2.1 Polynome, Polynomfunktionen und Nullstellen. p(x) = k=0

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1 Kapitel 2 Polyome 2. Polyome, Polyomfuktioe ud Nullstelle Der Polyomrig R[x] Defiitio: Ei Polyom mit eier Variable x über eiem kommutative Rig R ist ei formaler Ausdruck der Form px) = a k x k wobeiallea k ElemetedesRigsRsiduda 0.DieWertea k etmadiekoeffiziete des Polyoms px). Der Grad dieses Polyoms ist. Die Mege aller Polyome über dem Rig R wird mit R[x] bezeichet. Jedes Polyom bestimmt eie Polyomfuktio R R, die ma a jeder Stelle r R durch Eisetze des Wertes r für die Variable x ud Auswertug der Operatioe im Rig R bereche ka. Der Wert, der sich bei dieser Auswertug ergibt, wird mit pr) bezeichet. Leider ka diese Notatio auch leicht zu Verwechsluge zwische Polyom ud Polyomfuktio führe. Eiziges Uterscheidugsmerkmal ist das Argumet: ist x eie Variable, so bezeichet px) ei Polyom, für Rigelemete r bezeichet pr) de Wert der Polyomfuktio a der Stelle r. Soll dieser Uterschied och deutlicher betot werde, ka die Fuktio auch mit f p bezeichet werde, der Wert a der Stelle r wäre da f p r). Zwei Polyome px) = a k x k ud qx) = m b k x k sid sytaktisch) gleich, falls = m ud a k = b k für k = 0,... Durch Eiführug eier Additio ud eier Multiplikatio vo Polyome bildet sich die Struktur des Polyomrigs R[x]. Die Operatioe sid so defiiert, dass sie verträglich mit de Operatioe auf de Polyomfuktioe Additio ud Multiplikatio der Fuktioswerte) sid. I der folgede Formel werde alle icht i de Operade defiierte Werte 20

2 a k ud b k gleich 0 gesetzt. m a k x k ± b k x k = a k x k m b k x k = max,m) +m j=0 a k ±b k )x k k a j b k j )x k Horer-Schema Der aive Asatz zur Auswertug eies Polyoms vo Grad a eier Stelle r erfordert 2 Multiplikatioe Poteze vo r bereche ud mit de Koeffiziete multipliziere) ud Additioe. Wesetlich effizieter ist die Polyomauswertug mit dem Horer-Schema, für die Multiplikatioe ud Additioe ausreiched sid. Die Grudidee beruht auf der folgede Beobachtug: fr) = a k r k = a r k +a r +...+a 2 r 2 +a r+a 0 = a }{{} r +a ) r...a 3 ) r +a 2 ) r +a ) r +a 0 c }{{} c }{{} c 3 }{{} c 2 }{{} c } {{ } c 0 Offesichtlich ist c = a ud für die Berechug der Zwischeergebisse c,c 2,...,c 0 braucht ma jeweils eie Multiplikatio ud eie Additio. Zur Rechug auf dem Papier verwedet ma das folgede Schema: fx) a a a... a a 0 Der Wert vo c 0 ist der Fuktioswert vo fx). + c r c r c 2 r c r c c c 2 c 2 c c 0 Beispiel: Bestimme f3) vo fx) = 2x 4 4x 3 +3x+0. Wichtig ist, dass für alle fehlede Koeffiziete Nulle eigetrage werde! Damit ist f3) = 73. Das Horer-Schema ka ma auch eisetze, um eiige spezielle Polyomdivisioe auszuführe, bei dee ei Polymo px) = a kx k durch ei Polyom der Form x a) geteilt 2

3 wird der allgemeie Fall wird im ächste Abschitt behadelt). Ziel ist die Bestimmug eies Polyoms qx) = b kx k ud eies Rests r R, so dass px) = qx) x a)+r. Wertet ma das Polyom px) a der Stelle a mit dem Horer Schema aus ud setzt b = c,b 2 = c,...,b = c 2,b 0 = c ud r = c 0, ka durch eie eifache Koeffizietevergleich achgerechet werde, dass die geforderte Idetität erfüllt ist: Für x steht auf der like Seite Polyom px)) der Koeffiziet a, auf der rechte Seite bei qx) x a)+r ) der Koeffiziet b = c = a. Für x steht liks der Koeffiziet a, rechts der Koeffiziet b 2 a b = c a c = a, de c = a c +a. Aalog setzt sich das fort bis zum Koeffiziete vo x 0 : Liks steht a 0 ud auf der rechte Seite r a b 0 = c o a c = a 0, de c 0 = a c +a 0. Nullstelle Defiitio: a R ist Nullstelle des Polyoms px) R[x], falls pa) = 0. Satz: Ist a Nullstelle vo px), da existiert ei Polyom qx), so dass px) = x a) qx) Der Beweis folgt aus der Awedug des Horer-Schemas zur Polyomdivisio: c 0 ist eierseits der Rest aus der Polyomdivisio durch x a), adererseits der Wert der Polyomfuktio a der Stelle a. Deshalb ist a geau da eie Nullstelle, we bei der Polyomdivisio der Rest verschwidet. Defiitio: a ist k-fache Nullstelle vo px), we ei Polyom qx) existiert, so dass px) = x a) k qx) Zerlegug vo komplexe ud reelle Polyome Fudametalsatz der Algebra Gauss): Jedes komplexe Polyom px) = a kx k mit a i C hat eie komplexe Nullstelle. Folglich ka px) i der Form a x z µ ) µ= dargestellt werde, wobei z µ die Nullstelle vo px) sid. Auf de recht aspruchsvolle) Beweis wird hier verzichtet. Stattdesse solle die Kosequeze für reelle Polyome geauer utersucht werde:. Jedes reelle Polyom hat eie komplexe Nullstelle. 2. Ist z eie komplexe Nullstelle eies reelle Polyoms px) = a kx k, da ist auch die kojugiert komplexe Zahl z eie Nullstelle vo px): pz) = a kz k = a kz k a k R = a kz k v w = v w = a kz k v +w = v +w = pz) = 0 = 0. 22

