Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Vorlesungsrogramm für den (K. Steffen, Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf, WS 2006/07) 2.2 Zins- und Zinseszinsrechnung Einfache Verzinsung liegt vor, wenn die Zinsen nicht wieder verzinst werden, also z.b. wenn anfallende Habenzinsen sofort entnommen werden, wenn anfallende Schuldzinsen sofort beglichen werden oder wenn die Zinsen erst am Ende der betrachteten Zeitsanne fällig werden. Wir diskutieren nun verschiedene Vorgänge einfacher Verzinsung genauer: DISKUSSION der einfachen Verzinsung: 1) Grundlage eines jeden Verzinsungsvorgangs ist ein Kaital, ein Zinsfuß und eine Laufzeit. Unter einem Kaital verstehen wir dabei sowohl ein Guthaben (eine Einlage bei einer Bank) als auch eine Schuld (ein Darlehen). Das ist ohnehin nur eine Frage des Standunkts des einen Schulden sind des anderen Guthaben. (Aber natürlich ist bei jeder Bank der Zinsfuß für Guthaben ein anderer als für Darlehen.) Das zu verzinsende Kaital wird häufig K oder K 0 bezeichnet (Anfangskaital). Den Zinsfuß (Zinssatz) beziehen wir immer auf eine Laufzeit der einfachen Verzinsung von einem Jahr und geben ihn in Prozent % = an ( Jahreszinsfuß ; oft wird dies mit dem Zusatz.a. für er annum ausgedrückt). Um Verwirrung zu vermeiden, sollte man von der Angabe von Quartalszinsfüßen, Monatszinsfüßen etc. absehen und stets nur Jahreszinsfüße angeben! Ein in Verträgen ausgewiesener Zinsfuß wird auch nomineller Zinsfuß genannt, weil der effektive Zinssatz aufgrund von Gebühren, Disagio etc. ein anderer ist (niedriger als der nominelle Zinsfuß bei der Verzinsung von Guthaben, höher bei der Verzinsung von Schulden; auf die genaue Definition des Effektivzinses kommen wir säter). In der Finanzmathematik oeriert man ferner oft mit einem sog. konformen Zinsfuß (relativen Zinsfuß), das ist derjenige Zinsfuß, der in einem gewissen Vergleichsverfahren anzuwenden ist, um auf dasselbe Ergebnis zu kommen wie in dem aktuell betrachteten Kaitalverzinsungsverfahren. Die Laufzeit t geben wir immer in Jahren an. t = 1, 7, 1, 1, 1, 1, 2, bzw. 10 entsricht also einer Laufzeit von einem Tag, einer Woche, einem Monat, einem Quartal, einem Halbjahr, einem Jahr, einem Doeljahr, bzw. einem Jahrzehnt. (Dabei wird ein Zinsjahr mit 12 Monaten von je 30 Tagen gerechnet.) Die Laufzeit t wird oft als Subskrit (Index) an Größen gehängt, die einen Wert am Ende der Laufzeit bezeichnen, also etwa K t für den Kaitalstand am Laufzeitende und Z t für die am Ende der Laufzeit angefallenen Zinsen. Von der Laufzeit zu unterscheiden ist die Zinseriode, das ist der Zeitraum zwischen zwei aufeinander folgenden Fälligkeitsterminen für die Zinsen. Die Laufzeit kann mehrere Zinserioden umfassen; wenn die anfallenden Zinsen bei Fälligkeit sofort entnommen werden (Habenzinsen) bzw. beglichen werden (Sollzinsen) und der Zinsfuß über die gesamte Laufzeit derselbe ist, so ist trotzdem ein Vorgang mit einfacher Verzinsung gegeben. Sind die Zinserioden kürzer als ein Jahr, so sricht man von unterjährlicher Verzinsung, bei Zinserioden von einem Jahr entsrechend von jährlicher Verzinsung. 73

2 74 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 2) Die Zinsen Z 1 auf ein Kaital K 0 für ein Jahr bei einfacher Verzinsung zum Zinsfuß % betragen % des Kaitals, also Z 1 = K 0. Ist die Laufzeit t nicht genau ein Jahr, so gilt dieselbe Formel mit der Maßgabe, dass der Jahreszinsfuß zu ersetzen ist durch den Laufzeit-anteiligen Zinsfuß (Laufzeit-bezogener relativer Zinsfuß) t. Also gilt die allgemeine Zinsformel bei einfacher Verzinsung: Z t = t K 0 Diese Formel gibt die Zinsen für eine Laufzeit von t Jahren einfacher Verzinsung eines Anfangskaitals K 0 zum Zinsfuß %.a. an. Da der Zinsfuß hier auf ein Jahr bezogen ist, muss auch die Laufzeit t in Jahren angegeben werden. Für t = 1 ergeben sich somit die Zinsen nach einem Jahr, und für t = n/360, also für n Zinstage, erhält man die Tageszinsformel: Z n/360 = n 360 K 0 (einfache Verzinsung für n Tage). 3) Werden die Zinsen dem Kaital am Ende der Laufzeit t zugeschlagen, so ergibt sich der neue Kaitalstand K t = K 0 + Z t = K 0 + t K 0. Wir haben schon darauf hingewiesen, dass man multilikativ denken, also diese Gleichung so auffassen sollte, dass sich K t aus K 0 durch Multilikation mit dem Faktor q t := 1 + t ergibt. allgemeine Aufzinsungsformel bei einfacher Verzinsung: ( K t = q t K 0 = 1 + t ) K 0 Dabei heißt q t der Aufzinsungsfaktor für t Jahre einfacher Verzinsung zum Zinsfuß %; für den Aufzinsungsfaktor eines Jahres schreiben wir meist q = 1 + (statt q 1 ). Ist eine Dezimalzahl zwischen 0 und, so erhält man q als Dezimalzahl einfach, indem man bei der Dezimaldarstellung von eine 1 statt 0 vor dem Dezimalunkt schreibt, also q = 1.04 bei = 4%, q = bei = 13.5% usw. Allgemein versteht man unter Aufzinsen die Berechnung des sich nach Zinszuschlag ergebenden Endkaitals. 4) Der umgekehrte Vorgang, die Berechnung des Anfangskaitals (aktuellen Barwerts) aus gegebenem Endkaital, Zinsfuß und Laufzeit heißt Abzinsen oder Diskontieren. Dies erfolgt z.b. beim vorzeitigen Rückzahlen einer Schuld, es ist dann (von Gebühren abgesehen) nur der für die restliche Laufzeit diskontierte Betrag fällig, wobei als Zinsfuß der Diskontsatz zugrunde gelegt wird, zu dem die Bank selbst kurzfristig Geld anlegen kann. Der Abzinsungsfaktor oder Diskontierungsfaktor zu gegebenem Zinsfuß % und Laufzeit t ist das Reziroke 1/q t des entsrechenden Aufzinsungsfaktors; denn man muss ja das Endkaital K t mit 1/q t multilizieren, um K 0 zu erhalten. Also lautet die allgemeine Abzinsungsformel bei einfacher Verzinsung: K 0 = q 1 ( K t = 1 + t ) 1Kt t 5) In gewissen Geschäftsbereichen, insbesondere im Wechselgeschäft, ist ein anderes Verzinsungsverfahren als die oben beschriebene sog. nachschüssige Verzinsung (dekursive Verzinsung) üblich. In diesen Bereichen werden die Zinsen nicht als Prozentwert des Anfangskaitals, sondern als Prozentwert des (aufgezinsten) Endkaitals angegeben, wobei der Prozentsatz % nun vorschüssiger Zinsfuß (antiziativer Zinsfuß) genannt wird. Hier gilt für die Zinsen also Z t = (1 t )K t ergibt. Also lauten die K t, so dass sich K 0 = K 1 Z t = K t K t = Auf- und Abzinsungsformeln bei vorschüssiger einfacher Verzinsung: ( K t = 1 t ) 1K0 ( K 0 = 1 t ) K t

