Fachbereich II Mathematik - Physik - Chemie

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1 R Fachbereich II Mahemaik - Physik - Chemie 03/200 Karl Michael Ormann as Modell von Neuburger in der Krankenversicherungsmahemaik The Neuburger model in healh insurance mahemaics (in German) Repors in Mahemaics, Physics and Chemisry Beriche aus der Mahemaik, Physik und Chemie ISSN (prin): ISSN (online): bd

2 Repors in Mahemaics, Physics and Chemisry Beriche aus der Mahemaik, Physik und Chemie The repors are freely available via he Inerne: hp://wwwbeuh-hochschulede/fb_ii/repors/welcomehm 03/200, July Karl Michael Ormann as Modell von Neuburger in der Krankenversicherungsmahemaik The Neuburger model in healh insurance mahemaics (in German) Ediorial noice / Impressum Published by / Herausgeber: Fachbereich II Beuh Hochschule für Technik Berlin Luxemburger Sr Berlin Inerne: hp://publicbeuh-hochschulede/fb_ii/ fbiirepors@beuh-hochschulede Responsibiliy for he conen ress wih he auhor(s) of he repors ie inhalliche Veranworung lieg bei den Auor/inn/en der Beriche ISSN (prin): ISSN (online): bd

3 Zusammenfassung Neuburger [5] ha in seiner wegweisenden Arbei ein Modell enwickel, wodurch Beirag und eckungskapial in der Lebensversicherung rekursiv beziehungsweise simulan berechne werden können In diesem Arikel überragen wir dieses Modell auf die Krankenversicherung nach Ar der Lebensversicherung adurch wird ein leisungsfähiger Algorihmus hergeleie, der speziell auf das Problem der Porabiliä der Alersrücksellung angewende werden kann Somi lassen sich auf elegane Ar und Weise ausreichende Prämien für privae Krankenversicherungen mi beliebig verraglich fesgelegen Überragungsweren berechnen Schlüsselwörer Modell von Neuburger, Porabiliä der Alersrücksellung, Überragungswer, Saz von Canelli 3

4 Einleiung as Modell von Neuburger [5] is ein Algorihmus zur rekursiven Berechnung von Beirag und eckungskapial in der Lebensversicherung ie Mehode basier auf der Beschreibung von Aufwendungen und Errägen durch lineare Gleichungen uner Berücksichigung des Saldoüberrages as Modell von Neuburger is in der Lebens- und auch Pensionsversicherungsmahemaik fes eablier Mauermann [4] ha sich in diesem Zusammenhang mi Lösbarkeiskrierien befass, wohingegen Korer [3] die Lösungsmöglichkeien auf der Basis linearer Gleichungssyseme und linearer Modelle erweier ha Braun [] ha sich der Behandlung allgemeiner Lebensversicherungen durch lineare Gleichungssyseme gewidme isch [2] ha das Kalkül auf die Erragswerberechnung und die Überschussbeeilung der Lebensversicherungsmahemaik angewende und in einer Beispielrechnung verdeulich Ziel dieses Arikels is es, das Modell von Neuburger auf die Krankenversicherungsmahemaik zu überragen Für den Basisarif in der privaen Krankenversicherung is die Porabiliä der Alersrücksellung gesezlich vorgeschrieben worden Wenn sich die vereinbaren Überragungswere an der Alersrücksellung orienieren, so lieg ein rekursiv definieres mahemaisches Problem zur Berechnung der versicherungsechnischen Were vor Zur Lösung eigne sich das Modell von Neuburger in besonderem Maße, da mi dieser Mehode Beirag und Alersrücksellungen simulan berechne werden können 2 Rekursionsgleichungen der privaen Krankenversicherung Um das Kalkül von Neuburger auf die Krankenversicherungsmahemaik zu überragen, bedarf es der Herleiung einer verallgemeineren Rekursionsgleichung für das eckungskapial Es sei dazu x das Einrisaler des Versicheren die Zeipunke in vollendeen Jahren, ausgehend vom Verragsbeginn, also = 0,, ω x+ K x + der erwaree Kopfschaden eines anfänglich x-jährigen Versicheren im Jahr [, ), kalkulaorisch fällig am Anfang des Jahres, also zum Zeipunk, = 0,, ω x T die garaniere Todesleisung, die am Ende des Jahres, also zum Zeipunk, =,, ω x+, bei Tod innerhalb der Periode [, ) gezahl wird, S die garaniere Sornoleisung, die am Ende des Jahres, also zum Zeipunk, =,, ω x+, bei Kündigung innerhalb der Periode [, ) gezahl wird, B der Beirag, der am Anfang des Jahres, also zum Zeipunk, für die Periode [, ) gezahl wird, =,, ω x+ α, γ, V x Δ die einmaligen unmielbaren Abschlusskosen sowie der Sückkosenzuschlag und die auf den Jahresbeirag bezogenen laufenden Kosen, welche am Anfang des Jahres, also zum Zeipunk, für die Periode [, ) fällig werden, =,, ω x+ das Bruodeckungskapial eines x-jährigen am Ende des Jahres, also zum Zeipunk, = 0,, ω x+ 4

