Skriptum zur Vorlesung Elektronische Grundlagen

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1 Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen onny Harbch. Jl 005

2 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Vorwor Das her vorlegende Skrpm wrde naürlch m größer Sorgfal angeferg. Trozdem snd m an Scherhe grenzender Wahrschenlchke Fehler n deser Mschrf enhalen. Falls der Leser en Fehler erkenn, möge er mr be desen ner ronny.harbch@sden.n-magdebrg.de melen.

3 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 3 Inhalsverzechns. ELEKTISHE LDUNG UND ELEKTISHE STM 6.. Elekrsche Ladng 6.. Kräfe zwschen Ladngen 6.3. Elekrsche Feldsärke 6.4. Elekrscher Srom Sromsärke Sromrchng Zählpfel/ezgspfel Hapegenschafen des elekrschen Sromes 8. ELEKTISHE SPNNUNG UND ELEKTISHES PTENTIL 9.. Zsammenhang zwschen Spannng nd Poenal 9.. Spannngsrchng 9.3. Spannngsqelle 0.4. Hapegenschafen der elekrschen Spannng 0 3. DE ELEKTISHE WIDESTND 3.. Defnon 3.. Temperarabhänggke von Wdersänden 3.3. Sromsärke-Spannngs-Verhalen enes Wdersandes 4. GUNDLGEN ELEKTISHE NETZWEKE Enführng Grndgeseze für lneare Wdersandsnezwerke En Nezwerk Nezwerkelemene Krchhoff sches Gesez (Knoenregel) Krchhoff sches Gesez (Maschenregeln) erechnng enes Nezwerkes nwendngen der Krchhoff schen Geseze ehenschalng von Wdersänden Parallelschalng von Wdersänden rückenschalng as Wdersänden ehen- nd Parallelschalng von Spannngs- nd Sromqelle Spannngsqelle Sromqelle Spannngselerregel llgemen Spezalfall Sromelerregel Weere Nezwerkelemene 5

4 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Zwepolheore/Grndsromkres Defnon Ersazschalngen für passve Zwepole Ersazschalng für akve Zwepole Modelle ener realen Spannngsqelle Der Grndsromkres fba esondere erebszsände Spannngs-Srom-Kennlne 3 5. EEHNUNGSMETHDEN FÜ NETZWEKE Übersch Handanalyse Sperposon espel: mechansches Modell espel: Überlagerng espel: kene Überlagerng echenprogramm Zwegsromanalyse Mehode des vollsändgen ames Problem: nabhängge Sromqellen n Nezwerken ZEITVEÄNDELIHE VGÄNGE IN NETZWEKEN Nezwerkselemene Elemenares Indkvä Kapazä Enführng n de erechnngsmehodk Klassfkaon zelch veränderlcher Vorgänge Parameer perodscher Sgnale (perodscher Größen) Harmonsche Wechselgrößen Überlagerng von harmonschen Fnkonen Übersch z erechnngsmehoden Glechsromerregng Harmonsche Erregng Nchharmonsche perodsche Erregng Schalvorgang, sglechsvorgang, Übergangsverhalen eslche Sgnale espel Mahemasche eschrebngsformen Sonderfälle Mlplkaon Häfge Umrechnng nwendng af harmonsche Zefnkon Egenschafen des ldberechs 48

5 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen nwendng af Nezwerk-nalyse Defnon Impedanz Zsammenfassng espel Freqenzabhänggke von Schalkresen Freqenzabhänggke be Zwepolen esonanz Freqenzabhänggke von Verpolen ode-dagramm Grenzfreqenz USGLEIHVGÄNGE IN LINEEN NETZWEKEN Problemsellng ; ; L be Schalsprünge LINEE NETZWEKE EI HMNISHE EEGUNG andbedngngen ehandlng m Zeberech ehandlng m Zegerbld Defnon Grndoperaonen Vor- nd Nachele der Mehodk Symbolsche Mehode Nezwerke m enem Specherelemen espel: Enschalen ener Glechspannng Verkürzes Lösngsverfahren für Nezwerke m enem Specherelemen nwendng n der Dgalechnk 6

6 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 6. Elekrsche Ladng nd elekrscher Srom.. Elekrsche Ladng de Erschenng nd Wrkng der Elekrzä berhend af dem Vorhandensen elekrscher Ladng Grndgeseze: Q [ Q] = s = ( olomb) Q = Q = e p + Q= n e e o o e -Elemenarladng; p + -Proon; e -Elekron n -nzahl der Elemenarladngsräger; n.. Kräfe zwschen Ladngen olomb-kraf: F = Q Q 40r r F = N Newon ( ) o 0 -elekrsche Feldkonsane; r -relave Delekrzäskonsane Q F F Q + Glechnamge Ladngen soßen enander ab nd nglechnamge Ladngen zehen enander an. Ladngen reen nr paarwese af. Ladngen können nach aßen hn neral sen (z.. om)..3. Elekrsche Feldsärke De elekrsche Feldsärke s folgendermaßen defner:.4. Elekrscher Srom.4.. Sromsärke Srom bedee mmer: Menge je Ze r F E = Q N E =

