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1 3 PARAMETERSCHÄTZUNG Ihalt: 3. Datebeschreibug bei eiem Merkmal 3. Schätzfuktioe 3.3 Itervallschätzug 3.4 Übugsbeispiele 3.5 Repetitorium: Begriffe ud Methode Lerziele: 3. Die Merkmalsvariatio i eidimesioale Stichprobe mit Kezahle beschreibe köe; 3. eifache grafische Istrumete zur Dateexploratio eisetze köe; 3.3 Schätzwerte für de Mittelwert ud die Variaz eier ormalverteilte Zufallsvariable sowie für eie ubekate Wahrscheilichkeit bestimme köe; 3.4 Ei (-α)-kofidezitervall für die Variaz eier N(µ, σ )- verteilte Zufallsvariable bereche ud iterpretiere köe; 3.5 Ei (-α)-kofidezitervall für de Mittelwert m eier N(µ, σ )- verteilte Zufallsvariable bereche ud iterpretiere sowie de erforderliche Mideststichprobeumfag zur Schätzug des Mittelwerts mit der vorgegebee Geauigkeit ±d ud der vorgegebee Sicherheit -α abschätze köe; 3.6 Ei (-α)-kofidezitervall für de Parameter p (Wahrscheilichkeit) eier Zweipuktverteilug bereche ud iterpretiere sowie de erforderliche Mideststichprobeumfag zur Schätzug vo p mit der vorgegebee Geauigkeit ±d ud der vorgegebee Sicherheit -α abschätze köe. W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

2 3. Datebeschreibug bei eiem Merkmal Ziel der Parameterschätzug: Die Merkmalsvariatio wird i. Allg. durch Wahrscheilichkeitsverteiluge (Wahrscheilichkeitsfuktioe bzw. Dichtefuktioe) mit ubekate Parameter modelliert. Für diese Parameter sid - mit Hilfe vo Zufallsstichprobe Schätzwerte zu ermittel ud die Güte der Schätzug durch Kofidezitervalle zu dokumetiere. Grudgesamtheit X Wahrscheilichkeitsdichte N(µ, σ ) Zufallsauswahl Zufallsstichprobe x, x,..., x µ σ X Stichprobemittel Stichprobefuktioe Parameterschätzug: Schätzwert Kofidezitervall Stichprobestadardabweichug Lerziel 3.: Die Merkmalsvariatio i eidimesioale Stichprobe mit Kezahle beschreibe köe. Es sei X ei quatitatives Merkmal mit de a Utersuchugseiheite beobachtete Werte x, x,..., x Grudlegede Kezahle eier Stichprobe:. Stichprobeumfag. Lagemaße: der kleiste Merkmalswert x mi =mi(x, x,..., x ) der größte Merkmalswert x max =max(x, x,..., x ) das arithmetisches Mittel x = x = x + x + L + i x i= W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

3 3 Hiweise: ( x i x) i= = 0 ( xi ξ ) = mi! für ξ = x i= Das arithmetische Mittel ka vo eiem extrem liegede Stichprobewert (zb Ausreißer) stark beeiflusst werde! der Media Q Bei ugeradem ist Q gleich dem mittlere Elemet der ach aufsteigeder Größe geordete Stichprobe (Ordugsreihe), d.h. gleich dem Elemet mit dem Idex (+)/; bei geradem er Ordugsreihe zwei mittlere Elemet, ämlich die Elemete mit de Idices / ud /+; Q ist i diesem Fall gleich dem arithmetische Mittel dieser beide Elemete. Hiweis: Ei extreme Stichprobewert (zb Ausreißer) hat auf de Media keie Eifluss. Der Media ist ei gegeüber Ausreißer robustes Lagemaß. das p-quatil x p (0 p < ) Uter dem p-quatil eier (quatitative) Stichprobe vom Umfag ka ma sich grob gesproche jee Wert vorstelle, der vo p Stichprobewerte uterschritte ud vo (-p) Stichprobewerte überschritte wird; ist p icht gazzahlig, so ehme ma dafür de auf die ächste gaze Zahl gerudete Wert. Im Folgede wird eie geaue Defiitio des p-quatils (ämlich jee, die i der R-Fuktioe summary oder quatile verwedet wird) agegebe: Eie Stichprobe der Variable X umfasse die metrische Werte x, x,..., x. Die Aordug der Stichprobewerte ach aufsteigeder Größe führt auf die geordete Stichprobe x (), x (),..., x (). Wir bestimme die Zahl u = +(-)p ud daraus die größte gaze Zahl [u] kleier oder gleich u. Da ist das p- Quatil x p der Stichprobewerte gegebe durch: x p = ( v) x + vx + mit ([ u]) ([ u] ) Soderfälle: p = 50% (Media x 0.5 = Q ) p = 5% (uteres Quartil x 0.5 = Q ) p = 75% (oberes Quartil x 0.75 = Q 3 ) v = u [ u] W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

4 4 3. Streuugsmaße: Spaweite R = x max x mi Variaz s, Stadardabweichug s s = i = ( x i x ), s = s Hiweis: Das arithmetische Mittel diet dazu, um eierseits de "wahre" Wert µ vo X zu schätze (dabei wird ageomme, dass sich die Messwerte additiv aus dem wahre Wert ud eiem regellos um Null streuede Messfehler zusammesetze) ud adererseits um de Mittelwert µ vo X zu schätze (dabei wird ageomme, dass X a sich zufällig variiert). Je größer, desto "besser" die Mittelwertschätzug. Ei Maß für die Zufallsstreuug des Mittelwerts vo X ist der Stadardfehler SE = s/. Messergebisse stellt ma oft i der Form x ± SE dar. Iterquartilabstad IQR = Q 3 Q 4. Asymmetriemaße: Bowley-Koeffiziet QS = ( Q3 Q ) ( Q Q ) IQR Schiefe g = S xxx ( s / ), S = 3 xxx i= 3 ( x x) i Hiweis: Die folgede Grafike zeigt die beide grudsätzlich mögliche Asymmetrietype. Für symmetrische Verteiluge ist die Schiefe ull. W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

5 5 Amerkuge: - Es gibt mehrere Defiitioe für die Quatile; sowohl Excel als auch z.b. SPSS verwede adere Defiitioe. - Speziell für die Quartile Q ud Q 3 fidet ma auch die folgede Defiitioe: Das Quartil Q (Q 3 ) ist der Media der Merkmalswerte kleier (größer) als Q ; die so berechete Statistike werde im Eglische auch als higes bezeichet ud fide z.b. i R bei der Berechug der Quartile i der Fuktio boxplot() Awedug. - Die Beschreibug der Variatio eier Stichprobe mit de 5 Kezahle x mi, Q, Q, Q 3, x max wird als 5-Pukte- Zusammefassug (egl. Five-umber summary) bezeichet (R- Fuktio: fiveum()). - Die Trasformatioe Zetriere ud Stadardisiere : X X Z Z c S = X x X x = s (Zetriere) (Stadardisiere) Beispiel 3.: Ma bestimme das 5%-, 50%- ud 75%-Quatil für die Stichprobe 8,, 4,, 5, 5, 30. Was ergibt sich, we ma der Stichprobe de Wert 35 hizufügt? Lösug: a) Stichprobe: 8,, 4,, 5, 5, 30 (=7) p=0.5: u= +(-)p=.5; [u]=, v=0,5 Q = 0.5x () +0.5x (3) =3; p=0.5: u= 4; [u]=4, v=0 Q = x (4) +0x (5) =; p=0.75: u= 5.5; [u]=5, v=0.5 Q 3 = 0.5x (5) +0.5x (6) =5. b) Stichprobe: 8,, 4,, 5, 5, 30, 35 (=8) p=0.5: u= +(-)p=.75; [u]=, v=0.75 Q = 0.5x () +0.75x (3) =3.5; p=0.5: u= 4.5; [u]=4, v=0.5 Q = 0.5x (4) +0.5x (5) =3.5; p=0.75: u= 6,5; [u]=6, v=0.5 Q 3 = 0.75x (6) +0.5x (7) =6.5. Lösug mit R: > # Beispiel 3.a > x <- c(8,, 4,, 5, 5, 30) > Q <- quatile(x, 0.5); Q <- Q[[]] > Q <- quatile(x, 0.5); Q <- Q[[]] > Q3 <- quatile(x, 0.75); Q3 <- Q3[[]] > prit(cbid(q, Q, Q3)) Q Q Q3 [,] 3 5 > # Beispiel 3.b > x <- c(8,, 4,, 5, 5, 30, 35) > Q <- quatile(x, 0.5); Q <- Q[[]] > Q <- quatile(x, 0.5); Q <- Q[[]] > Q3 <- quatile(x, 0.75); Q3 <- Q3[[]] W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

