Grundlagen der Elektrotechnik 2

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2 Manfred Albach Grndlagen der Elektrotechnk Perodsche nd ncht perodsche Sgnalformen., aktalserte Aflage

3 8 Wechselspannng nd Wechselstrom Ortskrven be komplzerteren Netzwerken Zr Erstellng ener Ortskrve be komplzerteren Netzwerken geht man üblcherwese so vor, dass de berets bekannten Ortskrven für Telnetzwerke pnktwese, d.h. be jewels glechen Parametern, addert werden. Als Bespel soll de Ortskrve für de Impedanz des Netzwerks n Abb be veränderlcher Freqenz dargestellt werden. Z(ω) C R L Abbldng 8.53: sonantes Netzwerk Wegen der Parallelschaltng der beden as der Kapaztät C nd as der RL-henschaltng bestehenden Zwepole müssen de beden Admttanzen addert werden Y = jω C+. (8.4) R+ω j L De Ortskrve der Admttanz jωc begnnt m Ursprng nd verläft entlang der postven, magnären Achse. Addert man dese z dem n der nteren Halbebene legenden Halbkres nach Abb. 8.5, dann erhält man bespelswese den qaltatven Krvenverlaf af der rechten Sete der Abb Der exakte Verlaf hängt zwar von den Werten R, L nd C ab, an dem prnzpellen Verlaf kann man aber berets erkennen, dass ene sonanzfreqenz ω exstert, be der der Phasenwnkel Nll wrd, d.h. der Imagnärtel von Admttanz nd Impedanz verschwndet. ω R + jω L jω C ω Y (ω) ω ω = ω ω = ω = Abbldng 8.54: Konstrkton der Ortskrve für de Admttanz Be den sonanzerschenngen n Kap. 8.5 haben wr festgestellt, dass de Güte des Schwngkreses großen Enflss af das sonanzverhalten hat. Wrd de Güte z klen, dann verschwndet de sonanz völlg nd es trtt z.b. kene Strom- oder Span- 9

4 8.7 Ortskrven nngsüberhöhng an den Komponenten mehr af. In desem Fall darf n der reslterenden Ortskrve der Schnttpnkt mt der reellen Achse be ω ebenfalls ncht mehr aftreten, d.h. an der Ortskrve mss z erkennen sen, ob das Netzwerk ene sonanzfreqenz bestzt oder ncht. Der Schnttpnkt mt der reellen Achse trtt aber gena dann ncht mehr af, wenn de Ortskrve, de mmer für ω = an der Stelle /R af der reellen Achse begnnt nd sch für ω der postven magnären Achse asymptotsch nähert, asschleßlch drch den ersten Qadranten verläft. Für de beden Teladmttanzen bedetet das, dass be ener Erhöhng der Freqenz, asgehend von ω =, der Betrag der Kapaztät schneller n Rchtng postver Imagnärtele als de kresförmge Ortskrve nfolge der RL-henschaltng n Rchtng negatver Imagnärtele anwächst. In desem Fall wrd de Ortskrve, begnnend be /R, senkrecht zr reellen Achse drekt n Rchtng des ersten Qadranten verlafen. Der Grenzfall zwschen deser Staton nd dem n Abb dargestellten Fall besteht darn, dass der Zwachs der beden Teladmttanzen n Rchtng postver bzw. negatver Imagnärtele be wachsendem ω glech schnell erfolgt. De Ortskrve für de Gesamtadmttanz wrd n desem Fall znächst parallel zr reellen Achse verlafen, bevor se n den ersten Qadranten entrtt. Zm lechteren Verständns wollen wr de Ortskrven für de dre Fälle für en konkretes Zahlenbespel darstellen. Znächst benötgen wr aber den Wderstandswert für den Grenzfall. Wrd de Admttanz (8.4) drch de konjgert komplexe Erweterng n der Form R ω j L R = ω + = ω + = + ω L Y j C j C j C R+ω j L R +ω L R +ω L R +ωl ( ) ( ) ( ) (8.4) geschreben, dann lässt sch de sonanzfreqenz as der Forderng nach dem Verschwnden des Imagnärtels berechnen. Es mss also gelten: ( ) L L= C R +ωl bzw. ω = R. (8.4) L C De Wrzel bestzt nr ene reelle Lösng, falls L/C > R st. Wr erhalten somt de dre möglchen Fälle. L/C > R sonanzfreqenz be ω nach Gl. (8.4),. L/C = R Grenzfall mt ω =, 3. L/C < R kene sonanzerschenngen. De berechneten Ortskrven für Admttanz nd Impedanz für das Netzwerk n Abb mt den Komponenten L = mh nd C = μf snd mt der Freqenz als Parameter n den Abb bs 8.57 gegenübergestellt. 9

