TECHNISCHE UNIVERSITÄT DRESDEN Fakultät Wirtschaftswissenschaften

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT DRESDEN Fakultät Wirtschaftswissenschaften Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren Nr. 48/08 Ausfallrisiko von Steffi Höse und Stefan Huschens Herausgeber: Die Professoren der Fachgruppe Quantitative Verfahren ISSN

2 Steffi Höse und Stefan Huschens Ausfallrisiko 1. Einleitung Unter Ausfallrisiko wird in diesem Beitrag das Kreditausfallrisiko verstanden, das auch als Adressenausfallrisiko bezeichnet wird und darin besteht, dass ein Kreditnehmer seine vertraglichen Verpflichtungen nicht erfüllt und dies zu einem teilweisen oder vollständigen Verlust der Forderung des Kreditgebers führt. 1 In diesem Beitrag wird sowohl die Quantifizierung individueller Ausfallrisiken als auch die Quantifizierung von Ausfallrisiken im Portfoliozusammenhang im Mittelpunkt stehen. Dazu werden im zweiten Abschnitt die Bonitätseinschätzung einzelner Kreditnehmer und die Bestimmung von Ausfallwahrscheinlichkeiten behandelt, bevor im dritten Abschnitt Aspekte der Diversifikation von Ausfallrisiken im Portfoliozusammenhang und Grundprinzipien der Modellierung und Schätzung von abhängigen Kreditausfallrisiken diskutiert werden. Der vierte Abschnitt widmet sich Aspekten der Kreditrisikomessung im Zusammenhang mit dem bankinternen Risikocontrolling und den bankaufsichtlichen Regelungen zur Eigenkapitalausstattung. Der letzte Abschnitt enthält weiterführende Hinweise und Betrachtungen. 2. Individuelle Ausfallrisiken Zur Bonitätsbeurteilung einzelner Kreditnehmer und -antragsteller stehen den Finanzinstituten verschiedene Verfahren des Kreditscoring (credit scoring) zur Verfügung. Unter dem Begriff des Kreditscoring werden dabei mathematisch-statistische Verfahren zur standardisierten Bonitätsbeurteilung von Kreditnehmern und -antragstellern hinsichtlich des Ausfallrisikos subsumiert, wobei als Datenbasis individuelle Ausprägungen bonitätsrelevanter Variablen dieser Kreditnehmer und -antragsteller dienen. 1 Im 4 Abs. 2 Satz 2 SolvV heißt es dazu: Adressenausfallrisiko ist das Risiko, dass eine natürliche oder juristische Person oder eine Personenhandelsgesellschaft, gegenüber der das Institut einen bedingten oder unbedingten Anspruch hat, nicht oder nicht fristgerecht leistet[,] oder [das Risiko, das] das Institut gegenüber einer Person oder Personenhandelsgesellschaft aufgrund der Nichtleistung eines Dritten zu leisten verpflichtet ist, sowie das finanzielle Risiko des Instituts in Bezug auf Beteiligungen. 5

3 Linker Kolumnentitel Bei der Bewertung der Kreditwürdigkeit von Kreditantragstellern sind zwei Ansätze zu unterscheiden. Ziel des ersten Ansatzes ist die reine Gut/Schlecht- Klassifikation der Antragsteller, die eine Kreditvergabe an Neukunden nur zu Einheitskonditionen ermöglicht. Die bekanntesten Vertreter dieses Ansatzes sind die Diskriminanzanalyse und die Klassifikationsbaum-Methode. 2 Ziel des zweiten Ansatzes ist es, Kreditnehmer oder -antragsteller in ein System von Bonitätsklassen (Ratingklassen) einzuordnen, um so ausfallrisikoadäquate Kreditzinssätze zu bestimmen. Dazu werden Regressionsmethoden wie die Logistische Regression (Logit-Regression) und die Probit-Regression verwendet. Es können auch künstliche neuronale Netze zur Anwendung kommen, welche allerdings von den Finanzinstituten selten eingesetzt und deshalb hier nicht betrachtet werden Kreditscoring: Von der Diskriminanzanalyse zur Logistischen Regression Seit Einführung der Kreditkarten ergibt sich in den Finanzinstituten die Notwendigkeit der Entwicklung eines standardisierten und weitgehend automatisierten Kreditvergabeprozesses. Als Entscheidungsgrundlage dienen dabei die individuellen Ausprägungen verschiedener Antragsvariablen. Anzahl und Inhalt dieser Variablen variieren von Finanzinstitut zu Finanzinstitut, müssen aber so gewählt werden, dass sie in der Lage sind, das Zahlungsverhalten der Antragssteller, z. B. innerhalb des nächsten Jahres, zu prognostizieren. Die Wahl der Antragsvariablen ist abhängig von der Kreditart und dem Kundensegment, z. B. Privat- oder Firmenkunden 4. Das erste aus der Statistik entliehene Entscheidungsverfahren, das beim Kreditscoring eingesetzt wird, ist die Diskriminanzanalyse. 5 Bei diesem Verfahren geht man davon aus, dass es nur zwei Klassen von Kreditantragstellern gibt: Rückzahler (R), welche im betrachteten Risikohorizont ihren vertraglichen Verpflichtungen ohne Störungen nachkommen und Nicht-Rückzahler (NR), bei denen es zu Zahlungsstörungen und damit zum Ausfall kommt. Außerdem wird angenommen, dass die Antragsvariablen in beiden Klassen jeweils multivariat normalverteilt sind. Diese Annahme ist sehr kritisch zu sehen, da als Antragsvariablen im Privatkundenbereich oft auch sozioökonomische Variablen dienen, die keineswegs normalverteilt sind. Während sich im Fall der quadratischen Diskriminanzanalyse die Varianz-Kovarianzmatrizen der Antragsvariablen in beiden Klassen unterscheiden Vgl. Hand/Henley (1997) für einen Überblick über die verschiedenen statistischen Klassifikationsverfahren des Kreditscoring. Vgl. Desai/Crook/Overstreet (1996) und West (2000) zur Anwendung künstlicher neuronaler Netze im Kreditrisiko. Ein Problem, das sich vom Privat- und Firmenkundenrating deutlich unterscheidet, ist das Länderrating, bei dem spezielle Methoden zum Einsatz kommen, vgl. dazu Huschens/Karmann/Maltritz/Vogl (2007). Vgl. Fahrmeir/Häußler/Tutz (1996).