6 6 > prit(cbid(q, Q, Q3)) Q Q Q3 [,] Beispiel 3.: A 40 Exemplare eier Pflaze (Biscutella laevigata) wurde die Azahl X der Zähe des größte Grudblattes bestimmt. Ma bestimme das arithmetische Mittel, die Variaz ud die Stadardabweichug der Messwerte sowie de Stadradfehler des Mittelwerts ud die Schiefe. Lösug: x = 40 s = SE = = ( ) [( 0.55) 5 + L + ( 6.55) ] =.; s = Lösug mit R: > # Beispiel 3. > x <- c( +,,0,5,,,0,3,3,4, + 0,,4,3,,,4,5,6,4, + 3,,0,3,3,0,3,,,4, + 3,,,3,3,3,,3,3,4) > optios(digits=4) > <- legth(x) # Stichprobeumfag > xquer <- mea(x) # arithmetisches Mittel > s <- var(x) # Variaz > s <- sd(x) # Stadardabweichug > SE <- s/sqrt() # Stadardfehler > g <- sum((x-xquer)^3)//(s*sqrt(-/))^3 # Schiefe > prit(cbid(, xquer, s, s, SE, g)) xquer s s SE g [,] =.55;. =.45; Beispiel 3.3: Ma zeige: Für ei N(µ, σ )-verteilte Zufallsvariable X ist P = P(x 0.5,5IQR <X< x ,5IQR) 99.3%, d.h. außerhalb des Itervalls [x IQR, x IQR] liegede Werte sid uwahrscheilich ud daher "ausreißerverdächtig". Lösug: x 0,75 =µ+z 0,75 σ ; x 0,5 =µ+z 0,5 σ = µ-z 0,75 σ W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

7 7 IQR = x 0,75 x 0,5 = z 0,75 σ x IQR = µ + 4z 0,75 σ ; x IQR = µ 4z 0,75 σ P = P((x IQR µ)/σ < (X-µ)/σ < (x IQR-µ)/σ)= = P( 4z 0,75 < (X-µ)/σ < 4z 0,75 ); z 0,75 = P = P(-.7 < (X-µ)/σ <.7) = Φ(.7) - Φ(-.7) = = Φ(.7) - = = Lerziel 3.: Eifache grafische Istrumete zur Dateexploratio eisetze köe. Puktdiagramm: Die Verteilug vo Merkmalswerte i kleie Stichprobe wird sehr aschaulich i Form vo eidimesioale Diagramme dargestellt, i dem ma über der Merkmalsachse die Werte als Pukte eiträgt. Werde zwei oder mehrere Messreihe auf diese Weise i eiem Diagramm zusammegefasst, köe Uterschiede i de Verteiluge visuell gut erfasst werde. Beispiel 3.4: Die Aufahme vo Mg-Ioe wurde i 6 Versuchspflaze i 3 Nährlösuge utersucht. Für die erste Nährlösug ergabe sich die Mg- Kozetratioe (i µmol pro g Trockesubstaz): 08, 75, 96, 8, 0, 66; die etsprechede Messwerte für die Nährlösug ud 3 ware: 84, 6, 55, 85, 03, 66 bzw. 8, 93, 66, 45, 35, 5. Ma stelle die Messreihe gemeisam i eiem Pukt-Plot dar. Lösug mit R: > # Beispiel 3.4: Eimdimesioale Puktdiagramme > x <- c(08, 75, 96, 8, 0, 66) > x <- c(84, 6, 55, 85, 03, 66) > x3 <- c(8, 93, 66, 45, 35, 5) > x <- data.frame(x, x, x3); x x x x > stripchart(x,group.ames=c(". Lös.", ". Lös.", "3. Lös."), + method="stack", pch=6, cex=.5, cex.lab=.5, cex.axis=.5, + xlab="mg-kozetratio i mikromol/00g Trockegewicht", + mai="pukt-plots für drei Messreihe", cex.mai=.4) W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

8 8 R-Grafik: Pukt-Plots für drei Messreihe. Lös.. Lös. 3. Lös Mg-Kozetratio i mikromol/00g Trockegewicht Boxplot: Ei Boxplot besteht aus eiem Rechteck, das durch das utere Quartil Q ud das obere Quartil Q 3 begrezt wird ud i dem der Media Q markiert ist. Die Ausläufer ach ute ud obe (bzw. bei horizotaler Aordug ach liks ud rechts) reiche bis zum kleiste ud größte Merkmalswert x mi bzw. x max. Beispiel 3.5: Die folgede Tabelle ethält die Blutgeriugszeit X (i s) vo 30 Probade. Wir stelle die Variatio vo X durch ei Boxplot dar Lösug: = 30; p=0.5: u= +(-)p=8.5; [u]=8, v=0.5 Q = x 0.5 = 0.75x (8) +0.5x (9) = 6.6; p=0.5: u= 5.5; [u]=5, v=0.5 Q = x 0.5 = 0.5x (5) +0.5x (6) = 8.05; p=0.75: u=.75; [u]=, v=0.75 Q 3 = x 0.75 = 0.5x () x (3) = IQR = Q 3 Q = 3.5; Whisker-Läge bis: x mi =.7 bzw. x max = 35. x mi x 0.5 x 0.5 x 0.75 x max X W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

9 9 Lösug mit R: > x <- c( +.7, 4.0, 4.4, 5.8, 5.9, 6.0, 6.4, 6.6, 6.6, 6.8, + 7.0, 7.7, 7.8, 8.0, 8.0, 8., 8.7, 8.7, 8.8, 9.0, + 9.0, 9.0, 30.0, 30., 3., 3.8, 3.0, 33.0, 33.7, 35.0) > summary(x) Mi. st Qu. Media Mea 3rd Qu. Max > grafik_ <- boxplot(x, rage=0, horizotal=true) > ames(grafik_) [] "stats" "" "cof" "out" "group" "ames" > grafik_$stats [,] [,].70 [,] 6.60 [3,] 8.05 [4,] [5,] > # Ma beachte: > # Das utere ud obere Quartil werde als higes berechet! > grafik_$stats[4,] # oberes Quartil (upper hige) [] 30 > IQR <- grafik_$stats[4,]-grafik_$stats[,] [] 3.4 > # Ma beachte: > # IQR ist hier mit dem obere ud utere hige berechet! R-Grafik (Boxplot): Stabdiagramm: Es sei X ei quatitatives diskretes Merkmal mit k (verschiedee) Werte a, a,..., a k. Beobachtug vo X a Utersuchugseiheite Stichprobe x, x,..., x Abzähle der Utersuchugseiheite mit dem Merkmalswert a i ergibt die absolute Häufigkeit H i ; Divisio der absolute Häufigkeite H i durch de Stichprobeumfag ergibt die relative Häufigkeite y i = H i /. Beispiel 3.6: Date vo Beispiel 3. (Werte der Azahl X der Zähe des größte Grudblattes vo 40 Exemplare vo Biscutella laevigata). Ma stelle W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

