Jen Reserch Ppers in Business nd Economics Einige Anmerkungen zur Verwendung des Erwrtungswertes Peter Kischk 1/28 Jener Schriften zur Wirtschftswissenschft Working nd Discussion Pper Series School of Economics nd Business Administrtion Friedrich-Schiller-University Jen ISSN 1864-318 Publisher: Wirtschftswissenschftliche Fkultät Friedrich-Schiller-Universität Jen Crl-Zeiß-Str. 3, D-7743 Jen www.jbe.uni-jen.de Editor: Prof. Dr. Hns-Wlter Lorenz h.w.lorenz@wiwi.uni-jen.de Prof. Dr. Armin Scholl rmin.scholl@wiwi.uni-jen.de www.jbe.uni-jen.de
Einige Anmerkungen zur Verwendung des Erwrtungswertes Peter Kischk Friedrich-Schiller-Universität Jen Lehrstuhl für Wirtschfts- und Sozilsttistik Crl-Zeiß-Str. 3, 7743 Jen E-Mil: p.kischk@wiwi.uni-jen.de Abstrct Der Erwrtungswert spielt in den Wirtschftswissenschften bei vielen Problemen, in denen stochstische Einflüsse berücksichtigt werden, eine zentrle Rolle. Dies knn unmittelbr der Fll sein, indem der Erwrtungswert einer monetären Zielgröße optimiert wird, dies knn z. B. uch im Zusmmenhng mit einem Risikomß (men-devition-rules) oder uch in Form des Erwrtungsnutzens, d. h. des Erwrtungswerts des Nutzens, der Fll sein. In dieser Arbeit werden teilweise beknnte Einwendungen gegen die Verwendung des Erwrtungswerts beschrieben und Möglichkeiten ufgezeigt, diesen Rechnung zu trgen. Im Rhmen eines in der Betriebswirtschftslehre weit verbreiteten Entscheidungsszenrios (Newsvendor-Modell) werden weitere grundlegende Einwendungen gegen die Verwendung des Erwrtungswerts ufgezeigt. Keywords: Erwrtungswert, Gesetz der großen Zhlen, Newsvendor-Modell
Übersicht In Abschnitt 1 werden der Erwrtungswert kurz vorgestellt und nschließend vier Anwendungen des Erwrtungswerts beschrieben. Ds Newsvendor-Modell dient zur Illustrtion. Abschnitt 2 enthält einige Anmerkungen zur Anwendung des Erwrtungswerts ls Entscheidungskriterium, flls einmlige oder zhlreiche Konsequenzen mit dieser Entscheidung verknüpft sind. Im letzteren Fll knn ein Gesetz der großen Zhlen eine hinreichende Begründung für den Einstz eines Erwrtungswerts sein, im ersteren müssen zusätzliche Annhmen über die Verteilung vorliegen. Abschnitt 3 zeigt m Beispiel des Newsvendor-Modells eine nicht plusible Impliktion des Erwrtungswertkriteriums bzw. der dulen Nutzentheorie; begründet ist dies durch die Ttsche, dss die optimle Entscheidung nur von einem einzigen Wert der Verteilungsfunktion bhängig ist. Im nchfolgenden Abschnitt wird eine llgemeine Klsse von Entscheidungsproblemen definiert, die die gleiche Struktur wie ds Newsvendor-Modell ufweisen und dher uch der gleichen Kritik usgesetzt sind. Abschnitt 5 enthält Schlussfolgerungen und mögliche Alterntiven. 1. Sei X eine uf einem Whrscheinlichkeitsrum (Ω, Ε, P) definierte Zufllsvrible. Ist F die Verteilungsfunktion von X, so knn der Erwrtungswert berechnet werden ls E(X) = xdf(x). (1) Die beknnten Definitionen für diskrete und stetige Zufllsvriblen E(X) = x P(X = x ), E(X) = xf(x)dx i i i (1b) sind Spezilfälle von (1). Insbesondere die Drstellungen (1b) mchen deutlich, dss der Erwrtungswert ein gewichteter Mittelwert der möglichen Relistionen von X ist. Wir betrchten im Folgenden ein llgemeines Entscheidungsproblem: Sei A die Menge der möglichen Entscheidungen und sei X eine Zufllsvrible, die die stochstischen Einflüsse uf die Konsequenzen einer Entscheidung A enthält; sei g(,x) die Zufllsvrible, die die Konsequenzen beschreibt. Beispiel: Wir betrchten ds beknnte Newsvendor-Modell (vgl. z. B. Hopp/Spermn pp 46). Sei X die Nchfrge nch dem Produkt, p der Verkufspreis, c der Einkufspreis und z der Abverkufspreis. Der Profit bei der Entscheidung (= Bestellmenge) ist die Zufllsvrible g(, X) = p min (, X) c + z mx ( X, ) = (p c) (p z)( X) + (2) 1
