3 Die komplexen Zahlen

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1 $Id: komplex.tex,v.7 04//7 9:36:4 hk Exp $ $Id: folge.tex,v.3 04// :36:5 hk Exp $ 3 Die komplexe Zahle 3. Die Gaußsche Zahleebee I der letzte Sitzug habe wir die komplexe Zahle als die Ebee versehe mit eier Additio ud eier Multiplikatio eigeführt. Iterpretiere wir die reelle Zahle als die x-achse so stimme die reelle ud die komplexe Grudrechearte für reelle Zahle überei. Auch de reelle Betrag kote wir zu eiem komplexe Betrag fortsetze, der komplexe Betrag z eier komplexe Zahl z C war dabei der Abstad des Puktes z zum Nullpukt. Mit Hilfe des komplexe Betrages köe wir u auch defiiere wa eie Mege komplexer Zahle beschräkt sei soll. I hatte wir eie Mege M R beschräkt geat, we sie ach obe ud ach ute beschräkt ist ud wir hatte eigesehe, dass dies geau da der Fall ist, we es eie Zahl c 0 mit x c für alle x M gibt. Letztere Beschreibug ka ma leicht auf C erweiter. Defiitio 3. (Beschräkte Mege i C Eie Mege M C heißt beschräkt we es eie reelle Zahl c R mit c 0 ud z c für alle z M gibt. Isbesodere ist eie Teilmege M R geau da als Teilmege vo R beschräkt we sie als Teilmege vo C beschräkt ist. Da der komplexe Betrag der Abstad zum Nullpukt ist, ka ma alterativ auch sage, dass eie Teilmege M C geau da beschräkt ist, we sie Teilmege eies ausreiched grosse Kreises ist. Weiter behaupte wir das eie komplexe Mege M C geau da beschräkt ist, we die reelle Mege Re(M : {Re z z M} ud Im(M : {Im z z M} beschräkt sid. Ist ämlich M C beschräkt, so gibt es ei c 0 mit z c für alle z M ud mit Lemma 3.(a folgt auch Re z z c ud Im z z c für alle z M. Sid umgekehrt Re(M ud Im(M beschräkt, so gibt es Kostate c, c 0 mit Re z c ud Im z c für alle z M. Ist also c : max{c, c } 0, so ist ach Lemma 3.(a auch z max{ Re z, Im z } max{c, c } c 8-

2 für alle z M. We ma will ka ma dies alles auch i geometrischer Sprache begrüde, dass M beschräkt ist bedeutet das M i eiem Kreis ethalte ist, ud das die Real- ud die Imagiärteile der Elemete vo M jeweils beschräkt sid bedeutet das M i eiem Rechteck ethalte ist. Damit ist die Beschräktheitsaussage ebefalls klar, de jeder Kreis ist i eiem ausreiched große Rechteck ud umgekehrt ist jedes Rechteck i eiem geeigete Kreis ethalte. 3. Die komplexe Multiplikatio Wir habe bereits gesehe das die komplexe Additio eifach die gewöhliche Additio vo Vektore im Parallelogram ist, dagege ist die komplexe Multiplikatio y durch eie Formel gegebe der ma ihre geometrische Bedeutug icht direkt asieht. Dies liegt im wesetliche zre r φ e φ dara das die bisher verwedete cartesische Koordiate der Ebee zur Beschreibug der komplexe Multipli- φ x katio icht gut geeiget sid, wesetlich güstiger ist es die sogeate Polarkoordiate zu verwede. Ageomme wir habe eie Pukt z C R der Ebee. Da köe wir die Lage vo z beschreibe idem wir zum eie de Abstad r 0 vo z zum Nullpukt ud zum adere de Wikel φ de z mit der x-achse bildet agebe. Ma et r ud φ die Polarkoordiate der komplexe Zahl z. Zum bessere Verstädis der Polarkoordiate betrachte wir für jedes φ R de Pukt e(φ C auf dem Eiheitskreis, also dem Kreis mit Radius ud Mittelpukt 0, der mit der x-achse de Wikel φ bildet. Betrachte wir das ebestehede Bild, so ergibt sich der e( y Pukt e(φ explizit als e(φ (cos φ, si φ cos φ + i si φ. Die komplexe Zahl z C zu de gegebee Polarkoordiate r, φ ist da z re(φ. Beachte das die erste Polarkoordiate r wege re(φ r e(φ r immer als der Betrag vo z eideutig festgelegt ist, der Wikel φ aber icht. Ma ka zu φ och beliebige Vielfache vo π, also vo 360 im Gradmaß, hizuaddiere ohe das sich z ädert. Um ei eideutiges φ zu kriege muss ma die erlaubte Wikel auf ei Itervall der Läge π eischräke. Für r 0 ist φ sogar völlig willkürlich. Schaue wir us eimal drei kleie Beispiele a.. Sei z i. Der Abstad zu 0 ist r i, ud da i im obere Teil der y- Achse liegt, ist der Wikel zur x-achse gleich 90, beziehugsweise φ π/. Also i e(π/ i Polarkoordiate. 8- x

