω(t) T. Für den Eigendrehimpuls (IV.6) gilt L = I ω. (IV.31) Entsprechend der tensoriellen Ntur von I können Rottionsenergie und Drehimpuls noch in geometrischer Form geschrieben werden: T Rot. = 1 ω(t) I ω(t), L = I ω wobei die Kontrktion zweier Tensoren bezeichnet. Trägheitsmoment Sei e der Einheitsvektor entlng einer beliebigen Richtung in R 3. Ds Trägheitsmoment des strren Körpers bezüglich der (Dreh)Achse prllel zu dieser Richtung, die durch den Ursprungspunkt des körperfesten Bezugssystem geht, wird durch I = e i I ij e j = e T I e = e I e (IV.3) definiert, wobei {e i } i=1,,3 die Koordinten von e bezeichnen. Beispielsweise ist ds relevnte Trägheitsmoment für eine Rottionsbewegung um eine Achse in Richtung des Bsisvektors e 3 einfch die Komponente I 33 = e T 3 I e 3. Dbei gilt I 33 = [ ( x ) ] δ m 33 x 3 x 3 = [ (x ) 1 ( ) ] m + x

4 IV. Strre Körper 89 d.h. unter Einführung der Projektion x, von x uf der (x 1, x )-Ebene orthogonl zur Drehchse I 33 = m ( x, ). (IV.33) Dbei ist ( x, ) ds Qudrt des Abstnds des Mssenpunkts von der Drehchse. Im Kontinuumlimes wird dieses Trägheitsmoment zu I 33 = ρ( r) r d3 r. (IV.33b) Für eine Rottionsbewegung mit Winkelgeschwindigkeit ω = ω e 3 um diese Richtung ist die Rottionsenergie T Rot. = 1 I33 ω. D I 33 utomtisch positiv ist, gilt ds uch für diese kinetische Energie. Beispiel: homogener Zylinder Sei ein homogener Vollzylinder mit Mssendichte ρ, Rdius R und x 3 Höhe h. Dementsprechend ist seine Gesmtmsse M = πr hρ. Der Zylinder dreht sich um seine eigene Achse, welche die Richtung x 3 definiert. h In Zylinderkoordinten (r, θ, z x 3 ) ist der Abstnd eines Punkts von der Drehchse genu gleich der Rdilkoordinte r. Somit lutet R ds durch Gl. (IV.33b) gegebene Trägheitsmoment des Zylinders um Abbildung IV.3 diese Achse h [ π ( R ) ] I 33 = ρ r r dr dθ dz = ρ πr4 h = MR. (IV.34) Ds letztere Ergebnis ist unbhängig von der Höhe h (genuer ist diese versteckt in der Gesmtmsse), so dss es uch im Grenzfll einer unendlich dünnen Scheibe h gilt. Eigenschften des Trägheitstensors Wie schon erwähnt wurde ist der Trägheitstensor ein symmetrischer Tensor, d.h. I ij = I ji für lle i, j = 1,, 3. Dies bedeutet zuerst, dss nur 6 seiner Komponenten unbhängig voneinnder sind. Ähnlich einer symmetrischen reellen Mtrix besitzt ein symmetrischer reeller Tensor zweiter Stufe nur reelle Eigenwerte und ist orthogonl digonlisierbr. Ds heißt, mn knn eine Orthonormlbsis { e 1, e, e 3} finden, in welcher der Tensor, oder genuer seine Mtrixdrstellung, die Digonlform I 1 I = I (IV.35) I 3 nnimmt, mit den reellen Eigenwerten I 1, I, I 3 der Mtrix, die wie oben schon bemerkt lle positiv sind. Diese Eigenwerte werden Huptträgheitsmomente des strren Körpers gennnt, während die zugehörigen Eigenvektoren { eī}ī= 1,, 3 Einheitsvektoren entlng der Huptträgheitschsen sind. Im Huptchsensystem d.h. im Koordintensystem, dessen Achsen die Huptträgheitschsen des strren Körpers sind nimmt die Rottionsenergie des Körpers die einfche Form T Rot. = 1 ( [I ) ( ) ( ) ] 1 ω 1 + I ω + I3 ω 3 n. Bemerkung: Genu wie der Trägheitstensor selber hängen seine Huptträgheitselemente von der Whl des Bezugspunkts O b. Die folgende Eigenschft bezieht sich uf den Fll, wo der Bezugspunkt im Schwerpunkt des strren Körpers ist.

