= und J' als der Erwärmungsrate pro Einheitsmasse (und damit Q' natürlich zunehmend mit der Höhe z):

Transkript

1 Lineare Wellenherie für eine ruhene Amsphäre Wir gehen n en linearisieren Bewegungsgleichungen in sphärischen Krinaen für ie Sörungen aus, un seen eine ruhene Amsphäre raus,.h. u0 0, wmi auch er hrinale Temperaurgraien erschwine. Des weieren sei ie Amsphäre reibungsfrei,.h. ie Anriebserme F ' F' 0. Weierhin seen wir λ ur einfacheren Beeichnung ie Brun-Vaisala-Frequen N R θ0 exp{ κ /} (6.) ein. Inies, beeuen, wenn nich aners beschrieben, wieer ie parielle Ableiung nach ieser Größe. Man ann nun ie 3. Bewegungsgleichung nach θ' auflösen un in en. aupsa einseen: Φ' θ ' (6.) R exp{ κ / } R exp ( Φ' ) bw., mi Q' ( J' c p ) exp{ κ /} { κ /} w' θ 0 Q' (6.3) un J' als er Erwärmungsrae pr Einheismasse (un ami Q' naürlich unehmen mi er öhe ): R J' Φ ' w'n Q' exp{ κ /} κ (6.4) wmi man eine Variable einspar, s aß as Gleichungssysem je nch laue: acs u' λ u' f' Φ' 0 acs λ ' Φ' fu' 0 a acs ρ ( ' cs ) ( ρ w' ) 0, (6.5a), (6.5b), (6.5c) κ Φ ' w'n J'. (6.5) Für en einfachsen Fall se man en eiungserm auf er rechen Seie n 6.5 gleich 0, es geh ami nur um freie, nich erwungene Wellen un nich mehr.b. um Geeien. VI-

2 Man ha nun as Prblem er Separierung er Variablen,.h. er öhen- un er hrinalen bw. Zeiabhängigei. Man se hierfür: u' e U()u (, λ,) ' e Φ ' e U() (, λ,) U() Φ(, λ,) un (6.6) w' e W()w (, λ,) Dies ann man machen, a man mi (6.6) nur fesleg, aß ie hrinalen Winsörungen un as Gepenial ie gleiche Verialsruur haben müssen. Man ann iese Beiehung einseen, un ür abei ie Expnenialfunin gleich heraus. Die ersen beien Gleichungen (6.5a,b) änern sich nich (bw. ihre Sruur nich): u f Φ 0 acs λ fu Φ 0 a, (6.7a), (6.7b) aber sie sin je unabhängig n er öhe. Den 3. Term er Kninuiäsgleichung (6.5c) spalen wir nach em Einseen n W un em Küren er Expnenialfunin nach er Pruregel flgenermaßen auf: e Ww e Ww W Ww ρ e e w ρ ρ ρ (6.8) ρ0 ρ0 mi ρ 0 ρs exp( /), s aß man ie Diche un ie Expnenialfunin üren ann: ρ ρ e Ww e Ww Ww W w e un ies als in ie Kninuiäsgleichung (6.5c) einse: U u U Ww W cs w a cs λ acs bw., jeweils Terme usammengefass: Ww ( ) 0 u W W U acs λ ( cs ) w 0 W w, (6.9), (6.0) Wir önnen ies als "usammengefasse Kninuiäsgleichung" beeichnen. (6.) VI-

3 Der. aupsa (6.5) wir, nach weimaligem Differenieren es Gepenials aus (6.6) nach un (einfach u bewerselligen, weil ie öhen- un Zeiableiung separier sin, s aß nur U n, un nur Φ n abhäng), un anach Küren er Expnenialfunin u: U U Φ N Ww 0. (6.) Man erinnere sich, aß in unserem Fall in (6.5) J' 0. Um eine Verbinung wischen U un W herusellen, ann man sich ie usammengefasse Kninuiäsgleichung (6.) ansehen. Dabei sin nur ie U un W enhalenen Aneile n abhängig, un müssen aher ieselbe eriale Sruur haben (". Term -. Term"). Weierhin is über ie Ampliuen, w,... nch nichs fesgeleg. Daher ann man hne Verlus er Allgemeinhei anseen: W W U (6.3) un erhäl nach Einseen in en umgewanelen aupsa (6.): W W Φ N Ww 0 4, (6.4) er, wenn man se: w Φ ( gh) (6.5) W N W 0 4 gh. (6.6) Dies is ie eriale Sruurfunin, ie Aufschluss über ie eriale Wellenlänge un Sruur er Welle ergib. Zur Lösung brauch man nch ensprechene Ranbeingungen. Die in (6.5) eingeführe Größe h is ie äquialene Tiefe. Se man für W eine Sinusfunin W sin(π/λ ) an, s ergib sich ie eriale Wellenlänge λ aus er Sruurfunin: 4π N sin( π / λ ) sin( π / λ ) 0 gh 4 bw. λ 4π λ (6.7) N gh 4 für h < 4N /g. Wenn er Nenner negai wir, insbesnere wenn h negai is, önnen sich ie Wellen nich erial ausbreien. Man ann en Ausruc gh weierhin erwenen, um ie usammengefasse Kninuiäsgleichung (6.) nch ewas einfacher u schreiben. Erse man w urch Φ / gh (aus 6.5), un ür urch U bw. en ensprechenen Ausruc in W (nach 6.3), s erhäl man: u Φ ( cs ) ( gh) 0. (6.8) acs λ VI-3