3 . Die komplexe Zahl z + i hat als Abstad zum Nullpukt r + i +. Außerdem liegt z auf der Wikelhalbierede im erste Quadrate, user Wikel ist also φ π/4. Polarkoordiate sid damit + i e(π/4. 3. Nehme jetzt z i. Es ist r i. Was als Wikel geomme wird, ist icht mehr so eideutig. Laufe wir im Gegeuhrzeigersi um de Eiheitskreis, so durchquere wir drei volle Quadrate, also φ 3π/. Laufe wir dagege im Uhrzeigersi um de Kreis, so wird φ π/. Diese beide Wikel uterscheide sich gerade um π. Welche Wikel ma als die Polarkoordiate asieht hägt vo der gewählte Normierug ab ud ist damit letztlich willkürlich. Die zweite Polarkoordiate φ wird oft auch als das Argumet der komplexe Zahl z bezeichet, ud mit dem Symbol φ arg z otiert. Wie scho bemerkt ist das Argumet ur bis auf Vielfache vo π festgelegt ud für z 0 ist es sogar völlig beliebig. Um eie gewisse Eideutigkeit zu erhalte schräke wir us auf Wikel φ mit φ < π ei, also π < φ < π. Wege e(π cos π + i si π werde da die positive Vielfache vo ausgeschlosse. Defiitio 3.3 (Hauptwert des Argumets Die geschlitzte komplexe Ebee ist die Mege C : C\R 0 ud für z C bezeiche wir das Argumet φ vo z mit φ < π als de Hauptwert vo arg z. Die hierdurch defiierte Fuktio heißt der Hauptzweig des Argumets. arg : C ( π, π Für z C habe wir also eideutig festgelegte Polarkoordiate r z, φ arg z we wir immer de Hauptwert des Argumets verwede. Diese Wahl ist atürlich icht die eizig mögliche, i viele Zusammehäge, wie beispielsweise im ächste Abschitt, ist die Normierug 0 φ < π passeder. Für de Momet wolle wir aber de Hauptwert verwede. Habe wir die komplexe Zahl z x + iy mit x, y R i cartesische Koordiate gegebe, so ist die Berechug der Polarkoordiate r, φ im Prizip icht schwer, es gilt aber eiige Fälle zu uterscheide. Die erste Polarkoordiate ist uproblematisch r z x + y. Zur Berechug vo φ habe wir verschiedee Gleichuge zur Auswahl cos φ x r, si φ y r ud im Fall x 0 auch ta φ si φ cos φ y x. Wir ehme z C a ud wolle für φ de Hauptwert des Argumets verwede, also φ < π. Das Problem ist das wir icht eifach irgedeie der trigoometrische 8-3