5 8 Wechselspannng nd Wechselstrom,4,3,, 4 Y ( π f ) Ω f / khz f =,378,5 -,,,, Abbldng 8.55: Ortskrven für Admttanz nd Impedanz, Fall mt 5-5 4,5 Z( π f ) Ω R = 5Ω f f / khz,4,3,, 4 Y ( π f ) Ω f / khz -,,,,3 Abbldng 8.56: Ortskrven für Admttanz nd Impedanz, Fall mt R= L/ C = Ω f / khz Z( π f ) Ω ,4,3,, 4 Y ( π f ) Ω f / khz -,,,, Abbldng 8.57: Ortskrven für Admttanz nd Impedanz, Fall 3 mt Z( π f ) Ω R = Ω f / khz 9

6 8.8 Energe nd Lestng be Wechselspannng 8.8 Energe nd Lestng be Wechselspannng In desem Kaptel wollen wr de Frage nach der n enem lnearen Netzwerk gespecherten oder verbrachten Energe nterschen, wenn das Netzwerk an ene Wechselspannngs- bzw. Wechselstromqelle angeschlossen st. Dabe soll de Enschränkng gelten, dass das Netzwerk as enzelnen Zwepolen afgebat st. Da sch de nsgesamt n dem Netzwerk gespecherte oder verbrachte Energe as der lnearen Überlagerng der Beträge der enzelnen Zwepole zsammensetzt, kann de Unterschng af den n Abb dargestellten lnearen Zwepol 5 beschränkt werden. De an den Anschlssklemmen vorlegenden zetabhänggen Größen können n der allgemenen Form = ˆ cos ω +ϕ nd t = ˆ cos ω t+ϕ (8.43) t () ( t ) () ( ) mt der Kresfreqenz ω = πf nd den gegenüber enem belebgen Bezgswert angenommenen Phasenverschebngen (Nllphasenwnkeln) ϕ der Spannng nd ϕ des Stromes dargestellt werden. ˆ cos ( ω t + ϕ ) ˆ cos( ω t + ϕ ) belebger lnearer Zwepol Abbldng 8.58: Zwepol an Wechselspannng Be den zetabhänggen Sgnalverläfen nd (t) st der Momentanwert der Lestng, d.h. de be Zgrndelegng des Verbracherzählpfelsystems agenblcklch an den Zwepol abgegebene Lestng, nach Gl. (7.) drch das Prodkt pt t t ˆ t t () = () () = ˆ cos( ω +ϕ ) cos( ω +ϕ ) (8.44) gegeben. Dese Lestng kann abhängg von dem Zetpnkt t postv oder negatv sen. Für p(t) > nmmt der Zwepol agenblcklch Lestng af, er verhält sch we en Verbracher. Be enem ren ohmschen Zwepol st dese Bedngng z jedem Zetpnkt erfüllt. Glt dagegen p(t) <, dann gbt der Zwepol agenblcklch Lestng ab, er verhält sch we ene Qelle. Deser Fall trtt während enes Tels der Perodendaer af, wenn Blndenerge (vgl. Kap. 8.8.) zwschen der Qelle nd dem Zwepol hn- nd herpendelt. Wr nterschen znächst de Sonderfälle, be denen der Zwepol ledglch ene der Komponenten R, L oder C enthält nd verallgemenern dann de Ergebnsse af enen as desen Komponenten belebg zsammengesetzten Zwepol. Da de her betrachteten Zwepole kene Strom- oder Spannngsqellen enthalten, werden se als passve Zwepole bezechnet. De m zetlchen Mttel über ene komplette Perode afgenommene Lestng st be den passven Zwepolen mmer größer oder glech Nll. 5 Bem lnearen Zwepol snd alle Wrk- nd Blndwderstände nabhängg von dem Strom drch de Komponenten. 93

