Quadratische Funktionen Armin P. Barth -LERNZENTRUM, ETH ZÜRICH. Skript. Quadratische Funktionen

Transkript

1 Skript Quadratische Funktionen

2 Kickt Ronaldinho in einem ekannten Werefilm den Ball in einem langen Bogen an die Torlatte ( rk7pjzo), so eschreit die Flugahn des Balls in guter Näherung den Graphen einer quadratischen Funktion. Spritzt man Wasser aus einem Gartenschlauch in die Luft, so eschreit der Strahl in guter Näherung den Graphen einer quadratischen Funktion. Wirft man einen Gegenstand senkrecht nach oen, so ist seine erreichte Höhe in guter Näherung eine quadratische Funktion der Zeit. Bewegt sich eine Masse, so ist ihre kinetische Energie (und auch ihr Luftwiderstand) eine quadratische Funktion der Geschwindigkeit. Stützögen von Brücken werden oft so konstruiert, dass sie in guter Näherung dem Graphen einer quadratischen Funktion folgen. Die Kreisfläche ist eine quadratische Funktion des Radius. Fragt man sich, wie viele Diagonalen ein n-eck hat, so findet man eine quadratische Funktion. Dassele geschieht, wenn man sich fragt, wie die Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen zu erechnen ist. Das Funktionieren von Paraolantennen, Solarkochern, Lautsprechern und Scheinwerfern gründet oft auf einer charakteristischen Eigenschaft der quadratischen Funktion. Als Galileo Galilei im Jahr 69 kleine Kugeln üer eine Rampe hinarollen liess, um nach ihrem freien Fall die horizontale Entfernung zur Rampe zu messen, in der sie auf dem Boden aufschlugen, untersuchte er eigentlich quadratische Funktionen. Und es gelang ihm nachzuweisen, dass die Bewegung eine Zusammensetzung zweier unahängiger Bewegungen ist: einer horizontaler mit konstanter Geschwindigkeit und einer vertikalen eschleunigten. Es git viele gute Gründe, sich mit der quadratischen Funktion eingehend zu efassen; darum widmen wir ihr hier nun einige Seiten. Daei werden wir allen oen aufgeführten Beispielen und weiteren erneut und ausführlicher egegnen. Wichtig ist aer, einmal mehr festzuhalten, dass es eine Wesensart der Mathematik ist, nicht im Exemplarischen zu verleien, sondern die allgemeinen Gesetzmässigkeiten des Konzeptes herauszuareiten, das all den Beispielen zugrunde liegt. Indem wir im Folgenden also die allgemeine quadratische Funktion untersuchen und ihre Eigenschaften zu verstehen lernen, wappnen wir uns insesondere für alle Instanzen, in denen diese so wichtige Funktion künftig in Erscheinung treten mag. Definition Prägen wir uns zu Beginn die Definition einer quadratischen Funktion ein: Definition: Eine Funktion der Art f : x a x x c mit reellen Koeffizienten a,, c ( a ) heisst quadratische Funktion. (Würden wir a zulassen, so wäre die Funktion offenar nicht mehr quadratisch, sondern linear.) Der Graph einer solchen Funktion heisst Parael. Ist speziell a und c (also f x x ), so spricht man von der Normalparael. Die Normalparael

3 Wir lassen nun also zusätzlich zu dem linearen Term x c noch einen quadratischen Term a x zu. Das wird ei den Graphen natürlich zu einem ganz typischen Verhalten führen, das wir ald entdecken werden. Freilich können Graphen solcher Funktionen sicher nicht mehr linear sein; der quadratische Term sorgt ja dafür, dass ei immer gleichen Erhöhungen des Inputs durchaus nicht immer gleiche Veränderungen eim Output erfolgen. Dass der Graph also gekrümmt ist, wird uns nicht üerraschen. Die Normalparael zeigt das noch deutlicher: Der Graph ist nicht nur einfach irgendwie gekrümmt, die Funktion ist sogar gerade, weil einer Zahl x und der Zahl x stets dersele Output zugeordnet wird. f x f x Der Graph ist also gekrümmt, hat den Ursprung als tiefsten Punkt und wird dank des quadratischen Terms mit wachsendem x immer steiler. Die Polynomfunktion Wie die an anderem Ort ehandelte lineare Funktion ist auch die quadratische Funktion ein Beispiel einer Polynomfunktion. Darum ist es sinnvoll, dass wir hier das Ergründen der quadratischen Funktion ganz kurz unterrechen, um diesen allgemeineren Funktionstypus kennenzulernen. Eine lineare Funktion könnte so aussehen: y.4x 6 Eine quadratische Funktion könnte so aussehen: y x x.5 4 Üer jeden dieser Funktionsterme kann man sagen, dass er eine Summe darstellt von Vielfachen von Potenzen der Unekannten. Eine Differenz kann ja immer auch als Summe geschrieen werden, und die additi- ven Konstanten könnte man sich mit x multipliziert denken. Terme, die die Eigenschaft haen, Summen von Vielfachen von natürlichen Potenzen der Unekannten zu sein, führen auf sogenannte Polynomfunktionen. Genauer: Definition: Eine Funktion der Art n n... f x a x a x a x a x n n mit reellen Koeffizienten a i ( i,,..., n) und n heisst Polynomfunktion. Unter dem Grad einer Polynomfunktion versteht man den höchsten vorkommenden Exponenten der Unekannten, hier also n. Da man jede lineare Funktion in der Form y a x a darstellen kann, kann man eine lineare Funktion also auch als Polynomfunktion. Grades ezeichnen. Da man jede quadratische Funktion in der Form y a x a x a darstellen kann, kann man eine quadratische Funktion auch als Polynomfunktion. Grades ezeichnen. Und natürlich entstehen viele spannende Proleme, indem man sich fragt, was man Allgemeines üer Polynomfunktionen aussagen kann, und wie sich die Eigenschaften ändern, wenn man den Grad erhöht. Aer solche Fragen können hier leider nicht Gegenstand unserer Bemühungen sein. Konzentrieren wir uns nun also wieder auf die quadratische Funktion eziehungsweise die Polynomfunktion. Grades. 3

