Anwendungen der Differential-und Integralrechnung

Transkript

1 6

2 Kpitel 7 Anwendungen der Differentil-und Integrlrechnung 7. Ebene Kurven Definition. Ist ( I R ein Intervll, so bezeichnen wir ls prmetrisierte Kurve ein x(t Pr α(t = stetig differenzierbrer Funktionen, welche uf I definiert sind. y(t ( x Wir nennen α bei t I regulär, wenn α (t := (t y nicht der Nullvektor (t ist. Mn nennt α uf I regulär, wenn α keine Nullstelle uf I ht. 7.. Beispiele ebener Kurven Die Gerde durch P in Richtung v ist drstellbr durch α(t = P + t v, I = R Der Kreis um M mit Rdius R wird beschrieben durch ( α(t = M cos t + R, I = [, π] sin t 7

3 8 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN 3 Die Neilsche Prbel α(t = (t, t 3, definiert uf I = R ist bei t = nicht regulär. Hier ist ds Bild Die Ellipse mit Brennpunkten A und B ist der geometrische Ort ller derjenigen Punkte, bei denen die Summe der Abstände von A und von B einen konstnten Wert besitzt. Legen wir ds Koordintensystem so fest, dss diese beiden Brennpunkte uf der x-achse liegen, und dss A = ( cos t durch α(t = b sin t ( d, B = ( d, so wird die Ellipse, I = [, π] prmetrisiert, wobei > b > und d = b. Ist nämlich (x, y ein Punkt der Ellipse, so hben wir lso ( x d y ( x d y Ds qudrieren wir und finden ( x + d + y ( x + d = y =,. (x d + y = (x + d + y + 4 (x + d + y

4 7.. EBENE KURVEN 9 Ds ist mit 4(d x + = 4 (x + d + y gleichwertig. Kürzen wir durch 4 und qudrieren nochmls, folgt d x dx = ((x + d + y = x + dx + d + y Ds zusmmen mit b + d = ergibt Division durch b liefert Diese Gleichung wird durch b x + y = 4 d = b x + y b = x(t = cos t, y(t = b sin t erfüllt. Hier ist ds Bild dzu Sicher ist α ohne Nullstellen Die Hyperbel mit Brennpunkten A und B ist der geometrische Ort ller derjenigen Punkte, bei denen die Differenz der Abstände von A und von B einen konstnten

5 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Wert besitzt Ihre Punkte (x, y erfüllen die Gleichung x y b = Die Prmetrisierung für ihre Äste ist dher llgemein α + (t = ( cosh t, b sinh t, α (t = ( cosh t, b sinh t mit I = R. Ist d der Abstnd der beiden Brennpunkte voneinnder, so gilt d + b =. 6 Die Prbel. ( Gegeben sei die Gerde L = {y = y } und der Punkt F = z mit z > y. Dnn ist die Menge P ller Punkte (x, y, deren Abstnd von F gleich ihrem Abstnd zur Gerden L ist, durch die Gleichung gekennzeichnet. Qudrieren ergibt y y = x + (y z y yy + y = x + (y z = x + y yz + z oder (z y y = x y, y = x y (z y

6 7.. EBENE KURVEN Hier ist ds (wohlbeknnte Bild ( mit y =, z = : Die logrithmische Spirle ist prmetrisiert durch α(t = e bt ( cos t sin t, I = R

7 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Es gilt dnn ( cos t α (t = e (b bt sin t + ( sin t cos t 8 Zykloiden. Gegeben seien konzentrische Kreise mit Rdien und b, die sich simultn bewegen sollen. Der Kreis mit Rdius rolle uf der x-achse b. Auf dem Rnd des Kreises mit Rdius b fixieren wir einen Punkt P. Dnn beschreibt der Punkt beim Abrollen des Kreises mit Rdius eine Zykloide. Sie ist regulär, wenn b und ht nicht-reguläre Punkte für = b, wenn t Vielfches von π ist. Hier sind 3 Beispiele, und zwr für > b, = b und < b Die Prmetrisierung der Zykloide ist ( ( ( cos(t π α(t = + t + b sin(t π = ( t b sin t b cos t 9 Die Zissiode des Diokles (c. v. Chr. Im Zusmmenhng mit dem Versuch, ds Problem der Kubusverdoppelung geometrisch zu lösen studierte Diokles die folgende Kurve: Gegeben sei ein Kreis mit Rdius > und ein fester Punkt B uf diesem Kreis. Mit T bezeichnen wir die Tngente durch B n diesen Kreis. Auf dem Kreis liegt

