Finanzmathematik in der Bankpraxis

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1 Fiazmathematik i der Bakpraxis Vom Zis zur Optio Bearbeitet vo Thomas Heidor, Christia Schäffler 7. Auflage Buch. X, 330 S. Hardcover ISBN Format (B x L): 14,8 x 21 cm Gewicht: 727 g Weitere Fachgebiete > Mathematik > Operatioal Research > Fiaz- ud Versicherugsmathematik Zu Ihaltsverzeichis schell ud portofrei erhältlich bei Die Olie-Fachbuchhadlug beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, isbesodere Recht, Steuer ud Wirtschaft. Im Sortimet fide Sie alle Medie (Bücher, Zeitschrifte, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergäzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheiugsdiest oder Zusammestelluge vo Bücher zu Soderpreise. Der Shop führt mehr als 8 Millioe Produkte.

2 2. Fiazmathematik

3 2.1 Grudlage der Effektivverzisug 2 Fiazmathematik Währed i der wisseschaftliche Literatur die Aalyse ud der Vergleich vo Barwerte als bestes Etscheidugskriterium agesehe werde, ist i der Praxis der Wertpapiermärkte ach wie vor die Effektivverzisug das etscheidede Kriterium. Dies liegt auch a der Besoderheit, dass ei mehrfaches Wechsel vo Eizahluge ud Auszahluge i der Regel icht vorkommt. Darüber hiaus habe sich die Akteure dara gewöht, i Redite zu deke, so dass eie ausführliche Aalyse dieses Bereichs für Fiazmarktteilehmer sehr wichtig ist. I diesem Abschitt werde zuerst die Grudlage der Effektivverzisug eischließlich eiiger Näherugsformel bei festverzisliche Wertpapiere besproche. Aschließed werde Papiere des Geldmarkts aalysiert, dee i der Regel eie lieare Zisverteilug zugrude liegt. Daach wird der Aleihemarkt bei glatter Restlaufzeit diskutiert ud uter diesem Gesichtspukt auch die Zisstrukturkurve ud das Zisäderugsrisiko behadelt. Schließlich werde da Effektivzise bei gebrochee Laufzeite mit eibezoge. 2.1 Grudlage der Effektivverzisug Grudsätzlich ist es dekbar, afallede Zahluge auf de Edpukt des Zahlugsstroms aufzuzise, d.h. theoretisch wiederazulege, um daraus de Effektivzis zu ermittel. Dies geschieht beispielsweise bei Kredite ud ist sogar i Deutschlad i der Preisagabeverordug vorgeschriebe. Wertpapierhädler deke jedoch i Kurse, so dass die Zahluge auf de Abrechugstag bezoge werde. Die zuküftige Zahluge werde also auf de Valutatag abgezist. Beim Kauf zwische zwei Kupotermie muss der Käufer meist auch ateilig Zise für die bereits abgelaufee Zeit des ächste Kupos etrichte; es müsse bei Kauf zusätzlich Stückzise gezahlt werde. Die Kurse werde jedoch meist clea otiert, d.h. ohe Stückzise, währed sich die Effektivzise im Regelfall auf die geleistete Zahlug, also eischließlich der Stückzise, beziehe (dirty price). Bei verbrieftem Fremdkapital hadelt es sich i der Regel um edfällige Papiere mit regelmäßige Ziszahluge, so dass bei der Etwicklug vo Recheformel eiige Vereifachuge möglich sid. Bei Redite sid uterschiedliche Defi- Spriger Fachmedie Wiesbade 2017 T. Heidor ud C. Schäffler, Fiazmathematik i der Bakpraxis, DOI / _2 25

4 2 Fiazmathematik itioe üblich, die im Weitere kurz erläutert werde. Zur Verdeutlichug diet eie Aleihe mit folgede Ausstattugsmerkmale: Beispielaleihe: Kupo: 8% Restlaufzeit: 9 Jahre Tilgug: 102 (102 ist sehr selte, im Regelfall wird zu 100 getilgt) Küdigugsmöglichkeit für Emittete (Call): ach 5 Jahre zu 104 Kurs: 110 Da eie glatte Restlaufzeit vorliegt, müsse auch keie Stückzise gezahlt werde, der dirty price etspricht also dem clea price. Nomialverzisug Dies ist der vom Emittete versprochee Zissatz, im Regelfall also der Kupo. Bezoge auf das Beispiel beträgt er 8%. Da hier jedoch weder Kapitaleisatz och mögliche höhere Rückzahluge miteibezoge werde, spielt diese Verzisug ur im Hiblick auf das direkt zufließede Geld ud die Besteuerug im private Vermöge eie Rolle. Laufede Verzisug (curret yield) Die laufede Verzisug ist der Quotiet aus Nomialverzisug ud Kapitaleisatz. Dies trägt dem eifache Zusammehag Rechug, dass ei gleicher Kupo bei gerigerem Kapitaleisatz eie höhere Redite erbrige muss. r c Kupo Kurs Beispiel: r c , 27% Bei dieser Berechug bleibe Disagiogewie oder -verluste außer Betracht, so dass sie auch ur ei sehr ugeaues Maß für die Redite eies Wertpapiers sid. Bei der Berechug eier Redite müsse aber Zis, Ausgabekurs, Rückzahlugskurs ud Tilgugsmodalitäte berücksichtigt werde, um eie geaue Effektivzis zu erhalte. 26

5 2.1 Grudlage der Effektivverzisug Eifache Verzisug (simple yield-to-maturity) Bei dieser oft auch als kaufmäisch bezeichete Methode werde Zis ud ateiliger Rückzahlugsgewi auf das eigesetzte Kapital bezoge ud liear über die Laufzeit verteilt. r sim ( Rückzahlug Kurs) Kupo Laufzeit Kurs Beispiel: r sim ( ) , % Dies ergibt eie erste Aäherug für eie Effektivverzisug. Allerdigs spielt hier der Zeitpukt der Disagiogewie ud -verluste keie Rolle, daher eiget sich dieses Verfahre ur für Überschlagsrechuge bzw. für erste Näheruge bei Iteratiosverfahre. Uterjährige Kupos werde icht berücksichtigt, so dass sich dieses Verfahre kaum bei mehr als eier Kupozahlug im Jahr abietet. Das Ergebis liegt allerdigs relativ ah beim fiazmathematisch exakte Effektivzis vo 6,66 (vgl ). Yield-to-call, Yield-to-put Hat der Emittet eier Aleihe das Recht, die Aleihe zu küdige (Call), wird er bei fallede Zise davo Gebrauch mache. Im Regelfall gibt da die Yield-tocall über die Redite im etsprechede Zeitraum Auskuft. Meist sollte Papiere, die über dem Küdigugskurs otiere, mit der Yield-to-call-Redite bewertet werde, da eie Küdigug wahrscheilich ist. Beim Yield-to-put hat der Aleihekäufer das Küdigugsrecht (Put), das er i der Regel bei steigede Zise ausübe wird, um Rediteverbesseruge zu erreiche. Yield to average life Bei laufede Tilguge wird icht auf die letzte Tilgugstrache abgestellt, soder eie Redite i Bezug auf die mittlere Restlaufzeit errechet. Bei der Berechug vo Redite wird auf dem Geldmarkt ud dem Aleihemarkt uterschiedlich vorgegage. Da der Geldmarkt relativ ählich der Vorgehesweise der eifache Zisberechug ist, wird er hier zuerst aalysiert. 27

6 2 Fiazmathematik 2.2 Verzisug vo Geldmarktpapiere Im Regelfall wird auf dem Geldmarkt mit edfällige Papiere ohe laufede Ziszahlug gearbeitet. Sie habe i der Regel eie Laufzeit uter eiem Jahr, so dass der Effektivzis leicht zu bereche ist. Im Gegesatz zu de aschließed behadelte Aleihe werde die eifache Zise berechet, d.h. ur mit dem Ateil der Tage a der Periode gewichtet. Die Zistage werde vo Lad zu Lad uterschiedlich gezählt. Geerell werde die wirklich abgelaufee Tage (actual) berechet ud da durch die Basisperiode (i der Regel ei Jahr) geteilt. Dabei wird das Jahr zum Teil mit 360 Tage (USA, Deutschlad), zum Teil aber auch mit 365 Tage (Großbritaie) berechet. Die alte Usace i Deutschlad ware sogar 30 Zistage pro vollstädig abgelaufeem Moat (vgl. Abschitt 2.6.1) Diskotpapiere I de meiste Fälle ist eie Ziseszisberechug icht erforderlich, da zwischezeitlich keie Cash Flows afalle. Eie eifache Diskotierug des Rückzahlugsbetrages mit dem Effektivzis ergibt de Kaufpreis. Beispiele für solche Type sid Hadelswechsel, Schatzwechsel, Treasury Bills ud meistes Commercial Papers. Geerell folgt bei Diskotpapiere aus der simple yield-to-maturity: Rückzahlug Preis r Haltedauer Preis Basisperiode Der Zähler der Formel gibt de Ertrag a, der währed der Haltedauer zufließt, währed der Neer dies is Verhältis zum eigesetzte Kapital, bezoge auf die Bidugsdauer, setzt. Dies soll a eiem Beispiel verdeutlicht werde. 28

7 2.2.1 Diskotpapiere Beispiel: Abrechugstag: Fälligkeit: Preis: 98,69 a) Usace: act 360 (i Deutschlad Geldmarktusace uter Bake) b) Usace: (i Deutschlad zum Teil Geldmarktusace bei Kude) Zuerst müsse die Tage berechet werde. Bei der Usace a) sid dies 78, währed bei der Usace b) durch die Moatszählweise mit 30 Tage ur mit 76 Tage gerechet wird. Daraus ergibt sich eie Verzisug vo ,69 131, a) r e 98, %,, , ,69 131, b) r e 98, %,. 20, We der Zis für uterschiedliche Basisperiode berechet werde soll, ka er leicht umgerechet werde. Aufgrud des lieare Zusammehags gilt: IRR 365 IRR