4 3. Ist z C \ R eie komplexe Nullstelle eies reelle Polyoms px), da gibt es ei komplexes) Polyom qx), so dass px) = x z)x z)qx) = x 2 z +z)+zz)qx) = x 2 2Rez)+ z 2 )qx) Da die beide Liearfaktore zusamme ei reelles Polyom ergebe, ist auch qx) ei reelles Polyom. Der folgede Satz fasst die Schlussfolgeruge zusamme. Satz: Jedes reelle Polyom px) R[x] ka folgedermaße zerlegt werde: px) = a k x k = a l m x b i ) ki x 2 +c i x+d i ) mit k +k k l +2m = ist Grad des Polyoms px). i= b,b 2,...b l sid k fache, k 2 fache bzw. k l fache reelle Nullstelle vo px). Die Polyome x 2 +c i x+d i habe keie reelle Nullstelle. Zum Beweis dieses Satzes geügt es, die vorher aufgelistete Beobachtuge zusammezufasse ud rekursiv azuwede. De Abschluss dieses Abschitts bildet ei weiterer Satz, der für uedliche Körper eie Bijektio zwische Polyome ud Polyomfuktioe postuliert. Es ist wichtig, darauf hizuweise, dass die Aussage icht auf Polyome über edliche Körper übertrage werde ka. Satz: Zwei Polyome px), qx) R[x]auch aus Q[x] oder C[x]) sid geau da sytaktisch gleich gleiche Koeffiziete), we sie sematisch gleich sid gleiche Polyomfuktioe). Beweis: Nur die Rückrichtug muss begrüdet werde. Ageomme zwei Polyome px) ud qx) erzeuge die gleiche Polyomfuktio ud sei das Maximum der Grade der beide Polyome. Das Differezpolyom sx) = px) qx) hat die Eigeschaft, a jeder Stelle r R de Wert 0 azuehme: sr) = pr) qr) = 0. Da sid die Zahle 0,,... Nullstelle vo sx) ud es gibt ei Polyom tx), so dass i= sx) = x 0)x )...x )tx) Da der Grad vo s) höchstes ist, aber die erste + Faktore auf der rechte Seite scho ei Polyom vom Grad + erzeuge, bleibt als eizige Kosequez, dass tx) das Nullpolyom ist. Damit ist auch sx) das Nullpolyom ud daraus folgt die Gleichheit vo px) ud qx). 2.2 Ratioale Fuktioe I diesem Abschitt werde ur Polyome über de reelle Zahle behadelt. Ma ka aber alle Betrachtuge problemlos auf Polyome über eiem beliebige Körper verallgemeier, we ma die Divisio vo Zahle durch die Multiplikatio mit iverse Elemete ersetzt a b astelle vo a b ). Defiitioe: Eie gaz ratioale Fuktio ist eie Polyomfuktio px). 23

5 Eie gebroche) ratioale Fuktio ist ei Quotiet aus zwei Polyome px) qx). Eie echt gebroche ratioale Fuktio ist ei Quotiet vo zwei Polyome px) qx) mit Gradpx)) < Gradqx)). Satz: Jede ratioale Fuktio px) qx) wobei hx) gaz ratioal ud rx) qx) lässt sich darstelle i der Form px) rx) = hx)+ qx) qx) echt gebroche ratioal ist. Beweis: Dieser Beweis zeigt, warum ud wie Polyomdivisio fuktioiert. Eie etscheidede Rolle spiele die Grade ud m ud die führede Koeffiziete a ud b m der Polyome m px) = a k x k qx) = b k x k. Für < m ist die Behauptug trivialerweise erfüllt, idem ma für hx) das Nullpolyom ud rx) = px) setzt. Ist m, wird der Satz mit vollstädiger Iduktio ach d = m bewiese: Iduktiosafag: d = 0, d.h. = m Ma setzt hx) = a b ud rx) = px) a b qx). Zu zeige ist Gradrx)) < ud px) rx) qx) = hx)+ qx) Dazu utersucht ma de Koeffiziete vo x im Polyom rx), das ist a a b b = 0. Folglich ist der Grad vo rx) kleier als. Für die zweite Behauptug geht ma vo der Idetität px) = a b qx) + px) a b qx) = hx)qx) + rx) aus. Die Behauptug folgt, we ma beide Seite durch qx) teilt. Iduktiosschritt: d d+ Sei = m+d+. Ma begit mit eiem ähliche Asatz wie beim Iduktiosafag: p x) = px) a x m qx) ud folglich px) b m qx) = a x m + p x) b m qx) Der Koeffiziet vo x im Polyom p x) ist 0, d.h. der Grad vo p x) ist kleier als ud folglich ka für die ratioale Fuktio p x) qx) die Iduktiosvoraussetzug agewedet werde. Bezeichet ma die Polyome aus der Iduktiosvoraussetzug mit h x) ud r x), so ergibt sich px) qx) = a x m + p x) b m qx) = a x m +h x)+ r x) b m qx) = hx)+ r x) qx) Die Polyomdivisio spielt im Polyomrig R[x] eie ähliche Rolle wie die gazzahlige Divisio mit Rest im Rig der gaze Zahle. Isbesodere ka ma die Defiitioe vom größte 24

