Abb. 2.1: Ein rechtwinkliges Dreieck

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1 0 2 Fuktioe Ei großer Teil der Mathematik beschäftigt sich damit, Abhägigkeite vo zwei oder mehr Größe zu studiere. Als Beispiele lasse sich ee: Der Verlauf des Deutsche Aktieidex (DAX) a eiem Börsetag i Abhägigkeit vo der Tageszeit; der Astieg der Weltbevölkerug im 20. Jahrhudert i Abhägigkeit vom Jahr; das Höheprofil eies Berges i Bezug auf eie Grudliie; die Bah, die der Ster Beteigeuze im Laufe eier Nacht durchläuft i Abhägigkeit vo der Zeit; der Quotiet aus de Läge der Gegekathete a ud der Hypoteuse c eies rechtwiklige Dreiecks i Abhägigkeit vo der Größe des Wikels α; Abb. 2.: Ei rechtwikliges Dreieck der Druck der Erdatmosphäre i Abhägigkeit vo der Höhe über dem Meeresspiegel; (der Zerfall eies radioaktive Präparats.) was ist wovo abhägig? Utersuchuge solcher Zusammehäge köe u. a. folgede Pukte beihalte: Quatitative Beschreibug der Abhägigkeit i Form vo Tabelle, Graphe, Diagramme oder Gleichuge: Was ist das Charakteristische am Verlauf des DAX? Wie fällt eie Feder im Vergleich zu eiem Stei? Charakterisierug spezieller Eigeschafte der Abhägigkeit, zum Beispiel: A welche Stelle kehrt sich ei Tred um? A welcher Stelle des Höheprofils des Bergs ist die Steigug am größte? Kategorisierug vo Beobachtuge: Lasse sich die Abhägigkeite gaz verschiedeer Systeme mathematisch auf

2 die gleiche Weise beschreibe? Was hat die Schaumkroe eies Biers mit dem Zerfall vo Atomkere gemeisam? Erstelle vo Progose: Wie wird sich die Weltbevölkerug i der erste Hälfte des 2. Jahrhuderts weiteretwickel? Abhägigkeite zwische Größe werde mathematisch zumeist mit Hilfe vo Fuktioe beschriebe; das mathematische Gebiet, das sich damit beschäftigt, ist die Aalysis. Im Skript ud i de Workshops werde wir im Zusammehag mit Fuktioe auf Theme eigehe, die i der Grudschule oder hauptsächlich i der Sekudarstufe I behadelt werde; die Aalysis der Oberstufe (Ableituge, Itegrale, Kurvediskussio usw.) wird icht behadelt. 2. Der Begriff der Fuktio 2.. Zuorduge Abhägigkeite zwische Größe, wie sie im vorherige Abschitt geat sid, lasse sich mathematisch als Zuorduge beschreibe. Zur Darstellug verwede wir eiführed Ve-Diagramme. Beispiel Aa (A), Berta (B), Christof (C) ud Darius (D) besitze Haustiere: Aa eie Hud, Berta eie Zwergwachtel, Christof eie Zwergwachtel ud eie Gummiete ud Darius eie Taratel (Abbildug ). Wir bezeiche diese Zuordug als Z. Abb. 2.2: Beispiel für eie Zuordug Die Mege der Persoe bezeichet ma i diesem Fall als Defiitiosmege D, die Mege der Haustiere als Wertemege W der Zuordug Z.

3 Defiitio 2. (Zuordug): Eie Zuordug bildet jedes Elemet eier Mege D, der Defiitiosmege, auf midestes ei Elemet eier Mege W, der Wertemege, ab. Jedes Elemet der Wertemege wird midestes eimal zugeordet. Bemerkug Statt des Begriffs Zuordug verwedet ma auch die Begriffe Abbildug oder Relatio. Der Begriff Abbildug hat hier eie adere Bedeutug als i Abschitt, wo er syoym zum Begriff Trasformatio ist Fuktioe Fuktioe sid spezielle Zuorduge. Betrachte wir wiederum das Beispiel der Haustiere ud ehme a, dass Christof durch eie tragische Zwischefall seie Gummiete verliert. Die Zuordug sieht u folgedermaße aus: Abb. 2.3: Beispiel für eie Zuordug, die zugleich eie Fuktio ist. Warum taucht die Gummiete icht mehr i der Wertemege auf? Bei diesem Beispiel wird jeder Perso geau ei Haustier zugeordet. Wir bezeiche solche Zuorduge als Fuktioe; sie hat hier de Name f. Defiitio 2.2 (Fuktio): Eie Fuktio ist eie Zuordug, die jedem Elemet x der Defiitiosmege D geau ei Elemet der Wertemege W, f(x), zuordet. Wir schreibe: f : D! W ( x wird abgebildet auf f(x) ). x! f ( x)