8 7.. EBENE KURVEN 3 gegenüber zu B der Punkt A. Ist P A ein beliebiger Punkt uf dem Kreis, so gibt es einen Schnittpunkt Q(P zwischen der Tngenten T und der Gerden durch A und P. Wir betrchten jetzt zu P denjenigen Punkt S(P uf der Gerden durch A und P, dessen Abstnd zum Punkt A übereinstimmt mit dem Abstnd von P zu Q(P. Wndert P uf dem Kreis, so durchläuft S(P die nch Diokles bennnte Kissiode. Sie ht ihren Nmen dher, dss ihre Form der des Rndes eines Efeublttes ähnelt. (Kissos ist ds griechische Wort für Efeu. Zur Prmetrisierung der Kissiode: Q(P S(P P A B

9 4 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Es sei A = (, und B = (,. Die Koordinten von S(Q seien (x, y und die von P nennen wir ( x, ỹ. Ist dnn Q = (, y Q, so hben wir ( y Q = y x + = ỹ x + (Strhlenstz ( (y Q ỹ + ( x = ( + x + y (Definition von S(P und (3 x + ỹ = (Annhme über P Aus ( folgt y Q ỹ = x ỹ und zusmmen mit ( + x ( x (( ỹ + x + = ( + x + y Wieder mit ( folgt drus ( x (( y + x + = ( + x + y, ws ( x = ( + x impliziert. Wegen < x < muss dnn x = x sein. Ds in ( eingesetzt liefert ỹ = x y. In Verbingung mit (3 erhlten wir dnn + x ( x + x y = ỹ = ( x( + x = ( x( + x Die Punkte (x, y uf der Kissiode erfüllen somit die Gleichung ( x y = ( + x 3 Ds ermöglicht die Konstruktion von 3. Dzu sei M = (,. Die Gerde durch B und M trifft die Kissiode in einem Punkt P = (x, y. Dnn hben wir y x = lso x = y. Ds bedeutet ber, dss ( + x y 3 =. Mn bechte, dss mn nun +x y Nehmen wir n, es sei P = ( cos t, sin t, so liefert α(t = eine Prmetrisierung der Kissiode. mit Zirkel und Linel konstruieren knn. ( cos t cos t sin t +cos t, π < t < π

10 7.. EBENE KURVEN Polrkoordintendrstellung bei Kurven Wir vereinbren folgendes: Definition. Zu jedem Punkt x R \ { } findet mn ein t [, π, so dss ( x = x e(t, e(t cos t := sin t Ds eröffnet die Möglichkeit, durch Whl eine differenzierbren Funktion r : I R durch α(t = r(t e(t eine differenzierbre Kurve zu definieren. Es ist dnn α(t = r(t. Beispiele: Der Kreis um den Nullpunkt: Hier ist r konstnt gleich dem Rdius. Die logrithmische Spirle: Hier ist r(t = e bt. 3 Die Ellipse mit Zentrum im Nullpunkt: Nun gilt r(t = + (b sin t 4 Die Lemniskte oder Cssinische Kurve ist definiert ls geometrischer Ort ller Punkte, bei denen ds Produkt der Abstände von gegebenen Punkten, die wieder Brennpunkte heißen, einen konstnten Wert ht. Sind ( f, und (f, die Brennpunkte, so erfüllen die Punkte x uf der Lemniskte die Gleichung (x + y f (x y = 4 f 4 Mchen wir den Anstz x(t = r(t cos t, y(t = r(t sin t, so wird drus ( r(t f cos(t = 4 f 4 sin (t Ds Prmeterintervll I muss lso so gewählt werden, dss sin(t bleibt. Für f t I ist dnn r(t = f cos(t + 4 f 4 sin (t Für > f knn I = [, π] gewählt werden, ist f, muss I so klein gemcht werden, dss zusätzlich t π in I ist. Dnn wird die Lemniskte durch 4 α(t = f cos(t + 4 f 4 sin (t e(t prmetrisiert.