10 0 die Merkmalsvariatio vo X durch eie Häufigkeitstabelle ud ei Stabdiagramm dar. Lösugshiweise: Die absolute Häufigkeit der Ausprägug a =0 ist H =5, die etsprechede relative Häufigkeit h =5/40=0.5, usw. Alle Auspräguge ud die zugeordete Häufigkeite werde i der Häufigkeitstabelle zusammegefasst. Errichtet ma über der Merkmalsachse Stäbe mit de relative Häufigkeite (z.b. ausgedrückt i %) als Läge, erhält ma eie grafische Darstellug der Verteilug i Form eies Stabdiagramms. Lösug mit R: > optios(digits=3) > zaehe <- c( +,,0,5,,,0,3,3,4, + 0,,4,3,,,4,5,6,4, + 3,,0,3,3,0,3,,,4, + 3,,,3,3,3,,3,3,4) > <- legth(zaehe); # Stichprobeumfag [] 40 > Xdefmege <- mi(zaehe):max(zaehe); Xdefmege [] > absolute_h <- table(zaehe); absolute_h # Tabelle mit absolute Häufigkeite zaehe > relative_h <- table(zaehe)/ # Tabelle mit relative Häufigkeite > htab <- cbid(xdefmege, absolute_h, relative_h) + # Zusammefasse der abs. u. rel. Häufigk. i eier Tabelle > htab # Ausgabe der Häufigkeitstabelle Xdefmege absolute_h relative_h > # > # Darstellug der Verteilug der Azahl der Zähe durch > # ei Stabdiagramm mit absolute Häufigkeite > barplot(absolute_h, xlab="az. der Zähe", ylab="abs. Häufigkeit", + mai="häufigkeitsverteilug =40") > # > # Darstellug der Verteilug der Azahl der Zähe durch > # ei Stabdiagramm mit relative Häufigkeite > barplot(relative_h, xlab="az.d.zähe", ylab="rel.häufigkeit", + mai="häufigkeitsverteilug d.az.d.zähe, =40") W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

11 R-Grafike: Häufigkeitsverteilug =40 Häufigkeitsverteilug d.az.d.zähe, =40 Abs. Häufigkeit rel.häufigkeit Az. der Zähe Az.d.Zähe Histogramm: Es sei X ei stetiges Merkmal ud x, x,..., x eie Stichprobe vo X; Zerlegug der Merkmalsachse i gleich lage, aeiadergrezede Itervalle (Klasse) I,I,..., I k Klasseeiteilug. Klassebreite b 3 IQR / Klassegreze: Festlegug der utere Greze c 0 der erste Klasse I derart, dass c 0 < x mi c =c 0 + b I =(c 0, c ]; c = c 0 + b ist die utere Greze der zweite Klasse I = (c, c ]; c = c + b die utere Greze der dritte Klasse I 3 = (c, c 3 ] usw. Abzähle der Utersuchugseiheite i der Klasse I i ergibt die absolute Klassehäufigkeit H i vo I i (= Azahl der Merkmalswerte Divisio der absolute Klassehäufigkeit H i durch de Stichprobeumfag führt zur relative Klassehäufigkeit y' i = H i /; ma beachte: y + y + + y k =. Divisio der relative Klassehäufigkeit y i durch die Klassebreite b ergibt die Häufigkeitsdichte g i = h i /b. W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

12 Über jede Klasse I i wird das Rechtecke mit der Breite b ud der Höhe g i errichtet (dieses Histogramm heißt flächeormiert, weil die gesamte "Histogrammfläche" = ist) Beispiel 3.7: Date vo Beispiel 3.5 (Blutgeriugszeit X i s vo 30 Probade). Ma stelle die Merkmalsvariatio durch eie Häufigkeitstabelle ud ei Histogramm dar. Lösug mit R: > x <- c( +.7, 4.0, 4.4, 5.8, 5.9, 6.0, 6.4, 6.6, 6.6, 6.8, + 7.0, 7.7, 7.8, 8.0, 8.0, 8., 8.7, 8.7, 8.8, 9.0, + 9.0, 9.0, 30.0, 30., 3., 3.8, 3.0, 33.0, 33.7, 35.0) > # > <- legth(x) > optios(digits=4) > # Histogramm mit abs. Klassehäufigkeite > grafik_ <- hist(x, freq=true, + xlab="blutgeriugszeite i s", ylab="abs. Klassehäufigkeit", + mai="grafik : Histogramm mit abs. Klassehäufigkeite, =30") > > # Histogramm mit rel. Klassehäufigkeitsdichte (Flächeormierug auf ) > grafik_ <- hist(x, freq=f, xlab="blutgeriugszeite i s", + ylab="klassehäufigkeitsdichte", + mai="grafik : Flächeormiertes Histogramm, =30") > > # Häufigkeitstabelle > ames(grafik_) [] "breaks "couts" "itesities" "desity" "mids" "xame" [7] "equidist" > az_klasse <- legth(grafik_$mids) > az_klasse [] 7 > klassebreite <- (max(grafik_$breaks)-mi(grafik_$breaks))/az_klasse > klassebreite [] > klassemitte <- grafik_$mids > abs_klasse_h <- grafik_$couts > rel_klasse_h <- abs_klasse_h/ > klasse_h_dichte <- rel_klasse_h/klassebreite > prit(cbid(klassemitte, abs_klasse_h, rel_klasse_h, klasse_h_dichte)) klassemitte abs_klasse_h rel_klasse_h klasse_h_dichte [,] [,] [3,] [4,] [5,] [6,] [7,] > # > # Ma beachte die Normieruge der diverse Häufigkeite! W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

13 3 R-Grafike: Grafik : Histogramm mit abs. Klassehäufigkeite, =30 Grafik : Flächeormiertes Histogramm, =30 > # Erstellug eies Histogramms mit vorgegebee Klassegreze: > x_mi <- mi(x); x_max <- max(x); <- legth(x) > IQR <- quatile(x, 0.75)-quatile(x, 0.5); b <- *IQR/^(/3) > prit(cbid(x_mi, x_max,, IQR, b)) x_mi x_max IQR b 75% > klassebreite <- roud(b[[]],digits=0) # gerud.klassebreite > az_klasse <- truc((x_max-x_mi)/klassebreite)+ > c0 <- truc(x_mi) # like Greze der. Klasse > ck <- c0+az_klasse*klassebreite # rechte Greze der oberste Klasse > prit(cbid(az_klasse, klassebreite, c0, ck)) az_klasse klassebreite c0 ck [,] 7 36 > klassegreze <- seq(from=c0, to=ck, by=klassebreite); klassegreze [] > grafik_3 <- hist(x, breaks=klassegreze, freq=true, + xlab="blutgeriugszeite i s", ylab="abs. Klassehäufigkeit", + mai="grafik 3: Histogramm mit vorgegebee Klasse, =30") R-Grafik: Grafik 3: Histogramm mit vorgegebee Klasse, =30 abs. Klassehäufigkeit abs. Klassehäufigkeit Klassehäufigkeitsdichte Blutgeriugszeite i s Blutgeriugszeite i s Blutgeriugszeite i s W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

14 4 3. Schätzfuktioe Lerziel 3.3: Schätzwerte für de Mittelwert ud die Variaz eier ormalverteilte Zufallsvariable sowie für eie ubekate Wahrscheilichkeit bestimme köe. Zur Schätzug vo Verteilugsparameter werde Schätzfuktioe verwedet. Es sei X, X,..., X eie Zufallsstichprobe, i der die Variable X i (i =,,, ) die Ergebisse vo Beobachtuge ausdrücke.. Die Schätzug des Mittelwerts µ eier ormalverteilte Zufallsvariable erfolgt mit Hilfe des Stichprobemittels: X = L + ( X + X + ) X Es gilt: X i N ( µ, σ ) X N ( µ, σ / ) X = Zufallsvariable mit dem Mittelwert µ ud der Variaz σ ; X, X,..., X = Zufallsstichprobe vo X. Da ist E [X ] = µ, Var [ X ] = σ / ud für großes (ab 30) gilt die Approximatio µ σ (Zetraler Grezwertsatz): X N(, / ). Die Schätzug eier ubekate Wahrscheilichkeit p (Parameter eier Biomialverteilug) erfolgt mit Hilfe des Stichprobeateils. Es sei X eie Zufallsvariable mit de Werte ud 0, wobei P(X=)=p ist. X, X,..., X sei eie Zufallsstichprobe vo X. Da ist der Stichprobeateil Y (Azahl der Realsieruge mit dem Wert geteilt durch de Stichprobeumfag) gleich dem Stichprobemittel Y = X = L + ( X + X + ) X Es gilt: Der Stichprobeateil ist B,p -verteilt mit dem Mittelwert E [ X ] = p ud der Variaz Var [ X ] = p( p) /. Für großes gilt die Approximatio (Satz vo Moivre-Laplace, Faustregel für Awedug der Approximatio: p(-p) > 9): p( p) Y N p, W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