8 2 Fiazmathematik Eimalige Ziszahlug bei Fälligkeit I seltee Fälle werde Geldmarktpapiere auch zum Nebetrag ausgegebe ud da bei Fälligkeit eischließlich eier Ziszahlug zurückbezahlt. Da diese Papiere eie Nomialzis (C) habe, muss beim Kauf währed der Laufzeit mit Stückzise gearbeitet werde. Daraus ergibt sich da folgede Formel: r Rückz. Laufzeit Kupo Preis Stückzise e Haltedauer Preis Stückzise Basisperiode Auch hier gibt der Zähler die Differez vo Zahlug bei Kauf ud dem am Ede zu erhaltede Betrag a. Dies muss auf das eigesetzte Kapital, gewichtet mit der Haltedauer, bezoge werde. Der Uterschied zu Diskotpapiere liegt i de evetuell zu leistede Stückzise auf de Kupo. Beispiel: Emissio: Kaufvaluta: Fälligkeit: Kupo: 6% Preis: 99,975 Usace: 30/360 Vo der Emissio bis zum Kauf sid 70 Tage vergage, bis zur Fälligkeit wird das Papier da weitere 35 Tage gehalte, so dass die Gesamtlaufzeit 105 Tage beträgt , r e , 360 6, 19% Literatur: Uhlir/Steier (2000), Wager (1988) 30

9 2.3.1 Edfällige Aleihe 2.3 Effektivverzisug bei Aleihe mit glatter Restlaufzeit Bei der Aalyse vo Gegewartswerte wird der Zissatz der etsprechede Periode geutzt, um de Barwert eies Cash Flows zu ermittel. Diese Form der Bewertug wird meist bei Projekte agewadt, um die Koste mit de mögliche Erträge vergleichbar zu mache. Da aber am Retemarkt i der Regel ei Kurs zur Verfügug steht, wird als Vergleichskriterium vo Aleihe meist die Effektivverzisug (IRR, Iteral Rate of Retur) heragezoge. Die Effektivverzisug ist der Zissatz, mit dem ma alle zuküftige Zahluge abzise muss, damit ihr Barwert dem Kurs der Aleihe etspricht. P C 1 C IRR 1 IRR 1 IRR 1 IRR C 3 C... Rückzahlug Der Zissatz (IRR), der diese Gleichug löst, ist also die Effektivverzisug ( r e ). Da es sich im Regelfall um eie Gleichug -te Grades hadelt, muss die Lösug durch ei Iteratiosverfahre gefude werde. Bessere kaufmäische Tascherecher ud Computerprogramme biete dies für glatte Restlaufzeite regelmäßig a, so dass hier etsprechede Formel ur kurz erwäht werde Edfällige Aleihe Die eifachste Form der edfällige Aleihe ist der Zerobod. Die Verzisug beruht ur auf dem Uterschiedsbetrag vo Ausgabepreis ud Rückzahlug. Bei der fiazmathematische Betrachtug ist es egal, ob es sich um eie Zissammler (Aufzisugspapier) hadelt, d.h. Zise werde icht ausgeschüttet, soder wieder agelegt, oder ob es sich um ei Diskotpapier (Abzisugspapier) hadelt. Da alle Kupos gleich 0 sid, reduziert sich die Formel auf: P Rückzahlug. 1 IRR So lässt sich der Effektivzis leicht ermittel. r e Rückzahlug IRR P

10 2 Fiazmathematik Beispiel: Die Effektivverzisug eies 5-jährige Zerobods mit eier Laufzeit vo 5 Jahre ud eiem Ausgabekurs vo 62,09 ist also 10%. 1 5 r e IRR % 62, 09 Als Usace wird i Deutschlad vo eier jährliche Zisvergütug ausgegage, die da zum Effektivsatz wieder agelegt wird. Da es jedoch auch Aleihe gibt, die halbjährlich zahle, sollte geau aalysiert werde, wie solche Papiere bewertet werde müsse. Bei mehrere Zahluge im Jahr köe Beträge scho uterjährig wieder agelegt werde. Sie werde da etspreched mitverzist. Eie Alage vo 1000 über 3 Jahre, die mit 6% verzist wird, erreicht eie Edwert vo 1191,02. Tabelle 2.1 JÄHRLICHE VERZINSUNG MIT 6% Jahr PV Verzisug FV ,00 106, 1 060, ,00 106, 1 123, ,60 106, 1 191,02 Ist der Zismodus halbjährlich, wird jeweils die Hälfte der Zise bereits i der Jahresmitte ausgeschüttet. Da sie scho zu diesem Zeitpukt wieder agelegt werde köe, ergibt sich folgede Zahlugsreihe: 32

11 2.3.1 Edfällige Aleihe Tabelle 2.2 HALBJÄHRLICHE VERZINSUNG MIT 6% Jahr PV Verzisug FV 0, ,00 103, 1 030, ,00 103, 1 060,90 1, ,90 103, 1 092, ,73 103, 1 125,51 2, ,51 103, 1 159, ,27 103, 1 194,05 Durch die Möglichkeit der frühere Wiederalage steigt der gesamte Ziserfolg bis zur Periode 3 vo 191,02 auf 194,05. Soll sich diese Wirkug im Zissatz widerspiegel, muss bei eier icht jährliche Verzisug der Periodeeffektivsatz auf eie Jahreseffektivsatz hochgerechet werde. Daraus resultiert etspreched die Formel: IRR a Kupos pro Jahr IRRomial _ effektiv 1 1 Kupos pro Jahr Beispiel: 2 IRR a 1 006, 1 0, , 09% 2 Die Umrechug bezieht sich ur auf de Wiederalageeffekt. Legt ma zu diesem Satz eie Betrag jährlich a, erhält ma das gleiche Edvermöge wie bei halbjährlicher Zahlug: 33

12 2 Fiazmathematik Tabelle 2.3 JÄHRLICHE VERZINSUNG MIT DEM PERIODENEFFEKTIVSATZ Jahr PV Verzisug FV , , 1 060, , , 1 125, , , 1 194,05 Erhöht ma die Zahluge pro Jahr weiter, ergibt sich bei eier moatliche Zahlug ud eiem Nomialzis vo 6% ei Effektivsatz vo 6,17%. 12 IRR a 1 006, 1 0, , 17% 12 Auch der Zukuftswert ka da leicht i Abhägigkeit vo der Häufigkeit der Kupozahluge ermittelt werde. Nomialzissatz FV PV 1 Kupos pro Jahr LaufzeitKupos pro Jahr , 2 32 Mit dieser Formel ka da der Effekt eier Verkürzug der Zisperiode utersucht werde. Bei der Alage vo 100 zu 10% für 5 Jahre etstehe bei jährlicher Verzisug , , bei halbjährlicher Verzisug , , 89 bei moatlicher Verzisug , , 53 34

13 2.3.1 Edfällige Aleihe 01, bei täglicher Verzisug , 86 Die Veräderug der Verzisug immt zwar bei jeder Verkürzug der Verzisugsperiode zu, jedoch werde die Uterschiede immer kleier. Bei eier "seküdliche" Verzisug erreicht ma da fast de Grezwert eier kotiuierliche Verzisug. Dies ist eie Fuktio der atürliche Zahl e= 2,718 (vgl. 7.2). Nomialzissatz 1 Kupos projahr LaufzeitKupos projahr 1 1 NomialzisLaufzeit mit Kupos projahr Nomialzissatz Kupos pro Jahr da 1 lim1 NomialzisLaufzeit 1 lim 1 NomialzisLaufzeit e NomialzisLaufzeit Damit ergibt sich für die kotiuierliche Verzisug: FV PV e Laufzeit r cot mit r cot kotiuierlicher Vergleichszis. Bei eier Verzisug vo 10% ud eier Laufzeit vo 5 Jahre ergibt sich bei Alage vo 100: 501, FV 100 2, , 872 Der Wert uterscheidet sich kaum och vo der tägliche Verzisug. Der kotiuierliche Zis ist sehr wichtig i der Optiostheorie. Dabei spielt es eie Rolle, die Zissätze ieiader umreche zu köe. Damit der Zukuftswert bei diskreter ud kotiuierlicher Verzisug idetisch ist, muss gelte: 35

14 2 Fiazmathematik r Nomialzis cot PV e FV PV 1 Kupos pro Jahr Kupos pro Jahr r Nomialzis cot e 1 Kupos pro Jahr Kupos pro Jahr Nomialzis rcot Kupos pro Jahr l1 Kupos pro Jahr Ei jährlicher Zissatz vo 10% etspricht also eier kotiuierliche Verzisug vo 9,53%. r cot , l 9, 53%, da 100 e, 16105, Die Umrechug vo Zissätze ist bei alle Aleiheforme möglich. Bei eiem Zerobod mit halbjährlicher Zisverrechug gilt etspreched folgede Formel: P Rückzahlug IRR So lässt sich der Jahreseffektivzis mit 1 Rückzahlug 2 IRR 2 1 P erreche. Also ergibt sich die Effektivverzisug eies 5-jährige Zerobods mit eier Laufzeit vo 5 Jahre ud eiem Ausgabekurs vo 62,09 auf 9,76% wie folgt: IRR , , , 76% 36

15 2.3.1 Edfällige Aleihe Die meiste Aleihe sid jedoch mit eiem Kupo ausgestattet, so dass die Aalyse des Zahlugsstroms schwieriger wird. I der allgemeie Formel ka da statt der Zahlug (Z) der idetische Kupo (C) beutzt werde. P C 1 C IRR 1 IRR 1 IRR 1 IRR C 3 C... Rückzahlug Dieser Zahlugsstrom setzt sich eierseits aus der Rückzahlug am Ede der Laufzeit ud adererseits aus de Kupozahluge währed der Laufzeit zusamme. P Rückzahlug C i 1 IRR i 1 1 IRR Die Summe der Kupozahluge ist eie edliche geometrische Reihe (vgl. 8.1). Uter Ausutzug der Summeformel ka die Gleichug wie folgt umgeformt werde: P Rückzahlug C 1 IRR 1 1IRR 1. IRR IRR Diese Gleichug lässt sich icht mehr eifach ach der Verzisug auflöse, so dass das Ergebis durch "Probiere", also durch ei Suchverfahre, gefude werde muss. Dies ist heutzutage mit Computer ud Tascherecher relativ eifach. Beispiel: Bei eier 9%-Aleihe mit Restlaufzeit vo 5 Jahre ud eiem Rückzahlugskurs vo 102 ergibt sich bei eiem Kurs vo 114,13: , 13 1 IRR IRR 1 IRR IRR Der Tascherecher zeigt eie Effektivzis vo 6%. Dies ka durch Eisetze leicht überprüft werde: , , ,, , , 0, 06 0,