4 Bemerkug Beachte, dass Elemete der Wertemege durchaus mehrere Elemete der Defiitiosmege zugeordet sei dürfe; Fuktioswerte köe mehrfach ageomme werde! Bei de eigags geate Beispiele hadelt es sich durchweg um Fuktioe Darstellug vo Fuktioe Eie Darstellug mit Ve-Diagramme bietet sich ur a, we die Defiitiosmege weige Elemete ethält. Häufig ist die Defiitiosmege jedoch die Mege! der reelle Zahle, ei Itervall etc. Da biete sich die folgede Möglichkeite der Darstellug Grafische Darstelluge Abbildug 2.3 zeigt de Graphe eier Fuktio f. Die Elemete der Defiitiosmege sid auf der Abszisse aufgetrage, die zugeordete Fuktioswerte der Wertemege auf der Ordiate. Abb. 2.4: Der Graph eier Fuktio (liks) ud eie zugehörige Wertetabelle (rechts) Wertetabelle Auch bei Fuktioe mit uedlich viele Elemete i der Defiitiosmege lasse sich exemplarisch Zuorduge x! f (x) tabelliere. Dies diet häufig dazu, eie Überblick über de Verlauf des Fuktiosgraphe zu gewie, um ih aschließed zu zeiche (siehe Abbildug 2.3).

5 Zuordugsvorschrifte Viele Fuktioe lasse sich sehr effektiv charakterisiere, idem ma ihre Zuordugsvorschrift agibt, d. h. eie Regel, ach der ma aus dem jeweilige Elemet der Defiitiosmege ( x-wert ) das zugeordete Elemet aus der Wertemege (Fuktioswert, y-wert ) berechet. Beispiele: Für die Fuktioe f ud f 2 sei die Defitiosmege die Mege! der reelle Zahle. Da sid Fuktiosvorschrifte gegebe durch: f (x) = x 2 f 2 (x) = 2,4!2x +. Schreibweise Beachte, dass die Fuktioe, also die Zuorduge, zumeist mit eifache Buchstabe bezeichet werde: f, g, f usw. Die Zuordugsvorschrifte dagege habe die Schreibweise f(x), g(x), f ( x ) usw. I der Schreibweise f ( x ) ist das x als Variable zu sehe, für die auch kokrete Werte eigesetzt werde köe; beispielsweise gilt für die obe defiierte Fuktio f : f (3) = 9. Bemerkug Modere Grafikrecher wie der TI-84 plus vo Texas Istrumets biete komfortable Möglichkeite, Fuktioe darzustelle ud zu utersuche. So ka beispielsweise die Fuktiosgleichug eigegebe werde, ud der zugehörige Fuktiosgraph wird automatisch gezeichet. Ebeso sid Wertetabelle mit beliebig viele Eiträge abrufbar, ohe dass für jede x-wert der Fuktioswert vo Had ausgerechet werde muss. Grafikrecher sid mittlerweile a viele Schule verbreitet ud werde bereits i der Sekudarstufe I eigesetzt. Abb. 2.5: Der grafikfähige Tascherecher TI-84 Plus 2..4 Beispiele. Der DAX Der Wert des Deutsche AktieideX als Fuktio der Zeit ist eie Fuktio, für die ma keie Fuktiosgleichug aufstelle ka. Die Fuktioswerte werde tabelliert oder grafisch dargestellt. Abbildug 2.6 zeigt obe