7 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 7 Elekrscher Srom: dq = d [] = ( mpere) Der Elekrsche Srom s de gerchee ewegng von Ladng. Für () (Glechsrom). De Sromsärke s ene skalare Größe..4.. Sromrchng Q = cons. I = Ladngen bewegen sch mmer vom glechnamgen Pol zm nglechnamgen Pol, da glechnamgen Ladng enander anzehen nd nglechnamge Ladngen enander absoßen (olomb- Kraf). o Elekronen bewegen sch vom Mnspol zm Plspol. o Proonen bewegen sch vom Plspol zm Mnspol Feslegng: Ene posve Sromrchng ensprch der ewegng posver Ladngen drch enen Leer: posve Sromrchng Zählpfel/ezgspfel esonders n enem Nezwerk s es erforderlch de chng des Sromes feszlegen. s en Zählpfel/ezgspfel nd wrd we folg verwende (n der bbldng s de Sromrchng posv): oder Wenn de Sromsärke posv ( 0) > s, dann s ach de Sromrchng posv (wenn < 0, dann s de Sromrchng negav). oder ;

8 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Hapegenschafen des elekrschen Sromes hermsche Wrkng o espel: elekrsche Hezng, Glühbrne (Drah glüh) magnesche Wrkng o espel: Generaor, Moor, Transformaor chemsche Wrkng o espel: Elekrolyse

9 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 9. Elekrsche Spannng nd elekrsches Poenal.. Zsammenhang zwschen Spannng nd Poenal e ener Verschebng von Ladng n enem elekrschen Feld von enem ampnk z enem ampnk r ene Energedfferenz af: Q + Q + Es gl: W = W W F = Fds; E = F = EQ Q = EQds = Q Eds W U = = Eds; U V Vol Q = [ ] ( ) De Spannng U nd. weerhn gl für das Poenal : bezechne man ach als Poenaldfferenz zwschen den ampnken = = = 0 P.. Spannngsrchng Zählpfelsysem: oder oder Wrd n chng nach dem Feld Energe enzogen, so wrd als Spannngsabfall bezechne.

10 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 0 Der Spannngsabfall s n chng des Sromes gerche: als Qellenspannng bezech- Im mgekehren Fall (dem Feld wrd Energe zgeführ), wrd ne: ndere ezechnngen (veralee) für Qellenspannng: o Urspannng o elekromoorsche Kraf (EMK): E = q.3. Spannngsqelle Elemene, de de Fähgke beszen, drch nnere Effeke Ladngsräger z beschlengen, werden als Spannngsqellen bezechne: Poenallnen + + Spannngsqelle.4. Hapegenschafen der elekrschen Spannng Ene elekrsche Spannng zwschen Pnken enes Leers s de Ursache für den elekrschen Srom. Spannngsführende Leerele zehen sch an (Leer snd nerschedlch geladen).

11 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 3. Der elekrsche Wdersand 3.. Defnon elekrscher Wdersand zwschen Pnken ener leenden Srecke ohne Qellenspannng: = U V [ ] = = ; I U chng: Das ohmsche Gesez s nr für gülg. Lewer: emessngsglechng: o o o o U = = cons. (ach für zelche Veränderngen) I G = ; [ G] = = S (Semens) l l = = ; = l - Länge des Leers - Fläche des Leerqerschns - spezfscher Wdersand (Maeralkonsane) - Lefähgke (Maeralkonsane) 3.. Temperarabhänggke von Wdersänden De elekrsche Lefähgke jedes Maerals s emperarabhängg. Kennzechnng: o Temperarkoeffzen (ach TK-Wer genann) o [ ] = K Der Wdersand von Kalleern (PT) nmm be Temperarerhöhng z: > 0 Der Wdersand von Heßleern (NT) nmm be Temperarerhöhng ab: < 0 > 0 I 0 < 0 0

12 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen o 0 - erebsemperar o 0 - Normalwdersand als Näherng gl: = 0 ( + ) asächlch gl: f( ) = m gesamen Temperarberech gl: ( ) cons. o für ypsche Maeralen leg zwschen 50 nd 00 espel: o = f ( ); U = 30V; P = 00W snd Were ener Glühlampe. ( n ) ( n ) o Glühlampe seh ner Las: U 00 ; 500 ; P = 06W o Glühlampe bem Enschalen: 0 ; 90 ; P 589W 3.3. Sromsärke-Spannngs-Verhalen enes Wdersandes U I Fall a (lnearer Wdersand): U U I; = I U U U U 0 I I 0 I I o U U U = = I I I 0 0