6 gemeisame Teiler ggt) ud kleiste gemeisame Vielfache kgv) auf de Polyomrig übertrage ud de Euklidische Algorithmus zur Berechug des ggt verwede. Defiitio: Seie px) ud qx) Polyome, da ist der größte gemeisame Teiler ggtpx), qx)) das Polyom dx) maximale Grades, so dass Zerleguge px) = dx) hx) ud qx) = dx) gx) existiere ud der führede Koeffizet vo dx) gleich ist. Das kleiste gemeisame Vielfache kgvpx), qx)) ist das Polyom sx) miimale Grades, so dass Zerleguge sx) = px) hx) ud sx) = qx) gx) existiere ud der führede Koeffizet vo sx) gleich ist. Euklidischer Algorithmus Voraussetzug: px) ud qx) sid zwei Polyome dere führede Koeffizete sid ud Gradpx)) Gradqx)). procedure ggtpx), qx)) sx) = px) tx) = qx) while tx)!= 0) rx) = Rest vo sx) / tx) sx) = tx) tx) = rx) retur sx) Mit Hilfe des größte gemeisame Teilers ka auch das kleiste gemeisame Vielfache leicht berechet werde: px) qx) kgvpx),qx)) = ggtpx),qx)) Defiitio: Zur Bestimmug der Defiitiosbereichs vo ratioale Fuktioe px) qx) wird vorausgesetzt, dass ggtpx), qx)) =. Ist diese Voraussetzug och icht erfüllt, muss zuerst eie gekürzte Darstellug erzeugt werde, idem ma beide Polyome durch ihre größte gemeisame Teiler teilt. Der Defiitiosbereich besteht da aus alle reelle Zahle mit Ausahme der Nullstelle des Polyoms qx) i der gekürzte Darstellug. Beispiel: x2 x = x+ ist defiiert auf gaz R. Defiitio Polstelle): Ist ggtpx), qx)) = ud ist b eie k-fache Nullstelle vo qx), da et ma b eie k-fache Pol der ratioale Fuktio px) qx). 2.3 Polyomiterpolatio Viele Zusammehäge i reale Prozesse ud verschiedee physikalische Gesetze lasse sich durch Polyome beschreibe z.b der Zusammehag zwische elektrischer Spaug ud Leistug i eiem Stromkreis oder das Fallgesetz). Ist solch ei Zusammehag bekat 25

7 d.h. ket ma das Polyom, das ei bestimmtes Gesetz beschreibt), ka ma durch Eisetze vo Werte auch Aussage zu Situatioe mache, die icht experimetell utersucht wurde. Häufig will ma aber de umgekehrte Weg gehe: Ma ket de Zusammehag och icht ud versucht, eie Reihe vo Messwerte als Fuktioswerte eies Polyoms kleie Grades) zu iterpretiere. Ei erster Schritt dazu ist die Polyomiterpolatio, bei der es darum geht, ei Polyom zu fide, dass die Messwerte geau wiedergibt icht zu verwechsel mit der Polyomapproximatio, bei der kleie Fehler erlaubt sid, aber dafür der Grad stärker beschräkt ist). Aufgabestellug: Gegebe sid +reelle Wertepaare x 0,y 0 ),x,y ),...x,y ), wobei x 0 < x <... < x vorausgesetzt wird. Gesucht ist ei Polyom px) vom Grad, so dass px i ) = y i für alle i = 0,,...,. Die x Werte bezeichet ma auch als Stützstelle des gesuchte Polyoms. Es gibt eie Reihe verschiedeer Asätze zur Lösug dieses Problems. Der aive Asatz geht vo eiem Polyom px) = a kx k aus, wobei die Koeffiziete Variable sid. Bei der Auswertug des Polyoms a der Stelle x i das ist eie kokrete Zahl) etsteht die Gleichug xk i a k = y i, die i de Variable a k liear ist. Isgesamt etsteht ei System vo + lieare Gleichuge mit + Variable. Wie später gezeigt wird, gibt es eie eideutige Lösug des Gleichugssystems, die ma mit de bekate Verfahre z.b. Gauß- Elemiatio) ausreche ka. Wesetlich elegater ist aber die folgede Iterpolatio mit Lagrage-Polyome. Satz: Für die i der Aufgabestellug gegebee Wertepaare gibt es geau ei Polyom px) vom Grad, dass die Forderug px i ) = y i für alle i = 0,,..., erfüllt. Dieses Polyom hat die Form px) := y j x x i x j x i j= i {,2,...,}\{j} Beweis: Ma betrachtet zuerst die i der Summe zusammegefasste Hilfspolyome, die offesichtlich alle vom Grad sid: x x i p j x) = x j x i i {,2,...,}\{j} Wie ma leicht überprüfe ka, tritt bei der Auswertug vo p j x) a eier Stelle x i der folgede Effekt auf: { falls i = j p j x i ) = 0 falls i j Durch die Multiplikatio der Hilfspolyome p j mit de vorgegebee Fuktioswerte y j zeigt das Polyom px) = j=0 y j p j x) das gewüschte Verhalte. Zum Eideutigkeitsbeweis geht ma wieder davo aus, dass zwei Polyome px) ud qx) de Satz erfülle. Der Grad des Differezpolymos sx) = px) qx) ist kleier oder gleich, aber es hat midestes + Nullstelle, ämlich x 0,x,...,x. Somit muss sx) das Nullpolyom sei ud daraus folgt mit px) = qx) die Eideutigkeit. Eie dritte Methode zur Polyomiterpolatio geht auf Newto zurück. Sie geht vo dem folgede Asatz aus. px) = α 0 +α x x 0 )+α 2 x x 0 )x x )+...+α x x 0 )x x )...x x ) 26