6 de Verlauf des DAX a eiem Tag, währed i der utere Grafik die Schlusskurse i eiem Zeitraum vo 20 Jahre aufgetrage sid. Beachte, dass der Fuktiosgraph hier als durchgehede Liie dargestellt ist, obwohl die Defiitiosmege diskret ist: es sid die Zeite, die de Börseschluss a aufeiader folgede Abb. 2.6: Zwei Beispiele Tage markiere. Die Darstellug als für de Verlauf des DAX. Liie ist eie vereifachede Modellaahme, die das Arbeite mit der Fuktio vereifacht. 2. Lägeverhältisse i rechtwiklige Dreiecke I rechtwiklige Dreiecke hägt das Verhältis der Läge je zweier Seite ur vo eiem Wikel ab. I Abbildug 2. betrachte wir de eigezeichete Wikel α; bezoge auf ih et ma a die Gegekathete, b die Akathete ud c die Hypoteuse. Die Lägeverhältisse häge ur vo α ab ud köe deshalb als Fuktioe vo α geschriebe werde. Im Eizele gelte folgede Bezeichuge: 5 a si(!) = c a ta(!) = b (Sius) (Tages) b cos(!) = c c cot(!) = a (Kosius) (Kotages). Nu ka ma die Lägeverhältisse als Fuktioe des Wikels auffasse; als Beispiel zeigt Abb. 2.7 de Graphe der Sius-Fuktio. Abb. 2.7: Der Graph der Fuktio f mit f(α)=si(α). Uabhägig vo ihrer Bedeutug als Lägeverhältis i

7 6 eiem rechtwiklige Dreieck lässt sich ihr Defiitiosbereich auf alle reelle Zahle erweiter. 3. Eie Isektepopulatio Zählt ma als Isekteforscher die Zahl der Idividue eier Populatio zu verschiedee Zeitpukte, so ka ma diese Abhägigkeit grafisch auftrage (Abb. 2.8). Abb. 2.8: Fuktiosgraph eier (fiktive) Zählug vo Isekte. Die etstehede Zuordug ka als Fuktio aufgefasst werde, dere Defiitiosbereich eie diskrete Zahlemege, hier die Zeit t i Tage, ist. Solche spezielle Fuktioe trage de Name Folge. Defiitio 2.3 (Folge): Eie Fuktio, dere Defiitiosbereich die Mege der atürliche Zahle ist, wird als Folge bezeichet. Die Behadlug vo Folge ist ei eigestädiges mathematisches Gebiet ud überschreitet die Greze des Workshops Fuktioe. Wir werde deshalb im Weitere icht mehr auf sie eigehe. 4. Eie Fuktio, die ma icht zeiche ka Wir betrachte die folgede zugegebeermaße recht exotische Fuktio, die ma ur durch ihre Zuordugsvorschrift charakterisiere ka: "!, x ist eie ratioale Zahl f ( x) = # $, x ist irratioal

8 Die ratioale Zahle sid alle periodische Dezimalzahle oder Dezimalzahle mit ur edlich viele Stelle ach dem Komma; irratioale Zahle sid alle ichtperiodische Dezimalzahle (mit uedlich viele Stelle ach dem Komma), beispielsweise 2. Auf dem Zahlestrahl liege ratioale ud irratioale Zahle dicht ieiader geschachtelt: zwische zwei beliebige ratioale Zahle liegt (midestes) eie irratioale. Der Fuktiosgraph vo f sieht also wie uedlich feier Staub aus, der bei de Werte ud verteilt ist Wichtige Fuktioeklasse Im Folgede werde wichtige Fuktioeklasse charakterisiert. Als wichtig werde sie agesehe, weil sie als Modelle für viele Aweduge i der Lebeswelt ud i de Wisseschafte heragezoge werde köe; sie aalytische Rechuge zugäglich sid ud a ihe exemplarisch Eigeschafte vo Fuktioe aufgezeigt werde köe. Wir werde us dabei auf diejeige Fuktioe kozetriere, die im Zusammehag mit dem Thema Abbilduge im Achsekreuz aus Kapitel vo Iteresse sid Lieare Fuktioe Bei lieare Fuktioe kommt i der Fuktiosgleichug die Variable x i der erste Potez vor. Die Graphe vo lieare Fuktioe sid Gerade. Defiitio 2.4 (Lieare Fuktio; Pukt-Steigugsform): Uter eier lieare Fuktio versteht ma eie Fuktio f mit dem Defiitiosbereich D =!, dere Fuktiosgleichug sich auf die Form f ( x) = mx + b brige lässt; dabei heißt der Parameter m die Steigug der Gerade ud der Parameter b der y-achseabschitt. Da die Fuktio f durch de Pukt (0 b) ud ihre Steigug m charakterisiert ist, et ma die Gleichug die Pukt-Steigugsform der Gerade.

