Höhere Mathematik 2 Kapitel 5 Integralrechnung
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- Ingrid Steinmann
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1 Höhr Mhi Kpil 5 Igrlrhug Pro. Dr.-Ig. Dir Krus
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3 Höhr Mhi Kpil 5 Ihlsvrzihis 5 Igrlrhug Grudlg Orsu / Ursu Rish Su Eigsh ds Igrls Igrio u Tilirvll Hupsz dr Igrl- ud Dirilrhug Igriosrgl Prill Igrio Susiuioshod Igrio spzillr Fuiosyp Igrio riolr Fuio Igrl dr For R si,os d Ergäzd Brhug Igrio grdr ud ugrdr Fuio Flährhug Milwrsz dr Igrlrhug Uiglih Igrl Eiig Awdug ds Igrls Bogläg ir Kurv Volu is Roiosörprs Mlläh is Roiosörprs Nurish Igrio Rhorl Trpzorl Sipsosh Rgl...5-
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5 5 Igrlrhug 5. Grudlg 5.. Orsu / Ursu Gg si : [,] i ür ll [,] Gsuh is dr "Flähihl" zwish dr -Ahs, d Grph vo sowi d Grd ud. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- Es sll sih u di Frg: Ws is ürhup dr Flähihl? Dr Flähihl si so diir, dss i Rh gil: Flähihl = Produ dr Siläg Is lso os, so soll ür d Flähihl gl: I Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-
6 Diiio 5-: Gg si i Irvll [,]. :,,,, hiß rlgug vo [,], w < < <...< hiß -s Tilirvll, Läg vo I ud Brg vo. I : [, ] i : {,, } : Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- I olgd wrd ur Fuio : [,] rh, di u [,] shrä sid, d.h. Di Fuio uss ih si. K i K [,] Diiio 5-: Es si : [,] shrä u [,] ud i rlgug vo [,]. D diir [, ] [, ] : i di größ ur Shr u [, ] M : sup di lis or Shr u [, ] : i Iiu vo u I I M : sup Supru vo u I Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- I
7 U : Ursu vo zgl. O : M Orsu vo zgl.... = = M läss u di rlgug ir wrd. Di wird U größr ud O lir, r ir gil U O Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-5 Sr id Folg U, U, U, ud,,, O O O gg i Grzwr ud is disr i id Folg glih, so diir dis Grzwr ls Igrl vo i d Grz vo is. Is ür ll [,], so lir diss Igrl d Flähihl zwish dr -Ahs, d Grph vo ud d Grd ud. uähs sid iig Eigsh zu zig, di i shulih soor iluh. d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-6
8 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-7 Sz 5-: Es gil M O U Bwis: M M M O U Diiio 5-: hiß Vrirug vo, w Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-8 Sz 5-: Es si i Vrirug vo, d gil O O U U Bwis: uähs si {} rh O O U U I llgi sid dlih vil Urilugspu hizuzuüg. M uss d oig Shri lso ur sprhd o widrhol. =... U, U ' O, O '
9 Sz 5-: Es si ud rlgug vo [,] U O Bwis: is Vrirug vo ud U U O O Diiio 5-: Es si : [,] shrä u [,]. hiß igrirr u [,] gu d, w sup U i O I dis Fll shri Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-9 U io d : sup ud zih s ls ds Ri-Igrl dr Fuio vo is. Arug: Aus d Säz 5- ud 5- olg, dss di Wr sup U ud i O isir ud dlih sid. Aus Sz 5- olg, dss ir gil sup U i O. Gil ds Glihhiszih so is igrirr. Arug: Is igrirr u [,] ud gil ür ll [,], so sll dr Wr d d Flähihl zwish dr -Ahs, d Grph vo ud d Grd ud dr. Bispil: ür ll ud is igrirr u jd Irvll [,] i d d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-
10 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- d, O U i sup O U ür ür is ih igrirr u [,], d i sup, O U O U Wlh Fuio sid igrirr? Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- Sz 5-: Es si : [,] shrä. is u [,] igrirr gu d, w ür ll > i rlgug vo [,] isir i U O Bwis: "": Si >, i sup ud i U U O O Für gil d U O U O "": sup i U O U O d > sup i U O