5 Ferner seien q x + und w x + die Serbewahrscheinlichkei beziehungsweise die Sornowahrscheinlichkei eines ursprünglich x-jährigen Versicheren im Versicherungsjahr [, + ) ie Verbleibewahrscheinlichkei p x + is dann definier durch px+ = qx+ wx+ as Endaler ω sei so definier, dass p ω = 0 is ie Versicheren verbleiben demnach höchsens ω x volle Versicherungsjahre im Besand er folgende Zahlungssrahl soll verdeulichen, wann die einzelnen Posiionen fällig sind 0 ω x ω x + α B Reihenfolge der Berechnung 0Vx B Δ B γ T Vx ω xvx ω x+ Vx B 2 γ 2 T ω x B ω x + B Δ2 B2 ω x+ ω x+ Δ γω x + T ω x + S S ω x S ω x + K x K x + K ω as eckungskapial wird zum Ende eines jeden Jahres berechne, bevor die Beiräge, Kosen und Kopfschäden für das nächse Versicherungsjahr anfallen und nachdem die Überragungswere des laufenden Jahres abgerechne worden sind ie Schwierigkei lieg in der korreken Erfassung der Fälligkeien und der dami verbundenen Reihenfolge der Berechnung, die in der obigen Skizze deulich werden Allgemein gesehen, is das prospekive Bruodeckungskapial einer Krankenversicherung eines x-jährigen als ifferenz aus zukünfiger Leisung und zukünfiger Gegenleisung definier ie Versicherungsleisungen sezen sich addiiv aus Krankheiskosen, Ausscheideleisungen und Kosenleisungen zusammen Somi is für = 0,, ω x ω x ω x ω x x k x k qx k v x k wx k v Vx K ++ x k T k S = k+ k 0 x k 0 x = + = + k= 0 x+ ω x ω x ω x x k x k + x k k B ++ k γ ++ k B ++ Δ k+ k 0 x+ k 0 x+ = = k= 0 x+ Analog is für + ω x x k V x = Kx+ + k+ + T+ k+ 2 qx+ + k+ v+ S+ k+ 2 wx+ + k+ v+ Δ+ k+ 2 B+ k k+ 2 k= 0 x++ urch Indexverschiebung erhalen wir ( ( ) γ ) () 5

