Thema 3: Die Schätzung a priori unbekannter Renditemomente

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1 Thema 3: De Schätzung a pror unbekannter Rendtemomente Problem: We gelangt man zur Kenntns der benötgten Rendteerwartungswerte, -varanzen und -kovaranzen für Markowtz- Portfoloselekton? Möglche Quellen: 1.) Mathematsch-statstsche Verfahren 2.) Expertenbefragung Zu 1.): Ausgangspunkt: Kenntns der Realsatonen (t = -T+1,, 0). Dabe glt: (t) r von T Zufallsvarablen K K + d r. (t) (t 1) (t) (t) = (t 1) K (t) r% Arthmetsches Mttel: (hst) 1 ˆµ : = r. 0 (t) T t = T + 1 bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 1

2 Nun Annahme: Alle Zufallsvarablen r% (t) (t = -T+1,, 0) unabhängg und - dentsch vertelt. Dann konvergert arthmetsches Mttel (hst) ˆµ für T? gemäß Gesetz der großen Zahlen stochastsch gegen Erwartungswert µ. Überdes: Arthmetsches Mttel st erwartungstreuer Schätzer von µ. (was heßt das?) Entsprechend: Mttlere quadratsche Abwechung 1 s ˆ : (r µ ) 0 2(hst) (t) (hst) 2 = ˆ T 1 t = T + 1 st erwartungstreuer Schätzer von 2 σ und konvergert für T? stochastsch gegen desen Wert. Gleches glt für 1 s ˆ : (r µ ˆ ) (r µ ˆ ) 0 (hst) (t) (hst) (t) (hst) j = j j T 1 t = T + 1 und σ. j Problem: Anwendung des Gesetzes der großen Zahlen erfordert Rückgrff auf lange Zetrehe (großes T). Annahme der dentschen Vertelung aller (weso?). (t) r% setzt aber eher kurze Zetrehe voraus bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 2

3 Problem betrfft vor allem de Schätzung von Rendteerwartungswerten, ncht aber so sehr de Schätzung von Rendtevaranzen und kovaranzen. Dre Gründe: 1.) De Streuung der unscheren Rendte erwest sch zetlch als stabler als der Erwartungswert. 2.) Fehler be der Varanzschätzung wrken sch m Rahmen der Portfolooptmerung wegen gerngerer Relevanz n der Präferenzfunkton enes Anlegers ncht so graverend aus we Fehler be der Erwartungswertschätzung. 3.) De Schätzung der Varanz kann dadurch verbessert werden, daß man enen gegebenen Gesamtzetraum n mehr Telzeträume mt entsprechenden zugehörgen Rendterealsatonen zerlegt. De Schätzung des Rendteerwartungswertes würde dadurch quas ncht beenflußt. bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 3

4 Bespel 3.1: Monatsrendten be Betrachtung enes Quartals seen 1 %, 2 % und 1,92 %. Be Sechs-Wochen-Betrachtungen seen de Rendten 2 % und 2,94 %, be Quartalsbetrachtung 5 % (Prüfung auf Stmmgket?). Schätzung der erwarteten Rendte beläuft sch auf 1,64 % pro Monat, 2,47 % pro sechs Wochen bzw. 5 % pro Quartal (we gerechnet?). Alle dre Schätzungen snd nahezu äquvalent. De zugehörgen Schätzungen der Standardabwechungen hngegen snd 0,4537 %, 0,47 % und 0 % und unterscheden sch damt z.t. deutlch (erst recht be Standardserung des Betrachtungszetraums). Besonders problematsch be der Schätzung von Rendteerwartungswerten st der sogenannte Dskonterungseffekt: Aktuell erwartete Rendten werden bestmmt durch de Rendteforderungen der Markttelnehmer. Änderungen n den erwarteten Rendten lösen gegenläufge Bewertungseffekte aus, durch de es zu starken Schwankungen der realserten Rendten und damt nur schlechten Schätzungen der tatsächlchen Erwartungswerte kommt. Entsprechendes glt be Schwankungen erwarteter Zahlungen ohne Änderungen von erwarteten Rendten wegen der erneut auftretenden (verstärkenden) Bewertungsreaktonen. bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 4