3 Ka. 2, Abschnitt Der einfachere Ausdruck 1 t t für den Diskontierungsfaktor (im Vergleich zu (1 + ) 1 bei nachschüssiger Verzinsung) ist der Grund, warum sich die vorschüssige Verzinsung in Bereichen durchgesetzt hat, in denen häufig diskontiert wird. Die vorschüssige Verzinsung bereitet oft Verständnisschwierigkeiten. Man muss nur zur Kenntnis nehmen, dass ein vorschüssiger Zinsfuß von % für eine Laufzeit der einfachen Verzinsung von t Jahren einen Aufzinsungsfaktor (1 t ) 1 bedeutet im Unterschied zum nachschüssigen Zinsfuß %, durch den der Aufzinsungsfaktor 1 + t festgelegt wird. Und weiß man den Aufzinsungsfaktor, so kann man auch ein beliebiges Kaital damit aufzinsen (multilizieren) oder abzinsen (dividieren). Übrigens sind bei Laufzeit t nur vorschüssige Zinsfüße zwischen 0% und 1 % sinnvoll; sonst wäre ja der Abzinsungsfaktor Null oder negativ. t 6) Um die beiden verschiedenen Verzinsungsverfahren vergleichen zu können, gehen wir nun von einem vorschüssigen Zinsfuß von % und einer Laufzeit t aus und bestimmen dazu den nachschüssigen Zinsfuß %, der bei gleicher Laufzeit denselben Effekt hat, also denselben Aufzinsungsfaktor. Die Gleichung hierfür ist dann (1 t ) 1 = 1 + t, und es bereitet keine Schwierigkeiten, dies nach aufzulösen: [ ( = 1 1 t ) ] 1 1 = 1 t t t 1 t = t Das Ergebnis % heißt der konforme nachschüssige Zinsfuß zum vorschüssigen Zinsfuß % und zur Laufzeit t Jahre. Das ist also derjenige Zinsfuß, der bei der üblichen einfachen Verzinsung für t Jahre denselben Kaitalzuwachs bringt wie die vorschüssige Verzinsung zu % für dieselbe Laufzeit. Die einfache vorschüssige Verzinsung zum Zinsfuß % mit Laufzeit t lässt sich somit äquivalent beschreiben als nachschüssige Verzinsung mit dem konformen Zinsfuß % für dieselbe Laufzeit, und wenn man diesen Übergang zu äquivalenter nachschüssiger Verzinsung vorgenommen hat, kann man die begrifflichen t kleiner Schwierigkeiten der vorschüssigen Verzinsung vergessen! Da der Nenner in als ist, fällt immer größer aus als, und dieser Effekt ist um so größer, je größer die Laufzeit ist. Bei der Wahl zwischen nachschüssiger und vorschüssiger Verzinsung zum gleichen Zinsfuß % müsste man sich also für die vorschüssige Verzinsung entscheiden, da sie ja äquivalent ist mit nachschüssiger Verzinsung zum größeren Zinsfuß %. Die letzte Überlegung demonstriert ein wichtiges Prinzi der Finanzmathematik, das Prinzi der Bestimmung konformer Parameter. Es dient dazu, verschiedene Finanzierungsverfahren vergleichbar zu machen. Dazu betrachtet man einen relevanten Parameter (z.b. einen Zinsfuß) in einem zu beurteilenden Verfahren und in einem zu Vergleichzwecken herangezogenen anderen Verfahren. Man nennt die Parameter im ersten und im zweiten Verfahren konforme Parameter oder äquivalente Parameter, wenn beide Verfahren bei Verwendung dieser Parameter genau dasselbe Ergebnis liefern (z.b. denselben Kaitalzuwachs). Man kann also statt mit dem ursrünglichen Verfahren genau so gut mit dem (geläufigen) Vergleichsverfahren rechnen, wenn darin der Parameter konform gewählt wird. Ist als Vergleichsverfahren ein Standardverfahren allgemein akzetiert oder gar gesetzlich vorgeschrieben, so nennt man die konforme Parameterwahl im Standardverfahren auch den effektiven Parameterwert für das zu beurteilende Verfahren. Ein Effektivzins(-fuß) ist also derjenige Jahreszins in einem Standardverfahren, der genau dasselbe Ergebnis liefert wie das zu beurteilende Verfahren. Diese Definition des Effektivzinses erfordert natürlich, dass das Standardverfahren und die Quantifizierung des Ergebnisses genau festgelegt sind. Bei einfacher Verzinsung eines Kaitals K 0 könnte man z.b. sagen, dass die nachschüssige Verzinsung das Standardverfahren ist und der Kaitalzuwachs in der gegebenen Laufzeit das Ergebnis. Dann wäre der Effektivzins einer vorschüssigen Verzinsung zu % genau der oben berechnete konforme nachschüssige Zinsfuß % = t, und dieser Effektivzinsfuß ist größer als der vorschüssige Zinsfuß.

4 76 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler BEISPIELE (einfache Verzinsung): 1) Ein Darlehen von e zu 8%.a. ist nach 30 Monaten zurückzuzahlen; monatlich anfallende Schuldzinsen werden während der Laufzeit beglichen. Welche Zinskosten entstehen insgesamt? Lösung : Z 30/12 = e = e. 12 2) Ein Kaital von e wird 3 Monate zu 6%.a. verzinst und nach Zuschlagen der Zinsen 2 Monate zu 7%. Wie hoch ist der Zinsertrag insgesamt? Lösung : K 3/12 = ( )K 0, K 5/12 = ( )K 3/12, also K 5/12 = ( )(1 + ) e = e, und der Zinsertrag ist K 5/12 K 0 = e. (Das war eigentlich Zinseszinsrechnung.) 3) Viele verschiedene Konten sollen für unterschiedlich kurze Laufzeiten (mehrere Tage) zu demselben Zinsfuß % verzinst werden. Wie rechnet man das am günstigsten? Man hat für das i-te Konto die Laufzeit von n i Tagen und den Anfangskontostand K i0 zu ermitteln, dann ergeben sich die Zinsen für das i-te Konto aus der Tageszinsformel zu n i K 360 0i. Das schreibt man zweckmäßigerweise in der Form n i K i0, dann hat man für jede Zinsberechnung nur zwei Rechenoerationen durchzuführen: die Multilikation von K i0 mit der Anzahl n i der Tage und die Multilikation mit der festen Zahl Die Zinsen für mehrere Konten desselben Inhabers erhält man, indem man die Produkte n i K i0 dafür addiert und die Summe mit multiliziert. (In der Kontokorrentrechnung hat man die Zinsen früher in der Form n i K i0 : 360 n berechnet, wobei i K i0 die Zinszahl des i-ten Kontos heißt und durch den Zinsdivisor 360 dividiert wird.) 4) Eine am fällige Zahlung von e soll am desselben Jahres vorzeitig geleistet werden. Welcher Betrag ist zu zahlen, wenn die marktüblichen Zinsen für kurzfristige Einlagen 8%.a. betragen. Lösung: Hier ist mit 8% zu diskontieren, und zwar um einen vollen Monat (30 Tage!) für Februar, 23 Tage im Januar (den nicht mitgerechnet) und 22 Tage im März (den mitgerechnet), also insgesamt für 75 Tage. Der Diskontierungsfaktor ist somit ( ) 1, und die am zu leistende Zahlung ist ( ) e = e. 5) Ein in 3 Monaten fälliger Wechsel über e wird der Bank zum Diskontieren eingereicht. Welcher Betrag wird gutgeschrieben, wenn der Diskontsatz 8% beträgt (und Steuern, Sesen, Provisionen unberücksichtigt bleiben)? Wie hoch ist der Effektivzins? Lösung: Hier muss man wissen, dass der Diskontsatz ein vorschüssiger Zinsfuß ist. Also ist der anzuwendende Diskontierungsfaktor 1 8 3, und die Gutschrift beträgt 12 (1 8 3 ) e = e. 12 Der effektive Zins ist hier der konforme Zinsfuß für nachschüssige Verzinsung, also (da die Laufzeit 3 Jahre ist) 8 12 % = %. (Dies ist der Zinssatz, den die 8 3/12 Bank für ein Darlehen von e angewendet hätte, wenn es nach 3 Monaten mit einer Gesamtzahlung von e für Tilgung und Schuldzinsen abgelöst worden wäre.)

5 Ka. 2, Abschnitt Wir kommen nun zur Zinseszinsrechnung, also zu Verzinsungsvorgängen, bei denen Zinsen dem Kaital zugeschlagen werden und in einer weiteren Zinseriode mit verzinst werden. Im Unterschied zu Vorgängen mit einfacher Verzinsung, bei denen Zinsen erst am Ende der ins Auge gefassten Laufzeit fällig werden oder während der Laufzeit auf searaten Konten abgerechnet werden, fallen nun also auch Zinsen auf (die dem Kaital zugeschlagenen) Zinsen an, eben sog. Zinseszinzen. DISKUSSION der Zinsverzinsung: 1) Wird ein Anfangskaital K 0 über mehrere Zinserioden evtl. unterschiedlicher Dauer s j (Jahre) und mit einfacher Verzinsung zu evtl. unterschiedlichen Zisfüßen j % verzinst, wobei zum Ende jeder Zinseriode die fälligen Zinsen dem Kaital zugeschlagen werden, so ist das aufgezinste Kaital am Ende der ersten Zinseriode gleich K s1 = (1+ 1 s 1 /)K 0, am Ende der zweiten Zinseriode gleich K s2 = (1 + 2 s 2 /)K 1 = (1 + 2 s 2 /) (1 + 1 s 1 /)K 0 usw.. Für jede abgelaufene Zinseriode kommt einfach der zugehörige Aufzinsungsfaktor 1 + j s j / hinzu, und wir haben die allgemeine Aufzinsungsformel für mehrere Zinserioden: n ( K t = K j s ) j j=1 Dabei ist n die Anzahl der Perioden einfacher Verzinsung zum Zinsfuß j % (.a.) für die Dauer s j (Jahre) und t = s 1 + s s n die Gesamtlaufzeit des Zinseszinsvorgangs (in Jahren). Da die Reihenfolge der Aufzinsungsfaktoren in dem Produkt seinen Wert nicht beeinflusst, ist es auch belanglos, in welcher Reihenfolge die einzelnen Zinserioden aufeinander folgen. Es kommt nur auf die Zinsfüße j % an und auf die Zeitsannen s j, für die jeweils zum Zinsfuß j % einfach verzinst wird. Wir haben das in 1.1 schon am Beisiel des Sarens mit wachsendem oder fallendem Zins diskutiert. 2) Wir interessieren uns nun natürlich für den Zinseszinz, d.h. für den zusätzlichen Kaitalertrag, der durch Mitverzinsung der angefallenen Zinsen entsteht. Hätten wir nur einfach verzinst, also die angefallenen Zinsen zum Ende jeder Zinseriode entnommen und auf ein searates Konto überwiesen, so hätte sich dort insgesamt der Betrag 1 ( 1s s n s n )K 0 an Zinsen angesammelt. Der Aufzinsungsfaktor für die gesamte Laufzeit wäre bei dieser Vorgehensweise also s s ns n. Das ist gerade die Summe der ersten n+1 Summanden, die wir erhalten, wenn wir das Produkt in 1) mit dem Distributivgesetz ausmultilizieren. Es entstehen bei diesem Ausmultilizieren aber noch weitere Produkte, wenn n 2 ist, nämlich alle Produkte, die man durch Auswahl von 2 bis n Faktoren aus den Zahlen 1 1 1s 1, 1 2s 2,..., ns n erhält, also die Produkte ( 1 )2 i s i j s j mit 1 i < j n und ( 1 )3 h s h i s i j s j mit 1 h < i < j n usw.. Da diese Produkte ositiv sind, ist der Aufzinsungsfaktor bei Zinsverzinsung größer als bei einfacher Verzinsung, eine ökonomisch evidente Feststellung! Exakt beträgt der 1 s 1 2 s 2 Zinseszinz bei 2 Zinserioden: K 2 0 und der ( 1 s 1 2 s 2 Zinseszinz bei 3 Zinserioden: + 1s 1 3 s 3 + 2s 2 3 s 3 + 1s 1 2 s 2 3 s ) 3 K Bei n 3 Zinserioden ist der Zinseszins größer als die Summe K 0 ( 1 )2 i<j is i j s j, wobei über alle Wahlen von i, j {1, 2,..., n} mit i < j zu summieren ist.