11 6 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Sie sieht im Fll > f so us: und im Fll = f so: wobei Wie berechnen wir α bei prmetrisierten Kurven in Polrdrstellung? Aus α(t = r(t e(t folgt mit der Produktregel ( e(t sin t = cos t α (t = r (t e(t + r(t e(t,. Es gilt e(t, e(t =, so dss e(t und e(t für lle t liner unbhängig sind. Wenn lso r(t oder r (t, so ist α n der Stelle t regulär Tngente und Normle 7.. Stz. Ist α : I R eine uf dem Intervll I definierte differenzierbre Kurve und t I, so dss α (t := α (t, so gilt:

12 7.. EBENE KURVEN 7 Es gibt ein Intervll J := (t δ, t +δ, so dss α(t α(t für lle t J \{t }. b Die Seknten ( S t := α(t + R α(t α(t zu α durch α(t und α(t streben mit t t gegen die Gerde T α,t := α(t + Rα (t Diese berührt α n der Stelle α(t und wird dher ls die Tngente n α in α(t bezeichnet. Beweis. Ist etw x (t >, so gilt uf einem kleinen Intervl J um t, dss x (t > für lle t J. Es folgt, dss x(t x(t = ± t t x (sds wenn t t. Anlog rgumentiere mn, wenn x (t <, oder wenn y (t ist. b Ist t J \ {t }, so hben wir ( α(t α(t S t = α(t + R α(t α(t α(t α(t Für den Richtungsvektor v(t dieser Seknten gilt v(t = α(t α(t α(t α(t = ε t α(t α(t t t α(t α(t t t

13 8 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN wenn ε t = für t > t und ε t =, wenn t < t setzen. Lssen wir hierin t gegen t gehen, so strebt v(t gegen α (t ( α. (t x Definition. Ist α = : I R y eine Kurve, und ist t I, so bezeichnen wir ls Normle n α im Punkte α(t die Gerde ( y N α,t = α(t + R (t x (t und mit n α (t := den Einheitsnormlenvektor n α in α(t. ( y (t α (t x (t α(t Der Vektor( n α (t ht die Länge, steht senkrecht uf α (t und erfüllt die Bedingung det α (t, n α (t α(t =. Ist die Kurve in Polrkoordinten drgestellt, so hben wir ( r α (t = r (t e + r(t e (t = (t cos t r(t sin t r (t sin t + r(t cos t,

14 7.. EBENE KURVEN 9 wobei Dnn ist n α (t = e(t = = ( cos t sin t ( sin t, e (t = cos t r(t + (r (t ( r (t sin t r(t cos t r (t cos t r(t sin t r(t + (r (t ( r(t e(t + r (t e (t Beispiele Die rchimedische Spirle α(t = t ( cos t sin t Wir berechnen Tngente und Normle bei α(π/3. ( sin t Wegen α (t = e + t hben wir: cos t T α;π/3 = α(π/3 + Rα (π/3 = π ( (( 3 + R 3 + π ( und N α;π/3 = π 6 ( 3 + R (( 3 π 3 ( 3 Die Bogenlänge einer Kurve Wir können die Länge eines Kurvenstückes usrechnen, wenn nur die Kurve differenzierbr ist. 7.. Stz. Ist α : [, b] R eine -ml differenzierbre Kurve, so ist ihre Länge durch gegeben. L α := α (t dt Denn unterteilen wir [, b] in die Teilpunkte t j := + j (b für j =,..., N, so N ist die Weglänge näherungsweise gleich L N := N α(t j+ α(t j j=

15 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN gegeben. Aber unsere Betrchtungen über Tylorpolynome sgen, dss α(t j+ = α(t j + α (t j b N wobei der Fehler R j sich wie /N verhält. Dnn ist ber + R j L N = N j= α (t j b N + F N mit einem Fehler F N /N. Aber die oben stehende Summe ist eine Riemnnsche Summe zum Integrl α(t dt. Mit N erhlten wir die Behuptung. Ist α : I R in Polrkoordinten drgestellt, so gilt α(t = r(t e(t, lso α = r(t + (r (t und dmit L α = r(t + (r (t dt I Beispiele. Die Prbel α(t = (t, t, mit t. Nun hben wir L α = = = = t dt b c + s ds cosh (udu = (sinh(c cosh(c + c 4 ( b + 4 b + ln (b b mit c := Arsinh (b = ln (b b. b Die Archimedische Spirle, α(t = t e(t. Nun ist L α = t + dt = t + dt = (ln (b + + b + b + b

