Vektorrechnung Einführung

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1 Vektorrechnung Einführung In der Phsik treten häufig Größen wie Kraft und Geschwindigkeit auf, die sich nicht nur durch eine Zahl erfassen lassen. Sie besiten neben einem bestimmten etrag noch eine Richtung und werden daher durch Pfeile dargestellt. Fürs erste beschränken wir uns auf diejenigen Pfeile, deren nfangspunkt im Koordinatenursprung liegen. Diese Pfeile können in eindeutiger Weise durch die Koordinaten ihres Endpunkts ( ) erfasst werden. Zur Unterscheidung von den Punkten werden die Koordinaten der Vektoren untereinander geschrieben. Vektoren können addiert werden. ( = ) ( ) + ( ) = ( ) im Raum: + 5 = Der Summe entspricht der Resultierenden des Parallelogramms, das von den u addierenden Vektoren aufgespannt wird. Vektoren können mit einer Zahl multipliiert werden: ( ) = ( ) 6 = Da Zahlen in der Vektorrechnung ur Unterscheidung Skalare genannt werden, heißt diese Multiplikation Skalarmultiplikation (später lernen wir ein Vektorprodukt kennen). Für Skalare werden neben r,s und t die griechischen uchstaben λ lambda und µ m verwendet. ufg. Zeichne die Vektoren: + a) = 5 b) = c) c = Die Grundlagen der Vektorrechnung schufen W. Hamilton (805-65) und H. Graßmann (809-77). Die Vektorrechnung bildet usammen mit der Differential- und Integralrechnung das Fundament der höheren Mathematik. nwendungen finden wir in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften. Falls es an Vorstellungskraft mangelt, nehme man wei Schuhkartons. Es reicht auch ein Karton mit Deckel.

2 Was ist ein Vektor? Wir unterscheiden Vektoren der Ebene und des Raumes. ( ) Vektoren sind entweder Elemente des R,.. =, oder des R,.. =, beachte die Spaltenschreibweise. Vektoren in der Verwendung als Ortsvektoren (theoretisch ausreichend, aber völlig unpraktisch) werden durch Pfeile dargestellt, die im Ursprung des Koordinatensstems beginnen und u einem Punkt führen. Punkte,.. ( ) oder ( ) sind von den Vektoren u unterscheiden. eachte die Zeilenschreibweise. Werfen wir noch einmal einen lick auf die ddition von Vektoren,.. ( ) ( ) ( ) ( ) + + b = + = = + + Die Summe ergibt sich, indem die - und -Koordinate von um, bw. um vergrößert wird. Der Pfeil von wird parallel verschoben an den Pfeil von angehängt. + Der besseren nschauung halber eichnen wir den verschobenen Pfeil von. In allen unklaren Situationen erinnern wir uns daran, dass die u Vektoren gehörenden Pfeile im Ursprung beginnen. Die aneinandergehängten Pfeile verdeutlichen jedoch, dass bei der ddition von einem Vektor ausgegangen werden kann und der andere Vektor die Koordinatenänderungen angibt. Werden wei Punkte durch einen Pfeil verbunden, so beeichnet den Vektor, der u dem in den Ursprung verschobenen Pfeil gehört. In diesem eispiel ist = ( ) ist der Vektor, der u O addiert, O ergibt, kürer, O + = O, d. h. = O O = Spite minus Fuß gibt die Richtung an, um von nach u kriechen. O Ursprung O, lat. origo, engl. origin vector (lat.) Träger, trägt (verschiebt) nach

3 Vektoraddition Die aneinandergehängten Pfeile verdeutlichen, dass bei der ddition von einem Vektor ausgegangen werden kann und der andere Vektor die Koordinatenänderungen angibt. Hierfür gibt es wei Möglichkeiten. + = ( ) + ( ) = ( ) + = + ( ) = c Sind umgekehrt ein Summand und die Summe c gegeben, so kann der. Summand leicht ermittelt werden. + = ( a a ) ( ) ( ) c + = c = = ( ) ( ) c a = = c c a c c = + c c

4 Summe von Vektoren + + c+ d+ e = ,5,5 0 0,5 0,5 Erläutere die bbildungen.

5 Summe von Vektoren + + c+ d+ e = ,5,5 = 0,5 0,5 0 0,5 0,5 Erläutere die bbildungen. Die Reihenfolge wird für die eeichnungen beibehalten. d c e d e c Die untere Darstellung veranschaulicht die ddition, die Summe ist unmittelbar u erkennen. Mit jedem Vektor kann begonnen werden, die übrigen geben die Koordinatenänderungen an. 0 Wir können uns auch vorstellen, stets als. Summand mit dem Nullvektor 0 = 0 u beginnen, dann gibt jeder Vektor eine Koordinatenänderung an. 0 Der Nullpunkt wird hierdurch schrittweise verschoben. 5

6 Zusammengefasst Mit Vektoren a b, a,b,c R, werden Punkte im Raum erfasst,.. ( ) mit =. c Hier spricht man von einem Ortsvektor. Oder es wird mit dem Verbindungsvektor = die Richtung wischen Punkten beschrieben, genauer: Zum Ortsvektor muss addiert werden, um den Ortsvektor von u erhalten, + =. Die -Koordinate von wird um vergrößert, die -Koordinate um und die -Koordinate um. b b b + c b c b c b = c c c 6