6 78 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 3) In der Praxis hat der Fall von Zinserioden mit gleicher Dauer s und mit gleichem einfachen Zisfuß % besondere Bedeutung. Hierfür gilt dann die Aufzinsungsformel für mehrere gleichartige Zinserioden: ( K t = qs n K 0 = 1 + s ) nk0, wobei q s = 1+ s der Aufzinsungsfaktor für eine Periode der Dauer s (Jahre) mit einfacher Verzinsung zum Zinsfuß % (.a.) ist, n die Anzahl solcher Zinserioden und t = ns die Gesamtlaufzeit des Vorgangs. Man erkennt, dass die Kaitalstände K 0, K s, K 2s,..., K ns = qs n K 0,... nach den jeweiligen Zinszuteilungen eine geometrisch wachsende Folge mit Quotient q s bilden. Ohne die Zinsverzinsung hätte man dagegen eine arithmetische Folge K 0, K 0 + s K 0, K 0 +2 s K 0,..., K 0 +n s K 0,... von Kaitalständen die, abgesehen von den beiden ersten, kleiner sind als die entsrechenden Glieder der geometrischen Folge. Der über die einfache Verzinsung hinausgehende Zinsgewinn bei Zinsverzinsung beträgt hier am Ende der Gesamtlaufzeit exakt [( 1 + s ) n ] s 1 n K 0. Die Potenz (1 + s )n kann man mit der binomischen Formel als Summe schreiben: ( 1 + s ) n ( )( s n2 s = 1 + n + ) ( nn )( s Die beiden ersten Summanden dieser Summe geben den Aufzinsungsfaktor 1 + n s = 1 + t für einfache Verzinsung während der gesamten Laufzeit t = ns an, die folgenden Summanden beschreiben die höhere Aufzinsung aufgrund von Zinseszinsen, Zinseszinseszinsen usw. Insbesondere ist der Zinseszins für n 3 größer als (und für n = 2 genau so groß wie) ( ) n 2 ( s )2 K 0 = 1 s n(n 1)( 2 )2 K 0. Vergleicht man dies mit dem Zinsgewinn bei einfacher Verzinsung n s K 0, so erkennt man, dass die Zinseszinsen um mehr als den Faktor (n 1) s größer sind als die Zinsen für große n, d.h. die Zinseszinsen 200 wachsen mit zunehmender Laufzeit schneller als die einfachen Zinsen bei sehr vielen Zinserioden fallen die einfachen Zinsen im Vergleich mit den Zinseszinsen raktisch nicht mehr ins Gewicht! (Das Kaital wächst bei Zinsesverzinsung mit der Periodenzahl n sogar exonentiell schnell an, wie man sagt, nämlich so schnell wie die Potenzen qs n des Aufzinsungsfaktors für eine Periode. Das ist sehr viel schneller als das lineare Anwachsen des einfach verzinsten Kaitals K 0 + n s K 0 mit wachsendem n, insbesondere auch schneller als das Wachstum jeder Potenzfolge 1 k, 2 k,..., n k,... mit noch großem Exonenten k.) 4) Mit der Aufzinsungsformel aus 3) kann man die üblichen Aufgaben der Zinseszinsrechnung lösen, insbesondere das Aufzinsen, also die Berechnung des Endkaitals K t = qs n K 0 zu gegebenen K 0,, n und t = ns (wobei s die Dauer einer Zinseriode in Jahren angibt, t die Gesamtlaufzeit und n die Anzahl der Zinserioden), das Abzinsen / Diskontieren, d.h. die Berechnung von K 0 = qs n K t zu gegebenen K t,, n und t, die und die Laufzeitbestimmung, wobei K 0,, s und ein Zielwert K für das Endkaital vorgegeben sind und die Anzahl n der Zinserioden zu bestimmen ist, nach denen dieser Zielwert erreicht oder überschritten ist, also die kleinste Zahl n N mit qs n K 0 K. Die letztere Aufgabe läuft auf die Bestimmung eines unbekannten Exonenten hinaus und kann mit Logarithmenrechnung gelöst werden. Ein Probierverfahren für die Laufzeitbestimmung besteht darin, dass man einfach für einige Werte von n testet, ob qs n K 0 noch kleiner oder schon größer als der Zielwert K ist, und dann beginnend mit einem Wert von n, der noch ein zu kleines Endkaital liefert, den Wert von n schrittweise um 1 erhöht, bis das Endkaital erstmals mindestens so groß ist wie K. ) n.

7 Ka. 2, Abschnitt ) Auf die Aufgabe der Bestimmung eines unbekannten Zinsfußes stößt man, wenn zwei verschiedene Verzinsungsverfahren verglichen werden sollen und der konforme Zinsfuß % (auch äquivalenter Zinsfuß genannt) im zweiten Vefahren zu bestimmen ist, der dasselbe Ergebnis, d.h. denselben Aufzinsungsfaktor, liefert wie ein gegebener Zinsfuß % im ersten Verfahren. Besonders wichtig ist hier bei unterjährlicher Verzinsung zum Zinsfuß %, d.h. Aufteilung des Jahres in m gleichlange Zinserioden mit einfacher Verzinsung zu %.a. und Zinszuschlag am Ende jeder Periode (m = 4 oder m = 12 ist tyisch), die Berechnung des sog. jahreskonformen Zinsfußes %, der bei einfacher Verzinsung für ein Jahr dasselbe Resultat liefert. Gleichsetzen der beiden Aufzinsungsfaktoren liefert die Gleichung ( ) m 1 + = 1 + m, also = [( 1 + m ) m 1 ]. Sieht man einjährige Zinserioden als Standardverfahren an, so nennt man % auch den effektiven Jahreszinssatz der m-fachen unterjährlichen Verzinsung zum Zinsfuß %. Ist umgekehrt der Jahreszinsfuß % gegeben und dazu der Zinsfuß % gesucht, der bei m-facher unterjährlicher Verzinsung äquivalent ist, so hat man die obige Gleichung, die und verbindet, durch Ziehen der m-ten Wurzel beiderseits nach aufzulösen und erhält ( m = m 1 + ) 1. Mit dieser Methode der konformen Zinsfüße kann man allgemeiner die Verzinsung (mit Zinseszins) zu einem gegebenen Zinsfuß % bei m Zinserioden gegebener Länge s äquivalent beschreiben als Verzinsung zu dem konformen Zinssatz % für eine andere Zahl m von Zinserioden einer anderen Länge s gemäß ( 1 + s ) m = (1 + s wobei normalerweise gleiche Laufzeit für beide Vorgänge angenommen wird, d.h. ms = m s. Das wird sich bei der Rentenrechnung mit Zinseszins noch als nützlich erweisen. 6) Die Zinsverzinsung bei vorschüssiger Verzinsung kommt in der Praxis nicht vor, könnte aber natürlich theoretisch mit Hilfe der entsrechenden Aufzinsungsfaktoren (1 s ) 1 bei Verzinsung für die Dauer s Jahre zum antiziativen Zinsfuß % ganz analog behandelt werden. Oder man geht einfach zum konformen nachschüssigen Zinsfuß = über, t der zu dem vorschüssigen Zinsfuß und zur Laufzeit s gehört, und rechnet mit diesem Zinsfuß dann wie oben. BEISPIELE (Zinseszinsrechnung): 1) Auf welchen Betrag wächst 1 e in 0 Jahren (a) bei einfacher Verzinsung, bzw. (b) bei Zinsverzinsung mit 1-jährigen Zinserioden, wenn der Zinsfuß jeweils 6%.a. ist? 6 Lösung: (a) K 0 = (1 + 0 ) 1 e = 61 e. (b) K 0 = (1 + 6 )0 1 e = e e. Dies ist ein 25-stelliger Eurobetrag ( Quartillionen Euro)! Dieses Beisiel illustriert, was gemeint ist, wenn gesagt wird, dass ein Kaital bei Zinsverzinsung langfristig sehr viel schneller wächst als bei einfacher Verzinsung. ) m,