4 Das Prblem is je einerseis ie Besimmung n h, un anererseis is über ie hrinale Sruur nch nichs beann. Man mach aher einen Ansa für ie hrinalen Geschwinigeien swie as Gepenial: u,, i( ) [ û,, Φ ] e λ Ωσ Φ. (6.9) ier is Ω ie Winelgeschwinigei er Ere (siehe Abschni 5..), ie (ganahlige) nale Wellenahl, σ as Verhälnis er Kreisfrequen er angeseen Welle un erjenigen er Errain (als eine reine Zahl), un ie Perie rüc sich ami urch T π/ωσ (/σ in Tagen) aus. Diese Beiehung se man nun in ie hrinalen Gleichungen (6.7a,b) ein, un erse ami u un in (6.8). Dies führ ur Laplace schen Geeiengleichung. Der Weg is ein wenig langwierig: (6.7a) Ωσiû Ω sin iφ 0, acs (6.0a) (6.7b) Φ Ωσi Ω sinû 0. a (6.0b) ier is f Ωsin erwene wren. Die Expnenialfunin aus (6.9) wure gleich geür. Man beache, aß im leen Term in (6.0a) eine Ableiung seh, a Φ $ nich n λ abhäng. Man lös (6.0b) nach $u auf: σi Φ û, (6.) sin aω sin un se ies in (6.0a) ein, mi er Abürung µ sin: Ωσ µ iσ Φ i Ωµ Φ 0. (6.) aµ acs Der. Term in (6.) is psii wegen i -. Auflösen n (6.) nach $ un anach Einseen in (6.) ergib ein Gleichungssysem für ie meriinale Sruur er Geschwinigeissörung: (6.3a einseen in iµ σ Φ Φ, (6.3a) Ωa ( ) σ µ µ cs σ σ Φ Φ û Φ. (6.3b) 6.) Ωa( σ µ ) µ cs aωµ Wie man an (6.3) sieh, ha ie meriinale Kmpnene nur imaginäre, ie nale Kmpnene nur reale Aneile. Wenn man als ies in (6.9) bw. (6.6) einse, fine man aß u un um 90 gegeneinaner erse sein müssen. Dies ensprich er irularen Plarisain, welche man in mileren Breien.B. bei en halbägigen Geeien fine. VI-4

5 Die Beiehungen (6.3a,b) seen wir nun in ie umgefrme Kninuiäsgleichung (6.8) ein. ierin seh er Ausruc /(cs), er bei er Ableiung aufwenig is. Wir nehmen unächs (6.3a): Nr.: cs ( cs ) B A B B iµ cs σ Φ Φ mi Ωa( σ µ ) µ cs B A B B iµ cs σ Φ σ cs Φ Φ µ Φ Ωa( σ µ ) µ µ cs cs ( sin cs ) i cs µ Ωa ( σ µ ) cs µ µ ( ( σ µ ) µ cs B 4448 µ cs σ Φ Φ ( ) cs σ µ µ (man beache, aß im. Term er. Klammer er leen Zeile weimal "-" ein "" ergib) Nunmehr weren ie Ausrüce (6.3a,b) uner Zuhilfenahme ieser Nebenrechnung (aufgespale immerhin 0 Terme!) in ie Kninuiäsgleichung (6.8) eingese. Man mach abei Gebrauch an, aß alle Expnenialfuninen (aus 6.9) beim Ableien sehen bleiben, un ami herausgeür weren önnen. Das beeue, aß Ableiungen nach λ einen Far i Ableiungen nach einen Far -Ωσi ergeben. Man erhäl als mi Küren n /a (aus 6.8): iσ σ Φ Φ ( ) Φ i cs Ωa σ µ µ cs Ωaµ cs iµ cs σ Φ iµ cs σ Φ iµ cs Φ iµ cs Φ cs Ωa( σ µ ) µ Ωa( σ µ ) µ Ωa cs ( σ µ ) cs ( σ µ ) iσ cs Φ iσµ Φ iσµ cs Φ Ωaµ ( σ µ ) Ωaµ ( σ µ ) Ωa cs ( σ µ ) i cs iµ iµ cs Φ Φ Φ Ωa cs ( σ µ ) Ωa cs ( σ µ ) Ωa cs ( σ µ ) iωσa 0 gh cs cs cs ( cs ) Φ u λ ( gh) (6.4) VI-5