15 5 Beispiel 3.8: Ma betrachte ei Beroulli-Experimet, d.h. ei Experimet mit Ausgäge, die wir mit a bzw. b (z.b. violette Blütefarbe bzw. weiße Blütefarbe) bezeiche. Die Ergebismege des Zufallsexperimets ist also Ω ={a, b}. Auf dieser Mege defiiere wir eie Zufallsvariable X derart, dass X de Wert aimmt, we der Ausgag a eitritt, ud de Wert 0, we der Ausgag b eitritt. Die Wahrscheilichkeit, dass bei Durchführug des Experimets der Ausgag a eitritt, also die Wahrscheilichkeit P(X=), sei p. Das Beroulli-Experimet wird -mal wiederholt. Jedem dieser Experimete orde wir - wie ebe ausgeführt - eie Zufallsvariable zu, der erste Wiederholug die Zufallsvariable X, der zweite die Zufallsvariable X usw. Die Summe Y = X + X X dieser Variable bedeutet die Azahl jeer Wiederholuge, bei dee der Ausgag a eitritt. Dividiert ma Y durch, bildet ma also de Mittelwert der vo X, X,..., X, so erhält ma de Ateil der Wiederholuge mit dem Ausgag a. Dieser Mittelwert (oder Ateil) ist eie Stichprobefuktio; dere Mittelwert ist gleich dem Mittelwert jedes eizele X i (d.h. gleich der Wahrscheilichkeit p); die Variaz vo Y/ ist gleich p(-p)/, d.h. gleich der durch geteilte Variaz eies jede X i. Ma zeige diese Zusammehäge a Had eier Simulatio des 9-stufige Beroulli-Experimetes recherisch ud grafisch auf ud zeiche i das (flächeormierte) Histogramm der Stichprobemittelwerte die Dichtekurve der etsprechede Normalverteilug ei. Die Simulatio möge aus 0000 Wiederholuge des 9-stufige Beroulli-Experimetes bestehe. Lösug mit R: > # Simulatio des 9-stufige Beroulli-Experimets > _sim < # Azahl der Simulatioe > zaehler <- c(: _sim) > omega <- c(,0) # Ergebismege > p <- 0.4 # Erfolgswahrscheilichkeit > ws <- c(p, -p) # Ws. der Elemete ud 0 i der Ergebismege > # Schätzug des Mittelwerts ud der Stadardabweichug aus de Simulatioe > mittel_9 <- c() > for (i i zaehler){ + beroulli_9 <- sample(omega, 9, replace=true, prob=ws) + mittel_aktuell <- mea(beroulli_9) # Mittelwert + mittel_9 <- apped(mittel_9, mittel_aktuell)} > # > mittelwert_9 <- mea(mittel_9) # Mittelwert aller Erfolgsateile > std_9 <- sd(mittel_9) # Stadardabweichug aller Erfolgsateile > variaz_9 <- std_9*std_9 > prit(cbid(mittelwert_9, variaz_9)) W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

16 6 mittelwert_9 variaz_9 [,] > # > # Theoretischer Mittelwert ud theoretische Stadardabweichug > mittelwert <- p > variaz <- p*(-p)/9 > prit(cbid(mittelwert, variaz)) mittelwert variaz [,] > # > # Verteilug des Stichprobemittels (Ateils) beim 9-stufige > # Beroulli-Experimet > hist(mittel_9, breaks=0, xlab="ateil", ylab="dichte/flächeormiert", + mai="9-stufiges Beroulli-Experimet", freq=false) > x <- mittel_9 > curve(dorm(x, mea=p, sd=sqrt(p*(-p)/9)), add=t) R-Grafik: 9-stufiges Beroulli-Experimet Dichte/flächeormiert Ateil 3. Die Schätzug der Variaz σ eier ormalverteilte Zufallsvariable erfolgt mit Hilfe der Stichprobevariaz: S Es gilt [( X X ) + ( X X ) + + ( X X ) ] = L W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

17 7 ( ) S σ χ d.h. (-)S /σ ist eie chiquadratverteilte Zufallsvariable mit f = - Freiheitsgrade. Beispiel 3.9: Ma zeiche uter Verwedug der R-Fuktio dchisq() die Dichtekurve der Chiquadratverteiluge mit de Freiheitsgrade, 3 ud 5. > # Dichtekurve vo ausgewählte Chiquadrat-Verteiluge > curve(dchisq(x, ), from=0, to=4, ylim=c(0, 0.5), xlab ="X", + ylab="dichte", col="red", mai="dichtekurve der Chiquadratverteilug") > curve(dchisq(x, 3), add=t, lty=, col="blue") > curve(dchisq(x, 5), add=t, lty=3, col="black") > text(0.8, 0.4, col="red", expressio("f=")) > text(0.4, 0.5, col="blue", expressio("f=3")) > text(, 0.04, col="black", expressio("f=5")) R-Grafik: Dichtekurve der Chiquadratverteilug Dichte f=3 f= f= X Ei weig Theorie: Eigeschafte guter Schätzfuktioe: Es sei ˆ π ˆ = π ( X, X, K, X ) eie Schätz(Stichprobe)fuktio für de Verteilugsparameter π. Die Beurteilug der Güte eier W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

18 8 Schätzfuktio ka mit der erwartete mittlere quadratische Abweichug (dem mittlere quadratische Fehler) MSE ˆ ( E[ ˆ π ] ) = E[( π π ) ] = Var[ π ] + π ˆ erfolge, die gleich der Summe aus der Variaz der Schätzfuktio ud dem Quadrat der Verzerrug (Bias) ist. Forderuge a "gute" Schätzfuktioe:. Für soll der Erwartugswert E[ ˆ π ] der Schätzfuktio gege de Parameter π strebe, d.h. die Schätzwerte solle mit wachseder Wahrscheilichkeit um π kozetriert sei. dies trifft zu, we die Schätzfuktio uverzerrt (erwartugstreu) ist.. Variaz soll für gege Null strebe. Amerkuge: Schätzfuktioe, die die Forderug erfülle, heiße asymptotisch erwartugstreu. Gilt sogar E[ ˆ π ] = π für alle =,,, et ma die Schätzfuktio erwartugstreu. Schätzfuktioe, die de Forderuge ud geüge, heiße kosistet (im quadratische Mittel). Das Stichprobemittel ˆ π = X = ( X + X + K + X )/ ist eie erwartugstreue Schätzfuktio für µ, d.h. E [ X ] = µ Bias = 0. Überdies gilt: Var[ X ] σ / 0. = ˆ π = ist eie i Die Stichprobevariaz S = ( X X ) /( ) W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc i= erwartugstreue Schätzfuktio für σ, d.h. E[ S ] = σ Bias = 0. 4 Überdies gilt: Var[ S ] = σ /( ) 0. Dagege ist S ist keie erwartugstreue Schätzfuktio für σ. Es gilt ämlich: E Γ Γ [ S] = k mit k = < σ Γ bezeichet die Gamma-Fuktio mit der Eigeschaft Γ(x+) = x Γ(x) für alle x>0. Speziell ist Γ()= ud Γ(/)= π. Z.B. ergibt sich damit für =5: k 5 = (/ )Γ(5/)/Γ() = (/ ) (3/)(/) π = 0,94. Kostruktio vo Schätzfuktioe: Es seie X eie (diskrete) Zufallsvariable mit der vo dem zu

