KAPITEL 2: CONFIGURATION INTERACTION
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- Jakob Berndt Hermann
- vor 5 Jahren
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1 . onfguratonswehselwrkung. Brlloun-heorem und later-condon Regeln.3 orrelatonsenerge n CI-Methoden.4 runated CI.5 U, R und Full-CI: ssozaton APIEL : COFIGURAIO IERACIO Lteratur: z.b: zabo, Ostlund Modern Quantum Chemstry, over
2 . onfguratonswehselwrkung Man brauht zur Beshrebung von Elektronenkorrelaton mehrere etermnanten! Ansatz: Gesamtwellenfunkton st ene Lnearkombnaton aller möglhen - Elektronen-laterdetermnanten CI ra r a r a ab rs rs ab rs ab ab rst rst ab rst ab Werden alle onfguratonen mtgenommen, st das Ergebns exakt nnerhalb der gewählten Bass (= Full CI) 77
3 . Angeregte etermnanten s r s r s r + b a + b a + b a a b rs ab r s r a r b 78
4 . onfguratonswehselwrkung Mt AO s (= Raumorbtalen) pnorbtale. azu Elektronen: Gesamtwellenfunkton st Lnearkombnaton aller möglhen -Elektronen- laterdetermnanten (onfguratonen), mt atz von pnorbtalen { } CI!!! Energen snd de Egenwerte der amlton-matrx also de Matrxelemente aus dem atz von etermnanten { }. Mnmerung der Energe onfguratonen 79
5 . CI-Energe: Lagrange Mnmeren der Energe, ebenbedngung: Gesamtwellenfunkton st normert (Lagrange-Verfahren) L CI CI Expanson der CI-Wellenfunkton: CI CI CI CI E CI CI agonalelemente snd de Energen der entsprehenden etermnanten. Überlapp zwshen vershedenen etermnanten =, da dese aus orthogonalen MO s aufgebaut snd. 8
6 . CI-Energe: Lagrange 8 Varatonsprnzp: Abletung der Lagrangefunkton nah den oeffzenten = E a a L L (Ist nur ene etermnante n der Expanson ( =, = ), dann st der Lagrange-Multplkator de CI-Energe). Für edes gbt es ene Glehung Umwandlung des Varatonsproblems n enen atz von CI-äkularglehungen.
7 . äkularglehung 8 Varatonsprnzp: CI-äkularglehungen: E E E Lösen der äkularglehung agonalseren der CI-Matrx. CI-Energe: nedrgster Egenwert der CI-Matrx; Egenvektor enthält de oeffzenten für de etermnanten. ähst nedrgster Egenwert: Energe des ersten angeregten Zustands usw. CI-Matrxelemente
8 . onfguratonswehselwrkung 83 CI-Matrx: Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q In der CI-Matrx snd enge Matrxelemente =
9 . CI-Matrxelemente CI-Matrxelemente snd, wenn deren etermnanten, untershedlhe pnzustände beshreben. (er pnantel kann abseparert werden, falls der amltonoperator kenen pn enthält, also kene pn-bahn-opplung). e etermnanten können mmer als ene umme von Produkten von MO s dargestellt werden. 3 Ist z.b. de -etermnante en ngulett, und z.b. ene -etermnante en rplett, gbt es mndestens en Integral. oll en ngulett-zustand berehnet werden, mshen nur andere ngulett- etermnanten n de CI-Wellenfunkton. Ebenso: ymmetre: nur etermnanten mt der glehen ymmetre können mshen (der amltonoperator st mmer totalsymmetrsh). 84
10 . CI-Matrxelemente Lnearkombnaton von laterdetermnanten, damt dese Egenfunktonen des Operators snd (pn-adapted Confguratons oder Confguratonal tate Funtons, CF): - + ngulett CF rplett CF Wetere CI-Matrxelemente snd ull wegen later-condon-regeln und Brlloun-heorem 85
