3. Einfache Kernmodelle

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1 . Einfach Krnmodll.1 Tröfchnmodll Motivation: - Krn habn konst. Nuklondicht - Volumn ~ Bhandlung als lüssigkitstrofn Bindungsnrgi B (Wizsäckr: Volumnbitrag E V : Obrflächnbitrag E S : Jds Nuklon lifrt Bitrag ( 16 MV zu B E a V V (brücksichtigt Sättigung, ansonstn wär B~(-1 Nuklonn an Obrfläch wnigr stark gbundn. Rduktion dr Bindungsnrgi um Bitrag dr Obrflächnnuklonn: E S a S Obrfläch ~ R mit R~ 1/ E S ~ / Coulomb-bstoßung E C : Brücksichtigt lktrisch bstoßung dr Protonn (~Z(Z-1 ~ Z 1 E a Z C C symmtritrm E : Paarungstrm E P : Bi klinn Massnzahln findt man, dass Krn bi glichr Zahl von Protonn und Nutronn stabil sind. Bi schwrn Krnn wrdn mhr Nutronn ingbaut um Coulomb-bstoßung zu komnsirn. Bvorzugtr Einbau von Nuklonn vrlangt wgn Pauli-Prinzi abr höhrn Enrgiaufwand: E a sym ( N Z Emirisch findt man, dass Krn mit gradr Zahl von Protonn und Nutronn bsondrs stabil sind: E P δ mit MV δ MV 11. MV gg - Krn ug - Krn uu - Krn 1

2 Bth-Wizsäckr orml: B a a V S Z ( N Z ac a 1 sym δ + 1 a a a a V S C 15.6 MV 17. MV.7 MV sym.5 MV MV δ MV 11. MV gg - Krn ug - Krn uu - Krn Massn-orml: m(, Z Zm + ( Z m n B Erlaubt di Brchnung ds Q-Wrts von radioaktivn Zrfälln / Saltungs- und usions-prozssn. rmi-gas Modll Nuklonn als unabhängig Tilchn in inm ffktivn Potntial bschribn: rmi-gas: Nuklonn könnn sich fri innrhalb inr Kugl mit Radius R1. 1/ fm fri bwgn. Vrschidn Potntialtöf für Nutronn und Protonn Wg. Coulomb-Enrgi habn Potntial vrschidn orm und Tif Im Unndlichn sind Potntial glich Potntial nthaltn in ndlich Zahl von Enrgizuständn di j mit max. Nuklonn bstzt wrdn könnn (. Entartts rmi-gas: Krn-Tmratur so nidrig, dass Nuklonn all im nidrigstn Enrgizustand. Bstzung bis Enrgi E.

3 Jds Nuklon bstzt im 6-dim. Phasnraum in Phasnraumzll ~ (πh Zahl möglichr Enrgizuständ für Nuklon mit [, +d]: Zahl dr Zuständ mit Imulsn bis zum Maximalwrt : V n 6π h V 4π d dn (πh bzw. x n V( N π h V( Z π h (V Krnvolumn max. Zahl dr Nutronn max. Zahl dr Protonn 4 Bnutzt man R1. 1/ fm folgt für das Krnvolumn V V π R ür symmtrisch Krn ZN/ folgt für dn max. Imuls dr Nuklonn n h R 9π 8 1/ 5 MV rmi-enrgi E bis zu dr di Zuständ bstzt sind: Nicht rlativistisch E m, n MV Mit dr tyischn Bindungsnrgi von Nuklonn (B 8 MV rgibt sich di Tif ds Potntialtofs V E + B MV (unabhängig von Massnzahl Kintisch Enrgi dr Nuklonn ist mit dr Tif ds Potntialtofs vrglichbar: Krn sind also rlativ schwach gbundn Systm. Mittlr kin. Enrgi/Nuklon E kin EKin d MV 5 m d

4 Volumnnrgi und symmtritrm im rmi-modll n Gsamt kin. Enrgi E ( N, Z ( N( + Z( mit n kin / 1m ( ~ N und ( ~ Z / folgt E kin ( N, Z 1 9π / N + 5 / Z / 1m R 4 5 / Entwicklung um Minimum bi NZ: / E kin 1 9π 5 ( N Z ( N, Z + + K 1m R Krnzrfäll 4.1 Krnzrfäll Stabil Krn (schwarz bschränkn sich auf schmals Band in N-Z Ebn. Protonn-Übrschuss: β + Zrfall / Elktronninfang EC α-zrfall Sontan Saltung Nutronn-Übrschuss: β - Zrfall Krn mit Z,N, 8,, 8, 5, 8, 16 (magisch Zahln sind shr stabil und kommn bsondrs häufig vor. Zur Übrwindung dr Coulomb-bstoßung wrdn bi schwrn Krnn mhr Nutronn ingbaut. 4