11 Sz 5-5: Jd u [,] ooo ud shrä Fuio is igrirr u [,]. Jd u [,] sig Fuio is igrirr u [,]. Bwis: Si ooo whsd i M ud O U M lls < / ud. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- D sig u [,] ud [,] i gshlosss Irvll i [,] is, is glihäßig sig u [,], d.h. i, [, ] i Si i rlgug vo [,] i < O U M M ud, d Iiu ud Supru u jd Tilirvll go wrd is gäß ds Szs 5- igrirr u [,]. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-
12 5.. Rish Su Ei dr Möglihi Igrirri hzuprü, zw. i Hilsil Igrl zu rh, ild di Rish Su. Diiio 5-5: Es si : [,] shrä, i rlgug vo [,] ud I i liigr wishpu. D hiß Rish Su vo zur rlgug Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-5 Sz 5-6: Es si : [,] shrä. is igrirr u [,] gu d, w li uhägig vo dr Whl dr wishpu I isir. I dis Fll gil d li Sz 5-7: Es si : [,] igrirr u [,], {} i Folg vo rlgug vo [,] i li ud, i Folg vo wishpu. D gil d li, Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-6
13 Bispil: ür ll [, ] is sig u [,] is igrirr u [,]. Wähl {,,,..., } i wishpu + / d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus Eigsh ds Igrls Sz 5-8: Es si, g : [,] igrirr u [,] ud. D gil: is igrirr u [,] d d g is igrirr u [,] i g d d g d Is g ür ll [,], d gil d g d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-8
14 d is igrirr u [,] i d d Is K ür ll [,], so gil d d g is igrirr u [,] K d K Bwis: us dr Rish-Su hrusgzog wrd. g g g is igrirr i g ür ll [,] Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-9 g d g d d d + + ud + i ür ür ud sos sos M h u zu zig, dss + ud igrirr sid is igrirr Bwis sih Lirur. D ud olg i us d d ud d d shlißlih d d. Folg uilr us ud d Bwis sih Lirur Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-
15 5.. Igrio u Tilirvll Sz 5-9: Es si : [,] ud {,,,..., } i rlgug vo [,]. D gil is igrirr u [,] gu d, w igrirr u jd Tilirvll [, ] i. I dis Fll gil d d Sz 5-: Es si : [,] igrirr u [,] ud di Folg ud si us i d Grzwr li ud li ud [, ] [,] ür ll. D gil d li d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- Bwis: d d d d Si K ür ll [,], d gil d K d K Bhupug Arug: Es si : [,] süwis sig u [,], d.h. siz höhss dlih vil Sprugsll. D gil is igrirr u [,]. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-
16 Arug: Es si, g : [,] shrä u [,] ud g ür höhss dlih vil [,]. D is u [,] igrirr gu d, w g u [,] igrirr. I dis Fll gil Bispil: d d d ür [, ür, g d d d d d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-5. Hupsz dr Igrl- ud Dirilrhug Diiio 5-6: Es si I i Irvll ud igrirr u jd Tilirvll [,] I i I. D hiß F : I i F : d Fuio dr or Grz ds Igrls vo. Is ür ll I F is dr Flähihl zwish -Ahs, Grph vo ud d Grd ud Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-
17 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-5 Sz 5-: Hupsz dr Diril- ud Igrlrhug Für di Fuio F : I gil F is sig u I sig i I F is dirzirr i F sig u I F is sig dirzirr u I i F ür ll I Bwis: Es si [,] I, i Folg us [,] i li ud K ür ll [,], d gil K d d d F F F is sig i, d I liig F is sig u I. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-6 sup d d d d d d F F, lso ud di Folg uilr us ür ll I.
