Inhalt SiSy Dqtm DiskSys, 3 LTI. SiSy Overview. Kontinuierliches System SiSy Dqtm DiskSys, 4. Einführung LTD Systeme

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1 SiSy Overview SiSy2 28 Dqtm DikSy, SiSy2 28 Dqtm DikSy, 2 Signal tep / impule / rect / inc Sytem u(t) U(ω) LI DGl; BSB; ZVD; h(t); g(t); G(ω); G() y(t) Y(ω) LD Syteme continuou / dicret periodic / aperiodic determinitic / random repreentation in time / frequency domain power and energy in freq domain LD u[n] DzGl; BSB; ZVD; U(z) g[n]; G(ω); G(z) lineariation feedback and tability dicretiation Y(z) M d Q avare, B425 dqtm@zhaw.ch ranform FR ; F ; DF/FF : Laplace : t S-Plane ω f pplication Biomedical / Operational Reearch/ Senoric & Metechnik utomation / Location & elecommunication Sytem Data Compreion & Cryptography / Image Proceing / udio Synthei & nalyi Statitical Signal Proceing Z-ranformation : DC : x y n Z-Plane Control (R) elecomm (NM) SigProc (DSV, SV) pplied Mathematic (SiSy) Mathematic Inhalt SiSy2 28 Dqtm DikSy, 3 Kontinuierliche Sytem SiSy2 28 Dqtm DikSy, 4 Dartellungarten Einführung LD Syteme (Vergleich mit kontinuierlichen LI Sytemen) Dartellungarten u(t) U(ω); U(f) U() LI y(t) Y(ω); Y(f) Y() Z-ranformation Übertragungfunktion Dikretiierungmethode Differentialgleichung Impulantwort Shitt Schrittantwortt t Frequenzgangfunktion Übertragungfunktion Blockchaltbild Zutandvariablen

2 Dikrete Sytem SiSy2 28 Dqtm DikSy, 5 Lichtregelungmodell SiSy2 28 Dqtm DikSy, 6 Dartellungarten Signal Generator Gitter u[n] U(ω); U(f) U(z) LD Y(ω); Y(f) Y(z) Sollwert y oll - Regler Stellgröe u Lampe Licht- enor Differenzengleichung Impulantwort Shitt Schrittantwortt t Frequenzgangfunktion Übertragungfunktion Signalfludiagramm (Blockchaltbild) Zutandvariablen X G R G L K 2 Z Y Megröe y M Digital Signalverarbeitung SiSy2 28 Dqtm DikSy, 7 Beipiel- :Differenzengleichung SiSy2 28 Dqtm DikSy, 8 f f g <f/2 f g <f/2 nti-liaing- Filter DC DSP DC mit ZOH f Pot-Filter Lineare, zeitinvariante, analoge Syteme > Differentialgleichungen R τ RC x(t) C y(t) τ dy(t)/dt + y(t) x(t) Lineare, zeitinvariante, dikrete Syteme > Differenzengleichungen Zahlenfolge Dikrete Zahlenfolge u[n] Sytem dy(t)/dt (/ ) [ - y[n-] ] b b - a y[n-] -a b /( +τ) und a b -.

3 Differenzengleichung und Signalfludiagramm SiSy2 28 Dqtm DikSy, 9 Dikrete Syteme : Eigenchaften SiSy2 28 Dqtm DikSy, N k M bk x[n k] ak y[n k] k x[n-]... x[n-n] b b b N- b N... -a M -a M- -a y[n-m]... y[n-] Nicht-rekurive i Syteme (FIR-/ranveralfilter) Rekurive Syteme (IIR-Filter) Welche ind LD? Welche ind rekuriv? u k Dikrete Syteme x k ufpaen mit verchiedenen Notationen Beipiel-2 : SiSy2 28 Dqtm DikSy, Beipiel-3 : Zutandraumdartellung SiSy2 28 Dqtm DikSy, 2 Kuhherde Übung : Betimmen den Sytem-yp und zeichnen da Fludiagramm