11 . Brlloun heorem+ later-condon Regeln 86
12 . later-condon Regeln 87 O O amlton-operator st de umme aus e- und e- Operatoren pq mn mqnp mpnq M mnnp mpnn pn mn L mnnm mmnn mn mn M p m p m L n m n m n n m n m n m m O O O O h h O h h O pq M p n L m n
13 . later-condon Regeln later-condon-regeln: snd etermnanten gleh, entsprht das Matrxelement der Energe der -etermnanten-wellenfunkton O O m m m n h n mn mn L M m n p n pq Untersheden sh etermnanten n mehr als MO s st das entsprehende Matrxelement =. as Matrxelement zwshen der -etermnante und ener -etermnante untersheden sh n MO s, also: O M O M mn pq 88
14 . Brlloun-heorem as Matrxelement zwshen der -etermnante und ener -etermnante untersheden sh n MO, also: a F r r a a r r a h r r ar a r a r, da as Matrxelement zwshen der -etermnante und ener -etermnante st exakt ull (Brlloun-heorem). e -etermnante hat nur Matrxelemente, de nht null snd, mt - etermnanten 89
15 . CI-Matrx 9 CI-Matrx: Q Q Q Q Q Q Brlloun-heorem later-condon-regeln later-condon-regeln
16 . Full-CI, Bespel Bespel: nnerhalb der mnmalen Bass für Elektronen (Für -Elektronen-ysteme können maxmal oppelanregungen auftreten) Full CI 3 4 rplett; Grundzustand st ngulett, erme fallen raus Für ene größere Bass gbt es natürlh wetere und - onfguratonen 9
17 . Full-CI, Bespel Bespel: nnerhalb der mnmalen Bass für Elektronen: 4 pnorbtale 3 4 Anzahl der etermnanten: 4 4!!! 6 Full CI 3 4 Für ene größere Bass gbt es natürlh wetere und - onfguratonen 9
18 . Full-CI, Bespel: nnerhalb der mnmalen Bass für Elektronen rplett Full CI 3 4 ene Egenfunktonen des - Operators Lnearkombnaton 93
19 . Full-CI, Full CI 3 4 Broulln heorem Enfahanregungen fallen raus Für ene größere Bass gbt es natürlh Full CI wetere und - onfguratonen 94
20 CI Full Anwendung der Evaluaton der Matrxelemente:. Full-CI, h h h h h h 95
21 . Full-CI, Full CI Integraton über den pn: h h h h h J h h h J agonalseren der Matrx Egenwerte 96
22 .3 CI-orrelatonsenerge Ist de -Wellenfunkton ene gute äherung für de Grundzustandswellenfunkton, dann st groß. Für shreben wr ene zwshennormerte Wellenfunkton: CI ra r a r a ab rs amt st de CI-Wellenfunkton nht normert: rs ab rs ab ab rst rst ab rst ab CI CI CI ra r a ab rs rs ab ab rst rst ab Ausdruk für de orrelatonsenerge (whtg snd de oeffzenten der oppelanregungen): E rs korr ab ab rs rs ab 97
23 .3 CI-orrelatonsenerge Ausdruk für de orrelatonsenerge (whtg snd de oeffzenten der oppelanregungen): E rs korr ab ab rs rs ab as bedeutet nht, dass nur de oppelanregungen zur Berehnung der vollen CI herangezogen werden müssen. e oeffzenten { ab rs } hängen von anderen Anregungen ab! 98
24 .3 CI-orrelatonsenerge, Full CI h J h agonalseren der Matrx Egenwerte J h J h J h J h J, E h J E rs korr ab ab rs rs ab 99
25 .3 CI-orrelatonsenerge, () () E J h J h E E E E E E korr E korr korr korr CI CI korr CI
26 .4 Größe der CI-Matrx
27 .4 Größe der CI-Matrx