16 2 Fiazmathematik Isoweit ist der Effektivzis uabhägig vo der Rechemethode, bei glatte Laufzeite wird bei alle Verfahre i dieser Weise gearbeitet. Literatur: Wager (1988), Westo (2000) Aleihe mit besodere Tilgugsforme Im Allgemeie werde Aleihe am Ede der Laufzeit getilgt, jedoch komme auch adere Tilgugsforme vor. Geerell muss da dieser Zahlugsstrom etspreched diskotiert werde, um da durch "Probiere" eie Lösug zu ermittel. P Z Z 1 Z IRR 1 IRR 1 IRR 1 IRR Zahlug zum Zeitpukt Z 3... Z Eie häufige Variate, die isbesodere aus dem Kreditgeschäft bekat ist, ist die Verbidug vo Tilgug ud Ziszahluge. Der Bod leistet also über die gesamte Laufzeit i jeder Periode die gleiche Rate, wobei der Zisateil städig abimmt, währed der Tilgugsateil steigt. Somit ist i der letzte Periode ohe zusätzliche Zahlug die gesamte Schuld zurückgeführt. Beispiel: Bei eiem 4-jährige Bod wird jeweils eie Rate vo 31,55 fällig. Der Kurs liegt bei 100, so dass durch "Probiere" ei Effektivsatz vo 10% ermittelt wird. Dies lässt sich leicht veraschauliche: 3155, 3155, 3155, 3155, 28, 68 26, 07 23, , 100, , 11, 11, 11, Jedoch verädert sich der Ateil vo Zis ud Tilgug bei jeder Zahlug. 38

17 2.3.3 Fallstudie Neuemissioe Tabelle 2.4 RATENKREDIT Jahr Rate Ziszahlug Tilgug Restschuld 0 100, ,55-100,00 0,1 21,55 78, ,55-78,45 0,1 23,71 54, ,55-54,74 0,1 26,08 28, ,55-28,66 0,1 28,68 0 A diesem Beispiel ka aschaulich die Idee des Effektivzises erklärt werde. Der Effektivzis berücksichtigt jede Zahlug ud diskotiert sie etspreched ihres Zeitpukts. So werde die Zise immer ur auf die Restschuld berechet. Mit jeder Zahlug immt diese Restschuld ab, so dass der Zisateil vo 10 auf 2,866 zurückgeht. Gleichzeitig wächst der Tilgugsteil vo 21,55 auf 28, Fallstudie Neuemissioe Die Firma Power plat die Aufahme vo 100 Millioe für füf Jahre. Eie Möglichkeit ist die Emissio eier Aleihe, wobei de Usace gemäß Power eie Gebühr vo 2% des Nomialbetrags ud am Zahltag als Emissioskoste aufwede müsste. Das Etscheidugskriterium für Power sid die All-i- Koste, also der Effektivsatz, der alle Zahluge berücksichtigt. Weige Tage vorher wurde vo der Firma Boom bereits eie 8%-Aleihe mit füf Jahre Laufzeit platziert. Da Power ud Boom vom Kapitalmarkt ählich eigeschätzt werde, wird diese Aleihe für de Reditevergleich auf der Ivestoreseite heragezoge. Die Aleihe hadelt uter Bake zum Kurs 98,00. Damit errechet sich eie Effektivverzisug vo 8,51%. Der Markt scheit im Momet eher a höhere Kupos iteressiert zu sei, ud so etscheidet sich die Emissiosbak für 8,25%. Bei eiem Ausgabekurs vo 99% ergibt sich eie Redite vo 8,50%. 825, 825, 825, 825, 108, 25 99, 00 (, 1085) 1 (, 1085) 2 (, 1085) 3 (, 1085) 4 (, 1085) 5 39

18 2 Fiazmathematik Da die Hadelsabteilug für eie solche Ausstattug Bedarf sieht, ka ei Agebot a Power uterbereitet werde. Um die Effektivkoste zu bereche, müsse vom Emissiospreis 2% der Nomialsumme ud zusätzlich abgezoge werde. Damit fließe Power 96,8 Mio. bei Emissio zu. Die Effektivverzisug liegt damit bei 9,07%. 825, 825, 825, 825, 108, 25 96, 8 (, 10907) (, 10907) (, 10907) (, 10907) (, 10907) Power muss u vergleiche, ob adere Aleihe oder Kredite zu eier güstigere Fiazierug führe. Ist dies icht der Fall, wird Power das Emissiosagebot aehme Effektivverzisug uter Steuergesichtspukte Bei der Ermittlug vo Effektivzise bliebe Steuer bisher außer Acht. Da aber im Regelfall icht die zufließede Beträge, soder die etto verfügbare Gelder wichtig sid, muss eie Effektivverzisug ach Steuer berechet werde. Viele Steuersysteme behadel Zise ud Kapitalerträge bei private Ivestore uterschiedlich. Teilweise müsse im Privatvermöge Zise ach Erreiche des Freibetrags mit dem idividuelle Grezsteuersatz versteuert werde, higege sid Kapitalerfolge uter Wahrug bestimmter Haltedauer steuerfrei. I Deutschlad wurde dieser Uterschied aufgehobe. Für jede Aleger kommt es da, je ach Situatio ud persölichem Steuersatz, zu uterschiedliche Alageetscheiduge. Bei der Ermittlug der Effektivverzisug wird vom Zahlugsstrom ur der etto zufließede Betrag berücksichtigt. Ist z.b. der Rückzahlugsgewi steuerfrei der Kupo aber icht ergibt sich folgede Formel: P Rückzahlug 1 IRR ach Steuer i 1 1Steuersatz 1 IRR ach Steuer C i 40

19 2.3.4 Effektivverzisug uter Steuergesichtspukte Beispiel: Diese Formel wird am Beispiel folgeder 3-jährige Aleihe erklärt: Tabelle 2.5 ANLEIHEN Kürzel Laufzeit Kupo Preis etto A 3 Jahre 6% 96,20 B 3 Jahre 10% 102,70 Die beide Ivestore Poor ud Rich habe eie margiale Steuersatz vo 20% bzw. 60%. Ihre Freibeträge sid bereits ausgeschöpft. Etspreched ergibt sich eie Effektivverzisug der Aleihe vo: A) Kupo 6%, Preis 96,20 r vor Steuer 7,46% Netto Zufluss Poor sid 80% vo 6 4,8 r Poor 6,23% Netto Zufluss Rich sid 40% vo 6 2,4 r Rich 3,76 B) Kupo 10%; Preis 102,7 r vor Steuer 8,93% Netto Zufluss Poor sid 80% vo 10 8 r Poor 6,97% Netto Zufluss Rich sid 40% vo 10 4 r Rich 3,04% Obwohl vor Steuer die Aleihe B eideutig eie höhere Verzisug erbrachte, ergibt sich ach Steuerbetrachtug, dass sich ur Poor für diese Aleihe etscheide sollte. Durch das Disagio der Aleihe A fließt Rich ei steuerfreier Kapitalgewi zu. Dies bedeutet eie Effektivverzisug ach Steuer vo 3,76% ud ist für ih der höhere Satz. Diese Steuerproblematik stellt sich bei de meiste Aleihetype, so dass eie sivolle Auswahl für Privativestore ubedigt die steuerliche Seite berücksichtige muss. Weiterhi wird zwische Privatvermöge ud Betriebsvermöge uterschiede. Geerell müsse beim Betriebsvermöge sowohl die Zise als auch der Kapitalerfolg versteuert werde. Im Allgemeie köe dabei Kapitalverluste aus der Differez vo Erwerbs- ud Tilgugskurs über die Laufzeit verteilt abgeschriebe werde, sost gilt das Realisatiosprizip. Somit sid im Betriebsvermöge oft die Zeitpukte des Zuflusses über de Effektivzis hiaus wichtig. Literatur: Uhlir/Steier (2000) 41

20 2 Fiazmathematik 2.4 Bedeutug der Zisstrukturkurve Eie große Schwierigkeit bei der Bewertug mit Effektivzise ist die Tatsache, dass alle Zahluge mit dem gleiche Zissatz diskotiert werde. I der Realität werde jedoch oft uterschiedliche Zissätze i Abhägigkeit vo der Laufzeit vergütet. Dies wird i der Regel durch eie Zisstrukturkurve beschriebe. Bei eiem horizotale Verlauf sid die Zise i de Laufzeitsegmete aäherd gleich, bei steigeder Kurve (auch oft als "ormale" Ziskurve bezeichet) liege die lagfristige Zise über de kurzfristige, beim iverse Verlauf ist es da umgekehrt. Bei eier icht horizotale Ziskurve muss also der Effektivzis eie Durchschitt bilde, ma versucht mit eier eizige Ziszahl eie Zisstruktur zu beschreibe. Solage relativ ähliche Zahlugsströme i Bezug auf Struktur ud Laufzeit vergliche werde, ist die Gefahr eier Fehletscheidug relativ gerig. Bei kompliziertere Strukture ist das Effektivziskriterium icht ubedigt ausreiched Spot Rates ud Forward Rates Eie Alterative ist die Diskotierug der Zahluge mit de periodegerechte Zissätze, um da die Barwerte mit dem Preis am Markt zu vergleiche. Betrachte wir diese Asatz äher: P C 1 C C C Rückzahlug r 1 r 1 r 1 r Bei eier gegebee Zisstruktur ka leicht der Gegewartswert ud damit der fiazmathematisch richtige Preis errechet werde. Dazu werde die Spot Rates ( r s ) heragezoge, also der Zerozis, der geau für de Zeitraum vo heute bis verlagt wird. 42