7 a a a + b b b = c c c verschiedene geometrische Sichtweisen Die ddition von Vektoren kann - je nach Verwendung - unter verschiedenen lickwinkeln betrachtet werden. a) gebunden O + O = O + = b) gebunden mit Verbindungsvektor O + = O + = c) frei E + = DE D 7

8 Rechnen mit Vektoren M estimme den Mittelpunkt der Strecke mit (,5) und (,5). 8

9 Rechnen mit Vektoren M OM= O + M = +, M( ) M OM= ( O + O) M = ( + ) 9

10 Rechnen mit Vektoren E H F G D Von einem Spat (gescherter Quader) sind die Eckpunkte (0 0 0), ( 0), D( ) und H( ) gegeben. estimme die Koordinaten der anderen Eckpunkte. 0

11 Rechnen mit Vektoren E H F G D Von einem Spat (gescherter Quader) sind die Eckpunkte (0 0 0), ( 0), D( ) und H( ) gegeben. estimme die Koordinaten der anderen Eckpunkte. (5 0 ) E( ) F( 5) G( ) O = D = O OD OE = DH = OH OD OF = O + OE = D = D E = DH = H D F = +E

12 Rechnen mit Vektoren S s D d M Stelle die Vektoren S, S, MS und mit Hilfe der Vektoren, d und s dar.

13 Rechnen mit Vektoren S s D d M Stelle die Vektoren S, S, MS und mit Hilfe der Vektoren, d und s dar. S = s S = ( + d)+ s MS = (+ d)+ s = d

14 Rechnen mit Vektoren S E H F c G D In dem abgebildeten Haus haben alle Kanten die gleiche Länge. Stelle die folgenden Vektoren als Linearkombination der (asis-)vektoren, und c dar. D DF F FS HS S

15 Rechnen mit Vektoren S E H F c G D In dem abgebildeten Haus haben alle Kanten die gleiche Länge. Stelle die folgenden Vektoren als Linearkombination der (asis-)vektoren, und c dar. D= DF = + c F = c FS = ( )+ c HS = ( )+ c S = ( )+(+ ) c 5

16 nmerkungen ur Didaktik Für einen reibungslosen Einstieg in die Vektorrechnung können Vektoren = a b unächst durch Pfeile, die vom Ursprung ausgehen, veranschaulicht werden. c Die ddition von Vektoren enthüllt die weite mögliche Interpretation eines Vektors: er beinhaltet die Koordinatenänderungen eines Summanden, siehe Seite. Die ugehörigen Pfeile geben dann eine Richtung an und sind damit nicht mehr notwendigerweise an den Ursprung gebunden. In dieser Darstellung begründet sich lettendlich die nschaulichkeit der Vektorrechnung. Das sperrige Hantieren mit Pfeilklassen, bei denen ein Ortsvektor kein Vektor, sondern ein Repräsentant eines Vektors ist, ist nicht empfehlenswert. Die verschiedenen eeichnungen für Vektoren wie Ortsvektor O (Stütvektor), Verbindungsvektor (Verschiebungsvektor), Richtungsvektor u (die Länge ist unerheblich) ergeben sich daraus, ob in erster Linie ein Punkt oder eine Richtung festgelegt werden soll. Für Vektoren sind beide Interpretationen (gleicheitig) möglich. Vektoren sind daher von wittriger Natur. Neben der eeichnung legt der nwendungskontet den Verwendungsschwerpunkt nahe. Zu jedem Punkt P und u jedem Vektor gibt es einen Punkt Q, der sich durch Verschiebung von P ergibt, d.h. durch btragen des Vektors von P aus, kur (P) = Q ( operiert auf den Punkten). Die hierfür gelegentlich anutreffende Schreibweise Q = P + hat ur Folge, dass in der inhaltlich richtigen Gleichung P+(+ ) = (P+)+ die dditionseichen unterschiedliche edeutung haben, ntragen eines Vektors und Vektoraddition. Der Gleichung Q = P+ kann aber auch das Rechnen mit Zahlentripeln (a b c) bw. Zahlenpaaren ugrunde liegen, die lediglich unterschiedlich interpretiert werden, als Punkt und als Vektor (Malle 005). Vertikal geschrieben sähe das.. so aus: ( ) Q = P + Hier ist keine ddition von Punkt und Vektor gemeint, sondern.. die Übereinstimmung: ( ) ( ) ( ) 5 = + oder (unübersichtlich) bei Malle (5 ) = ( )+ ( ) Nachteilig ist, dass sich die Semantik von = + nicht in der Schreibweise widerspiegelt. Zudem ist die Notation nicht mehr eindeutig (Punkt oder Zahlentripel). Üblicherweise wäre.. OQ = OP + korrekt, von SchülerInnen manchmal mit Q = P+ abgekürt. Für OQ kann Q verwendet werden,.. Q = P + oder minimalistisch: Q = P + a Vorstellung: a wird an P angetragen, man erhält Q. Wird a an den Nullpunkt angetragen, so wird der Vektor in dieser Verwendung als Ortsvektor beeichnet und bestimmt damit einen Punkt im Raum. Eine Geradengleichung hätte die Form p = a +su oder p = a +s(b a ). 6

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