28 .4 runated CI Außer für sehr klene Moleküle und klene Basssätze st en Full-CI nht lösbar. Enzge Möglhket: Rehenentwklung abbrehen (trunate): r r rs rs Full CI a a ab ab ar ab rs CI CI Für den Grundzustand muss das enfahste Modell zumndest oppelanregungen enthalten (Brlloun heorem). Also mndestens: CI, oder CI runated- CI snd auh varatonell, aber nht größenkonsstent. Full-CI st größenkonsstent, artree-fok auh. 3
29 .4 Größenkonsstenz Größenkonsstent (sze-onsstent) snd solhe Rehnungen, deren absolute Fehler sh proportonal zur Größe verhalten. Bespel ssozaton: e Energe zweer unendlh separerter Atome st de umme der Energen der Atome; ssozaton des mers n CI: Beträge (ensets artree-fok): -fah Anregung an enem () -fah Anregung an beden ( = ) oppelanregung an enem () Im Vergleh zu separaten Rehnungen für (CI) fehlt der Betrag der glehzetgen oppelanregung an edem Molekül ( = Q) oh shlmmer: n den trunated CI Methoden werden mt stegender ystemgröße mmer klenere Beträge der orrelatonsenerge erfasst. (Je größer das ystem, desto wertloser CI) 4
30 .4 runated CI Bespel: mer nnerhalb der mnmalen Bass für Elektronen Methode: CI (nur oppelanregungen) Q Full CI Q CI 5
31 .4 runated CI 6 Bespel: mer nnerhalb der mnmalen Bass für Elektronen, CI Für de CI Matrx: Berehnung der Matrxelemente CI
32 .4 runated CI Bespel: mer nnerhalb der mnmalen Bass für Elektronen, CI CI Matrx: mer E CI korr E Ausdruk für de orrelatonsenerge des mers n CI mer E CI korr / Ausdruk für de orrelatonsenerge des Monomers n CI Monomer E CI korr / e Energe des mers be R st nht gleh de Energe des Monomers! ht größenkonsstent! 7
33 .4 runated CI 8 Für Moleküle nnerhalb der mnmalen Bass für Elektronen, CI CI korr E CI
34 .4 runated CI Für Moleküle nnerhalb der mnmalen Bass für Elektronen, CI Moleküle Moleküle CI Ausdruk für de orrelatonsenerge n CI E E CI korr exakt korr Wenn klen st, st auh der Energeuntershed Mono E korr E korr CI klen. Für große E korr CI / / / orrelatonsenerge pro Monomer für lm 9
35 .4 runated CI Für Moleküle nnerhalb der mnmalen Bass für Elektronen, CI CI orrelatonsenerge pro Monomer für lm CI unbrauhbar für große ysteme. Glt prnzpell für alle trunated CI s In der Praxs: CI mt Quadrupeln ungefähr größenkonsstent. avdson-orrektur: Abshätzung der Quadrupelbeträge, orrekturbetrag zu CI E E CI av orr
36 .4 Größenkonsstenz
37 .5 ssozaton,
38 .5 ssozaton, 3
39 .5 ssozaton Bespel ssozaton von : In der ähe des Glehgewhtsabstands R und U sehr gut. Für R st en Elektron an enem Atom lokalsert, und das andere Elektron am anderen Atom. ese beden räumlhen Orbtale untersheden sh natürlh. U-Energe be großen Bndungslängen nedrger. Basssatz CF Full-CI O-3G G G** Exakt.4 R eq Quelle: zabo / Ostlund von (n a.u.) 4
40 .5 ssozaton ssozaton von O. Basssatz: -pvqz. Vergleh R/ U/ Full-CI. Alle Enheten: atomare Enheten Full-CI Quelle: elgaker 5
41 .5 ssozaton Bespel ssozaton von O: trunated CI-Methoden Quelle: elgaker 6
42 .5 ssozaton Bespel: ssozaton von O: Quelle: elgaker 7
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Lineare Optimierung Dualität
Kaptel Lneare Optmerung Dualtät D.. : (Dualtät ) Folgende Aufgaben der lnearen Optmerung heßen symmetrsch dual zuenander: und { z = c x Ax b x } max, 0 { Z b A c } mn =, 0. Folgende Aufgaben der lnearen