21 2.4.1 Spot Rates ud Forward Rates Gegebee Zisstruktur: Laufzeit vo heute bis Ede Jahr 1 r s1 10% Laufzeit vo heute bis Ede Jahr 2 r s2 11% Laufzeit vo heute bis Ede Jahr 3 r s3 12% Für eie 3-jährige Bod mit eiem Kupo vo 10% ergibt sich da ei Gegewartswert vo 95,50. PV ,1 (1,11) 110 (1,12) ,50 Bei der Berechug des Effektivzises für de Preis vo 95,5 ergibt sich 11,87%, die Zisstruktur geht damit verlore. Bei solche Strukture ka das Effektivziskriterium i die Irre führe. Dies soll folgedes Beispiel verdeutliche. Beispiel: Am Markt wird die folgede Zisstruktur beobachtet: r 10% r 11% r 12% s1 s2 s3 Zwei 3-jährige Aleihe mit eiem Kupo vo 6% bzw. 12% habe eie fiazmathematisch richtige Barwert vo 85,77 bzw. 100, , 111, 112, 85, 77 IRR 1192%, , 111, 112, 100, 37 IRR 1185%, Bei diesem Preis scheit der 6%-Kupo jedoch eie höhere Verzisug mit eiem Satz vo 11,92% im Vergleich zu 11,85% zu erziele. Das Effektivziskriterium täuscht eie Wertuterschied vo 0,07% vor. Zur korrekte Aalyse müsse zuerst Spot Rates errechet werde. Die eifachste Möglichkeit, aus dem Kapitalmarkt Spot Rates abzuleite, ist die Aalyse vo Zerobods der etsprechede Laufzeit, da ja explizit keie Zahluge i de Zeitraum falle solle. 43

22 2 Fiazmathematik Für eie Zerobod mit der Restlaufzeit vo Jahre ud jährlicher Verzisug errechet sich der Effektivzis mit: r s Rückzahlug Preis 1 1 Etspreched köe aus de Kurse dreier Zerobods, die mit 100 zurückgezahlt werde, die Spot Rates errechet werde. Beispiel: Laufzeit 1 Jahr Kurs: 90,91 Laufzeit 2 Jahre Kurs: 81,16 Laufzeit 3 Jahre Kurs: 71,18 Spot Rates: r S1 r S2 r S % 90, % 8116, % 7118, Währed die Spot Rates zur Diskotierug eies Cash Flows die eifachste Möglichkeit darstelle, köe aus der Spot-Rate-Struktur auch implizit die Sätze für zuküftige Periode errechet werde. Diese Forward Rates ( r f ) sid ei i der Zukuft begieder eiperiodiger Zissatz. Sie beruhe auf der Idee, dass eie Alage über zwei Jahre geau so viel Zise erbrige muss, wie die Alage für ei Jahr ud gleichzeitiger Abschluss eier Forward-Alage i eiem Jahr für ei Jahr. Dabei bezeichet also r f eie Alage vom Jahr 1 bis zum Jahr. Aus de Spot Rates sollte sich bei iformatioseffiziete Märkte immer die Forward Rates (implied) erreche lasse. Eie Alage für 1 Jahre bei gleichzeitigem Abschluss eier zuküftige Alage eischließlich der Zise i 1 Jahre für ei Jahr muss de gleiche Ertrag ergebe, wie die Alage des Betrages für Jahre. Es gilt daher: 44

23 2.4.1 Spot Rates ud Forward Rates 1 1 r 1 r 1 r s 1 f S r f 1 r 1 rs S Beispiel: Aus de o.g. Agabe ergibt sich folgede Forwardstruktur: Die Forward Rate ( r f 2 ) i eiem Jahr für ei Jahr liegt bei 12,01%. r f 2 1 r 1 r 2 S2 1 S , , 01% 11, Der Forwardsatz i zwei Jahre für ei Jahr liegt bei 14,03%. r f 3 1 r 1 r 3 S3 2 S , , 03% 2 111, Defiitiosgemäß gilt: rf1 rs1 10% Abbildug 2.1: Zisstruktur mit Spot- ud Forward Rates Es fällt sofort auf, dass eie steigede Ziskurve deutlich stärker steigede Forwards zur Folge hat. Um die Rechug für die implizite Forwards zu überprüfe, wird ei Betrag vo 100 eimal zum Spotsatz für 2 Jahre agelegt. Dies ergibt: 2 2 FV 100 ( 1+ ) 100 ( 111, ) 123, 21 r s 2 45

24 2 Fiazmathematik Alterativ köe 100 zum Spotsatz für ei Jahr agelegt werde ud gleichzeitig eie weitere Alage eischließlich der Zise i eiem Jahr für ei Jahr abgeschlosse werde. FV 100 ( 1+ r ) ( 1+ r ) , 11201, 123, 21 s1 f2 Die implizite Forwards stelle also keie Meiug über zuküftige Sätze dar, soder sid ei reies Arbitrageergebis aus der heutige Ziskurve ud köe damit auch risikofrei abgesichert werde Spot Rates als Bewertugskriterium Im Regelfall liegt aber keie ausreichede Zahl liquider Zerobods vor. Als Hilfestellug köe beispielsweise die Festsatzseite vo Swaps ud der Geldmarkt beutzt werde. Eie weitere iteressate Möglichkeit ist das Zerlege vo Kupo-Bods i ihre Bestadteile, d.h., es wird sozusage eie Folge vo küstliche Zerobods gebildet. Durch diese Asatz ist es möglich, die Aleihe mit Hilfe des Zissatzes, der für die letzte Periode gezahlt wird, zu vergleiche. Dies wird a folgeder Aleihestruktur deutlich: Tabelle 2.6 MARKTSITUATION AM ANLEIHENMARKT Aleihe Laufzeit P C1 C2 C3 IRR A , ,00% A2 2 96, ,97% A3 3 95, ,00% B , ,00% Die Spot Rate der erste Periode ist leicht mit 8% zu ermittel. 8 r s1 8% 100 Der zweite Zahlugsstrom wird i die Zahlug vo 7 i eiem Jahr ud die Zahlug vo 107 i zwei Jahre zerlegt. Diskotiert ma die erste Zahlug (7) mit dem 46

25 2.4.2 Spot Rates als Bewertugskriterium Spotsatz für ei Jahr, ergibt sich dere Barwert. Dieser wird vom Preis der Aleihe abgezoge. 7 96, 54 90, , Für die Zahlug vo 107 i zwei Jahre werde etspreched 90,0585 aufgewadt. Daraus lässt sich ei Spotsatz für 2 Jahre erreche , 0585 ( 1 r ) 2 ( 1 r ) 11881, r 9, 00% 2 s2 s 2 s2 Daraufhi köe u die Aleihe A3 ud B3 bewertet werde. Beide Aleihe habe eie Effektivverzisug vo 10%, müsste ach diesem Kriterium also gleichwertig sei. Zieht ma jedoch die Spot Rate der letzte Periode hera, ergibt sich ei aderes Bild: , , 109, ( 1 r ) , 86 ( 1 r ) 3 3 s3a3 s3a3 3 ( 1 ) , r r s 3 A %,, IRR 10% s3a3 A , , 109, ( 1 r ) 3 s3b , 05 ( 1 r ) 3 s3b3 3 ( 1 ) , r r s 3 B 3 10, 15% IRR 10% s3b3 B3 Die Aleihe B3 ist ach dem Kriterium der Spot Rate i der letzte Laufzeit-Periode vorzuziehe. Durch eie Bewertug mit Hilfe des Effektivzises wird die Wiederalagemöglichkeit ur verzerrt wiedergegebe. Folglich muss es möglich sei, aus der Kombiatio vo A1, A2 ud B3 de Cash Flow vo A3 zu reproduziere, jedoch zu eiem gerigere Kurs. 47

26 2 Fiazmathematik Dazu beötigt ma für jeweils 100 omial der Aleihe (vgl. Tabelle 2.7): 1. Zur Reproduktio der Edzahlug vo 108: 108 0, der Aleihe B Zur Reproduktio des Cash Flows i der zweite Periode muss der Arbitrageur 2, , Ateile der Aleihe A2 verkaufe, um die zu hohe Zahlug aus B3 auszugleiche. Zur Duplikatio der Zahlug i Periode 1 müsse da 2, , Ateile der Aleihe A1 verkauft werde. Folglich ist ei Leerverkauf sivoll. Damit ergibt sich folgedes Arbitrage-Portfolio: Tabelle 2.7 ARBITRAGE-PORTFOLIO ZUR REPRODUKTION VON A3 Aleihe Laufzeit P C1 C2 C3 A , A2 2 96, A3 3 95, B , Arbitrage-Portfolio B3 0, ,72 10,7 10,7 108 A2 0, ,44 0,18 2,7 A1 0, ,33 2, Summe 3 94, Mit Hilfe der Arbitrage ist es geluge, de Cash Flow vo A3 zu reproduziere, jedoch kostet dieses Portfolio 0,05 weiger als die Aleihe A3. Trotz gleicher Effektivverzisug ist es also sivoller, die Aleihe B3 zu erwerbe, da das etscheidede Kriterium zum Vergleich der Aleihe eier Laufzeitklasse, die Spot Rates des letzte Zeitraums sid. Dabei sollte die Aleihe mit de jeweils höchste Spot Rates gekauft ud die mit de iedrigste verkauft werde. 48