18 Bispil: si F d is sig dirzirr u i si ür ll F ür ll d is sig u, d li si /. Diiio 5-7: Suio Es si I i Irvll,, F : I ud F dirzirr u I. Gil F ür ll I, d hiß F Suio vo u I. Arug: Jd u I sig Fuio siz u I i Suio, d ür I ud F d gil F ür ll I. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-7 Arug: Is F Suio vo u I, so is uh G F + i so Suio vo u I. wi Suio urshid sih ur durh i ddiiv Kos, d G F ür ll I. Es si F ud G Suio vo u I G F ür ll G F ür ll I ud Sz 5-: Is : [,] igrirr u [,] ud is F : [,] i Suio vo u [,] d gil d F F F Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-8
19 Bwis: Si sig ür llgi igrirr Fuio sih Lirur G G F, d is Suio vo u [, ] G, G G G F F d Arug: d hiß usis Igrl ud du di Gshi llr Suio vo, lso F ür ll I. d d F, i Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-9 Häuig läss di Igriosos wg ud shri ih d F i F ür ll I. d hiß sis Igrl. Arug: d, d d Bispil: d ür \ { }, Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-
20 d l, ür d, z.b. d d ür si d os os d si ür Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-5. Igriosrgl 5.. Prill Igrio Sz 5-: Es si, g : [,] sig dirzirr u [,]. D gil g d g d g g Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- g d g d Bwis: g g g gis Suio vo g g, d.h. g g d g d gd g g d
21 Bispil: i d d, g d d ud g, Rursiosorl i, g ud g l d l d l d l l i, g l ud g si d os i os d os os si si os si, g os os d ud g Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus Susiuioshod Sz 5-: Es si : [,] sig dirzirr u [,] ud : [,] sig u [,] i [,] [,]. D gil d d zw. d d Es si : [,] [,] sig dirzirr u [,] i ' ür ll [,], d.h. is srg ooo ud : [,] sig u [,]. D gil d d zw. d d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-
22 Bwis: Is F Suio vo u [,], so gil F F lso is ud s gil F F Suio vo d F F d Mi ud gil h Bhupug d d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-5 Mrrgl: d d, lso sz ud d ' d i. Bispil: d Susiuio : d l d d l C l, d d d d l l odr Grz i susiuir 9 9 d d l l 9 l l 9 l9 C Ds rs Bispil is i Bispil ür d olgd llgi Fll. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-6
23 d Susiuio : d, d d l C l d d d C l l Susiuio: l, d d d d d d d C C Ds dri Bispil is i Bispil ür d olgd llgi Fll. d d d C C Susiuio:, d d d d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus d d d Susiuio : d r C r C,, d d d d 6 d d d d rsi C rsi C,, Susiuio :, d d d d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-8
24 Alog rhäl 7 d rsih C l 8 d Susiuio : d rosh d C l, C d d ~ C, ~ C, C d d 9 d d Susiuio :, d d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-9 d Susiuio : d, d d, C d d C d Susiuio : d l d r C l d d l d d r C si si d d l os C d os os Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-
25 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- si si os os os os os os si os si d d d d d d d d Susiuio : d d os, / rsi si Flähihl ds Virlriss Flähihl ds Kriss i d Rdius r is A r. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- Als Suio rgi sih rsi rsi si si os si si C d, rsi
26 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- d Susiuio: l rsih, osh sih d d p p sih osh osh osh osh osh osh sih osh sih d d d d d d d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- rsih rsih rsih rsih
27 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-5 Prill Igrio: l d d d d d C d l Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus ür os ür os ür os os si si os si C C C d d 6 Di olgd Igrl lss sih ih gshloss durh Fuio usdrü:., os, si,, d d d d
28 5. Igrio spzillr Fuiosyp 5.. Igrio riolr Fuio Gsuh sid Suio ür Igrl vo Typ p d, q p, q Polyo i grd p grd q Is grd p grd q Polyodivisio durhühr is grd p < grd q is. Ashlißd uss i Prilruhzrlgug durhgühr wrd. Es sid d ur oh Igrl vo Typ zu rh. d ud A B d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-7 Es gil d l d, d r, d d r,, λ λ, d Rursiosorl d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-8
29 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-9 d l g, d h, d d d Bwis: s. Bispil i Kpil 5.. s. Bispil i Kpil 5. s. Bispil 5 i Kpil 5.. d / i, / r / / / / λ d d d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-5 d d d d d d d d d d d d d
