Pflichtteil (etw 40 min) Ohne Tschenrechner und ohne Formelsmmlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen bgegeben sein, ehe der GTR und die Formlsmmlung verwendet werden dürfen.) Aufgbe : [4P] Leiten Sie b: ) c) 3 f ( x) x sin(x 4 x) b) g(x) x cos(x) f( x) 3 4 x x x d) f ( x) x 3 cos 3x x Lösungsvorschlg : Anmerkungen: Vor dem Ableiten sollte mn sich immer Folgendes klr mchen: Fst lle Funktionen im Abi, die bgeleitet werden sollen, lssen sich us nderen Funktionen zusmmensetzen, sie sind Produkte, (Quotienten) oder Hintereinnderusführungen von einfcheren Funktionen, deren Ableitungen wir kennen. ) Wir benötigen zuerst die Produktregel und dnn beim Ableiten des zweiten Fktors noch die Kettenregel. 3 3 f '( x) xsin(x 4 x) x cos(x 4 x) 4 Bitte vergesst bei der inneren Ableitung die Klmmer nicht. b) Hier formen wir vor dem Ableiten um: Merke: Zhlen schreiben wir beim Ableiten immer mit Wurzeln, nicht ls Exponenten. Also Dmit ist Somit ist x x x und 6 x 3 3x 4x x 3x 4x x 3 4 f ( x) x x 6 6 6 f 3 3 4 9 '( x ) 6 x 6 x 6 x 6 x c) Bei dieser Aufgbe müssen wir zuerst die Kettenregel nwenden, d g x f h x eine Hintereinnderusführung ist. Die Funktion f () t wird beim Berechnen der Funktionswerte nch h( x) x c os ( x) ngewndt. Wir leiten f lso zuerst nch t b und ersetzen nch dem Ableiten, d.h. in f '( t) zuerst t wieder durch x cos( x) und dnn multiplizieren wird diesen Ausdruck mit der Ableitung der Funktion h(x) x cos(x) d.h. mit t h'( x) x sin( x) VORSICHT: Die innere Ableitung in Klmmern setzen! x sin( x) g '( x) x sin( x) x cos( x) x cos( x) t Seite
d) Die Produkt- und Kettenregel liefert: 3 f '( x) 3x cos 3x x x sin 3x x 4 3 3 cos 3 6 sin 3 x x x x x x x Aufgbe : [4P] Bestimmen Sie die x-werte, bei denen die Tngente n die Funktion f ( x) x durch R(-/0) geht. Lösungsvorschlg : Sei ein x-wert, n dem die Tngente durch R(-/0) geht. Dnn ist die Gleichung der Tngente wegen f '( x) d.h. f '( ) und x f ( ) t( x) f '( ) x f x D der Punkt R(-/0) uf der Tngente liegt, gilt 0 t( ) D die Unbeknnte im Nenner ist, multiplizieren wir mit dem Huptnenner und 0 erhlten Wir hben dbei usgenutzt, dss 0 ist, d der Definitionsbereich = 0 Dmit ergibt sich =. Aufgbe 3: [4P] Bestimmen Sie die Lösung von x x Lösen Sie die Gleichung cos( 3) cos( 3) 3x 9 6sin(x) 4 0. Lösungsvorschlg 3:. Gleichung: Wir substituieren z = cos(x 3) Dmit erhlten wir die Gleichung zz oder z z 0. Die MNF liefert 4 3 z/ / Wir mchen die Substitution wieder rückgängig, Die erste Lösung z = ergibt cos(x 3) =. D cos(x) nur für x = 0 den Wert ht (und für x = πk) muss x 3 = 0 sein, dh. die Lösung ist x =,5 Die zweite Lösung z = ht keine Lösung für x, d cos(x) nie ist.. Gleichung: Ds vielleicht Wichtigste beim Bestimmen von Nullstellen ist: Wenn ein Produkt Null ist, so ist mindestens einer der beiden Fktoren Null. Deswegen klmmert mn beim Bestimmen von Nullstellen oft us. (Merke: Ds gilt nur, wenn ds Produkt Null ist, nicht wenn es etw ist!). Möglichkeit: ist. Seite
. Möglichkeit: 3x 9 0 3x 9 x 3 x 3 / 6sin(x) 4 0 4 sin(x) 6 3 x3 sin 3 Aufgbe 4: [4P] Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme ) x 7y z 5 4x y z 5x 3y z b) x y z y 4z 3y 6z 3 Lösungsvorschlg 4: Zu ) Wir schreiben die Gleichung in Mtrixform und bringen sie uf obere Dreiecksgestlt 7 5 4 4*g+g 5 3 5*g+g3 7 5 0 7 3 :3 0 3 4 4 :4 7 5 0 9 7 0 8 6 8*g-9*g3 entweder Seite 3
7 5 0 9 7 0 0 G3 ergibt z G ergibt 9y 7 9y 7 y G3 ergibt x 7 5 x 5 7 x 0 oder bei der letzten Umformung die 3. Splte entfernen, d.h. 7 5 7 5 0 9 7 0 9 7 0 8 6 g-g3 0 G3 ergibt y G ergibt 9 z 7 z G3 ergibt x 7 5 x 5 7 x 0 Die Lösung ist in jedem Fll: x 0; y ; z oder x 0 y z Zu b) Wir schreiben die Gleichung wieder in Mtrixform und bringen sie uf obere Dreiecksgestlt 4 3 3 6 / 3* g* g3 4 0 0 0 Die letzte Gleichung ist immer richtig, lso knn z.b. z beliebig gewählt werden, etw z r Die zweite Zeile ergibt dmit y 4r y 4r y r 0,5 Und die erste Zeile: x y z x 4r r 5r 3 Die Lösung ist lso x 5r 3; y r 0,5; z r oder x 5r 3 y r0,5 z r Seite 4
Aufgbe 5: [4P] Aus einem 000 Jhre lten chinesischen Mthebuch: Jemnd verkuft zwei Büffel und fünf Hmmel. Und der kuft 3 Schweine; dbei bleiben 000 Münzen übrig. Verkuft er drei Büffel und drei Schweine, so knn er genu neun Hmmel kufen. Verkuft er sechs Hmmel und cht Schweine, so fehlen im noch 600 Münzen, um fünf Büffel kufen zu können. Wie viel kostet ein Büffel, ein Hmmel, ein Schwein! Heute geht ds viel einfcher ls früher, d Schüler früher keine Buchstbenrechung zur Verfügung htten! Diese ist eine Erfindung der Europäer des 6. Jhrhunderts, vor llem des Frnzosen Viët. Lösungsvorschlg 5: Zuerst notieren wir die Bedeutung der Vriblen b = Preis eines Büffels h = Preis eines Hmmels s = Preis eines Schweines. Dmit erhlten wir uf dem Text die folgenden drei Gleichungen b 5h 3s 000 b 5h 3s 000 3b 3s 9h 6h 8s 5b 600 Mtrix 5 3 000 oder 3 9 3 0 3 I II 5 6 8 600 5 I III 5 3 000 0 5 000 3b 9h 3s 0 5b 6h 8s 600 0 6 4800 III ergibt s 300 s II ergibt dmit h 000 5300 5500 dmit erhlten wir folgende 5 3 000 ergibt 0 33 45 3000 : 3 0 37 49 3800 h 500 I ergibt schließlich b 000 5500 3300 500 3900 400 b 00 Dmit kostet ein Büffel 00, ein Hmmel 500 und ein Schwein 300 Münzen. Seite 5