26 Der Raum C([0, 1]) und Donskers Theorem

Transkript

1 26 Der Raum C[0, ] ud Doskers Theorem Ausarbeitug ud Formulieruge: Heig Sulzbach. 26. Motivatio Sei X, X 2,... eie Folge u.i.v. Zufallsvariable mit E[X ] 0 ud σ 2 : V[X ] < sowie S : X i die zugehörige Irrfahrt. Der ZGS Satz 7.3 besagt S σ d N 0,. 26. Durch lieare Iterpolatio köe wir die Irrfahrt mittels S t + t t X t zu eiem stetige Prozess auf [0, fortsetze. Desse Pfade sid stetig ud Zuwächse zwische gazzahlige Koordiate sid offesichtlich uabhägig. Der ZGS gibt Hoffug, dass der Prozess ach räumlicher ud zeitlicher vo abhägiger Skalierug icht ur für festes t, soder gar als Folge stetiger Prozesse i Verteilug gege eie Browsche Bewegug kovergiert. Dies ist die Aussage des fuktioale zetrale Grezwertsatz, auch Satz vo Dosker geat. Wir schräke us im folgede der Eifachheit halber auf das Itervall [0, ] ei ud betrachte de Prozess S t : σ S t + t t X t +, t [0, ]. Die räumliche Skalierug σ ergibt sich dabei aus dem ZGS 26.. Auch die zeitliche Skalierug sieht ma damit sofort ei. Da S /σ asymptotisch stadardormalverteilt ist, muss der Zeitpukt im Grezwert dem Pukt t eier Browsche Bewegug etspreche Der Raum C[0, ] Im folgede sei Die Norm C[0, ] : { [0, ] R stetig}. f : sup ft t [0,] macht C[0, ], zu eiem separable Baachraum, isbesodere ist der Raum polisch. Die Vollstädigkeit folgt aus der Tatsache, dass der Grezwert gleichmäßig kovergeter stetiger Fuktioe wieder stetig ist ud die Separabilität aus dem Approximatiossatz vo Weierstrass. Die Mege der Polyome mit ratioale Koeffiziete bilde eie abzählbare, dichte Teilmege. Die Projektioe π t : C[0, ] R π t f ft Stadardachschlagewerk für C[0, ] im Kotext der Wahrscheilichkeitstheorie ist das Buch vo Billigsley Covergece of probability measures.

2 sid für alle t [0, ] stetig, da gleichmäßige Kovergez puktweise Kovergez impliziert. Sei im folgede B die Borel σ-algebra auf C[0, ],. Wichtig ist folgede Äquivalez. Satz 26. Es gilt B σπ t : t [0, ]. Beweis: Die Iklusio folgt direkt aus der Stetigkeit der Projektiosabbilduge. Für die Rückrichtug beobachte ma, dass B auch vo de offee Kugel der Form B ε f {g C[0, ] : g f < ε} für f C[0, ] ud ε > 0 erzeugt wird, da jede offee Mege wege Separabilität als abzählbare Vereiigug offeer Kugel geschriebe werde ka. Nu gilt aber B ε f {g C[0, ] : g f < ε} t Q [0,] σπ t : t [0, ], { g C[0, ] : gt [ ft ε +, ft + ε ]} wobei hier die Stetigkeit der Fuktioe ausgeutzt wurde. Wir diskutiere die Aussage des Satzes kurz. Die eifache Iklusio ist auch ituitiv klar, ket ma de Prozess X, so ist auch X t für alle t bekat. Umgekehrt folgt aus der Ketis sämtlicher Projektioe X t, t [0, ], aber ur durch die Stetigkeit i Kombiatio mit der Separabilität, die Iformatio {X A} für messbares A. Zum Vergleich: Im Raum aller Fuktioe vo [0, ] ach R ist die Sachlage eie gaz adere, hier sid beide σ-algebre für die Stochastik relativ ubrauchbar. Die üblicherweise betrachtete vo de Projektioe erzeugte σ-algebra ist zwar gut kotrollierbar aber sehr klei i dem Si, dass icht eimal Ereigisse der Form {X stetig} oder {X f} für feste Fuktioe f messbar sid. Higege ist die vo der Supremumsorm erzeugte σ-algebra reichhaltig, jedoch völlig uzugäglich. Als wichtigste Folgerug aus dem Satz köe wir eisehe, dass ei W-Maß auf C[0, ] bereits durch seie edlichdimesioale Radverteiluge eideutig festgelegt ist, da das Megesystem {π t,..., π tk A, k N, 0 t... t k, A BR k } eie schittstabile Erzeuger vo σπ t : t [0, ] ud damit B bildet. Wir defiiere daher für ei Maß µ auf C[0, ] ud k N sowie Zeitpukte 0 t... t k durch µ t,...,t k A : µ π t,..., π tk A µ{f C[0, ] : f t,..., f tk A} ei W-Maß auf R k. Zwei Zufallsvariable X, Y mit Werte i C[0, ] sid demach idetisch verteilt, falls für alle k N ud 0 t... t k die Vektore X t,..., X tk ud Y t,..., Y tk als Vektore im R k idetisch verteilt sid. Defiitio 26.2 Seie µ, µ W-Maße auf C[0, ]. Da kovergiere die edlichdimesioale Verteiluge vo µ gege die vo µ, falls für alle k N ud 0 t... t k gilt µ t,...,t k w µt,...,t k. 2