7 8 Wechselspannng nd Wechselstrom 8.8. Wrklestng An enem ohmschen Wderstand snd Strom nd Spannng mmer n Phase. Wegen ϕ = ϕ setzt sch de zetabhängge Lestng as enem zetnabhänggen Antel nd enem mt doppelter Freqenz schwngenden Pendelantel zsammen (H.3) ˆ (7.4) () ˆ ˆ pt = ˆ cos ( ω t+ϕ ) ( ) ( ). (8.45) = + cos ω t+ ϕ = UI + cos ω t+ ϕ Das Ergebns (8.45) beschrebt de momentan am Wderstand verbrachte, d.h. n Wärme mgewandelte Lestng pt = UI + cos ω t+ ϕ = UI + cos ω t+ ϕ. (8.46) () ( ) ( ) Von besonderem Interesse st de m zetlchen Mttel an dem Wderstand verbrachte Lestng. Be der Integraton über ene volle Perodendaer nach Gl. (7.8) verschwndet der Betrag der Kosnsfnkton nd es verblebt der berets n Gl. (7.3) angegebene Asdrck P = p() t dt = U I, (8.47) T der als mttlere Wrklestng oder krz Wrklestng P bezechnet wrd 6 T P= P = U I = U I = I R = U R eff eff eff eff. (8.48) Merke An enem ohmschen Wderstand st de Wrklestng drch das Prodkt der Effektvwerte von Strom nd Spannng gegeben. Der zetlche Verlaf von Strom nd Spannng nach Gl. (8.43) st n Abb für ene komplette Perodendaer dargestellt. De mt doppelter Freqenz schwngende, zetabhängge Lestng p(t) pendelt m den Mttelwert P. De markerte Fläche nterhalb der Lestngskrve st en Maß für de an dem Wderstand n Wärme mgewandelte Energe. 6 Vorscht: Während de Effektvwerte von Strom nd Spannng üblcherwese mt Großbchstaben bezechnet werden (U eff = U, I eff = I), bezeht sch der Großbchstabe P be der Lestng af den zetlchen Mttelwert. 94

8 8.8 Energe nd Lestng be Wechselspannng (t) p(t) P R (t) π / π 3π / Abbldng 8.59: Sgnalverläfe am ohmschen Wderstand be Wechselspannng π ω t + ϕ 8.8. Blndlestng An der Indktvtät elt der Strom der Spannng m π/ nach. Mt der jetzt geltenden Phasenbezehng ϕ = ϕ π/ lässt sch de zetabhängge Lestng (8.44) mthlfe von Addtonstheoremen af de Form (H.5) ˆ π pt t t ˆ t t (H.4) ˆ = ˆ sn ω t+ ϕ = UIsn ω t+ ϕ = UI sn ω t+ ϕ () = ˆ cos( ω +ϕ ) cos ω +ϕ = ˆ cos( ω +ϕ ) sn ( ω +ϕ ) ( ) ( ) ( ) (8.49) brngen. Dese besteht nr as enem mt doppelter Freqenz schwngenden Pendelantel, der Mttelwert verschwndet. Der zetlche Verlaf von Strom nd Spannng nach Gl. (8.43) st zsammen mt der zetabhänggen Lestng n Abb. 8.6 für ene komplette Perodendaer dargestellt. (t) (t) W m (t) L p(t) π / π 3π / Abbldng 8.6: Sgnalverläfe an ener Indktvtät be Wechselspannng π ω t + ϕ 95