4 Arcus Fuktioe verwede köe, da diese die zugehörige trigoometrische Fuktio immer ur auf eiem bestimmte Itervall der Läge π umkehre. I der Vorlesug hatte wir ur de Weg über de Cosius besproche, hier gehe wir der Reihe ach alle mögliche Berechugsmethode durch.. Der Weg über x/r cos φ. Der Arcus Cosius kehrt de Cosius zwische 0 ud π um, er ka also uverädert für z i eiem der erste beide Quadrate, d.h. für y 0 verwedet werde. Dort ist da φ arccos(x/r. I de adere beide Quadrate ist y < 0 also π < φ < 0. Damit ist 0 < φ < π ud cos( φ cos φ x/r also φ arccos(x/r ud somit φ arccos(x/r. Isgesamt ist damit ( x φ sig(y arccos r { arccos(x/r, y 0, arccos(x/r, y < 0. Beachte das diese Formel auch für y 0 fuktioiert da wege z C da x > 0 ud φ 0 ist.. Der Weg über y/r si φ. Der Arcus Sius kehrt de Sius zwische π/ ud π/ um, er ka also uverädert für z im erste ud im vierte Quadrate verwedet werde, d.h. für x 0. Dort ist da φ arcsi(y/r. Nu sei z im zweite Quadrate, also π/ < φ < π. Da ist π φ (0, π/ mit si(π φ si φ y ( y ( y r π φ arcsi φ π arcsi. r r Ist z im verbleibede dritte Quadrate, so habe wir π < φ < π/ also ist (φ + π ( π/, 0 mit si( (φ + π si(φ + π si φ y ( y r (φ + π arcsi ( r ( y φ π + arcsi. r Isgesamt ist damit arcsi(y/r, x 0, φ π arcsi(y/r, x < 0, y > 0, (π + arcsi(y/r, x, y < Der Weg über ta φ y/x. Der Arcus Tages kehrt de Tages zwische π/ ud π/ uter Ausschluß der Greze um, also für x > 0. Dort ist da φ arcta(y/x. Im zweite Quadrate uter Ausschluß der y-achse ist π/ < φ < π ud somit φ π ( π/, 0 mit ta(φ π ta φ y ( y ( y x φ π arcta φ π + arcta. x x 8-4

5 Im dritte Quadrate habe wir schließlich π < φ < π/ also 0 < φ + π < π/ ud ta(φ + π ta φ y ( y ( y x φ + π arcta φ arcta π. x x Isgesamt ist damit arcta(y/x, x > 0, π/, x 0, y > 0, φ π + arcta(y/x, x < 0, y > 0, π/, x 0, y < 0, arcta(y/x π, x, y < 0. Für Pukte auf der egative x-achse, also x < 0, y 0, ist kei Hauptwert des Argumets festgelegt, we ma will ka ma für diese φ π setze. Dies ist auch das Ergebis das sich mit der erste Formel ergibt, de da ist arccos(x/r arccos( π. Wähle wir eie adere Normierug des Argumets so ergebe sich auch adere Formel. Eie oft verwedete alterative Normierug für die Werte φ des Argumets ist wie scho erwäht 0 φ < π. I dieser Normierug uterscheidet sich das Argumet φ vom Hauptwert ur im dritte ud vierte Quadrate also für y < 0. Dort muss π zum Hauptwert addiert werde. I der Arcus Cosius Formulierug ist damit beispielsweise { arccos(x/r, y 0, φ π arccos(x/r, y < 0. Etspreched ergebe sich auch Formel über de Arcus Sius beziehugsweise über de Arcus Tages. Nu köe wir die Polarkoordiate zur Beschreibug der komplexe Multiplikatio eisetze. Gegebe seie zwei komplexe Zahle z, w C die wir i Polarkoordiate als z re(φ ud w se(ψ schreibe. Da wird z w rs e(φ e(ψ, ud wege e(φ e(ψ e(φ e(ψ liegt e(φe(ψ wieder auf dem Eiheitskreis ka also als e(φe(ψ e(θ für eie geeigete Wikel θ R geschriebe werde. Das Produkt z w hat da die Polarkoordiate zw z w rs ud θ. Zur Berechug vo θ verwede wir die trigoometrische Additiostheoreme si(φ + ψ si φ cos ψ + cos φ si ψ ud cos(φ + ψ cos φ cos ψ si φ si ψ ud bereche e(φ e(ψ (cos φ + i si φ (cos ψ + i si ψ cos φ cos ψ si φ si ψ + i (si φ cos ψ + cos φ si ψ cos(φ + ψ + i si(φ + ψ e(φ + ψ, 8-5