13 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 3 Fall b (nch lnearer Wdersand): = f( I) = g( U) U U U 0 I 0 I I o für Glechsrom gl: > 0 U0 U o I I 0 o an( ) Fall c (dffereneller Wdersand): o kennzechne den nseg der Kennlne n enem Pnk: o o du r = di nwendng: erechnng von Sromsärke-Änderngen be klenen Spannngs-Änderngen m enen (rbes-)pnk herm (Klensgnalasseerng). espel: Glmmlampen-Kennlne U I I o Glmmlampe zünde be ca. 80V. 80V U

14 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 4 4. Grndlagen elekrscher Nezwerke 4.. Enführng En Nezwerk s das Zsammenschalen von aelemenen. Zel: erechnng von Kenngrößen (z.. Sromsärke nd Spannng) an belebger Selle ener belebgen Zsammenschalng von elekrschen aelemenen. Problem: Für de mesen real exserenden aelemene läss sch enweder kene exake mahemasche eschrebng fnden oder se s z komplzer. espel: V;00h obaere o De Spannng häng von z velen Parameern ab: = f ( Ladezsand; ; ler;...) sweg Modellbldng: Modellerng realer aelemene as dealen aelemenen, de dann als Nezwerkelemene bezechne werden. Es werden Nezwerke zr erechnng der geschen Größen ersell. Enschränkng: Das Modell smm nr ner ganz besmmen ahmenbedngngen m der ealä überen. espel: Drahwdersand o reales aelemen: Drah Isolaor o Modell (Nezwerkelemen für Glechsrom): = = cons.; f ; = cons. es gl: ()

15 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 5 o Modell (Nezwerkelemen für Wechselsrom): L o es gl: = f ( ); = cons. 4.. Grndgeseze für lneare Wdersandsnezwerke 4... En Nezwerk Knoen Masche Elemen drch en Knoen ersezbar Zel der erechnng: Ermlng aller Spannngen nd Sromsärken

16 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Nezwerkelemene Wdersand: o es gl: U = = cons. I nabhängge Spannngsqelle: + o es gl: = U = cons. 0 - belebger Srom (beschalngsabhängg)

17 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 7 nabhängge Sromqelle: + o es gl: = I = cons. 0 - belebge Spannngen (von der eschaffenhe abhängg) Verbndngsleer: o deale Drähe ( = 0) o ken Spannngsabfall Krchhoff sches Gesez (Knoenregel) De Smmer der hnführenden Sröme nd wegführenden Sröme s 0 : 0 n o o es gl: n! k= Konvenon: = 0 k +

18 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Krchhoff sches Gesez (Maschenregeln) en Nezwerk n dem ene Masche M engezechne s: n M 4 3 Plazhaler für Nezwerkelemene: o n Nezwerkelemene können sch zwschen zwe Knoen befnden oder o es beseh nr ene Verbndng = 0 oder o kene Verbndng es gl: n! k= Konvenon: = 0 k Plazhaler für Nezwerkelemene + V V

19 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen erechnng enes Nezwerkes k I0 0 M 3 M y k M 3 gegeben: alle ; 0 ; I0 gesch: alle Sromsärken nd Spannngen M den folgenden Glechngen können de geschen Größen berechne werden: k : + I0 = 0 k : I0 + + = 0 M : = = 0 M : 3 + y =3 I0 + y = 0 M : + + = + I + = y 0 y nwendngen der Krchhoff schen Geseze ehenschalng von Wdersänden Herleng: M ersaz M: + = 0 = = + = 0 ( + ) + " + = ersaz =

20 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 0 allgemen: n ersaz es gl: ersaz n =! = lle Wdersände werden vom selben Srom drchflossen (ensprch der ehenschalng) Parallelschalng von Wdersänden Herleng: De Herleng kann vom Leser erarbee werden. allgemen: ersaz n es gl: n ersaz =! = lle Wdersände werden von enem anderen Srom drchflossen (ensprch der Parallelschalng) rückenschalng as Wdersänden * * * ersaz 3 4 ersaz kann drek berechne werden oder drch nwendng von Transformaonsregeln. - Y Transformaon:

21 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Zel der Transformaon s es gleches Klammerverhalen z errechen: = * = * = * * = + + für das obge Nezwerk ergb sch: * * * 3 4

22 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen ehen- nd Parallelschalng von Spannngs- nd Sromqelle Spannngsqelle 0 = = 0 = Ene Parallelschalng von dealen Spannngsqellen nerschedlcher Größe s nch möglch bzw. be glecher Größe nch snnvoll Sromqelle 0 = 0 = Ene ehenschalng von dealen Sromqellen nerschedlcher Größe s nch möglch bzw. be glecher Größe nch snnvoll.