8 Zuächst ist icht klar, ob ma auf diesem Weg überhaupt ei Polyyom erhalte ka, das alle Forderuge erfüllt. Durch schrittweises Eisetze der Werte x 0,x,...,x ergibt sich aber das Gleichugssystem y 0 = α 0 y = α 0 +α x x 0 ) y 2 = α 0 +α x x 0 )+α 2 x x 0 )x x ) : : y = α 0 +α x x 0 )+α 2 x x 0 )x x )+...+α x x 0 )x x )...x x ) Daraus ka ma schrittweise vo obe ach ute die Werte vo α 0,α,...α bereche ud das Polyom px) zusammesetze. Die Berechug der α-werte ka durch die Nutzug des sogeate Schemas der dividierte Differeze och weiter vereifacht werde: x 0 y 0 ց x y ր ց x 2 y 2 ր ց y 0, y,2 ց ր ց y 0,2 y,3 ց y 0,3 ց ց y ր 2,3 y ր ց,4 ց : :... : : y 0, ր : :... x y ր ր y ց 2, ր y, ր x y Dabei werde die Eiträge y i,j spalteweise vo liks ach rechts ach der folgede Formel berechet: ց y i,i+ = y i+ y i x i+ x i ud für alle j > i+ y i,j = y i+,j y i,j x j x i 27

9 Kapitel 3 Grezwerte vo Folge ud Fuktioe 3. Grezwerte vo Folge Defiitio: Eie Folge ist formal gesehe) eie Abbildug vo N oder N + ach R, d.h. jedem N wird ei a R zugeordet. Abweiched vo der fuktioale Notatio werde für Folge die Schreibweise a ) N, a ) 0 oder a 0,a,a 2,... verwedet. MaetdieZahlea dieglieder derfolge. Sieköeexplizit oderauchrekursivdefiiert werde. Beispiele für explizite Defiitioe:. Kostate Folge c R): Durch die Defiitio a = c etsteht die Folge c) N = c,c,c, Arithmetische Folge c,d R): Durch die Defiitio a = c + d etsteht die Folge c+ d) N = c,c+d,c+2d, Geometrische Folge c,q R,q 0): Durch die Defiitio a = c q etsteht die Folge c q ) N = c,cq,cq 2,cq 3, Harmoische Folge: Durch die Defiitio a = ) = N +, 2, 3,... Beispiele für rekursive Defiitioe: für alle etsteht die Folge. Eie kostate Folge wird rekursiv durch a 0 = c ud a + = a defiiert. 2. Eie arithmetische Folge wird rekursiv durch a 0 = c ud a + = a +d defiiert 3. Eie geometrische Folge wird rekursiv durch a 0 = c ud a + = a q defiiert. 4. Auch die harmoische Folge ka ma rekursiv defiiere, aber diese Beschreibug ist mit a = ud a + = wesetlich komplizierter ist als die explizite Defiitio. + a 5. Die Folge der Fiboacci-Zahle ist ei Beispiel dafür, dass bei rekursive Defiitioe evetuell auch Verakeruge a mehr als eier Stelle otwedig sid: a 0 = 0, a = ud a +2 = a +a +. 28

10 Beschräktheit ud Mootoie Defiitio: Eie Folge a ) N et ma: Kovergez beschräkt K R N a K vo ute beschräkt K R N a K vo obe beschräkt K R N a K mooto wachsed N a + a streg mooto wachsed N a + > a mooto falled N a + a streg mooto falled N a + < a Defiitio: Eie Folge a ) N kovergiert strebt) gege de Grezwert a, falls ε > 0 0 N 0 a a < ε ZurNotatio derkovergez eierfolge a ) N gege degrezwertaköediefolgede Ausdrücke verwedet werde: a a oder kurz a a a = a oder kurz a = a Satz: Für jede kovergete Folge a ) N ist der Grezwert eideutig, d.h. a a a b a = b Beweis idirekt): Ageomme, es gäbe eie Folge a, die gege zwei verschiedee Zahle a b kovergiert. Zur Herleitug eies Widerspruchs wird ε = b a 3 > 0 gesetzt. 0,a 0,a a a < ε 0,b 0,b a b < ε 0 = max 0,a, 0,b ) Für alle > 0 gilt: a a < ε a b < ε b a b a + a a < ε+ε = 2 b a Widerspruch! 3 Dreicksugleichug Satz: Jede kovergete Folge ist beschräkt. Beweis: Ma kostruiert eie Schrake, idem ei Wert für ε festgelegt wird, z.b. ε :=. Nach Grezwertdefiitio gibt es ei 0 N, sodass füralle 0 dieugleichug a a erfüllt ist, die ma äquivalet durch a a a+ beschreibe ka. Wählt ma K = max{ a 0, a,... a 0, a, a+ }, da ist a K für alle N. 29