8 80 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 2) Was ist der effektive Jahreszins bei Zinsverzinsung zu 5% mit Jahren, Quartalen, Monaten bzw. Tagen als Zinserioden? Lösung: Hier ist eff = [(1 + 5 m )m 1] mit m = 1, 4, 12 bzw Für m = 1 ergibt sich (natürlich) 5% als effektiver Jahreszins, für m = 4 erhält man durch Rechnung den Wert %, für m = 12 den Wert % unf für m = 360 schließlich %. Es ist klar, dass der effektive Jahreszins bei Verkürzung der Zinserioden zunimmt, da dann ja Zinsen in kürzeren Abständen dem Kaital zugeschlagen werden, was den Zinseszinseffekt verstärkt. Allerdings bleibt der effektive Jahreszins auch bei weiterer Verkürzung der Zinserioden auf Stunden, Minuten, Sekunden,... unter einer gewissen Grenze, nämlich unter dem zu % konformen Jahreszinsfuß für kontinuierliche Verzinsung (e / 1)% mit der Eulerschen Zahl e = Hier, bei = 5, ist diese Grenze %. (Der Aufzinsungsfaktor bei kontinuierlicher Verzinsung zum Zinsfuß % für den Zeitraum t Jahre ist e t/. Die kontinuierliche Verzinsung hat keine ökonomische Bedeutung, sondern nur die abstrakte Bedeutung der Zinsverzinsung mit dem größtmöglichen Zinseszinseffekt. Die Mathematik dazu haben wir schon in 1.3 besrochen.) 3) Was ist der Quartals-konforme bzw. der Monats-konforme Zinsfuß % zu 8%.a.? Lösung: (1 + 4 )4 = 1.08 bzw. ( )12 = 1.08 ist nach aufzulösen (4 te bzw. 12 te Wurzel ziehen, dann 1 subtrahieren und mit multilizieren). Das Ergebnis ist % bzw % ; der Monats-konforme Zinsfuß muss natürlich kleiner sein als der Quartals-konforme. 4) Beim Saren mit wachsendem Zins wird im ersten Jahr mit 4%, im zweiten mit 5% und im dritten mit 6% verzinst. Was ist das Endkaital bei K 0 = 250 e? Was ist der effektive Jahreszins? Lösung: K 3 = e = e. Der effektive Jahreszins bestimmt sich aus (1 + 1 eff) 3 = zu eff = ( )% %. Dieser Wert ist kleiner als der arithmetische Mittelwert 5% der drei verschiedenen Jahreszinsfüße bei diesem Sarvorgang. Bei einfacher Verzinsung über alle drei Jahre wäre der konforme Jahreszinsfuß genau der Mittelwert 5% gewesen; dass er hier etwas kleiner ausfällt, ist also ein Zinseszinseffekt. Mathematisch steht dahinter die Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel, siehe ) Eine mit 9% jährlich zu verzinsende Schuld e soll 3 Jahre vor Fälligkeit zurückgezahlt werden. Welcher Betrag ist als Ablösung der Schuld zu zahlen, wenn der marktübliche Zins für Einlagen 7% ist und der Vertrag vorzeitige Rückzahlung nicht vorsieht? Lösung: Zunächst sind e für 3 Jahre mit 7% abzuzinsen, das ergibt e e. Diesen Betrag wird der Gläubiger als Ablösung für die 3 Jahre säter fällige Schuld akzetieren (da er ihn ja selbst zu Marktzinsen anlegen könnte). Allerdings sind dabei die dem Darlehensgeber eigentlich noch zustehenden Zinszahlungen in Höhe von jährlich 9% der Schuld nicht berücksichtigt, für die er als Komensation e = e verlangt (Faktor 4, weil 4 Mal Zinsen zu zahlen wären, den Ablösungstag eingerechnet). Das ergäbe einen Ablösungsbetrag von e. Diese Rechnung ist jedoch insofern nachteilig für den Schulder, als die Zinszahlungen ja nicht alle zum Ablösungszeitunkt, sondern bis zu 3 Jahren säter fällig gewesen wären. Somit sind auch die jährlich fälligen Schuldzinsen mit 7% abzuzinsen für 0,1,2 bzw. 3 Jahre, das ergibt ( ) e e als Komensation für entgangene Schuldzinsen und e als Ablösesumme insgesamt (zuzüglich Gebühren). (Dies ist eigentlich eine Beisiel zur sog. Kursrechnung, mit der alle zu veschiedenen künftigen Zeitunkten zu leistenden Zahlungen auf einen gemeinsamen Zeitunkt abgezinst werden.)

9 Ka. 2, Abschnitt ) Ein Unternehmer hat 5 Millionen e freies Kaital. Er könnte bei Aufnahme desselben Betrags an Fremdmitteln eine Investition tätigen, die im 2 ten Jahr einen Ertrag von 1 Million e versricht und in den folgenden 8 Jahren jeweils 2 Millionen e. Wie soll er sich entscheiden, wenn der marktübliche Zins für große Einlagen 8% und für Kredite 10% ist? Lösung: (a) Zunächst berechnen wir den Gewinn, wenn die Investition unterlassen und das Eigenkaital für 10 Jahre zu 8% angelegt wird: Der Kaitalendstand ist dann Millionen e, der Zinsgewinn also e. (b) Dem stehen die erwarteten Erträge der Investition von 17 Millionen e gegenüber abzüglich der investierten Eigenmittel von 5 Millionen DM und der Kosten für die aufgenommenen Fremdmittel. Diese Kosten lassen sich auf e = e beziffern, wenn der Kredit einschließlich angefallener Zinsen nach 6 Jahren zurückgezahlt wird. (Nach 5 Jahren würde der bis dahin erzielte Investitionsgewinn von 7 Millionen e für die Rückzahlung samt Zinsen noch nicht ausreichen.) Als Gewinn ergibt sich somit ( ) e = e. Diese gegenüber (a) deutlich kleinere Summe scheint klar gegen die Investition zu srechen oder? (c) Bei den Überlegungen in (b) wurde außer Acht gelassen, dass die Erträge der 10-jährigen Investition nicht erst am Ende der Laufzeit anfallen, sondern früher. Diese Erträge müssen zur Schuldentilgung verwendet und der übersteigende Ertrag muss zu Marktzinsen angelegt werden, um einen wirklich sinnvollen Vergleich mit (a) anstellen zu können! Der Stand des Darlehenskontos ist dann (wenn wir die Rückzahlbarkeit beliebiger Teilbeträge zum Jahresende unterstellen) nach dem 1 ten Jahr (Beträge in Millionen e ), = 5.05 nach dem 2 ten, = nach dem 3 ten, = nach dem 4 ten und = nach dem 5 ten Jahr. Am Ende des 6 ten Jahres sind zur vollen Ablösung der Schuld noch = Millionen e zu zahlen. Die verbliebenen e des Jahresertrags und die in den Folgejahren jeweils jährlich erwarteten 2 Millionen e werden zu 8% bis zum Ende der Laufzeit angelegt, das macht = Millionen e als abschließenden Kaitalstand. Der Gewinn aus der Investition ist daher, wenn die erwarteten Erträge eintreffen, e und damit etwas höher als in (a), was für die Ausführung des Investitionsvorhabens sricht (allerdings nicht sehr deutlich, so dass der Unternehmer angesichts der Unsicherheiten der Prognosen hier wohl die Investition unterlassen würde). Die beiden zuletzt diskutierten Vorgänge, vorzeitige Schuldablösung mit Ausgleich der dem Gläubiger entgangenen Zinsgewinne bzw. Prüfung der Rentabilität einer teilweise durch Fremdmittel zu finanzierenden Investition, waren eigentlich schon Beisiele zur Kursrechnung und zur Investitionsrechnung. Dort werden finanzmathematische Methoden verwendet, um z.b. den aktuellen Kurs eines Rentenaiers (Schatzbriefs) zu bestimmen, das gewisse regelmäßige Erträge und eine gewisse Auszahlung am Ende seiner Laufzeit bringt, oder um eine mit einer komlexen Abfolge von Ausgaben und erwarteten Einnahmen verbundene Investition zu bewerten. Die ausführliche Behandlung derartiger Vorgänge würde den Zeitrahmen dieser Vorlesung srengen, wir müssen daher diesbezüglich auf Lehrbücher der Finanzmathematik verweisen (z.b. von Bosch oder Köhler). In 2.3 sagen wir im Zusammenhang mit der Diskussion von Teilzahlungskrediten noch etwas mehr zur Investitionsrechnung und den dabei maßgeblichen finanzmathematischen Grundsätzen.

10 2.3 Rentenrechnung bei einfacher Verzinsung Die Rentenrechnung befasst sich mit Kaitalvorgängen, bei denen regelmäßig Zahlungen gleicher Höhe anfallen. Zunächst betrachten wir die einfache Verzinsung bei Ein- und Auszahlungen Hier kann man sich vorstellen, dass jede Zubuchung +R i oder Abbuchung R i in der Zeit t i vom Buchungstermin bis zum Laufzeitende auf einem gesonderten Konto geführt und dort einfach verzinst wird mit demselben Zinsfuß % wie das Anfangskaital K 0. Die Zinsen für den i-ten Buchungsbetrag sind dann t i R i, und sie sind zum Zinsertrag des Anfangskaitals zu addieren, wenn es sich um ein Zubuchung handelte, bzw. davon zu subtrahieren im Falle einer Abbuchung (da diese den Zinsertrag für die Zeitsanne t i entsrechend vermindert). Die Zinsen betragen somit, wenn t die Laufzeit des gesamten Vorgangs ist: Z t = t K 0 + m i=1 t i (±R i). Dabei sind ±R 1,..., ±R m die während der Laufzeit t erfolgten Buchungen, wobei das Vorzeichen + zu nehmen ist, wenn der Kaitalstand durch die Buchung erhöht wird (z.b. Einzahlung auf ein Sarkonto oder Auszahlung aus einem Darlehenskonto), und das Vorzeichen, wenn der Kaitalstand durch die Buchung erniedrigt wird (z.b. Abbuchung von einem Sarkonto oder Rückzahlung eines Teilbetrags eines Darlehens). Die Buchungsbeträge R i selbst nehmen wir hier stets ositiv an, wir rechnen also nicht mit negativen Zahlen für Abbuchungen, sondern machen diese durch die Wahl des negativen Vorzeichens kenntlich. Die Laufzeiten t i für die einzelnen Buchungen werden gerechnet vom Tage der Wertstellung (Gutschrift / Belastung) bis zum Ende des ins Auge gefassten Zeitraums einfacher Verzinsung der Dauer t; insbesondere liegt t i dann natürlich zwischen 0 und t. Wie immer werden hier die Zeiten t und t i in Jahren gerechnet! (Der Tag der Wertstellung kann erheblich abweichen von dem Tag, an dem eine Buchung tatsächlich erfolgte. Bei Hyotheken z.b. war es bis zu einem entgegenstehenden Gerichtsentscheid üblich, die während des Jahres geleisteten Tilgungsbeträge erst zum Jahresende wertzustellen.) Man kann das Anfangskaital auch als eine erste Zahlung K 0 = R 0 mit zugehöriger Laufzeit t 0 = t auffassen und dann den Summanden t K 0 oben als 0-ten Summanden der nachfolgenden Summe schreiben; das macht keinen Unterschied im Ergebnis der Zinsberechnung, entsricht aber weniger dem realen Sachverhalt. Eine andere Berechnungsweise der Zinsen für das einfach verzinste Konto bei Zu- und Abbuchungen ist folgende: Man ermittelt zum i-ten Buchungs- bzw. Wertstellungstermin den jeweils aktuellen Kontostand k i = K 0 ±R 1 ±...±R i, der alle bis dahin vorgenommenen Zu- und Abbuchungen berücksichtigt, und verzinst den Betrag k i dann für den Zeitraum bis zur nächsten Buchung einfach zum Zinsfuß %. Die Länge dieses Zeitraums ist gerade die Differenz t i t i+1 der Laufzeiten der i-ten und der (i+1)-ten Buchung, wobei für die letzte Buchung t m+1 := 0 anzusetzen ist. Das führt auf die Formel Z t = t K 0 + m i=1 (t i t i+1 ) und man kann sich durch Rechnung leicht davon überzeugen, dass dieser Ausdruck gleich dem zuvor angegebenen Ausdruck für die während der Laufzeit t insgesamt angefallenen Zinsen Z t ist. (Inhaltlich ist von vorneherein klar, dass die beiden verschiedenen Berechnungsweisen für die Zinsen zum gleichen Ergebnis führen.) 82 k i,