Dbei ist A = [,b] mit einer mximl möglichen Nchfrge b. Ziel ist die Whl einer besten Entscheidung A, d. h. einer Entscheidung, die möglichst große Werte von g(,x) ls Konsequenz nch sich zieht. Diese Zielsetzung erfordert die Trnsformtion der Zufllsvriblen g(,x) in eine Größe, die optimiert werden knn. Eine Möglichkeit besteht drin, die unterschiedlichen Zufllsvriblen g(,x),, mittels ihres Erwrtungswertes zu vergleichen. Ist F die Verteilungsfunktion von g(,x), so gilt: E(g(,X)) = zdf (z) = g(, x)df(x) (3) und ds Entscheidungsproblem lutet: mx E(g(,X)). (4) Die Schreibweise unterstellt, dss eine optimle Entscheidung existiert: * : = rg mx E(g(,X)). (5) Anlog können beste Entscheidungen im Rhmen nderer Kriterien definiert werden, z. B.: Erwrtungswert-Vrinz-Kriterium mx [E(g(,X)) h Vr(g(,X))] (6) mit einer Konstnten h > ; Erwrtungsnutzenkriterium mx EU(g(,X)) = mx U(g(,x))dF(x) (7) mit einer Nutzenfunktion U; Dule Nutzentheorie mx g(, x))d(q o F)(x) (8) mit einer trnsformierten Verteilungsfunktion qo F. 2
Die Ansätze (4), (8) beruhen uf den Erwrtungswerten der Zufllsvriblen g(,x), (7) uf dem Erwrtungswert der Zufllsvriblen U(g(,X)), (6) uf Erwrtungswert und Vrinz von g(,x). 2. Betrchten wir zunächst den Anstz (4) und gehen wir von der Sitution einer Entscheidung für ein einmliges Ereignis us. Im Rhmen des Newsvendor-Modells bedeutet dies, dss sich die Bestellmenge uf eine einzige Verkufsperiode bezieht. Aus (3) ergibt sich, dss die Verwendung des Erwrtungswertes ls Entscheidungskriterium dnn sinnvoll verwendet werden knn, wenn die Verteilung von g(,x) sich um ihren Erwrtungswert konzentriert. Wenn mn dvon usgehen knn, dss die Relistion der Zufllsvriblen g(,x) mit großer Whrscheinlichkeit für lle nhe bei E(g(,X)) liegen wird, so ist die Mximierung des Erwrtungswerts nhe liegend. Im Allgemeinen ist jedoch der Erwrtungswert ls gewichtetes Mittel der Relistionen von X möglicherweise weit von jeder möglichen Relistion entfernt. Im Anstz (6) wird versucht, die mögliche Diskrepnz zwischen Erwrtungswert und den Relistionen der Zufllsvriblen mittels der Vrinz in die Entscheidungsfindung mit einzubeziehen. Der weit verbreitete Anstz (6) ht jedoch fundmentle Nchteile; so können leicht Beispiele konstruiert werden, in denen strikt dominierte Entscheidungen Lösungen von (6) sind (vgl. z. B. Müller/Stoyn, S. 274). Für die Ansätze (7) und (8) gelten grundsätzlich die gleichen Einwände wie für den Anstz (4). Liegen die Relistionen von U(g(,X)) nh bei EU(g(,X)), so ist die Verwendung des erwrteten Nutzens nhe liegend. Im nderen Fll lssen sich Beispiele konstruieren, die einem intuitiven Verständnis widersprechen. Ds gleiche gilt für den Anstz (8). Anders stellt sich die Sitution dr, wenn die Entscheidung nicht nur eine Relistion von X betrifft, sondern mit der Entscheidung wiederholte Relistionen von X und dmit von g(,x) verbunden sind; im Rhmen des Newsvendor-Modells bedeutet dies, dss sich die