Gesetze der Großen Zahl und Zentraler Grenzwertsatz

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1 Kapitel 5 Gesetze der Große Zahl ud Zetraler Grezwertsatz Seie X,X,... uabhägige, idetisch verteilte reelle Zufallsvariable mit Var[Xi 0,. Wir betrachte S := X i i= ud frage ach de typische Werte, die S aimmt. Wir werde sehe, dass für große die Werte vo S ahe am Erwartugswert E[S =E[X kozetriert liege. Jetzt stellt sich die Frage, wie ahe eigetlich ahe am Erwartugswert geau ist. Klar ist Var[S =Var[X. Also ist für S := S E[S Var[X Var[S =für alle N. Dies legt ahe, dass die typische Fluktuatioe vo S um E[S vo der Größeordug sid. Wir werde sogar geauer sehe, dass die Verteiluge vo S kovergiere. 5. Schwaches Gesetz der große Zahl Defiitio 5. Seie Y,Y,Y,... reelle Zufallsvariable. Wir sage, dass Y N stochastisch gege Y kovergiert, i Formel Y Y stoch., falls lim sup P[ Y Y >ε=0, für alle ε>0. 5. Wir sage, dass Y N fast sicher gege Y kovergiert, i Formel: Y Y f.s., falls [{ P ω : } lim ω =Y ω =. 5. Satz 5. Gilt Y Y f.s., so gilt Y Y stochastisch. Die Umkehrug gilt im Allgemeie icht. 87

2 88 Gesetze der Große Zahl ud Zetraler Grezwertsatz Beweis Seie für ε 0 A ε := {ω : lim sup Y ω Y ω ε} ud A ε,n := {ω : Y ω Y ω εfür alle N}. Da A ε,n A ε für ei A ε ud für ε>0 Daher ist A = = A = = A A ε A ε A ε. = A = A 0 = {ω : Y ω = lim Y ω}. Speziell ist A 0 messbar, also ei Ereigis, ud ach Voraussetzug ist P[A 0 =. Wege A ε A 0 folgt P[A ε=für jedes ε>0, also P[A ε,n N. Damit gilt P[ Y N Y >ε P[A c ε,n N N 0, also Y N Y stochastisch. Sei u Ω=[0, ud P = U [0, die Gleichverteilug auf Ω. Für k = + m mit m {0,..., } sei Y k := [m,m+. Da ist für ε>0 P[Y k >ε= 0, we k. Also gilt Y k 0 stochastisch. Adererseits gilt lim if k Y k ω =0ud lim sup k Y k ω =für alle ω. Daher kovergiert Y k icht fast sicher. Satz 5.3 Sei a N eie reelle Folge, für die ei Grezwert a = lim a existiert. Ferer seie X, X,X,... ud Y,Y,Y,... reelle Zufallsvariable mit X X stochastisch ud Y Y stochastisch. Da gelte i ii X + Y X + Y a X ax stochastisch. stochastisch. iii Gilt X 0 ud ist a ur beschräkt ud icht otwedigerweise koverget, so gilt a X 0 stochastisch. Gilt sogar X X f.s. ud Y Y f.s., so gilt i i-iii jeweils die fast sichere Kovergez. Beweis Wir betrachte zuächst die fast sichere Kovergez. Seie A := {ω : X ω Xω} ud B := {ω : Y ω Y ω}. Nach de elemetare Recheregel für Grezwerte gelte u X ω+y ω Xω+Y ω ud so weiter für jedes ω A B. Wege P[A B =ach Voraussetzug folge die Aussage i iii. Sei u die stochastische Kovergez betrachtet.