19 9 schätzede Parameter π abhägige Wahrscheilichkeitsfuktio f(x π) ud x, x,..., x eie Zufallsstichprobe vo X. Wir bilde die so geate Likelihood-Fuktio: L ( π = π x, x, K, x ) = Die Likelihood-Fuktio ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass X die Realisatioe x, x,..., x aimmt, we π ~ der Schätzwert für π ist. Maximum Likelihood-Prizip: Der Maximum Likelihood - Schätzer (kurz ML-Schätzer) für π ist jees π ~, für das die Likelihood - Fuktio de größte Wert aimmt, d.h. die Maximumstelle vo L. Hiweise: Bei stetige Zufallsvariable tritt a die Stelle der Wahrscheilichkeitsfuktio die Wahrscheilichkeitsdichte. Die ML-Schätzug des Mittelwertes ist gleichwertig mit der sogeate Kleiste Quadrat-Schätzug (LS-Schätzug: "optimaler" Schätzwert ist jeer, der die Summe der Quadrate der Abweichuge der Beobachtugswerte vom Schätzwert miimiert) Beispiel 3.0: Es sei X ~ N(µ, σ ). Wir bestimme de ML-Schätzer für de Mittelwert µ uter der Aahme, dass σ bekat ist. l = L ( µ = d d ~ l µ l( L 3.3 Itervallschätzug f ( x i ~ ) i= ~ π π ) = ~ µ 0 x, x, K, x l σ ~ µ = x ( x µ ) Defiitio: Wir bezeiche als zweiseitiges Kofidezitervall für eie ubekate Parameter π eier Verteilug das Itervall [U, O] der Zahlegerade, das de Parameter π mit der vorgegebee hohe Wahrscheilichkeit -α (zb 95% oder 99%) eischließt, d.h., P(U π O) = -α. ) i = i ~ / σ W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

20 0 Zusätzlich wird zur Berechug der Greze U ud O die Symmetrieforderug P(U > π) = P(O < π) = α/ vorgegebe. Lerziel 3.4: Ei (-α)-kofidezitervall für die Variaz eier N(µ, σ )- verteilte Zufallsvariable bereche ud iterpretiere köe. Es sei X eie N(µ, σ )-verteilte Zufallsvariable ud X, X,, X eie Zufallsstichprobe mit dem Umfag ud der Stichprobevariaz S. Da sid die Greze eies -seitige (-α)-kofidezitervalls für de Parameter σ durch gegebe; hier stehe im Neer die Quatile q ( ) S ( ) S U = ud O = q U q O U = χ, α / ud qo = χ, α / Der Chiquadratverteilug mit - Freiheitsgrade. Beispiel 3.: Es sei X ormalverteilt mit dem Mittelwert µ ud der Variaz σ. Vo eier Stichprobe sei bekat: =30, s = Ma bestimme ei 95%iges Kofidezitervall (CI) für σ. Lösug: χ 9,0.975= 45.7; χ 9,0.05= %-CI für σ : [5.03, 4.33] 95%-CI für σ : [.4, 3.79]. Iterpretatio: [5.03, 4.33] ist ei sogeates empirisches 95%-CI für σ, d.h. eie Realisierug des Kofidezitervalls [U, O] (mit de zufällige Greze U ud O) durch eie Zufallsstichprobe. Hat ma eie große Azahl vo Zufallsstichprobe ud berechet ma damit jeweils ei empirisches 95%-CI für σ, so folgt aus P(U σ O) = -α = 0.95, dass ei hoher Ateil dieser Itervalle (ämlich 95%) de Parameter σ eischließe wird. Lösug mit R: > # R-Fuktio mit Übergabeparameter: > # (Stichprobeumfag), var (Variaz), alpha (Irrtumsrisiko) > CI_var <- fuctio(, var, alpha){ + u <- (-)*var/qchisq(-alpha/, -) + o <- (-)*var/qchisq(alpha/, -) + greze <- cbid(u, o) W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

21 + retur(greze)} > optios(digits=4) > # Fuktiosaufruf mit =30, var=7.93, alpha=5% > CI_var(30, 7.93, 0.05) u o [,] > # > # CI für die Stadardabweichug > CI_sd <- sqrt(ci_var(30, 7.93, 0.05)) > CI_sd u o [,] Lerziel 3.5: Ei (-α)-kofidezitervall für de Mittelwert µ eier N(µ, σ )- verteilte Zufallsvariable bereche ud iterpretiere sowie de erforderliche Mideststichprobeumfag zur Schätzug des Mittelwerts mit der vorgegebee Geauigkeit ±d ud der vorgegebee Sicherheit -α abschätze köe. Das (-α)-kofidezitervall für de Mittelwert µ ist ei um das X d, X + d mit der halbe Stichprobemittel symmetrisches Itervall [ ] Itervallbreite d = t, a α / S /. Die Größe t -,-α/ ist das (-α/)- Quatil der t-verteilug mit - Freiheitsgrade. Beispiel 3.: Ma zeiche uter Verwedug der R-Fuktio dt() die Dichtekurve der t-verteiluge mit de Freiheitsgrade ud 5 ud stelle sie gemeisam mit der Stadardormalverteilug i eiem Diagramm dar. Lösug mit R: # Dichtekurve vo ausgewählte t-verteiluge curve(dt(x, ), from=-3, to=3, ylim=c(0, 0.5), xlab ="X", ylab="dichte", col="red", mai="dichtekurve der t-verteilug") curve(dt(x, 5), add=t, lty=, col="blue") curve(dorm(x), add=t, lty=3,lw=, col="black") text(0, 0.4, col="black", expressio("n(0,)")) text(0, 0.34, col="blue", expressio("t(f=5)")) text(0, 0.7, col="red", expressio("t(f=)")) W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

22 R-Grafik: Dichtekurve der t-verteilug Dichte N(0,) t(f=5) t(f=) X Beispiel 3.3: Es sei X ormalverteilt mit dem Mittelwert µ ud der Variaz σ. Für de Mittelwert ud die Stadardabweichug vo X wurde mit Hilfe eier Stichprobe vom Umfag =0 die Schätzwerte 5 bzw. 5 bestimmt. Ma bestimme zum Niveau -α =0.95 ei Kofidezitervall (CI) für de Mittelwert vo X. Lösug t 9,0.975 =.093; s/ =.8; d=.34 95%-CI für µ: 5 ±.34. Lösug mit R: > # Beachte: ß-Quatil t_(f, ß) = qt(ß, f) > # > # Fuktio mit Übergabeparameter: > # mw (Mittelwert, (Stichprobeumfag, std (Stadardabweichug), alpha (Irrtumsrisiko) > CI_mittel <- fuctio(mw,, std, alpha){ + d <- std/sqrt()*qt((-alpha/), -) + ug <- mw-d + og <- mw+d + greze <- cbid(ug, og) + retur(greze)} > # > # Futiosaufruf mit mw=5, =0, std=5, alpha=5% > optios(digits=4) > CI_mittel(5, 0, 5, 0.05) ug og [,] Hiweis: Für große Stichprobe ist [ d X + d] X, mit d = z α / S Ei approximatives (-α)-ci für µ. Hier ist z -α/ das (-α/ )-Quatil der N(0,)-Verteilug). W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