11 Ka. 2, Abschnitt Natürlich gilt alles hier Gesagte unter dem Vorbehalt, dass kein negativer Kontostand aufgrund der Abbuchungen eintritt; denn da der Zinssatz für Sollzinsen ein anderer ist als für Habenzinsen, muss für Zeiträume mit negativem Kontostand natürlich mit einem andern Zinsfuß gerechnet werden. Ebenso muss bei Änderung des Zinsfußes % verfahren werden: Man beendet dann die Periode einfacher Verzinsung zum bisherigen Zinsfuß, ermittelt den aktuellen Kaitalstand und beginnt mit diesem als Anfangskaital eine Periode der einfachen Verzinsung zum neuen Zinsfuß. In der Praxis ist der Fall regelmäßiger Zahlungen in gleicher Höhe besonders wichtig. Solche Zahlungen nennt man auch Renten, und man kann wichtige sog. Rentenformeln für Zinsen und Kaitalstand herleiten, die wir besrechen in folgender DISKUSSION der Rentenrechnung bei einfacher Verzinsung: 1) Zunächst zur Terminologie: Unter einer Rente versteht man in der Finanzmathematik, wie gesagt, eine Abfolge von Zahlungen in gleicher Höhe und in gleichen Zeitabständen. Die einzelne Zahlung R wird dabei Rate genannt (oder auch wieder Rente ), und wir nehmen R im Folgenden stets ositiv an. Die gleich langen Zeiträume zwischen zwei Ratenzahlungen werden Ratenerioden genannt. Ist t die Gesamtlaufzeit des betrachteten Zahlungsvorgangs und werden in dieser Zeit m Raten gezahlt, so hat also jede Rateneriode die Dauer r = t (Jahre!). Man unterscheidet nun vorschüssige Ratenzahlung, bei m der die Raten zu Beginn jeder Rateneriode geleistet werden, und nachschüssige Ratenzahlung, bei der die Raten jeweils am Ende der Rateneriode gezahlt werden. Beide Zahlungsweisen kommen in der Praxis vor, z.b. die vorschüssige Zahlung tyischerweise beim ratenweisen Ansaren eines Guthabens, die nachschüssige tyischerweise beim ratenweisen Abzahlen eines Kredits. Deshalb müssen wir auch beide Zahlungsweisen der Raten hier arallel diskutieren. (Aber bitte nicht das vor- bzw. nachschüssige Zahlen der Raten verwechseln mit vor- bzw. nachschüssiger Verzinsung! In der Rentenrechnung nehmen wir immer die übliche nachschüssige Art der Verzinsung an. Sollte dort ein vorschüssiger Zinsfuß auftauchen, so rechnen wir einfach mit dem dazu konformen nachschüssigen Zinsfuß für die Laufzeit t.) 2) Wenn während der Gesamtlaufzeit t vorschüssig m Raten der Höhe R gezahlt werden, so haben diese die Laufzeiten t, t 1 t, t 2 t,..., 2 t, 1 t; bei nachschüssiger Ratenzahlung sind alle Ratenlaufzeiten jeweils um die Zeitsanne 1 t kürzer. Die für die i-te Rate m m m m m anfallenden Zinsen betragen also i 1 (1 )t R bei vorschüssiger und (1 i )t R bei m m nachschüssiger Zahlungsweise (wobei wir die einzelnen Ratenzahlungen mit i = 1,..., m durchnumeriert haben und einfache Verzinsung annehmen). Dies sind arithmetische Folgen, und die Summe der Zinsen für alle Ratenzahlungen lässt sich daher mit der arithmetischen Summenformel aus 1.1 berechnen. Hinzu kommen gegebenenfalls noch die Zinsen t K 0 für ein Anfangskaital K 0. Das Ergebnis ist die Rentenformel bei einfacher Verzinsung: vorschüssige Ratenzahlung: Z t = t ( K 0 ± m+1 ) 2 R nachschüssige Ratenzahlung: Z t = t ( K 0 ± m 1 ) 2 R K t = K 0 ± mr + Z t K t = K 0 ± mr + Z t

12 84 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Wir wiederholen, was die in diesen Formeln vorkommenden Parameter (Variablen) sind: Zugrunde liegt eine Zinseriode von t Jahren (z.b. t = 1 bei 6 Monaten) mit einfacher 2 Verzinsung zum Jahreszinsfuß %. Die Zinseriode ist in m gleich lange Ratenerioden von r = t/m Jahren eingeteilt (z.b. t = 1, m = 6, r = 1 bei monatlicher Ratenzahlung 2 12 für ein Halbjahr alle Laufzeitangaben erfolgen in Jahren!). Man kann also statt t auch m r in die Rentenformeln einsetzen. Bei vorschüssiger Ratenzahlung wird die Rate R zu Beginn, bei nachschüssiger Ratenzahlung zum Ende jeder Rateneriode gezahlt. Als Vorzeichen in den Formeln ist + zu nehmen, wenn die Ratenzahlung den Kontostand erhöht (Einzahlung auf ein Einlagenkonto oder Auszahlung aus einem Darlehenskonto), und, wenn die Ratenzahlung den Kontostand erniedrigt (Auszahlung aus einem Einlagenkonto, Tilgungsrate für ein Darlehen). Die richtige Vorzeichenwahl muss man sich bei jeder Anwendung der Rentenformeln klar machen es wäre ein katastohaler Fehler, z.b. vom Kaitalstand Raten und Zinserträge abzuziehen, die eigentlich addiert werden müssten! Z t sind die Gesamtzinsen für das Anfangskaital K 0 und die m gezahlten Raten, K t schließlich ist der abschließende Kaitalstand am Ende der Gesamtlaufzeit t, der sich aus K 0 durch Addition (bei Vorzeichenwahl + ) bzw. Subtraktion (bei ) der m gezahlten Raten und Addition der Gesamtzinsen Z t ergibt. 3) Die Rentenformeln in 2) haben eine Interretation, die sehr lausibel ist und die man sich leicht merken kann (und die aus der arithmetischen Summenformel folgt): Der Gesamtzins ist der Zins für das Anfangskaital über die gesamte Laufzeit lus der Zins für die Summe aller Ratenzahlungen über deren mittlere Laufzeit. Die mittlere Laufzeit der Raten ist nämlich gemäß 2) gleich 1 m i 1 m i=1 (t t) bei vorschüssiger Ratenzahlung, und mit der arithmetischen Summenformel ergibt sich dies zu m+1 t ; 2 m m bei nachschüssiger Ratenzahlung ist die mittlere Laufzeit der Raten natürlich um die Dauer einer Rateneriode t m 1 kürzer, also gleich t t. Der Summand m+1r bzw. m 2 m 2 t m 1 R in der Rentenformel lässt sich daher auffassen als Verzinsung der gesamten 2 Ratenzahlung mr zum Zinsfuß % für die mittlere Ratenlaufzeit. 4) Die Rentenformeln in 2) lassen sich anwenden auf vier Arten von Vorgängen: Guthabenaufbau (Ansaren; Vorzeichen + und meist vorschüssige Raten); Guthabenabbau (Auszahlung einer Rente aus Kaitalvermögen; Vorzeichen ); Schuldenaufbau (ratenweise Darlehensauszahlung; Vorzeichen + ); Schuldenabbau (Tilgungsratenzahlungen; Vorzeichen, nachschüssige Raten). Voraussetzung für die Anwendung der Rentenformeln aus 2) ist, dass einfache Verzinsung zum Jahreszinsfuß % über die gesamte Laufzeit t gegeben ist, dass also Zinsen überhaut erst am Ende dieser Laufzeit fällig werden oder dass sie während der Laufzeit auf einem searaten Konto (unverzinst) abgerechnet werden. Wenn sich der Zinsfuß während des Ablaufs eines Rentenvorgangs ändert, so kann man natürlich die Rentenformel zum bisherigen Zinsfuß nicht weiter verwenden, sondern man muss den aktuellen Kaitalstand ermitteln und dann mit dem neuen Zinsfuß in der Rentenformel weiter rechnen. Dies bedeutet insbesondere, dass die Rentenformeln nicht verwendet werden dürfen, wenn sich während der Laufzeit ein negativer Kaitalstand ergibt; denn beim Übergang von einem ositiven zu einem negativen Kaitalstand ändert sich natürlich der Zinsfuß. (Da wir K 0 nicht negativ annehmen, kann sich ein negativer Kaitalstand während der Laufzeit natürlich nur ergeben, wenn das Vorzeichen in der Rentenformel zu wählen ist.)