6 ω x ω x ω x x k x k qx k v x k wx k v Vx K ++ x k T k S = k+ k x k x = ++ = ++ k= x++ ω x ω x ω x x k x k + x k k B ++ k γ ++ k B ++ Δ k+, k x++ k x++ = = k= x++ wobei sich die einzelnen Summen ergänzen lassen, indem jeweils das nulle Glied addier wird und gesonder subrahier wird: ω x ω x ω x x k x k qx k v x k wx k v Vx K ++ x k T k S = k+ k 0 x k 0 x = ++ = ++ k= 0 x++ ω x ω x ω x x k x k + x k k B ++ k γ ++ k B ++ Δ k+ k 0 x++ k 0 x++ = = k= 0 x++ K x x x x x x x x x + q v w v T + + S Δ+ B+ + γ B+ + x++ x++ x++ x++ x++ x++ Hieran erkennen wir den rekursiven Zusammenhang für das eckungskapial x x x qx v x wx v Vx V + x K + x T + + S = x++ x++ x++ x++ x x Δ x B + γ + B x++ x++ x++ In äquivalener Form is x Vx + B V ++ + = + x + Kx+ + T+ qx+ v+ S+ wx+ v+δ + B+ + γ +, x+ und somi haben wir eine wahrscheinlichkeisheoreische arsellung gefunden: Vx B+ + Vx px+ v Kx+ T+ qx+ v S+ wx+ v + B+ γ + + = Δ + (3) ie Summe aus dem eckungskapial am Ende des Jahres und dem Bruobeirag am Anfang des folgenden Jahres + is gleich dem abgezinsen eckungskapial am Ende des Folgejahres + im Verbleibensfall zuzüglich des erwareen Kopfschadens und zuzüglich der abgezinsen Überragungswere für den Fall des Ausscheidens einschließlich der Kosenleisung am Anfang des folgenden Jahres iese Gleichung kann deshalb als verallgemeinere versicherungsmahemaische Bilanzgleichung der Krankenversicherung versanden werden Man erkenn deuliche Analogien zur Lebensversicherungsmahemaik In der Krankenversicherung gib es neben der Serbewahrscheinlichkei die Sornowahrscheinlichkei als zweie Ausscheideursache ie erwareen Kopfschäden ensprechen den Erlebensfallleisungen; jene werden jedoch im Gegensaz zum Kalkül der Lebensversicherungsmahemaik vor der Berechnung des eckungskapials fällig ie in der Lebensversicherungspraxis üblichen Todesfallleisungen und Rückkaufswere sind in der Praxis der privaen Krankenversicherung zurzei nich vorgesehen, können aber mi diesem Ansaz miels der Überragungswere berücksichig werden In alernaiver Form läss sich der Zuwachs des eckungskapials darsellen, indem die Gleichung (3) abermals umgesell wird In äquivalener Form erhalen wir durch Auflösen der Verbleibewahrscheinlichkei und Muliplikaion mi ( + i) ( ) ( ) ( γ ) ( Vx + B+ )( + i) = + Vx + T+ + Vx qx+ + S+ + Vx wx+ + ( + i) Δ + B Kx+ (4) araus folg durch Umsellung die verallgemeinere Thiele sche Gleichung der privaen Krankenversicherung: (2) 6

7 + Vx Vx i Vx ( i) ( B+ + B+ γ + Kx+ ) qx+ ( + Vx T+ ) wx+ ( + V S+ ) ie Änderung des eckungskapials enseh aus dem Zinserrag bezogen auf die ale Rücksellung und aus dem um die Kosen und Kopfschäden reduzieren, verzinsen Beirag, zuzüglich der neuen Reserve und abzüglich der erwareen Versicherungsleisungen für die beiden Fälle des Ausscheidens = + + Δ + + (5) 3 Beiragszerlegung Wird die Bilanzgleichung (3) nach dem Bruobeirag umgesell, so ergeben sich weiere Einsichen Zunächs haben wir B+ = Vx + + Vx px+ v+ Kx+ + T+ qx+ v+ S+ wx+ v+δ + B+ + γ +, und weierhin folg durch Auflösen der Verbleibewahrscheinlichkei: B+ = Vx + + Vx v+ Kx+ + ( T+ + Vx) qx+ v+ ( S+ + Vx) wx+ v+δ + B+ + γ + Wir definieren nun Sparprämie, naürliche Prämie, Vererbungsprämie und Kosenprämie gemäß S + = x + + x, N + = Kx+, V + ( + + x) x+ ( + + x) x+ K + =Δ B V V v B B = T V q v+ S V w v B B γ S ie Sparprämie B + is für die zinsbereinige Änderung des eckungskapials veranworlich N K ie naürliche Prämie B + ensprich dem Kopfschaden ie Kosenprämie B + dien der V eckung der laufenden Kosen ie Vererbungsprämie B + bezieh sich auf die zur Verfügung sehenden Ausscheideleisungen Sie is negaiv, solange die Überragungswere kleiner als das eckungskapial sind urch die Vererbungsprämie kann demnach der beiragsmindernde Effek, der dadurch zusande komm, dass keine Überragungswere gezahl werden, quanifizier werden Man beache, dass der absolue Berag im Verlauf der Verragslaufzei besändig anseig Abschließend formulier, sez sich die die Bruoprämie addiiv aus vier Besandeilen zusammen: S N V K B = B + B + B + B er Bruobeirag kann somi in einen Aneil zerleg werden, der zur Nivellierung des Beirags in der Zei verwende wird, einen weieren Aneil, der der Gefahrenragung der Krankheiskosens dien, und einen Aneil, der die laufenden Kosen deck Außerdem wird der beiragsmindernde Einfluss der Vererbung deulich 4 Erragsanalyse Als Ausgangspunk zur Analyse des Errags eines Krankenversicherungsverrages über den Zeiraum eines Lebensjahres nehmen wir die Gleichung (4) Wir definieren die linke Seie dieser Gleichung als rechnungsmäßige Einnahmen E und die reche Seie als rechnungsmäßige Ausgaben A des Versicherungsunernehmens am Ende des Jahres : E = ( Vx + B+ )( + i), A = V + ( T V ) q + ( S V ) w + ( + i) ( Δ B + γ + K ) + x + + x x+ + + x x x+, 7

