H{"-' Herbst Einzelprüfungsnummer: 43g 1 0 Seite: 2. Aufgabe 2: Man bestimme Infimum und Supremum der Funktion

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1 Einzelprüfungsnummer: 43g 1 0 Seite: 2 Thema Nr. 1 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten! Gegeben sei die Folge (ar,),,6ni mit ar:4, an+r: J6+a" n) I. a) Man zeige, dass (o,") konvergiert und bestimme den Grenzwert von (a,r). b) Man bestimme den Konvergenzradius der potenzreihe oo \- aä -' H{"-' c) Man bestimme, ob die potenzreihe jn r: $ konvergiert. Aufgabe 2: Man bestimme Infimum und Supremum der Funktion f, R'-* IR, f (r,ü : (4A2-,2yu-x2-u2 auf der Menge M ;: {(r,g) etrt2,, + A2 < 2}. Aufgabe 3: a) Man stelle die Funktion F(r): r r^ le-t"dt tt als Potenzreihe dar. Die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion darf dabei verwendet werden. b) Man bestimme das Tayiorpolynom T*(r) von kleinstem Grad zz ln, für das l7;(1) -F(1)l <frgilt. Fortsetzung nächste Seite!

2 Einzelprüfungsnummer: Seite: 3 Aufgabe 4: Man berechne f I t" sin(rz) drdy, wobei A das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0),(*,q, f*,#l bezeichnet. Aufgabe 5: Gegeben sei, in Abhängigkeit eines reellen Parameters a > 0, die Differentialgleichung, A-a ta':ffi (r>-ila). a) Man bestimme alle reellen Lösungen der Differentialgleichung. b) Man bestimme, in Abhängigkeit von a, das Verhälten der Lösung am Rande des Definitionsbereichs. -4-

3 Einzelprüfungsnummer: Seite: 4 Thema Nr. 2 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten! Die reelle Zahlenfolge (zn)renr sei rekursiv definiert durch \)7, nh+l:f@*) fürallefte [.[, wobei f (r) :: i@r + ft) für r > 0. Zeigen Sie a) /(r) >1 füraller>0. b) rr*r -rn30 füralleke IN. c) (zr)ir.w konvergiert. Bestimmen Sie auch den Grenzwert r :.Iim rn. Aufgabe 2: a) Geben Sie für die Funktionen T r lr,-- f (r):: e-'2 lr und r IR,- F(r),: I t, e-" dt.8" Potenzreihendarstellungen (mit Entwicklungspunkt 0) an und begründen Sie deren Existenz. 1 b) Zeigen Sie, dass das Integr al f, e-" dr durch eine alternierende Reihe darstellbar ist, und berechnen Sie den Wert des Integrals bis auf einen Fehler kleiner als,o!. f t R' ---+ lr sei definiert durch f (r,a) : 13 * 4At - 3r - 3y. Berechnen Sie das Maximum und das Minimum von / auf dem Quadrat [-f, +t] x [-1, +1]. An welchen Stellen wird der Extremwert jeweils angenommen? Fortsetzung nächste Seite!

4 Einzelprüfungsnummer: Seite: 5 Aufgabe 4: Bestimmen Sie die geometrische Gestalt des in der Parametrisierung (r,t)-rr(r,t): (rcost, rsin t,r'), r [0,1], te[0,2tr] gegebenen Flächenstücks und berechnen Sie das Volumen des Körpers, der von dieser Fläche und der Ebene z : I eingeschlossen wird. Gegeben sei die Differentialgleichung a" - 2au' + o,a :Zeo, Für welches o lr gibt es eine Lösung g : lr ---+ lr mit Wie lautet sie? E(0) :0, g'(0) :0, y(i):l? Aufgabe 6: Die stetig differenzierbare Funktion besitze die Eigenschaft fr(*,y) R'*f(r,g) R Zeigen Sie: t a) (grad/(*,a), I /"\i f (\",\a) : \" f (*,Y) für alle Ä > 0. l):zf(r,a). ' \, )' b) grad/()r,\u): Ä.grad/(z,y) für alle.\ > 0. fhi,nwei,s: Betrachten Sie die Funktion (r,y,\) * g(r,y,\) :: f(\*,^ü - partiellen Ableitungen! ] ^, f (r,y) und ihre -6-

5 Einzelprüfungsnummer: Seite: 6 Thema Nr. 3 (Aufgabengruppe) Es sind alle Aufgaben dieser Aufgabengruppe zu bearbeiten! Aufgabe 1: a) Untersuchen Sie für r R.\i-1) die durch an t: ii# gegebene Folge (a,,),,enr auf Konvergenz und ermitteln Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert. b) Bestimmen Sie (mit Begründung) alle reellen Zahlen r ) 0, für die die folgende Reihe konvergiert: $ (hz)" 7^n c) UntersuchenSiediedurch nt::1und nn*r:t@t"+ 1) rekursivdefiniertefoige(2,,),,6hrauf Konvergenz. Gegeben ist die reelle Funktion,f,rR_*rR; f(r),:t;,' ( *zr't - 2 tn lzl) fnr r l0 fürz:o a) Zeigen Sie, dass f in rg: 0 differenzierbar ist. b) Bestimmen Sie die lokalen Extrema von / nach Lage, Art und Wert. c) Skizzieren Sie in einem kartesischen rg-koordinatensystem den Bereich und berechnen Sie seinen Flächeninhalt. B,: {@,E) elr2 : 0 1 y < f(r)} Fortsetzung nächste Seite!

6 Einzelprüfungsnummer: Seite: 7 Aufgabe 3: Gegeben seien,,: {@,a) elr2: o.a t;\ und die Funktion h: D-- R; h(*,a) '.:2rlanY- (#)' a) Bestimmen sie lf :: {(*,y) e D : h(*,,g): 0} und skizzieren sie diese Menge in der rg-ebene. b) Bestimmen Sie den Wertebereich h(d): {h(',u) e D}' Aufgabe 4: Für c IR bezeichne g" die (beliebig oft differenzierbare) Funktion g"il},oo[+ IR, P"(r)'= tr''intr' a) Zeigen Sie: i) Für c lrund alier > 0gilt: g'"(r):cq.-t(r)lf-r ii) Für jede natürliche Zahl n ) 1 und alle z > 0 gilt: ef)r@): * t^, - r)l b) Bestimmen Sie für n [.{ alle (mindestens) n-mal stetig differenzierbaren Funktionen,f,]0, m[* ]R mit 7{ü(r) - (n=i)t. " Hi,nwei,s: Nach a) (i.i,) i,st g,-1 (" > 0). ei,ne spez'i,elle Lösung der I'inearen Di'fferentialglei'chung