3 5. Schwaches Gesetz der große Zahl 89 i Sei so groß, dass P[ X X >ε/ <ε/ ud P[ Y Y >ε/ <ε/. Nach der Dreiecksugleichug gilt da P[ X + Y X + Y >ε P[ X X >ε/ + P[ Y Y >ε/ ε. Daher gilt X + Y X + Y stochastisch. ii Sei ā := sup N a <. Sei ε>0ud K< so groß, dass [ P X > εk < ε. Sei N so groß, dass a a K ud P[ā X X >ε/ <ε/für alle N. Da ist für N P[ a X ax >ε P[ a a X >ε/ + P[ a X X >ε/ P[ X >εk/ + P[ā X X >ε/ Also gilt ii. iii Dies geht aalog zu ii. ε + ε = ε. Defiitio 5.4 Seie X,X,...reelle Zufallsvariable i L P. Wir sage, dass X N eiem schwache Gesetz der große Zahl geügt, falls i= X i E[X i 0 stochastisch. Wir sage, dass X N eiem starke Gesetz der große Zahl geügt, falls i= X i E[X i 0 fast sicher Satz 5.5 Schwaches Gesetz der große Zahl Seie X,X,...ukorrelierte Zufallsvariable i L P mit V := sup N Var[X <. Da geügt X N eiem schwache Gesetz der große Zahl. Es gilt sogar für jedes ε>0 [ P X i E[X i ε V, N. 5.3 ε i= Gilt speziell E[X i =E[X für alle i N, so gilt i= X i E[X stochastisch.

4 90 Gesetze der Große Zahl ud Zetraler Grezwertsatz Beweis Setze S := X i E[X i. Da ist E[S =0ud ach der Bieaymé-Gleichug Satz 3.5 i= Var[S = i= Nach der Tschebyscheffugleichug Satz 3.30 ist u Var[X i V. P[ S ε V ε. Beispiel 5.6 Weierstraß scher Approximatiossatz Sei f :[0, R eie stetige Abbildug. Nach dem Weierstraß sche Approximatiossatz existiere Polyome f vom Grad höchstes, so dass f f 0, wobei die Supremumsorm auf C[0, bezeichet. Wir führe hier eie probabilistische Beweis dieser Aussage durch. Für N sei das Polyom f defiiert durch k f x := f x k x k, x [0,. k k=0 Dieses Polyom heißt Berstei-Polyom der Ordug. Sei ε>0fest gewählt. Da f auf [0, stetig ist, ist f sogar gleichmäßig stetig. Es existiert also ei δ>0, so dass fx fy <ε, für alle x, y [0, mit x y <δ. Sei u p [0, fest gewählt, ud seie X,X,...uabhägige Zufallsvariable mit X i Ber p, i N. Da ist S := X X b,p ud deshalb Wir erhalte E[fS / = f k=0 ud daher mit Satz 5.5 mit V = p p 4 für alle p [0,. Also gilt f f 0. k P[S = k =f p. fs / fp ε + f S p δ f p fp E[fS / fp [ ε + f P S p δ ε + f δ,

5 5. Große Abweichuge 9 5. Große Abweichuge Wir wolle i eiem Spezialfall die Wahrscheilichkeit für Abweichuge besser quatifiziere als i Satz 5.5. Satz 5.7 Große Abweichuge Seie X,X,...,uabhägige idetisch verteilte reelle Zufallsvariable. Es gebe ei α>0so dass E[e αx <. Sei m := E[X ud S := X X. Da existiert für jedes ε>0ei C>0mit der Eigeschaft [ P S m >ε e C, N. 5.4 Beweis Ohe Eischräkug sei m =0. Wir zeige u P[ S >ε e C, N, 5.5 für ei C>0. Die adere Aussage folgt aalog mit eiem evetuell adere Wert vo C. Wir fixiere ei β 0,α/ ud erhalte mit der Markoff-Ugleichug Satz 3.30 mit ft =e βt für ε>0 [ P S >ε = P[X X >ε = P[e βx+...+x >e βε E[e βx+...+x e βε = E[e βx e βε < =: exp I β,ε, wobei I β,ε = βε loge[e βx. Wir müsse u zeige, dass für hireiched kleies β>0gilt: I β,ε > 0. Wir mache die folgede Vorbetrachtuge. Tayloretwicklug bis zur erste Ordug liefert e x x e x x, x R. 5.6 Eie eifache Kurvediskussio liefert sup x e x = 4 x R e. Setze wir c := 6 α e, so gilt also x ce α x /, x R. 5.7 Setze wir u och c := c E[ e α X, so bekomme wir E[e βx =+E[βX +E[e βx βx }{{} =0 + β E[ X e βx + β c E[ e α X / e βx +β [ c E[ e α X =+ cβ.