16 7.. EBENE KURVEN Prmetrisierung nch der Bogenlänge Ist wieder α : [, b] R eine stetig differenzierbre Kurve, so ht die Bogenlängenfunktion s : [, b] [, L α ], s(x := x α (t dt, L α := eine Umkehrfunktion h : [, L α ] [, b]. Wir schreiben und finden lso c α (s =. c α (s = α(h(s c α (s = α h h = α α h α (t dt Ist umgekehrt C : [, L] R eine Kurve mit C (s = für lle s, so ist s C (t dt = s, lso der Prmeter s schon die Bogenlänge. Somit sehen wir, dss eine Kurve α genu dnn nch der Bogenlänge prmetrisiert ist, wenn α (t konstnt = ist. Krümmung Angenommen, es sei eine differenzierbre Kurve α : [, b] R gegeben und t (, b. Dnn sehen wir uns die Normlen N α,t n α in α(t n. Ist R >, so ht N α,t mit dem Kreis C um α(t + R n α (t mit Rdius R einen Schnittpunkt q(t. Denn schreiben wir (mit n α (t := α (t/ α(t so muss λ(t die Gleichung q(t = α(t + λ(t n α (t q(t α(t R n α (t = α(t α(t + λ(t n α (t R n α (t = R erfüllen. Ds ist mit ( λ(t + n α (t, α(t α(t R n α (t, n α (t λ(t = R α(t α(t R n α (t = R n α (t, α(t α(t α(t α(t (

17 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN bzw. mit ( λ(t + n α (t, α(t α(t R n α (t, n α (t = R n α (t, α(t α(t α(t α(t + n α (t, α(t α(t R n α (t, n α (t äquivlent. Für t nhe bei t ist die rechte Seite nhe bei R, lso gibt es den Schnittpunkt q(t, wenn nur t nhe genug bei t liegt. Die Funktion λ(t = n α (t, α(t α(t + R n α (t, n α (t R n α (t, α(t α(t α(t α(t + n α (t, α(t α(t R n α (t, n α (t löst Gleichung ( und λ(t =. Bilden wir in ( die erste Ableitung, finden wir lso uch λ (t =. Ds bedeutet Rλ (t = R α (t, n α (t = q(t α(t = λ(t C (t t wie us der Tylorpolynom-Approximtion folgt. Bislng hben wir noch keine Whl für R getroffen. Jetzt bilden wir ber noch die. Ableitung und erhlten Rλ (t = α (t + R α (t, n α (t Bei richtiger Whl des Rdius R wird uch λ (t =. Unser Ergebnis ist nun 7..3 Stz. Angenommen, eine reguläre Kurve α : [, b] R in der Ebene erfülle n einer Stelle t die Bedingung K := det (α, α (t > Es sei R := α (t 3 /K. Dnn gibt es ein δ >, so dss für lle t (t δ, t + δ Es gilt α(t q(t L t t 3

18 7.. EBENE KURVEN 3 Der Kreis C schmiegt sich lso nhe bei α(t gut n die Kurve α n Dher rührt folgende Definition: Ist α : [, b] R eine reguläre Kurve, so heißt die Funktion α α α α (t κ(t := α (t 3 die Krümmung der Kurve α. Wir hben folgende physiklische Deutung der Krümmung: Ist α : [, b] R eine differenzierbre reguläre Kurve, so sei C := α h α wie zuvor die nch der Bogenlänge prmetrisierte Kurve worus folgt C (s = α h h (s, C = α h (h (s + α h h (s, C C C C = α h h ( α h h (s + α h (h (s D c =, ist c, c = und weiter c = α h h ( α h h (s + α h (h (s = (α α α α h (h (s 3 c, ( c c ( c c = κ(h(s ( c c