23 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 3 0 = Spannngselerregel llgemen M K D D K: = 0 M: = 0 = D = = = + ( ) ( ) D = 0 + = 0 + = 0 D = D + +

24 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Spezalfall folgendes gl nr für enen nbelaseen Sromkres: allgemen: = 0 D = + n n { } { } ;; ;n ; k ;; ;n = ; = k k n! j j = Sromelerregel n n { } { } j ;; ;n ; k ;; ;n = ; = =! n j k j ges k j j ges d= d

25 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Weere Nezwerkelemene Nllaor: = 0 = 0 -belebg = 0 = 0 -belebg Unerbrechng Verbndng Noraor: -belebg -belebg geseere Qellen: geseere Qellen Spannngsqelle Sromqelle spannngsgeseer sromgeseer spannngsgeseer sromgeseer

26 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 6 spannngsgeseere Spannngsqellen: = v v = cons. snd m Nezwerk menander verbnden sromgeseere Sromqelle: = % % = cons. snd m Nezwerk menander verbnden

27 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Zwepolheore/Grndsromkres Defnon Zwepol (Enor) Nezwerk m zwe nschlüssen (Klemmen): Ersazschalng Zel: Ersezen ener komplexen Schalng drch ene enfache Schalng (Ersazschalng) Ene Ersazschalng mss en gleches Klemmverhalen afwesen (alles andere s nch von edeng). Ene Ersazschalng s mndesens be lnearen Schalngen anwendbar Ersazschalngen für passve Zwepole Passve Zwepole enhalen kene Energeqellen nd kene nabhänggen Qellen: ersaz passver Zwepol Lnear bedee: Klemmsrom s proporonal zr Klemmspannng.

28 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 8 = = cons. Ermlng von ersaz : o De Wdersände müssen nach den Gesezen der ehen-/parallelschalng berechne werden (ndkve nd kapazve Wdersände werden z desem Zepnk noch nch berückschg). Gegebenenfalls müssen rückenransformaonen angewand werden. o andere Möglchke: passver Zwepol ersaz = = cons Ersazschalngen für akve Zwepole enhalen m Gegensaz z den passven Zwepolen Energeqellen: L akver Zwepol K K L ( = ) ( = ) -Leerlafspannng 0 -Krzschlsssrom 0

29 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 9 Ersazspannngsqelle: 0 Ersazsromqelle: I 0 esmmng von 0 : = 0 akver Zwepol = L 0 esmmng von I 0 : = I K 0 akver Zwepol = 0

30 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 30 esmmng von : o De nabhänggen Spannngsqellen werden drch ene Verbndng ersez. Folge: Es enseh en Krzschlss. o De nabhänggen Sromqellen werden drch Unerbrechngen ersez (Sromqellen werden enfern). o wrd we bem passven Zwepol berechne Modelle ener realen Spannngsqelle espel ener realen Spannngsqelle: Zn HS + H 4 Modell: 0 0 = + 0 = + + 0

31 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Der Grndsromkres fba akver Zwepol passver Zwepol a a esondere erebszsände a a = 0 + a = 0 + a &': o für dealen (heoreschen) Leerlaf gl: a = L = 0 o für realen (prakschen) Leerlaf gl: a 0( a 0 a = 0: o für dealen (heoreschen) Krzschlss gl: a = 0; 0 = K = o für realen (prakschen) Krzschlss gl: a a 0( = : a = = = K a 0 L a 0

32 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Spannngs-Srom-Kennlne akv passv akv passv a 0 akv = akv + 0; passv = a passv Leerlaf L Kennlne des akven Zwepols Kennlne des passven Zwepols P rbespnk (P) Krzschlss P K

33 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen erechnngsmehoden für Nezwerke 5.. Übersch nalysemehoden: o Handanalyse: Krchhoff sches Gesez Krchhoff sches Gesez I U - ezehngen o sysemasche nalyse: Zwegsromanalyse Maschensromanalyse Knoenspannngsanalyse Für klene Nezwerke können folgende Mehoden benz werden: o Zwepolheore o Überlagerngsverfahren (Sperposon) 5.. Handanalyse nch-sysemasche nalysemehode Vorgehen: o Nezwerk berachen o nwendng der Krchhoff schen Geseze, fsellng der I U - ezehngen, Verwendng der Zwepolheore nd der Sperposon, sowe ene srechnng der geschen Größen wchg: o M den Glechngssysemen asschleßlch Sröme berechnen! o Maschenglechng be Sromqellen meden! espel: K I M 3 gegeben: 0;I 0;alle gesch: alle nd alle Lösng: K: + I = 0 = I M: + + = I + = ( ) + + I =