9 Bemerkug Uter eiem Parameter versteht ma eie Variable, die bei eier kokrete Awedug als fest gewählt agesehe wird. So steht i der Pukt-Steigugsform der Gerade das Verhalte der Fuktioswerte f(x) bei eier Variatio der Werte der Variable x im Vordergrud, währed die Parameter m ud b zwar frei wählbar, aber zuächst als kostat agesehe werde. Erst i zweiter Liie ka ma frage, wie sich eie Veräderug vo m oder b auf de Fuktiosgraphe auswirkt. Hat ma diese Abhägigkeite ebefalls im Blick, spricht ma bei f ( x) = mx + b vo eier Fuktioeschar mit de beide Scharparameter m ud b. Die Pukt-Steigugsform der Gerade ist i Abb. 2.9 (a) skizziert. Die Steigug m erhält ma mittels eies Steigugsdreiecks als!y m =,! x wobei! x der Abstad zweier x-werte ud! y der Abstad der zugehörige Fuktioswerte ist. 8 Weitere Forme der Geradegleichug Nebe der häufig azutreffede Pukt-Steigugsform ka ma die Gleichug eier lieare Fuktio auch aders parametrisiere (Abb. 2.9 (b)-(d)). Wir uterscheide die folgede Forme:

10 9 Abb. 2.9: Vier Forme der Geradegleichug ud die dabei auftretede Parameter. (a) Pukt-Richtugsgleichug; (b) x- Achseabschittsform; (c) Achseabschittsform; (d) Zwei- Pukteform. x-achseabschittsform (Abb. 2.9 (b)): Liegt ei Pukt (x y) auf der Gerade der Fuktio f, so erfüllt er die Gleichug y = m( x! a), wobei m wiederum die Steigug der Gerade ist. Der Parameter a ist der x-achseabschitt, d. h. die Stelle, a der die Gerade die Abszisse scheidet. Achseabschittsform (Abb. 2.9 (c)): Auf der Gerade liege alle Pukte (x y), die die Gleichug x a + b y = erfülle. Beachte, dass i der Skizze Abb. 2.9 (c) der Parameter a ei egatives Vorzeiche hat. Die Achseabschittsform ka ur zur Beschreibug heragezoge werde, falls die Gerade icht durch de Ursprug verläuft. Zwei-Pukteform (Abb. 2.9 (d)): Sid P(p,p 2 ) ud Q(q,q 2 ) zwei icht idetische Pukte der Gerade, so lässt sich die Gerade durch alle Pukte (x y) mit

11 20 y! p2 = beschreibe. Der Bruch q2! p2 ( x! p ) q! p q2! p2 stellt wiederum die Steigug der q! p Gerade dar. Beispiel: Proportioale Zuordug Das Foto i Abbildug 2.0 zeigt Bauteile für elektrische Stromkreise, die als ohmsche Widerstäde bezeichet werde. Legt ma a ei solches Bauteil verschiedee elektrische Stromstärke I a ud misst jeweils die abfallede elektrische Spaug U, so erhält ma aäherd eie lieare Beziehug: U(I) = RI. Die Steigug R der Gerade wird als elektrischer Widerstad bezeichet. Abbildug 2.0: Liks: Techische Realisierug ohmscher elektrischer Widerstäde. Rechts: Der Zusammehag zwische dem Strom, der durch eie ohmsche Widerstad fließt, ud der a diesem Widerstad abfallede Spaug. Kreuze stelle Messdate dar; die eigezeichete Gerade ist eie Ausgleichsgerade, die die Messwerte möglichst gut beschreibt. Der elektrische Widerstad beträgt hier R! 5 Volt/Ampere. Da bei eier Stromstärke I = 0 Ampere die Spaug U ebefalls Null ist, verläuft die Gerade durch de Ursprug des Koordiatesystems. Defiitio 2.5 (Proportioale Zuordug): Eie lieare Fuktio f, dere Graph durch de Ursprug verläuft (d. h. de y-achseabschitt b=0 hat), beschreibt eie proportioale Zuordug. Uter eiem Widerstad versteht ma also sowohl das techische Bauteil als auch de Quotiete vo Spaug ud Stromstärke.