27 2.4.3 Beispiel Coupo Strippig Beispiel Coupo Strippig Coupo Strippig bezeichet de Vorgag der Treug vo Matel ud Boge eier ursprügliche Kupoaleihe. Die Aleihe wird dadurch i ihre eizele Cash Flows zerlegt, die aschließed zu ihrem jeweilige Barwert veräußert werde. Die eizele Kompoete (Zisscheie ud Stammrecht) werde als Strips bezeichet. Sie sid wirtschaftlich gesehe Nullkupoaleihe, da sie heute zu ihrem jeweilige Barwert erworbe werde köe ud bei Fälligkeit zum Newert zurückgezahlt werde, laufede Kupozahluge fide icht statt. Das Coupo Strippig ist seit Juli 1997 bei Budesaleihe zulässig. Damit wird es möglich, die Zahlugsströme eier Budesaleihe eizel als Zerobod zu hadel. Strippigberechtigt sid sowohl istitutioelle als auch private Ivestore, währed die Wiederzusammeführug der Strips zur Ursprugsaleihe, das sog. Rebudlig, istitutioelle Aleger bzw. für zisabschlagpflichtige Aleger Kreditistitute vorbehalte ist. Durch diese Möglichkeit etstehe eue Ivestitiosstrategie. Dem Ivestor wird u eie Vielzahl vo Zerobods mit der Boität des Budes agebote ud damit das Problem der gerige Verfügbarkeit vo Nullkupoaleihe gelöst. Hizu komme steuerliche Aspekte, da der Strip (die Sequez der Zerobods) uter Umstäde aders als die Aleihe behadelt wird. Dem Strippig-Vorgag liegt die Überlegug zugrude, dass es sich bei eiem festverzisliche Wertpapier um ei Portfolio aus Nullkupoaleihe mit uterschiedliche Fälligkeite hadelt. Somit etstehe beispielsweise durch das Strippig eier zehjährige Kupoaleihe mit eiem 10%-Kupo p.a. ud jährlicher Ziszahlug beim Strippig 11 Nullkupoaleihe (10 Ziskupos mit Newert 10, plus 1 Stammrecht mit Newert 100 ). Die Bewertug der eizele Strips erfolgt durch Diskotierug des Newertes mit dem jeweilige Zerozis der Zisstrukturkurve. Bei Emissio wird für die Cum-Aleihe (mit Kupos) eie Wertpapier-Ke-Nummer (WKN) vergebe. Zusätzlich erhalte die eizele Strippigkompoete (Zisscheie ud Stammrecht) jeweils separate Keummer. Das Strippig ist für Ivestore am deutsche Retemarkt i zweierlei Hisicht attraktiv. 1. Seit 1985 die Begebug vo Nullkupoaleihe i Deutschlad möglich wurde, sid im Verhältis zum Volume des Retemarktes relativ weige emittiert worde. Die durch Strippig vo Budesaleihe etstehede Bud-Strips köte de Markt für die uter Aalyste beliebte Nullkupoaleihe i Deutschlad belebe. Durch ei breites Laufzeitbad Zeros würde viele bisher uter Zuhilfeahme vo Kupoaleihe kostruierte Alagestrategie eie eue Qualität gewie. 49

28 2 Fiazmathematik 2. Das weitere Charakteristikum vo stripbare Aleihe ist die uterschiedliche steuerliche Behadlug vo Kupoaleihe ud Strips. Stripbare Aleihe beihalte eie Optio, die dem Besitzer der Aleihe das Recht eiräumt, zwei Portfolios gegeeiader zu tausche. Die ugestripte Aleihe ud das jeweils korrespodierede Portfolio der Strips köe durch Strippig bzw. Rebudlig gegeeiader getauscht werde. Somit hat der Ivestor eie zusätzliche Optio ud ka dieses Recht je ach steuerlichem Umfeld mehrfach ausübe. Beim Strippig ka der Zusammehag der Redite vo Kupoaleihe im Bezug auf Zeroaleihe des Budes aschaulich erläutert werde. Zur Zeit werde meist aus de Zissätze der Kupoaleihe mit Hilfe des Bootstrappig die implizite Preise für die Zerobods ermittelt. Als Beispiel wird ei Markt mit drei Kupoaleihe (K1 bis K3) betrachtet: Tabelle 2.8 MARKTSITUATION AM ANLEIHENMARKT VOR STRIPPING Aleihe Laufzeit Preis C1 C2 C3 Redite K , ,00% K2 2 96, ,97% K3 3 95, ,00% Der Zissatz für eie eijährige Zerobod r z1 ist leicht mit 8% zu ermittel: 8 r z1 8% 100 Der zweite Zahlugsstrom wird i die Zahluge vo 7 i eiem Jahr ud 107 i zwei Jahre zerlegt. Diskotiert ma die erste Zahlug (7) mit dem Zerosatz für ei Jahr ab, ergibt sich dere Barwert. Dieser wird vom Preis der Aleihe abgezoge: 7 96,54 90,0585 1,08 50

29 2.4.3 Beispiel Coupo Strippig Für die Zahlug vo 107 i zwei Jahre werde 90,0585 aufgewadt. Dies etspricht dem theoretische Preis eies Zerobods, der sich auf de gestripte letzte Kupo ud die Rückzahlug der Kupoaleihe bezieht. Daraus lässt sich ei impliziter Zerozissatz für zwei Jahre erreche: , 0585 r 9 00% 2 z 2, 1 r z2 Mit der gleiche Logik wird da die ächst lägere Aleihe zerlegt. Dies ergibt für das Beispiel , 109, r r 3 z 3 z3 10, 13% Währed früher diese Zerlegug ur aalytischer Natur war, ist sie u tatsächlich direkt am Markt umsetzbar. Hizu komme jetzt für Alageetscheiduge die etsprechede gestripte Bods (Z1 bis Z4). Tabelle 2.9 MARKTSITUATION AM ANLEIHENMARKT NACH STRIPPING Aleihe Laufzeit Preis C1 C2 C3 Redite K , ,00% K2 2 96, ,97% K3 3 95, ,00% Z1a 1 6, ,00% Z1b 1 7, ,00% Z2a 2 90, ,00% Z2b 2 6, ,00% Z3 3 80, ,13% Zu beachte ist dabei, dass der Barwert des Strips dem Preis der Aleihe fiazmathematisch etspreche muss. Da sich bei de Kupoaleihe die Redite aus eiem kapitalgewichtete Durchschitt der Zerozissätze ergibt, müsse die Zeroredite bei eier ormale Zisstrukturkurve über, bei eier iverse uter de Kuporedite liege. 51

30 2 Fiazmathematik Dies ist eie wesetliche Überlegug, da sich sost der Ivestor a der scheibar höhere Zeroredite (ormale Zisstruktur) bzw. scheibar kleiere Zeroredite (iverse Struktur) orietiere köte. Der Effekt beruht auf der Möglichkeit, bei ormaler Zisstruktur die Kupos scho heute zum höhere Forwardsatz alege zu köe (ivers vice versa). Vergleicht der Ivestor die Aleihe jedoch auf der richtige Basis, ergebe sich viele Vorteile aus Zerobods: kei Wiederalagerisiko vo Kupos, keie Problematik mit kleie Kupozahluge, die schwierig wieder azulege sid, stärkere Preisreaktio bei Zisveräderug aufgrud der lägere Duratio, Reproduktio beliebiger Cash-Flow-Profile, Abhägigkeit vo ur eiem Zissatz (eifachere Bewertug). 8,00% Iverse Zisstruktur Z i s 7,00% 6,00% 5,00% 4,00% Eijähriger Forward Kupokurve Zerokurve 3,00% Laufzeit Z i s 12,00% 11,00% 10,00% 9,00% 8,00% 7,00% 6,00% Normale Zisstruktur Eijähriger Forward Zerokurve Kupokurve Laufzeit Abbildug 2.2: Normale ud iverse Zisstruktur 52

31 2.5.1 Sesitivitätsaalyse Diese Aspekte treffe jedoch auf alle Zeroaleihe zu, das Strippig führt ur zu eiem größere liquidere Markt i risikofreie Zerobods, was aus Ivestoresicht sehr zu begrüße ist. Echte Uterschiede ergebe sich i zwei Hisichte: 1. We Ivestore verstärkt Nullkupoaleihe achfrage ud die eizele Strips am Markt zu eiem höhere Gesamtpreis verkauft werde köe als die Cum-Aleihe. Je ach Markteischätzug der Marktteilehmer wird die Alage i Strips dem Kauf der Cum-Aleihe vorgezoge bzw. umgekehrt. Dies bedeutet, dass das Arbitragegleichgewicht zwische Cum-Aleihe ud Strips gestört ist. Durch Strippig oder Rebudlig ka ei risikofreier Gewi erzielt werde. 2. We das Portfolio der Strips aufgrud uterschiedlicher steuerlicher Behadlug eie höhere Wert ach Steuer hat als die Cum-Aleihe. Dies hägt vo der idividuelle steuerliche Situatio jedes eizele Ivestors ab. Literatur: Heidor/Bruttel (1993); Uhlir/Steier (1991), Heidor/Vogt (1997) 2.5 Zisäderugsrisiko I de letzte Jahre ist die Aalyse vo Zisrisike immer mehr i de Vordergrud getrete. Viele Aktivitäte der Fiazabteiluge beschäftige sich mit der Frage, i welcher Weise sich Ziskoste bzw. Kurse vo Wertpapiere bei eier Zisäderug etwickel. Das Zisäderugsrisiko ka im Allgemeie am beste durch eie Veräderug des Marktwertes, also des Barwertes eies Zahlugsstroms, beschriebe werde. Dieser Asatz wird auch im folgede Abschitt gewählt Sesitivitätsaalyse Der Marktwert eies festverzisliche Papiers hägt ab vo: Marktzis, Laufzeit, Kupo, Tilgugsbetrag ud -struktur. Am beste ka die Wirkug eier Äderug dieser Parameter am Beispiel eier Aleihe utersucht werde. Geerell muss sich der Preis beim Kauf eier Rete so eistelle, dass eie marktgerechte Verzisug erfolgt. Dies gilt isbesodere da, we der Marktzis vom Kupo abweicht. I diesem Abschitt 53