34 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Sperposon 3 + I = = 33 = = 3 I0 = = = = I = 0 + I Wrken n enem lnearen Sysem mehrere Ursachen, so ergb sch de Gesamwrkng as der ngesören Überlagerng der Enzelwrkngen espel: mechansches Modell l m l l + l m m m l m

35 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen espel: Überlagerng espel: kene Überlagerng + = = = + = + = f ( ges ) ges + ges ges echenprogramm. lle Spannngsqellen krzschleßen.. lle Sromqellen enfernen. 3. Nachenander je ene enzelne Qelle weder akveren nd gesche Größen berechnen. 4. Telergebnsse as 3. smmeren.

36 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 36 espel: I " ( I = ) * = + + I + -. = + I 3 0 +, ( + ) I = o Lesng: De Lesng wrd m Hlfe des Ergebnsses 3 berechne: P= ; = ; P= P ( + ) ( + ) I = = 3 3 De Lesng wrd m Hlfe der Telergebnsse 3 nd 3 berechne: P = P + P * = P ( + ) ( ) 3+ 3 I 0

37 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Zwegsromanalyse Vorel: sysemasche nalyse Nachel: Große Nezwerke snd afwendg z berechnen. Zel: erechnng aller Zwegsröme (über z Zwege fleßen z Sröme); Zr erechnng snd z nabhängge Glechngen erforderlch Mehode des vollsändgen ames fzechnen des Sreckenkomplexes (Graph) zm Nezwerk: o Knoen werden herbe als Pnke dargesell. o Zwege werden drch Lnen repräsener. fsellen der nabhänggen Knoenglechngen, wobe von n Knoen n Knoenglechngen nabhängg snd. fsellen der nabhänggen Maschenglechngen. In den Sreckenkomplex wrd en belebger Lnenzg gezechne, der alle Knoen enhäl nd der kene Maschen blde. De reslchen Lnen (Zwege) snd dann de nabhänggen Lnen. Jeder deser Zwege (also de reslchen Lnen) schleß ene Masche über den am (heras folgen de nabhänggen Maschenglechngen). 5 7 E D nabhängge Maschen: o 4:D o 5:E o 6:ED o 8:ED o 9:FD o : EDF für k Knoen nd z Zwege gl: Knoenglechngen. o Es exseren ( k) o Es gb ( z ( k ) ) o zsammen: ( ) ( ) Zwege: Es fleßen Zwegsröme. 6 Knoen: Es exseren 6 Knoenglechngen. Es gb 6 = 5 nabhängge Zwege. Maschenglechngen. flösen des Glechngssysems o von Hand o maschnell F ( ) k + z k = z Glechngen

38 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Problem: nabhängge Sromqellen n Nezwerken K y I 0 M 0 M x Knoenglechng Maschenglechngen K: + y + I0 = 0 M: + 0 = 0 M : + I = 0 0 x 0 Unbekanne: ; y ; x De Glechngen rechen zr erechnng der geschen Größen as, das Verfahren wrd dann aber nsysemasch. Lösng: o Der vollsändge am mss so gewähl werden, dass der Zweg m der Sromqelle n enen nabhänggen Zweg (nch m am) leg. o Der Zwegsrom s bekann nd benög kenerle erechnng. K y I 0 M 0 M x " ( I 0 0

39 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Zeveränderlche Vorgänge n Nezwerken 6.. Nezwerkelemene 6... Elemenares ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () 6... Indkvä = = cons. ( ) L ( ) () d( ) = L d specher elekrsche Energe n Form enes magneschen Feldes (Feldenerge)

40 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Kapazä ( ) ( ) () = () d d () () = specher elekrsche Energe m elekrschen Feld 6.. Enführng n de erechnngsmehodk espel: ( ) ( ) ( ) ( ) L L ( ) o ( ) ( ) ( ) ( ) L = 0 d() () + () + () d L 0 + = d () () () d d d + + () + L = 0 d d d d() d() d () = + L + () d d d En Nezwerk lefer be zelcher bhänggke en Sysem von Dfferenzalglechngen. Ene Lösng deser s allerdngs ehr afwendg.