8 ie ifferenz G aus rechnungsmäßigen Einnahmen und Ausgaben G = E A is nach dem Äquivalenzprinzip per definiionem gleich Null abei is zu beachen, dass nach dem Vorsichsprinzip die Rechnungsgrundlagen erser Ordnung verwende werden Analog kann man die realisisch zu erwarenden Einnahmen E und Ausgaben A anhand der Rechnungsgrößen zweier Ordnung, nämlich mi dem realen Zinssaz i und der wahren Serbewahrscheinlichkei q x +, der wirklichen Kündigungswahrscheinlichkei w x+, den asächlichen Kosensäzen Δ + und den wirklichen Sückkosen γ +, angeben E = ( Vx + B+ )( + i ), A = + Vx + ( T+ + Vx) q x+ + ( S+ + Vx) w x+ + ( + i ) ( Δ + B+ + γ + + K x+ ) In der Praxis enseh ein erwareer Gewinn G durch die ifferenz der asächlichen Einnahmen und Ausgaben Verbinde man beide Gewinngleichungen durch Subrakion, so folg G = G G = E E + ( A A ) = ( Vx + B+ )( + i ) ( Vx + B+ )( + i) + + Vx + ( T+ + Vx) qx+ + ( S+ + Vx) wx+ + Vx ( T+ + Vx) q x+ ( S+ + Vx) w x+ + ( + i) Δ B + γ + K ( + i ) Δ B + γ + K ( x+ ) ( x+ ) Ordnen wir die einzelnen Terme nach den Rechnungsgrundlagen, so is ( + + γ + ) ( + + γ + ) G = Δ B + Δ B + + Kx+ K x+ + i V + B Δ B K i V + B Δ B K + q x+ ( + Vx T+ ) qx+ ( + Vx T+ ) + w x+ ( + Vx S+ ) wx+ ( + Vx S+ ) ( x γ + x+ ) ( x γ+ x+ ) urch Umsellen erhalen wir schließlich die verallgemeinere Konribuionsgleichung der Krankenversicherung abei is ( γ + + ) ( Kx K + x+ ) ( i) G = Vx + B Δ B K x ( i i) ( + Vx T+ )( q x+ qx+ ) + ( + Vx S+ )( w x+ wx+ ) + Δ B Δ B + ( + i) ( γ+ γ+ ) ( γ + + ) Z G = Vx + B Δ B K x ( i i) R G = ( Kx+ Kx+ )( + i) Zinsgewinn Risikogewinn ( γ + γ + ) Kosengewinn K G = Δ B Δ B + ( + i ) S = ( )( ) + ( )( ) Sornogewinn G V T q q V S w w + x + x+ x+ + x + x+ x+ Somi läss sich der erwaree Gewinn eines einzelnen Versicherungsverrages in die wesenlichen Quellen Zinsgewinn, Serblichkeisgewinn, Kosengewinn und Sornogewinn (6) 8