9 8 Wechselspannng nd Wechselstrom In den Zetberechen, n denen Strom nd Spannng das gleche Vorzechen haben, de Momentanlestng also postv st, wrd as der Qelle Energe entnommen nd an de Indktvtät abgegeben. De ebenfalls n der Abb. 8.6 gestrchelt dargestellte m Magnetfeld gespecherte Energe (6.5) W () () ˆ ( ) ˆ m t = L t = L cos t L sn ( t ) (8.5) ω +ϕ = ω +ϕ nmmt n desen Zetberechen z. Haben Strom nd Spannng jedoch entgegengesetzte Vorzechen, wenn de Momentanlestng also negatv st, dann nmmt de Energe m Magnetfeld weder ab nd wrd an de Qelle zrückgelefert. De Energe wrd ncht verbracht, se pendelt ledglch zwschen Indktvtät nd Qelle hn nd her. As der Abb. 8.6 st detlch z erkennen, we de während der ersten Vertelperode as der Qelle entnommene Energe z ener Erhöhng der m Magnetfeld gespecherten Energe beträgt, während n der daraf folgenden Vertelperode das Magnetfeld weder abgebat nd de Energe zr Qelle zrückgelefert wrd. Dese hn nd her pendelnde Energe wrd als Blndenerge bezechnet. Be der Kapaztät snd de Verhältnsse ähnlch we be der Indktvtät. Da der Strom jetzt der Spannng m π/ vorelt, ändert sch bem Strom nd somt ach be der zetabhänggen Lestng nr das Vorzechen () = sn ( ω + ϕ ) = sn ( ω + ϕ ) pt UI t UI t. (8.5) (t) (t) W e (t) C p(t) π / π 3π / Abbldng 8.6: Sgnalverläfe an ener Kapaztät be Wechselspannng ω t + ϕ Im Untersched zr Abb. 8.6, n der de maxmal gespecherte Energe zetglech mt dem Maxmalwert des Stromes aftrtt, errecht de Energe be der Kapaztät hr Maxmm zetglech mt dem Maxmalwert der Spannng. De gesamte der Kapaztät zgeführte Energe st dentsch mt der m elektrschen Feld gespecherten Energe () () ( ) W = = ˆcos ω +ϕ = ˆsn ( ω +ϕ ) e t C t C t C t π. (8.5) 96