41 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Klassfkaon zelch veränderlcher Vorgänge Darsellng m Lnendagramm: y y y s en Plazhaler für de elekrsche Spannng bzw. für den elekrschen Srom. y - Momenanwer (genblckswer) zeabhängge Größen Glechgrößen perodsche Größen nch-perodsche Größen y y y y T Der Fnkonsverlaf wederhol sch nach der Ze T (Perodendaer). T Wechselgrößen: () d = 0 0 ( ) T

42 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 4 T Mschgröße: () 0 d 0 ( ) T Mschgröße = Wechselgröße + Glechgröße 6.4. Parameer perodscher Sgnale (perodscher Größen) T s Perodendaer nd Freqenz f = ; [ T] = s; [ f] = = Hz ( Herz) Spzenwere: y y y max yss = ymax ymn = ypp y y mn y Melwere: o arhmesches Mel (Melwer, lnearer Melwer, Glechwer): y () x+ T yeff = y d T o qadrasches Mel (Effekvwer): () 6.5. Harmonsche Wechselgrößen f ( x) = a sn ( bx + c) y( ) = y sn (/ + ) y( ) - Momenanwer x x+ T = T x y d y - Spzenwer, mplde, Scheelwer / - Kresfreqenz (Wnkelgeschwndgke): - Nllphasenwnkel / - Phasenwnkel / = = f T

43 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 43 Darsellng als y( ) : y y 0 / T o Nlldrchgang: y( 0) = 0 = y sn (/ 0 + ) " sn (/ 0 + ) = 0 " / 0 + = 0 " 0 = / Darsellng als Fnkon vom Phasenwnkel: y y Ene Snsgröße wrd drch de 3 Parameer mplde, Freqenz nd Nllphasenwnkel vollsändg beschreben. arhmesches Mel: y y qadrasches Mel: eff Kosns-Fnkon: ( ) = y = y y= y cos / ) * = y sn+ / +, -.

44 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Überlagerng von harmonschen Fnkonen ( ) f = f Freqenz = + ( ) ( ) ( ) a = a sn / + a = a sn / + a = a + a = a sn / + ( ) a ( ) sn + a sn ( ) a cos( ) + a cos( ) a = a + a + a a cos = Snsgrößen nerschedlcher Freqenz n enem Nezwerk ergeben nchharmonsche perodsche Größen Übersch z erechnngsmehoden Glechsromerregng ( ) d 0 = U0 = cons.; = 0 d() 0 = I0 = cons.; = 0 ( ) ( )

45 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 45 ( ) L ( ) Harmonsche Erregng () = (/ + ) ( ) ( ) d ) * () = sn (/ + ); = / cos / + = / sn + / + +, -. sn Nchharmonsche perodsche Erregng Jede deser Fnkonen kann as der Smme von snsförmgen Fnkonen zsammengesez werden (nnäherng: Forer-ehe) Schalvorgang, sglechsvorgang, Übergangsverhalen y saonär saonär Tessgnale y Sprng Impls De Lösng erfolg über Dfferenalglechngen eslche Sgnale Lösng: an deser Selle nch bekann

46 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen espel De nn folgende Schalng soll für das nerschedlche Verhalen der genannen Erregngen verwende werden: ( ) ( ) z 6.6.: ( ) ( ) = ( ) 0 z 6.6./6.6.3: ( ) ( ) ( ) z 6.6.4: ( ) 0 ( ) ( )

47 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Mahemasche eschrebngsformen bj Z a arhmesche Form: z= a+ bj o erag: o Wnkel: ( ) rgonomersche Form: z= z = a + b b an Z = a a = z cos( Z ) 0 z = z cos( Z) + sn( Z) j b = z sn ( Z ) 3 j elersche Form: cos( ) ± sn ( ) j = e ± z= j z e exponenal Form: Z 6.8. Sonderfälle ( ) Mlplkaon = a + b j = j = b + a j a b b a 6.9. Häfge Umrechnng ) b * j arcan +, - a..: = a + bj = a + b e.: = = e a+ bj a + b ) b * j arcan+, - a.

48 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen nwendng af harmonsche Zefnkon Es läss sch folgende formale Idenä fnden: o n deser Selle sollen de Fnkonen e( z) nd Im( z) defner sen, de ses den ealel bzw. den Imagnärel ener komplexen Zahl z zrückgeben. o z( ) o W ( ) o - Zeberech W z - ldberech ( ) = (/ + ) = e( z cos( / + ) + z sn (/ + ) j) z z cos j ( ) / = e z e e ( ) = ( ) z W z Snsfnkon ensprechend (n Kosnsfnkon mrechnen) 6.. Egenschafen des ldberechs WW s lnear, d.h.: o x( ) + y( ) = WW ( x+ y) o x( ) = W ( x) W bleng wrk über WW als Mlplkaon m j/ : ( ) = (/ ) + (/ + ) W ( ) ( e ( z e j e j/ ) ) j j/ ( j e ) dx d d d x cos x sn j d = d = e z e / 6.. nwendng af Nezwerk-nalyse Krchhoff sche Geseze: hm sches Gesez:! ( )!! ()! WW K = 0 55& K = 0 WW K = 0 55& K = 0 ( ) = ( ) & = Kapazä: Indkvä: = / j d () () = & d = / j ( ) d () = L & = / Lj d