9 zerlegen ie Ursache für diese Unernehmensgewinne is die Verwendung vorsichiger Rechnungsgrundlagen bei der Beiragskalkulaion Ein erwareer Zinsgewinn enseh, wenn der asächlich erziele Zins auf die Kapialanlagen größer als der Rechnungszins is, vorausgesez die Basis is posiiv In der Anfangszei kann der einzelverragliche Zinsgewinn negaiv sein, da das Bruodeckungskapial aufgrund der einmaligen Abschlussprovision negaiv is er Risikogewinn is posiiv, falls der asächliche Kopfschaden geringer ausfäll als der erwaree Kopfschaden Falls die asächlichen Kosen geringer sind als die vorsichig geschäzen Kosen, so enseh ein Kosengewinn Ein Sornogewinn enseh, wenn die asächliche Serblichkei und die asächliche Kündigungswahrscheinlichkei geringer sind als die für die Beiragskalkulaion angenommenen Were er Sornogewinn wird umso größer, je kleiner die Überragungswere sind Insbesondere solle beon werden, dass dem Versicherungsunernehmen durch die derzei prakiziere Vererbung der Alersrücksellung auf den Besand Gewinne oder auch Verluse erwachsen können, insofern sich die Rechnungsgrundlagen erser und zweier Ordnung in Bezug auf die Ausscheidewahrscheinlichkeien unerscheiden 5 Rechenvorschrifen Anhand der Formel (3) Vx + B+ = + Vx px+ v+ Kx+ + T+ qx+ v+ S+ wx+ v+δ + B+ + γ + erkennen wir durch Umsellen den folgenden Zusammenhang ( Δ + ) B+ + Vx + Vx px+ v = Kx+ + T+ qx+ v+ S+ wx+ v+ γ +, (7) welche für alle = 0,, ω x gülig is Somi haben wir insgesam ω x + Gleichungen zur Verfügung er iskonfakor v, die Serbewahrscheinlichkeien q x +, die Sornowahrscheinlich-kei w x + und die Überlebenswahrscheinlichkeien p x + sind vorgegeben Sämliche Kopfschäden K x+ sind bekann ie Überragungswere T + im Todesfall sowie S + im Kündigungsfall sind verraglich vereinbar Ebenso is das eckungskapial zu Verragsbeginn, 0Vx = αb, sowie zu Verragsende, ω x+ Vx = 0, fesgeleg Gehen wir nun von einer konsanen Prämie B aus, so gib es insgesam ω x + Unbekanne: B, Vx,, ω xvx ie Exisenz und Eindeuigkei der Lösung dieses linearen Gleichungssysems läss sich unschwer nachweisen Um die Gleichungen geschlossen erfassen zu können, definieren wir die Marix A durch Δ α vpx Δ2 vpx Δ3 0 vpx A = Δω x 0 0 vpω 2 0 Δω x vpω Δω x den Vekor der gesuchen Variablen x als 9

10 B V x 2V x x = ω x 2V x ω x Vx ω xvx sowie den Leisungsvekor l durch K + T q v+ S w v+ γ x x x Kx+ + T2 qx+ v+ S2 wx+ v+ γ 2 K + T q v+ S w v+ γ l = x+ 2 3 x+ 2 3 x+ 2 3 K + T q v+ S w v+ γ Kω + Tω x qω v+ Sω x wω v+ γ ω x Kω + Tω x+ qω v+ Sω x+ wω v+ γ ω x+ ω 2 ω x ω 2 ω x ω 2 ω x ie kompake arsellung des linearen Gleichungssysems laue dami Ax = l Wir berechnen nun zunächs die eerminane der Marix A Jene läss sich leich nach der ersen Spale enwickeln: ω x+ k + k ( Ak ) de( A) = ( ) ( Δ )de k = abei is Ak diejenige Unermarix, die aus der Marix A durch Sreichen der ersen Spale und der k-en Zeile enseh Nun is da ( ) de A =, A eine reche obere reiecksmarix is, deren iagonalelemene alle gleich sind Mi dem gleichen Argumen finden wir die eerminane der Marix A 2: de ( A2 ) = vpx ie Unermarix A 3 ha die Gesal A 3 vpx vpx vpx vpx = vpω vpω

