PSYCHOLOGEN. Ingenieurswissenschaft trifft Verhaltenswissenschaft

Transkript

1 EINFÜHRUNG IN DIE SYSTEMTHEORIE FÜR PSYCHOLOGEN Ingenieurswissenschaft trifft Verhaltenswissenschaft

2 Plan für heute 2 Standardmäßige kurze Rekapitulation Wirkungsgefüge (Blockschaltdiagramme) Differentialgleichungen Auffrischung der Differentialrechnung Definition und Motivation Systemeigenschaften im Bildbereich Fouriertransformation

3 Was vor 2 Wochen geschah 3 Systemtheorie ist ein wissenschaftlich universales Werkzeug Begriffe der Systemtheorie System, Model Steuerung, Regelung Messung, Signal, Information Beispiel aus Ingenieurs- und Naturwissenschaft

4 Veranstaltungsstruktur 4 1. Einführung in die Begriffswelt der Systemtheorie 2. Beschreibung der Systemeigenschaften (1) - Bildbereich 3. Beschreibung der Systemeigenschaften (2) - Zeitbereich 4. Analyse der Systemeigenschaften 5. Systemtheorie in 1. visueller Wahrnehmungsforschung 2. der Verhaltenspsychologie 3. der Fahrdynamik 6. Aktuelle/Potentielle Anwendungen der Kursteilnehmer und Ausblick

5 Wirkungsgefüge 5 (Blockschaltbilder-BSBs) Systeme stellen ausschließlich kausale Beziehungen dar Kausale Aussagen haben die Form: Wenn ich veranlasse, dass jetzt das Ereignis A eintritt, dann kann ich sicher sein, dass gleichzeitig das Ereignis B eintritt und dass nach bestimmter Zeit C stattfinden wird Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach Im Gegensatz zu konditionalen Beziehungen Konditionale Aussagen haben die Form: Wenn ich beobachte, dass jetzt das Ereignis A eintritt, dann kann ich sicher sein, dass gleichzeitig das Ereignis B eintritt und dass nach bestimmter Zeit C stattfinden wird dass vorher das Ereignis D stattgefunden hat

6 Der Begriff Wirkung 6 Für eine kausale Beziehung benötigen wir 2 Signale (x,y) Zwischen diesen Signalen besteht eine (deterministische) quantitative Abhängigkeit gg Geläufigste Darstellung: y = f (x) Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach

7 Mathematischer Exkurs 7 Mathematik, Werkzeug zur Beschreibung der Umwelt Menge: Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte (o) unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen (M) (Georg Cantor) Schreibweise für x ist Element von M: o Є M Funktion/Abbildung: Die Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (M: unabhängige Variable, Funktionsargument, x-wert) genau ein Element der anderen Menge (N: abhängige Variable, Funktionswert, y-wert) zuordnet. Schreibweise: y=f(x)

8 Funktionen 8 linear komplexerer Natur periodisch quadratisch

9 Funktionen (Beispiele) 9 Funktion abhängig von der Zeit Am Beispiel von Zeit-Weg Funktionen: html Funktionen abhängig vom Raum Am Beispiel einer psychometrischen Funktion Stimuli

10 Der Begriff Wirkung 10 Für eine kausale Beziehung benötigen wir 2 Signale (x,y) Zwischen diesen Signalen besteht eine (deterministische) quantitative Abhängigkeit gg Geläufigste Darstellung: y = f (x) Allerdings: Mit dieser Darstellung haben wir noch keine Aussage über die kausale Beziehung gemacht. Das geschieht hih im Blockschaltbild l (BSB) Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach

11 Darstellungsregeln des BSB I 11 Jedes Wirkungsgefüge muss mindestens einen freien Eingang aufweisen Diese Einschränkung gilt nicht für Ausgänge Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach

12 Darstellungsregeln des BSB II 12 Verzweigungsstelle ( Lötpunkt ) eine Eingangsgröße wirkt auf mehrere Ausgänge Information ist keine Größe für die Erhaltungssätze gelten Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach

13 BSB Topologie klar? 13 Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach

14 BSB Nomenklatur 14 Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach

15 Differnetialgleichungen (DGls) 15 Einordnung von DGls in der Mathematik Im Wesentlichen bewegen wir uns im mathematischen Teilgebiet der Analysis Einordnung der DGls in der Systemtheorie Nicht jedes System benötigt notwendigerweise eine DGl, um als solches zu gelten. Allerdings mangelt es an Alternativen das Groß der wissenschaftlich untersuchten Umwelt zu modellieren, ohne sie. Gottfried Wilhelm Leibniz Sir Isaac Newton

16 Differnetialgleichungen (DGls) 16 Eine Gleichung, in der die Funktion und die erste (oder höhere Ableitung) einer Funktion vorkommt, nennt man Differentialgleichung.