11 Nullfolge ud Teilfolge Defiitio: Eie Folge, die gege 0 kovergiert, wird Nullfolge geat. Defiitio: Ist a ) N eie Folge ud i ) i N eie streg mooto wachsede Folge vo atürlichezahle, dawirda i ) i N = a 0,a,a 2,... eieteilfolge vo a ) N geat. Satz: We a ) N gege a kovergiert, da kovergiert auch jede Teilfolge vo a ) N gege a. Beispiele: ) Die harmoische Folge a = ist eie Nullfolge. Begrüdug a Had der Defiitio: Es sei ei ε > 0 gegebe. Gesucht ist ei 0, so dass für alle 0 die Ugleichug a 0 = < ε erfüllt ist. Da sich bei der Bildug der iverse Werte vo positive Zahle die Ugleichuge umkehre, ist 0 := ε + eie geeigete Wahl, de 0 > = ε = < = ε. 0 ε 2) Die Folge b = ist eie Nullfolge. Begrüdug: Die Folge c = ) N ist streg mooto wachsed ud alle Folgeglieder sid atürliche Zahle. Damit ist b ) N eie Teilfolge der harmoische Folge ud kovergiert gege Null. Bestimmte Divergez Defiitio: Die Folge a ) N divergiert, we sie icht kovergiert, also keie eigetliche) Grezwert hat. Die Folge divergiert gege de ueigetliche Grezwert bzw. falls K R 0 0 a > K bzw. K R 0 0 a < K Ma spricht i diesem Fall vo bestimmter Divergez ud drückt das symbolisch durch a = bzw. a = aus. Beispiele:. Für die arithmetische Folge a = c+ d gilt: a = 2. Für die geometrische Folge b = c q gilt: a = c falls d = 0 falls d > 0 falls d < 0 ubestimmt diverget falls q ud c 0 0 falls q < oder c = 0 c falls q = falls q > ud c > 0 falls q > ud c < 0 30

12 Reihe Defiitio: Für eie Folge a ) N defiiert ma die zugehörige Reihe s ) N als Folge der Partialsumme: s = Kovergiert eie Reihe s ) N gege eie Grezwert S, ka ebe der übliche Notatio s = S auch die Schreibweise =0 a = S verwedet werde. 3.2 Grezwertregel ud Kovergezkriterie Grezwertregel i=0 Satz: Für zwei kovergete Folge a ) N ud b ) N mit de Grezwerte a ud b gilt: a i. a +b ) = a+b 2. a b ) = a b Spezialfall: c b ) = c b) 3. a b ) = a b falls b 0 ud b 0 für alle N) 4. a = a 5. a = a Beweis: Wir beschräke us auf die Herleitug der erste zwei Regel. ) Zu zeige ist, dass ma für jedes ε > 0 ei 0 fide ka, so dass für alle 0 die Ugleichug a +b a+b) < ε gilt. Dazu utzt ma die Dreiecksugleichug ud zeigt da, dass beide Summade jeweils kleier als ε/2 sid: a +b a+b) a a + b b ) < ε 2 + ε 2 = ε Die mit ) gekezeichete Ugleichug leitet ma aus der Kovergez der Ausgagsfolge ab. Dazu setzt ma ε = ε 2 ud erhält 0,a 0,a a a < ε 0,b 0,b b b < ε Offesichtlich gelte beide Ugleichuge für alle > 0 = max 0,a, 0,b ) 2) Zu zeige ist, dass ma für jedes ε > 0 ei 0 fide ka, so dass für alle 0 die Ugleichug a b ab < ε gilt. Der Beweis ist etwas komplizierter, folgt aber dem gleiche Muster wie im erste Fall. Vor Awedug der Dreiecksugleichug wird ei 0-Summad der Form a b+a b eigefügt: a b ab = a b a b+a b ab a b b + b a a ) < ε 2 + ε 2 = ε Zur Begrüdug der Ugleichug ) verwedet ma die Tatsache, dass jede kovergete Folge beschräkt ist. Sei K eie Schrake für a ) N. Ma setzt geeigete Werte ε,ε für 3

13 die Ausgagsfolge ei ud erhält: ε = ε = ε 2K : 0,b 0,b b b < ε ε 2 b +) = 0,b a b b < ε a 2K ε 2 0,a 0,a a a < ε = 0,a b a a < ε b 2 b +) ε 2 Offesichtlich gelte beide Ugleichuge für alle > 0 = max 0,a, 0,b ) Beispiele: ) )) 2+ 3 = + ) ) 2+ 3 = ) + Regel 3) = 2+ 3 ) ) Regel ud 2) + = = = = = )) ) Regel 5) ) 2 3 ) Regel 3) = Regel ud 2) 3 Vergleichskriterium Satz: Sei k N ud a ) N,b ) N,c ) N Folge mit a b c für alle k. Kovergiere die beide äußere Folge gege de gleiche Grezwert c = a = c, da ist auch b = c. Etsprechedes gilt auch für die bestimmte Divergez gege ±. Beispiel: Zu bestimme ist der Grezwert vo a = si2 : Wege 0 si 2 gilt 0 si2. Außerdem ist 0 = ) = 0. ) Daraus folgt: si 2 = 0. 32

14 Satz: Der Grezwert vo a = mit ist. Beweis: Die Herleitug dieses Grezwerts erfolgt über die Hilfsfolge b =. Mit dem Vergleichskriterium wird gezeigt, dass b ) N eie Nullfolge ist, woraus a = folgt. Die Folge b ist vo ute durch 0 begrezt. Eie obere Begrezug ergibt sich aus der folgede Betrachtug: b +) = + ) = = +b ) = + + ) ) 2 ) b + ) b 2 ) = + b b 2 ) b b2 b Wege = 0 ergibt sich aus dem Vergleichskriterium ud der füfte Grezwertregel 0 = b2 = b ud somit a =. Folgerug: Die Limesbildugerhält schwache Ugleichuge, d.h. sid a ) N udb ) N koverget ud a b für 0 ), da a b. Achtug: Dies gilt icht für starke Ugleichuge. Mootoiekriterium Satz: Jede mooto wachsede fallede), beschräkte Folge a ) N ist koverget. Beweis: Ist a ) N mooto wachsed, da ist a = sup{a N} der Grezwert der Folge: Gegebe sei ei ε > 0 ud zu zeige ist, dass ei 0 existiert, so dass für alle 0 die Ugleichug a a < ε gilt. Da a eie obere Schrake für alle Glieder der Folge ist ud die Folge mooto wächst, reicht es zu zeige, dass ei 0 mit a 0 > a ε existiert. Ei solches 0 muss es aber gebe, de aderfalls wäre a ε eie obere Schrake für alle a, ei Widerspruch zur Voraussetzug, dass a die kleiste obere Schrake ist. Ist a ) N mooto falled, da ist a = if{a N} der Grezwert der Folge Begrüdug aalog). Beispiele: ) Die geometrische Folge a = c q kovergiert für c 0 ud 0 q < gege 0. Begrüdug: Die Folge a ist mooto falled ud mit 0 a c beschräkt. Daraus folgt die Kovergez gege das Ifimum a der Mege {a N}. Dieser Grezwert a muss gleich Null sei, de a 0 ist offesichtlich ud aus a > 0 würde a q > a folge wege q > ). 33