4 Beipiel-3 : Zutandraumdartellung SiSy2 28 Dqtm DikSy, 3 Beipiel-3 : Zutandraumdartellung SiSy2 28 Dqtm DikSy, 4 Kuhherde Kuhherde Sto- oder Impulantwort nregung : SiSy2 28 Dqtm DikSy, 5 Beipiel-4 : Impulantwort SiSy2 28 Dqtm DikSy, 6 ek PI-Regler ur_k

5 Impulantwort und Faltungumme SiSy2 28 Dqtm DikSy, 7 Faltung (Beipiel) SiSy2 28 Dqtm DikSy, 8 pproximation RC-iefpa. Ordnung, RC, f Hz: b.99 und a δ[n] n LD- Sytem h[n] (Impulantwort) n Betimmung der ugangfolge für beliebige Eingangfolgen xn [ ] xk [ ] δ[ nk] k x [n] x[] δ[n] > x k [n] x[k] δ[n-k] > y [n] x[] h[n] y k [n] x[k] h[n-k] y[] yn [ ] xk [ ] hn [ k] hk [ ] xn [ k] k k Faltung (Beipiel 2) SiSy2 28 Dqtm DikSy, 9 z-ranformation SiSy2 28 Dqtm DikSy, 2 x[n-k] h[k] RC-iefpa-pproximation: b.2 und a -.8 Signal: Sägezahnimpul dikrete Zeit n - dikrete Zeit n dikrete Zeit n dikrete Zeit n h[k] x[n-k] h[k] x[n-k] h[k] x[n-k] Bevor ein Signal x eintrifft (n < ) it der ugang y (kauale Sytem). ugangignal y Faltung der Impulantwort t h mit den eingetroffenen Signalen x. Faltung Signale piegeln, mit Impulantwort multiplizieren, erme aufaddieren. Laplace-ranformation n von : X () x [] n e Subtitution: z e n Definition z-ranformation: X ( z ) x [ n ] z Eigenchaft: Zeitverchiebung n n x[n-k] z -k X(z)

6 z-ranformation & Impulantwort SiSy2 28 Dqtm DikSy, 2 Eigenchaften der z-ranformation SiSy2 28 Dqtm DikSy, 22 Beipiel PF.Ordnung (Differenzengleichung DzGl- S.8) Linearität (!) a x [n] + b x 2 [n] a X (z) + b X 2 (z) n h[n] b -a b a 2 b -a 3 b H(z) z +b z -a b z - +a 2 b z -2 -a 3 b z -3 b H(z) b ( - a z + a z -+...) +a z a z Zeitverchiebung (!) Faltung (!) Multiplikation mit Exponentialfolge Multiplikation mit der Zeit x[n-k] z -k X(z) * h[n] X(z) H(z) a n X(z/a) n -z dx(z)/dz Impulantwort h[n] b. (-a) n nfangwerttheorem für eineitige z-rafo Endwerttheorem für eineitige z-rafo x [ ] lim X ( z ) z lim x[ n] lim ( z ) X ( z) n z Frequenzgang eine LD-Sytem SiSy2 28 Dqtm DikSy, 23 z-ranformation - Fouriertranformierte SiSy2 28 Dqtm DikSy, 24 H(z): Übertragungfunktion (UF) z-ranformierte der Impulantwort h[n] Fourier-/Laplace-ranformation: X(f) X( j2πf) N k bk x[n k] ak y[n k] M k Laplace-/z-ranformation: X() X(z e ) Fourier-/z-ranformation: X(f) X(z e j2πf ) Beipiel: pproximation RC-iefpa. Ordnung mit f g Hz g f khz, b.6, a -.94 > b H(f) + a e j2π f