12 Bemerkug Das Diagramm i Abb. 2.0 zeigt das Ergebis eier wichtige mathematische Techik, der Modellierug vo Date. Bei der Messug realer Date fidet ma ie eifache Zusammehäge, da stets Messfehler auftrete. Die i diesem Beispiel eigezeichete Gerade stellt eie Idealisierug (ebe ei Modell) dar, das die Date auf eifache Weise beschreibt Quadratische Fuktioe Fuktiosgleichuge quadratischer Fuktioe ethalte die Variable x höchstes i der zweite Potez. Die Graphe vo quadratische Fuktioe sid Parabel, die verschobe, gespiegelt ud gestreckt sei köe. Defiitio 2.6 (Quadratische Fuktio; Normalform): Uter eier quadratische Fuktio versteht ma eie Fuktio f mit dem Defiitiosbereich D =!, dere Fuktiosgleichug sich auf die Normalform f (x) = ax 2 + bx + c brige lässt; dabei sid a, b ud c reelle Parameter. Defiitio 2.7 (Normalparabel): Der Graph der Fuktio f mit f(x)=x² heißt Normalparabel. Die Normalparabel ist i Abb. 2. dargestellt. Abb. 2.: Die Normalparabel. Scheitelpuktform der Parabel Nebe der geate Normalform gibt es die sog. Scheitelpuktform der Parabel, a der ma die Eigeschafte des zugehörige Fuktiosgraphe besser ablese ka.

13 Defiitio 2.8 (Scheitelpuktform): Die Scheitelpuktform der Parabel ist die Gleichug eier quadratische Fuktio f, die durch f (x) = a(x! p) 2 + q gegebe ist; dabei sid a, p ud q reelle Parameter. 22 Abb. 2.2: Die Bedeutug der Parameter a, p, q i der Scheitelpuktform der Parabel. P(pq) ist der Scheitelpukt der Parabel; a stellt de Streckfaktor der Parabel dar. Die Skizze zeigt gepuktet zum Vergleich die (verschobee) Normalparabel mit a = ; für 0 < a < ist die Parabel gestaucht. Etspreched wäre die Normalparabel für a > gestreckt. Ist a < 0, so ist die Parabel ach ute geöffet. Eigeschafte vo quadratische Fuktioe Quadratische Fuktioe ud ihre Graphe habe folgede Eigeschafte: Der Graph eier quadratische Fuktio ist eie Parabel, die abhägig vo de Parameter i x- ud y-richtug verschobe ud gestreckt oder gestaucht sei ka. Die Parabel ka ach obe oder ute geöffet sei. Je ach der Lage der Parabel gibt es keie, eie oder zwei Nullstelle, also x-werte, dee der Fuktioswert Null zugeordet ist.