30 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-5, i d λ d d d s. Bispil i Kpil 5.. g s. Bispil i Kpil 5. h s. ud g Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-5 Bispil: d 6 grd p > grd q Polyodivisio Polyodivisio: : Prilruhzrlgug 7 7
31 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-5 C C d d d I l l d 5 Prilruhzrlgug: A E D C B A Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-5 Koizivrglih: 5 5 E D C B E D C B E E D D C C B B 5 E C E D B D C B E E D D C C C C B C B C B B B B
32 B B B BC C BC BC B C D B D E C E A, B, C, D, E I I CC D D E E I d d d I d l I d d r / / I Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-55 I d d d, i d r I I I I 5 l r C Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-56
33 5.. Igrl dr For R si,os d Rsi,os zih i grohriol Fuio vo si, os. Susiuio : r, d d, si, os D si si / os /, ud os os / si / olg si, os, d d. Hirdurh rhäl grohriol Fuio i. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-57 Bispil: d os d d d d Mi ud d r C olg d r C os Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-58
34 5.5 Ergäzd Brhug 5.5. Igrio grdr ud ugrdr Fuio Es gil d lls ugrd Fuio d d lls grd Fuio, d ür ugrd, d.h. olg d d d d d Sus. :, d d d d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-59 ud ür grd, d.h. olg d d d d d Sus. : d, d d d d grd Fuio ugrd Fuio - - Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-6
35 5.5. Flährhug Is : [,] sig u [,] ud gil ür ll [,], d gi d d Flähihl dr Fläh zwish dr -Ahs, d Grph vo ud d Grd ud. Sz 5-5: Es si, g : [,] sig u [,] ud s gl g ür l- l [,], d gi g d d Flähihl dr Fläh zwish d Grph ud g ud d Grd ud. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-6 Bwis: Si M [,] M M [,] + M ud g + M [,] g d g M d M d Flähihl g + M g + M Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-6
36 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-6 Bispil:,, [,] g d d d d F g Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus Milwrsz dr Igrlrhug Sz 5-6: Milwrsz Es si, g : [,] sig u [,] ud g ür ll [,], d isir i [,] i d g d g Is g ür ll [,], d gil d
37 Bwis: Is g [,] id Si Si [,] i g > g > U d g sig Si g d d g [,] \ U i, M [, ] [, ] g g M g [, ] g d g d M g d g d M g d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-65 D sig u [,], isir h d wishwrsz i [,] i g d g d Bhupug. Dr Milwrsz dr Igrlrhug is o i gus Hilsil zur Ashäzug vo Igrl. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-66
38 5.6 Uiglih Igrl Igrl wurd ishr ur ür shrä Fuio ud dlih Irvll diir. Nu wrd Igrl uh ür gwiss ushrä Fuio zw. ür udlih Irvll gg. Diiio 5-8: Es si I [, i {} uiglih Sll. hiß uiglih igrirr u [,, w i jd Tilirvll [,B] [, igrirr is ud isir. d : li d B B Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-67 Es si I,] i {} uiglih Sll. hiß uiglih igrirr u,], w i jd Tilirvll [A,],] igrirr is ud isir. d : li d A A Es si I, i, {,}, uiglih Sll. hiß uiglih igrirr, w ür, i,] ud [, uiglih igrirr is, d.h. d : d d Igrl i uspl ud d Kovrgz ursuh Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-68
39 Bispil: / d, s ud I,]. Es gil ür < < : l ür d ür d li l ud li gil d ovrgir gu d, w < d is divrg ür Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-69 / d s I [,. Es gil ür < B < : B l B ür d B ür d li l B ud li B B B d gil ovrgir gu d, w > d is divrg ür Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-7
40 li d d li d is ovrg B d li d lil li l B B B B d Also is uh B is divrg d d d divrg Igrl uspl, d id Igriosgrz uiglih Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-7 owohl B li d li CHW B B B Igrd is i ugrd Fuio Cuhyshr Hupwr CHW CHW d : li d zw. CHW d : li d d Es is durhus öglih, dss ds uiglih Igrl ih ovrgir, dr CHW dgg isir, vgl. Bispil. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-7
41 B 5 d d lir li r B B B Igrd is i grd Fuio 6 d l is ovrg, d d d d l l l d lil B B B li l B B l l B B 7 d li li B, d li B B Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus l d l d li l li l d li l l li li li 9 d d d, d lil is divrg, Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-7 Igrl uspl, d zwi uiglih Grz d l l l d d d l li l l