4 Wie sieht der Graph einer quadratischen Funktion aus? Wir haen ereits die Normalparael kennengelernt; was aer kann man üer den Graphen irgendeiner Polynomfunktion. Grades aussagen? Was haen wir isher verstanden? Dass die Normalparael eine nach oen offene, gekrümmte und ezüglich der y-achse symmetrische Kurve mit dem Ursprung als tiefstem Punkt sein muss, ist leicht nachvollziehar. Schauen wir zuerst, wie sich (verglichen mit der Normalparael) der Graph verändert, wenn wir statt a = einen anderen Koeffizienten a wählen und/oder wenn wir statt c = eine andere additive Konstante c wählen. Wählt man statt f : y x die Funktion y a x, so wird jeder einzelne Funktionswert von f mit derselen Konstanten a multipliziert. Ist a >, so wird also jeder einzelne Funktionswert um diesen Faktor vergrössert; ist aer < a <, so wird jeder einzelne Funktionswert um diesen Faktor verkleinert. Negative a-werte schliesslich klappen die Parael nach unten. Eenso klar ist, welchen graphischen Effekt das Addieren einer Konstanten c zu x ewirkt. Wie von einer unsichtaren Liftkaine ewegt, wird die Normalparael einfach um die entsprechende Zahl in y-richtung verschoen, weil jeder einzelne Funktionswert der Funktion y x nun um den Wert c vergrössert (zw. verkleinert) wird. Bezüglich des Einflusses des Koeffizienten herrscht jetzt noch Unklarheit. Die vielleicht naheliegende Vermutung, dass einfach nur eine horizontale Verschieung verursacht, wird sich als falsch erwiesen. Daraus erwächst eine gewisse Spannung Alle isherigen Untersuchungen nähren aer die Vermutung, dass der Graph einer quadratischen Funktion stets ähnlich wie die Normalparael aussieht, nur eventuell verschoen oder in der Öffnungsweite verändert oder nach unten geöffnet. Genauer: Der Graph ist immer achsensymmetrisch ezüglich der vertikalen Achse durch den tiefsten eziehungsweise höchsten Punkt des Graphen, den man Scheitelpunkt nennt. Noch präziser formulieren wir hier die folgende Vermutung: Vermutung Man kann auch sagen: Der Koeffizient a eeinflusst die Öffnungsweite der Parael und estimmt zudem, o diese nach oen oder nach unten geöffnet ist. Der Graph einer quadratischen Funktion hat stets ein Extremum, den sog. Scheitelpunkt. Es leit zu klären, wo dieser Scheitelpunkt genau liegt. Der Graph ist stets achsensymmetrisch ezüglich der vertikalen Achse durch den Scheitelpunkt. 4