6 wir köe also θ φ + ψ verwede. Isgesamt hat die komplexe Multiplikatio i Polarkoordiate damit die Form (re(φ (se(ψ rs e(φ + ψ für alle r, s R 0, φ, ψ R, d.h. bei der komplexe Multiplikatio werde die Läge miteiader multipliziert ud die Wikel addiert. 3.3 Komplexe Wurzel Zur Behadlug vo Wurzel ist es am bequemste die ebe eigeführte Polarkoordiate zu verwede. Ageomme wir habe eie komplexe Zahl a C ud eie Expoete N mit gegebe, ud wolle a bereche, etwas geauer formuliert wolle wir also die Gleichug z a ach z C auflöse. Da es für a 0 ur die eideutige Lösug z 0 gibt, köe wir us auf de Fall a 0 beschräke. Wir schreibe a i Polarkoordiate a re(φ, die wir hier auf 0 φ < π ormiere. Mache wir für z i Polarkoordiate de Asatz z se(ψ mit s > 0, 0 ψ < π, so wird usere Gleichug zu z (se(ψ s e(ψ! re(φ. Dies gibt zum eie die Bedigug s r, der Betrag vo z ist also als s r eideutig festgelegt. Es verbleibt e(ψ e(φ. Hier führt die Mehrdeutigkeit des Argumets zu eier kleie Komplikatio, wir wisse ur das sich ψ ud φ um ei gazzahliges Vielfaches vo π uterscheide müsse, ud wege 0 ψ < π führt dies auf ψ φ + πk ψ φ + k π mit k N, 0 k <. Damit habe wir geau verschiedee komplexe Wurzel vo z re(φ ämlich { {w C w z} ( φ re + k π } k N, 0 k <. Ei besoders wichtiger Spezialfall liegt vor we a ist, we wir also die -te Wurzel der Eis bestimme wolle. Defiitio 3.4 (Eiheitswurzel Sei N mit. Eie komplexe Zahl z C heißt eie -te Eiheitswurzel we z ist. Ist i userer Rechug a, so sid die Polarkoordiate gegebe als r ud φ 0, also ergibt sich die Mege E der -te Eiheitswurzel als E { e ( πk k N, 0 k < }, 8-6

7 ud somit liege die -te Eiheitswurzel alle auf dem Eiheitskreis ud bilde die Ecke eies reguläre -Ecks, dies ist ei -Eck i dem alle Seiteläge ud alle Iewikel gleich sid. Wir fasse diese Überleguge ud eiige umittelbare Folgeruge jetzt i eiem Satz zusamme. Satz 3.4 (Komplexe Wurzel Sei N mit ud setze ζ : e ( π cos π + i si π. Da bildet die Mege E der -te Eiheitswurzel ei i de Eiheitskreis eigeschriebees reguläres -Eck ud es gilt E {ζ k k N, 0 k < }. Ist 0 a C eie beliebige komplexe Zahl, so hat a i C geau verschiedee -te Wurzel, die alle de Abstad a vom Nullpukt habe ud die Ecke eies reguläre -Ecks bilde. Ist a re(φ mit r, φ R, r > 0 so ist re(φ/ eie -te Wurzel vo a. Ist w eie beliebige -te Wurzel vo a, so ist {z C z a} {ζ k w k N, 0 k < }. Beweis: Für jedes k N mit 0 k < habe wir ( ( πk e e k π ( k π e ζ k, ud damit ist die Aussage über die Eiheitswurzel bewiese. Sei jetzte a C\{0}. Wir habe obe bereits alles bis auf die letzte Aussage über die -te Wurzel vo a eigesehe. Ist w C mit w a, so ist isbesodere w 0 ud für jedes z C bestehe damit die Äquivaleze ( z z a z w z w w E (k N, 0 k < : z w ζk. Die restliche Aussage habe wir bereits obe eigesehe. Die Eiheitswurzel spiele also so i etwa die Rolle vo Vorzeiche -ter Wurzel. Hat ma eie Quadratwurzel a, so sid die beide mögliche Quadratwurzel die beide Werte ± a. Hat ma dagege eie -te Wurzel a, so ergebe sich die adere -te Wurzel durch Multiplikatio mit de -te Eiheitswurzel. Zur exakte, also icht umerische, Auswertug komplexer Wurzel ist es hilfreich möglichst viele Werte der trigomometrische Fuktioe zu kee, ud dies wolle wir hier etwas ausführlicher als i der Vorlesug beschreibe. Zuächst habe wir die Grudwerte 8-7

