Posten: Fraktale. Georg Christoph Lichtenberg, Mathematiker und Physiker, , Lichtenbergsche Figuren 2

Transkript

1 Katosschule Solothur Werkstatt zu Folge & Reihe Poste: Fraktale Fraktale Eileitug Die Realität ist vielleicht das reiste Chaos. 95 erkate ich, dass die gerade Liie zum Utergag der Meschheit führt. Aber die gerade Liie ist zur absolute Tyraei geworde. Die gerade Liie ist der Fluch userer Zivilisatio. Heute erlebe wir de Triumph der ratioale Techik, ud währeddesse befide wir us gleichzeitig vor dem Nichts. Das Wort Fraktal wurde vo Madelbrot erfude, um eie umfagreiche Klasse vo Objekte uter eiem Begriff zu vereie, die i der Etwicklug der reie Mathematik eie historische Rolle gespielt habe... Eie grosse Revolutio der Idee tret die klassische Mathematik des 9. Jahrhuderts vo der modere Mathematik des 0. Jahrhuderts. Die Wurzel der klassische Mathematik liege i de reguläre geometrische Strukture vo Euklid ud de strege Dyamike vo Newto. Mit der Megetheorie vo Cator ud de raumfüllede Kurve vo Peao bega dagege die modere Mathematik. Historisch wurde die Revolutio vo der Etdeckug mathematischer Strukture erzwuge, die icht i die Muster vo Euklid ud Newto passte. Diese eue Strukture betrachtete ma... als pathologisch,... als eie Galerie vo Moster dem Kubismus 5 ud der aatole Musik 6 verwadt, welche etwa zur selbe Zeit die etablierte Geschmacksmassstäbe i der Kust umstiesse. Die Mathematiker beutzte die vo ihe geschaffee Moster zum Nachweis, dass der Variatereichtum der reie Mathematik weit über die eifache, i der Natur sichtbare Strukture hiausgeht, ud die Mathematik des 0. Jahrhuderts lebte im Glaube, die vo ihre atürliche Ursprüge abgestreckte Greze vollstädig überschritte zu habe. Doch... die Natur hat wie Madelbrot herausarbeitet mit de Mathematiker ihre Spass getriebe. Vielleicht fehlte es de Mathematiker des vorige Jahrhuderts a Vorstellugskraft, der Natur jedefalls icht. Vo de gleiche pathologische Strukture, die die Mathematiker erfade, um sich vom Naturalismus des 9. Jahrhuderts zu löse, erweist sich u, dass die vertraute, us umgebede Objekte iewohe. 7 Die fraktale Geometrie stelle keie direkte Awedug der Mathematik des 0. Jahrhuderts dar. Sie ist ei euer Zweig, der verspätet ach der Krise der Mathematik 8 gebore wurde. Diese Krise bega 875 ud dauerte bis ca. 95. Ihre Hauptakteure ware Cator, Peao, Lebesque ud Hausdorff. Georg Christoph Lichteberg, Mathematiker ud Physiker, 7 -, Lichtebergsche Figure Friedesreich Hudertwasser, Küstler, fragere (lat.): zerbreche, uregelmässige Bruchstücke erzeuge Beoit B. Madelbrot, Vater der fraktale Geometrie, 5 Richtug der modere Kust: Cézae, Braque, Picasso 6 icht toale Musik; A. Schöberg 7 F.J. Dyso 8 Reymo du Bois etdeckte eie vo Weierstrass kostruierte stetige aber ichtdifferezierbare Fuktio