14 23 Abb. 2.3: Zwei Beispiele für Parabel. Die Fuktio f ist gegebe durch die Fuktiosgleichug f(x)=-(x+2)²+3, die Fuktio g ist gegebe durch g(x)=0,25(x-4)² Gazratioale Fuktioe Die i de voragegagee Abschitte beschriebee lieare ud quadratische Fuktioe sid Spezialfälle eier Klasse vo Fuktioe, dere Fuktiosgleichuge Polyome mit reelle Koeffiziete sid. Defiitio 2.9 (Gazratioale Fuktio, Potezfuktio): Für jede atürliche Zahl = 0,,2, heißt die Fuktio f mit f ( x) = a a! x + a! x + + ax + 0 gazratioale Fuktio oder Potezfuktio. Die Zahle a, a!,, a, a0 sid reelle Zahle (mit a! 0 ) ud werde Koeffiziete geat. Die Zahl ist der Grad der gazratioale Fuktio. Bemerkug Die Idizes bei de Koeffiziete habe keie tiefe mathematische Bedeutug; sie deute lediglich a, dass der Koeffiziet a zum Term x gehört, der Koeffiziet a! zum Term x - usw. Bemerkug 2 Lieare Fuktioe sid gazratioale Fuktioe erste Grades, quadratische Fuktioe gazratioale Fuktioe zweite Grades. Frage: Wie sehe gazratioale Fuktioe ullte Grades aus?

15 24 Abbildug 2.4 zeigt zwei Beispiele für Graphe gazratioaler Fuktioe. Abb. 2.4: Die Graphe der Fuktioe f ud g mit f(x)=x³-3x²-2x+2 ud g(x)=x 4 -x³-x²-. Eigeschafte gazratioaler Fuktioe Gazratioale Fuktioe ud ihre Graphe habe folgede Eigeschafte: Eie gazratioale Fuktio -te Grades hat höchstes Nullstelle. Grezverhalte: Im Uedliche, d. h. für x "! oder für x #!", wachse die Fuktioswerte is Uedliche, oder sie gehe gege mius Uedlich : f (x) " ±!. Kokret existiert für das Grezverhalte (auch asymptotisches Verhalte geat) eier gazratioale Fuktio die folgede eifache Regel: Geerell wird das Grezverhalte ur vom führede Summade uterscheide: a bestimmt. Es lasse sich da vier Fälle x ist gerade a > 0 f (x) "! für x #!" f (x) "! für x "! ist gerade a < 0 f (x) #!" für x #!" f (x) #!" für x "! ist ugerade a > 0 f (x) #!" für x #!" f (x) "! für x "! ist ugerade a < 0 f (x) "! für x #!" f (x) #!" für x "! Überprüfe Sie die Asymptotik der i Abb. 2.4 dargestellte Fuktioe.

16 Auf weitere Eigeschafte gazratioaler Fuktioe soll hier icht eigegage werde; auf Symmetrieeigeschafte werde wir i Kapitel 3 zurückkomme Gebrocheratioale Fuktioe Der Vollstädigkeit halber seie a dieser Stelle die gebrocheratioale Fuktioe kurz aufgeführt. Es hadelt sich bei de Fuktiosgleichuge, vereifacht gesagt, um Brüche, i dere Zähler ud Neer gazratioale Fuktioe stehe. Die geaue Defiitio ist folgede: Defiitio 2.0 (Gebrocheratioale Fuktioe): Eie Fuktio f mit! a x + a! x + + ax + a f ( x) = m m! b x + b x + + b x + b m m! (alle Koeffiziete reell mit a 0, b! 0 ) heißt gebrocheratioal,! m we diese Darstellug ur mit eiem Neerpolyom möglich ist, desse Grad midestes ist. Bemerkug Die etwas umstädliche Formulierug i der Defiitio soll sicherstelle, dass Fuktioe f wie f (x) = x2 x2 oder f (x) = 2 x, die ihrer Natur ach gazratioal sid, icht i die Kategorie der gebrocheratioale Fuktioe falle. Gebrocheratioale Fuktioe köe als eues Elemet sogeate Polstelle ethalte. Es hadelt sich dabei um Stelle, a dee die Fuktio icht defiiert ist, ud a dee die Fuktioswerte gege uedlich oder mius uedlich gehe. Beispiel: x Wir betrachte die Fuktio f mit f (x) = x 2! 4. Die Defiitioslücke (ud Polstelle) liege bei x = ± 2. Abbildug 2.5 zeigt de Fuktiosgraphe