42 U di Kovrgz zw. Divrgz vo Igrl zu uril, i d di Suio ih, wd di olgd Kovrgzriri. Sz 5-7: Kovrgzriri Es si, g u jd Tilirvll [,B] [, zw. [A,],] igrirr ud g > ür ll,. ovrgir d d is ovrg Is g ür ll, ud ovrgir g d d is ovrg i d d g d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-75 Eisir li L zw. li L i L < ud g g ovrgir g d d is ovrg d Eisir li L zw. li L i < L ud g g divrgir g d d is divrg Bwis: ür uiglih Sll, ür vrläu dr Bwis log, D g, sid d ud F G g d i [, ooo whsd Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-76
43 ud s gil F G li G g d F is ooo whsd ud h o shrä s isir li F d g d Mi gil ud soi g s isir d d Aus Aus B li d d d d is ovrg B B B d d g d ür B Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-77 d d g d Fll L li [, ] g g i [, ] g [, ] D g d ovrg d ovrg wg d d d is ovrg. iglihs Igrl uiglihs Igrl Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-78
44 Fll < L < L li L L [, ] g g i [, ] Lg [, ] log zu Fll L d L li L L g g [, ] i [, ] L g [, ] D g d divrg d is divrg. Für L rolg dr Bwis log zu Fll L = i. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-79 Bispil: si d is ovrg, d si g, [, ud d d is ovrg, d i ud g is ovrg u li li li li li li / / u u u u g d d ovrg d is ovrg. gil Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-8
45 Außrd, d d iglihs Igrl d is ovrg d d Igrd is i grd Fuio d is divrg, d i g / gil / li li li / / d d divrg d divrg is ovrg Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-8 G-Fuio Diiio: Eulrsh Igrldrsllug Γ :, i Γ : Bwis dr Kovrgz: id Grz uiglih d d is ovrg, d i g / gil li li ud / d is ovrg d di -Fuio särr wähs ls jd Poz vo d is ovrg, d i g / gil Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-8
46 li li lls + >, d.h. >. / Wähl sprhd < < d is ovrg d is ovrg us gil d d is ovrg > Eigsh:!, d / Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-8 Bwis: d d d prill Igrio lir!! d d Γ d Γ, Γ! Di G-Fuio is di Vrllgirug dr ur ür ürlih hl diir Fulä. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-8
47 d / d d Susiuio : s, s, d s ds / s s ds s s ds s ds Di Wr dr G-Fuio üss ur i Irvll, rh wrd, z.b. durh urish Igrio i dr Sipso- Forl. All wir Wr vrsh sih durh Ausuz dr Eigsh ud. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-85 Bispil:,?,,,,,,,,,,, d d! s d s ds s Susiuio: d s s, s ds s, s s ds d ds s,, Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-86
48 5.7 Eiig Awdug ds Igrls 5.7. Bogläg ir Kurv Es si : [,] sig dirzirr u [,] ud C : [, ] dr Grph vo. C sll i Kurv i dr. U di Läg ir solh Kurv zu diir, gri wir i u i lr Kurv Grd dr Läg LC zurü. Is u i liig sig dirzirr Fuio u [,],,..., i rlgug vo [,], so ö wir durh ud, Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-87 di Pu i Polygozug P dr Läg,,,..., P L C lg. Di Su is i Rish Su, di ür gg ovrgir. d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-88
49 Diiio 5-9: Es si : [,] sig dirzirr u [,], d is LC d di Bogläg dr Kurv C :, Bispil: : [,] i LC d l l Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-89 : [,] i, LC li dlirsi rsi Ug ds Kriss i Rdius r is U r. Kurv i Prrdrsllug C :, y, [, ] y [,]. C sll i Kurv i dr ud h di Bogläg, si sig dirzirr u [,] i,, Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-9
50 L C d. Bwis: Si ' > u [,] srg ooo whsd isir i y. D d d/ ud / gil d d d d. Für ' < zw. ' = ud di ' vrläu dr Bwis sprhd gg. is dr Igrlrih gig uzuspl. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-9 Bispil: C : ros, y rsi, [, ] y d.h. Kris u d Ursprug i d Rdius r L C y r si os d d r r d r si r os r d d C : r si, y ros, [, ] y yloidurv Rdurv Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-9
51 y r os r si r os os si r os i, L C r r r os d r si / d r os / d si / d r si / d os / ros os r 8r Fläh zwish yloidog ud -Ahs y d y d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-9 Susiuio : r si, r os, y r os F r y d r r r r os r os d r os os os os d si d os d si d os d r Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-9
52 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-95 Kurv i Polroordi : os, si, [, ] C r y r y r is sig dirzirr u [,]. os si si si os os r r y r y r r r d r r d y C L d os si si os os si si os r r r r r r r r y Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-96 Bispil: os, [, ] r Syrish zur - ud y-ahs, d r r, r / r /+ Igrl llipishs si 8 os si si 8 os si 8 d d d d r r C L