Spiele und Codes. Rafael Mechtel
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Rudolf Brnkmann http://brnkmann-du.de Sete.. Datenerhebung, Datenaufberetung und Darstellung. In der beschrebenden Statstk werden Daten erhoben, aufberetet und analysert. Bespel ener Datenerhebung mt Begrffserklärungen
Einführung in die theoretische Physik 1
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Streuungs-, Schiefe und Wölbungsmaße
aptel IV Streuungs-, Schefe und Wölbungsmaße B... Lagemaße von äufgketsvertelungen geben allen weng Auskunft über ene äufgketsvertelung. Se beschreben zwar en Zentrum deser Vertelung, geben aber kenen
Aufgaben und Lösungen. Vorläufige Fassung für die Homepage
ufgen und Lösungen 1. Runde 018 Vorläufge Fssung für de Homepge» KORREKTURKOMMISSION KRL FEGERT» UNESWETTEWER MTHEMTIK Kortrjer Strße 1, 53177 onn Postfh 0 0 01, 5313 onn Tel.: (0 8) 9 59 15-0, Fx: (0
Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
RS 24.2.2005 Erwartungswert_Varanz_.mcd 4) Erwartungswert Erwartungswert, Varanz, Standardabwechung Be jedem Glücksspel nteresseren den Speler vor allem de Gewnnchancen. 1. Bespel: Setzen auf 1. Dutzend
Sortieren. Thomas Röfer. Permutationen Naives Sortieren Sortieren durch Einfügen, Auswählen, Vertauschen, Mischen QuickSort Comparator
Unverstät Bremen Sorteren Thomas Röfer Permutatonen Naves Sorteren Sorteren durch Enfügen, Auswählen, Vertauschen, Mschen QuckSort Comparator Unverstät Bremen Rückblck Suchen Identtät/Flache/Tefe Glechhet
FORMELSAMMLUNG STATISTIK (I)
Statst I / B. Zegler Formelsammlng FORMELSAMMLUG STATISTIK (I) Statstsche Formeln, Defntonen nd Erläterngen A a X n qaltatves Mermal Mermalsasprägng qanttatves Mermal Mermalswert Anzahl der statstschen
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Gruppe. Lineare Block-Codes
Thema: Lneare Block-Codes Lneare Block-Codes Zele Mt desen rechnerschen und expermentellen Übungen wrd de prnzpelle Vorgehenswese zur Kanalcoderung mt lnearen Block-Codes erarbetet. De konkrete Anwendung
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Beim Wiegen von 50 Reispaketen ergaben sich folgende Gewichte X(in Gramm):
Aufgabe 1 (4 + 2 + 3 Punkte) Bem Wegen von 0 Respaketen ergaben sch folgende Gewchte X(n Gramm): 1 2 3 4 K = (x u, x o ] (98,99] (99, 1000] (1000,100] (100,1020] n 1 20 10 a) Erstellen Se das Hstogramm.
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6.4 Auswahlregeln für Schwingungsspektroskopie 6 AUSWAHLREGELN 72
6 AUSWAHLREGELN 72 En Spezalfall, be dem sch de Berechnung der drekten Produkte noch weter verenfachen lässt, st der Gerade-Ungerade-Formalsmus Als Aussage ergbt sch: In Übergangsmetallkomplexen mt Inversonszentrum
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LÖSUNG AUFGABE 8 ZUR INDUSTRIEÖKONOMIK SEITE 1 VON 6 Aufgabe 8 (Gewnnmaxmerung be vollständger Konkurrenz): Betrachtet wrd en Unternehmen, das ausschleßlch das Gut x produzert. De m Unternehmen verwendete
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