4 Rechter Kolumnentitel dürfen, muss im Fall der linearen Diskriminanzanalyse deren Identität angenommen werden. 6 Die auf die Klassenzugehörigkeit R bzw. NR bedingten Dichtefunktionen f( R) bzw. f( NR) der Antragsvariablen sind Dichtefunktionen multivariater Normalverteilungen. Die Maximum-Likelihood-Entscheidungsregel oder -Klassifikationsregel 7 besagt, dass ein Antragsteller i mit der konkreten Ausprägung x i des Vektors der Antragsvariablen der Klasse der Rückzahler zugeordnet wird, falls f(x i R) > f(x i NR). Allerdings sind die Erwartungswertvektoren und die Varianz-Kovarianzmatrizen und damit auch die bedingten Dichtefunktionen f( R) und f( NR) unbekannt und müssen anhand einer Entwicklungsstichprobe geschätzt werden. Zu dieser Entwicklungsstichprobe gehören ausschließlich Antragsteller, an die ein Kredit vergeben wurde und deren Ausprägung des Vektors der Antragsvariablen ebenso bekannt ist, wie ihre Zugehörigkeit zur Klasse der Rückzahler oder Nicht- Rückzahler. Auch bei bekannten bedingten Dichten kann die Entscheidungsregel der Diskriminanzanalyse die Möglichkeit von Fehlklassifikationen, d. h. ein Rückzahler wird als Nicht-Rückzahler bzw. ein Nicht-Rückzahler wird als Rückzahler klassifiziert, nicht verhindern. 8 Ein weiteres Verfahren zur Bewertung der Kreditwürdigkeit von Kreditantragstellern ist die Klassifikationsbaum-Methode. 9 Die Grundidee dieser Methode ist die stufenweise Partitionierung der Antragsvariablen, wodurch eine hierarchische Baumstruktur entsteht. Da diskrete und stetige Antragsvariablen jeweils binär klassiert werden, resultieren aus einer K-stufigen Partitionierung insgesamt 2 K Klassen. Die entstandenen Klassen werden, z. B. nach dem Mehrheitsverhältnis in der Entwicklungsstichprobe, jeweils vollständig der Gruppe der Rückzahler oder der Gruppe der Nicht-Rückzahler zugeordnet. Zwar sind die Annahmen bei diesem Verfahren weniger restriktiv als bei der Diskriminanzanalyse, doch mit der binären Klassierung der Merkmale kann ein extremer Informationsverlust verbunden sein. Die am häufigsten verwendeten Verfahren zur Bonitätsbeurteilung von Kreditantragstellern oder Kreditnehmern sind Regressionsverfahren, wie die Logistische Regression (Logit-Regression) oder die Probit-Regression. 10 Bei diesen Verfahren wird angenommen, dass das Ausfallverhalten eines jeden Kreditantragstellers i durch eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable A i, die Ausfallvariable genannt wird, beschrieben werden kann. Dabei bedeutet A i = 1, dass der i-te Antragsteller ein Nicht-Rückzahler ist, und A i = 0 bedeutet, dass er ein Rückzahler ist. Es gilt Vgl. Fahrmeir/Häußler/Tutz (1996, S. 373 ff.) zur linearen und quadratischen Diskriminanzanalyse. Alternative Entscheidungsregeln sind die Bayes-Entscheidungsregel oder die kostenoptimale Entscheidungsregel, vgl. Fahrmeir/Häußler/Tutz (1996, S. 360 ff.). Vgl. Fahrmeir/Häußler/Tutz (1996, S. 360) und Hand (1997, S. 119 ff.) zu den verschiedenen Fehlerarten. Vgl. Breiman/Friedman/Olshen/Stone (1984) und Ripley (1996, S ). Vgl. Hosmer/Lemeshow (2000) zur Logit-Regression und Brachinger/Ost (1996, S. 723 ff.) zur Probit- und Logit-Regression. 7

5 Linker Kolumnentitel P(A i = 1) = p i und P(A i = 0) = 1 p i, so dass p i der Parameter der Bernoulli-Verteilung ist und als Ausfallwahrscheinlichkeit des i-ten Antragstellers interpretiert werden kann. Bei der Logit- bzw. Probit-Regression wird außerdem angenommen, dass das Logit ln(p i /(1 p i )) bzw. das Probit Φ 1 (p i ) der unbeobachtbaren Ausfallwahrscheinlichkeit 0 < p i < 1 eines jeden Kreditnehmers i durch eine Linearkombination seiner beobachteten spezifischen Variablen (z. B. Antragsvariablen) erklärt werden kann. Dabei bezeichnet Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und Φ 1 deren Umkehrfunktion. Basierend auf den Daten der Entwicklungsstichprobe wird ein lineares Regressionsmodell für das Logit bzw. für das Probit der Ausfallwahrscheinlichkeit geschätzt, wobei als Schätzmethoden für die Regressionskoeffizienten die Maximum-Likelihood-Methode 11 und die verallgemeinerte Kleinstquadrate-Methode 12 in Frage kommen. 13 Die Schätzergebnisse werden dann genutzt, um die Ausfallwahrscheinlichkeit der Kreditnehmer in der Entwicklungsstichprobe zu schätzen, die künftiger Antragsteller zu prognostizieren und damit jeden Antragsteller einer Bonitätsklasse zuzuordnen. Die Logit- oder die Probit-Regression kann nicht nur bei Kredit-Antragstellern, sondern auch bei Kreditnehmern im Bestand des Finanzinstituts verwendet werden, um deren Ausfallwahrscheinlichkeiten zu quantifizieren. Als Datengrundlage dienen dann neben den Antragsvariablen auch Variablen, die das bisherige Zahlungsverhalten des Kunden charakterisieren. Alle vorgestellten Scoring-Verfahren beurteilen die Kreditnehmer isoliert und berücksichtigen keine Abhängigkeitsstrukturen zwischen den Ausfallereignissen der Kreditnehmer im Portfolio Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten aus Ausfallquoten Sind die Kreditnehmer in ein System von Bonitätsklassen eingeordnet, so ist es mit statistischen Schätzverfahren möglich, diesen Bonitätsklassen Ausfallwahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Die Kenntnis dieser Ausfallwahrscheinlichkeiten ist eine Voraussetzung für die ausfallrisikoadäquate Bestimmung der Kreditzinssätze und für die Bestimmung des regulatorischen Eigenkapitals der Finanzinstitute. 15 Als Datengrundlage dienen dabei historische Zeitreihen von Ausfallquoten in diesen Bonitätsklassen. Diese Zeitreihen enthalten nicht nur Informationen über die langfristigen Ausfallwahrscheinlichkeiten der einzelnen Bonitätsklassen, sondern geben Vgl. Casella/Berger (2002) und Gourieroux/Jasiak (2007, S. 23 ff.). Vgl. Greene (2008, S. 148 ff.). Vgl. Brachinger/Ost (1996, S. 725 ff.) für einen Literaturüberblick zu Schätzmethoden bei der Probit- und Logit-Regression. Wie bei der logistischen Regression die Abhängigkeiten zwischen den Ausfallereignissen der Kreditnehmer berücksichtigt werden können, wird in Wania (2007) thematisiert. Vgl. Basel Committee on Banking Supervision (2006) und den vorletzten Abschnitt im vorliegenden Beitrag.