17 Abiturwissen: Analysis 17 Was ist eine Ableitung? Geometrisch: Die Steigung einer Funktion Algebraisch: f ( x0 + Δx ) f () ( x + Δx) x 0 0

18 Abiturwissen: Analysis 18 Was ist eine Ableitung? Geometrisch: Die Steigung einer Funktion f 0 ) () Algebraisch: ( x + Δx f ( x + Δx x 0 ) ' df Schreibweisen: f ( x) = = f ( x) = f x( x0) dx 0

19 Abiturwissen: Analysis 19 Das bilden einer Ableitung Multiplikation mit einer Konstanten: (c f(x)) = c f '(x) Summe zweier Funktionen: (f(x) + g(x)) = f '(x) + g'(x) Produktregel: (f(x) g(x)) '= f'(x) g(x) + f(x) g'(x) Quotientenregel: (f(x) /g(x))' = (f '(x) g(x) - f(x) g'(x)) / g(x) 2 Kettenregel: (f(g(x))) ' = f'(g(x)) g'(x)

20 Abiturwissen: Analysis 20 Warum ist man daran interessiert Ableitungen zu bilden und mit Ihnen zu rechnen? Stichwort: Kurvendiskuttion

21 Differnetialgleichungen (DGls) 21 Eine Gleichung, in der die erste (oder höhere Ableitung) einer Funktion vorkommt, nennt man Differentialgleichung. Die Lösung einer Differentialgleichung sind nicht Zahlen, sondern Funktionen. 2 Im Gegensatz dazu: x 4x 8 = 0 Beispiele für DGls ' f ( x) = f ( x) f ( x) = f ( x) + 1 x ' 2 2

22 Differnetialgleichungen (DGls) 22 Unter der Lösung einer Differentialgleichung versteht man jede Funktion f(x), die diese Gleichung erfüllt. Für unsere Beispiele von oben gilt ' f ( x) = f ( x) f ( x) = x e f ' ( x) x 2 2 = f ( x) + 1 f ( x) = x f ( x) = t f ' 1 = t ( t) = t 2 = 1

23 Differnetialgleichungen (DGls) 23 Definition: Richtungsfeld: In jedem Punkt (x,f(x)) des Koordinatensystems wird durch die DGl f (x)=g(x,f(x)) eine Steigung vorgegeben Richtungsfeld mit stimmigem und nicht stimmigem Graph

24 Differnetialgleichungen (DGls) 24 Definition Anfangswertproblem: Unter einem Anfangswertproblem versteht man das Problem, zu einer gegebenen DGl f (x)=g(x,f(x)) und gegebenem Anfangswert f(x 0 )=f 0 (x), d.h. einem Punkt P0(x0,f0(x)), eine differenzierbare Funktion f(x) zu finden, deren Graph mit dem Anfangswert und dem Richtungsfeld der DGl stimmig i ist. Kurz: Ein Punkt durch den der Graph der DGl auf jeden Fall geht.

25 Das Lösen von DGls 25 Analytisch (oft nicht möglich) Numerisch Euler (eines der einfachsten Verfahren) Runge-Kutta (eines der aktuell effizientesten Verfahren)

26 Das Euler-Verfahren 26 Man nehme: Gegebene DGl Anfangswert Man rühre um, und bekomme Neuer Punkt (vermeintlich auf der Lösung der DGl liegend) Man nehme: Gegebene DGl Neuen Punkt usw. und so fort

27 Das Euler-Verfahren 27 Die allgemeine sogenannte Rekursionsformel des expliziten Eulerverfahrens: t n+1 = t n + h y n+1 = y n + h g(t n, y n ) Eine anschauliche Simulation findet ihr hier: mathematik uni mainz.de/didaktikseminar/gruppe8/eu2.htm

28 Veranstaltungsstruktur Einführung in die Begriffswelt der Systemtheorie 2. Beschreibung der Systemeigenschaften (1) - Bildbereich 3. Beschreibung der Systemeigenschaften (2) - Zeitbereich 4. Analyse der Systemeigenschaften 5. Systemtheorie in 1. visueller Wahrnehmungsforschung 2. der Verhaltenspsychologie 3. der Fahrdynamik 6. Aktuelle/Potentielle Anwendungen der Kursteilnehmer und Ausblick

29 Systemeigenschaften - Intro 29 Dynamisch / Stationär Linear / Nicht-linear Stabil / Instabil Mit Gedächtnis / ohne Zeitvariant / Zeitinvariant

30 Systemeigenschaften - Intro 30 Dynamisch / Stationär a.) Gaspedal drücken, die Kennlinie (und loslassen als ) b.) + c.) Transienten / Übergangsfunktionen