7 Frequenzgang eine LD-Sytem SiSy2 28 Dqtm DikSy, 25 Frequenzgang eine LD-Sytem SiSy2 28 Dqtm DikSy, 26 H(z): Übertragungfunktion (UF) z-ranformierte der Impulantwort h[n] H(f): Frequenzgang H(f) H(ze j2πf ) Fourier-ranformierte von h[n] Polarkoordinatendartellung > IH(f)I: mplitudengang meiten in db, d.h. 2*log (IH(f)I) gerade Funktion, d.h. IH(f)I IH(-f)I φ(f): Phaengang ungerade Funktion, d.h. φ(f) -φ(-f) φ(f) arctan( Im[H(f)] / Re[H(f)] ) H(f) IH(f)I Im[H(f)] φ(f) Re[H(f)] H(f) H(f) e H *(-f) H(-f) e j ϕ (f) -j ϕ (-f) wenn h[n] reell: H(f) H*(-f) Bedeutung de mplituden- und Phaengang co(2πf n ) H(f) IH(f )I co[2πf n +φ(f )] IH(f )I co[2πf (n -ΔΔ )] wobei Zeitverzögerung g Δ (f ) ϕ 2π f Linearer Phaengang φ(f) -K f H(f) verzögert alle Frequenzkomponenten um ΔK/2π Frequenzgang eine LD-Sytem z-ranformation der -Ebene SiSy2 28 Dqtm DikSy, 27 SiSy2 28 Dqtm DikSy, 28 Subtitution z e -Ebene Im() z-ebene Im(z) j2π f j2π f /2 -j2π f /2 Re() Re(z) -j2π f Imaginäre -che wird mehrfach auf z-einheitkrei abgebildet Linke -Halbebene wird mehrfach in den z-einheitkrei abgebildet

8 PN-Dartellung der UF SiSy2 28 Dqtm DikSy, 29 Vergleich: Laplace-, z- und Fourier-rafo Demo: dvkap4_digiy_vergleich.m SiSy2 28 Dqtm DikSy, 3 H(z) b N (z z Nulltellen der UF k k MN z M k ) (z p k ) N j2πf e k H(f) K M j2πf k e z p Pole der UF btand Punkt Pe j2πf auf Einheitkrei zu Pol p k Beipiel: K - - f f /2 + 3 Pole H(z) K (z-) (z+j) (z-j) / z 3 H(ff /8) K 2 3 / 3 4 k k Pe j2πf 2 für ff /8 4 f 3 Nulltelle (H) ab 2 kontinuierlich in der -Ebene (Laplace): σ+j*ω Im() ω Re() σ zeitdikret in der z-ebene (z-ranformation): z exp(*) ab(h H) (H) ab ab(h H) mplitudengang entlang der imaginären che (Fourier) ω mplitudengang entlang dem Einheitkrei (Fourier) Im(z) - Re(z) ω/ Zuammenfaung LD-Syteme SiSy2 28 Dqtm DikSy, 3 Z-ranformation : -z mapping SiSy2 28 Dqtm DikSy, 32 Impulantwort h[n] Faltungumme * h[n] k Differenzengleichung h[k] x[n k] zexp(. ) H() > H(z) Polynom in Polynom in z (oder z - ) N k bk x[n k] a y[n k] M k k Methoden (Matlab c2d): X(f) Y(f) X(f) H(f) H(f): Frequenzgang X(z) Y(z) X(z) H(z) H(z): Übertragungfunktion nktion H(f) H(f) n H(f nf ) Y(z) b + b z b z H(z) X(z) a z... a z < -j2πf n h[n] e H(f) H(ze j2πf ) n- N N M M Matched Pole and Zero utin (or bilinear) approximation utin with Frequency Prewarping Zero-Order Hold Firt-Order Hold Impule Invariance

9 Bilineare z-ranformation Mapping der Bilineare z-ranformation SiSy2 28 Dqtm DikSy, 33 SiSy2 28 Dqtm DikSy, 34 z e ln Potenzreihe ( z) -Ebene σ + jω 2 z z + z-ebene z e ( σ D + jω D ) z z z ln( z) z + 3 z + 5 z + Nach dem erten Glied abgebrochen 2 z 2 z z + + z z z (Inneneite) jω j ωd ω ± z e ω ± ω D Nyquit Dreht nur einmal rund Im -Ebene um dem Einheitkrei Im z-ebene kein liaing-effekt!! Nicht lineare ranformation!! Genauer je kleiner z- wird Re Re Zuammenhang zwichen: analoge Frequenzache digitale Frequenzache SiSy2 28 Dqtm DikSy, 35 -Ebene z-ebene jω jωd Beipiel : ω Nyquit z e π ω j ω j Nyquit ω ωd tan 2 2 ωd ω arctan 2 2 Bilineare ranformation z-rafo 2 z z + SiSy2 28 Dqtm DikSy, 36 f-rafo: j2πf analog j(2/ ) tan(πf digital ) kein liaing! aber Frequenztauchung! f analog IH a (f)i z-ranformation z e π j e jπ Im 5 z-ebene Re bilineare z- ranformation π 2 2 π ωd arctan arctan 2 2 π j 2arctan jω 2 D Verzerrung der Frequenzache (warping) z e e,42 + j,9 Vorverzerrung (prewarping) -f /2 f DB f /2 f digital prewarping IH(f)I f DB f /2 f analog f digital