6 9 Gesetze der Große Zahl ud Zetraler Grezwertsatz Also ist für β< c/ε wege log + x x für x> I β,ε βε log + cβ εβ cβ > 0. Bemerkug 5.8 I mache Fälle ist es möglich, das bestmögliche C i Abhägigkeit vo ε geau auszureche. Ma bekommt da Aussage vo dem Typ lim log P[ S >a= Ia, für a>e[x ud lim log P[ S <a= Ia, für a<e[x. Eie solche Aussage heißt Prizip der große Abweichug für S mit Ratefuktio I. Beispiel 5.9 Seie X,X,...uabhägig ud idetisch verteilt mit X N 0,. Da gilt E[e α X = π / e x e x / dx 0 =e /4 π / e x / dx 0 e / <. Also sid die Voraussetzuge vo Satz 5.7 erfüllt. Wir köe die Zahl C i Abhägigkeit vo ε i diesem Fall geau quatifiziere. Sei ϕt :=π / e t /. Wir bemerke Übug!, dass für x>0 gilt x + x ϕx P[X x ϕx. 5.8 x Es gilt u wege / S d = X N 0, für >a P[ S >a=p[s >a=p[x >a { a / ϕa a / ϕa. Also gilt lim log P[ S >a = lim log ϕa = a. Beispiel 5.0 Seie X,X,...uabhägig ud idetisch verteilt, X Poi λ für ei λ>0. Da ist E[e α X = k=0 e λ λeα k k! = e λ e λeα < α R. Aus Beispiel 3.3 wisse wir, dass wege S Poi λ für a>λ= E[X gilt P [ S >a a = P[S >a exp a λ a log. λ

7 5.3 Starkes Gesetz der große Zahl 93 Also gilt log P[ S >a a λ a loga/λ. 5.9 Für die umgekehrte Ugleichug beötige wir die Stirlig-Formel siehe z.b. das Buch vo Kregel, die wir im ächste Abschitt i och geauerer Form zitiere siehe Satz 5.5,! π, 5.0 e wobei wir a b schreibe für lim a /b =. Wir erhalte so lim if Zusamme mit 5.9 erhalte wir für a>λ log P [ S >a lim if log P [ S = a + = lim if e log λ λ a + a +! = lim if e log λ λa a/e a a λe = lim if log e λ a λe = λ + a log a a = λ + a a log. λ lim log P[ S = Ia mit Ia =a λ + a loga/λ. 5.3 Starkes Gesetz der große Zahl Wir wolle i diesem Abschitt ei starkes Gesetz der große Zahl GGZ i eiem eifache Fall beweise. Zum Aufwärme zeige wir, wie ma aus dem Satz über große Abweichuge Satz 5.7 ei starkes Gesetz der große Zahl herleite ka, jedefalls für uabhägige, idetisch verteilte Zufallsvariable, die ei expoetielles Momet besitze. Daach wolle wir das starke Gesetz der große Zahl für idetisch verteilte, quadratitegrable ud ukorrelierte Zufallsvariable beweise. Satz 5. Starkes GGZ bei expoetielle Momete Seie X,X,..., uabhägige idetisch verteilte reelle Zufallsvariable. Es gebe ei α>0so dass E[e αx <. Da erfüllt X N das starke Gesetz der große Zahl: i= X i E[X, fastsicher.