49 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Defnon Impedanz Impedanz (Wdersandsoperaor, komplexer Wdersand): o - Wrkwdersand o x - lndwdersand Wdersand: z = z Kapazä: Indkvä: z ddmanz: = /j = / Lj y = z 6... Zsammenfassng z= = z e j eff z = z = = (Schenwdersand) eff z = z= + xj Transformaon n den ldberech bekanne erechnngsmehodk verwenden ückransformaon n den Zeberech o kann enfallen, wenn de geschen Parameer n ldberech abgelesen werden können espel ( ) ( ) /j gegeben: ( ) = eff (/ ) gesch: ( ) cos ; ;

50 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 50 Lösng: 0j = eff e = eff Spannngselerregel: / j = = + + / j / j = () eff + / j Exponenalform: = eff ( ) + / ückransformaon: ( ) e j arcan / ( ) = / / + / ( ( )) eff cos arcan 6.3. Freqenzabhänggke von Schalkresen Freqenzabhänggke be Zwepolen ( ) passver Zwepol ( ) ( ) z z =, d.h. das Verhalen des Zwepols wrd drch de Impedanz z asrechend beschreben. Zwepolcharakersk z= z e z j o z= f (/ j) - rskrve o z f ( ) o f( ) = / - eragscharakersk = / - Phasenwnkelcharakersk Z

51 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 5 L z z = z = z = = 0 z L L z = j/ L z = Z =/ L L = 90 z z z = =j j/ / Z = = / = 90 z z L z / / / esonanz esonanz s das mschwngen enes Schwngngsfähgen Sysems be Enwrkng ener Erregergröße m ener Freqenz nahe oder glech der Egenfreqenz des Sysems (esonanzfreqenz). enmalge nregng free Schwngng bs Energe drch Dämpfng mgewandel s saonäre erzwngene Schwngng Sysem schwng m der Egenfreqenz Schwngng Schwngngsnensä abhängg von der Dfferenz der Erregerfreqenz nd Egenfreqenz espel: ehenschwngkres (saonäre erzwngene Schwngng) j/ L j/

52 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 5 z= + j/ L+ j/ ) * = + j+ / L, - /. Exponenalform: eragscharakersk: ) * + / L j arcan, + /, ) * +, -. z= + / L e +, - /. z ) * / = + + /, - /. ( ) z L / 0 = f0 - esonanzfreqenz esonanzbedngng: Im( z) = 0 / L = 0&/ = L 0 0 / 0 / 0 z wrd m esonanzfall reell. Für = 0 wrk en ehenschwngkres be esonanz we en Krzschlss. / Freqenzabhänggke von Verpolen Verpol bzw. Zweor

53 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 53 Defnon: Überragngsfnkon H( j ) Exponenalform: o Feslegng: = 0 - Phasengang H f( ) ode-dagramm / = e H( j/ ) = = = e j j j e j ( /) = e H j = = / - mpldengang ( ) Phasengang nd mpldengang blden zsammen den Freqenzgang. logarhmsch geele Freqenzachse logarhmsch geele mpldenachse oder Umrechnen n d (Dezbel) o mpldengang: Hd = 0 lg = f ( lg( /)) ( ) o Phasengang: = (/) Grenzfreqenz f log Defnon: Granzfreqenz s de Freqenz, be der das maxmale Spannngselerverhälns af den fachen Wer abgesnken s: = / g max espel: ensprechen ca. 3 d. j/

54 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 54 o Grenzfreqenz: g 0 40 / = H= H 0,0 ( ) + / jarcan / (/) = 0lg + (/ ) ( ) arcan ( ) /= / 0, ealverlaf 0 e 00 ( ) 000 Idealverlaf / n s H n d