5 9 Lgrnge-Formlismus: Anwendungen Besitzt ein strrer Körper Symmetrien, wie z.b. Invrinz unter der Spiegelung bezüglich einer Ebene oder Rottionssymmetrie, so sind die entsprechenden Symmetrieelemente, insbesondere Symmetriechsen, einfch mit den Huptträgheitschsen reltiv zum Körperschwerpunkt verknüpft. Um dieses Ergebnis zu illustrieren, betrchten wir die nichtdigonle Elemente des Trägheitstensors, z.b. I 1. Die Definition (IV.b) gibt I 1 = ρ( r) ( r δ 1 x 1 x ) d 3 r = ρ(x 1, x, x 3 )( x 1 x ) dx 1 dx dx 3 = 1 ρ(x 1, x, x 3 )( x 1 x x 1 x ) dx 1 dx dx 3. Wie unter Gl. (IV.b) schon diskutiert wurde, knn der Integrtionsbereich mit einer geeigneten Definition von ρ uf R 3 erweitert werden, ws wir hier nnehmen. Führt mn die Substitution x 1 u x 1 für den zweiten Summnden in den Klmmern, so ergibt sich I 1 = 1 [ ] [ρ(x 1, x, x 3 )x 1 x dx 1 dx dx 3 ρ( u, x, x 3 )( u)x du dx dx 3 = 1 [ ρ(x 1, x, x 3 ) + ρ( x 1, x, x 3 ) ] x 1 x dx 1 dx dx 3, wobei in der zweiten Zeile die Integrtionsvrible u des zweiten Terms in x 1 umbennnt wurde. Flls der strre Körper symmetrisch unter Spiegelungen bezüglich der Ebene x 1 = ist, so dss ρ( x 1, x, x 3 ) = ρ(x 1, x, x 3 ) für lle Werte von x, x 3, dnn ist I 1 =. Allgemeiner findet mn, dss die Symmetriechsen des strren Körpers, flls einige vorhnden sind, uch seine Huptträgheitschsen sind. Klssifiktion von Trägheitstensoren Je nch den Werten der Huptträgheitsmomente lssen sich drei verschiedene Fälle unterscheiden: Für I 1 I I 3 I 1 sind die Eigenvektoren { e 1, e, e 3} und somit die Huptträgheitschsen eindeutig (39) definiert. Dnn spricht mn von einem unsymmetrischen Kreisel. Ein einfches Beispiel dvon ist ein homogener Quder, dessen Knten unterschiedliche Längen b c hben: die Symmetriechsen des Quders sind seine Huptträgheitschsen (reltiv zum Schwerpunkt), die zugehörigen Trägheitsmomente sind unterschiedlich. Für I 1 = I I 3 ist der Eigenvektor e 3 bzw. die entsprechende Huptchse eindeutig definiert. Dgegen gibt es Entrtung in der (x 1, x )-Ebene, in welcher jedes Pr von orthogonlen Achsen ls Huptträgheitschsen betrchtet werden knn. Dies entspricht dem Modell des symmetrischen Kreisels. Beispiele sind ein eindimensionler Stb prllel zur x 3 -Achse: x 1 = x = geben sofort I 33 = und I 11 = I ; oder ein homogener Zylinder (im llgemeinen Fll), insbesondere eine zweidimensionle Scheibe in der Ebene x 3 =, für die mn einfch I 11 = I = 1 I33 nchprüft. Für I 1 = I = I 3 sind die Achsen jedes Koordintensystems Huptträgheitschsen, entsprechend einem Kugelkreisel. Dies ist z.b. der trivile Fll des Trägheitstensors einer homogenen Kugel um drei Achsen, die durch ihren Schwerpunkt verläuft. Flls der Rdius der Kugel verschwindet, d.h. die Kugel wird zu einem Punkt, ist I = : somit verschwinden der Eigendrehimpuls und die Rottionsenergie eines Mssenpunkts, wie bisher stillschweigend ngenommen wurde! (39)... bis uf ein Minus Zeichen für die Einheitseigenvektoren.