6 Rechter Kolumnentitel durch ihre Variation im Zeitablauf auch über die Abhängigkeitsstrukturen der Ausfallereignisse der Kreditnehmer Auskunft. 16 Die bekanntesten Methoden zur Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten aus Ausfallquoten sind die Momentenmethode und die Maximum-Likelihood-Methode, aber auch der Bayessche Schätzansatz gewinnt in diesem Bereich zunehmend an Bedeutung. 17 In Abhängigkeit vom verwendeten Schätzansatz und den damit notwendigen Modellannahmen über die Momente bei der Momentenmethode bzw. über das gesamte Wahrscheinlichkeitsmodell bei der Maximum-Likelihood-Methode können sich unterschiedliche Schätzer der Ausfallwahrscheinlichkeit ergeben. Standardschätzer für die Ausfallwahrscheinlichkeiten sind gewichtete Mittel der im Zeitablauf beobachteten Ausfallquoten der Bonitätsklassen. 18 Diese Herangehensweise stößt jedoch dann an ihre Grenzen, wenn keine Bildung von Bonitätsklassen mit einheitlicher Ausfallwahrscheinlichkeit möglich ist, wie bspw. beim Länderrating, 19 oder wenn in den Bonitätsklassen keine Ausfälle und damit Ausfallquoten von Null 20 beobachtet werden. 3. Ausfallrisiken im Portfoliozusammenhang Die Bündelung von individuellen Ausfallrisiken im Rahmen eines Kreditportfolios führt zu Diversifikationseffekten, die wegen der Abhängigkeit der Ausfallereignisse schwierig zu quantifizieren sind. Im Folgenden wird zunächst das Konzept der Verlustverteilung eines Kreditportfolios eingeführt und anschließend werden die wichtigsten Ansätze zur Modellierung von Abhängigkeiten dargestellt. 3.1 Verlustverteilung eines Kreditportfolios Der zufällige Portfolioverlust eines Portfolios mit N Krediten wird durch die Zufallsvariable V = N i= 1 v i A i beschrieben, wobei v i die Verlustbeträge (loss at default) und A i die Bernoulliverteilten Ausfallvariablen mit Ausfallwahrscheinlichkeiten p i sind. Die Verteilung von V, die als Verlustverteilung bezeichnet wird, ist typischerweise linkssteil Vgl. Höse (2007). Vgl. Rinne (2003, S , 576 ff.) zu den verschiedenen Schätzmethoden. Vgl. Gordy (2000), Nagpal/Bahar (2001), Frey/McNeil (2003) und Huschens/Vogl/Wania (2005). Vgl. Huschens/Karmann/Maltritz/Vogl (2007) zum Schätzen und Testen von Ausfallwahrscheinlichkeiten für Staaten. Vgl. Pluto/Tasche (2005) und Pluto/Tasche (2006) zur Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten in Portfolios sehr hoher Bonität. 9

7 Linker Kolumnentitel (rechtschief) und weicht erheblich von der symmetrischen Gestalt einer Normalverteilung ab. Für diese Abweichung gibt es verschiedene Ursachen: die ihrer Natur nach diskreten und seltenen Ausfallereignisse, die unterschiedlichen Verlustbeträge und die Abhängigkeit der Ausfallereignisse. Die Verlustverteilung eines Kreditportfolios ist in der Regel analytisch schwierig zu bestimmen und nur in sehr einfachen Spezialfällen durch bekannte statistische Verteilungen beschreibbar. 21 Wird unterstellt, dass alle Verlustbeträge den Wert v haben, jeder Kredit mit derselben Wahrscheinlichkeit p ausfällt und alle Ausfallvariablen stochastisch unabhängig sind, dann ist der mögliche Maximalverlust Nv und der zufällige Portfolioverlust durch die Zufallsvariable V = vs gegeben. Dabei bezeichnet S die zufällige Anzahl der ausgefallenen Kredite, die einer Binomialverteilung mit den Parametern N und p folgt. Wird S durch eine Poisson-Verteilung mit dem Poisson-Parameter Np approximiert, so ist die Approximation umso besser, je kleiner p im Verhältnis zu N ist. Allerdings führt eine Poisson-Verteilung im Vergleich zur Binomialverteilung zu einer größeren Wahrscheinlichkeit extremer Verluste und besitzt im Gegensatz zur Binomialverteilung auf den Stellen N+1, N+2,... positive Wahrscheinlichkeitsmasse. 22 Werden für die N Kredite unterschiedliche Verlustbeträge v i und Ausfallwahrscheinlichkeiten p i unterstellt, so ist S nicht binomialverteilt. Eine mögliche Approximation von V ist vs, wobei die einzelnen Verlustbeträge durch einen einheitlichen Verlustbetrag v ersetzt werden, S durch eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit dem Parameter Np approximiert wird und alle Ausfallwahrscheinlichkeiten durch eine mittlere Ausfallwahrscheinlichkeit p ersetzt werden. Auf dieser Approximation beruht z. B. das CreditRisk + - Modell 23, in welchem Größenklassen der potentiellen Verlustbeträge (exposure bands) gebildet werden, die jeweils durch einen einheitlichen Verlustbetrag repräsentiert werden. Dabei sollten die Kredite in jeder Größenklasse dieselbe Größenordnung besitzen und sich in jeder Größenklasse hinreichend viele Kredite befinden. Die Diskretheit der Ausfallereignisse und die Heterogenität der Ausfallwahrscheinlichkeiten und Verlustbeträge führen bereits bei stochastischer Unabhängigkeit zu komplexen Modellierungen. Da aber die Bonitätsänderungen von Kreditnehmern und damit deren Ausfallverhalten von gemeinsamen Risikofaktoren beeinflusst werden, täuscht die Unabhängigkeitsannahme einen starken Diversifikationseffekt vor und führt zu einer Unterschätzung der Wahrscheinlichkeit extremer Verluste. Die Annahme stochastischer Unabhängigkeit kann aber als Referenzmodell zur Quantifizierung des Einflusses der Abhängigkeit verwendet werden Vgl. Huschens (2001, S. 396 f.). Vgl. auch Henking/Bluhm/Fahrmeir (2006, S. 84 ff.). Vgl. CSFP (1997) und Gundlach/Lehrbass (2004).

8 Rechter Kolumnentitel 3.2 Modellierung der Abhängigkeitsstruktur Die Modellierung von Ausfallrisiken im Portfoliozusammenhang erfolgt durch Kreditportfoliomodelle 24, welche die Abhängigkeitsstruktur der gemeinsamen Verteilung der N Bernoulli-verteilten Ausfallvariablen A i festlegen. Dabei sind zwei Ansätze zu unterscheiden. Im ersten Ansatz werden zusätzlich zu den Ausfallwahrscheinlichkeiten die Ausfallkorrelationen die Korrelationen der Ausfallvariablen bestimmt, woraus eine approximative Verlustverteilung ermittelt wird. Im zweiten Ansatz wird das Modell um sogenannte Bonitätsvariablen erweitert und mit deren Korrelationsstruktur die gesamte Verlustverteilung modelliert Modellierung basierend auf Ausfallkorrelationen Bei gegebenen Ausfallwahrscheinlichkeiten p i und gegebenen Ausfallkorrelationen ρ ij zwischen jeweils zwei Ausfallvariablen A i und A j ist zwar die N-dimensionale Bernoulli-Verteilung noch nicht vollständig spezifiziert, für die Verlustvariable V lassen sich jedoch der Erwartungswert durch N j= 1 v j p j und die Varianz durch N N viv j i= 1 j= 1 ρ ij p (1 p ) i i p (1 p ) j j berechnen. Dabei gilt ρ ij = 1 für i = j und die Ausdrücke unter den Wurzelzeichen sind die Varianzen der Ausfallvariablen. Mit diesem Ansatz können zwar Erwartungswert und Varianz der Verlustverteilung exakt, weitere Eigenschaften der Verlustverteilung aber nur approximativ bestimmt werden, z. B. durch Anpassung einer Beta-Verteilung. 25 Somit ist nur eine grobe Abschätzung des für Zwecke der Risikomessung besonders interessierenden rechten Verteilungsendes möglich, da zwischen dem Erwartungswert und der Varianz einerseits und den Quantilen andererseits kein Zusammenhang bestehen muss Modellierung basierend auf Bonitätskorrelationen Um die Abhängigkeitsstruktur der Ausfallvariablen zu modellieren, wird für jeden Kredit eine Bonitätsvariable B i eingeführt und unterstellt, dass diese Bonitätsvariablen gemeinsam multivariat normalverteilt sind. Die multivariate Normalverteilung hat den Vorteil, dass die gesamte Abhängigkeitsstruktur vollständig durch paarweise Korrelationen festgelegt wird. Die diskreten Ausfallvariablen A i und die Für vergleichende Überblicke über Standardmodelle der portfolioorientierten Kreditrisikomessung vgl. Gordy (2000), Wahrenburg/Niethen (2000), Huschens/Locarek-Junge (2002) und Saunders/Allen (2002). Vgl. Bluhm/Overbeck/Wagner (2003, S. 37 ff.). 11