10 Übung: P.Ordnung SiSy2 28 Dqtm DikSy, 37 Übungen SiSy2 28 Dqtm DikSy, 38 H () + ω Wie ehen ie au? 2 z z + ) Betimmen H D (z) Durch die bilineare z-ranformation H H D D Frequenzgang Impulantwort PZ-Map ( z)? ( jω) H ( ω)? D Übung 5: Digitale Syteme im Zeit- und Frequenzbereich Übung 6: Dikrete Fourier ranformation (DF) Einige MLB Befehle für Deklaration & nalye von LD Syteme b : Vektor mit Koeffizienten de Zähler von H(z) a : Vektor mit Koeffizienten de Nenner von H(z) Sytem ntwort zum y_n filter( b, a, u_n) Eingangignal u[n] 3) Skizze de Blockdiagramm (oder Signalfludiagramm), und Berechnung von h[n]. 2) Skizze von PZ-Map und Schätzung von H D (ω) Überprüfen Sie ihre ntworte mit Matlab. Plot von Frequenzgang freqz( b, a) Plot von PN-Diagramm in Z-Ebene zplane( b, a) Z-ranformation : -z mapping zexp(. ) SiSy2 28 Dqtm DikSy, 39 H() > H(z) Polynom in Polynom in z (oder z - ) Methoden (Matlab c2d): Matched Pole and Zero utin (or bilinear) approximation utin with Frequency Prewarping Zero-Order Hold Firt-Order Hold Impule Invariance Dikrete Modelle kontinuierlicher Syteme SiSy2 28 Dqtm DikSy, 4 > nnäherung ein LI-Sytem durch ein dikrete LD-Sytem Möglichkeiten:. bleitung durch Euler-Differenzenverfahren in Differentialquotienten eretzen dy(t)/dt (/ ) ) [y(n ) )-y((n-) ) )] Bmk: nur für geringe Ordnung und kleine genau. 2. Zeitverhalten de kontinuierlichen Sytem für bekannte nregungignal (e.g. Impul- oder Schrittantwort) al dikrete Folge approximieren u(t) u[k] U(z) LI y(t) H() k U ( z) u[ k] z k H z LD y[k] k Y ( z) y[ k] z H(z) Y(z) k ( ) Y ( z) U ( z) Bmk : nfällige (uceptible) zum liaing. Intereant für F >> f max

11 Dikrete Modelle kontinuierlicher Syteme SiSy2 28 Dqtm DikSy, 4 Dikrete Modelle kontinuierlicher Syteme SiSy2 28 Dqtm DikSy, 42 > nnäherung ein LI-Sytem durch ein dikrete LD-Sytem Möglichkeiten: 3. Gegeben kontinuierliche Sytem und D/-/D Methoden, die äquivalente dikrete Sytem betimmen Methoden (Matlab c2d): utin (or bilinear) approximation w/ and w/o prewarping num ; den [M b k]; y_c tf(num,den); y_d c2d(y,, tutin ) y_d2 c2d(y,, prewarp ) ) u[k] D/ mit ZOH LI H() /D y[k] Impule Invariance y_d3 c2d(y,, imp ) h t h n ti l d di M tl bf ti ( ) [ ] t. Bmk : Gewichtung de LI-Impulantwort not included in Matlab function n H D (z) H ZOH (z) Zero-Order Hold y_d4 c2d(y,, zoh )