8 φ cos φ si φ ta φ π/6 3/ / / 3 π/5 ( + 5/4 (5 5/4 5 5 π/4 / / π/3 / 3/ 3 π/ 0 π Diese Werte dürfte Sie auch i Ihrer Formelsammlug fide. Ma ka sie alle geometrisch über die Defiitio der trigoometrische Fuktioe über rechtwiklige Dreiecke begrüde, der Wikel π/5 ist aber scho etwas trickreicher ud hägt mit der Kostruktio des reguläre Füfecks mit Zirkel ud Lieal zusamme. Eie exakte Herleitug auf der Basis userer Axiome ist us a dieser Stelle sowieso icht möglich da wir och keie aalytische Defiitio der trigoometrische Fuktioe habe. Eie solche folgt erst später i diesem Semester ud i.3 werde wir die Werte i der Tabelle alle beweise köe. Daher akzeptiere wir die obige Tabelle a dieser Stelle erst eimal. Weitere Werte ka ma da über Periodizitätseigeschafte ud die Additiostheoreme bereche. Oft ützlich sid isbesodere die Halbierugsformel, a die wir us jetzt kurz erier wolle. Wir starte mit dem Additiostheorem cos(x cos x si x cos x si x. Setze wir hier x/ statt x ei, so wird diese Formel zu ( x ( x cos x cos si. Für π x π ist π/ x/ π/ also cos(x/ 0 ud somit ( x ( x + cos x cos cos ( π x π. Mit dem Sius köe wir ählich reche. Für 0 x π ist 0 x/ π also si(x/ 0. Damit ist ( x cos x si. Ist schließlich 0 x < π, so ist ( x ta si ( x cos ( x cos x + cos x ( cos x ( + cos x ( + cos x cos x ( + cos x si x ( + cos x si x + cos x. 8-8

9 Erweitert ma mit cos x statt mit + cos x, so ergibt sich für 0 < x < π die alterative Formel ( x ta cos x si x. Zum Beispiel sid ( π cos(π/6 si 3 6, cos(π/6 6 + ( π cos ( π ta cos(π/6 si(π/ Mit all diese Formel ausgestattet kehre wir jetzt zu userem Eigagsbeispiel x x 50 0 zurück. Dies hatte wir bereits vollstädig gerechet es blieb aber die Frage offe wie ma die dritte Wurzel 3 + i fidet. Dies köe wir jetzt leicht sehe, die Polarkoordiate vo + i sid r ud φ π/4, also 3 ( 6 π ( ( π + i e /6 cos /6 ( ud wir habe die Wurzel berechet. ( π + i si 6 + i 4 4 4/3 ( i( 3,, 4 Reelle ud komplexe Zahlefolge Nachdem wir i de erste drei Kapitel alle für us ötige Grudlage behadelt habe, begie wir jetzt mit der sogeate Aalysis. Als Startpukt verwede wir dabei die gleich zu defiierede Folge, diese werde sich da als das zetrale techische Hilfsmittel für de Aalysis-Teil dieses Semesters herausstelle. Weshalb Folge überhaupt vo Iteresse sei sollte ist leider icht umittelbar zu sehe, sie sid auch erst recht spät i der Etwicklug der Theorie aufgetaucht. I der ächste Sitzug werde wir de Begriff des Grezwerts eier Folge eiführe ud stelle die Amerkuge zur Motivatio des Folgebegriffs och bis dahi zurück. Defiitio 4.: Eie Folge i eier Mege M ist eie Abbildug a : N M. Dabei ee wir a : a( für N das -te Folgeglied. 8-9