6 IV. Strre Körper 91 Offensichtlich sind die drei (Hupt)Trägheitsmomente eines homogenen Würfels um seine drei Symmetriechsen lle gleich, d.h. der Mtrixdrstellung des Trägheitstensors I ist in der zugehörigen Bsis proportionl zur Einheitsmtrix. Dnn gilt dies noch in jeder beliebigen Bsis, so dss die Momente um jedes Triplett von Achsen, die durch seinen Schwerpunkt gehen, sind lle gleich. Während die Unbhängigkeit des Trägheitsmoments von der Richtung einer durch den Schwerpunkt durchlufenden Drehchse intuitiv im Fll der Kugel ist, wirkt sie bei dem Würfel überrschend. Dbei ist unsere (4) Intuition flsch, denn wir stellen uns die gnzen Mssenverteilungen ρ( r) vor die offensichtlich unterschiedlich für eine Kugel und einen Würfel sind, während ds Trägheitsmoment bzw. der Trägheitstensor nur einem sehr geringen Anteil der in dieser Mssenverteilungen enthltenen Informtion entspricht. Für die Rottionsbewegung der Körper reicht ber diese Informtion us. Steinerscher Stz Trägheitsmomente um die Symmetriechsen eines strren Körpers d.h. entsprechend dem Fll, wo der Ursprungspunkt des Koordintensystems in der Definition (IV.) im Schwerpunkt des Körpers liegt sind oft unter Betrchtung der betreffenden Symmetrie einfcher zu berechnen. Oft dreht sich der strre Körper ber um eine Achse, die nicht durch seinen Schwerpunkt durchläuft. Ansttt ds Trägheitsmoment um die verschobene Drehchse explizit us Definition (IV.) zu berechnen, ist es dnn schneller, ds folgende Resultt zu benutzen. Theorem (Stz von Steiner (o) ): Ds Trägheitsmoment eines strren Körpers mit Msse M um eine beliebige Achse im Abstnd L von seinem Schwerpunkt ist gegeben durch die Summe us ML und dem Trägheitsmoment des Körpers um die prllele Drehchse, die durch den Schwerpunkt geht. (IV.36) Bezeichnet mn mit I bzw. I ds Drehmoment um eine durch den Schwerpunkt durchlufende Drehchse bzw. um eine dzu prllele Achse im Abstnd L vom Schwerpunkt, so lutet der Steiner sche Stz I = I + ML. (IV.36b) Zum Beweis dieses Stzes betrchte mn neben dem körperfesten Bezugssystem B mit Ursprung im Schwerpunkt des strren Körpers ein zweites körperfestes Bezugssystem B, dessen Nullpunkt um b reltiv zu B verschoben ist, während die Koordintenchsen von B prllel zu denen von B bleiben. Dnn gilt für die Position jedes (Mssen)Punkts (41) des strren Körpers reltiv zu beiden Bezugssystemen x = x b. Dies gibt für den Trägheitstensor reltiv zu B I ij = [ ( x ) ] δ m ij x i x j = [ ( x m b ) ] δ ij (x i b i )(x j b j ) = I ij δ ij b m x + b i m x j + b j m x i + ( m b δ ij b i b j). Dbei verschwinden der zweite, der dritte und der vierte Beiträge der zweiten Zeile, während die Summe der Mssen im fünften Term durch die Gesmtmsse ersetzt werden knn. Somit ergibt sich die tensorielle Form des Steinerschen Stzes: I ij = I ij + M ( b δ ij b i b j). (IV.36c) (4)... oder zumindest die des Autors! (41) Hier wird der Beweis für ein System us diskreten Mssenpunkten drgelegt. Die Leserin knn prüfen, dss sich der Beweis ohne Schwierigkeit uf den Fll eines kontinuierlichen Systems übersetzen lässt. (o) J. Steiner,

7 9 Lgrnge-Formlismus: Anwendungen Um ds Drehmoment um eine gegebene Achse zu erhlten, multipliziert mn diese Gleichung mit den Komponenten des Einheitsvektors in Richtung der Achse, vgl. Gl. (IV.3), worus sich Gl. (IV.36b) ergibt. Beispiel: homogener Zylinder () Wir betrchten nochmls den homogenen Vollzylinder (Msse M, Rdius R) der Abb. (IV.3), der sich jetzt um eine Achse drehen soll, die prllel zu seiner Symmetriechse ist, um den Abstnd L ber verschoben ist. Dnn ist gemäß dem Steinerschen Stz (IV.36) ds Trägheitsmoment des Zylinders um diese Achse I 33 = I 33 + ML = MR + ML, h x 3 L x 3 R Abbildung IV.4 wobei der Ausdruck (IV.34) des Trägheitsmoments um die Symmetriechse benutzt wurde.