23 3 Folgerug: Faustformel für de Mideststichprobeumfag zur Schätzug eies Mittelwerts mit der vorgegebee Geauigkeit ±d ud der vorgegebee Sicherheit -α : z α / d σ Beispiel 3.4: Der Mittelwert µ eier N(µ, σ )-verteilte Zufallsvariable soll mit eier Geauigkeit vo ±0.5 ud eier Sicherheit vo 99% bestimmt werde. Vo eier Vorutersuchug sei bekat, dass σ.5 ist. a) Wie groß ist der erforderliche Mideststichprobeumfag zu plae? b) Ma stelle i Abhägigkeit vo d (0. d 0.3) für - α=0.95 ud 0.99 dar! Lösug mit R: > # Aufgabe a) > # R-Fuktio mit Übergabeparameter: > # geauigkeit (d), sicherheit (-alpha), sigma > _midest <- fuctio(geauigkeit, sicherheit, sigma){ + alpha <- -sicherheit + <- (qorm(-alpha/)*sigma/geauigkeit)^ + retur()} > # > optios(digits=4) > # Fuktiosaufruf mit geauigkeit=0.5, sichheit=0.99, sigma=.5 > _midest(0.5, 0.99,.5) [] 38.9 > # Aufgabe b) > # Erzeuge der Folge der d-werte vo 0, bis 0,3 i Schritte vo 0.0 > d <- seq(from=0., to=0.3, by=0.0) > d [] [6] > # > # Bereche der de d-werte etsprechede Mideststichprobeumfäge > _midest_95 <- _midest(d, 0.95,.5) > _midest_95 [] [] [] > _midest_99 <- _midest(d, 0.99,.5) > _midest_99 [] [] [] 65.9 > # > # Grafische Darstellug der Abhägigkeit der > # Mideststichprobeumfäge vo d > plot(d, _midest_95, type="p", col="blue", xlab="geauigkeit", + ylab="", mai="midest- bei Mittelwertschätzug") > lies(d, _midest_95, col="blue", lty=, lwd=) > lies(d, _midest_99, col="red", lty=, lwd=) > text(0.5, 00, col="blue", expressio("sicherheit = 95%")) W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

24 4 > text(0.5, 400, col="red", expressio("sicherheit = 99%")) R-Grafik: Midest- bei Mittelwertschätzug Sicherheit = 95% Sicherheit = 99% Geauigkeit Lerziel 3.6: Ei (-α)-kofidezitervall für de Parameter p (Wahrscheilichkeit) eier Zweipuktverteilug bereche ud iterpretiere sowie de erforderliche Mideststichprobeumfag zur Schätzug vo p mit der vorgegebee Geauigkeit ±d ud der vorgegebee Sicherheit -α abschätze köe. Ei approximatives (-α)-kofidezitervall für de Parameter p (Wahrscheilichkeit) eier Zweipuktverteilug ist das Agresti-Coull- Itervall. Es sei X eie zweistufig skalierte Zufallsvariable mit de Werte ud 0, p = P(X =) bzw. q = -p = P(X=0) die Wahrscheilichkeite, mit dee diese Werte ageomme werde. Ferer seie x, x,..., x eie Zufallsstichprobe vom Umfag ud m die Azahl der Wiederholuge mit x i = ud y = m/ der Ateil der Wiederholuge mit x i =. Da sid die utere ud obere Greze u A bzw. o A eies (-α) - Kofidezitervalls für p gegebe durch u m A W = m W l m + z = + A, o A = m W + l A mit α / / mw ( mw ) ud l A= z α / z α / + z α / W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

25 5 Voraussetzug für die Approximatio: y (-y ) > 9 Ei exaktes (-α)-kofidezitervall für de Parameter p ist das Clopper-Pearso-Itervall mit de Greze u o C C = = mq m + + mq ( m + ) qo m + ( m + ) q u u, o, q u q = o F = m,( m+ ), α / F ( m+ ),( m), α / Die Größe F f, f, α/ ud F f, f, -α/ sid das α/- bzw. (-α/)-quatil der F-Verteilug mit de Freiheitsgrade f ud f. ma beachte, dass F f, f, α = / F f, f, -α gilt. Beispiel 3.5: Ma zeiche uter Verwedug der R-Fuktio df() die Dichtekurve der F-Verteiluge mit de Freiheitsgrade 5 ud sowie 0 ud 40. Lösug mit R: # Dichtekurve vo ausgewählte F-Verteiluge curve(df(x, 5, ), from=0, to=3, ylim=c(0, ), xlab ="X", ylab="dichte", col="red", mai="dichtekurve der F-Verteilug") curve(df(x, 0, 40), add=t, lty=, col="blue") text(.8, 0.4, col="blue", expressio("f(f=0,40)")) text(, 0.4, col="red", expressio("f(f=5,)")) Dichtekurve der F-Verteilug Dichte F(f=5,) F(f=0,40) X W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

26 6 Beispiel 3.6: Es soll die Erfolgsrate p eier eue Behadlugsmethode, also die Wahrscheilichkeit, dass bei eier mit der eue Methode behadelte Perso eie Verbesserug eitritt, geschätzt ud ei 95%iges Kofidezitervall für p bestimmt werde. I eier Studie mit =50 Probade erwies sich die eue Methode bei m=35 Persoe erfolgreich. Lösug mit R: Approximatives Kofidezitervall (Agresti-Coull-Itervall) > m <- 35 # Azahl der Persoe mit der iteressierede Merkmalsausprägug > <- 50 # Stichprobeumfag > alpha < Irrtumsrisiko Fehler: Uerwartete(s) Symbol i "alpha < Irrtumsrisiko" > y <- m/ # Schätzwert für p > # Voraussetzug: > *y*(-y) # muss größer als 9 sei! [] 0.5 > zq <- qorm(-alpha/) > mw <- (m+zq^/)/(+zq^) # Itervallmitte > la <- zq*sqrt(mw*(-mw)/(+zq^)) > ua <- mw-la; oa <- mw+la > prit(cbid(y, mw, la, ua, oa)) y mw la ua oa [,] > # > # Exakte Rechug (Pearso/Clopper Itervall) > CI_pexakt <- fuctio(m,, alpha){ + quatil_ <- qf(alpha/, *m, *(-m+)) + pu <- m*quatil_/(-m++m*quatil_) + quatil_ <- qf(-alpha/, *(m+), *(-m)) + po <- (m+)*quatil_/(-m+(m+)*quatil_) + greze <- cbid(pu, po) + retur(greze)} > # Fuktiosaufruf mit m=35, =50, alpha=5% > CI_pexakt(35, 50, 0.05) pu po [,] > # > # Hiweis : Das exakte Kofidezitervall ka direkt mit der > # R-Fuktio biom.test bestimmt werde. > # Aufruf: biom.test(m,, -alpha) > biom.test(35, 50, cof.level=0.95) Exact biomial test data: 35 ad 50 umber of successes = 35, umber of trials = 50, p-value = alterative hypothesis: true probability of success is ot equal to percet cofidece iterval: sample estimates: probability of success 0.7 > # > # Hiweis : Beide CI köe mit der R-Fuktio biom.cofit() > # im Paket "biom" bestimmt werde > library(biom) > biom.cofit(m,, methods=c("agresti-coull", "exact")) method x mea lower upper agresti-coull exact W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

27 7 Hiweis: Aus dem approximative Itervall ergibt sich eie grobe Faustformel für de Mideststichprobeumfag zur Schätzug eier Wahrscheilichkeit mit der vorgegebee Geauigkeit ±d ud der vorgegebee Sicherheit -α: z d α / Beispiel 3.7: Die Keimfähigkeit p vo Blumezwiebel (d.h. die Wahrschei-lichkeit, dass ei ausgesetzter Zwiebel keimt) soll i eiem Feldversuch mit der Geauigkeit ±0. ud der Sicherheit -α= 0.95 geschätzt werde. Welcher Stichprobeumfag ist zu plae? Lösug mit R: > # Approximativer Mideststichprobeumfag für die Schätzug eier > # Wahrscheilichkeit zur vorgegebee Geauigkeit d ud Sicherheit S = - alpha > # R-Fuktio mit Übergabeparameter: > # d (Geauigkeit=halbe Itervallbreite), S (Sicherheit) > _approx <- fuctio(d, S){ + alpha <- -S + quatil <- qorm(-alpha/) + <- (quatil//d)^ + retur()} > # > # Fuktiosaufruf mit d=0., S=0.95 > _approx(0., 0.95) [] Ergäzug: Wie berechet ma ei (-α)-kofidezitervall für de Parameter λ der Poisso-Verteilug? Es seie X eie Poisso-verteilte Zufallsvariable mit dem Parameter λ, d.h. X P λ ud x = 0,,, die Realisieruge vo X. Da gilt: Ei -seitiges (-α)-kofidezitervall λ u λ λ o für λ ist ei Itervall mit der Eigeschaft P(λ u λ λ o ) = -α; die Itervallgreze sid: λ u = χ x, α / ud λo = χx+, α / W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