32 2 Fiazmathematik wird das Zisrisiko als Kursäderugsrisiko i Bezug auf Marktzisäderuge aalysiert. Als Beispiel diet eie Aleihe mit folgeder Ausstattug: Beispielaleihe: Laufzeit: 10 Jahre Kupo: 10% Tilgug: 100 Etspricht der Marktzis dem Kupo, muss auch der Kurswert gleich der Tilgug sei. Beispiel: Marktzis: 10% Kurs: 100 Bei eiem Marktzis, der größer als der Kupo ist, müsse die Zahluge stärker diskotiert werde, so dass der Marktwert kleier als der Tilgugsbetrag ist. Beispiel: Marktzis: 12% Kurs: 88,70 Rückgag um 11,30 Fällt der Marktzis, werde alle Zahluge geriger abgezist, der Kurswert muss also steige. Beispiel: Marktzis: 8% Kurs: 113,42 Astieg um 13,42 Dara wird deutlich, dass die Wertveräderuge icht proportioal sid, bei fallede Zise sid die Äderuge größer als bei steigede Zise. Dieser Effekt wird auch als Kovexität bezeichet. Abhägigkeit vo der Restlaufzeit Der Kursäderugseffekt ist größer, je läger die Restlaufzeit ist, de die Kursuterschiede müsse da de Zisuterschied für eie lägere Zeitraum ausgleiche. 54

33 2.5.2 Sesitivität (Price Value of a Basis Poit) Beispiel: Marktzis: 12% bei Restlaufzeit 5 Jahre 92,79 Veräderug um 7,21 Aufgrud der sich automatisch verkürzede Restlaufzeit verrigert sich der Uterschied vo Marktwert ud Tilgugsbetrag sukzessiv, bis beide kurz vor Fälligkeit praktisch idetisch sid. Kupo-Höhe Ei höherer Kupo führt zu eier kleiere Äderug, da die Bidugsdauer der Alage kürzer ist ud etspreched scheller wieder agelegt werde köe. Beispiel: Marktzis: 13%, Kupo 11% Kurs: 89,15 Rückgag vo 10,85 Am stärkste wirkt sich eie Zisäderug bei eiem Zerobod aus, da hier das gesamte Kapital für die Restlaufzeit gebude ist. Tilgugsstruktur Wird die Aleihe icht zu 100 zurückgezahlt, soder zu eiem höhere Betrag, wirkt sich dies steigerd auf die absolute Kursveräderug aus, da eie sehr späte Zahlug auch stark diskotiert wird. Beispiel: Marktzis: 10% Tilgug 110 Kurs: 103,86 Marktzis: 12% Tilgug 110 Kurs: 91,92 Rückgag vo 11,93 (bzw. 11,93 103,85 115%, ) Sesitivität (Price Value of a Basis Poit) Häufig wird die Sesitivität (Price Value of a Basis Poit) als Maßzahl für die Wertveräderug des Kurses beutzt. Sie gibt a, wie stark der Preis sich bei eier Marktzisveräderug vo 0,01% (ei Basispukt) bewegt. 55

34 2 Fiazmathematik Beispiel: Marktzis: 10% Kurs 100 Marktzis: 10,01% Kurs 99,93858 Veräderug um -0,06142 Sesitivität: -0,06142 Bei eier Erhöhug des Zisiveaus um eie Basispukt fällt die Aleihe um ca. 0,06. Dieser Zusammehag ist also eie spezielle Form der Ziselastizität, die wie folgt defiiert ist: relative Barwertäderug Ziselastizitä t relative Zisäderug Beispiel: a) 00614, Ziselastizität , , b) Bei eier Aleihe mit 10 Jahre Restlaufzeit ud eiem Kupo vo 8% ergibt sich bei eiem Marktsatz vo 10% ei Kurs vo 87,71. Steigt der Marktsatz auf 10,01%, fällt der Kurs auf 87,65. Damit ka die Sesitivität mit 0,0561 ud die Ziselastizität mit 0,6396 bestimmt werde. Ziselastizität 0, ,71 0, , Diese Sesitivität eiget sich zur Abschätzug vo erwartete Kursäderuge, de geerell gilt: Kursveräderug Sesitivität Zisäderug %Pukte Für das Beispiel ka die Kursveräderug mit 0,06 abgeschätzt werde: 56

35 2.5.3 Duratio Kursveräderug 0, , 06 Da der Zusammehag zwische Kursveräderug ud Marktzisveräderug icht liear ist, steigt der Fehler der Abschätzug mit der Höhe der Zisveräderug. Beispiel: Zisäderug auf 11% abgeschätzte Kursveräderug 0, , wirkliche Kursveräderug 82, 33 87, , Zisäderug auf 12% abgeschätzte Kursveräderug 0, , wirkliche Kursveräderug 77, 40 87, 71 10, 31 Dieser Effekt ka leicht erklärt werde. Bei eier Abschätzug mit Hilfe der Ziselastizität wird ei liearer Zusammehag uterstellt, d.h., ma zeichet eie Tagete a die wirkliche Wertveräderugskurve. Da diese jedoch kovex ist, muss der Schätzfehler bei größere Zisäderuge zuehme (vgl ) Duratio Bei der Aalyse vo festverzisliche Aleihe steht die Bidugsdauer als wichtiges Kriterium im Mittelpukt. Oft wird die Restlaufzeit heragezoge, um uterschiedliche Aleihe zu vergleiche. Jedoch berücksichtigt diese Überlegug icht, dass scho vor der Fälligkeit im Regelfall Zahluge erfolge, die bei eiem Vergleich eie wichtige Rolle spiele, da sie zum aktuelle Zissatz wieder agelegt werde köe. Als besseres Kriterium wurde daher die Duratio etwickelt, die sich i modifizierter Form auch gut zum Abschätze vo Kursveräderuge eiget. Das Kozept geht auf Macaulay (1938) zurück ud wurde da i de siebziger Jahre wiederetdeckt. Die Duratio (D) gewichtet de Barwert der Zahluge mit ihrem Zahlugszeitpukt ud setzt sie da is Verhältis zum Barwert. Sie stellt damit die durchschittliche Bidugsdauer des Barwertes eies Cash Flows dar. 57

36 2 Fiazmathematik D t 1 t 1 tc 1 r C t t 1 r t t Im Neer steht ichts aderes als der Barwert des Cash Flows, also der Kurs der Aleihe. Im Zähler higege wird jede Zahlug diskotiert, aber darüber hiaus mit der Zeitperiode gewichtet, die sie vom Starttag etfert ist. Die Berechug der Duratio für eie Aleihe mit 8% Kupo ud 5 Jahre Restlaufzeit bei eiem Marktzis vo 8,5% ergibt 4,3045 Jahre , D 4, , 0297 Bildlich ka ma sich diese Berechug als eie Reihe vo Blöcke mit jeweils dem Gewicht des Barwertes der Zahlug, aufgereiht auf eiem Brett, vorstelle. We der Abstad der Blöcke vo der like Brettkate der jeweilige Zeit bis zur Zahlug etspricht, liegt die Duratio geau a der Stelle, a der das Brett im Gleichgewicht ist. Tabelle 2.10 BERECHNUNG DER DURATION EINER 5-JÄHRIGEN 8%-ANLEIHE BEI 8,5% RENDITE Periode (t) Zahlug PV Zahlug Periode PV Zahlug PV PV Zahlug gesamt PV PV Zahlug gesamt t 1 8 7,3733 7,3733 7,52% 0, , ,5913 6,93% 0, , ,7898 6,39% 0, , ,0904 5,89% 0, , , ,27% 3,6634 Summe 98, , ,00% 4,

37 2.5.3 Duratio Abbildug 2.3: Gleichgewichtsiterpretatio der Duratio D ist also ei Zeitmaß, ach desse Erreiche die Hälfte des zeitlich gewichtete Barwerts a de Ivestor geflosse ist. Solage keie Zahluge afalle, verkürzt sich die Duratio daher im selbe Maß, wie die Zeit vergeht. Nach eiem weitere halbe Jahr wäre damit D 4,3045 0,5 3,8045. Eie alterative Beschreibug bietet die letzte Spalte der Tabelle. Die Duratio ist die Summe des prozetuale Ateils des Barwertes eier Zahlug am Kurs der Aleihe, gewichtet mit dem Zeitpukt der Zahlug. Vergleicht ma die Duratio vo Kupoaleihe mit dere Restlaufzeit, wird deutlich, dass die Duratio um so kürzer ist, je höher der Kupo, je höher die vorzeitige Tilguge (z.b. Auitäte), je früher die vorzeitige Tilguge, je höher der Marktsatz ist. Dies läuft letzlich auf ichts aderes hiaus, als dass die Duratio berücksichtigt, wie schell der Barwert a de Ivestor zurückfließt. Jede Zisäderug löst ebe der Kursäderug immer eie etgege wirkede Wiederalageeffekt aus, der lagfristig auch überwiegt. Am Zeitpukt der Duratio gleiche sich Kursveräderug ud Wiederalageeffekt aus, so dass der Zukuftswert gege Zisäderuge immuisiert ist. Die folgede Grafik zeigt diese Effekt am Beispiel eier 5- jährige Aleihe mit 8%-Kupo ud uterschiedliche Marktzise zum Zeitpukt 0. 59

38 2 Fiazmathematik Abbildug 2.4: Immuisierug mit Hilfe der Duratio Eie weitere erfreuliche Eigeschaft der Duratio ist ihre Additivität. Die Duratio eies Portfolios ka leicht durch ateilige Gewichtug mit Hilfe des Barwerts der eizele Aleihe errechet werde, da ei Zeitmaß addiert wird. D Portfolio i 1 PVi PV Portfolio D i Beispiel: Portfolio aus de Aleihe A ud B Aleihe A: Kurswert 30 Mio. mit Duratio 6 Aleihe B: Kurswert 20 Mio. mit Duratio Duratio Portfolio = = 5, Die Duratio ka auch als Risikomaß heragezoge werde, da sich eie Beziehug vo Zisäderug ud Kursäderug mit Hilfe der Duratio ableite lässt. Hierzu beötigt ma jedoch die modified Duratio ( D mod ) die i eiem adere Zusammehag scho vo Hicks 1939 etwickelt wurde. Für Aleihe mit eiem Kupo pro Jahr muss dabei die Macauly-Duratio durch (1 Marktzis) geteilt werde. D mod D ( 1 r) 60