3 fdd Ma schreibt µ µ. Übersichtlicher wird die Formulierug für Zufallsvariable X, X mit Werte i C[0, ]. Die edlichdimesioale Verteiluge vo X kovergiere gege die vo X falls dies für ihre Verteiluge gilt, d.h. X t,..., X t k d X t,..., X tk, ereut für alle k N ud 0 t... t k. Nach obiger Beobachtug liegt die Stärke vo fdd Kovergez dari, de mögliche Grezwert eideutig festzulege. Es gilt Satz 26.3 Seie µ, µ W-Maße auf C[0, ]. Da sid äquivalet µ w µ, µ ist straff ud µ fdd µ. Beweis: Nach dem Satz vo Prokhorov, Satz 6.6, ist Straffheit äquivalet dazu, dass die Mege {µ : } schwach relativkompakt ist, d.h. jede Teilfolge vo µ hat eie Teilteilfolge, die gege ei W-Maß auf C[0, ] kovergiert. Schwache Relativkompaktheit ud damit Straffheit folgt demach sofort aus schwacher Kovergez. Weiter folgt fdd Kovergez, da die Abbildug f π t f,..., π tk f stetig ist, aus dem Cotiuous Mappig Theorem, Satz 4.8. fdd Ageomme µ sei straff, µ µ ud µ kovergiere icht schwach gege µ. Da existiert aber auch eie Teilfolge µ, die gege ei vo µ verschiedees fdd fdd Maß ν kovergiert. Wege µ µ ud µ ν stimme die edlichdimesioale Verteiluge vo µ ud ν überei, demach folgt µ ν, ei Widerspruch Das Wieer Maß ud der Satz vo Dosker Wir habe im letzte Abschitt eie Browsche Bewegug kostruiert, d.h. eie Prozess B t t 0 auf eiem W-Raum Ω, Ā, P, so dass die vier Bediguge zu Begi vo Kapitel 24 erfüllt sid. Da existiert aber auch ei Mege Ω Ω mit PΩ, so dass B t t 0 für alle ω Ω stetig ist. Mit der Spur σ-algebra A Ā Ω ud der Eischräkug P vo P auf Ω, A ist B t t 0 eie stetige Browsche Bewegug auf dem W-Raum Ω, A, P. Defiitio 26.4 P Bt t [0,], d.h. die Verteilug der Browsche Bewegug auf [0, ], heißt Wieer Maß auf C[0, ]. Im folgede sei B eie C[0, ]-wertige Browsche Bewegug. Satz 26.5 Doskers Ivariazprizip Es gilt S d B i C[0, ],. Der Begriff Ivariazprizip ist ählich wie beim ZGS dadurch motiviert, dass lediglich Erwartugswert ud Variaz vo X asymptotisch vo Bedeutug sid. Weitere Eigeschafte der Verteilug spiele keierlei Rolle. Der Satz folgt mit Satz 26.3 aus de folgede Propositioe. 3