13 Ka. 2, Abschnitt Wir bringen nun einige konkrete Beisiele zur Anwendung der Rentenformeln bei einfacher Verzinsung. Dabei sind alle Parameter bis auf einen jeweils vorgegeben, und die Fragestellung erfordert die Auflösung der Rentenformel nach der unbekannten Variablen. Dazu braucht man nur die Grundrechenarten; wenn die Laufzeit t und die Anzahl m der Raten gekoelt sind, etwa t = 1 m bei monatlichen Ratenzahlungen, so hat man im 12 schlimmsten Fall quadratische Gleichungen zu lösen. BEISPIELE (Anwendungen der Rentenformeln bei einfacher Verzinsung): 1) Welche Rate R muss jeden Monatsanfang eingezahlt werden, damit nach 1 Jahr bei einfacher Verzinsung zu 5%.a. ein Guthaben von e zur Verfügung steht? Lösung: Die vorschüssige Rentenformel ist anzuwenden mit den bekannten Parametern K 0 = 0, K 1 = 1 200, = 5, t = 1, m = 12 und mit dem Vorzeichen + ; die Unbekannte Größe ist R. Die Formel für K t lautet mit diesen Parametern = 12 R R, also ist R = = (e ). Man hätte auch mit einem Anfangskaital K 0 = R und 11 nachschüssigen Ratenzahlungen in Höhe R rechnen können das ist offenbar derselbe Vorgang, und die nachschüssige Rentenformel hierfür liefert auch dasselbe Ergebnis. 2) Was ist die zum Vorgang 1) gehörende Jahres-konforme Ersatzrate R, die bei einmaliger Zahlung zu Jahresbeginn zum gleichen Kaitalendstand führt? Lösung: Es soll gelten = ( ) R, also ist R = = (e ). Es ist von vorneherein klar, dass diese Ersatzrate niedriger sein muss als die Summe e aller 12 Raten (warum?)! Genauer heißt R hier die jahreskonforme vorschüssige Ersatzrate; die jahreskonforme nachschüssige Ersatzrate, die zum Jahresende gezahlt denselben Kaitalstand bringt, ist hier natürlich einfach R = e. Allgemein kann man durch Übergang zu einer konformen Ersatzrate mehrere Ratenzahlungen in einer Periode einfacher Verzinsung in eine einzige äquivalente vorschüssige oder nachschüssige Rate mit entsrechend größerer Laufzeit verwandeln. Das ist besonders bei der Rentenrechnung mit Zinseszins (s.u.) nützlich, weil sonst die Behandlung sehr unübersichtlich würde. 3) Aus einem Kaital von e werden zu Monatsende jeweils eine Rente von e und zusätzlich am Ende eines jeden Quartals die angefallenen Guthabenzinsen von 8%.a. entnommen. Nach wievielen Monaten sind einschließlich Zinsen e ausgezahlt? Lösung: Da die Zinsen entnommen werden, ist einfache Verzinsung für die gesamte Laufzeit gegeben. Anzuwenden ist hier die nachschüssige Rentenformel mit dem Vorzeichen, mit der unbekannten Zahl m der Ratenerioden (Monate) und mit der Laufzeit t = m (weil es 12 Ratenerioden ro Jahr gibt). Die Formel gibt als Auszahlungsbetrag 12 für m Monate A m/12 = m R + Z m/12 = m m ( m 1 ) = m 4 m

14 86 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Allerdings gilt dies nur für durch 3 teilbare Monatszahlen, weil die Zinsen ja nur am Quartalsende ausgezahlt werden. Zu bestimmen ist als die größte durch 3 teilbare Zahl m, für die A m/12 noch kleiner als ist. Das kann man mit Probieren herausfinden und findet m = 12 mit A 12/12 = (Man kann auch systematisch vorgehen und die quadratische Gleichung = 4m m für m lösen; man findet die Lösungen und und nimmt für m dann die größte durch 3 teilbare Zahl unterhalb von 12.81, also m = 12, da die zweite Lösung offenbar mit dem Problem nichts zu tun hat.) Die 13. und 14. Rentenzahlung beträgt noch je e, ohne dass Zinsen zusätzlich ausgezahlt werden (die werden erst mit der 15. Rentenzahlung fällig). Mit der 14. Rentenzahlung überschreitet die Summe aller ausgezahlten Raten und Zinsen also die e -Grenze (um e ). Realistischer ist natürlich, dass die Zinsen dem Kaital zugeschlagen werden; dann aber ist für die Rentenberechnung die erst säter in diesem Abschnitt diskutierte Rentenformel bei Zinsverzinsung zuständig. 4) Eine Schuld von 000 e soll mit 10%.a. verzinst und in monatlichen Tilgungsraten von e zurückgezahlt werden, wobei anfallende Schuldzinsen zusätzlich monatlich beglichen werden. Wie hoch ist die Annuität (=Belastung) im i-ten Monat? Welcher Betrag wird insgesamt an Schuldzinsen gezahlt? Lösung: Man hat K 0 = 000, R = 2 000, = 10, m = 50, t = 50/12 in der nachschüssigen Rentenformel mit einzusetzen: ( Z 50/12 = ) = ( e ) (Euro) sind die insgesamt gezahlten Schuldzinsen. Die Annuität a i setzt sich zusammen aus der Tilgungsrate und dem Schuldzins z i für die i-te Rateneriode, in der die Schuld noch 000 (i 1) beträgt. Also gilt a i = R + z i = ( ) 000 (i 1) = (i 1) ( e ). 12 Man erkennt, dass die Annuitäten hier eine arithmetisch degressive Folge bilden, beginnend mit a 1 = und endend mit a 50 = Allgemein sricht man hier von einer Ratenschuld, d.h. die Tilgung erfolgt mit gleichbleibenden Beträgen (sog. Ratentilgung). Der Nachteil für den Schuldner ist hierbei, dass die Annuitäten anfangs höher als gegen Ende der Tilgungszeit sind. (Umgekehrt wäre es ihm meist weniger unangenehm!) Das ist anders bei einer Annuitätenschuld, bei der die Annuität, also die regelmäßige (z.b. monatliche) Belastung, konstant bleibt und der die jeweils fälligen Schuldzinsen übersteigende Teil der Annuität zur Tilgung verwendet wird. Aber dies ist, weil die Schuldzinsen nicht direkt beglichen sondern der jeweiligen Restschuld zugeschlagen werden, ein Rentenvorgang mit Zinsesverzinsung, wofür dann eine andere Rentenformel zuständig ist (s. 2.4). Bei sog. Teilzahlungskrediten, Kleinkrediten, Anschaffungsdarlehen etc. berechnen Händler und Banken häufig die Zinsen über die gesamte Laufzeit von der anfänglichen Schuld. Diese unfaire Vorgehensweise führt natürlich zu einer höheren Zinsbelastung als die Zinsberechnung gemäß der Rentenformel zu demselben einfachen Zinsfuß, weil dabei Zinsen ja nur auf die jeweilige Restschuld anfallen. Um Teilzahlungskreditkonditionen zu

15 Ka. 2, Abschnitt bewerten und vergleichbar zu machen, kann man einen Effektivzins angegeben, der z.b. auf Grundlage der Rentenformel definiert werden kann. Wir beschreiben das nun im Detail in folgender DISKUSSION (Belastung und Effektivzins bei Teilzahlungskrediten): 1) Die Kosten des Teilzahlungskredits setzen sich zusammen aus Zinskosten und Gebühren, die u.u in Form einer Minderung der Auszahlung (Disagio) erhoben werden. Ist S die aufgenommene Schuld, also z.b. die Differenz von Kaufreis und Anzahlung, % der nominelle Zinsfuß, d.h. der im Kreditvertrag angegebene Jahreszinssatz für die Verzinsung der Schuld, und m die vereinbarte Anzahl der Raten, mit denen die Schuld zurückgezahlt werden soll, so ist am Ende jeder Rateneriode die Tilgungsrate 1 r S zuzüglich der Zinsen von S fällig, wenn die Dauer der Ratenerioden jeweils m r ist (z.b. r = 1 bei monatlicher Ratenzahlung). Es ergibt sich damit also bei einem 12 Teilzahlungskredit ohne Disagio und Gebühren: monatliche Belastung : ( 1m + r ) S = m 1 ( 1 + t ) S, gesamte Zinszahlung : m r S = t S. 2) Ein Abgeld (Disagio, Damnum) von d% bedeutet, dass d% des Darlehens bei Auszahlung einbehalten werden. Daher muss der Schuldner eine größere nominelle Schuld S nom = (1 d ) 1 S aufnehmen, um über den benötigten Betrag S verfügen zu können. Die Zinsen und Tilgungsraten werden dann natürlich von der nominellen Schuld berechnet. Eine Gebühr von g% bedeutet dagegen, dass mit jeder Rate zusätzlich noch 1 g% der m nominellen Schuld S nom eingezogen wird. (Im allgemeinen wird kein Disagio einbehalten, wenn eine Gebühr erhoben wird; dann ist natürlich S nom = S, und die Gebühr wird in Höhe von insgesamt g% des ausgezahlten Darlehensbetrags S ratenweise eingezogen. Um alle in der Praxis vorkommenden Fälle simultan zu erfassen, berücksichtigen wir hier aber Disagio und Gebühr. Wenn die Gebühr anders ermittelt wird, etwa als Prozentwert des Kaufreises statt des Differenzbetrags zwischen Kaufreis und Anzahlung, so muss man den Gebührensatz zuerst als Prozentsatz der nominellen Schuld umrechnen.) Bei Auszahlung des Betrags S, nominellem Zinsfuß % und Rückzahlung in m Ratenerioden der Dauer r (Jahre) ergibt sich also für einen Teilzahlungskredit mit d% Disagio und/oder g% Gebühr: monatliche Belastung : 1 m gesamte Zuzahlung : ( 1 + t + g ) S nom, ( t + g + d ) S nom, S nom = 1 1 d wobei der Summand d S nom im letzten Ausdruck die Differenz zwischen der tatsächlich zurückgezahlten nominellen Schuld S nom und dem ausgezahlten Darlehensbetrag S = (1 d )S nom ist und t = m r die Gesamtlaufzeit des Kreditvertrags (in Jahren) angibt. Die gesamte Zuzahlung (Gesamtbelastung) des Darlehensnehmers ist natürlich die Summe all seiner Ratenzahlungen abzüglich des ausgezahlten Kreditbetrags. S,