39 2.5.3 Duratio Der Zusammehag vo Kursäderug ud Zisäderug ergibt sich, idem der Barwert eier Aleihe bezüglich des Marktzises abgeleitet wird: PV C 1r dpv dr t 1 t t t 1 1 t 1 Ct t1r Ct t r 1 1 r 1 r t 1 t 1 t 1 C t 1r t PV t PV dpv 1 1 DPV dpv DPV dr dr 1 r 1 r modified Duratio modified Duratio bzw. Preisveräderug Dmod Kursdirty Zisveräderug Die 8%-Kupoaleihe hat eie Restlaufzeit vo füf Jahre. Bei eiem Marktsatz vo 8,5% wurde die Duratio mit 4,3045 Jahre ud der Preis mit 98,03 berechet. Bei eier Äderug des Zisiveaus auf 8,8% (also dr 0003, ) ka die Preisveräderug der Aleihe mit 1167, approximiert werde. 4,3045 0,00398,03 1,167 1,085 Dem steht eie recherische Kursveräderug vo 96,87 98,03 1, 16 gegeüber. Die beide Ergebisse liege also sehr ahe beieiader. Bei größere Äderuge immt die Differez aber deutlich zu. Fällt das Zisiveau auf 7,5%, ergibt sich 4,3045 dpv approx 0,0198,03 3,889 1,085 Die recherische Kursveräderug beträgt 102,03 98,03 4, 00. Zur schelle Ermittlug der Duratio wird die Formel oft auch direkt mit Hilfe der Preisveräderug errechet. Bei eier Rediteveräderug um 0,01% ergibt sich etspreched eie Sesitivität der betrachtete Aleihe vo: 61

40 2 Fiazmathematik dpv85%, 851%, Sesi 97, , , Da diese Wertveräderug auch mit Hilfe der modified Duratio berechet werde ka, muss also gelte: D dpv85%, 851%, Sesi 0, 0001PV 1 r D 0, , , , D 4, 3034 Die Sesitivität etspricht eier umerisch bestimmte Tagete durch Berechug bei eier kleie Zisäderug, währed die modified Duratio die Tagete aalytisch bestimmt, also für ifiitesimal kleie Äderuge. I der Praxis ka der Uterschied meist verachlässigt werde Kovexität (Covexity) Wie im Abschitt gezeigt wurde, ka mit Hilfe der modifizierte Duratio eie approximative Rechug i Bezug auf die Preisveräderug eier Aleihe erstellt werde. Das Ergebis weicht um so mehr vom wirkliche Wert ab, je größer die Rediteveräderug ist. Dieser Effekt kommt dadurch zustade, dass bei der Approximatio a der Stelle des aktuelle Kurses eie Tagete a die wirkliche Redite-Kurskurve gelegt wird. Da diese Kurve jedoch gekrümmt (kovex) ist, ist der Abstad zwische der Kurve ud der Tagete um so größer, je weiter der eue Aleihekurs vom alte etfert ist. Die Formel für die Covexity a eier Stelle ergibt sich etspreched als zweite Ableitug der Redite-Kurskurve (Duratio ist die erste Ableitug), erklärt also die Veräderug der Duratio bei eier weitere Veräderug der Zise. 2 d PV Covexity 2 dr dpv dr C t 1r t 1 t t 1 2 d PV 2 dr t 2 1 t 1Ct t1r t 1 1 r 2 t 1 t t 1 C 1 r t t 62

41 2.5.4 Kovexität (Covexity) Diese "Gebogeheit" ist bei Portfolios gleicher Duratio auch eie sehr ageehme Eigeschaft, de bei größerer Kovexität führt eie Zissteigerug zu kleiere Verluste ud eie Zissekug zu größere Gewie im Vergleich zu eier Kurve mit gerigerer Kovexität. Die Schwierigkeite bei dieser Aalyse sid die Aahme eier Parallelverschiebug der Ziskurve ud der Kostaz der Spreads (Reditedifferez) verschiedeer Aleihe bei eier Veräderuge der Zise. Grudsätzlich steigt die Covexity eier Aleihe mit gleicher Duratio bei: sikedem Kupo (bei gleicher Redite ud Restlaufzeit), sikeder Redite (bei gleichem Kupo ud Restlaufzeit), lägerer Restlaufzeit (bei gleichem Kupo ud gleicher Redite). Abbildug 2.5: Kursäderugsabschätzug Jedoch muss betot werde, dass bei Rediteveräderuge der Löweateil der Preisveräderug mit der Duratio erklärt werde ka. Da der Preis für Covexity im Normalfall eie gerigere Redite bzw. eie Optiosprämie ist, sid meistes sehr starke Zisäderuge für eie ertragreiche Steuerug der Covexity otwedig. Darüber hiaus überlager die Veräderuge der Zisstrukturkurve oft diese Effekt, so dass die Keretscheidug bei der Portfolioplaug immer die Duratio sei muss. Erst da sollte evetuell die Kovexität aalysiert werde. Letztlich ist der "Kauf" zusätzlicher Kovexität ichts aderes als eie Vergrößerug der Positio i Bezug auf Zisvolatilität. Bei gleicher Duratio ist die Aleihe mit der höhere Kovexität zu bevorzuge, da der Besitzer bei fallede 63

42 2 Fiazmathematik Zise überproportioal profitiert ud bei steigede Zise uterproportioal verliert. Bei der Aufstellug eies Hedges ist es immer vorteilhaft, we bei gleicher Duratio die Log Positio kovexer als die Short Positio ist. Dies bedeutet bei eier Rediteerhöhug, dass die im Besitz befidliche Positio lagsamer a Wert verliert als die eizudeckede Positio. Fällt der Zis, gewit die Log Positio scheller a Wert als die Short Positio verliert. Die Wertveräderug der Gesamtpositio ist also bei jeder Zisveräderug positiv! Literatur: Klotz (1985), Salomo Brothers (1985), Kempfle (1990), Uhlir/Steier (2000) 2.6 Effektivverzisug bei gebrochee Laufzeite Bei der Ermittlug eier Effektivverzisug mit gebrochee Periode muss zuerst der zu zahlede Betrag ermittelt werde. Da zum Kurs die Stückzise hizukomme, werde eiige Amerkuge zu dere Berechug voragestellt Stückzise I viele Läder wird zur Vereifachug bei de Stückzise das Jahr mit eier Basis vo 360 Tage gerechet, d.h. jeder Moat wird mit 30 Zistage gezählt. I adere Läder (u.a. i Deutschlad) werde teilweise die Zistage geau gezählt ud da mit der Basis 360, 365 oder taggeau (actual) kombiiert. Hizu kommt im Rahme der Preisagabeverordug die Teilug des Jahres i zwölf gleich lage Moate, dies etspricht also eier Moatsläge vo 365 / 12 30, 42 Tage. Darum ist es wichtig, die Usace eies Marktes geau zu kee. Diese Zählweise spiele für die Stückzise, aber auch für die Kupohöhe bei eiem kurze bzw. lage erste Kupo eie Rolle. Im Folgede solle die wichtigste Methode kurz agesproche werde. Bei ormale Kupobods werde dazu folgede Iformatioe beötigt: T 1 Termi der letzte Kupozahlug vor dem Verkauf T s Abrechugstag (Settlemet oder Valuta-Datum) T 1 Termi für die ächste Kupozahlug Die Zeitspae zwische de Kupozahluge bestimmt dabei die Basisperiode. Die gebrochee Periode (f) dauert higege vom Abrechugstag bis zur ächste darauffolgede Kupozahlug, dabei spielt die gebrochee Periode eie wichtige Rolle bei der Abzisug. Die gerechete Läge der Zeit ist 64

43 2.6.1 Stückzise abhägig vo der gewählte Usace. Im Folgede soll dies mit der Aleihe der Deutsche Budespost vo 1986 als Beispiel erläutert werde. Dabei gehe wir vo der Valuta aus. Die Aleihe ist am fällig ud mit eiem 5 3 /4-Kupo ausgestattet. Usace 30/360 Volle Moate werde mit 30 Zistage gerechet. Bei Periode pro Jahr (p) ergibt sich also: f T1 T 360 p s (1 f ) Kupo Stückzise ( S) p für f 1ud S 0 für f 1 Dies ergibt für user Beispiel: T T s T 1 T s 178 f , Stückzise 0, ,75 2,9069 2,91 Früher war bei Moate mit 31 Tage i der Regel der 31. kei Zistag (d.h. die Zeit vom 1. bis 31. Mai zählte als 29 Zistage, da der erste Mai als Valutatag icht mitzählt). Heute wird meist mit der amerikaische SIA Usace gearbeitet. Fällt das Eddatum auf de 31., wird dieser wie der 1. des Folgemoats behadelt. Usace act/360 Bei dieser Berechug werde die Tage zwische de Termie zwar geau gezählt, jedoch als Basis ei Jahr mit 360 Tage zugrude gelegt. f ( T1 Ts ) 360 p 65

44 2 Fiazmathematik Kupo Stü ckzise ( TS T-1) 360 T T s T 1 T s 180 T ( T s T1 ) f 0,5 360 Stückzise 5, ,9549 2, Usace act/act (gültig im Euro Aleihemarkt) Sowohl im Zähler als auch im Neer werde die wirkliche Tage berücksichtigt. Dies ergibt daher f ( T1 Ts ) ( T T ) 1 1 T Stückzise T s T T Kupo Für user Beispiel ergibt sich: T T f 180 0, Stückzise 185 5,75 2,9144 2,