4 fdd Propositio 26.6 Es gilt S B. Propositio 26.7 P S ist straff. Wir begie mit der viel! eifachere Propositio 26.6 ud betrachte dazu de Stufeprozess S t σ S t. Zeitpukte 0 t < < t k falle für hireiched große i verschiedee Itervalle der Form [i /, i/, daher sid die Zufallsvariable S t, S t 2 S t,..., S t k S t k für große uabhägig. Es gilt aber für i k mit t 0 : 0 S t i S t i d σ t i i t i + t i t i X i σ ti t i + σ X i t i t i i t i t i + t i t i σ 2 X i t i t i X i Die beide Summade sid uabhägig ud für festes ist die zweite Summe etweder 0 oder X ti t i +, i jedem Fall geht der zweite Summad stochastisch gege 0. Der erste Term kovergiert ach dem ZGS gege eie Normalverteilug mit Variaz t i t i. Nach dem Satz vo Slutzky, Satz 4.5, gilt dies auch für de gaze Term. Uabhägigkeit liefert S t, S t 2 S t,..., S t k S t k d B t, B t2 B t,..., B tk B tk Da die Abbildug R k R k, fx,..., x k x, x 2 + x, x 3 + x 2..., x k + x k stetig ist, folgt aus dem Cotiuous Mappig Theorem S t,..., S t k d B t,..., B tk. Des Weitere uterscheide sich S ud S asymptotisch icht, es gilt für t [0, ] ud ε > 0 P S t S t > ε E[ S ε2 t S t 2 ] ε 2 σ 2 E[X2 ] 0. Es folgt S t,..., S t k S t,..., S t k 0 i Wahrscheilichkeit. Der Satz vo Slutzky liefert u ud damit Propositio S t,..., S t k d B t,..., B tk Wir komme u zum Begriff der Straffheit i C[0, ]. Essetiell ist es hierbei, kompakte Mege i C[0, ] zu verstehe. 4

5 Defiitio 26.8 Stetigkeitsmodul Für f C[0, ] heißt Stetigkeitsmodul vo f. ω f δ : sup{ ft fs : s, t [0, ], s t δ} Beachte, dass die gleichmäßige Stetigkeit vo f stets lim δ 0 ω f δ 0 impliziert. C[0, ], ist ei uedlichdimesioaler Baachraum, damit sid icht alle abgeschlossee, beschräkte Mege kompakt. Isbesodere gilt dies für die Mege aller stetige Fuktioe mit Norm kleier gleich, dem Eiheitsball. Aus der Fuktioalaalysis beutze wir folgede Satz. Satz 26.9 Arzela-Ascoli Sei A C[0, ] abgeschlosse. Da sid äquivalet A ist kompakt, sup f0 < ud lim f A sup δ 0 f A ω f δ 0. Bevor wir zum Beweis des Satzes komme, kommetiere wir ih kurz. Die erste Bedigug i der zweite Formulierug ist sofort eisichtig. Soll A kompakt sei, muss es isbesodere beschräkt sei ud das muss da atürlich auch a jeder Stelle x gelte. Die zweite Bedigug bedeutet ausformuliert, dass A gleichmäßig, gleichgradig stetig ist. Für alle ε > 0 existiert ei δ > 0, so dass für alle f A ud s, t [0, ] mit t s δ gilt ft fs < ε. Nu sieht ma auch, dass es ausreicht, sich auf de Pukt 0 eizuschräke. Es gilt f < f0 + /δε ud damit folgt, dass A gleichmäßig beschräkt ist, falls die zweite Formulierug erfüllt ist. Beispiele: Sei A {f, }. f. Da ist A zwar gleichmäßig, gleichgradig stetig, aber icht kompakt, da offesichtlich f 0 für. : t 2, f 0 : t 2, liear : t 2 <. A ist offesichtlich beschräkt, aber icht gleichgradig stetig, da die Grezfuktio f mit f/2, ft 0 sost, icht stetig ist. Geauer gilt sup f A ω f δ für alle δ > 0. Beweis: Ist A kompakt, so folgt Beschräkheit, d.h. es existiert ei C > 0 mit f < C für alle f A. Damit ist auch f0 < C für alle f A. Weiter ist die Fuktio ω f / für festes f mooto falled i ud für festes stetig i f. Damit kovergiert sie gleichmäßig ach dem Satz vo Dii, geauer: Für ε > 0 ist die Familie E {f A : ω f / < ε} sowohl aufsteiged als auch eie offee aufsteigede Überdeckug vo A ist. Damit gilt A E für alle ausreiched groß. Dies impliziert die Behauptug. 5