55 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen sglechvorgänge n lnearen Nezwerken 7.. Problemsellng Enschalvorgang: = 0 o vor dem Schleßen des Schalers: = 0; = 0 o nach dem Schleßen des Schalers: elekrscher sglechsvorgang; = f ( ) ; = f ( ) o nach der Ze (heoresch: &'): saonärer Zsand; für Glechgrößen: = cons. ; für harmonsche Wechselgrößen: = cons. ; = cons. sschalvorgang o do, nr mgekehre ehenfolge Lösngsverfahren o symbolsche Mehode ( j/ ) s nch geegne o Laplace-Transformaon o für enfache Fälle: echnng m Zeberech = cons. ; 7.. ; ; L be Schalsprünge L L L = d d d L d L = L = y y y L De Spannng kann sch nch Sprnghaf ändern. Der Srom kann sch nch sprnghaf ändern. ebenfalls, desglechen, ebenso

56 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 56 espel: Selbsndkon = 0 I

57 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Lneare Nezwerke be harmonscher Erregng 8.. andbedngngen Nezwerk s lnear Nezwerk s engeschlngen (saonär) Nezwerkselemene: ;L;;Qellen 8.. ehandlng m Zeberech fsellen nd Lösen des Dfferenalglechngssysems 8.3. ehandlng m Zegerbld Defnon y y / mlafender Zeger y Phasenbezgsachse y( ) rhender Zeger y = 0 y Phasenbezgsachse y Zeger haben symbolschen haraker nd gelen nr für harmonsche Größen. Kennzechnng drch nersrechen (al: Frakr-Schrf)

58 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Grndoperaonen Mlplkaon m konsanem Fakor (Wdersand): () () = = ; = = Dfferenaon (Indkvä): ( ) d () = L = / L ; = + d Inegraon (Kapazä): () = () d ; = = / Vor- nd Nachele der Mehodk Vorele: o enfach nwendbar o anschalche Darsellng der Vorgänge Nachele: o be großen Nezwerken nüberschabar o Genagke af Zechengenagke beschränk o Enflss be Freqenz-Änderngen schwer vorsellbar

59 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen Symbolsche Mehode Zel: analysche ehandlng von Zegerbldern Zeger m Koordnaensysem b z z a benöge peraonen: o Längenänderng o Überlagerng (ddon/sbrakon) o Drehng ( ± 90 ) Lösng: Zeger drch gerchee Srecken n der Gaß schen Zahlenebene darsellen. symbolsche Schrebwese für obgen Zeger: z= a+ jb; a,b ; j = 8.5. Nezwerke m enem Specherelemen espel: Enschalen ener Glechspannng ( ) M gesch: ( ) ; > 0. fsellen der Dfferenalglechng für de gesche Größe: () () () = = 0; d () () () = 0 d d d () + d () = + = d ( )

60 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 60. Lösng der homogenen Dfferenalglechng: ax + ax+ ax + + ax = 0 0 n 0 n () + = 0 d d d () = d d = d d = d ln ( ) + k = ln ( ) = k e = e k k k = = = e e ; k e cons. x ( ( ) ) = e k = ; - Spannng wrd flüchg lm = 0 fl fl fl &' 3. fschen ener parklaren Lösng der vollsändgen Dfferenalglechng: &' ( ) ( ) = ( ) = s s - Spannng wrd saonär 4. Überlagerng von nd 3: = + fl s = k e +

61 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 6 5. esmmng der Inegraonskonsanen as der nfangsbedngng: sch nch sprnghaf ändern kann. = 0 = 0, da de Kapazä vorher enladen war nd Für = 0: Defnon: Zekonsane 6 = () ( ) () = k e + = = k e + = 0 k + = 0 k = = e + ) * = + e, -. () ) * e 6 = +, -. Für Indkväen s das Ergebns nalog Verkürzes Lösngsverfahren für Nezwerke m enem Specherelemen gesch: a( ). a () k e 6 = m ersaz fl Geseze 6 = bzw.. as ( ) =? für &' 3. erechnng von k : k = a( = 0) a ( = 0) 4. a() = k e 6 + a () s s L 6 = ; - Ersazwdersand von bzw. L as ersaz

62 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen nwendng n der Dgalechnk Logkgaer (Dgalschalng) ( ) ( ) GND (grond) ( ) H Hgh L Low H L = 0 gesch: ( ) enfacheres Modell: a Umschaler ersaz ( ) ( )

63 onny Harbch Skrpm zr Vorlesng Elekronsche Grndlagen 63 Enschalen:. k e 6 fl = m. ( ) &' = s H 6 = a + a + + k = = 0 = 0 3. ( ) 4. () H H a a ) * ) * e e ; für = H +, H+, 6 a a a sschalen:. k e 6 = m 6 = fl s &' = 0 k = H 0 + a 6 6 = e e ; 6 für +. ( ) () H H a a a ( ) ( ) ( ) s so nbrachbar! 6 mss klener werden ( von ( ) ) größere nnäherng an ( ) o mss klener werden (über Konsrkon errechbar) o oder a mss klener werden (anderer Typ von Logkgaer)