16 88 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 3) Als Vergleichsverfahren betrachten wir nun die Rückzahlung der Schuld S in m Raten 1 S, wobei die (einfachen!) Zinsen nur in fairer Weise auf die in der jeweiligen Rateneriode der Dauer r bestehende Restschuld erhoben werden mit dem Zinsfuß m % und ein Disagio oder eine Gebühr nicht einbehalten werden. Aus der Rentenformel (nachschüssig, mit R = S/m, t = m r und Vorzeichen ) ergibt sich dann die t ( faire Gesamtzinszahlung : S m 1 S ) = m+1 r 2 m 2 S, die auch gleichzeitig die Gesamtzuzahlung in diesem Vergleichsverfahren ist. Die Differenz zu der in 1) angegebenen Gesamtzinszahlung m r m 1 S ist r S. Bei langen Laufzeiten 2 (m groß) macht die Zuvielzahlung an Zinsen im Verfahren 1) fast genau so viel aus wie die faire Gesamtzinszahlung! Dabei sind Disagio und/oder Gebühren noch gar nicht berücksichtigt! 4) Um einen Bewertungsmaßstab für die Qualität von Teilzahlungskrediten zu erhalten, bestimmen wir nun den konformen Zinsfuß im Vergleichsverfahren, d.h. denjenigen Zinsfuß %, für den die in 3) berechnete faire Gesamtzuzahlung genau so hoch ist wie die Gesamtzuzahlung G bei dem zu beurteilenden Teilzahlungskredit, die wir in 2) ermittelt haben. Die Gleichung für ist also m r S = G = ( t + g + d ) 1 1 d Wenn man den Standunkt annimmt, dass das faire Vergleichsverfahren das eigentlich angemessene ist, so gibt der konforme Zinsfuß den Zinsfuß an, der bei dem Teilzahlungskredit in Wahrheit angewendet wird. Man nennt ihn daher auch den effektiven Zinssatz eff = des Kreditvertrags im Unterschied zu dem darin ausgewiesenen nominellen Zinsfuß nom =. Die Auflösung der letzten Gleichung nach = eff macht keine Schwierigkeiten (mit 200 multilizieren, mit (m+1)rs dividieren) und gibt für Teilzahlungskredite die Effektivzinsformel: eff = 200 (m+1) r G S = 2m ( m+1 S. nom + g + d t ) 1 1 d wenn d% Disagio und/oder g% Gebühr anfallen, der Kredit samt Zinsen und Disagio / Gebühren in m Ratenerioden der Dauer r = t Jahre mit Raten konstanter Höhe m abgezahlt wird und G die Gesamtzuzahlung ist. Die Formel erlaubt verschiedene Aussagen über den Zusammenhang von Nominal- und Effektivzins: Da 2m 2 ist für große m, m+1 ist der Effektivzinssatz bei vielen Ratenerioden ungefähr das Doelte des Nominalzinssatzes, im Falle eines Disagio sogar mehr als das Doelte. Weil andererseits der Faktor 1 klein ist für große t, erkennt man, dass eine Gebühr sich bei großen Laufzeiten kaum t steigernd auf den Effektivzins auswirkt (bei kleinen Laufzeiten natürlich schon), während ein Abgeld von d% den Effektivzins in jedem Falle um mehr als den Faktor (1 d ) 1 vergrößert. Außerdem sieht man, dass der Effektivzinssatz roortional zur Gesamtzuzahlung ist. Bei der Wahl zwischen verschiedenen Angeboten läuft also die Entscheidung für das Angebot mit dem niedrigsten Effektivzinssatz darauf hinaus, die Gesamtzuzahlung so klein wie möglich zu machen. (Das ist oft die ökonomisch sinnvollste Entscheidung, aber nicht immer. Unter Umständen wird der Darlehensnehmer einen höheren Effektivzins in Kauf nehmen, wenn dafür die Raten niedriger ausfallen.).,

17 Ka. 2, Abschnitt BEISPIELE (zur Effektivzinsberechnung): 1) Ein Teilzahlungskredit von e ist in 5 Jahren bei nominell 8% und 120 e Gebühren in monatlichen Raten abzuzahlen. Wie hoch ist die Gesamtzuzahlung? Was ist der Effektivzinssatz? 8 60 Lösung: Die gesamte Zinszahlung ist e, die Gebühr 120 e, die Gesamtzuzahlung mithin e. Aus der Effektivzinsformel ergibt sich 12 eff = = 2 60 ( ) (%) Der Effektivzinssatz ist also mehr als das Doelte des Nominalzinssatzes von 8%. 2) Autokauf, Barreis e. Welches Angebot ist günstiger? (a) Der Händler bietet bei e Anzahlung einen Teilzahlungskredit für den Restbetrag zu 10% über 36 Monate an mit Gebühr von 2% des Kaufreises. (b) Die Bank offeriert Teilzahlungskredite bis nominell e zu 8.25% für 36 Monate bei 99% Auszahlung. Lösung: Bei (a) ist die Gesamtzuzahlung e an Zinsen lus 359 e Gebühren, 12 also gleich e. Der Effektivzinssatz bezogen auf den Kredit von e ist damit eff = (%). 37 1/ Bei (b) ist, bezogen auf eine Auszahlung von e die Gesamtzuzahlung gleich ( ) e e und 0.99 eff = 2 36 ( ) (%). Die Zuzahlung ist also höher, d.h. man müsste sich für (a) entscheiden??? Das wäre ein Denkfehler man darf nicht zwei Kreditverfahren mit unterschiedlichen Darlehensbeträgen ( e bei (a), e bei (b)) vergleichen! Wenn der Käufer die Anzahlung e bar leisten kann andernfalls muss er sowieso zu seiner Bank gehen, so braucht er auch bei der Bank nur e aufzunehmen. Dafür ergibt die Rechnung unter den Bedingungen aus (b) dann eine Zuzahlung von ( ) e = e, also viel weniger als bei (a). Das sieht man im übrigen auch durch Vergleich der Effektivzinssätze 21.12% bei (a) und 16.87% bei (b); denn diese Sätze stehen ja bei gleicher Schuld S in demselben Verhältnis wie die Zuzahlungen. (Der Effektivzinssatz für das Darlehen der Bank hängt nur von den Konditionen, nicht von der aufgenommenen Schuld ab, wie die Effektivzisformel zeigt; er ist daher der oben berechnete, auch wenn nur e aufgenommen werden.) Der Käufer sollte also die Anzahlung leisten und den Restbetrag mit dem Bankkredit finanzieren. Das letzte Beisiel scheint darauf hinzudeuten, dass man in solchen Fällen am besten das Kreditangebot mit dem niedrigsten Effektivins wählt. So einfach ist aber die Sache nicht. Wenn man z.b. das Angebot des Händlers als ein Darlehen von e auffasst, von dem sofort eine erste Rate von e zurückzuzahlen ist, so ergibt sich dafür ein 200 Effektivzinssatz von (Prozent), der niedriger ist als der des Bankangebots. (Das korresondiert damit, dass die Gesamtzuzahlung bei (a) niedriger ist als 37 1/ bei (b).) Dennoch wäre hier die Entscheidung für (a) unterstellt, der Käufer kann die Anzahlung überhaut aufbringen ganz falsch, wie wir oben in Beisiel 2) gesehen haben. Man erkennt hier die Problematik der Entscheidung nach dem Effektivzins, also nach der geringsten Gesamtzuzahlung. Das Problem ist, dass ein Effektivzinsvergleich nur die Gesamtzuzahlung erfasst, aber unberücksichtigt lässt, wann die einzelnen Zahlungen in welcher Höhe anfallen. Das mag bei kleineren Ratenkrediten mit kürzerer Laufzeit ein akzetables Verfahren sein, ist aber bei größeren Investitionen ökonomisch unvertretbar!

18 90 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Gegen das Vergleichsverfahren, das wir oben bei der Definition des Effektivzinses zu Grunde gelegt haben, lässt sich noch Weiteres einwenden, nicht nur, dass die Zeitunkte der einzelnen Zahlungen unberücksichtigt bleiben. Z.B. würde das Vergleichsverfahren in der Praxis zu höheren Belastungen am Anfang der Tilgung führen als am Ende; denn da wir einfache Verzinsung annehmen, müssten ja neben den konstanten Tilgungsraten auch noch die im Laufe der Zeit abnehmenden Schuldzinsen regelmäßig bezahlt werden. Statt eines solchen Ratendarlehens würde der Schuldner in den meisten Fällen ein Annuitätendarlehen vorziehen, bei dem stets dieselbe Rate (Annuität) zu zahlen ist, von der zunächst die angefallenen Schuldzinsen subtrahiert und dann der verbliebene Betrag zur Schuldtilgung verwendet wird. Jedoch läuft dies darauf hinaus, dass die Schuldzinsen regelmäßig der Restschuld zugeschlagen werden, so dass ein Rentenvorgang mit Zinsverzinsung vorläge, den wir erst in 2.4 diskutieren. Jedenfalls wäre auch ein Annuitätendarlehen ein sinnvolles Vergleichsverfahren für die Beurteilung von Teilzahlungskrediten, und auch mit diesem Vergleichsverfahren erhielte man eine sinnvolle Definition eines Effektivzinssatzes (wobei die Werte des Effektivzinssatzes etwas anders ausfallen würden als oben). Tatsächlich kommt es nicht sehr darauf an, welches Vergleichsverfahren man für die Definition des Effektivzinses konkret verwendet, und es ist auch gar nicht einfach herauszufinden, wie die Banken zu ihren Effektivzinsangaben kommen (entweder wissen sie es selbst nicht genau tyische Antworten auf Nachfragen sind: Das macht der Comuter. oder Das ist gesetzlich geregelt., oder sie wollen es nicht gerne offen legen). Die wesentliche Funktion einer Effektivzinsangabe ist es ja, einen Vergleich zwischen unterschiedlichen Kreditkonditionen zu ermöglichen, und das ist gewährleistet, wenn alle dasselbe (z.b. vom Gesetzgeber vorgegebene) Vergleichsverfahren zur Definition des Effektivzinses verwenden; die Details sind dabei weniger wichtig. Wir schließen diesen Abschnitt mit einigen grundsätzlichen Bemerkungen zu den ökonomischen Bewertungsroblemen, auf die wir oben bei der Diskussion des Ratenkredits gestoßen sind. Bei der Entscheidung für eine von verschiedenen Finanzierungsmöglichkeiten beim Autokauf wie im Beisiel oben und erst recht bei ökonomischen Entscheidungen über wesentlich komlexere Investitionsvorgänge oder Geldanlagemöglichkeiten stehen wir vor der Grundaufgabe der Finanzmathematik: Eine erwartete, vereinbarte oder gelante Folge von Einnahmen und Ausgaben zu bewerten und mit anderen Folgen von Einnahmen / Ausgaben sinnvoll zu vergleichen. Die Bewertung erfolgt im Allgemeinen durch Angabe einer Bewertungszahl, die z.b. ein Geldbetrag sein kann (erwarteter Gewinn, Gesamtzuzahlung bei einem Kredit) oder ein Prozentsatz (Rendite, Effektivzins). Der Größenvergleich der nach einem einheitlichen Bewertungsverfahren berechneten Bewertungszahlen für verschiedene alternative Maßnahmen oder Projekte kann dann eine Grundlage ökonomischer Entscheidungen sein. Für die Bewertung einer Folge von Einnahmen / Ausgaben gilt folgender Grundsatz: Grundrinzi der Finanzmathematik: Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitunkten anfallen, dürfen nicht unmittelbar verglichen addiert oder subtrahiert werden, sondern sie sind zuvor mit angemessenen Zinsfüßen auf einen gemeinsamen Bezugszeitunkt auf- oder abzuzinsen. Diese Vorgehensweise berücksichtigt nicht nur die Summe aller Einnahmen und Ausgaben, sondern auch die Zeitunkte, zu denen die einzelnen Zahlungen erfolgen. Dies ist natürlich