8 94 Gesetze der Große Zahl ud Zetraler Grezwertsatz Beweis Ohe Eischräkug sei E[X =0. Sei S = X X ud sei für jedes ε>0eie Zahl C ε > 0 wie i Satz 5.7 gewählt mit P[ S >ε e Cε, N. Da gilt = P[ S >ε e Cε <. Nach dem Borel-Catelli Lemma gilt also P[ S >εfür uedliche viele =0. = Daher ist [ P lim sup S >ε =0, ε >0. Also gilt [ [ P lim sup S { 0 = P lim sup S } =. k k= Mit dem selbe Argumet für S erhalte wir [ P lim if S 0 =, also S 0 fast sicher. Der vorige Satz braucht recht starke Aahme a die Zufallsvariable, um das starke Gesetz der große Zahl achzuweise. Der Vorteil dabei ist, dass der Beweis des Satzes halbwegs simpel ist. Der folgede Satz beutzt sehr viel schwächere Aahme ud hat eie kompliziertere Beweis. Ma kommt mit och gerigere Voraussetzuge aus, allerdigs wolle wie die Sache hier icht zu weit is Detail verfolge. Satz 5. Starkes GGZ für ukorrelierte Zufallsvariable Seie X,X,... ukorrelierte Zufallsvariable i L P mit V := sup N Var[X <. Da gilt X i E[X i 0 i= fast sicher. Beweis Wir köe ohe Eischräkug aehme, dass E[X =0für alle N. Wir setze wieder S = i= X i ud S = S. Schritt Wir zeige zuächst ur die fast sichere Kovergez vo S etlag eier Teilfolge, ämlich S Nach Satz 5.5 gilt P[ S ε V ε. Also gilt = 0 fast sicher. 5. P[ S ε <.

9 5.3 Starkes Gesetz der große Zahl 95 Wie im Beweis vo Satz 5. erhalte wir 5.. Schritt Für jedes m N wähle wir = m so, dass m< +. Wir wolle u S m mit S m vergleiche. Die Tschebyscheff-Ugleichug liefert P[ S m S >ε ε 4 Var[ Dies köe wir über m summiere ud erhalte m i= + P[ S m S m >εm V ε m= = V ε = V ε = k= = Wieder liefert das Borel-Catelli Lemma [ S m P m S m k 4 = X i m V ε 4. + m= + 4 <. 0 m =. m 4 Nach Satz 5.3i mit X m = S m/m ud Y m = S m folgt hieraus zusamme mit 5. S m m m 0 fast sicher. Wieder ach Satz 5.3ii mit a m = m /m m folgt S m = a m S m m m 0 fast sicher. Beispiel 5.3 Für p {, 3, 4,...} ud x [0, sei X p i x die i-te Ziffer der icht-abbrechede p- adische Etwicklug vo x i N. Wie häufig taucht eie gegebee Ziffer q i der p-adische Etwicklug eier typische Zahl x auf? Um diese Frage zu beatworte, müsse wir sie erst eimal korrekt stelle, also kläre, was typisch heiße soll. Sei dazu Ω=[0, ud P = U [0, die Gleichverteilug. Für q {0,,...,p } ud N sei R p,q x = #{i : Xp i x =q} die relative Häufigkeit der Ziffer q uter de erste Ziffer der p-adische Etwicklug vo x. Usere Frage lautet u: Kovergiert R p,q x für, we ja wogege ud i welchem Sie stochastisch, fast sicher? I Beispiel.30 hatte wir gesehe, dass X N uabhägig ud idetisch verteilt sid, ämlich Beroulli mit Parameter. Das gleiche Argumet wie dort zeigt, dass, für festes p die Zufallsvariable Xp N uabhägig sid ud idetisch verteilt mit P[X p = q = p für jedes q {0,...,p }. Speziell ist für