10 Wir schreibe eie Folge meist icht i Fuktiosschreibweise soder verwede Name wie (a N oder alterativ (a 0. Etwas allgemeier betrachte wir auch Folge mit adere Startwerte als Null, d.h. ist 0 N so ist eie Folge mit dem Startwert 0 eie Abbildug a : { N 0 } M, üblicherweise geschriebe als (a 0. Um die Notatio icht zu überlade spreche wir meist eifach vo Folge (a N, implizit sid damit aber auch immer Folge mit beliebige Startwert gemeit auch we wir dies icht extra hischreibe. Wir werde im Laufe dieses Kapitels och viele Beispiele vo Folge sehe, daher gebe wir hier ur zwei eifache Beispiele a. Für N mit sei a :, wir betrachte also die Folge (. Dies ist eie Folge mit dem Startwert 0. Solche reelle Zahlefolge ka ma sich graphisch durch Himale ihres Graphe veraschauliche, dieser besteht da ur aus diskrete Pukte. Machmal werde diese aus optische Grüde och miteiader verbude, diese Verbiduge habe da aber keie ihaltliche Bedeutug ud diee ur zur Illustratio a / a ( + i Adere komplexe Folge Als ei Beispiel eier komplexe Folge ehme wir (( + i N. Da + i i Polarkoordiate gleich + i e(π/4 ist verteile sich die Glieder der Folge auf acht vom Nullpukt ausgehede Achse. Da die Werte recht groß werde, ist diese Folge im obestehede Bild logarithmisch skaliert dargestellt. Eie komplexe Folge ka ma sich veraschauliche idem die Glieder a 0, a, a,... i die Gaußsche Zahleebee eigezeichet werde, die Iformatio über de jeweilige Folgeidex geht dabei aber verlore. Zu Begi userer Utersuchuge stelle wir eiige der immer wieder verwedete Gruddefiitioe zusamme. Defiitio 4.: Sei (a N eie Folge i eier Mege M. Eie Teilfolge vo (a N ist eie Folge der Form (a k k N wobei 0,,,... N mit 0 < < < sid. Eie Teilfolge durchläuft also eiige, aber icht ubedigt alle, der Folgeglieder der Origialfolge i geau derselbe Reihefolge. Beispielsweise ist ( ( eie Teilfolge vo 8-0.

11 Die ächste Defiitio ist ur och auf reelle beziehugsweise komplexe Folge awedbar. Defiitio 4.3: Sei K {R, C}. Eie Folge (a N i K heißt beschräkt, we die Mege {a N} beschräkt ist, we es also eie Kostate c 0 mit a c für alle N gibt. Die dritte ud letzte dieser Defiitioe ist sogar ur och auf reelle Folge awedbar. Defiitio 4.4: Sei (a N eie reelle Folge, d.h. eie Folge i der Mege R. Da heißt die Folge (a N (a mooto steiged, we a a + für alle N gilt. (b streg mooto steiged we a < a + für alle N gilt. (c mooto falled, we a + a für alle N gilt. (d streg mooto falled, we a + < a für alle N gilt. (e ach obe beschräkt, we die Mege {a N} ach obe beschräkt ist, we es also ei c R mit a c für alle N gibt. (f ach ute beschräkt, we die Mege {a N} ach ute beschräkt ist, we es also ei c R mit a c für alle N gibt. Wir wolle jetzt Beispiele vo Folge durchgehe ud diese jeweils auf eiige oder alle der ebe aufgelistete Eigeschafte utersuche.. Sei q R mit q >. Da ist die Folge (q N streg mooto steiged, de für jedes N ist q + q q > q. Wege q für alle N ist die Folge (q N auch ach ute beschräkt. Wir zeige u das die Folge icht ach obe beschräkt ist. Sei ämlich c R gegebe. Es ist q > 0 also existiert ach der archimedische Eigeschaft der reelle Zahle.Lemma 5 eie atürliche Zahl N mit (q > c ud die Beroulli-Ugleichug.Lemma 6 ergibt q ( + (q + (q > (q > c. Damit ist c keie obere Schrake der Folge (q N, sie ist also icht ach obe beschräkt.. Sei q R mit 0 < q <. Für jedes N ist da q + q q < q, die Folge (q N ist also streg mooto falled. Wege 0 < q für jedes N ist sie auch beschräkt. 8-