9 Linker Kolumnentitel stetigen Bonitätsvariablen B i sind dadurch verknüpft, dass das Ausfallereignis A i = 1 genau dann eintritt, wenn die Bonitätsvariable B i eine Ausfallschranke s i unterschreitet. Die Ausfallwahrscheinlichkeit des i-ten Kredites ist daher durch p = P B < s ) = Φ(( s μ ) / σ ) i ( i i i i i gegeben, wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet, und μ i sowie σ i die Parameter der univariat normalverteilten Bonitätsvariablen B i sind. Die Korrelationen zwischen den Bonitätsvariablen heißen Bonitätskorrelationen und legen neben den Ausfallkorrelationen auch die N-dimensionale Verteilung der Ausfallvariablen und damit die gesamte Verlustverteilung fest. Eine alternative Modellierung beruht auf log-normalverteilten Bonitätsvariablen zusammen mit positiven Ausfallschranken und dem modifizierten Zusammenhang p = P(ln B < ln s ) = Φ((ln s μ ) / σ ). i i i i i Folgt beispielsweise der Vermögenswert eines Unternehmens im Zeitablauf einer geometrischen Brownschen Bewegung mit den beiden Parametern μ i und σ i, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Zeitraum von t nach t + 1, ausgehend von einem Vermögen b i,t, das zufällige Vermögen B i,t+1 eine kritische Schranke s i unterschreitet, durch p 2 i, t+ 1 = P(ln Bi, t+ 1 < ln si ) = Φ((ln si lnbi, t μ i +σ i i i / 2) / σ ) gegeben. In diesem Fall werden die Korrelationen der Vermögenswertänderungen (asset return correlations) als Assetkorrelationen bezeichnet. Die Ausfallwahrscheinlichkeit folgt einem stochastischen Prozess, der durch den Prozess des Vermögenswertes getrieben wird. Das Argument der Funktion Φ ist der standardisierte Abstand zum Ausfall (distance to default) 26. Im Rahmen von Modellen, die auf dem Konzept der risikoneutralen Bewertung (risk-neutral valuation) beruhen, setzt man für μ i den risikofreien Zinssatz ein, wobei die damit berechnete Wahrscheinlichkeit als risikoneutrale Ausfallwahrscheinlichkeit bezeichnet wird. 27 Die Bonitätsvariablen können als beobachtbare Risikofaktoren oder als nicht direkt beobachtbare Hintergrundfaktoren bzw. latente Variablen modelliert werden. In Modellen vom Typ CreditMetrics 28 werden die unbeobachtbaren Assetkorrelationen durch die Korrelationen beobachtbarer Aktienkursrenditen approximiert 29. In anderen Modellen, z. B. im CreditRisk + -Modell 30, sind die Hintergrundfaktoren unbeobachtbare Größen, die auf die Modellparameter einwirken, z. B. auf Ausfallintensitäten als Parameter von Poisson-Verteilungen, und so die Korrelationsstruktur erzeugen Vgl. z. B. Kiesel/Schmid (2000, S. 63). Vgl. Kiesel/Schmid (2000, S. 63 f.) und Saunders/Allen (2002, S. 68 ff.). Vgl. Gupton/Finger/Bhatia (1997). Vgl. z. B. Kiesel/Schmid (2000, S. 74). Vgl. CSFP (1997) und Gundlach/Lehrbass (2004).

10 Rechter Kolumnentitel 3.3 Schätzung der Abhängigkeitsstruktur Der methodische Hintergrund der Abhängigkeitsmodellierung in Kreditportfoliomodellen ist das Konzept der bedingten Unabhängigkeit 31, wobei die Ausfallvariablen bedingt auf Risiko- oder Hintergrundfaktoren stochastisch unabhängig sind und die Abhängigkeit der Ausfallvariablen durch die Variation dieser Faktoren entsteht. Diese Spezifikation der Abhängigkeitsstruktur von Bernoulli-verteilten Ausfallvariablen eines Kreditportfolios führt zu sogenannten Bernoulli- Mischungsmodellen 32, deren festzulegende Modellparameter in der Regel die Ausfallwahrscheinlichkeiten und Ausfall- oder Bonitätskorrelationen sind. Die statistische Schätzung dieser Parameter wirft aufgrund der beschränkten Verfügbarkeit von Kreditdaten besondere Probleme auf. Zwar kann die Anzahl der Kreditnehmer im Portfolio sehr groß sein, doch die Ausfallvariablen der Kreditnehmer sind innerhalb jeder Periode, d. h. im Querschnitt, nicht stochastisch unabhängig. Damit können die für stochastisch unabhängige Beobachtungen entwickelten Standardverfahren zur Parameterschätzung und zur Bestimmung von Stichprobenfehlern keine Anwendung finden. 33 Liegen zusätzlich Beobachtungen zu verschiedenen Zeitpunkten vor, so führt die Betrachtung des üblichen einjährigen Risikohorizonts dazu, dass im Zeitablauf, d. h. im Längsschnitt, nur relativ wenige Beobachtungen vorhanden sind. Werden die Beobachtungen im Längsschnitt als stochastisch unabhängig unterstellt oder wird eine spezielle zeitliche Abhängigkeitsstruktur modelliert, so können mit Hilfe statistischer Verfahren die Punktschätzer der im Zeitablauf als konstant unterstellten Abhängigkeitsparameter eines Kreditportfoliomodells ermittelt werden. Allerdings kann jede weitere Beobachtung zu erheblichen Änderungen der Schätzwerte führen. Ohne eine Analyse statistischer Schätzfehler besteht daher die Gefahr, dass Änderungen der Parameterschätzungen, die eigentlich dem Stichprobenfehler zuzurechnen sind, fehlerhaft als Instabilität der Modellparameter interpretiert werden Ökonomisches und regulatorisches Kapital Die verfügbaren Informationen über Verlustbeträge, Ausfallwahrscheinlichkeiten und Abhängigkeiten fließen in der Verlustverteilung eines Kreditportfolios zusammen. Aus dieser Verlustverteilung muss eine einzelne Maßzahl kondensiert werden, die den zur Absicherung von Ausfallrisiken erforderlichen Kapitalbetrag Vgl. Huschens/Locarek-Junge (2002, S. 103). Vgl. Joe (1997, S. 211 ff.), Bluhm/Overbeck/Wagner (2003, S. 58 ff.) und McNeil/Frey/Embrechts (2005, S. 352 ff). Vgl. Huschens/Locarek-Junge (2002, S. 102 ff.) zu einer Einführung in die Problematik und Höse/Huschens (2003) zu Schwierigkeiten bei der simultanen Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten und Bonitätskorrelationen aus Querschnittsdaten. Vgl. Höse (2007) zu Konfidenzintervallen und regionen für die Parameter eines Bernoulli- Mischungsmodells. 13