15 Da gäbe es ei a < a q ud folglich wäre a +2 = a q 2 < a q q2 = aq < a, ei Widerspruch dazu, dass a eie utere Schrake für alle a ist. 2) Die geometrische Reihe s = c q kovergiert für q < gege c q. Begrüdug: Die bekate Formel für die geometrische Summe c q = c q+ q sich leicht mit vollstädiger Iduktio beweise. Folglich ist s = c q+ q ) q+ ) = c q) = c q lässt 3) Die zur Folge Begrüdug: Die Reihe 2 ) N gehörige Reihe kovergiert. s = = ist mooto wachsed, de s + s = +) 2 > 0. 2 = s + k= ) = ) ) ) ) ) ) k 2 = 2 < 2 Teleskopsumme) Damit wurde die Kovergez der Reihe achgewiese, ohe de kokrete Grezwert zu kee. Mit etwas mehr Aufwad ka ma zeige, dass die Reihe gege π2 6 kovergiert. Cauchy-Kriterium Satz: Eie Folge a ) N ist geau da koverget, we ) ε > 0 0,m 0 a a m < ε Der Beweis, dass die Bedigug ) otwedig ist, erfolgt ach dem izwische) übliche Schema. Ma setzt ε = ε 2,erhält ausdergrezwertdefiitio ei 0,sodassfüralle,m 0 der Abstad vo a bzw. a m ) zum Grezwert a kleier als ε ist ud leitet mit der Dreiecksugleichug die Bedigug ) ab. Zum Beweis, dass die Bedigug ) hireiched ist, zeigt ma zuerst, dass aus ) die Beschräktheit vo a ) N folgt ud betrachtet da eie Hilfsfolge b ) N, die wie folgt defiiert ist: b = supa,a +,...) Da die Mege, vo dee das Supremum gebildet wird, immer kleier werde, ist die Folge b ) N mooto falled, vo ute beschräkt durch ifa 0,a,...) ud damit koverget. Es bleibt zu zeige, dass b = b auch der Grezwert vo a ) N ist. Für ei gegebees 34

16 ε > 0 wird ε = ε 3 gesetzt: Bedigug *) : 0 m, 0 a a m < ε b = b : > 0 b b < ε b = supa,a +,...) : 2 > a 2 b < ε Dreiecksugleichug: : 2 a b a a 2 + a 2 b + b b < 3ε = ε Eie wichtige Awedug des Cauchy-Kriteriums besteht im Nachweis der Kovergez der alterierede harmoische Reihe. Die harmoischereihe s = = i ist icht koverget, sie divergiert gege : s 2 = > }{{} }{{} 2 } {{ } 4 = = +2 2 Im Gegesatz dazu kovergiert die alterierede harmoische Reihe 2 } {{ } 2 s = i+ i = i= Zum Beweis ka ma die Differeze s m s für m > utersuche ud mit vollstädiger Iduktio ach m die folgede zwei Eigeschafte achweise:. s m s 0 ist gerade 2. s m s + Mit der zweite Eigeschaft ist das Cauchy-Kriterium erfüllt ud folglich kovergiert die Reihe. Diese Beweisidee ka auch dazu verwedet werde, eie verallgemeierte Aussage über alterierede Reihe abzuleite. Satz: Ist eie Nullfolge a ) N mooto wachsed oder falled), da kovergiert die alterierede Reihe s = ) a. 3.3 Die Eulersche Zahl e ud die Expoetialfuktio I diesem Abschitt wird die Eulersche Zahl e als Grezwert eier spezielle Reihe eigeführt ud die Gleichheit mit dem Grezwert eier adere Folge gezeigt. Aus dem Zusammespiel dieser beide Grezwerte ergebe sich iteressate Eigeschafte vo e, isbesodere als Basis der Expoetialfuktio ud des atürliche Logarithmus. Satz: Reihe s = k! = ! +...+! kovergiert. 35