19 Ka. 2, Abschnitt ökonomisch sinnvoller als die Addition aller Einnahmen und Ausgaben ohne Auf- oder Abzinsung auf einen gemeinsamen Bezugszeitunkt; denn in der Ökonomie ist ja ein Geldbetrag heute mehr wert als derselbe Betrag zu einem zukünftigen Zeitunkt (eben weil man ihn bis dahin zu marktüblichen Zinsen anlegen kann). Die angemessenen Zinsfüße, auch Kalkulationszinsfüße genannt, weil sie den finanzmathematischen Berechnungen zu Grunde liegen, hängen dabei von der ökonomischen Bedeutung der jeweiligen Zahlungen ab: Einnahmen werden mit dem marktüblichen Habenzinssatz aufgezinst, soweit sie die Schulden übersteigen, aber mit dem marktüblichen Sollzinsfuß, soweit sie zur Schuldentilgung dienen können; Ausgaben werden mit dem Habenzinssatz aufgezinst, soweit sie aus Eigenkaital gedeckt sind, aber mit dem Sollzinsfuß, wenn sie fremdfinanziert werden müssen. (Eigenkaitalfinanzierung ist de facto eine Finanzierung zum Habenzinsfuß.) Die angelegten Kalkulationszinsfüße berücksichtigen unter Umständen auch weitere Parameter wie Gebühren, langfristige Zinsrognosen etc. Zurückhaltende Ansätze der Kalkulationszinsfüße verstärken dabei die Aussagekraft der ökonomischen Bewertungsverfahren. In der Kurs- und Investitionsrechnung wird die Problematik genauer studiert. Dies ist ein wichtiger Zweig der Finanzmathematik, dessen detaillierte Behandlung aber den Rahmen dieser Einführung in die Finanzmathematik srengen würde. Wir deuten hier nur an, wie man mit dieser Theorie die oben diskutierten Teilzahlungskredite zu bewerten hätte. Entsrechend dem Grundrinzi der Finanzmathematik werden hierbei alle zu leistenden Zahlungen für Kredite mit dem marktüblichen Zinssatz für Einlagen bis zum Ende der Laufzeit aufgezinst, um sie korrekt zu bewerten; denn wenn man die Kredite nicht aufnimmt, so könnte man die entsrechenden Beträge ja mit marktüblicher Verzinsung anlegen. Dabei ist unterstellt, dass man zum Zeitunkt der Fälligkeit einer jeden Zahlung auch über entsrechende Eigenmittel verfügt. (Wen man dafür wiederum Kredite braucht, so verläuft die Rechnung natürlich anders als im Folgenden dargestellt.) Ist nun z.b. b = 1 12 noms die monatliche Belastung bei einem Teilzahlungskredit, wobei wir der Einfachheit halber Disagio d = 0 und Gebühren g = 0 annehmen, so ergibt sich als aufgezinster Wert aller m Ratenzahlungen m ( 1 + markt (i 1) ) 12 i=1 b = m b + markt m (m 1) 24 Bei dem fairen Vergleichsverfahren, das der oben angegebenen Effektivzinsformel zu Grunde liegt, ist die Folge der monatlichen Belastungen b 1, b 2,..., b m arithmetisch degressiv, wenn wir monatliche Zahlung der fälligen Zinsen und der Tilgungsrate 1 S annehmen, m und zwar haben wir b i = ( 1 S i 1 ) 12 m S + m 1 S, wobei % der im Vergleichsverfahren verwendete Zinsfuß ist. Aufgezinst zum Laufzeitende ist der Wert all dieser monatlichen Zahlungen b i gleich m ( i=1 1+ markt (m i) 12 ) b i = m i=1 b i + markt 12 m [ (m i) i=1 12 b. ( S i 1 m S ) + 1 m S ], und die Berechnung dieser Summe kann man zurückführen auf die Summe einer arithmetischen Folge und auf die Quadratzahlensumme m i=1 i2 = 1 m(m+1)(2m+1) (die ihrerseits 6

20 92 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler mit Hilfe der Darstellung i 2 = 1 3 [(i+1)3 i 3 ] i 1 auf eine arithmetische Summe reduziert werden kann). Wir wollen diese Rechnung hier nicht weiter ausführen man sieht 3 immerhin, dass außer den Summen von arithmetischen oder geometrischen Progressionen noch andere Summenberechnungen in der Finanzmathematik erforderlich sind, hier z.b. die Summe der ersten m Quadratzahlen. Die durch relativ komlexe Formeln wie oben ermittelten auf- oder abgezinsten Werte aller Zahlungen auf einen gemeinsamen Bezugszeitunkt muss man eigentlich zu Grunde legen, wenn einen ökonomisch wirklich sinnvollen Vergleich zwischen verschiedenen Entscheidungsalternativen anstellen will. Bei simlen Teilzahlungskrediten werden Kalkulationen dieser Genauigkeit natürlich selten durchgeführt; man kann sich dabei mit dem Vergleich des Effektivzinses, also mit dem Vergleich der Gesamtzuzahlung, durchaus zufrieden geben. Bei Entscheidungen über große Investitionen aber, wo es darum geht, den Kreditund Investitionskosten die erwarteten Gewinne gegenüber zu stellen und die Rendite mit derjenigen zu vergleichen, die man bei Anlage der Eigenmittel zu marktüblichen Zinsen erzielen würde, ist es unbedingt erforderlich, die Kreditkosten und die erwarteten Gewinne zu einem fixierten zukünftigen Zeitunkt aufzuzinsen. Für eine ausführliche Behandlung der Investitions- und Kursrechnung verweisen wir auf Lehrbücher zur Finanzmathematik (z.b. von Bosch oder Köhler). Die Aussagekraft einer finanzmathematisch berechneten Bewertungszahl für einen Wirtschaftsvorgang sollte man im Übrigen nicht überschätzen; sie liefert ja nur eine einzige Zahlenangabe zur Bewertung eines komlexen Sachverhalts. Finanzmathematisch berechnete Bewertungszahlen für ökonomische Vorgänge ermöglichen nur die Beurteilung unter einem einzigen Gesichtsunkt. Solche Bewertungszahlen sind daher nicht als alleinige Grundlage einer Entscheidung geeignet. Basis einer sinnvollen ökonomischen Entscheidung muss neben einer kritischen Prüfung der vorliegenden Bewertungszahlen immer auch eine Gesamtbeurteilung des ökonomischen Vorgangs sein. So wird auch schon ein Kreditnehmer bei seiner Entscheidung für ein Kreditangebot neben dem Effektivzinsvergleich oder dem Vergleich von ökonomisch sinnvoller erscheinenden Bewertungszahlen, wie der Summe aller zum Laufzeitende aufgezinsten Zahlungen, noch andere Gesichtsunkte heranziehen, die seine individuelle ökonomische Situation betreffen. Z.B. kann er sich wegen der geringeren Höhe seiner monatlichen Belastung für einen Kredit mit längerer Laufzeit entscheiden, auch wenn er dabei eine höhere Gesamtzuzahlung hat. Mit der oben negativ formulierten Einschätzung der Aussagekraft finanzmathematischer Bewertungsverfahren wollen wir natürlich nicht sagen, dass die Berechnung von Bewertungszahlen für ökonomische Vorgänge generell überflüssig oder sinnlos sei. Immerhin sind Bewertungszahlen die einzige Grundlage für eine quantitativ vergleichenden Beurteilung verschiedener ökonomischer Entscheidungsalternativen und damit eine wertvolle Entscheidungshilfe. Man muss sich aber bewusst sein, dass auch in finanzmathematische Bewertungsverfahren Annahmen über die Zukunft eingehen (z.b. über erwartete Absätze oder über die Entwicklung der marktüblichen Zinssätze für Einlagen bzw. Kredite), und dass ihre Ergebnisse, auch wenn sie mit beeindruckenden wissenschaftlichen Formeln berechnet sind, mit denselben Unsicherheiten behaftet sind wie die den Berechnungen zu Grunde liegenden Schätzungen.