Analysis I. Geoffrey Hemion Übersetzt von Nils Romaker

Anlysis I Geoffrey Hemion Übersetzt von Nils Romker Sommersemester 200

0.0. Litertur Dieses Skript Verschiedene Bücher us der Bibliothek mit dem Wort Anlysis im Titel. Im speziellen die Bücher von Forster 0.0.2 Einige logische Symbole, wie sie häufig in der Mthemtik verwendet werden X heißt, X ist eine Menge und ist ein Element von X. ist die leere Menge, welche keine Elemente enthält. X Y ist die Vereinigung der Mengen X und Y. Dies ist die Menge, welche sowohl die Elemente von X ls uch die Elemente von Y enthält. X Y ist der Schnitt. Es ist die Menge, welche us den Elementen besteht, die sowohl in X ls uch in Y liegen. X\Y ist die Mengendifferenz. Diese Menge besteht us den Elementen von X, die nicht in Y sind. X Y bedeutet, dss X eine Teilmenge von Y ist. Alle Elemente von X sind lso uch Elemente von Y. Mnchml wird die Nottion X Y benutzt, um uszudrücken, dss Gleicheit X = Y uch möglich ist. Aber ich werde vorussetzen, dss wenn ich X Y schreibe, der Fll X = Y ebenflls möglich ist. heißt für lle, zum Beispiel: x, x 0. Ds bedeutet: Für lle x hben wir die Bedingung x 0. bedeutet es existiert. P Q meint, dss P und Q logische Aussgen sind, und wenn P whr ist, dnn muss Q ebenflls whr sein. (Wenn P flsch ist, dnn ist die kombinierte Aussge P Q ebenflls whr, egl ob Q whr ist oder nicht.)

P Q meint, dss sowohl P Q ls uch Q P whr sind. Ds heißt, P und Q sind logisch äquivlent sind; sie sind einfch verschiedene Wege, ds Gleiche uszudrücken. (Obwohl es oft nicht sofort klr ist, dss es der gleich Fll ist. Dher müssen wir drüber nchdenken, wrum dies whr ist, indem wir einen Beweis konstruieren.) 2

Inhltsverzeichnis 0.0. Litertur.......................... 0.0.2 Einige logische Symbole, wie sie häufig in der Mthemtik verwendet werden................. 4. Zhlen, Arithmetik, Grundideen der Mthemtik....... 4.. Ds System Z/nZ für n = 60.............. 6..2 Äquivlenzreltionen, Äquivlenzklssen........ 8..3 Ds System Z/nZ überdcht............... 9..4 Die größte gemeinsme Teiler Funktion...........5 Ds System Z/pZ,wenn p eine Primzhl ist....... 3..6 Vollständige Induktion.................. 3..7 Der Binomische Lehrstz: Anwendung der vollständigen Induktion....................... 5..8 Grundlegende Strukturen der Algebr: Gruppen und Körper........................... 8..9 Wie Zhlen drgestellt werden.............. 23 2 24 2. Anlysis............................. 24 2.. Injektionen, Surjektionen, Bijektionen.......... 24 3 26 3. Anlysis............................. 26 3.. Injektionen, Surjekionen, Bijektionen.......... 26 3..2 Konstruktion der reellen Zhlen R........... 28 3..3 Konvergente Folgen.................... 30 3..4 Konvergente Reihen.................... 38 3