53 5.7. Volu is Roiosörprs Sz 5-8: Es si : [,] i u [,] ihgiv sig Fuio. Ei durh Drhug dr Kurv y u di -Ahs rzugr Roiosörpr siz ds Volu Bwissizz: V d Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-97 Für jds [,] is dr Flähihl ds Qurshis gg durh F Ds Volu ir Shi dr Di Δ räg ährugswis V F Suio ud Grzürgg lir i dv F d shlißlih V Bispil: r, [, h] h V r h r d h dv h F d r d h h r d h Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-98
54 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus Mlläh is Roiosörprs Sz 5-9: Es si : [,] i u [,] ihgiv sig dirzirr Fuio. Roir di Kurv y u di -Ahs, so gil ür di Mlläh M ds zughörig Roiosörprs d M Bwissizz: Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- Di Mlläh ΔM ir dü Shi dr Di Δ wird i,, U y s r gähr durh y y s U M Suio ud Grzürgg lir i d dm shlißlih d dm M
55 Bispil: r, [, h] M Susiuio : h r r r h d r, d r d, d d M d l r h r r r r l r r r r l r r h h h h Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus Nurish Igrio 5.8. Rhorl Sz 5-: Es si : [,] igrirr u [,] ud {,,,,} i äquidis rlgug vo [,] i h,,,, d gil di Nährugsorl d h... Bwissizz: h... is wg Di Su h... h Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-
56 i h ud i zur vorgg rlgug ghörig Ri-Su ud di uoish i Nährug ds si Igrls d... = = Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- Bispil: d 6 Für,,,, lir di Rhorl d h Grud ür di shlh Ürisiug is di groß Sigug dr Fuio. Für rhäl di Nährug d h Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-
57 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus Trpzorl Sz 5-: Es si : [,] igrirr u [,] ud {,,,, } i äquidis rlgug vo [,] i h,,,. Ersz ür jd Tilirvll [, ] durh di, ud, vridd Sh, d gil di Nährugsorl... d h Bwis: Ds Polygo dr Sh wird durh h p i,,,. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-6 Für di Nährugsorl gil d h h h h h d h d p
58 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-7 Für h / di Nährugsorl rursiv rh wrd... : : h h T h T T U vo T h T+ zu glg, ruh ur d durh di Irvllhlirug h+ h/ u hizuod Birg... h h h h M gäß Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-8 M T T zu rüsihig. Dshl rh i dr Pris dr Rih h,,,,,, M M T T M M T T M T is sih T ud T+ ih hr rlih urshid. Bispil: 6 d
59 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus , , , , 8 8, M T M T M T M T M T Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus Sipsosh Rgl Sz 5-: Kplrsh Fssrgl Si : [,] igrirr u [,] ud {,,} i + / ud dzuolg h /. Ersz durh i Prl g di durh di Pu,,, ud, gh, d gil di Nährugsorl 6 d Bwis: d d g
60 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus g g g Di Sipsosh Rgl rhäl us dr Kplrsh Fssrgl, w ds Irvll [,] i glih Tilirvll zrlg ud u zwi hr Tilirvll di Kplrsh Fssrgl wd. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- Sz 5-: Sipsosh Rgl Es si : [,] igrirr u [,] ud {,,, } i rlgug vo [,] i i grd Azhl glihr Tilirvll. Ersz durh Prl g di ür,..., durh di Pu,,, ud, gh, d gil di Nährugsorl d Bwis: uähs gil
61 Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5- d d d d Awd dr Kplrsh Fssrgl lir d g d g d g d wg / olg Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-6 d Bispil:,,,, 6, d ud wg d
62 Arug: Is i Polyo odr Grds, d lir di Kplrsh Fssrgl ud di uh di Sipsosh Rgl d Igrlwr. Für Polyo Grds is dis, wg dr dr Kplrsh Fssrgl zugrudligd Prlirpolio, lih izush. Au d Bwis i Polyo Grds wird u di Lirur, z.b. Mgold/Kopp: Eiührug i di höhr Mhi, vrwis. Hohshul Br Höhr Mhi / Pro. Dr.-Ig. Dir Krus 5-5
63 Üug zur Höhr Mhi / Kpil 5 Pro. Dr.-Ig. Dir Krus Aug 5-: Brh Si di olgd Igrl durh Susiuio 6 d d l d d r d Aug 5-: Brh Si di olgd Igrl vo Typ 6 d d d Aug 5-: Brh Si di olgd Igrl durh prill Igrio d si d Aug 5-: Brh Si i Hil dr Prilruhzrlgug di Igrl 6 7 d d durh Aug 5-5: Brh Si di olgd Igrl vo Typ R, d Susiuio dr Ar d d
64 Üug zur Höhr Mhi / Kpil 5 Pro. Dr.-Ig. Dir Krus Aug 5-6: Brh Si di olgd Igrl vo Typ R d d d durh Susiuio Aug 5-7: Brh Si di olgd Igrl vo Typ R, os d Susiuio d os os d si si durh Aug 5-8: Brh Si di olgd Igrl vo Typ R, d durh Susiuio dr Ar d 5-5 d Aug 5-9: Brh Si di olgd uiglih Igrl lls si isir d d Aug 5-: Brh Si di Cuhysh Hupwr lls si isir d d