11 ie eerminane dieser Marix wird nach der ersen Zeile enwickel: Sreichen wir in A 3 die erse Zeile und erse Spale, so enseh eine obere reiecksmarix, deren eerminane das Produk der iagonalelemene is Somi folg de ( A3 ) = ( vpx)( vp x + ) In analoger Schlussfolgerung erhalen wir alle noch fehlenden Unerdeerminanen In geschlossener Form is daher de k 2 ( Ak ) = ( vpx+ i) i= 0 Insgesam is somi die eerminane von A ω x+ k 2 ω x+ k 2 de( A) = ( ) ( Δ ) vp = ( Δ ) vp 0 k= i= 0 k= i= 0 k + k ( x+ i) k x+ i as berachee lineare Gleichungssysem läss sich also eindeuig lösen a die Marix A dünn besez is, kann der Lösungsvekor x offensichlich rekursiv berechne werden, sobald die erse Komponene bekann is eshalb berechnen wir zunächs x nach der Cramerschen Regel azu berachen wir die Marix A, die aus der Marix A hervorgeh, indem die erse Spale durch den Lösungsvekor l ersez wird l vpx l2 vpx l3 0 vpx A = lω x 0 0 vpω 2 0 lω x vpω lω x ie eerminane dieser Marix läss sich wie oben gezeig leich ausrechnen ω x+ k 2 de( A ) = lk vpx+ i k= i= 0 Folglich is ω x+ k 2 lk vpx i de A + k= i= 0 = = ω x+ k 2 de A ( Δk) vpx+ i k= i= 0 x ie übrigen Komponenen des Lösungsvekors x berechnen: sowie x x Analog is ( Δ ) x l 2 =, vpx ( Δ ) x + x l = vp x + lassen sich nun zeilenweise rekursiv

12 ( Δ ) x + x l xk = vpx+ k 2 für k = 3,, ω x+ k k k Alernaiv kann x ω x + aus der lezen Zeile berechne werden: x = l ( Δ ) x ω x+ ω x+ ω x+ ami sind der Beirag und das eckungskapial zu jedem Zeipunk berechenbar ie versicherungsechnischen Were lauen sowie B = ω x k = (( Kx+ k + Tk qx+ k v+ Sk wx+ k v+ γ k) x+ k ) ω x ( α ) ( ) Δ + Δ x k x+ k k = 2 ( Δ α) B Kx T qx v S wx v γ Vx =, vpx ( Δ ) B+ V K T q v S w v γ = ; = 3,, + k k 2 x x+ k 2 k x+ k 2 k x+ k 2 k k Vx k ω x vpx+ k 2 er Nuzen dieses alernaiven Berechnungsansazes lieg darin begründe, dass der dargeselle Algorihmus leich auf einem Rechner implemenier werden kann Außerdem is er hinreichend allgemein und flexibel gesale, um die Berechnung der versicherungsechnischen Were einer Vielzahl privaer Krankenversicherungsproduke zu ermöglichen Insbesondere is es machbar, Produke mi beliebigen Überragungsweren durchzurechnen och bevor wir dazu übergehen, wollen wir auf einen Spezialfall des Sazes von Canelli für die privae Krankenversicherung aufmerksam machen (8) (9) 6 Saz von Canelli ie Bereisellung eines Überragungswers läss sich rech elegan im Kalkül der linearen Gleichungssyseme analysieren In diesem Zusammenhang sei die am Ende des Versicherungsjahres fällige Garanieleisung bei Tod oder Kündigung jeweils gleich dem eckungskapial am Ende des Jahres, also T+ = S+ = + Vx Uner diesen Voraussezungen erhalen wir, ausgehend von Gleichung (7), ( Δ + ) B+ + Vx + Vx px+ v = Kx+ + T+ qx+ v+ S+ wx+ v+ γ +, folgende vereinfache Rekursionsgleichung für das eckungskapial: ( Δ + ) B+ + Vx + Vx px+ v = Kx+ + + Vx qx+ v+ + Vx wx+ v+ γ + Aufgrund der Beziehung p = q w vereinfach sich das lineare Gleichungssysem zu x+ x+ x+ ( Δ + ) B+ + Vx + Vx v = Kx+ + γ + für = 0, ω x Man erkenn, dass dieses Gleichungssysem unabhängig von der Sornowahrscheinlichkei und der Serbewahrscheinlichkei is ie Lösungen für den Beirag und das eckungskapial ergeben sich aus den Formeln (8) und (9) des vorherigen Abschnis, wenn man dor für die Ausscheidewahrscheinlichkeien Null einsez Falls der Überragungswer gleich dem eckungskapial is, so is es nich nöig, Ausscheidewahrscheinlichkeien zu berücksichigen enn die versicherungsechnischen 2