19 4 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN 7..4 Stz. Bei einer Kurve α(t = r(t e(t in Polrdrstellung gilt κ(t = r (t + r(t r(tr (t (r(t + (r (t 3/. Beispiel. Die Krümmung der Lemniskte r(t = cos(t ist gerde κ(t = 3 r(t. Im Strßenbu muss mn druf chten, dss die Krümmung der Strße immer stetig bleibt, so dss die Autofhrer nicht etw brupt mit Fliehkräften konfrontiert werden, sondern ds Lenkrd gleichmäßig drehen können, um die Kurve zu nehmen. Niemnd wird dher ein gerdes Stück mit einem Hlbkreis ls Kurvenstück zusmmenlegen, d ds gerde Stück die Krümmung und der Hlbkreis konstnte positive Krümmung ufweist. Stttdessen rbeitet mn mit der Klotoide oder Cornu-Spirle ls Übergngsstücke. Bei dieser Kurve gilt κ(h(s = A s mit einem geeigneten Prmeter A >. Ds führt uf die Differenzilgleichungen c = A sc c = A sc ( Angenommen, wir wollen, dss c ( =. Dnn gelten für v(s = Beziehungen v = A sv, v = A sv und dmit Dmit bekommen wir ber c (s = s v(s = cos( s A sin( s A cos( x A dx, c (s = s sin( x A dx Hier sehen wir einen Kreisbogen und ein Stück einer Cornu-Spirle: ( c c die

20 7.. FLÄCHEN-UND VOLUMENBERECHNUNG 5 7. Flächen-und Volumenberechnung 7.. Berechnung von Flächeninhlten Gegeben sei wieder eine Kurve α : [, b] R. Frge: Ist α geschlossen, d.h. lso: α( = α(b, lässt sich dnn der Flächeninhlt der von α berndeten Fläche F α berechnen? Dies ist möglich, wenn nur die Kurve doppelpunktfrei den Nullpunkt umläuft, lso keine Zhlen < t < s < b mit α(t = α(s existieren (die Lemniskte wäre lso nicht zugelssen. Wir erhlten 7.. Stz. Ist α eine -ml stetig differenzierbre, doppelpunktfreie und geschlossene Kurve, welche den Nullpunkt umläuft so dss der Winkel zwischen α(t und der x-achse streng monoton wächst, so ist der Flächeninhlt der von α berndeten Kurve gerde F α = det(α, α (tdt Beweis. Unterteilen wir [, b] in gleiche Teilintervlle der Länge /N und sind ihre Teilpunkte t j = + j (b, so ht ds Dreieck mit Ecken bei, bei α(t N j und α(t j+ die Fläche F j = det(α(t j, α(t j+ α(t j Aber α(t j+ α(t j = α (t j /N + R j mit einem Fehler R j, der sich durch R j,n CN bschätzen lässt. Dmit wird lso F j = det(α(t j, α (t j N + R j

21 6 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Summieren wir über N, finden wir N+ j= F j = N+ j= det(α(t j, α (t j N+ N + Die linke Seite strebt gegen F und die rechte gegen. j= R j det(α, α (tdt, wenn N Der oben geführte Beweis ist uch möglich, wenn der Nullpunkt uf der Kurve liegt! Ist ds nicht der Fll, ersetze mn die Kurve einfch durch α α(. Dnn erhlten wir F α = det(α α(, α (tdt sofern der Winkel zwischen α α( und der x-achse monoton wächst. Diesen Schverhlt benutzt mn bei der Lösung des us dem Altertum beknnten isoperimetrischen Problems: Welche unter llen geschlossenen Kurven vorgeschriebener Länge L umschließt die größte Fläche? Hier ist die Antwort: Die Fläche jeder derrtigen Kurve ist nicht größer ls L 4π und die gesuchte Kurve ist ein Kreis mit Rdius L π. Beispiele. Die Ellipse α(t = ( cos t, b sin t. Nun ist det(α, α (t = cos t b sin t sin t b cos t = b Es folgt F α = π bdt = πb Die Crdioide α(t = ( sin t sin(t, cos t cos(t. Sind ist uf (, π regulär nd -ml stetig differenzierbr.

22 7.. FLÄCHEN-UND VOLUMENBERECHNUNG Dher können wir obige Formel wieder nwenden und finden zuerst det(α, α (t = sin t sin(t cos t cos(t cos t cos(t sin t + sin(t = 6( cos t worus sofort F α = 6π folgt. 3 α(t = (x(t, y(t, wobei x(t = t und y(t = (t (t +. A = = = Also ist A = t t ((t (t (3t + (t dt ( t t ( t 3t + dt ( t ( t( + tdt = ( t + t 4 dt = 8 5. Kurven in Polrdrstellung ( t dt = ( t + t 4 dt Ist α(t = r(t e(t, t [, b], eine Kurve in Polrdrstellung, so ist α (t = r(t e (t + r (t e(t, lso det(α(t, α (t = det( r(t e(t, r(t e (t+r (t e(t = det( r(t e(t, r(t e (t = r(t Also A = r(t dt