3..5 Ein interessnter Fll: die Reihe n=.......... 38 n 3..6 Die geometrische Reihe.................. 39 3.2 Die Stndrdkriterien für die Konvergenz von Reihen..... 4 3.2. Ds Leibnitzkriterium.................. 4 3.2.2 Beispiel.......................... 42 3.2.3 Ds Vergleichskriterium................. 44 3.2.4 Absolute Konvergenz................... 44 3.2.5 Ds Quotientenkriterium................. 47 3.3 Stetige Funktionen........................ 49 3.3. Summen, Produkte & Quotienten stetiger Funktionen sind stetig......................... 50 3.4 Die Exponentilfunktion..................... 52 3.5 Einige llgemeine Sätze stetige Funktionen betreffend..... 55 3.5. Differenzierbrkeit.................... 58 3.6 Ein nderer Blick uf die Exponentilfunktion......... 6 3.7 Die Logrithmusfunktion..................... 63 3.8 Der Mittelwertstz........................ 65 3.9 Komplexe Zhlen......................... 66 3.0 Trigonometrische Funktionen: sin und cos........... 70 3. Die Zhl π............................. 75 3.2 Die Geometrie der komplexen Zhlen.............. 76 3.3 Ds Riemnn-Integrl...................... 77 3.3. Treppenfunktionen.................... 78 3.3.2 Integrle durch Treppenfunktionen definieren...... 78 3.3.3 Einfche Folgerungen dieser Definition......... 82 3.3.4 Integrle stetiger Funktionen............... 82 3.4 Fundmentlstz der Anlysis.................. 84 3.4. Aufleitung oder Stmmfunktion............ 85 3.4.2 Ein nderer Blick uf den Fundmentlstz....... 86 3.4.3 Prtielle Integrtion................... 86 3.4.4 Die Substitutionsregel.................. 87 3.5 Einige Beispiele.......................... 87 3.5. 2.9. x m für m Z................... 87 3.5.2 Die Exponentil-, Trigonometrie- und Logrithmusfunktion............................ 88 3.5.3 Die hyperbolischen Funktionen............. 89 3.5.4 Die inversen trigonometrischen Funktionen....... 90 4

3.5.5 Die Fläche des Einheitskreises ist π........... 9 3.6 Gleichmäßig konvergente Folgen und Funktionen........ 92 3.7 Tylorreihen; Tylor-Formel................... 94 3.7. Die Tylor-Formel..................... 94 3.7.2 Die Tylor-Reihe..................... 96 3.7.3 Die Stndrd -Funktionen................ 97 3.8 Uneigentlich Integrle....................... 99 3.9 Ds Integrl-Vergleichskriterium für Reihen.......... 0 3.9. Die Riemnn sche Zet-Funktion............ 03 3.20 Die Gmm-Funktion....................... 03 3.20. Die Funktionlgleichung für die Gmm-Funktion... 05 3.20.2 Die Gmm-Funktion in der Funktionentheorie.... 05 3.20.3 Zwei Formeln....................... 06 3.2 Konvexität............................. 08 5

Kpitel. Zhlen, Arithmetik, Grundideen der Mthemtik In einigen Bereichen der Mthemtik - zum Beispiel der Geometrie oder der Grphentheorie - werden Zhlen nur ls Werkzeug benutzt um Dinge zu beschreiben, welche n sich nicht wirklich selbst numerisch sind. Mn knn jedoch sgen, dss diese Vorlesung - Anlysis - ds reine Studium der Zhlen ist. Dher ist es eher reine Mthemtik, ls ngewndte Mthemtik. Aber ws sind Zhlen? Sicherlich wird jeder zustimmen, dss die Zhlen, die wir benutzen um Dinge zu zählen:,2,3... Zhlen sind, die uns von der Ntur vorgegeben sind. Also bezeichnen wir diese Menge der ntürlichen Zhlen mit dem Symbol N. Wenn wir über physiklische Objekte nchdenken, welche wir mit den ntürlichen Zhlen zählen, so ist es sinnvoll die die üblichen rithmetischen Opertionen zu hben: Addition, Subtrktion und Multipliktion. Die ndere übliche rithmetische Opertion, die Division ist häufig nicht ntürlich. Zum Beispiel, wenn die Anzhl von Leuten in einer Vorlesung ungerde ist und es zwei Tutoriumsgruppen gibt, ist es unmöglich, dss diese gleich groß sind (unter der Vorussetzung, dss lle Studenten ktiv teilnehmen!). Aber es ist ebenso whr, dss die Subtrktion ihre Grenzen ht. Wenn zum Beispiel 50 Studenten in einer Vorlesung sitzen, so ist es nicht möglich 5 dieser Studenten zu hben, die entscheiden, dss es nicht lohnend ist, der Vorlesung weiterhin zu folgen und Mitschriften nzufertigen. Trotz dieser vernünftigen Einwände, hben die Menschen vor einigen hundert Jhren entschieden, ds System der ntürlichen Zhlen mit einer Art erfundenen Zhlen, oder nicht-ntürlichen Zhlen zu erweitern. Zum Bei- 6