28 8 -seitige (-α)-kofidezitervalle für λ sid Itervalle der Form λ λ o bzw. λ λ u mit der Eigeschaft P(λ λ o ) = P(λ λ u ) = -α; λ o ud λ u heiße obere bzw. utere Vertrauesschrake für λ zur Sicherheit -α ud sid zu bereche aus: λ χ λ = bzw. = o x+, α u χ Beispiel 3.8: Nach der ISO-Norm soll i eier Alage zur aseptische Abfüllug bei der Prozessüberprüfug mit icht weiger als 3000 Eiheite der Ausschussateil vo 0.% icht überschritte werde (Media fill-forderug). Bei eiem Prüflauf mit 3000 Eiheite wurde eie kotamiierte Eiheit festgestellt. Ist die Media fill-forderug erfüllt, we bei der Schätzug der Ausschussquote der ugüstigste Wert (d.h. die zu eier vorgegebee Sicherheit vo 95% berechete obere Vertrauesschrake) ageomme wird? Lösug: Es sei X die Azahl der Eiheite, die vo de isgesamt =3000 abgefüllte Eiheite kotamiiert sid. Approximativ gilt: X P λ mit λ = p (p ist der Ausschussateil, d.h. die Kotamiierugsrate). Vo X liegt die Realisierug x= vor. Zu bereche ist die 95%ige obere Vertrauesschrake λ o für λ. Mit x+ = 4 ud -α = 0.95 ist χ x+,-α = χ 4, 0.95 = λ o = χ 4, 0.95/ = Divisio durch ergibt de Schätzwert pˆ = λ o / = 0.58% > 0.%. Die Media Fill-Forderug ist daher icht erfüllt. x, α 3.5 Übugsbeispiele. Die achfolgede Tabelle ethält die Gesamtzahl der bis zum Aussterbe abgelegte Puparie für 40 (mit jeweils 5 geschlüpfte Weibche gebildete) Kohorte vo Tsetsefliege (Glossia p. palpalis). Ma stelle die Verteilug der Merkmalswerte durch eie Häufigkeitstabelle ud ei Histogramm dar. Ferer bestimme ma das arithmetische Mittel ud die Stadardabweichug sowie de Media ud die Quartile. (Mittelwert/Stadardabw./Media/Quartile: 60.38, 9.87, 60, 53, 68) W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

29 Nach eier Kfz-Ufallstatistik ist die Azahl X der Ufälle pro Versicherte ierhalb vo 0 Jahre wie folgt verteilt: X rel.häufigk.% je Welcher Prozetsatz der Fahrer hat eie über dem arithmetische Mittelwert (über dem Media) vo X liegede Ufallzahl? 3. Ma vergleiche die durch die folgede Stichprobe gegebee Variatio vo X (Spaltöffugsläge i µm) bei diploide ud tetraploide Biscutella laevigata mit Hilfe der etsprechede Box-Plots. (Media/Quartile 5, 3, 6; 30, 8, 3) diploid 7, 5, 3, 7, 3, 5, 5,, 5, 3, 6, 3, 4, 6, 6 tetraploid 8, 30, 3, 9, 8, 33, 3, 8, 30, 3, 3, 34, 7, 9, Die Messug der Ozokozetratio währed der Sommermoate ergab für eie Großstadt die i der folgede Tabelle ethaltee Werte (Agabe i 0 - ppm). Ma stelle die Verteilug der Ozokozetratio dar (tabellarisch, grafisch) ud bereche de Mittelwert, die Stadardabweichug, de Media ud die Quartile. (5.,.85, 5.4, 4., 6.5) Ma ehme eie geeigete Klassebildug vor ud stelle die Verteilug vo X (größte Grudblattläge vo Biscutella laevigata i mm) tabellarisch ud graphisch dar. Zusätzlich bestimme ma das arithmetische Mittel, de Media ud die Variaz aus de klassierte Date ud vergleiche die erhaltee Ergebisse mit de direkt aus der Beobachtugsreihe berechete Kegrößewerte. (exakte Werte: 69.3, 8.86, 65) Die Sprosshöhe X eier Pflaze sei N(µ, σ )-verteilt. a) Aus eier Stichprobe vom Umfag =5 ergibt sich die Stichprobevariaz s =774. Ma gebe ei Kofidezitervall zum Niveau -α=0.95 für σ a. b) Für de Mittelwert ud die Stadardabweichug vo X wurde mit Hilfe eier Stichprobe vom Umfag = W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

30 30 die Schätzwerte 96 ud 05 für de Mittelwert bzw. die Stadardabweichug bestimmt. Ma bestimme zum Niveau -α=0.95 ei Kofidezitervall für de Mittelwert vo X. ([68.6,.]; [6.4, 39.6]) 7. Im folgede wird X als N(µ, σ )-verteilt vorausgesetzt. Welcher Stichprobeumfag ist jeweils zu plae? a) Der mittlere Glykoalkaloidgehalt X (i mg/00 mg Frischgewicht) eier Kartoffelsorte soll mit eier Geauigkeit vo ± 0.4 bei eier Sicherheit vo 99% bestimmt werde. Vo eier Vorutersuchug sei bekat, dass σ ist. b) Das Normgewicht vo 0-jährige Kabe soll auf ± 0.5 kg geau mit eier Sicherheit vo 95% bestimmt werde. Für die Stadardabweichug möge die Abschätzug σ.5 kg zutreffe. (67; 96) 8. Für de Mittelwert ud die Variaz vo eier als ormalverteilt ageommee Variable X wurde mit Hilfe eier Stichprobe vom Umfag =5 die Werte 40 bzw. 0 bestimmt. Ma bestimme ei 95%- Kofidezitervall für de Mittelwert vo X. Um wie viel % größer ist die Itervallläge eies 99%ige Kofidezitervalls? ([38.5, 4.75]; [37.57, 4.43]; 38.8%) 9. Die Masse X (i mg) eier Substaz i eiem Präparat soll absolut auf +/-0,5 geau mit eier Sicherheit vo 95% bestimmt werde. Für die Stadardabweichug möge die Abschätzug s zutreffe. Wie viele Probe müsse utersucht werde, we X als ormalverteilt vorausgesetzt werde ka? (6) 0. Vo eier Messstelle wurde die folgede Werte der Variable X (SO - Kozetratio der Luft i mg/m 3 ) gemeldet: 9, 0, 47, 35, 65, 69, 9, 0. a) Ma bestimme ei 95%-Kofidezitervall für de Mittelwert ud die Stadardabweichug vo X. b) Welcher Midest-Stichprobeumfag müsste geplat werde, um bei gleicher Sicherheit die Mittelwertschätzug mit eier Geauigkeit vo +/-5 durchführe zu köe? (a) [8.39, 75.]; [.43, 69.05], b) 77). I eier Studie wurde 33 Persoe mit eiem Präparat behadelt. Der Behadlugserfolg wurde auf eier -stufige Skala mit de Skalewerte "Verbesserug" ud "keie Verbesserug" dargestellt. Es ergab sich bei 3 Persoe eie Verbesserug. Ma bestimme ei 95%iges Kofidezitervall für die Wahrscheilichkeit p eier Verbesserug. Welcher Stichprobeumfag müsste geplat werde, um die Wahrscheilichkeit p mit eier Geauigkeit vo +/- 0, ud eier Sicherheit vo 95% schätze zu köe? ([0.7, 0.56]; 97). I eiem Supermarkt wurde 00 Milchpackuge überprüft ud dabei festgestellt, dass i 5 Fälle die Milch im Begriffe war, sauer zu werde. Ma bestimme ei Kofidezitervall zum Niveau -α=95% für de Ateil der saure Milchpackuge. ([0.08, 0.]) 3. Die Wahrscheilichkeit für das Auftrete eier Erkrakug soll i eier Risikogruppe mit eier Sicherheit vo 95% ud eier vorgegebee Geauigkeit vo ± 0.05 bestimmt werde. Wie viele Probade beötigt ma für die Studie? (385) W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