65 Üug zur Höhr Mhi / Kpil 5 Pro. Dr.-Ig. Dir Krus Aug 5-: Ursuh Si di olgd uiglih Igrl u Kovrgz d d d 5 d d Aug 5-: Brh Si di Bogläg ds Kurvsüs y 8 l, y 8 Aug 5-: Brh Si ds Volu ud di Mlläh ds durh y 5 5 zw. ds Volu ud di Orläh ds durh y si diir Roiosörprs
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Inhalt. Das Buch/Das Material Lehrerteil mit Hinweisen zur Unterrichtsgestaltung Kopiervorlagen:
Ihlt Ds Buch/Ds Mtil....................................................................... 3 Lhtil mit Hiwis zu Utichtsgstltug................................................ 4 Kopivolg: Ätz, ds Titmost
Aufgaben zu Kapitel 7
7.1 G W A B zu 7.1 zu 7.2 7.2 Ajznzmtrix: 000111 000111 000111 111000 111000 111000 G : W : : A : B : : A, B, A, B, A, B, G, W, G, W, G, W, s ist niht möglih, n Grphn ürshniungsfri zihnn. 7.3 Di Isomorphiilung
ALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Grudlge Muskript zur Wiederholug Dtei Nr. Dezember 00 Friedrich W. Buckel Itertsgymsium Schloß Torgelow Ihlt Poteze mit türliche Expoete Potezgesetze Poteze mit egtive gze Expoete
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Physik PHB3/4 (Schwingungen, Wellen, Optik)
Physik PHB3/4 (Schwigug, Wll, Opik) 1_Schwigug_ri_Gapf_BA_W.oc - 1/7 1. ri, gäpf Schwigug Ral Schwigug si ir i ugsrlus rbu. i Schwigugsrgi wir urch ug rbrauch,.h. issipaio i Wär. a i Gsargi proporioal
Kondensator an Gleichspannung
Musrlösung Übungsbla Elkrochnisch Grundlagn, WS / Musrlösung Übungsbla 2 Prof. aiingr / ammr sprchung: 6..2 ufgab Spul an Glichspannung Ggbn is di Schalung nach bb. -. Di Spannung bräg V. Di Spul ha di
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Laptops für alle - wird der Unterricht wirklich besser?
Lptops für - wird dr Utrrit wirki bssr? Ausggssitutio ud Zivorstug Dr Computristz im dwirtsfti Btrib immt städig zu. Di Nutzug ktroisr Mdi wird zu ir ztr Süssquifiktio für d dwirtsfti Utrmr dr Zukuft.
60.Differentialrechnung
60.Diffrtilrchug Vrsio: 60. Alitugsrgl Diffrttiosrgl Bschriug: Fuktio: Alitug: Bispil: Summrgl : Kosttrgl: f ± g f ud g si Fuktio k f g ' = f ' ± g' ± 5 ' 0 5 + 5 k = + = + = 5000 = 0 Alitug kosttr Fuktio
Ausgleichendes 4-Backen-Spannfutter Compensating 4-jaw chuck. Unbeatable flexibility
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4NPA. Niederfrequenz- Schnittstelleneinschub für EL- und WL- Anwendungen. Abb. 4NPA (L- Nr )
Daba NF chisischub Nidfquz chisischub fü EL ud WL Awdug Abb. (L N. 2.320) Auf i Bick: NF Asuug vo Fmdvsäk i EL Aag Abidug vo pchs mi Liisuug i WL Aag NF Wischaug vo bzw. zu z.b. Fukmagazi NF chis fü x
Höhere Mathematik 1 Kapitel 2 Lineare Algebra
Höhr Mthmtk Kptl Lr lgr Prof. Dr.-Ig. Dtr Krus Höhr Mthmtk Kptl Ihltsvrzhs Lr lgr...-. Vktor m...-.. ddto vo Vktor...-.. Multplzr s Vktors mt m Sklr...-.. Btrg s Vktors...-6.. Vktor m Koordtsystm...-7..
Lektion 14 Test. Obwohl Herr Stuber gern in der Stadt arbeiten / er einen Bauernhof haben möchten
Lktion 14 Grmmtik 1 Ws ist rihtig? Kruzn Si n. Lktion 14 Tst Bispil: Niht X jr j js jn jm Arzt möht Notrzt sin. Jr J Js Jn Jm Pilot ruht vil Erhrung. Glust u, ss jr j js jn jm Angymnsium gut ist? Wir kommn
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Crash-Course Physik Vorlesung 1
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Lektion 14 Test Lösungen
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zur Freiwilligenarbeit im Alter
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Klasse 10 Graphen von ganzrationalen Funktionen skizzieren
Klsse 0 Grphe vo grtiole Fuktioe skiiere Nr.3-4.4.06 Ausggslge Vorwisse Die SuS kee Grudfuktioe ud ihre Grphe: f() = ²; ³; ⁴ f() = ; f() = Die SuS kee bei Grudfuktioe folgede Veräderuge: g() = f() Der
Die Näherung ist umso genauer, je kleiner die Zellen sind. Der Grenzwert ist
Höhere Mthemtik Mehrfhintegrle sind Integrle üer eiete R n Zweifhintegrle treten B ei der Berehnung des Fläheninhltes und von Flähenträgheitsmomenten uf Dreifhintegrle kommen ei der Berehnung des Volumeninhltes
Rhybootshafen. Projektidee. Betrieb. 1 Neubau Werkstätten RHYBOOT. Situationsplan genordet
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Stade. Steinbeck. Doller. Zuckerberg. Helmste. Deinste. Wald-, Gehölz- und sonstige Vegetationsflächen(1) Abschnitt 03 Wedel.