10 96 Gesetze der Große Zahl ud Zetraler Grezwertsatz Y p,q Y p,q := X p =q die Familie Y p,q N uabhägig ud Y p,q folgt aus dem starke Gesetz der große Zahle Satz 5. Ber /p. Wege R p,q = p,q Y R p,q p fast sicher. Sei ud A p,q := {x [0, : A := p= q=0 lim Rp,q x = p } Eie Zahl x A heißt ormale Zahl. Wege P[A p,q =ist P[A =. Wir habe also de folgede Satz gezeigt: Satz 5.4 Borel sches Gesetz über ormale Zahle Uter der Gleichverteilug P = U [0, auf [0, hat die Mege der ormale Zahle Wahrscheilichkeit. Isbesodere gibt es mehr als abzählbar viele ormale Zahle. p A p,q. 5.4 Zetraler Grezwertsatz I diesem Abschitt wolle wir zuächst eie Approximatiosformel für die Biomialverteilug agebe de so geate Satz vo de Moivre ud Laplace. Hierfür beötige wir eie asymptotische Formel für die Fakultät großer Zahle. Daach werde wir Aweduge sehe sowie eie allgemeiere Approximatiossatz für Summe uabhägiger idetisch verteilter quadratitegrabler Zufallsvariable, de so geate Zetrale Grezwertsatz. Wir begie damit, dass wir die Stirlig-Formel i der folgede Form ohe Beweis agebe. Eie Beweis fidet ma beispielsweise i dem Buch vo Kregel. Satz 5.5 Stirlig-Formel Sei η := π e, N. Da gilt! =η e ϱ, 5. wobei + <ϱ <, N. a Sid a ud b reelle Folge, so schreibe wir a b, falls lim b =. Es gilt also speziell! π. 5.3 e Dies hatte wir scho i Beispiel 5.0 beötigt. Seie u X,X,... uabhägige idetisch verteilte Zufallsvariable, X Ber p für ei p 0, ud S = X X. Zuächst betrachte wir zur Vereifachug der Rechug ur de Fall p =. Da ist E[S = ud für eie Folge a gilt [ S P >a { 0, falls a /,, falls a /

11 5.4 Zetraler Grezwertsatz 97 Der erste Teil folgt hierbei direkt aus der Tschebyscheff-Ugleichug Satz 3.30: [ S P >a Var[S a = 4a. Für de zweite Teil der Aussage beachte ma P[S = k = k. Die Abbildug k k immt ihre maximale Wert a bei k = /, ud es gilt ach der Stirlig-Formel π /e / π/e =. π/ Daher gilt [ S P >a = k k Z: k / a a + / a +,. π/ Für a / 0 gilt also der zweite Teil i 5.4. Isgesamt habe wir jetzt heraus gefude, dass die Fluktuatioe vo S um de Erwartugswert tatsächlich vo der Größeordug sid. Wir wolle jetzt zusätzlich zur Größe auch och die Gestalt der Fluktuatioe utersuche. Dazu defiiere wir die Dichte der Stadardormalverteilug ϕx = e x /, x R π sowie dere Verteilugsfuktio Φx :=N 0,,x = x ϕt dt, x R. Der folgede Approximatiossatz für die Biomialverteilug b,p geht auf de Moivre 733 für de Fall p = ud auf Laplace 8 für de allgemeie Fall p 0, zurück. Satz 5.6 Sei p 0,, ud für k N 0 sei x k := lim max k: x k c k p p p. Da gilt für alle c>0 p p b,p {k} = ϕx k Beweis Seie C N 0, N ud a k N sowie b k N, k N, positive reelle Folge. Wir sage, dass a k b k, gleichmäßig i k C gilt, falls lim sup a k k C b k =0, oder, äquivalet, falls lim sup loga k logb k =0. k C

12 98 Gesetze der Große Zahl ud Zetraler Grezwertsatz Wir wede diese Sprechweise a auf C = { k N 0 : x k c } = { k N 0 : p c p p k p + c } p p. Ma beachte, dass mic. Daher gilt ach der Stirlig sche Formel gleichmäßig i k C b,p {k} =p k p k! k! k! p k p k /e k π k/e k k/e k πk π k p k k p,. k k k k π Nu ist ebefalls gleichmäßig i k C k k. p p Es reicht also zu zeige, dass gleichmäßig i k C gilt p k k p χ, k := e xk /,. k k Setze t t ft := t log + t log, t 0,. p p Da ist logχ, k = fk/. Wir etwickel f i eie Taylorreihe um p: fp =0 f p =0 f p = p + p = p p. Daher ist ft = p p t p + Rt wobei für die Abschätzug des Restglieds für jedes ε>0ei D ε < existiert mit Rt D ε t p 3 für alle t mit t p <ε. Für > c p p ε sup k: x k c gilt wege k p x p p = <ε log χ, k+ x k k sup k: x k c p p p x k }{{} =0 = D / 0, c 3 p p 3/ + D ε. 3/