6 Seie u die beide Bediguge der zweite Formulierug erfüllt. Nach Lemma 6.5 reicht es zu zeige, dass A totalbeschräkt ist. Sei ε > 0. Wir werde eie edliche Mege B vo stückweise lieare Fuktioe kostruiere, so dass für alle f A eie Fuktio g B existiert mit f g < 2ε. Dies impliziert die Behauptug. Wähle zuächst k so groß, dass ω f /k < ε für alle f A. Wir hatte bereits eigesehe, dass C : sup t [0,] f A sup ft <. Sei N N mit N > C/ε ud H die Mege {i CN : i { N, N +,..., N, N} }. Weiter sei B die Mege aller stetige Fuktioe, die liear auf de Itervalle der Form [i /k, i/k] ud a de Pukte i/k Werte i H aehme. Offesichtlich ist B edlich ud für alle f A existiert ei g B mit i i f g < ε, i 0,,..., k. k k Wege der stückweise Liearität vo g ud ω f /k < ε folgt die Behauptug f g < 2ε. Der Satz übersetzt sich direkt i eie Charakterisierug vo Straffheit i C[0, ]. Theorem 26.0 Eie Folge µ vo W-Maße auf C[0, ] ist geau da straff, falls gilt µ 0 ist straff, d.h. für alle ε > 0 existiert x > 0 mit Für alle ε, η > 0 existiert δ > 0 mit sup µ { f0 x} ε sup µ { ω f δ η} ε Beweis: Die Richtug folgt umittelbar aus dem Satz vo Arzela-Ascoli. Für die Rückrichtug mache ma sich zuächst klar, dass für eie Teilmege A vo C[0, ] gilt lim sup δ 0 sup ω f δ 0 k δ k > 0 : ω f δ k /k f A f A Wir verfolge diese Idee ud wähle x > 0 sowie δ k > 0 für k so dass Wir setze sup µ { f0 > x} ε 2, sup µ { ω f δ k > /k} ε 2 k+. K : { f0 x} k { ω f δ k /k} 26.5 k { f0 x} { ω f δ k /k}

7 ud sehe a 26.6, dass K als Schitt abgeschlosseer Mege abgeschlosse ist. Weiter folgt aus 26.5 wege 26.4 die Kompaktheit vo K ach dem Satz vo Arzela-Ascoli. Die Behauptug folgt u aus µ K c ε 2 + ε ε. 2k+ k Wir verschärfe die zweite Bedigug etwas. Theorem 26. Eie Folge µ vo W-Maße auf C[0, ] ist bereits straff, falls 26.2 gilt ud Für alle ε, η > 0 existiert 0 < δ <, so dass für alle t [0, ] { } sup δ µ sup fs ft η ε s [0,], Die eue Bedigug hat de Vorteil, dass die Schwakuge der Fuktioe ur och gleichmäßig i eiem Parameter s kotrolliert werde müsse. Dies geht auf Koste eies Faktors δ. Beweis: Wir zeige, dass aus folgt. Seie ε, η > 0 gegebe ud 0 < δ < so gewählt, dass 26.7 erfüllt ist. Für j N 0 mit 0 j < δ sei 26.7 impliziert A j δ : { sup fs fjδ η s [0,],s jδ [0,δ] sup µ A j δ δε, 0 j < δ. Es gilt { ω f δ 3η} j:jδ A jδ ach der -Ugleichug. Also folgt sup µ { ω f δ 3η} sup µ j:jδ< j:jδ< j:jδ< }, A j δ sup µ A j δ δε 2ε, wobei wir im letzte Schritt δ < verwede. Beachte, dass es ausreicht für gegebee ε, η > 0 ei 0 < δ < ud ei N 0 N zu fide, so dass obige Bedigug 26.7 für das Supremum über N 0 erfüllt ist. Da folgt ämlich 26.3 für alle N 0 ud da edliche viele W-Maße i eiem polische Raum ach Satz 6.6 straff sid, folgt 26.3 für alle ; δ muss dazu gegebeefalls weiter verkleiert werde. Wir komme u zum Beweis vo Propositio 26.7 ud ehme dazu o.e. V[X ] a um die Rechuge übersichtlicher zu gestalte. 7