17 Begrüdug mit dem Mootoiekriterium: ) Die Reihe ist streg mooto wachsed, de s + s = +)! > 0. 2) Die Reihe ist vo obe durch 3 beschräkt:! s k= 2 k = + 2 = + 2 < Defiitio: Die Eulersche Zahl e ist defiiert als Satz: Die Folge a = ) k ) + ) kovergiert gege e. ) 2,7828 k! Vor dem Beweis soll die Bedeutug dieser Folge für atürliche Wachstumsprozesse a eiem Beispiel erläutert werde. Eie Kapitalalage soll i eiem Jahre mit eiem fiktive Zissatz vo 00% verzist werde. Was ist der Uterschied zwische eier eimalige Verzisug ach Ablauf des Jahres, eier moatliche Verzisug mit 00 2 % udeier tägliche Verzisug mit %? Der Faktor der Kapitalvermehrug bei -facher Aufzisug wird durch das Folgeglied a = + ) beschriebe. Beweis: = jährliche Aufzisug a = 2 = 2 moatliches Aufzisug a 2 = 2,63 = 365 tägliche Aufzisug a 365 = 2,74 Mootoie a a = + + ) ) = +) ) ) ) = +) ) 2 = 2 ) 2 = ) 2 ) = Fürdiemit )gekezeichete UgleichugwurdedieBeroulli-Ugleichug h) h mit h = 2 verwedet. Damit ist c mooto wachsed. 36

18 Beschräkug: Wir zeige c e für alle N. c = + = ) k) k! e ) k Für die mit ) gekezeichete Ugleichug wurde die folgede Abschätzug verwedet k) ) k )... k +) = k!... k! Kovergezgegee: NachdemMootoiekriterium kovergiert diefolge a ) N gege eie Grezwert a e. Im Folgede wird a s N für jede feste Wert N N gezeigt. Daraus folgt die Ugleichug a s e ud letztlich. a = e a = + ) = N N a k) k k! N N ) = ) k) k ) N N k! N ) ) = Die Expoetialfuktio als Grezwert k! ) 2 )... k ) N Satz: Für jedes x R existiert der Grezwert N )) N = k! + x ) N k! = s N Auf de Beweis, der große Ählichkeit mit dem Beweis des letzte Satzes hat, wird hier verzichtet. Die Existez dieser Grezwerte erlaubt die Defiitio der reelle) Expoetialfuktio ud der achfolgede Satz ebefalls ohe Beweis) zeigt die Übereistimmug dieser eue Defiitio mit de scho vorher eigeführte Poteze mit ratioale Expoete. Defiitio: Die Expoetialfuktio exp : R R wird für jedes x R durch expx) = + x ) defiiert. Satz: Für beliebige x,y R gilt expx+y) = expx) expy), d.h. für alle ratioale Zahle q Q gilt expq) = e q. Folgerug : Es gilt exp0) = ud für alle x R ist expx) = exp x). 37

19 Folgerug 2: Die Expoetialfuktio exp ist streg moto wachsed, d.h. aus x < y folgt expx) < expy), ud expx) > 0 für alle x R. Damit ist exp eie bijektive Fuktio vo R ach R +. Die Umkehrfuktio ist der atürliche Logarithmus l : R + R. Der Zusammehag zwische Expoetialfuktio ud atürlichem Logarithmus lässt sich wie folgt charakterisiere: la = b expb) = e b = a isbesodere ist a = expla) = e la Das Expoetialgesetz expx + y) = expx) expy) impliziert für die Umkehrfuktio die Regel la b) = la+lb. Ma ka de atürliche Logarithmus auch utze, um eue Expoetialfuktioe für beliebige Base a > 0 ud ihre Umkehrfuktioe log a defiiere: a x = e la ) x := e la) x ud a b = c log a c = b Isbesodere ka ma aus e lb = b = a log a b = e la log a b die Regel I verallgemeierter Form lautet sie: log a b = la lb ableite. log a b = log ca log c b für alle a,b,c > Grezwerte ud Stetigkeit vo Fuktioe Grezwerte vo Fuktioe Defiitio: Es seie I R ei Itervall a I bzw. a {± } f : I\{a} R bzw. f : I R falls a {± }) eie Fuktio Da gilt: Die Fuktio f hat i a de Grezwert c, falls für jede Folge x I mit dem Grezwert a die Folge der etsprechede Fuktioswerte de Grezwert c hat, d.h.: fx ) = c Die Fuktio f hat i a de liksseitige Grezwert c, falls fx ) = c für jede Folge x I mit dem Grezwert a ud der Eigeschaft x < a. Die Fuktio f hat i a de rechtsseitige Grezwert c, falls fx ) = c für jede Folge x I mit dem Grezwert a ud der Eigeschaft x > a. Zur Notatio verwedet ma: x a fx) = c für de Grezwert fx) = c für de liksseitige Grezwert ud x a 38

20 fx) = c für de rechtsseitige Grezwert. x a+ Da ma mit dieser Defiitio die Grezwerte vo Fuktioe auf Grezwerte vo Zahlefolge zurückgeführt hat, übertrage sich auf atürliche Weise auch die bekate Grezwertsätze ud Kovergezkriterie. Satz: Aus x a fx) = c ud x a gx) = d folgt x a fx)±gx)) = c±d x a fx) gx)) = c d fx) x a gx) = c d falls d 0) Spezialfall: x a b fx)) = b d für b R) Bei de Aweduge kommt es hauptsächlich darauf a, die richtige Termuformuge vorzuehme: x x x x ) x +x x x+) = x x = x + x x+ x x x x = x 0 x+ x = x 0 = x 0 x+ ) x++ ) x x++ x+ x x+ = x 0 = x 0 x+ = 2 x x x+ Satz Vergleichskriterium): Seie f, g ud h Fuktioe mit gx) fx) hx) für alle x I ud a I,so dass gx) = hx) = c x a x a da ist auch Awedug: Berechug des Grezwerts six x 0 x fx) = c x a. Ma vergleicht i der folgede Grafik die Flächeihalte des kleie Dreiecks, des Kreisauschitts ud des große Dreiecks. 39