17 26 Abb. 2.5: Der Graph der Fuktio f mit f (x) = x x 2! 4. Gebrocheratioale Fuktioe köe Symmetrieeigeschafte aufweise, auf die wir i Kapitel 3 zu spreche komme Trigoometrische Fuktioe Ei Beispiel für eie trigoometrische Fuktio wurde bereits i Abb. 2.7 vorgestellt: Die Fuktio mit der Fuktiosgleichug f ( x) = si x. 2,3 Abbildug 2.6 zeigt u die Fuktio mit f ( x) = cos x. Der Graph dieser Fuktio ist um 90 gegeüber der Siusfuktio verschobe: cos x = si( x + 90). Wie bei der Siusfuktio ist die Defiitiosmege die Mege! der relle Zahle; der Wertebereich ist das Itervall [! ; ]. 2 I Abb. 2.?? habe wir α als Variableame gewählt; wir werde vo u a x verwede. Die Bedeutug ist atürlich die gleiche; Variableame köe beliebig gewählt werde. 3 Die Argumete der trigoometrische Fuktioe köe falls die Schreibweise eideutig ist auch ohe Klammer geschriebe werde, zum Beispiel cos( x)! cos x.

18 27 Abb. 2.6: Der Graph der Fuktio f mit f(x) = cos(x). Aus de obe aufgeführte Defiitioe vo Sius, Kosius ud Tages (siehe 2..4, 2.Beispiel) a rechtwiklige Dreiecke lässt sich umittelbar ablese, dass für die Tagesfuktio gilt: si x ta x =. cos x Die Tagesfuktio ist i Abb. 2.7 dargestellt. Sie hat Polstelle (ud etspreched Defiitioslücke) dort, wo die Kosiusfuktio Nullstelle hat, also bei x = ± 90, ± 270, ± 450, Ihre Nullstelle sid dort, wo die Siusfuktio Nullstelle hat, also bei x = 0, ± 80, ± 360, Der Wertebereich der Tagesfuktio ist die Mege! der reelle Zahle. Abb. 2.7: Die Fuktio f mit f ( x) = ta x. Die trigoometrische Fuktioe sid periodisch, d. h. sie habe i gleichmäßige Abstäde (360 ) jeweils dieselbe Fuktioswerte.

19 Expoetialfuktioe Potez- ud Logarithmusgesetze Es gibt je 5 Recheregel im Zusammehag mit Poteze ud Logarithme. Die stehe aber icht hier im Skript! Bitte i eier Formelsammlug achschlage! Welche 5 sid das? Wofür brauche ich sie? Defiitio 2. (Expoetialfuktioe): x Fuktioe f mit f ( x) = c! a, c!!, a > 0, x!! et ma Expoetialfuktioe zur Basis a. Abb. 2.8: Die Graphe zweier Expoetialfuktioe. Bei der Fuktio f ist die Basis größer als Eis, bei der Fuktio g ist sie kleier als Eis. Eigeschafte vo Expoetialfuktioe Expoetialfuktioe f ud ihre Graphe habe folgede Eigeschafte: Es ist f(x) > 0 für alle x!! ; die Graphe verlaufe stets oberhalb der Abszisse. Die Graphe habe keie Miima, keie Maxima ud keie Nullstelle. 4 Sie weise auch keie Symmetrieeigeschafte auf. Für c < ist die Fuktio streg mooto falled, für c > streg mooto steiged. Überlege Sie, wie die Fuktio für c = aussieht. Für a < ähert sich der Fuktiosgraph der Abszisse a, we x "! strebt; für x #!" wachse die Fuktioswerte is Uedliche ( f (x) "! ). Für a > ist es umgekehrt (vergleiche auch Abbildug 2.8). 4 Zu diese Begriffe siehe Kapitel 2.3.