5 ür di Krnmass (Bth-Wizsäckr orml findt man für konstants Z+N in Minimum Zmin: M ( const., Z Zmin Z / Krn mit Z Zmin sind stabil. ll übrign Krn sind instabil und zrfalln sontan: i. Isobar mit dutlichm Nutronn-Übrschuss β- Zrfall ii. Isobar mit dutlichm Proton-Übrschuss β+ Zrfall od. Elktronn-Einfang (EC iii. Mit zunhmndr Massnzahl wrdn Krn instabil und zrfalln in od. mhr Tochtrkrn, wobi inr dr Tochtrkrn häufig in 4H Krn ist: α Zrfall Z X N Z +1X N ν Z X N Z 1X N ν Z XN + Z 1X N +1 + ν 4 4 Z X N Z X N + + H Obwohl H shr licht ist, sind di Nuklonn brits shr stark gbundn: dolt magischr Krn 5

6 b Lbnsdaur und Zrfallsrat Radioaktivs Zrfallsgstz: N( t N( λt λ Zrfallskonstant 1/τ τ Lbnsdaur, T 1/ ln τ Halbw.Zit ktivität / Zrfallsrat: dn λn(t dt [ ] 1Bq 1Bcqurl 1s 1Ci (Curi Bq 1 ältr Einhit Radioaktiv Datirungsmthod C14 Mthod (Datirung archäologischr Objkt C ntstht durch kosmisch Strahlung in dr tmoshär: n + N C + Bis zum nfang ds. Jahrhundrts war das natürlich Vrhältnis von 14 C/ 1 C C wird in organischs Matrial im natürlichm Vrhältnis ingbaut und zrfällt nach bstrbn ds Organismus mit T 1/ 57 a durch β Zrfall. us dr 14 C ktivität dr Prob kann bi bkanntm Kohlnstoffghalt auf dn 14 C ntil und damit auch auf das ltr dr Prob gschlossn wrdn. 6

7 4. β-zrfall Prototy-Raktionn β : + β : n ν + n ν für fri Protonn kinmatisch vrbotn; im Krn möglich. β Zrfall von Krnn J J 1 ν S 1 Gamov-Tllr Übrgang J J ν S rmi- Übrgang a Q-Wrt von β-zrfälln Krnmass für Isobar N+Zkonst. nach Massnforml: m(, Z Nm n + Zm α βz + γz a + a V δ 1 S Z ( Z N + ac + a 1 sym δ MV gg - Krn δ MV ug - Krn 11. MV uu - Krn 11. MV 1/ ug/gu Krn: in dr Rgl nur in stabils Isobar ür Z>7: kin stabil uu Krn, mindstns stabil gg Krn 7

8 Elktronn-Einfang (EC Z X N + Z 1Y N+ 1 + ν ür Elktronn mit hohr ufnthaltswahrschinlichkit im Krn: vor allm bi schwrn Krnn, vorwignd 1s Elktronn EC konkurrirt mit β + Zrfall: EC ist abr nrgtisch günstigr EC: Q m(,z + m - m(,z-1 β + : Q m(,z - m - m(,z-1 Bim Elktronninfang stht in Mhr an kintsichr Enrgi zur Vrfügung (kann dshalb noch zu Enrginivaus stattfindn für di kin β Zrfall statt findn kann : E kin m c β Sktrum Zrfallsrat nach rmi s Goldnr Rgl : Γ π M fi ρ( E ρ(e -Tilchn-Phasnraum E friwrdnd Enrgi 1 Kinmatik r r r + + P E + E + E ν ν kin E r P,E kin Krn, n r, E r ν, E ν ür E ~ 1 MV (z.b. r für n ν: r P P << m : Ekin d. h. E E m + V d Nach Ka. II gilt für ρ(e : ρ( E ( ddω dν d ν 6 (πh de Ω ( d ν d (4π d 6 (πh de ν E ν 8

9 Diffrntill Zrfallsbrit d Γ ( fur [, + d ] Γ (4π d π Mfi 6 ν (πh de d d d ν mit ( 1 ν E ν ( E E ( d de de ν ν (für konst. E dγ d (4π π Mfi ( 6 E E (πh β Sktrum führt zur Nutrino Hyoths von Pauli (19 Total Zrfallsbrit Γ bzw. Lbnsdaur τ 1 (4π Γ π Mfi ( E E E m 6 τ (πh ~ ( E E EdE 5 E de 5 E Γ ~ vrglich auch Myon-Zrfall Γ 5 ~ m µ 4 Curi-Plot dγ 1/ ~ ( E E d Komlikation: Coulomb-Korrktur Korrktur-kt ( ±, Z, 9

10 1/ dγ K( ~ ( E E (, Z, d ± Mainz Exrimnt: Tritium β Zrfall KTRIN Karlsruh Tritium Nutrino Exrimnt Vrmssung ds Tritium-Endunkts. Sktromtr; Magntic diabatic Collimation combind with an Elctrostatic iltr Nutrinomassn-Snsitivität:. V 1

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