23 8 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Beispiele. Sei etw r(t = sin t für t [, π]. Dnn ist A = π ( sin t dt = π (4 4 sin t + sin tdt = 9 π b Sei r(t = + sin t + cos t. Es gilt A = = = π π π r(t dt ( + sin t + cos t dt = π ( + sin t + sin 4 t + cos tdt = ( + sin t + sin 4 t + cos t + cos t + sin t cos tdt π ( + sin t + sin 4 t dt denn + sin t+cos t = +sin t. Nun ist ber π sin tdt = π und π sin 4 t dt = 3π. 4 Somit wird A = 3π Drehfiguren Definition. Sei f : [, b] R eine differenzierbre Funktion mit positiven Werten. Lässt mn die zwischen der x-achse und dem Grphen von f liegende Fläche um die x-achse ( y-achse rotieren, so entsteht eine Figur, die ls Drehfigur D x (f (bzw. D y (f bezeichnet wird. Wir wollen Volumen und Mntelfläche einer derrtigen Drehfigur berechnen. Dzu erinnern wir uns 7.. Hilfsstz. Ein Kegelstumpf der Höhe h mit den Rdien r > r ht ds Volumen V K = π 3 h(r + r r + r und die Mntelfläche A K = π(r + r h + (r r = π(r + r s, wobei s die Mntellinie des Kegelstumpfes ist. Nun beweisen wir eine llgemeine Formel durch Approximtion mit Riemnnschen Summen.

24 7.. FLÄCHEN-UND VOLUMENBERECHNUNG Stz. Sei f : [, b] R eine positive Funktion (b > >. Dnn gilt für ds Volumen des Drehkörpers D x (f: V (D x (f = π Seine Mntelfläche ist A(D x (f = π f(x dx f(x + (f (x dx Beweis. Wir unterteilen [, b] in N gleiche Teilintervlle mit Ecken x j = + j (b, wobei j +,..., N +. Dnn wird ds gesuchte Volumen durch N+ N j= V j pproximiert, wobei V j ds Volumen der Zylinders mit Höhe (b /N und Rdius f(x j sein soll. Nun ist ber V j = π b N f(x j Summieren wir über lle j und lssen dnn N gegen unendlich gehen, so folgt die Behuptung. pspdf kissiode.ps Ähnlich verfhren wir bei der Herleitung der. Behuptung. Die Unterteilung des Intervlls [, b] führt uf eine Vereinigung von Kegelstümpfen mit der Höhe (b /N und den Rdien f(x j+ und f(x j. Jeder Kegelstumpf ht die Mntelfläche A j = π (x j+ x j + (f(x j+ f(x j ( f(x j + f(x j+ = πf(x j + (f (x j (x j+ x j + f N mit einem Fehler f N, der durch f N CN bgeschätzt werden knn. Nun summieren wir über j und lssen N gegen gehen. Beispiele. Die Hyperbel f(x = /x rotiere für x 3 um die x-achse. Dnn ht der Drehkörper ds Volumen 3 dx V (D x (f = π x = π 3

25 3 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN und die Mntelfläche b A = π = π ( x x dx x 3 + x4 dx = π 3 (x 4 3/ + x4 (4x 3 dx = 8 π + t dt t 3/ ( 8 8 = π + t + dt t t + t ( 8 = π ds + s (mit der Substitution t = s. ( 8 = π + + Arsinh(9 Arsinh( 9 Zusmmen erhlten wir lso mit Arsinh(t = ln (t + + t. ( A = π 8 + ln (9 + 8 ln ( + = Die Ellipse { x x. und für die Mntelfläche mit k := + y b = } rotiere um die x-achse. Dnn hben wir f(x = V (D x (f = πb A = 4πb = 4πb = 4πb ( b. Aber k t dt = t k t ( x dx = 4π 3 b x t k t dt + k rcsin (kt + b x / 4 dx x + b t t dt = k + rcsin (k k