2 Grudbegriffe Iteratio Es wird eie bestimmte Operatio ausgeführt, mit dem erhaltee Resultat wird da wieder dieselbe Operatio ausgeführt, usw. Eie solche Operatio et ma Iteratio. Selbstählichkeit Ei Gebilde heisst selbstählich (skaleivariat), we es ählich eiem Teil vo sich selbst ist. Klassische Fraktale Cator Mege Je le vois, mais je e le crois pas! 9 Iteratio: Wir starte mit eier Strecke, eiem abgeschlossee Itervall, bsp. [0,]. Diese wird i drei gleiche Teile geteilt ud da das mittlere offee Itervall herausgewischt. Es verbleibe also ach der erste Wischug die Itervalle [0,/] ud [/,]. Mit diese verfahre wir geau gleich. Nach Wischuge habe wir abgeschlossee Itervalle der Läge. Wird die Zahl der Wischuge uedlich oft wiederholt ( ), so bleibt schliesslich eie Mege disjukter Staubkörer übrig. Die Strecke ist zerbröselt. Wir spreche vo eier Limesmege, vom Cator-Drittelstaub. Eigeschafte: Die Cator-Drittelmege ist selbstählich. Die Cator-Drittelmege ist uabzählbar. Die Mächtigkeit der Cator-Mege etspricht der Mächtigkeit des Itervall [0,], d.h. der Mächtigkeit des Kotiuums. Bei userem Wischvorgag wird alles herausgewischt, trotzdem hat die übrigbleibede Mege die Mächtigkeit des Kotiuums. ( Alles wird herausgewischt ud es bleibt Nichts übrig. Trotzdem ist dieses Nichts so mächtig wie Alles. ) 9 Georg Cator, 85-98

3 Katosschule Solothur Werkstatt zu Folge & Reihe Poste: Fraktale Übuge. Die Kochkurve Erzeugug: Ma ehme eie abgeschlossee Strecke, teile sie i drei kogruete Teile, errichte über der mittlere Strecke ei gleichseitiges Dreieck ud wische da die Grudliie dieses Dreiecks weg (K). Mit de verbleibede Strecke verfahre ma auf dieselbe Weise, dies führt zu K, K,... Wird diese Iteratio uedlich oft wiederholt, ergibt sich eie Limesmege, die Kochkurve.. Utersuche die Azahl Strecke A der K.. Utersuche die Läge S der Strecke.. Bestimme die Läge L der K.. Für welches ist die Läge erstmals grösser als der Aequator? 5. Bestimme die Gesamtläge der Kochkurve. 6. Was ka ma vo der Fläche uter der Kochkurve sage? Bereche sie. Stufe Azahl der Teilstrecke A Läge eier Teilstrecke S Gesamtläge L Flächeihalt uter der Kurve 0

4 . Das Sierpiski Dreieck a) Bestimme de Iitiator ud de Geerator. b) Bestimme die Azahl Dreiecke (D, D,...,D 5) so wie die Läge der dazugehörige Dreiecksseite. c) Gib eie explizite Defiitio des Flächeihaltes D a. d) Bereche u de Gesamtumfag ud de Flächeihalt des Sierpiski Dreiecks. Ist das icht erstaulich?. Verschachtelte Quadrate: Im erste Bild wehe wir eie Schar vo kleier werdede Quadrate. Zu jedem Quadrat existiert dabei ei eibeschriebees Folgequadrat. Die Eckpukte der eibeschriebee Quadrate liege jeweils auf de Seitemittelpukte ihrer Vorgäger. I Gedake köe wir de Vorgag beliebig oft wiederhole. Schraffiere die vier grösste Teildreiecke rot ud bestimme die Gesamtfläche s dieser Dreiecke. (Kateläge des grösste Quadrates sei Lägeeiheit). Bestimme ebeso die Fläche s, s, s, Bereche die Summe s + s + s +. Wie gross wird der maximale Wert dieser Summe? Im zweite Bild liege die Eckpukte des eibeschriebee Quadrates so, dass die Seite des grosse Quadrates mit ¼ zu ¾ uterteilt sid. Zeiche weitere Nachfolgequadrate. Bereche die Koordiate der Eckpukte der eibeschriebee Quadrate. Alterative: Nimm statt eies Quadrates ei Rechteck ud erzeuge zeicherisch ei Fraktal.

5 Katosschule Solothur Werkstatt zu Folge & Reihe Poste: Fraktale Lösuge Kochkurve Stufe Azahl der Teilstrecke A Läge eier Teilstrecke S Gesamtläge L Flächeihalt uter der Kurve 0 0 / / 6 /9 6/8 /7 6/7 6 /8 /. A =. S =. L =. = 6.78*0 8 = 0.5, d.h. ab = 0 5. Die Läge wird uedlich gross a = = q 0 Das Sierpiski Dreieck b) D =, D =, D =,..., D = + L =, L = ½, L = ¼,..., L = c) F =, F = * *F, F = * *F,..., F = d) F = 0 ud U Verschachtelte Quadrate s + s + s + = = 5