31 Systemeigenschaften - Intro 31 Dynamisch / Statisch Linear / Nicht-linear Das Superpositionsprinzip Lineare Funktion:

32 Systemeigenschaften - Intro 32 Dynamisch / Statisch Linear / Nicht-linear Das Superpositionsprinzip Nicht-Lineare Funktion:

33 Systemeigenschaften - Intro 33 Dynamisch / Statisch Linear / Nicht-linear Ein Wirkungsgefüge heißt linear, wenn in ihm die Beziehung zwischen sämtlichen Ein- und Ausgängen paarweise linear ist In linearen Wirkungsgefügen dürfen Signale nur additiv oder substraktiv verknüpft sein. Bereits eine einzige Multiplikationsstelle macht das Wirkungsgefüge nichtlinear

34 Linearität 34 Nicht-Lineare Funktionen

35 Eigenschaften - Bildbereich 35 Die Fourier-Transformation In wenigen Worten: Eine gegebene Funktion (z.b. des Raumes) wird ausgedrückt durch eine andere Funktion (im Frequenzbereich), d.h. in Form ihrer Frequenzkomponenten. Das Ziel an dieser Stelle wird sein, zu verstehen, was dieser Satz bedeutet

36 Fourier-Transformation (FT) 36 In wenigen Formeln

37 Fourier-Transformation (FT) 37 Ihre Herkunft Die Fourier Transformation wurde von dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Fourier 1822 in Théorie analytique de la chaleur (Analytische Theorie der Wärme) entwickelt Es war ein Meilenstein für den Fortschritt der modernen Physik

38 Fourier-Transformation (FT) 38 Notwendige Grundlagen für ein basales Verständnis Trigonometrische Funktionen Was ist eine Frequenz? Und wieder etwas Analysis Wie addieren sich Funktionen? Was bedeutet eine asymptotische Lösung

39 Fourier-Transformation (FT) 39 Exkursion zu Gratings

40 Fourier-Transformation (FT) 40 a) Niedrige i räumliche Frequenz b) Hohe räumliche Frequenz c) a)+b)

41 Fourier-Transformation (FT) 41 a) Näherung eines eckigwelligen gratings b) Zwischenstufe Fourier Analyse c) 3 Sinuswellen, sie konstituieren i die Fourier- Serie von a)

42 Fourier-Filter Filter 42 Sprachsignal Fourier Spektrum a) Originales Signal mit Spektrum b) Filtern ab k=400 Zeit Bandbreite (k) c) Filtern ab k=100

43 Fourier-Anwendung 43 Phase and amplitude of a sine wave

44 44 Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach

45 Literaturnachweis 45 (insbesondere die Einführung in die Mathematik) Polat, U. & Sagi, D. (1993). Lateral Interactions Between Spaital Channels: Suppression and Facilitation Revealed by Lateral Masking Experiments. Vision Research, 33, Struktur und Bedeutung: Eine Einführung in die Systemtheorie, Norbert Bischof, mathematik uni mainz (insbesondere Einführung in DGls)

46 Hausaufgabe 46 Warum machen folgende BSBs keinen Sinn? Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach

47 Hausaufgabe 47 Haben wir hier ein lineares oder ein nicht-lineares Wirkungsgefüge vor uns? Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach

48 Hausaufgabe 48 Ludwig Klage formulierte bereits um die vorletzte Jahrhundertwende sein Darstellungsprinzip wie folgt: Jede Willkürbewegung wird mitgestaltet durch die unbewußte Erwartung ihres anschaulichen Erfolgs Wählen wir als Ausdrucksfeld für seine Theorie das Sprechverhalten. Entwerfe das Blockschaltbild für den Wirkungszusammenhang folgender Größen: Der anschauliche Erfolg E der Willkürbewegung (also etwa der zustandegekommene Klang der eigenen Stimme) Das motorische Kommando M, das vom Gehirn an die Sprachmuskulatur ergeht Das persönliche Leitbild L, die Klangerwartung, nach der sich der Bewegungserfolg richten soll Die Störeinflüsse S, die zunächst verhindern, dass die Sprechmotorik den gewünschten Erfolg hervorbringt Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach

49 Hausaufgabe (wohl mehr eine 49 offene Frage) Welches wissenschaftliche Prinzip erkennst Du hier wieder? Welche konkreten Erkenntnisprozesse fallen Dir in Deinem Wissenschaftsbereich i h ein, die mit dieser Abfolge von BSBs beschrieben werden können? Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach

50 Hausaufgabe 50 Implementation des Euler-Verfahrens in Matlab Markus Goldbach, MSc und Dr.-Ing. Daniel Goldbach