5 Bespel 3.2: In der ersten Perode se erwartete Rendte enes Wertpapers 5 %, danach konstant jewels 10 %. Angenommen, de jewelgen Rendterealsatonen entsprechen m Zetablauf genau den jewels gültgen Erwartungswerten, dann ergäben sch n Abhänggket der Zahl T betrachteter Peroden folgende Schätzungen der erwarteten Rendte: (0,05+(T- 1) 0,1)/T = 0,1-0,05/T. T (hst) ˆµ 0,05 0,083 0,09 0,0929 0,0944 Schon nach 5 Peroden erhelte man ene recht gute Schätzung der erwarteten Wertpaperrendte. Aber: Realserte Rendten snd (selbst be Scherhet!) aus systematschen Gründen grundsätzlch von erwarteten Rendten zu unterscheden. Fortführung Zahlenbespel 3.2: Ewge Rente von 100 GE erwartete Dvdendenzahlungen pro Perode, zunächst erwartete Rendte 5 % pro Perode, ab t = 1 bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 5

6 aber 10 %. Konsequenz für Rendterealsatonen: -45 %, 10 %, 10 %, (weso?). Schätzung von µ nach T Peroden: (-0,45+(T- 1) 0,1)/T = 0,1-0,55/T. Damt Schätzung der erwarteten Rendte n Abhänggket von T: T (hst) ˆµ -0,45-0,083-0,01 0,0214 0,0388 Schätzung ener erwarteten Rendte von über 9 % erst nach mehr als 55 Peroden (Konsequenz?). Fazt: Mathematsch-statstsche Verfahren auf Bass hstorscher Rendterealsatonen und des Gesetzes der großen Zahlen nur für Varanz- und Kovaranzschätzungen geegnet, wenger a- ber für Erwartungswertschätzungen. Für letzteres werden alternatve Schätzansätze benötgt. Zu 2.): Nutzung von Expertenwssen n Form von Analystenschätzungen bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 6

7 Wertpaperanalysten geben regelmäßg Schätzungen erwarteter Dvdenden für enge Jahre (n der Regel dre) auf Akten ab. Unter der Annahme, dass de erwarteten Dvdenden nachfolgender späterer Peroden enen bestmmten Verlauf nehmen, kann man zu den Dvdendenerwartungen und den aktuellen Kursen de jewels zugehörge erwartete En-Peroden- Rendte als nternen Znsfuß (Kaptalkostensatz) berechnen und als Schätzung für µ verwenden. Bespel 3.3: Befragung von dre Analysten, de für Akten jewels für fünf Jahre erwartete Dvdenden gemäß Tabelle auf S. 13 schätzen. Aktuelle Aktenkurse der fünf Wertpapere = 1, 2, 3, 4, 5 n t = 0: 57,35 GE, 92,00 GE, 11,25 GE, 60,00 GE und 53,90 GE. Effektvrendteermttlung erfolgt auf Bass der Annahme, daß ab t = 6 erwartete Dvdenden konstant mt 6 % pro Jahr wachsen (abletbar aus langfrstger Wachstumsrate des nomnalen Bruttosozalprodukts), und unter Durchschnttsbldung über alle dre Analystenschätzungen. bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 7

8 Damt bespelswese Ansatz zur Schätzung der erwarteten Rendte von Wertpaper 1: 1,61+ 1,60+ 1,57 1,62+ 1,68+ 1,89 1,70+ 1,75+ 1,66! 57,35= µ ˆ (1 + µ ˆ ) (1 + µ ˆ ) (eff,0) (eff,0) 2 (eff,0) ,94+ 1,85+ 1,55 1,81+ 2,00+ 1, (1 + µ ˆ ) (1 + µ ˆ ) (eff,0) 4 (eff,0) ,81+ 2,00+ 1,60 1, (1 + µ ˆ ) eff,0) (µ ˆ 0,06) Man erhält: (eff,0) 5 ( 1 1 (Erläuterung?) µ ˆ 8,51%,µ ˆ 7,17%, (eff,0) (eff,0) 1 2 µ ˆ 8,18%,µ ˆ 7,78%,µ ˆ 8,72%. (eff,0) (eff,0) (eff,0) Umgerechnet auf Monatsbass (Erläuterung?): µ ˆ 1 + µ ˆ 1 0,68 %,µ ˆ 0,58 %, (eff,mon,0) 12 (eff,0) (eff,mon,0) µ ˆ 0,66 %, µ ˆ 0,63%, µ ˆ 0,70 %. (eff,mon,0) (eff,mon,0) (eff,mon,0) bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 8

9 Dskusson: ) Wann führt Ansatz zur korrekten Schätzung erwarteter En-Peroden-Rendten? ) We bewährt sch Ansatz emprsch? ) Was st de theoretsche Ursache für den Befund aus )? Zu ): Erwartete En-Peroden-Rendte wrd korrekt geschätzt be unveränderter erwarteter Effektvrendte ener Akte aus Scht von t = 0 und t = 1. Ferner korrekte Dvdendenerwartungen der Analysten erforderlch. (Beurtelung?) Zu ): Emprsche Bewährung deutlch besser als Ansatz an hstorschen Rendterealsatonen. Möglcher Test: a.) 24 Monate lang Durchführung enperodg revolverender Portfolooptmerungen. Bass der Momenteschätzung für Varanzen und Kovaranzen: Rendterealsatonen der jewels vorhergehenden 36 Monate. bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 9