13 5.4 Zetraler Grezwertsatz 99 für D = D ε c 3 p p 3/. Dies aber impliziert 5.5 ud beedet de Beweis. Als Folgerug aus Satz 5.6 erhalte wir: Korollar 5.7 Seie X,X,...uabhägig ud X i Ber p für ei p 0,. Sei S := X +...+X ud S := S p. p p Da gilt für a<b lim P[ S [a, b =Φb Φa =N 0, [a, b. 5.6 Beweis Seie zuächst a, b R. Da ist lim P[ S [a, b = lim = lim = k: x k [a,b k: x k [a,b b a b,p {k} ϕx k p p ϕx dx =Φb Φa, de die Summe ist eie approximierede Riema-Summe für das Itegral. Die Fälle a = ud b = bleibe als Übug. Beispiel 5.8 Korrekturterme Seie k, l N ud k<l. Wir wolle b,p {k,...,l} durch die Normalverteilug approximiere. Verwede wir Satz 5.6, so erhalte wir l ϕ i p p p b,p {k,...,l}. p p Verwede wir higege Korollar 5.7 mit a = Formel b,p {k,...,l} Φb Φa =Φ i=k k p ud b = p p l p p p Φ l p, so erhalte wir die eifachere p p k p. 5.7 p p Die Wahl vo a ud b war etwas willkürlich, de für jedes a x mit a x = k x p ud jedes b y mit p p b y = l+y p für x, y [0, ist p p { S [a x,b y } = { k x S l + y } = { S {k,...,l} }, also b,p {k,...,l} Φb y Φa x. Eie bessere Aäherug a de geaue Wert erhält ma meist, statt mit x = y =0mit de Werte x = y =. Wir ee daher die Approximatio l + b,p {k,...,l} Φ p k Φ p 5.8 p p p p

14 00 Gesetze der Große Zahl ud Zetraler Grezwertsatz die Normalapproximatio der Biomialverteilug mit Korrekturterme. Die Approximatio i 5.7 heißt etspreched die Normalapproximatio ohe Korrekturterme. Beispiel 5.9 Wahlprogose Bei eier Wahl erhält Kadidat A eie ubekate Ateil p 0, der Stimme. Um de Wert vo p zu ermittel, werte wir die erste Wahlzettel aus. Wie groß sollte sei, damit die Wahrscheilichkeit eies Irrtums vo mehr als eiem Prozetpukt icht größer als 0.05 ist? We wir Zettel auswerte, da bekomme wir S Stimme für de Kadidate A, ud S ist biomialverteilt mit Parameter ud p. Dies gilt jedefalls da, we wir die Azahl der abgegebee Stimme als so groß aehme köe, dass dagege verachlässigbar ist. Sei A das Ereigis A := { S p > 0.0}. Da soll P[A 0.05 gelte, also mit der Normalapproximatio ohe Korrekturterme [ P p p Φ 0.0 =Φ 0.0 p p p p S p p p Φ p p p p Im letzte Schritt habe wir ausgeutzt, dass Φx +Φ x = x ϕx dx + x ϕx dx =+ x 0 ϕx dx + x ϕx dx =. 0 Wir wolle also bestimme mit Φ 0.0 p p Die Werte vo Φ sid tabelliert, z.b. im Buch vo Kregel oder im Buch vo Georgii. Der Tabelle etehme wir, dass Φ Also sollte p p ausreiche. Da wir keie Vorabiformatio über de Wert vo p besitze, müsse wir mit dem schlechteste Fall reche, ämlich mit p p = 4. Es folgt, dass wir = = 9604 Zettel auswerte müsse. Eie exakte Rechug mit de Biomialkoeffiziete zeigt, dass i der Tat scho = 9600 ausreicht, de [ S9600 P 9600 > 96 = 4896 k= = < k Adererseits reiche = 9599 Stimmzettel scho icht mehr aus, de [ S9599 P > = 9599 = > k k=4704 Defiitio 5.0 Schwache Kovergez Seie µ, µ,µ,...wahrscheilichkeitsmaße auf R mit Verteilugsfuktioe F, F,F,... Wir sage: µ N kovergiert schwach gege µ, i Formel µ = µ oder µ =w lim µ, falls lim F x =F x für alle x R, i dee F stetig ist.