10 8.8 Energe nd Lestng be Wechselspannng Ach her wrd de Energe ncht verbracht, se pendelt zwschen Kapaztät nd Qelle hn nd her. Be dem Energeastasch zwschen Wechselspannngsqelle nd Indktvtät bzw. Kapaztät entstehen prnzpell kene Verlste. De der Qelle zetwese entnommene Energe wrd zm Afba des magnetschen bzw. elektrschen Feldes verwendet, bem Abba des Feldes wrd de Energe an de Qelle zrückgelefert. In der Praxs exsteren jedoch kene dealen Splen oder Kondensatoren. In allen realen Baelementen entstehen nfolge des Stromes Verlste, sowohl n den Zletngen als ach abhängg von den jewels verwendeten Materalen nnerhalb der Komponenten selbst (z.b. Hystereseverlste). As desem Grnd st man n der Praxs oft bestrebt, dese Blndströme möglchst klen z halten bzw. völlg z vermeden Schenlestng nd Lestngsfaktor Nachdem wr de Sonderfälle mt nr jewels ener Komponente nterscht haben, kehren wr noch enmal zr Abb zrück. Der Zwepol soll jetzt as enem belebgen, as den Komponenten R, L nd C zsammengesetzten lnearen Netzwerk bestehen, d.h. de Phasenverschebng zwschen Strom nd Spannng kann enen belebgen Wert n dem Berech π / ϕ ϕ +π/ annehmen. De zetabhängge Lestng (8.44) formen wr znächst mthlfe von Addtonstheoremen n der folgenden Wese m (H.7) ˆ p t ˆ t t t = UI cos ϕ ϕ + UI cos ω t+ϕ +ϕ. () = ˆ cos( ω +ϕ ) cos( ω +ϕ ) = ˆ cos( ϕ ϕ ) + cos( ω +ϕ +ϕ ) ( ) ( ) (8.53) Ach n desem allgemenen Fall setzt sch de zetabhängge Lestng as enem zetnabhänggen Antel nd enem mt doppelter Freqenz schwngenden Pendelantel zsammen. Wr formen den Pendelantel weter m ( ω t+ϕ +ϕ ) = ( ω t+ ϕ ) ( ϕ ϕ ) cos cos (H.5) ( t ) ( ) ( t ) ( ) = cos ω + ϕ cos ϕ ϕ + sn ω + ϕ sn ϕ ϕ (8.54) nd gelangen z ener ersten Darstellng für de Momentanlestng () = cos( ϕ ϕ ) + cos( ω + ϕ ) + sn ( ϕ ϕ ) sn ( ω + ϕ ) pt UI t UI t, (8.55) be der m Argment der zetabhänggen Fnktonen nr der Phasenwnkel der Spannng ϕ enthalten st. Mt der glechen Berechtgng lässt sch der Pendelantel ach n der folgenden Wese mformen ( ω t+ϕ +ϕ ) = ( ω t+ ϕ ) + ( ϕ ϕ ) cos cos (H.5) ( t ) ( ) ( t ) ( ) = cos ω + ϕ cos ϕ ϕ sn ω + ϕ sn ϕ ϕ, (8.56) 97

11 8 Wechselspannng nd Wechselstrom as der ene zwete Darstellng für de Momentanlestng (8.53) resltert () = cos( ϕ ϕ ) + cos( ω + ϕ ) sn ( ϕ ϕ ) sn ( ω + ϕ ) pt UI t UI t, (8.57) be der m Argment der zetabhänggen Fnktonen nr der Phasenwnkel des Stromes ϕ enthalten st. Setzen wr de Phasenverschebng zwschen Strom nd Spannng z Nll ϕ ϕ =, dann entsprcht der erste Smmand n den Gln. (8.55) bzw. (8.57) wegen cos() = der momentanen Wrklestng n Gl. (8.46) nd der zwete Smmand verschwndet jewels. Snd Strom nd Spannng m ± π/ n der Phase gegenenander verschoben, dann verschwndet der erste Smmand nd der zwete Smmand verenfacht sch af de n den Gln. (8.49) bzw. (8.5) angegebenen Asdrücke be der Indktvtät bzw. be der Kapaztät. Offenbar beschrebt der erste Smmand n den Gln. (8.55) nd (8.57) den momentanen Lestngsantel, der m Zwepol rreversbel n ene andere Energeform (Wärme) mgewandelt wrd nd damt ener Wrklestng entsprcht, während der zwete Smmand den momentanen Lestngsantel beschrebt, der für de Änderng der m magnetschen bzw. elektrschen Feld gespecherten Energe verantwortlch st nd damt ener Blndlestng entsprcht. In dem allgemenen Fall, be dem an dem lnearen Zwepol Strom nd Spannng entsprechend der Bezehng (8.43) gegeben snd nd de Phasenverschebng zwschen desen beden Größen n dem Berech π/ ϕ ϕ + π/ legt, kann de (mttlere) Wrklestng entsprechend Gl. (7.8) drch Integraton der Asdrücke (8.55) bzw. (8.57) über ene volle Perode berechnet werden. Wegen cos( ϕ= ) cos( ϕ) st deser Wert nabhängg davon, ob der Strom vor- oder nachelt ( ) P = U Icos ϕ ϕ. (8.58) De Wrklestng hängt m allgemenen Fall sowohl von den Ampltden von Strom nd Spannng als ach von dem Phasenwnkel zwschen desen beden Größen ab. Der üblcherwese mt λ abgekürzte Faktor cos( ϕ ϕ ) = λ wrd als Lestngsfaktor bezechnet. Besteht der Zwepol nr as ohmschen Wderständen, dann glt ϕ = ϕ nd der Lestngsfaktor bestzt den Wert λ = cos() =. Be enem renen Blndwderstand st der Phasenwnkel ϕ ϕ = ± π/ nd für den Lestngsfaktor glt λ = cos ± π/ =. ( ) In Anlehnng an de Defnton der Wrklestng (8.58), dese entsprcht der Ampltde der m den Mttelwert schwngenden, momentanen Wrklestng, bezechnet man de Ampltde be dem zweten Smmanden ( ) Q = U I sn ϕ ϕ (8.59) als Blndlestng. Während de Wrklestng an enem as den Komponenten R, L nd C afgebaten Zwepol mmer postv st, kann der Wert der n Gl. (8.59) defnerten Blndlestng sowohl postv als ach negatv werden, je nachdem, ob sch der Zwepol ndktv oder kapaztv verhält nd de Spannng gegenüber dem Strom vor- oder nachelt. 98