6 Zum weieren Umsellen wir je mi (iσ/ωa) geür, weierhin wir /cs in ie Klammer swie /(σ -µ ) r ie Klammer gegen. Dami wir (6.4) mi γ 4Ω a gh u: ( ) σ Φ cs σ µ Φ Φ Φ µ Φ Φ ( σ µ ) cs cs σµ cs µ σcs µ cs γφ 0. cs Φ µ Φ µ cs Φ µ cs Φ Φ µ Φ µ ( σ µ ) σ cs σ( σ µ ) Φ (6.5) Wie man sieh, heben sich er 5. un 8. Term swie er 7. un. Term in er Klammer jeweils auf. Zur weieren Vereinfachung subsiuier man: bw.: cs sin cs cs cs µ sin µ cs sin, µ µ. sin sin, (6.6) Wir schreiben ami (6.5) um, un erhalen (uner Verwenung n cs -sin ) eine Gleichung, in er ein Ausruc mi cs mehr rmm: ( σ µ ) Φ µ σ Φ µ µ Φ ( σ µ ) Φ ( µ ) σµ ( ) µ µ Φ µ Φ ( σ µ ) σ σ( σ µ ) Φ γφ 0. Φ Φ µ Φ µ σ (6.7) Wenn man (6.7) s usammenfass, ass Ableiungen gleicher Ornung n Φ $ usammen geschrieben weren: µ Φ$ ( µ )( σ µ ) ( σ µ ) σ ( σ µ ) ( σ µ ) ( σ µ ) µ µ ( µ ) µ µ σµ σ ( σ µ ) σ µ ( µ ) ( σ µ ) Φ$ Φ$ (6.8) γφ$ 0. VI-6

7 Die erse Zeile wir umgeschrieben, inem man erwene: ( σ µ ) ( ) ( σ µ ) µ σ µ µ ( σ µ ) ( σ µ ) Weierhin ann man in er. Zeile n (6.8) en. Term in er Klammer mi σ swie en 4. Term in er Klammer mi µ erweiern. Dann heben iese beien Terme sich gerae mi em. Term in er Klammer gegenseiig auf. Weierhin ann man schreiben: µ µ σ µ µ µ ( ) ( ) ( ) σ µ ( σ µ ) σ µ µ. µ µ ( µ ) ( σ µ ). (6.9) Die reche Seie in (6.9) ensprich genau em 3., 5. un 6. Term in er Klammer er. Zeile in (6.8). Smi wir (6.8), nach Mulipliain mi (-): σ µ σ ( ) µ Φ$ µ Φ$ µ σ µ ( σ µ ) ( σ µ ) ( µ )( σ µ ) ( σ µ ) Φ$ γφ$ 0. (6.30) Dies ann, inem man as Gepenial uner ie Differeniale ieh, geschrieben weren als ie Lapalace sche Geeiengleichung: wbei er Operar ( sin L ) sin ( σ sin ) L Φ γφ 0 (6.3) sin σ sin σ σ ( σ sin ) ( ) sin sin n er nalen Wellenahl un er Frequen σ abhäng. Dami is ie Laplace'sche Geeiengleichung ein Eigenwerprblem mi en Eigenweren γ 4Ω a gh (eigenlich γ n 4Ω a gh ). Wenn un σ fesgeleg weren, gib es n Eigenfuninen Θ n (σ,) u en Eigenweren γ n (un ami en ensprechenen h n ). Die Funinen Θ n (σ,) weren ugh-funinen genann un sin abellier. Dami nimm nun ie Sörung es Gepenials ie Frm er ugh-funinen an, un man ann sich ie Sörungen er rinalgeschwinigei wieer berechnen (un war muss man prinipiell über ie einelnen Men summieren). In manchen Fällen ann h negai weren, ies führ ann u Wellen, ie sich nich ausbreien önnen. VI-7