5 Der Graph ist nach oen geöffnet, falls a ist, und nach unten, falls a ist. Der Graph ist stets ähnlich zur Normalparael, eventuell verschoen und/oder gestreckt oder gestaucht. Diese Vermutung zu eweisen und die darin nur vage ausgedrückten Details zu präzisieren, ist das Ziel des nun folgenden Aschnittes. Bezüglich der oen formulierten Vermutung können wir nun asolute Sicherheit erlangen und gleichzeitig die vagen Punkte präzisieren. Dazu nehmen wir an, es liegt uns eine elieige quadratische Funktion f : x a x x c vor. Wir führen mit dem Funktionsterm eine quadratische Ergänzung durch und erhalten: f ( x ) a x x c a x x c a x a 4a a V a c a a x c a 4a a x c a 4a H (*) Wir haen den Funktionsterm nun also dargestellt als Summe eines ver-a-fachten vorderen Terms V und eines hinteren Terms H. Was können wir üer die einzelnen Bestandteile von (*) aussagen? Nun, sicherlich ist H konstant, also unahängig von x, weil die Unekannte darin gar nicht vorkommt. Und V ist grösser oder gleich, egal, welche Zahl man für x einsetzt. V nimmt also seinen kleinsten Wert (nämlich ) an, falls wir für x die Zahl einsetzen. Und für jede andere Belegung der Varialen wird V > a sein und desto grösser, je weiter sich x von diesem Wert entfernt. Da a eine elieige reelle Zahl ausser sein darf, empfiehlt sich eine Fallunterscheidung:. Fall: a In diesem Fall ist H der kleinstmögliche Wert, den der Term (*) üerhaupt annehmen kann, nämlich einzig dann, wenn wir für x die Zahl einsetzen. Dann nämlich verschwindet V. Die Funktion f hat also a ein Minimum: Dem Input x wird a der kleinstmögliche Funktionswert c 4a zugeordnet.. Fall: a In diesem Fall ist H der grösstmögliche Wert, den der Term (*) üerhaupt annehmen kann, nämlich einzig dann, wenn wir für x die Zahl einsetzen. Dann nämlich verschwindet V. Die Funktion f hat also a ein Maximum: Dem Input x wird a der grössstmögliche Funktionswert c 4a zugeordnet. Insgesamt haen wir Folgendes eingesehen. Der Graph der quadratischen Funktion f : x a x x c ist nach oen geöffnet, wenn a >, und nach unten geöffnet, wenn a < ist. Der Graph hat genau ein Extremum, nämlich den Scheitelpunkt S mit den Koordinaten S xs, ys, c a 4a Und weiter: Wir vermuten ja noch eine Achsensymmetrie des Graphen ezüglich der 5

6 vertikalen Achse durch den Scheitelpunkt, also ezüglich der Geraden x xs. Wie können wir diese Symmetrie nachweisen? Ganz einfach: Wenn wir zwei Inputs wählen, einen links und einen rechts von der Stelle x x S auf der x-achse, aer so, dass sie gleich weit entfernt von der x-koordinate des Scheitelpunktes sind, dann erwarten wir gleiche Outputs. Wir erwarten also, dass f x f x S sein wird für eine elieige reelle Zahl. S gilt, wie ehauptet. Merken wir uns also auch: Der Graph der quadratischen Funktion f : x a x x c ist achsensymmetrisch ezüglich der vertikalen Achse x xs a Damit ist schon viel gewonnen. Allein aufgrund der Koeffizienten der quadratischen Funktion können wir mühelos entscheiden, o die Parael nach oen oder unten geöffnet ist und wie die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten. Als weitere leicht zu erreichende Information ieten sich die Nullstellen an. Um diese zu finden, müssen wir die Gleichung a x x c In der quadratisch ergänzten Form der Funktionsgleichung lässt sich das esonders elegant nachweisen: Und f x S f a a H a a a H f x S f a a H a a a H Ein Vergleich eider Terme macht klar, dass in der Tat f x f x S S lösen, und daei können ekanntlich die folgenden drei Fälle eintreten: Die Diskriminante D : 4ac kann <, = oder > sein. Und dies hat wenig üerraschend auch Konsequenzen für den Graphen. Im Falle D > schneidet die Parael die x- Achse an zwei Stellen; es git also zwei Nullstellen. Im Falle D = liegt der Scheitelpunkt auf der x-achse, es git also nur eine Nullstelle. Und im Falle D < schneidet die 6