13 Were, Beirag und eckungskapial, sind unabhängig von ewaigen Kündigungs- und Serbewahrscheinlichkeien iese Aussage sell einen Spezialfall des Sazes von Canelli dar Umgekehr müssen in der gängigen Praxis zur Tarifierung in der Privaen Krankenversicherung nur deshalb Serbe- und Sornowahrscheinlichkeien berücksichig werden, da keine Überragungswere exisieren Werden die Überragungswere als ein Teil α, mi α (0;), des Bruodeckungskapials angesez, so ermöglich das hier dargesell Kalkül eine vereinfache Berechnung der versicherungsechnischen Were Ausgehend wiederum von Gleichung (7) erhalen wir folgende Rekursionsgleichung für das eckungskapial: welche zu ( Δ + ) B+ + Vx + Vx px+ v = Kx+ + + Vx α qx+ v+ + Vx α wx+ v+ γ+, ( Δ + ) B+ + Vx + Vx v ( ( α) qx+ ( α) wx+ ) = Kx+ + γ+ äquivalen is Man erhäl also die versicherungsechnischen Were aus den Formeln (8) und (9) des vorherigen Abschnis, indem die Serbewahrscheinlichkei und die Sornowahrscheinlichkei mi dem Fakor α muliplizier werden Is also beispielsweise ein Überragungswer in Höhe von 80% der Alersrücksellung vorgesehen, so rechne man mi 20% der ursprünglichen Sorno- beziehungsweise Todesfallwahrscheinlichkeien In diesem Zusammenhang kann somi auch das von Reichel [6] formuliere Problem angegangen werden, um die Auswirkung von Sornoabschlägen zu quanifizieren 7 Fazi as Modell von Neuburger wurde erfolgreich von der Lebensversicherung auf die Krankenversicherung überragen ami seh ein leisungsfähiger Algorihmus zur Verfügung, mi dem eine Vielzahl privaer Krankenversicherungsproduke mi beliebigen verraglich fesgelegen Überragungsweren gerechne werden kann er Voreil der Mehode lieg in der simulanen Berechnung von Beirag und Alersrücksellungen urch die verallgemeinere Konribuionsgleichung wurde die Erragsanalyse in der privaen Krankenversicherung verdeulich aran is klar geworden, in wie fern durch die gängige Praxis der Vererbung der Alersrücksellung Unernehmensgewinne oder auch Verluse ensehen as Kalkül erlaub außerdem einen eleganen Beweis des Sazes von Canelli für die Krankenversicherung 3

14 8 Lieraur [] Braun, J (986): Zur Behandlung allgemeiner Lebensversicherungen durch lineare Gleichungssyseme Bläer der GVM, Volume 7, Number 3, S [2] isch, B (200): ie Berechnung von versicherungsechnischen Weren mi linearen Gleichungssysemen Bläer der GVFM, Volume 25, Number, S [3] Korer, M (993): Lineare Gleichungssyseme und lineare Modelle in der Versicherungsmahemaik Blaer der GVM, Volume 2, Number, S [4] Mauermann, W (992): Hinreichende Bedingungen für nichnegaive Lösungen eines linearen Gleichungssysems der Lebensversicherungsmahemaik Bläer der GVM, Volume 20, Number 4, S [5] Neuburger, E (974): Noiz über einen rechnerangepaβen Algorihmus zur Berechnung von Prämien und Reserven Bläer der GVM, Volume, Number 4, S [6] Reichel, G (984): Lebensversicherungsmahemaik: Ein weniger ausgefallenes als ausgefahrenes Gebie? Bläer der GVM, Volume 6, Number 4, S