45 2.6.2 Grudsätzliche Aalyse Usace 30,42/365 Für die Agabe vo Effektivzise im Kudegeschäft wird ab 1999 bei gleiche Moatsabstäde der Zahluge mit 30,42 Tage pro Moat uabhägig vo der wirkliche Moatsläge gearbeitet. Dies etspricht letztlich der 30/360-Methode. Äder sich die Termie jedoch im Zeitablauf, muss die act/act-methode agewadt werde Grudsätzliche Aalyse Währed bei glatte Laufzeite die Errechug des Effektivsatzes eideutig war, da jeder Kupo mit de etsprechede Jahre abgezist wurde, gibt es bei der gebrochee Periode verschiedee Methode. Die Uterschiede bestehe i de Aahme der Häufigkeit der Zisverrechug pro Jahr ud damit der Zisesziswirkug, i der Art der Diskotierug ud der Umrechug i etsprechede periodekoforme Zissätze. Im Folgede wird immer vo der Usace 30/360 ausgegage. Grudsätzlich ädert sich der Zahlugsstrom ur leicht. Da die Kupo- ud Tilgugszahluge zu uveräderte Termie erfolge, verädert sich ur der ursprügliche Bezugszeitpukt T s. Dabei wird die gebrochee Periode immer a de Afag des Zahlugsstroms gestellt. Zusätzlich zum Kaufpreis müsse die Stückzise gezahlt werde. Bei der Verschiebug um die gebrochee Periode (f) muss ur die Diskotierug um f erhöht werde. Dies wird a eiem Beispiel deutlich. Beim Kauf eier Aleihe mit eiem Kupo vo 10% ud eier Restlaufzeit vo 1,5 Jahre müsse als Kaufpreis 98 zuzüglich Stückzise aufgewadt werde. Die Stückzise ergebe sich aus: 180 Stückzise Damit ergibt sich ei Cash Flow vo: Tabelle 2.11 CASH FLOW EINER ANLEIHE MIT 1,5 JAHREN RESTLAUFZEIT Datum T 1 T s T 1 T 2 Tage Cash flow

46 2 Fiazmathematik Bei eier geaue Eibeziehug der Tage i die Effektivzisberechug muss dies etspreched bei der Diskotierug berücksichtigt werde. Die etsprechede Abzisugsfaktore werde icht mehr mit de Jahre, soder mit dem Zistageabstad, geteilt durch 360, berechet ( 1 IRR) ( 1 IRR) Für die betrachtete Aleihe errechet sich ei iterer Zis vo 11,4223%; es muss also gelte: ( 1 0, ) ( 1 0, ) , , , 11761, Jedoch hilft es zur Verallgemeierug ud Erklärug aderer Methode, die Aalyse eimal etwas aders aufzubaue. Betrachte wir zuerst die ugebrochee Laufzeite ud diskotiere alle Zahlugsströme der Aleihe auf die Periode T 1 ab. Aschließed wird da mit Hilfe der gebrochee Periode die Zahlug auf de Kaufzeitpukt abgezist. vor 180 Tage heute i 180 Tage i 540 Tage /1,1142 0,5 + 98,72 108,72 1/1, gebrochee Periode Abbildug 2.6: Diskotierug der Zahlug auf de Kaufzeitpukt Die Formel für glatte Laufzeitjahre ergab P Rückzahlug q j 1 Koupo j q mit q IRR

47 2.6.3 Uterschiedliche Usace Uter Ausutzug der Summeformel lautet die Gleichug folgedermaße: P Rückzahlug q 1 C q q q 1 Dies muss jetzt um die Stückzise ud die Verschiebug der gebrochee Periode verädert werde. Es ergibt sich also: 1 1 Rückzahlug q 1 P Stückzise C f q q q ( q 1) Dies etspricht der Effektivverzisug ach ISMA bei glatte Laufzeite ud ka als Basisformel für de Vergleich uterschiedlicher Berechugsmethode heragezoge werde Uterschiedliche Usace Währed sich die uterschiedliche Effektivzismethode bei glatte ud volle Jahre Laufzeit icht uterscheide, sid die Aahme i Bezug auf die gebrochee Periode, auf Restlaufzeite uter eiem Jahr ud bei der Umrechug vom Periodezis auf de Jahreszis uterschiedlich. Dies soll hier a de gägigste Verfahre kurz erläutert werde. Als Beispiel diee die Aleihe aus de Abschitte 2.1 ud 2.6 mit folgede Ausstattugsmerkmale: Beispielaleihe A ud B: Kupo: 8% Restlaufzeit: 9 Jahre Tilgug: 102 Kurs: 110 Aleihe A: jährlicher Kupo Aleihe B: halbjährlicher Kupo 69

48 2 Fiazmathematik Beispielaleihe C ud D: Kupo: 5,75% Valuta: Fälligkeit: Tilgug: 100 Kurs: 85,20 Aleihe C: jährlicher Kupo Aleihe D: halbjährlicher Kupo ISMA (AIBD) Um die uterschiedliche Rediterechug auf dem Euromarkt zu vereiheitliche, beschloss die Associatio of Iteratioal Bod Dealers (AIBD) die "Rule 803". Izwische hat sich die Vereiigug i Iteratioal Securities Market Associatio (ISMA) umbeat. Da die Methode weltweit agewedet wird, spricht ma häufig auch vo der iteratioale Methode. Die ISMA-Formel geht im Prizip geauso vor, wie im Abschitt beschriebe wurde. Alle Zahluge werde ab der erste vollstädige Periode auf diese Zeitpukt abgezist ud da durch expoetielle Abzisug mit der gebrochee Periode auf de Valutatag gebracht. Erweitert ma die Formel für p Kupos, ergibt sich: 1 P Stückzise f q Rückzahlug q C p 1 q 1 q ( q 1) p Azahl der Kupos im Jahr Azahl der Periode Diese Formel ergibt eie periodebezogee Effektivsatz, d.h. bei halbjährigem Kupo ist das Ergebis semi aual. Da aber für die Vergleichbarkeit ei Jahreszis vorgeschriebe ist, wird er da etspreched ach der Formel: IRR a 1IRR 1 Periode Periode expoetiell umgerechet (vgl ). 70

49 2.6.3 Uterschiedliche Usace Für die letzte Periode des Bods gibt es keie explizite Agabe, es ka davo ausgegage werde, dass die Recheformel erhalte bleibt ud icht mit eier Geldmarktverzisug gearbeitet wird (vgl. SIA). Ergebis für Aleihe A: IRR pa 6,66% 6,67 Ergebis für Aleihe B: IRR sa 2 % 3,335% IRR pa 6,78% Ergebis für Aleihe C: IRR pa 8,03% Ergebis für Aleihe D: IRR sa 8 2 % 4% IRR pa 8,16% (Amerkug: Der Tascherecher HP17B berechet de Jahressatz mit multiplikativer Verküpfug aus dem halbe Jahr heraus; vgl. SIA.) SIA-Methode Die Methode der Securities Idustry Associatio (SIA) liegt viele Tascherecher (z.b. HP17B ud folgede) zugrude. Sie etspricht weitgehed dem ISMA-Verfahre bis auf zwei Ausahme: Bei der Umrechug auf de jährliche Zis wird icht aufgezist, soder eifach multipliziert: IRR IRR p a p Außerdem wird i der letzte Periode vor Fälligkeit der Effektivsatz ach Geldmarktusace berechet, da Aleihe da Opportuitätsprodukte für de Geldmarkt (vgl. 2.2) sid. Rückzahlug C p IRR P Stückzise f Ergebis für Aleihe A: IRR pa 6,66% 6,67 Ergebis für Aleihe B: IRR sa 2 % 3,335% IRR pa 6,67% Ergebis für Aleihe C: IRR pa 8,03% 8 Ergebis für Aleihe D: IRR sa 2 % 4% IRR pa 8% 71

50 2 Fiazmathematik US-Treasury Das Schatzamt der Vereiigte Staate berechet die glatte Periode idetisch mit der SIA-Methode, jedoch wird i der gebrochee Periode icht expoetiell, soder liear abgezist. Daraus ergibt sich folgede Formel: 1 Rückzahlug P Stückzise IRR 1 q f 100 C p 1 q 1 q ( q 1) I der letzte Periode mit 0 etspricht diese Formel da geau der SIA-Methode. Auch die Umrechug i de Jahreseffektivzis ist idetisch mit SIA. Ergebis für Aleihe A: IRR pa 6,66% 6,67 Ergebis für Aleihe B: IRR sa 2 % 3,335% IRR pa 6,67% Ergebis für Aleihe C: IRR pa 8,02% Ergebis für Aleihe D: IRR sa 4,01% IRR pa 8,02% Moosmüller Im deutsche Retehadel wird häufig ach der Moosmüller-Formel gerechet. Die Recheformel stimmt mit der US Treasury-Methode überei, die gebrochee Periode wird also liear abgezist. Jedoch wird bei der Umrechug i eie Jahreseffektivzis wie bei der ISMA-Methode expoetiell aufgezist. Ergebis für Aleihe A: IRR pa 6,66% 6,67 Ergebis für Aleihe B: IRR sa 2 % 3,335% IRR pa 6,78% Ergebis für Aleihe C: IRR pa 8,02% Ergebis für Aleihe D: IRR sa 4,01% IRR pa 8,17% Um dieses Ergebis zu verdeutliche, wird im Folgede das Beispiel aus der grudsätzliche Aalyse (vgl ), also eie Aleihe mit eiem Kupo vo 10% bei eier Restlaufzeit vo 1,5 Jahre zum Kurs vo 98, dargestellt. Nach ISMA ergab sich eie Verzisug vo 11,423%; higege errechet sich bei Moosmüller eie Redite vo 11,301%, da die gebrochee Periode liear abgezist wird. Dies ergibt da folgedes Bild: 72

51 2.6.3 Uterschiedliche Usace Abbildug 2.7: Rediteberechug ach Moosmüller Preisagabeverordug (PAgV) Auf Basis der Verbraucherkreditrichtliie wird i Europa im Regelfall mit eiem taggeaue Abstad (act/act) ud expoetieller Diskotierug (ISMA) gearbeitet. Da Kredite jedoch keie Stückzise zahle, liegt die gebrochee Periode am Ede der Laufzeit, währed sie bei Aleihe meist am Afag liegt. Der deutsche Gesetzgeber wird vermutlich bei moatliche Kredite die Usace 30,42/365 utze, da da bei gleichem Cash Flow der Effektivzis icht mit dem Tag der Aufahme schwake ka. Um die Auswirkuge der uterschiedliche Verfahre zu demostriere, sid i de folgede Tabelle die Aahme ud eiige Ergebisse der Verfahre bei uterschiedliche Bediguge agegebe. Tabelle 2.12 ÜBERSICHT ÜBER UNTERSCHIEDLICHE EFFEKTIVZINSVERFAHREN ISMA/PAgV SIA Treasury Moosm. Zis ver. bei jeder Zahlug Diskot gebr. Per. expoetiell liear r ea expo. Multiplikatio mit p expo. 73