7 Parael die x-achse gar nicht; es git also keine Nullstelle. Beispiele Es ist höchste Zeit, ein paar esonders lehrreiche Fragestellungen zu etrachten.. Beispiel Sei f : x.5x 3x 3.5. Dies ist eine Polynomfunktion. Grades mit den Koeffizienten a.5, 3 und c 3.5. Wegen a ist die zugehörige Parael nach oen geöffnet, und sie hat den Scheitelpunkt S, c a 4a 3 3, , 8 Die Nullstellen sind die Lösungen der Gleichung.5x 3x 3.5. Wegen D > git es zwei solche, nämlich x 7 und x. Schon allein durch die Nullstellen und den Scheitelpunkt und die Information a gewinnen wir eine sehr deutliche Vorstellung vom Graphen. Die quadratisch ergänzte Form (*), in die wir die Normalform der quadratischen Funktion umgeformt haen, hat einen weiteren Vorteil: Beasichtigen wir nämlich, die Funktionsgleichung einer ganz estimmten Parael mit einem ganz estimmten Scheitelpunkt zu finden, so können wir das Verfahren gewissermassen rückwärts anwenden. Soll der Scheitelpunkt zum Beispiel S 3,.5 sein, so nimmt (*) die folgende Form an: f x a x 3.5 Freilich git es unendlich viele Paraeln mit einem estimmten Scheitelpunkt, so dass wir zur Festlegung eine weitere Information enötigen. Diese fehlende Information könnte etwa ein weiterer Punkt sein. Verlangen wir zum Beispiel, dass unsere Parael üerdies durch den Punkt (5, ) führen soll, so lässt sich der Parameter a festlegen. Denn nun muss die Gleichung a erfüllt sein, woraus sich a =.65 ergit. Die quadratische Funktion, deren Graph den Scheitelpunkt (3,.5) hat und üerdies durch den Punkt (5, ) führt, kann also durch die folgende Funktionsgleichung ausgedrückt werden: f x.65 x x 5.75x 5.5. Beispiel 3. Beispiel Wirft man eine Masse mit einer estimmten Startgeschwindigkeit v senkrecht nach oen, so folgt die Höhe der Masse ahängig 7

8 von der Zeit in guter Näherung der folgenden Funktion: h t v t g t Wie könnte ein Physiker damit umgehen? Nun, er könnte argumentieren, dass ohne Erdanziehung die Geschwindigkeit immer konstant gleich v leien würde, dass dank der Erdanziehung die Geschwindigkeit aer pro Sekunde um 9.8 m/s animmt, so dass also v t v g t gilt. Er könnte zudem feststellen, dass am höchsten Punkt, wo die Masse umkehrt, die Geschwindigkeit gleich sein muss, so dass wir also den Zeitpunkt der Umkehr so finden können: v t v g t t v g Die maximale Höhe erreicht der Körper also genau zu diesem Zeitpunkt, das heisst, es ist v v v hmax v g g g g Schliesslich könnte er etonen, dass die Masse wieder unten ankommt, wenn zum zweiten Mal ht ist. Und dies passiert v zum Zeitpunkt g. Wie könnte eine Mathematikerin mit dieser Formel umgehen? Sie könnte feststellen, dass es sich um eine quadratische Funktion handelt und dass die Parael nach unten geöffnet ist, weil a g. Die Parael hat also ein Maximum, nämlich den Scheitelpunkt, und diesen können wir mit der Scheitelpunktformel erechnen:, v v S c, a 4a g g Die Bedeutung dieses Punktes ist, dass die v Masse zum Zeitpunkt t die maximale g Höhe v g erreicht. Und sie könnte ergänzen, dass die grössere der eiden Nullstellen darüer Auskunft git, zu welchem Zeitpunkt die Masse wieder unten ankommt. Die Nullstellen errechnet man so: h t t v g t v t, g Wir sehen deutlich, dass der Physiker und die Mathematikerin zur gleichen Erkenntnis gelangen, dass die Sprache aer eine etwas andere ist. Und es ist esonders wichtig, dass wir eide Vorgehensweisen gut verstehen weil Physiker und andere Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sehr oft Mathematik verwenden, sich jedoch jeweils einer etwas anderen Sprache efleissigen. 4. Beispiel Angenommen, wir haen eine Firma gegründet, die neue und modische Hüllen für Moiles produziert. Interne Analysen haen ergeen, dass wir je nach Produktionsgrösse x (in Stück) die einzelne Hülle zum Preis.75x 57.5 P x (Geldeinheiten) anieten können. Produzierar sind ferner Stückzahlen der Grössenordnung x 5. 8

9 Weiter zeigen diese Analysen, dass ei einer Produktionsgrösse x (variale und fixe) Kosten in der Höhe von K x.x x.5 (in Geldeinheiten) anfallen. Bei welcher Produktionsgrösse ist der grösstmögliche Gewinn zu erwarten? Nun, den Gewinn errechnet man aus den gesamten Einnahmen azüglich Kosten. Also: G x x P x K x x x x x.95x 56.5x.5 Die Gewinnfunktion ist (hier) also eine quadratische Funktion, und wegen a ist die Parael nach unten geöffnet und hat einen höchsten Punkt, den Scheitelpunkt. Welche Bedeutung haen die Koordinaten des Scheitelpunktes? Die x-koordinate ist die optimale Produktionsgrösse, und die y- Koordinate git den maximalen Gewinn an: S, c a 4a , , 839 Bei einer Produktionsgrösse von 3 Stück ist also der maximale Gewinn von 839 Geldeinheiten zu erwarten. 9