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10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn
Thema 10: Die Ratte. Hör mal! 1 Hast du ein Haustier? 2 Was für Haustiere magst du, Max? 3 Und was für Haustiere findest du gut, Nick?
Thm 10: Di Rtt Hör ml! 1 Hst u in Hustir? Ann: Crlo: Mik: Thoms: Hrr Lnz: Fru Brthol: Sr: Wllnsittih Ktz Kninhn Shlng kin Hustir Hun zwi Mäus, ri Fish, inn Hmstr 2 Ws für Hustir mgst u, Mx? rihtig flsh
Die Addition von Vektoren gilt das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz: a 0 a und 0 0
Vktohnung Vkton, sind Gößn, u dn vollständig Chktisiung sowohl in Mßhl, d Btg, ls uh in Rihtung im Rum fodlih sind. Bispil: Kft, Gshwindigkit, Bshlunigung, Winklgshwindigkit, Winklshlunigung sowi lktish
Mittelwerte. Sarah Kirchner & Thea Göllner
Mittelwerte Srh Kirher The Göller Mittelwerte sid vershiedee mthemtish defiierte Kegröße. Uter dem Mittelwert zweier oder mehrerer Zhle versteht m meistes de Durhshitt, owohl viele dere Mittelilduge vorkomme.
Reihenentwicklung die Taylorentwicklung
Rihtwicklug di Taylortwicklug Motivatio: Es lig i Potrih olgdr Form vor: Durch Umorm rgibt sich: s s s s s K K K Für udlich groß rgibt sich im Wrtbrich < < i dlich Summ s. Dis lässt sich als Fuktio vo
Vektorrechnung. (Version )
Vktoh Vio 5.6.. Biklä S.. li häi S.. kolli S.. hlo Vkto S..4 koml S..5 Nllvkto, Ntl lmt S..6 Gvkto, Iv lmt S..7 Bt/Lä i Vkto S..8 ihitvkto S..9 Skt S S.. Pojktio i G i - S.. ktih Kooittm S.. Biil S.. Biil
Anwendungsbeispiel neutrale Dreieckssäule zum Aufhängen
Kmbiti us Rttugswgschil 001 + 002 u Richtugsgb 005 u 006 3 srt Gl 3 srt Zit 3 srt Lgr 3 u lt ch 2 i 1 Origil Awugsbisil utrl Drickssäul zum Auhäg z.b. -Hk Bst.-Nr. 5890010 Ktktt, Bst.-Nr. 5890000 z.b.
Schleswig-Holstein 2009 Leistungskurs Mathematik Thema: Analysis. ( x) . (14 P) g mit ( ) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von f a und
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Die Fourier-Transformation
D Fourr-Trasorato INHATSVERZEICHNIS EINEITUNG GRUNDIDEE EINER TRANSFORATION 3 DAS SAPINGTHEORE 4 DIE DISKRETE FOURIERTRANSFORATION DFT) 4 DIE INVERSE DISKRETE FOURIERTRANSFORATION IDFT) 8 DIE SCHNEE FOURIERTRANSFORATION
Definition: Geschwindigkeitszunahme v Beschleunigung = = = benötigte Zeitspanne t t Δt
R. Brinkann hp://brinkann-du.d Si 1 6.11.013 Di glichäßig bchlunig Bwgung Dr Bgriff dr Bchlunigung. Probl: Holgr: Min Machin ko in 0 on 0 auf 180. Sn : Min chaff auf 500. Frag: Woru gh bi di Vrglich? Wlch
Definition (Supremum und Infimum). s R heißt Supremum der Menge M R, falls s die kleinste obere Schranke von M ist, d.h.
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INCIDENT MANAGEMENT SYSTEM Uivrslls Srvicud Vorgagsmaagmt WAS KANN i NORIS IMS TATSÄCHLICH FÜR IHR UNTERNEHMEN LEISTEN? Übrzug Si sich vo usrr vollitgrirt Awdug zur Erfassug, Barbitug, Dokumtatio ud Auswrtug