21 cosx six x π }{{ 2 } kleies Dreieck 2π tax }{{ 2 } großes Dreieck Nu ka de Limes für die beide äußere Werte bestimme: Damit folgt aus dem Vergleichskriterium: x 0 cosx = = x 0+ x 0+ cosx x six = x 0+ cosx x six cosx x si x) = x 0+ Schließlich erhält ma aus der Kehrwertbetrachtug: x six = six x 0 x = x x 0 six = Stetigkeit Defiitio: Es sei I R ei Itervall ud f : I R eie Fuktio. Die Fuktio f heißt stetig im Pukt x 0 I, we x x0 fx) = fx 0 ). Liegt x 0 Rad vo I, wird ur der eiseitige Limes betrachtet. Satz: Eie Fuktio f ist stetig i x 0 geau da, we ) ε > 0 δ > 0 x I x x 0 < δ fx) fx 0 ) < ε) Beweis ): Für jede Folge a ) N mit dem Grezwert x 0 muss fa ) = fx 0 ) gezeigt werde. Das bedeutet formal ε > fa ) fx 0 ) < ε. Für das gegebee ε betrachtet ma das δ > 0 aus der Bedigug ) ud verwedet es i der Grezwertdefiitio vo a = x 0 : 0 0 a x 0 < δ Offesichtlich hat ma damit das gesuchte 0 gefude, de für alle 0 gilt a x 0 < δ ud aus der Bedigug ) folgt fa ) fx 0 ) < ε. Beweis ), idirekt: Ma begit mit der Negatio der Bedigug ) ud muss daraus die Existez eier Folge a ) N mit dem Grezwert x 0 ableite, so dass die Folge fa )) N icht gege dem Grezwert fx 0 ) kovergiert. ) : ε > 0 δ > 0 x I x x 0 < δ ud fx) fx 0 ) ε) Die Folge a ) N wird durch das folgede Argumet kostruiert: a : Setze δ = x a I x x 0 < δ ud fx) fx 0 ) ε) a : Setze δ = x a I x x 0 < δ ud fx) fx 0 ) ε) 40

22 Damit ist x 0 a = x 0 da a x 0 < ), aber fa ) fx 0 ) ε für alle N ud damit ist f icht stetig i x 0. Bemerkug: Ist f i x 0 icht defiiert, aber x x0 fx) R existiert, da ka ma die Defiitio vo f auf x 0 erweiter durch fx 0 ) := x x0 fx). Eie solche Erweiterug wird stetige Fortsetzug der Fuktio f im Pukt x 0 geat. Beispiele: a) Bei ratioale Fuktioe sid behebbare Lücke im Defiitiosbereich scho per Kovetio ausgeschlosse: fx) = x2 x = x ) x+) x wird gekürzt zu x+ Damit ist f) = 2. b) gx) = six x ist auf R\{0} defiiert ud ka durch g0) := auf R fortgesetzt werde. c) hx) = x 2 + x 2 ist auf R\{0} defiiert. Wege x 0 x 2 + x 2 = 2 muss ma zur stetige Fortsetzug h0) := 2 setze. Die folgede Sätze sid wieder eifache Kosequeze aus etsprechede Grezwertbetrachtuge. Satz: Sid f ud g stetig auf I, da sid auch f +g, f g ud f g stetig auf I f g stetig i alle x 0, für die gx 0 ) 0 Satz: Ist eie Fuktio f : I R stetig auf I, eie Fuktio g : D R stetig auf D ud ist gd) I, da ist die Fuktio hx) := fgx)) stetig auf D. Folgeruge: Polyome sid auf R stetig. Ratioale Fuktioe px) qx) mit ggtpx),qx)) = sid stetig i alle x R mit qx) 0. Satz: Für jede auf eiem abgeschlossee Itervall [a, b] stetige Fuktio f gilt: Schrakesatz: K R x [a,b] fx) < K Satz vom Miimum ud Maximum: x 0,x [a,b] x [a,b] fx 0 ) fx) fx ) 4

23 Zwischewertsatz: Gleichmäßige Stetigkeit: c fx 0 ) c fx ) x [a,b] fx) = c ε > 0 δ > 0 x,x [a,b] x x < δ fx) fx ) < ε) Asymptote Defiitio: Asymptote eier Fuktio Kurve) y = fx) sid Gerade der folgede Form: a) Die durch x = a defiierte Gerade ist eie vertikale Asymptote, we fx) = ± oder fx) = ± x a x a+ b) Die durch y = c defiierte Gerade ist eie horizotale Asymptote, we fx) = c oder fx) = c x x c) Die durch y = ax + b defiierte Gerade ist eie schräge Asymptote, we a 0 ud fx) ax b) = 0 oder fx) ax b) = 0 x x Diese drei Arte vo Asymptote köe auch bei ratioale Fuktioe auftrete. Es sei fx) = px) qx) eie ratioale Fuktio wobei ggtpx), qx)) = vorausgesetzt wird. a) Ist b eie Polstelle vo fx), da ist x = b vertikale Asymptote. We b ei k-facher Pol ud k gerade, da sid rechtsseitiger ud liksseitiger Grezwert gleich. We b ei k-facher Pol ud k ugerade, da habe rechtsseitiger ud liksseitiger Grezwert etgegegesetztes Vorzeiche. b) Sei = Gradpx)) ud m = Gradqx)) Ist m >, da ist y = 0 eie horizotale Asymptote vo fx). Ist m =, da ist y = a b m eie horizotale Asymptote vo fx). Ist = m+, da ist die Gerade eie schräge Asymptote vo fx). y = a b m x+ b m a a b m b 2 m Die Formel für die horizotale ud schräge Asymptote folge aus der Polyomdivisio, d.h. die Geradegleichuge sid der gazratioale Quotiet aus der Polyomdivisio. 42