Bestellmenge uf eine Anzhl von Verkufsperioden bezieht oder regionl betrchtet in verschiedenen Regionen mit identischer Nchfrge, die Bestellmenge relisiert wird. Sind X 1,...,Xn unbhängige, identisch wie X verteilte Zufllsvriblen, so sind uch g(,x 1),...,g(,X n) unbhängig und identisch verteilt. Um den Wert einer Entscheidung zu messen, ist es nhe liegend, den Mittelwert der Zufllsvriblen g(,x i) zu betrchten. Ds Gesetz der großen Zhlen besgt, dss dieses intuitiv nhe liegende Vorgehen die Verwendung des Erwrtungswertes rechtfertigt. Betrchten wir wieder zunächst den Anstz (4). Für große n gilt (vgl. z. B. Rohtgi/Sleh, S. 274, 281): 1 n g(,x i) E(g(,X)), (9) n i = 1 d. h. die Zufllsvrible uf der linken Seite konvergiert für wchsendes n gegen den Erwrtungswert E(g(,X)). Bewertet mn lso die Konsequenz einer Entscheidung durch den Mittelwert der n sich ergebenden Relistionen g(, x 1),...,g(, x n), so ist der Erwrtungswert der Zufllsvriblen g(,x) die richtige Zielgröße (für große n). 3
Mn bechte jedoch, dss die Gültigkeit von (9) die Unbhängigkeit von Zufllsvriblen vorussetzt (in der schwchen Form des Gesetzes der großen Zhl muss nur die Unkorreliertheit vorusgesetzt werden); beschreiben, wie in obigem Beispiel, die X i die Nchfrgen in ufeinnder folgenden Perioden oder in unterschiedlichen Regionen, so ist diese Unbhängigkeitsforderung häufig eine strke Annhme. Auch für die Ansätze (7) und (8) ist unter nlogen Annhmen der Erwrtungswert die richtige Zielgröße. So gilt im Erwrtungsnutzennstz für große n X i 1 n U(g(,X i)) EU(g(,X)), (1) n i = 1 d. h. der Mittelwert der sich ergebenden Nutzen U(g(,x i)) (1 i n) ist ungefähr gleich dem erwrteten Nutzen. 3. Die nchfolgenden Überlegungen stellen den Erwrtungswert ls Lösungskonzept us völlig nderen Gründen in Frge. Für viele ökonomische Frgestellungen ist die Lösung (4) von der Form F(*) =γ. (11) Dbei ist γ ein exogener, modellprmeterbhängiger Wert. Existiert die Inverse von F n der 1 Stelle γ, so ist die optimle Entscheidung gegeben durch * = F ( γ ). Der stochstische Chrkter der Zufllsvriblen X bzw. ihrer Verteilungsfunktion F wird nur über einen 1 1 speziellen Wert genutzt, lle Verteilungsfunktionen G mit F ( γ ) = G ( γ) führen zur selben Entscheidung *. Betrchten wir zunächst die im Beispiel beschriebene Sitution im Newsvendor-Modell. Die optimle Lösung in den Lehrbüchern beruht uf der Anwendung des Erwrtungswertkriteriums (4) uf die Zufllsvriblen (2). Es gilt: + E(g(,X)) = (p c) (p z)e(( X) ) = (p c) (p z) F(x)dx (12) Der erwrtete Gewinn (12) ist eine konkve Funktion von und die Optimlitätsbedingung 1. Ordnung liefert unter der Annhme, dss die Inverse existiert, die Lösung 1 p c * = F p z (13) (vgl. z. B. Hopp/Spermn, S. 67). 4
Diese Lehrbuchlösung beinhltet lso, dss für lle Nchfrgefunktionen mit einer Verteilungsfunktion G mit F p c p c = G p z p z 1 1 dieselbe Bestellmenge * optiml ist. Betrchten wir etw die folgende Sitution 1 F G p c p z * x Es gilt: 1 G(x) > 1 F(x) für lle x *, d. h. für lle x * ist die Whrscheinlichkeit, dss die Nchfrge größer ls x ist, unter G größer ls unter F. Geht ein Mnger zunächst von F us und bestellt gemäß Lehrbuch die Menge * und wird ihm nschließend mitgeteilt, die Nchfrge sei sttt durch F nun durch G beschrieben, so gilt: 1 p c * G = p z Intuitiv nhe liegend, ber im Widerspruch zur Lehrbuchlösung, ist eine Erhöhung der Bestellmenge beim Übergng von F zu G; nders usgedrückt: Findet eine solche Erhöhung bei der Beurteilung der durch F und G beschriebenen Situtionen sttt, so wird nicht nch dem Erwrtungswertkriterium (4) vorgegngen. D ds Kriterium (8) sich von (4) nur durch die Trnsformtion q unterscheidet, gelten obige Einwendungen uch hierfür. Ntürlich gilt für die erwrteten Gewinne: E (g(*,x)) < E (g(*,x)) F G 5