31 3 4. Vo eier Pflaze erhielt Medel isgesamt 6 Same, vo dee 44 gelb ud 8 grü gefärbt ware. Ma bestimme ei 95%iges Kofidezitervall für die Wahrscheilichkeit p dafür, dass ei gelber Same gebildet wird. Welcher Stichprobeumfag müsste geplat werde, um die Wahrscheilichkeit p mit eier Geauigkeit vo +/- 0,05 ud eier Sicherheit vo 90% schätze zu köe? ([0.597, 0.83]; 7) 5. A siebe Patiete wurde der systolische Blutdruck im Sitze (i mm Hg) vor eier Behadlug (Variable X v ) ud achher (Variable X ) gemesse; es ergabe sich die i der folgede Tabelle ageführte Werte. Ma bestimme de Mittelwert ud die Variaz des durch die Differez X - X v ausgedrückte Behadlugseffektes. Wie häge diese Statistike mit de Mittelwerte bzw. Variaze vo X v ud X zusamme? (-, 90) X v X I eier Studie über die Behadlug vo akute Herzifarktpatiete wurde 5 Patiete mit Hepari therapiert, vo dee 9 ierhalb vo 8 Tage verstarbe. a) Ma schätze die Wahrscheilichkeit p, dass ei Patiet ierhalb vo 8 Tage ach Herzifarkt stirbt, ud bestimme für p ei 95%- Kofidezitervall. b) Welcher Mideststichprobeumfag ist otwedig, um bei gleicher Sicherheit ei halb so großes Kofidezitervall fü p zu erhalte? (a) approx , 0.787; exakt: , 0.895; b) 373) 7. Vo eiem metrische Merkmal X liegt eie (fiktive) Zufallsstichprobe aus 00 Messwerte vor a) Ma lege eie geeiget Klasseeiteilug fest ud stelle die Verteilug vo X mit eier Häufigkeitstabelle dar, die die Klassegreze, die Klassemitte, die absolute ud relative Klassehäufigkeite sowie die Klassehäufigkeitsdichte ethält. b) Ma veraschauliche die Häufigkeitsverteilug mit eiem flächeormierte Histogramm ud zeiche i die Grafik zusätzlich die a die Date agepasste Normalverteilugsdichte ei. c) Ma stelle die Variatio vo X mit Hilfe eies Boxplots dar. Welcher Prozetsatz der Messwerte liegt ierhalb des -fache Iterquartilabstades um de Media? Ma bestimme de Prozetsatz empirisch (d.h. aus de Messdate). Welcher Prozetsatz ergibt mit Hilfe der agepasste Normalverteilug? W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

32 3 8. Rutherford ud Geiger studierte die Emissio vo α-teilche, idem sie die Azahl X der i Zeititervalle der Läge 7,5s emittierte α-teilche zählte. Die Auswertug vo 608 Zeititervalle ergab die i der folgede Tabelle zusammegefasste Häufigkeite H. Uter der Aahme, dass X Poisso-verteilt ist, schätze ma de Verteilugsparameter λ ud bestimme die erwartete Häufigkeite E. (λ = 3.867, E-Werte: siehe Tabelle) X H E > I eiem Simulatiosexperimet zum Medelsche Kreuzugsversuch vo mischerbige violett-blühede Erbse (F-Geeratio) wurde 0 Same etomme ud die Azahl X der violett-blühede F-Pflaze gezählt. Bei 80 Wiederholuge des Experimetes ergabe sich folgede Werte für X: a) Ma beschreibe die Verteilug vo X tabellarisch ud grafisch. b) Nach der Medelsche Spaltugsregel ist X biomialverteilt mit de Parameter =0 ud p=0.75. Ma ergäze die Verteilugsgrafik durch die theoretische Verteilug vo X. c) Ma bestimme aus de Date de Mittelwert ud die Variaz vo X ud vergleiche diese Kewerte der Häufigkeitsverteilug mit de etsprechede Kewerte der theoretische Verteilug. 3.5 Repetitorium: Begriffe ud Methode. Wa ist zur tabellarische oder grafische Darstellug der Häufigkeitsverteilug eies Merkmals X jedefalls eie Klassebildug vorzuehme? Gebe Sie a, uter welche Bediguge Sie die Häufigkeitsverteilug mit de relative Klassehäufigkeite beschreibe! Wa würde Sie die relative Klassehäufigkeitsdichte verwede? Atwort: Bei eiem quatitative, diskrete Merkmal ist eie Klassebildug vorzuehme, we es viele verschiedee Merkmalswerte gibt. Bei eiem stetige Merkmal ist jedefalls eie Klassebildug vorzuehme. I beide Fälle erhält ma ur W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc

33 33 da Aufschluss über die Verteilug des Merkmals, we der Stichprobeumfag icht zu klei ist (Richtwert: >5). Eie Darstellug mit relative Klassehäufigkeite erlaubt de Vergleich vo Verteiluge bei uterschiedliche Stichprobeumfäge; die Summe der relative Klassehäufigkeite ist stets (bzw. 00%). Die relative Klassehäufigkeitsdichte ist so ormiert, dass ihre mit der Klassebreite multiplizierte Summe gleich ergibt. Ei mit der relative Klassehäufigkeitsdichte erstelltes Histogramm ka wege dieser Normierug direkt mit der Wahrscheilichkeitsdichte eies theoretische Verteilugsmodells (z.b. Normalverteilug) vergliche werde. Der Vergleich erlaubt eie Eischätzug, ob die Merkmalsvariatio durch ei bestimmtes Verteilugsmodell erfasst werde ka.. Uter welcher Bedigug würde Sie zur Beschreibug der Häufigkeitsverteilug eies Merkmals als Lage- ud Streuugsmaß de arithmetische Mittelwert bzw. die Stadardabweichug empfehle? Welche Alterative dazu gibt es, die zetrale Lage ud die Breite der Verteilug zu kezeiche? Atwort: Der arithmetische Mittelwert ud die Stadardabweichug eige sich als gute Kewerte zur Beschreibug der zetrale Lage ud der Streuug vo Merkmalswerte, we das Merkmal stetig oder quatitativ-diskret vom Typ eies Zählmerkmals ist ud die Häufigkeitsverteilug keie zu stark Asymmetrie erkee lässt. Bei starker Asymmetrie verwedet ma besser de Media, der i diesem Fall besser de mittlere Wert eier Messreihe wiedergibt; das etsprechede Streuugsmaß ist der Iterquartilabstad, also die Differez aus dem obere Quartil (75%-Quatil) ud dem utere Quartil (5%). Die Asymmetrie eier Häufigkeitsverteilug wird umerische durch die sogeate Schiefe ausgedrückt; diese besitzt de Wert ull für eie symmetrische Verteilug, ist positiv für eie likssteile Verteilug ud egativ für eie rechtssteile Verteilug. Für eie likssteile Verteilug ist der Media kleier als der Mittelwert, für eie rechtsteile Verteilug größer; für eie symmetrische Verteilug falle der Media ud der Mittelwert zusamme. 3. Was versteht ma uter Zetriere eier Messreihe, was uter Stadardisiere? Atwort: Uter eier Messreihe versteht ma eie Stichprobe, die durch wiederholtes Messe eies metrische Merkmals X gewoe wurde. Die Stichprobe heißt zetriert, we der arithmetische Mittelwert der Stichprobewerte gleich ull ist. Dies erreicht ma so, dass vo jedem Eizelwert der arithmetische Mittelwert subtrahiert wird. Werde die so gebildete Abweichuge vom Mittelwert überdies och durch die Stadardabweichug der Messreihe dividiert, erhält ma die stadardisierte Werte der Messreihe. Eie stadardisierte Messreihe hat de Mittelwert 0 ud die Stadardabweichug. Messreihe werde stadardisiert, um sie durch Normierug der zetrale Lage ud der Streuug i adere Verteilugseigeschafte (z.b. der Asymmetrie) vergleichbar zu mache. 4. Mit welcher Stichprobefuktio wird der Mittelwert eier N(µ, σ )-verteilte Zufallsvariable X geschätzt? Warum sid Stichprobemittelwerte gute Schätzwerte? W. Timischl: Statistik, Parameterschaetzug_4_Text.doc