10 Also: Zum Zetpunkt t = 36 werden de (dann bekannten) Rendterealsatonen von t = 0 bs t = 1, von t = 1 bs t = 2,, von t = 35 bs t = 36 zugrunde gelegt. Zum Zetpunkt t = 37 nmmt man entsprechend de Realsatonen von t = 1 bs t = 37 usw. b.) Schätzung der Erwartungswerte der Rendten alternatv auf Bass der jewelgen hstorschen Rendterealsatonen oder auf Bass von Dvdendenschätzungen der Analysten mt dem Dvdendendskonterungsmodell. c.) Für bede Schätzstrategen Bestmmung von 24 ( optmalen ) Portfolos für jewels enen Monat (von t = 36 bs t = 37,, von t = 59 bs t = 60), deren tatsächlch engetretene Portfolorendte am jewelgen Monatsende ermttelt werden kann. d.) Sodann auf Bass deser jewels 24 realserten monatsbezogenen Portfolorendten ( hstorsche ) Schätzung der korresponderenden Werte für µ P und σ P sowe Berechnung des jewels errechten Werts (µ P -r 0 )/σ P als Beurtelungsgröße (weso?). bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 10

11 Dvdendenschätzer erwesen sch dabe als deutlch überlegen. Zu ): Analystenschätzungen müssen ledglch de Relatonen zwschen den erwarteten Wertpaperrendten tendenzell korrekt abblden, ncht aber deren Nveau, bespelswese Überoptmsmus also ken grundsätzlches Problem. Graphsche Veranschaulchung: s B C A r 0 µ bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 11

12 Erläuterung: Schwarz (lnks): Wahre Mnmumvaranzlne Rot (rechts): Geschätzte Mnmumvaranzlne nfolge Überoptmsmus der Analysten A: Vermentlch errechte µ σ Kombnaton be 100 % rskanter Anlage B: Tatsächlch errechte µ σ Kombnaton be 100 % rskanter Anlage C: Optmale µ σ Kombnaton be 100 % rskanter Anlage We kann nun Enbuße an Präferenzwert nfolge des Überoptmsmus der Analysten quantfzert werden? Obger Zusammenhang könnte Ursache für guten Erfolg dvdendenbaserter Schätzungen von erwarteten En-Peroden- Rendten sen (trotz problematscher Voraussetzungen für präzse Gültgket). Fazt: Schätzung von Rendtevaranzen und Rendtekovaranzen auf Bass hstorscher Rendterealsatonen (bespelswese 24 bs 36 Monatswerte) durchaus snnvoll. Schätzung von erwarteten En-Peroden-Rendten hngegen besser dvdendenbasert. bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 12

13 j t = 1 1,61 1,60 1,57 1,24 1,19 1,18 0,07 0,27 0,17 1,30 1,42 1,33 1,55 1,64 1,74 t = 2 1,62 1,68 1,89 1,45 1,22 1,27 0,27 0,24 0,39 1,25 1,29 1,12 1,62 1,36 1,54 t = 3 1,70 1,75 1,66 1,23 1,46 1,48 0,05 0,27 0,32 1,46 1,23 1,23 1,72 1,95 1,68 t = 4 1,94 1,85 1,55 1,58 1,22 1,66 0,33 0,32 0,10 1,17 1,32 1,36 1,75 1,55 1,81 t = 5 1,81 2,00 1,60 1,20 1,46 1,39 0,24 0,25 0,45 1,13 1,48 1,40 2,08 1,57 1,87 Tabelle: Dvdendenschätzungen von dre Analysten für fünf Akten und Jahre bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 13

14 Ergänzungen Thema 3: Defnton Erwartungstreue : En Schätzer st erwartungstreu, wenn der Erwartungswert des Schätzers dem zu schätzenden (unbekannten) Parameter entsprcht, wenn der Schätzer also m Mttel trfft. Markt- bzw. Kaptalwert ener ewgen Rente: ergbt sch aus Dvson der konstanten (erwarteten) Enzahlung pro Perode durch den maßgeblchen Znssatz r (ncht: 1+r!). Be konstant mt Rate g wachsenden (erwarteten) Enzahlungen erfolgt de Markt- bzw. Kaptalwertberechnung ü- ber Dvson durch r g (ntutve Erläuterung?). bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 3 14