Im Flle der Entscheidungskriterien (6) und (7) ergeben sich i.. unterschiedliche Lösungen, je nchdem, ob die Verteilungsfunktion F oder G zugrunde gelegt werden. 4. Die im vorigen Abschnitt beschriebene, der Intuition widersprechende Sitution im Newsvendor-Modell ergibt sich in llen Entscheidungsproblemen, die die nchfolgend beschriebene Struktur ufweisen. O. B. d. A. sei F stetig mit einer Dichte f; es gelte F() = und F(M) = 1 für ein M>, sowie f() > für < < M. Weiter sei die Funktion g(,x) ls Funktion von x (d. h. bei festem ) für x differenzierbr. Unter diesen technischen Annhmen sind die folgenden Bedingungen hinreichend dfür, dss die Lösung von (3) die Form (11) besitzt; es gelte: ) g(,x) = x für x > (14) b) g(,x) =β> x für x < (14b) c) g(,) =α mit α> (14c) d) β >α (14d) Mit Hilfe prtieller Integrtion ergibt sich für jedes E(g(,X)) = g(,x)df(x) = M = g(,x)f(x)dx = g(,m)f(m) g(,)f() g(,x)f(x)dx x = g(, ) β F(x)dx (vgl.14, b) =α β F(x) dx (vgl. 14c) Drus ergibt sich M d E(g(,X)) =α β F() d d 2 E(g(, X)) = β f () < (vgl. 14b) 2 d 6
Wegen 14d ist * mit F(*) α = β die Lösung von (3). Im Newsvendor-Modell gilt: β= p z, α= p c. 5. Kritik n der Verwendung von Erwrtungswerten ist ntürlich nicht neu; schon 1972 wurde von mnchen der Erwrtungswert ls Beurteilungskriterium endgültig zu den Akten gelegt (Mellwig (1972)), d Kompenstionseffekte in den Erwrtungswert eingehen, die bei einmligen Konsequenzen keine Rolle spielen können. Wie in Abschnitt 2 beschrieben, ist dieser Einwnd grundsätzlich relevnt, knn jedoch unter den dort beschriebenen Annhmen (Konzentrtion der Verteilung um den Erwrtungswert, zhlreiche Konsequenzen einer Entscheidung) prtiell entkräftet werden. Schwieriger erscheint die in Abschnitt 3 im Rhmen des Newsvendor-Modells geschilderte Problemtik, die us der Mximierung des erwrteten Gewinns folgt. Ds Versgen des Erwrtungswertkriteriums beim Vergleich der durch F bzw. G gegebenen optimlen Bestellungen widerspricht der Intuition und wohl uch dem Verhlten der Entscheidungsträger. Im Rhmen der Erwrtungsnutzentheorie (und uch nderer entscheidungstheoretischer Ansätze) besteht die in Abschnitt 3 beschriebene Problemtik i.. nicht, d die gesmte Verteilung bei der Entscheidungsfindung berücksichtigt wird. Für den Anwender besteht dnn ntürlich die Schwierigkeit, seine zugrunde liegende Nutzenfunktion zu spezifizieren. Andere, prgmtisch begründete Vorgehensweisen, die nicht zu Lösungen der Form (11) bzw. (13) führen, sind möglich, z. B. die Verwendung eines reltiven Regret-Kriteriums (Vgl. Scholl, S. 12 ff.) Litertur Hopp, W. J., Spermn, M. L.: Fctory Physics, McGrw Hill, 21 Mellwig, W.: Flexibilität ls Aspekt unternehmerischen Hndelns, ZfbF, 1972 Müller, A., Stoyn, D.: Comprison Methods for Stochstic Models nd Risk, Wiley, 22 Rohtgi, V. K., Ehsnes Sleh, A. K.: An Introduction to Probbility nd Sttistics, Wiley,21 Scholl, A.: Robuste Plnung und Optimierung, Physic, 21 7