11 Linker Kolumnentitel kennzeichnet. Aus ökonomischer Sicht handelt es sich dabei um das ökonomische Kapital, aus aufsichtsrechtlicher Sicht um das regulatorische Kapital. 4.1 Ökonomisches Kapital Das ökonomische Kapital (economic capital) wird bei der Kreditrisikomessung in der Regel durch die Differenz zwischen einem (1 α)-quantil der Verlustverteilung und dem erwarteten Verlust (expected loss), der durch den Erwartungswert der Verlustverteilung gemessen wird, definiert. 35 Dabei gehört das (1 α)-quantil zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit 1 α, bspw. (1 α) = 99%, und wird als kleinster Verlustbetrag definiert, der höchstens mit der Wahrscheinlichkeit α, bspw. α = 1%, überschritten wird. Daher wird das (1 α)-quantil auch als Valueat-Risk und 1 α auch als Sicherheitsniveau bezeichnet, wobei 1 α in der Regel Werte im Bereich von 99% bis 99,98% annimmt. Die bei der Marktrisikomessung auch als relativer Value-at-Risk 36 bezeichnete Differenz zwischen dem (1 α)- Quantil und dem Erwartungswert wird bei der Kreditrisikomessung nicht nur als ökonomisches Kapital, sondern auch als unerwarteter Verlust 37 (unexpected loss) bezeichnet. Der Begriff unerwarteter Verlust wird allerdings nicht einheitlich verwendet. Er dient auch zur Bezeichnung für die Differenz zwischen einem aktuellen Verlust und dem erwarteten Verlust, den zufälligen, potentiellen über den erwarteten Verlust hinausgehenden Verlust, die Standardabweichung 38 der Verlustverteilung und den Wert des (1 α)-quantils 39 der Verlustverteilung. In der wissenschaftlichen Fachliteratur werden auch alternative Konzepte für die Messung des ökonomischen Kapitals diskutiert, die nicht auf dem Value-at-Risk- Konzept basieren und meistens auf dem Kohärenzprinzip 40 beruhen. 41 Die Höhe des ökonomischen Kapitals hängt nicht nur vom Sicherheitsniveau 1 α, sondern auch von der Länge des betrachteten Zeithorizonts ab, die üblicherweise ein Jahr ist. Den stärksten Einfluss auf die Höhe des ökonomischen Kapitals übt allerdings die Abhängigkeitsstruktur der Ausfallereignisse der zum Kreditportfolio gehörenden Kreditnehmer aus. Diese Abhängigkeitsstruktur beeinflusst sehr stark die Schiefe der Verlustverteilung und damit letztlich die Lage des (1 α) Vgl. Bluhm/Overbeck/Wagner (2003, S. 32). Vgl. Dowd (1998, S. 41) und Jorion (2007, S. 108). Vgl. Gürtler/Heithecker (2004). Vgl. Kiesel/Schmid (2000, S. 73, 77) und Bluhm/Overbeck/Wagner (2003, S. 28). Vgl. Saunders/Allen (2002, S. 5 ff.). Vgl. Artzner/Delbaen/Eber/Heath (1997). Vgl. Föllmer/Schied (2004, S. 152 ff.), Szegö (2004), McNeil/Frey/Embrechts (2005, S , 238 ff.), Dowd (2005, S. 32 ff.) und Overbeck (2005, S ).

12 Rechter Kolumnentitel Quantils der Verlustverteilung. Typische Verlustverteilungen von Kreditportfolios sind linkssteil (rechtsschief). 42 Die Schätzung des ökonomischen Kapitals beruht auf der Schätzung des erwarteten Verlusts und auf der Schätzung des (1 α)-quantils der Verlustverteilung. Sind die Verlustbeträge ν i der Kreditnehmer bekannt, so erhält man den geschätzten erwarteten Verlust als gewichtetes Mittel der geschätzten Ausfallwahrscheinlichkeiten p i der Kreditnehmer im Portfolio. Die Schätzung des Quantils der Verlustverteilung gestaltet sich viel schwieriger. So ist eine nichtparametrische Schätzung mit den bei der Marktrisikomessung eingesetzten Verfahren der historischen Simulation 43 im Rahmen der Kreditrisikomessung kaum möglich. Durch den bei der Kreditrisikomessung üblichen Jahreshorizont liegen im Vergleich zur Marktrisikomessung nur relativ wenige Beobachtungen vor, so dass ein nichtparametrischer Schätzer des (1 α)-quantils einen erheblichen Stichprobenfehler aufweist. Eine weitere Komplikation entsteht dadurch, dass Verlustverteilungen diskret sind oder diskrete Anteile enthalten, die in Abhängigkeit von der Quantilsdefinition zu Mehrdeutigkeiten führen und damit eine statistische Schätzung zusätzlich erschweren. Daher werden in der Regel modellgestützte Monte- Carlo-Simulationen eingesetzt, bei denen die Anzahl der Replikationen steuerbar ist und im Prinzip beliebig groß gewählt werden kann Regulatorisches Kapital Im Unterschied zum ökonomischen Kapital gibt das regulatorische Kapital (regulatory capital) der Finanzinstitute deren bankaufsichtlich vorgeschriebene Mindesteigenmittelanforderung für Ausfallrisiken wieder. Eine Empfehlung für eine differenziertere und risikosensitivere Ermittlung dieser Eigenmittelanforderung entwickelte das Basel Committee on Banking Supervision 2006 mit der Eigenkapitalvereinbarung International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards A Revised Framework. 45 Die Umsetzung in deutsches Recht erfolgte mit der zum 1. Januar 2007 in Kraft getretenen Solvabilitätsverordnung (SolvV). 46 Mit dieser stehen den Finanzinstituten zwei alternative Ansätze zur Ermittlung der angemessenen Eigenmittelausstattung von Ausfallrisiken zur Verfügung: der so genannte Kreditrisiko-Standardansatz (KSA) und der auf internen Ratings basierende Ansatz (IRBA) mit zwei Varianten, dem Basis- und dem fortgeschrittenen Ansatz. Der wesentliche Unterschied zwischen KSA und IRBA liegt darin, dass Finanzinstitute, die den KSA verwenden, zur Ermittlung der Eigenkapitalanforderungen Vgl. Höse (2007, S. 23 ff.) zum Einfluss der Abhängigkeitsstruktur auf die Verlustverteilung und das ökonomische Kapital. Vgl. Huschens (2000). Vgl. Glasserman (2004), Robert/Casella (2004), McLeish (2005) und Chan/Wong (2006). Vgl. Basel Committee on Banking Supervision (2006). Vgl. SolvV (2006). 15