8 Wir verwede Satz 26. ud die aschließede Bemerkuge. Offesichtlich ist 26.2 erfüllt, da für alle gilt S 0 0 f.s. Wir müsse och 26.7 zeige. Seie dazu ε, η > 0 ud δ > 0 wird später spezifiziert. Weiter sei t [0, ] ud i N 0 defiiert durch i t < i +. Wir habe { } P S sup fs ft η P sup S s S t η P max S i+j S i η 0j2+δ 2 P max S j η m 2 0jm 2 δ mit m 2 + δ. Wir beötige u eie Maximalugleichug um diese Wahrscheilichkeit weiter abschätze zu köe. Da S ei Martigal ist, bietet sich die Doobsche Ugleichug, Aufgabe 5, a. Uter der zusätzliche Aahme vo α : E[X 4 ] < ist S 4 ei Submartigal, also folgt P S { sup fs ft η } 6δ2 E[S 4 m] η 4 m 2 2 6δ2 mα + m 2 σ 4 η 4 m 2 2 < δε, für δ hireiched klei 44α+σ4 η δ < ε ud hireiched groß δ >. Ohe zusätzliche Aahme ist die Fortführug des Beweises etwas aufwädiger, wir 4 beötige da folgedes Lemma, desse Beweis wir später achreiche. Lemma 26.2 Für alle x 0, N gilt P max S x 4 0j 3 P S x 2. Awedug des Lemmas ergibt { P S sup fs ft η } 2P S m η m 2 2 m 2 δ Sm 2P η m 3 δ für δ hireiched klei η 2 η 2 3 δ 2 ud hireiched groß δ 2. Mit dem zetrale Grezwertsatz folgt u ereut für hireiched großes ud Z d N 0, P S { sup fs ft η } 2P Z η 3 δ + δε 2 62δ2 η 4 EZ 4 + δε 2 δε, 8

9 wobei δ hireiched klei gewählt wird δ < εη4 324EZ. 4 Beweis Lemma: Sei A i {max j<i S j < x S i } das Ereigis, dass die Irrfahrt zum Zeitpukt i zum erste Mal betragsmäßig größer als x ist. Die Ereigisse sid paarweise disjukt ud es gelte { } max S j x j k A i, { S < x 2, A i } { S S i 2, A i } Weiter gilt P max S k j x P A i, S < x 2 + P S x j Wir beutze 26.8, Uabhägigkeit der dort auftretede Ereigisse ud die Chebychev-Ugleichug um de ubequeme Teil des erste Summade zu elimiiere. Wege V[S ] folgt da k P A i, S < x 2 PA i, S S i 2 PA i P S S i 2 PA i P S i 2 PA i V[S i] 4 4 P max j S j x. Mit 26.9 ergibt dies die Behauptug vo Lemma Das Cotiuous Mappig Theorem erlaubt es us auf Verteilugskovergez vo fs für reellwertige Fuktioe f zu schließe, die tatsächlich vom gaze Pfad abhäge. Korollar 26.3 Sei M sup{s, S 2,..., S }. Da gilt M σ d sup B t. t [0,] Beweis: M σ stimmt offesichtlich mit sup t [0,] S t überei. Da die Supremumsabbildug f sup t [0,] ft stetig ist, folgt die Behauptug aus dem Cotiuous Mappig Theorem. Die aaloge Aussage gilt auch für das Miimum mi{s,..., S }, sowie das absolute Maximum max{ S,..., S }. 9