15 5.4 Zetraler Grezwertsatz 0 Bemerkug 5. Der Begriff der schwache Kovergez, de wir hier beschriebe habe, stimmt mit dem Begriff der schwache Kovergez für Verteiluge auf N 0, de wir i Lemma 4.5 beschriebe habe überei. Dort hieß Charakterisierug ii eie Folge µ N schwach koverget gege ei Wahrscheilichkeitsmaß µ auf N 0, falls µ {0,...,N} µ{0,...,n} für alle N N 0.Für die Verteilugsfuktioe F heißt dies F N F N für alle N N 0. Wege F x =F x für alle x R folgt, dass F x F x für alle x R. Isbesodere ist µ = w lim µ im Sie der Defiitio 5.0. Gelte u adererseits F x F x i alle Stetigkeitspukte x vo F. Klar ist F stetig i jedem Pukt x R \ N 0. Speziell ist F stetig i jedem Pukt N +, N N 0. Also gilt µ {N} =F N + F N F N + F N = µ{n}. Also ist µ N schwach koverget gege µ im Sie vo Lemma 4.5 Charakterisierug i. Satz 5. Seie X, X,X,...reelle Zufallsvariable mit X X stochastisch. Da gilt P X P X schwach. Beweis Sei x eie Stetigkeitsstelle vo F. Da existiert ei δ > 0 mit F t F x < ε t x δ, x + δ. Für hireiched groß ist P[ X X δ < ε, also P[X x P[X x, X X <δ+p[ X X δ für alle P[X x + δ+ ε F x+ε. Wir habe also lim sup F x F x. Die adere Ugleichug folgt aalog. Wir köe u Korollar 5.7 folgedermaße umformuliere: Seie X,X,...uabhägig ud X i Ber p für ei p 0,. Sei S := X X ud S := S p p p. Da gilt P S N 0, schwach. 5.9 Diese Aussage ka ma auch zeige, we ma für die eizele X i icht mehr die Beroulli-Verteilug fordert, soder lediglich, dass sie i L liege. Wir führe hier de Beweis icht, soder verweise auf die Bücher vo Kregel ud vo Georgii. Im zweite Teil des Stochastik-Zyklus kommt ei ichtelemetarer Beweis des Satzes mit Hilfe vo Fourier Trasformatioe. Satz 5.3 Zetraler Grezwertsatz Seie X,X,... uabhägige idetisch verteilte reelle Zufallsvariable mit σ := Var[X i 0,. Sei S := σ Xi E[X i. i= Da gilt P S N 0,, schwach.

16 0 Gesetze der Große Zahl ud Zetraler Grezwertsatz Dieser Satz besagt also, dass die Fluktuatioe vo S um E[S vo der Größe σ sid ud die Gestalt eier Normalverteilug habe. Dabei ist diese Gestalt uabhägig vo der Art der zu Grude liegede Zufallsvariable, solage sie quadratitegrabel sid. Der Normalverteilug kommt damit als Grezverteilug eie gaz besodere Rolle i der Wahrscheilichkeitstheorie zu. Dies wird auch deutlich durch die im Folgede besprochee Fixpukteigeschaft. Korollar 5.4 Seie X ud Y uabhägig ud idetisch verteilt mit Var[X =Var[Y =σ 0,. Ferer gelte X + Y = d X. Da gilt P X = P Y = N 0,σ. Beweis Seie X,X,... uabhägige Zufallsvariable mit P Xi = P X, i N. Seie S ud S wie d d obe. Da ist S = X ach Voraussetzug. Nu ist aber auch S4 S = X 3 + X 4 = X. Ferer d d sid X + X ud X 3 + X 4 uabhägig, also gilt S 4 = X + Y =X. Iterativ erhält ma S d = / X, also S d = σ X. Nach dem Zetrale Grezwertsatz gilt aber P S N 0, schwach. Also ist P X = N 0,σ.

17 5.5 Tabelle der Normalverteilug Tabelle der Normalverteilug Tabelle des Itegrals Φx 0.5 = x e t / dt π Agegebe sid die Matisse. Beispiel: Φ.3 = = x