13 Linker Kolumnentitel entweder auf aufsichtlich vorgegebene Risikogewichte zurückgreifen oder die Bonitätsbeurteilungen anerkannter Ratingagenturen heranziehen dürfen, während sie hierfür im IRBA eigene Schätzungen bestimmter Risikoparameter (z. B. Ausfallwahrscheinlichkeit und Verlustquote bei Ausfall) verwenden dürfen. Da es das erklärte Ziel der Bankenaufsicht ist, eine möglichst große Übereinstimmung zwischen regulatorischem und ökonomischem Kapital zu erreichen, sollten die jeweiligen Messtechniken identisch sein und dieselben Risikotreiber verwenden. In diesem Zusammenhang stellt sich die grundsätzliche Frage nach einer bedingten oder unbedingten Modellierung des Kreditrisikos. Diese Fragestellung findet sich bei der Messung der Ausfallwahrscheinlichkeit in der Unterscheidung zwischen zeitpunktbezogener Ausfallwahrscheinlichkeit (point-in-time default probability, PIT-approach) und zyklusdurchschnittlicher Ausfallwahrscheinlichkeit (through-the-cycle default probability, TTC-approach) wieder. Eine zeitpunktbezogene Ausfallwahrscheinlichkeit entspricht dabei einer auf den jeweiligen Zustand der Ökonomie bedingten Betrachtung und einem Prognosehorizont von z. B. einem Jahr. Eine zyklusdurchschnittliche Ausfallwahrscheinlichkeit bezieht sich zwar auf denselben Prognosehorizont, abstrahiert aber z. B. von einer aktuellen Krisensituation, welche die zeitpunktbezogene Ausfallwahrscheinlichkeit erhöht. 47 Die Frage, ob in einem Ratingsystem Bonitätsklassen von Kreditnehmern mit vergleichbarer zeitpunktbezogener oder zyklusdurchschnittlicher Ausfallwahrscheinlichkeit gebildet werden, ist von grundsätzlicher Bedeutung. Bei einem zeitpunktbezogenen Ansatz zur Messung der Ausfallwahrscheinlichkeit wandern die Kreditnehmer, falls es zu Änderungen der zeitpunktbezogenen Bonität kommt, schnell durch die Bonitätsklassen, wobei sich die zyklusdurchschnittliche Ausfallwahrscheinlichkeit nicht notwendig geändert haben muss. Die Funktion einer regulatorisch vorgeschriebenen Eigenkapitalausstattung kann nur sein, eine in der jeweiligen ökonomischen Situation ausreichende Eigenkapitalausstattung zu gewährleisten. Insofern sind unbedingte Modelle, deren Parameter zwar den langfristigen Durchschnitt richtig beschreiben, aber in einer Krisensituation zu einer ungenügenden Eigenkapitalausstattung führen, skeptisch zu beurteilen. Die Frage, ob sich das regulatorische Eigenkapital zyklischen Effekten anzupassen hat, ist eine grundsätzliche und konzeptionelle Frage, nicht aber eine empirisch zu beantwortende Frage. 5. Weiterführendes Mit dem Ausfallrisiko eng zusammenhängende Risiken sind das Bonitätsänderungsrisiko, das Bewertungsrisiko und das Sicherheitenrisiko. Das Bonitätsänderungs- oder Migrationsrisiko 48 bezeichnet das Risiko einer Änderung der Bonität Vgl. Heitfield (2005) und Aguais/Forest Jr./King/Lennon/Lordkipanidze (2007). Vgl. McNeil/Wendin (2006).

14 Rechter Kolumnentitel oder Bonitätseinschätzung während der Laufzeit eines Kredites, ohne dass ein Ausfall eingetreten sein muss. Wird der Verlustbetrag jedes Kredites als Produkt von Forderungshöhe bei Ausfall (exposure at default) und Verlustquote (loss given default) definiert, dann ist das Bewertungsrisiko 49 das Risiko, das mit der Bestimmung der Forderungshöhe bei Ausfall verbunden ist, und das Sicherheitenrisiko (recovery risk) 50 das Risiko, das durch die Verwertung der Sicherheiten im Schadensfall hervorgerufen wird. Werden die Verlustquoten und Forderungshöhen bei Ausfall und damit die Verlustbeträge stochastisch modelliert, 51 dann müssen Annahmen über deren Verteilungen und Abhängigkeitsstrukturen sowie über die gemeinsame Verteilung von Forderungshöhen und Verlustquoten getroffen werden. Im einfachsten Fall werden die Verlustquoten der einzelnen Kredite als insgesamt stochastisch unabhängig unterstellt und z. B. durch Beta-Verteilungen 52 modelliert. Für die Behandlung verschiedener weiterer Probleme, die im Zusammenhang mit dem Ausfallrisiko relevant sind, soll auf weiterführende Literatur verwiesen werden. Dazu zählen die Problematik der Bewertung von strukturierten Kreditportfolien und Kreditderivaten 53, die Abhängigkeitsmodellierung durch Copulas 54, die Validierung von Scoringansätzen und Ausfallwahrscheinlichkeiten 55, die Erfassung der Granularität (granularity) und die Messung des Konzentrationsrisikos (concentration risk) 56 sowie die Integration von Markt- und Kreditrisiken 57. Literatur Aguais, Scott D./Forest Jr., Lawrence R./King, Martin/Lennon, Marie Claire/Lordkipanidze, Brola: Designing and Implementing a Basel II Compliant PIT-TTC Ratings Framework, in: Ong (2007), S Altman, Edward/Resti, Andrea/Sironi, Andrea (Hrsg.): Recovery Risk: The Next Challenge in Credit Risk Management, London Artzner, Philippe/Delbaen, Freddy/Eber, Jean-Marc/ Heath, David: Thinking Coherently, Risk 10(11), 1997, S Basel Committee on Banking Supervision: Studies on the Validation of Internal Rating Systems, Working Paper No. 14, Mai Vgl. Gruber/Parchert (2006) und Moral (2006). Vgl. Schönbucher (2003, S ). Vgl. Schönbucher (2003, S. 143 ff.), Gürtler/Heithecker (2004), Schuermann (2004), Altman/Resti/Sironi (2005) und Gürtler/Heithecker (2006). Vgl. Schönbucher (2003, S. 147). Vgl. z. B. Schönbucher (2003), Bingham/Kiesel (2004), Schmid (2004), Rudolph/Schäfer (2005), Martin/Reitz/Wehn (2006), Bluhm/Overbeck (2007) und Rudolph/Hofmann/Schaber/Schäfer (2007). Vgl. Cherubini/Luciano/Vecchiato (2004), Trivedi/Zimmer (2005), Nelsen (2006) und Rank (2007). Vgl. Tasche (2008). Vgl. Huschens/Stahl (2004) und Duellmann (2008). Vgl. Grundke (2007). 17