12 8.8 Energe nd Lestng be Wechselspannng Be ener genaeren Analyse der beden Gln. (8.55) nd (8.57) stellt man fest, dass de Aftelng der Momentanlestng p(t) n de beden Smmanden für de berets betrachteten Sonderfälle von Wderstand ϕ ϕ =, Indktvtät ϕ ϕ = π/ nd Kapaztät ϕ ϕ = π/ zwar dentsch st, dass aber jeder andere möglche Phasenntersched zwschen Strom nd Spannng z ener nterschedlchen Aftelng führt. De beden zetabhänggen Smmanden n den genannten Glechngen bestzen zwar gleche Ampltden, de Phasen snd aber nterschedlch. Bevor wr de Frage näher nterschen, welcher der beden Asdrücke de an enem Wderstand n Wärme mgesetzte Lestng z jedem Zetpnkt rchtg beschrebt, stellen wr de beden Glechngen noch enmal gemensam dar. Mt den n den Gln. (8.58) nd (8.59) defnerten Begrffen gelten de Bezehngen ( t ) ( ωt ϕ ) ( t ) ( ωt + ϕ ) + cos ω + ϕ sn ω + ϕ pt () = P ± Q cos sn + +. (8.6) De wetere Unterschng führen wr an enem konkreten Bespel drch. Für de n Abb. 8.6 dargestellte henschaltng as enem Wderstand R nd ener Indktvtät L snd berets alle benötgten Zsammenhänge n Bespel 8. abgeletet. Wr wählen das Impedanzverhältns ω L/ R= 3 nd erhalten mt Gl. (8.53) ene Phasenverschebng zwschen Strom nd Spannng von ϕ ϕ = arctan 3 =π/ 3 bzw. 6. Mt ener angenommenen Spannngsampltde ˆ = V nd enem Wderstand R = Ω stellt sch nach Gl. (8.53) ene Stromampltde ˆ = A en. De zgehörgen zetabhänggen Verläfe snd n Abb. 8.6 dargestellt. (t) R L (t) p(t) π / π 3π / Abbldng 8.6: Sgnalverläfe an ener RL-henschaltng be Wechselspannng Für de zetabhängge Lestng am Wderstand mss gelten (H.3) R () = () = W cos ( ω +ϕ ) = W + cos( ω + ϕ ) p t t R t t π ω t + ϕ. (8.6) 99

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