20 Ei Vorgag, der durch eie Expoetialfuktio beschriebe werde ka, wird expoetielles Wachstum (für a > ) bzw. expoetieller Zerfall (für a < ) geat. Expoetialfuktioe et ma deshalb bei Aweduge auch Wachstumsfuktioe (für a > ) bzw. Zerfallsfuktioe (für a < ). Defiitio 2.2 (Natürliche Expoetialfuktio): Eie Expoetialfuktio mit der Basis a = e wird atürliche Expoetialfuktio geat. Dabei ist e = 2, die eulersche Zahl. e ist irratioal. Bemerkug Die atürliche Expoetialfuktio ist deshalb vo Iteresse, weil sie idetisch mit ihrer Ableitug ist: x x f ( x) = e! f '( x) = e. Das bedeutet: Der Fuktioswert der atürliche Expoetialfuktio gibt a jeder Stelle x a, wie groß die Steigug der Fuktio dort ist. Beispiele: Expoetielles Wachstum vo biologische Populatioe tritt auf, we ubegrezte Ressource zur Vermehrug zur Verfügug stehe. Beispiele sid die Vermehrug der Weltbevölkerug im Mittelalter oder Bakteriekulture auf eiem reichhaltige Nährbode. Ei perfektes Beispiel für expoetielle Zerfall ist die radioaktive Zerfallsfuktio:! kt N( t) N e, = 0 wobei N(t) die Azahl der zur Zeit t och vorhadee (d. h. och icht zerfallee) Kere eies radioaktive Nuklids ist, N 0 die zur Zeit t=0 vorhadee Kere ud k>0 die sogeate Zerfallskostate. Radioaktivität ist ei statistisches Phäome: der Zerfall eies Atomkers hat keie Ursache, ud der Zeitpukt des Zerfalls ka icht vorhergesagt werde. Die Zerfallsfuktio ist deshalb eie statistische Größe, die sich erst bei eier hireiched große Azahl vo Atome sivoll als Modell eisetze lässt Weitere Fuktioe Viele Fuktioe lasse sich icht i eie der bislag behadelte Klasse eifüge. So ist es möglich, Fuktioe abschittweise zu defiiere, wie es beispielsweise bei der i Abb. 2.?? dargestellte Fuktio geschah. Des weitere lasse sich Fuktioe dadurch erstelle, dass ma Fuktiosgleichuge verschiedeer Klasse miteiader kombiiert, zum Beispiel

21 30 f ( x) x x! x? = si x; g( x) = 2 + cos x; h( x) = e. Ei spaedes Beispiel ist i Abb.2.9 zu sehe: Abb. 2.9: der Fuktiosgraph der Fuktio f mit f ( x) = si. Diese x Fuktio ist durch das geäderte Argumet des Sius icht mehr periodisch. Auf dem Itervall vo 0,5 bis 0,5 befide sich uedlich viele Maxima, Miima ud Nullstelle. 2.3 Zusammefassug ud Ausblick I de vorige Abschitte wurde wichtige Fuktioeklasse eigeführt: Gazratioale Fuktioe mit de Spezialfälle der lieare ud der quadratische Fuktioe; gebrocheratioale Fuktioe, Expoetialfuktioe ud trigoometrische Fuktioe. Bis auf die gebrocheratioale Fuktioe werde sie bereits i der Sekudarstufe I eigeführt ud ihre Eigeschafte werde diskutiert. I Kapitel 2 habe wir im Wesetliche die Defiitioe geat ud eiige Fuktiosgraphe gezeichet. Das ächste Kapitel führt die Theme der Kapitel ud 2 zusamme: die i Kapitel beschriebee Trasformatioe Verschiebuge, Drehuge ud Streckuge werde auf Fuktiosgraphe agewedet. Im Zuge dieser Utersuchuge soll auch das Thema der Fuktioe aus Kapitel 2 fortgeführt werde: Vo Iteresse sid beispielsweise Symmetrieeigeschafte der Fuktiosgraphe; diese werde im Zusammehag mit Achsespiegeluge ud Drehuge behadelt. Des weitere gibt es Fuktioeklasse, die wir bislag och icht behadelt habe: die Logarithmusfuktioe ud die Wurzelfuktioe. Diese stelle so geate Umkehrfuktioe zu

22 de Expoetial- bzw. zu de quadratische Fuktioe dar. Sie solle im folgede Kapitel ebefalls bei de Achsespiegeluge vorgestellt werde. Ei drittes och ausstehedes Thema sid periodische Fuktioe sie lasse sich mit Hilfe vo Verschiebuge charakterisiere. 3