15 Linker Kolumnentitel Basel Committee on Banking Supervision: International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards A Revised Framework (Comprehensive Version), Juni Bingham, Nicholas H./Kiesel, Rüdiger: Risk-Neutral Valuation: Pricing and Hedging of Financial Derivatives, 2. Aufl., London Bluhm, Christian/Overbeck, Ludger: Structured Credit Portfolio Analysis, Baskets & CDOs, Boca Raton Bluhm, Christian/Overbeck, Ludger/Wagner, Christoph: An Introduction to Credit Risk Modeling, New York Brachinger, Hans W./Ost, Friedmann: Modelle mit latenten Variablen: Faktorenanalyse, Latent- Structure-Analyse und LISREL-Analyse, in: Fahrmeir/Hamerle/Tutz (1996), S Breiman, Leo/Friedman, Jerome H./Olshen, Richard A./Stone, Charles J.: Classification and Regression Trees, New York Casella, George/Berger, Roger L.: Statistical Inference, 2. Aufl., Pacific Grove Chan, Ngai Hang/Wong, Hoi Ying: Simulation Techniques in Financial Risk Management, Hoboken Cherubini, Umberto/Luciano, Elisa/Vecchiato, Walter: Copula Methods in Finance, Chichester Christodoulakis, George/Satchell, Stephen (Hrsg.): The Analytics of Risk Model Validation, Burlington Credit Suisse Financial Products (CSFP): CreditRisk + : A Credit Risk Management Framework, London Desai, Vijay S./Crook, Jonathan N./Overstreet Jr., George A.: A Comparison of Neural Networks and Linear Scoring Models in the Credit Union Environment, European Journal of Operational Research 95, 1996, S Dowd, Kevin: Beyond Value at Risk: The New Science of Risk Management, Chichester Dowd, Kevin: Measuring Market Risk, 2. Aufl., Chichester Duellmann, Klaus: Measuring Concentration Risk in Credit Portfolios, in: Christodoulakis/Satchell (2008), S Engelmann, Bernd/Rauhmeier, Robert (Hrsg.): The Basel II Risk Parameters: Estimation, Validation, and Stress Testing, Berlin Fahrmeir, Ludwig/Häußler, Walter/Tutz, Gerhard: Diskriminanzanalyse, in: Fahrmeir/Hamerle/ Tutz (1996), S Fahrmeir, Ludwig/Hamerle, Alfred/Tutz, Gerhard (Hrsg.): Multivariate statistische Verfahren, 2. Aufl., Berlin Föllmer, Hans/Schied, Alexander: Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time, 2. Aufl., Berlin Frenkel, Michael/Hommel, Ulrich/Rudolf, Markus (Hrsg.): Risk Management Challenge and Opportunity, 2. Aufl., Berlin Frey, Rüdiger/McNeil, Alexander J.: Dependent Defaults in Models of Portfolio Credit Risk, Journal of Risk 6, 2003, S Glasserman, Paul: Monte Carlo Methods in Financial Engineering, New York Gleißner, Werner/Meier, Günter (Hrsg.): Wertorientiertes Risiko-Management für Industrie und Handel Methoden, Fallbeispiele, Checklisten, Wiesbaden Gordy, Michael B.: A Comparative Anatomy of Credit Risk Models, Journal of Banking & Finance 24, 2000, S Gourieroux, Christian/Jasiak, Joann: The Econometrics of Individual Risk Credit, Insurance, and Marketing, Princeton Greene, William H.: Econometric Analysis, 6. Aufl., Upper Saddle River Gruber, Walter/Parchert, Ronny: Overview of EAD Estimation Concepts, in: Engelmann/Rauhmeier (2006), S

16 Rechter Kolumnentitel Grundke, Peter: Computational Aspects of Integrated Market and Credit Portfolio Models, OR Spectrum 29, 2007, S Gürtler, Marc/Heithecker, Dirk: Der Loss Given Default und die Behandlung erwarteter Verluste im Basler IRB-Ansatz, Zeitschrift für das gesamte Kreditwesen 57, 2004, S Gürtler, Marc/Heithecker, Dirk: Modellkonsistente Bestimmung des LGD im IRB-Ansatz von Basel II. Schmalenbachs Zeitschrift für betriebswirtschaftliche Forschung 58, 2006, S Gundlach, Matthias/Lehrbass, Frank (Hrsg.): CreditRisk+ in the Banking Industry, Berlin Gupton, Greg M./Finger, Christopher C./Bhatia, Mickey: CreditMetrics TM Technical Document, New York Hand, David J.: Construction and Assessment of Classification Rules, Chichester Hand, David J./Henley, William. E.: Statistical Classification Methods in Consumer Credit Scoring: A Review, Journal of the Royal Statistical Society: Series A 160, 1997, S Heitfield, Erik A.: Dynamics of Rating Systems, in: Basel Committee on Banking Supervision (2005), S Henking, Andreas/Bluhm, Christian/Fahrmeir, Ludwig: Kreditrisikomessung: Statistische Grundlagen, Methoden und Modellierung, Berlin Höse, Steffi B.: Statistische Genauigkeit bei der simultanen Schätzung von Abhängigkeitsstrukturen und Ausfallwahrscheinlichkeiten in Kreditportfolios, Aachen Höse, Steffi/Huschens, Stefan: Sind interne Ratingsysteme im Rahmen von Basel II evaluierbar? Zur Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten durch Ausfallquoten, Zeitschrift für Betriebswirtschaft 73(2), 2003, S Hosmer, David W./Lemeshow, Stanley: Applied Logistic Regression, 2. Aufl., New York Huschens, Stefan: Verfahren zur Value-at-Risk-Berechnung im Marktrisikobereich, in: Johanning/Rudolph (2000), S Huschens, Stefan: Von der Markt- zur Kreditrisikomessung, in: Gleißner/Meier (2001), S Huschens, Stefan/Karmann, Alexander/Maltritz, Dominik/Vogl, Konstantin: Country Default Probabilities: Assessing and Backtesting, The Journal of Risk Model Validation 1, 2007, S Huschens, Stefan/Locarek-Junge, Hermann: Konzeptionelle und statistische Grundlagen der portfolioorientierten Kreditrisikomessung, in: Oehler (2002), S Huschens, Stefan/Stahl, Gerhard: Granularität dominiert Korrelation, RiskNews 1(6), 2004, S Huschens, Stefan/Vogl, Konstantin/Wania, Robert: Estimation of Default Probabilities and Default Correlations, in: Frenkel/Hommel/Rudolf (2005), S Joe, Harry: Multivariate Models and Dependence Concepts, Boca Raton Johanning, Lutz/Rudolph, Bernd (Hrsg.): Handbuch Risikomanagement, Band 1: Risikomanagement für Markt-, Kredit- und operative Risiken, München Jorion, Philippe: Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk, 3. Aufl., New York Kiesel, Rüdiger/Schmid, Bernd: Aspekte der stochastischen Modellierung von Ausfallwahrscheinlichkeiten in Kreditportfoliomodellen, in: Oehler (2000), S Martin, Marcus R. W./Reitz, Stefan/Wehn, Carsten: Kreditderivate und Kreditrisikomodelle: Eine mathematische Einführung, Wiesbaden McLeish, Don L.: Monte Carlo Simulation and Finance, Hoboken McNeil, Alexander J./Frey, Rüdiger/Embrechts, Paul: Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools, Princeton McNeil, Alexander J./Wendin, Jonathan: Dependent Credit Migrations, Journal of Credit Risk 2, 2006, S Moral, Gregorio: EAD Estimates for Facilities with Explicit Limits, in: Engelmann/Rauhmeier (2006), S