26 7.. FLÄCHEN-UND VOLUMENBERECHNUNG 3 3 Die Prbel f(x = x uf [, b]. Nun hben wir und A = π = π V (D x (f = πx 4 dx = πb5 5 x + 4x dx = π t + 4tdt = π = π b + 4b ( 8 + b π Arsinh (b 3 x (x + 4 x dx t + 4t( 8 + t π 3 Arsinh ( t b Hier ist ds Schubild: Drehung um die y-achse 7..4 Stz. Sei f : [, b] R eine positive Funktion (b > >. Dnn gilt für ds Volumen des Drehkörpers D y (f: Seine Mntelfläche ist V (D y (f = π A(D y (f = π xf(xdx x + (f (x dx

27 3 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Beweis. Wir unterteilen [, b] in N gleiche Teilintervlle mit Ecken x j = + j (b, wobei j +,..., N +. Dnn wird ds gesuchte Volumen durch N+ N j= V j pproximiert, wobei V j ds Volumen der Kreisring-Zylinders mit Höhe f(x j und Kreisringrdien x j+ und x j sein soll. Nun ist ber V j = πf(x j (x j+ x j = πf(x j (x j+ + x j b N = πf(x jx j b N + f N, mit einem Fehler f N N. Summieren wir über lle j und lssen dnn N gegen unendlich gehen, so folgt die Behuptung. Ähnlich verfhren wir bei der Herleitung der. Behuptung. Die Unterteilung des Intervlls [, b] führt uf eine Vereinigung von Kegelstümpfen mit der Höhe f(x j+ f(x j und den Rdien x j+ und x j. Jeder Kegelstumpf ht die Mntelfläche A j = π(x j+ + x j (f(x j+ f(x j + (x j+ x j = πx j + (f (x j (x j+ x j + f N mit einem Fehler f N N. Summieren wir über lle j =,..., N und lssen N gehen, folgt die Behuptung.

28 7.. FLÄCHEN-UND VOLUMENBERECHNUNG 33 Angenommen, f : [, b] [c, d] sei invertierbr und f( = c, f(b = d. Bezeichnet dnn D y (f die Drehfigur, die bei Drehung der Fläche zwischen dem Grphen von f und der y-achse entsteht, so wird V ( D y (f durch V ( D y (f = πb d V (D y (f ( = π b d xf(xdx ( = π b d x f(x b + ( = π c + x f (xdx ( = π c + d c g(y dy x f (xdx = (mit der Substitution y = f(x, mit g := f Beispiel. Die Funktion f(x = x uf [, b]. Nun wird V (D y (f = π x 3 dx = πb4 und A(D y (f = π x π + 4x dx = π + 4tdt = 6 ( + 4b 3 Schließlich ist noch V ( D y (f = π x f (xdx = π x 3 dx = π b4. Hier ist die Drehfigur:

29 34 KAPITEL 7. KURVEN UND FLÄCHEN Prmetrisierte Kurven Sei nun α = (x(t, y(t : [, b] R eine gltte Kurve ohne Doppelpunkte. Dnn ht die bei Drehung von α um die x-achse entstehende Figur die Mntelfläche A x = π y(t α (t dt Die bei Drehung um die y-achse entstehende Figur ht die Mntelfläche wobei x nlog zu ŷ definiert ist. A y = π x(t α (t dt Die Ableitung dieser Formel geht ähnlich zu denen der früheren Formeln, wenn wir nur bechten, dss πy(t α (t dt die Mntelfläche der infinitesiml kleinen Vergleichskegelstümpfe wiedergibt. Beispiele. Sei α die Zykloide α(t = (t sin t, cos t. Dnn ist α = ( cos t, sin t und dmit α = cos t = sin(t/. So finden wir lso π π π A x = 4π ( cos t sin(t/dt = 8π sin 3 (t/dt = 6π sin 3 s ds = 64π 3 und π π A y = 4π sin(t/(t sin tdt = 6π s sin(sds = 6π Die Hyperbel α(t = (cosh t, sinh t, für t [, t ].

30 7.. FLÄCHEN-UND VOLUMENBERECHNUNG 35 Nun hben wir A x = π = π = π t = π t sinh(t cosh t + sinh tdt = π cosh t x dx Arcosh ( cosh t sinh udu sinh(t cosh t dt (Arcosh ( cosh t sinh(arcosh ( cosh t cosh t = ( π Arcosh ( cosh t cosh t cosh(t wobei Arcosh (v := ln (v + v für v. In entsprechender Weise berechnet mn A y.