12 3. Nu sei q C. Wir behaupte das da (q N ist beschräkt q gilt. Ist ämlich q so ist für jedes N auch q q die Folge (q N ist also beschräkt. Ist dagege q > so ist die Folge ( q N ( q N ach dem erste Beispiel icht ach obe beschräkt, d.h. auch (q N ist icht ach obe beschräkt. 4. Die Folge (( N ist weder mooto steiged och mooto falled. 5. Die durch k a : k k(k für gegebee Folge ist offebar streg mooto steiged. Sie ist auch ach obe beschräkt, de für jedes N mit gilt [ a k(k k ] k <. 6. Die durch k a : gegebee Folge ist offebar wieder streg mooto steiged. Sie ist auch ach obe beschräkt. Für jedes N mit gilt ämlich a k0 k! + k k0 k! k! + k k(k 3 < Die durch a : ( + für gegebee Folge ist streg mooto steiged. Um dies eizusehe beötige wir die Beroulli Ugleichug.Lemma 6, d.h. für alle x R mit 0 x ud alle N mit gilt ( + x > + x. Hiermit reche wir jetzt für jedes N mit ( + + ( + ( ( ( + + ( ( + ( ( + + ( ( + ( + ( + > ( + ( + + +, 8-

13 d.h. es ist a + ( + + ( > + a. + Die Folge (a N ist auch wieder ach obe beschräkt. Mit der allgemeie biomische Formel.Lemma 7 erhalte wir etwa ( + ( k ( k +... k k! k k0 [ k + k!... ] k0 k0 k0 k! 3 < Als ei weiteres Beispiel wolle wir eisehe, dass die Folge ( 3 streg mooto falled ist. Ist ämlich N mit 3 gegebe, so habe wir ( + ( + also auch ( + < +. Folglich ist ( + < 3, + + ( + + ( + (+ (( + ( (+ < + (+. Für alle N mit 3 ist damit auch < 3 3, die Folge ist also auch beschräkt. 9. Wir komme zu eiem letzte Beispiel eier sogeate rekursiv defiierte Folge. Wir begie mit a 0 :. Habe wir jetzt ei N ud ist das - te Folgeglied bereits defiiert so wird das + -te Folgeglied i Terme des scho bekate -te Folgeglieds als a + : + a defiiert. Die erste Folgeglieder sid also a 0, a +, a + +, a , a , 8-3

14 ud allgemei ist a , } {{ } Wurzel die Folge (a N besteht also aus immer tiefer verschachtelte Wurzelausdrücke. Wir zeige durch vollstädige Iduktio das für jedes N stets a < a + < + 5 gilt, dies zeigt das (a N streg mooto steiged ud beschräkt ist. Wege a 0 ud a ist a 0 < a ud wege ( 8 < 9 3 ist auch < 3 ud a < < + 5, usere Behauptug gilt also für 0 ud der Iduktiosafag ist durchgeführt. Nu sei N mit a < a + < ( + 5/ gegebe. Da ist isbesodere a + ud wege a + a + + a + + a ist auch a + > a +. Weiter habe wir a + + a + < ud per vollstädiger Iduktio ist damit alles gezeigt. a + a + a+ + + a > , 8-4