17 Linker Kolumnentitel Nagpal, Krishan/Bahar, Reza: Measuring Default Correlation, Risk 14, 2001, S Nelsen, Roger B.: An Introduction to Copulas, 2. Aufl., New York Oehler, Andreas (Hrsg.): Kreditrisikomanagement Portfoliomodelle und Derivate, Stuttgart Oehler, Andreas (Hrsg.): Kreditrisikomanagement Kernbereiche, Aufsicht und Entwicklungstendenzen, 2. Aufl., Stuttgart Ong, Michael (Hrsg.): The Basel Handbook: A Guide for Financial Practitioners, 2. Aufl., London Overbeck, Ludger: Credit Risk Portfolio Modeling: An Overview, in: Frenkel/Hommel/Rudolf (2005), S Pluto, Katja/Tasche, Dirk: Thinking Positively, Risk 18, 2005, S Pluto, Katja/Tasche, Dirk: Estimating Probabilities of Default for Low Default Portfolios, in Engelmann/Rauhmeier (2006), S Rank, Jörn (Hrsg.): Copulas: From Theory to Application in Finance, London Rinne, Horst: Taschenbuch der Statistik, 3. Aufl., Frankfurt a. M Ripley, Brian D.: Pattern Recognition and Neural Networks, Cambridge Robert, Christian P./Casella, George: Monte Carlo Statistical Methods, 2. Aufl., New York Rudolph, Bernd/Hofmann, Bernd/Schaber, Albert/Schäfer, Klaus: Kreditrisikotransfer: Moderne Instrumente und Methoden, Berlin Rudolph, Bernd/Schäfer, Klaus: Derivative Finanzmarktinstrumente: Eine anwendungsbezogene Einführung in Märkte, Strategien und Bewertung, Berlin Saunders, Anthony/Allen, Linda: Credit Risk Measurement: New Approaches to Value at Risk and Other Paradigms, 2. Aufl., New York Schmid, Bernd: Credit Risk Pricing Models: Theory and Practice, 2. Aufl., Berlin Schönbucher, Philipp J.: Credit Derivatives Pricing Models: Models, Pricing and Implementation, Chichester Schuermann, Til: What do we know about loss given default? in: Shimko (2004), S Shimko, David (Hrsg.): Credit Risk: Models and Management, 2. Aufl., London SolvV: Verordnung über die angemessene Eigenmittelausstattung von Instituten, Institutsgruppen und Finanzholding-Gruppen (Solvabilitätsverordnung SolvV), Bundesgesetzblatt 2006 Teil I Nr. 61, S Szegö, Giorgio (Hrsg.): Risk Measures for the 21st Century, Chichester Tasche, Dirk: Validation of Internal Rating Systems and PD Estimates, in: Christodoulakis/Satchell (2008), S Trivedi, Pravin K./Zimmer, David M.: Copula Modeling: An Introduction for Practitioners, Foundations and Trends in Econometrics 1(1), 2005, S Wahrenburg, Mark/Niethen, Susanne: Vergleichende Analyse alternativer Kreditrisikomodelle, Kredit und Kapital 33, 2000, S Wania, Robert: Scoreverfahren für die Kreditrisikomessung unter Berücksichtigung der Abhängigkeit von Ausfallereignissen, Dresden West, David: Neural Network Credit Scoring Models, Computers & Operations Research 27, 2000, S

18 Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren (ISSN ) Ältere Ausgaben ( /99): 29/99 S. Huschens: Verfahren zur Value-at-Risk-Berechnung im Marktrisikobereich. Erschienen in: Handbuch Risikomanagement, Hrsg.: L. Johanning, B. Rudolph, Uhlenbruch-Verlag, München 2000, S /00 S. Huschens: Value-at-Risk-Berechnung durch historische Simulation. 31/00 S. Huschens: Von der Markt- zur Kreditrisikomessung. Erschienen in: Wertorientiertes Risiko-Management für Industrie und Handel - Methoden, Fallbeispiele, Checklisten, Hrsg: W. Gleißner, G. Meier, Gabler-Verlag, Wiesbaden 2001, S /02 S. Höse, S. Huschens: Sind interne Ratingsysteme im Rahmen von Basel II evaluierbar? Zur Schätzung von Ausfallwahrscheinlichkeiten durch Ausfallquoten. Erschienen in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft, 2003, Jg. 73, Heft 2, S /03 S. Höse, S. Huschens: From Credit Scores to Stable Default Probabilities: A Model Based Approach. Erschienen in: Exploratory Data Analysis in Empirical Research, Hrsg.: M. Schwaiger, O. Opitz, Springer, Berlin, 2003, S /03 S. Höse, S. Huschens: Estimation of Default Probabilities in a Single-Factor Model. Erschienen in: Between Data Science and Applied Data Analysis, Hrsg.: M. Schrader, W. Gaul, M. Vichi, Springer, Berlin, 2003, S /03 S. Höse, S. Huschens: Simultaneous Confidence Intervals for Default Probabilities. Erschienen in: Between Data Science and Applied Data Analysis, Hrsg.: M. Schrader, W. Gaul, M. Vichi, Springer, Berlin, 2003, S /03 S. Huschens, K. Vogl, R. Wania: Estimation of Default Probabilities and Default Correlations. Erschienen in: Risk Management, Hrsg: M. Frenkel, U. Hommel, M. Rudolf, Springer, 2. Auflage, Berlin, 2005, S /04 K. Vogl, R. Wania: BLUEs for Default Probabilities. 38/04 A. Henking: Simultane Validierung von Ausfallwahrscheinlichkeiten. 39/04 S. Huschens, G. Stahl: A General Framework for IRBA Backtesting. Erschienen in: Bankarchiv, Zeitschrift für das gesamte Bank- und Börsenwesen, Hrsg: Österreichische bankwissenschaftliche Gesellschaft, Springer, Wien, April 2005, Jg. 53, S /04 S. Huschens: Backtesting von Ausfallwahrscheinlichkeiten. Erschienen in: Risikomanagement aus Bankenperspektive, Grundlagen, mathematische Konzepte und Anwendungsfelder. Hrsg: T. Burkhardt, A. Knabe, K. Lohmann, U. Walther, Berliner Wissenschafts-Verlag, /04 S. Huschens: Dreizehn Korrelationen in Kreditrisikomodellen. Erschienen in: Banken, Finanzierung und Unternehmensführung, Hrsg: T. Burkhardt, Duncker & Humblot, Berlin, 2004, S /04 S. Huschens: Faktorstruktur und Marktmodelle. Erschienen in: Kapitalmarkt, Unternehmensfinanzierung und rationale Entscheidungen. Festschrift für Jochen Wilhelm. Hrsg.: W. Kürsten, B. Nietert, Springer, Berlin und Heidelberg, 2006, S /04 S. Huschens, G. Stahl: Granularität dominiert Korrelation. Erschienen in: RiskNews, Vol. 1, Heft 6, 2004, S /05 S. Höse, K. Vogl: Modeling and Estimating the Credit Cycle by a Probit-AR(1)-Process. Erschienen in: From Data and Information Analysis to Knowledge Engineering, Hrsg: M. Spiliopoulou, R. Kruse, C. Borgelt, A. Nürnberger, W. Gaul, Springer, Berlin, 2006, S /05 S. Höse, K. Vogl: Predicting the Credit Cycle with an Autoregressive Model. 46/06 S. Huschens, A. Karmann, D. Maltritz, K. Vogl: Country Default Probabilities: Assessing and Backtesting. Erschienen in: The Journal of Risk Model Validation, Vol.1, 2007, /08 S. Höse, S. Huschens, R. Wania: Rating Migrations. 48/08 S. Höse, S. Huschens: Ausfallrisiko.