spiel die Zhl Null und die negtiven gnzen Zhlen:, 2,... werden ls sinnvoll erchtet, weswegen wir über sie nchdenken. Moderne Mthemtiker benutzen ds Symbol Z, um die Menge der positiven und negtiven gnzen Zhlen zusmmen mit der 0 zu benennen. Mn nennt Z die gnzen Zhlen oder die Menge der (reellen) Integerzhlen. Erlubt mn die Division, so ht mn uch die Menge der rtionlen Zhlen Q. Insgesmt hben wir die üblichen Mengen von Zhlen Die ntürlichen Zhlen N = {, 2, 3, 4,...} Die gnzen Zhlen oder Integerzhlen Z = {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,...} Die rtionlen Zhlen Q = { b : Z, b N} Aber oft werden uch ndere Zhlensysteme benutzt, vielleicht sogr ohne zu bemerken, dss diese nders sind, ls die oben behndelten. Wenn wir zum Beispiel uf eine Uhr schuen, dnn sehen wir, dss die Stunde 60 Minuten ht (dies ist eine Konvention us den Zeiten der Bbylonier, deren Zhlensystem uf der Zhl 60 ufgebut wr). Wenn eine Vorlesung bei 5 Minuten beginnt und die Vorlesung duert 90 Minuten, so ist es offensichtlich, dss es nicht genug Zhlen uf der Uhr gibt um die Sitution vollständig zu beschreiben. Die Uhr zählt nur bis 60, ber wenn sie die 60 erreicht ht, so springt sie plötzlich zurück zu der Zhl 0. Dher hben wir, sofern wir eine Uhr betrchten, die Gleichung: Mthemtisch schreiben wir: 5 + 90 = 45 45 5 + 90 mod 60 Vielleicht ist der Grund für die Benutzung des seltsmen Symbols, welches drei horizontle Linien ht, nsttt des gebräuchlicheren =, um zu vermeiden, dss ll diese superschluen Leute ständig versuchen uns zu erzählen, dss die Gleichung 5+90 = 45 flsch sei. (Wenn wir noch schluer wären, könnten wir sgen, dss die Gleichung 5 + 90 = 05 ebenso flsch ist, wenn wir die Ttsche betrchten, dss der Ausdruck uf der linken Seite 5 + 90 zwei Zhlen und eine rithmetische Opertion steht, wobei 05 eine reine Zhl ist. Und dies sind zwei verschiedene Dinge. Andererseits, flls - wie in der üblichen Konvention - wir zustimmen, dss 5 + 90 die durch 7

ds Resultt der Opertion gegebene Zhl ist, so ist der Ausdruck whr. Aber dnn können wir ebenso sgen, dss 5 + 90 mod 60 ein rithmetischer Ausdruck ist und in diesem Flle würde es Sinn mchen zu sgen, der Ausdruck 45 = 5 + 90 mod 60 ist whr. Aber dnn wäre der Ausdruck 5 + 90 = 45 mod 60 flsch.) Allgemeiner seien n N und x, y Z gegeben. Dnn bedeutet der Ausdruck x y mod n dss die Zhl x y durch n teilbr ist. Mn schreibt n (x y). Ds heißt, es existiert eine Zhl m Z mit m n = (x y). Zum Beispiel wissen wir, dss (5 + 90) 45 einml 60 ist, sodss 5 + 90 45 mod 60 whr ist. Ebenso ist 5 90 45 mod 60 whr, d 60 (5 90) 45. Andererseits ist 5+90 46 mod 60, d 60 (5+90) 46. Wenn mn Arithmetik in Bezug uf die 60 Minuten der Uhr mcht, dnn knn mn sgen wir mchen Modulr-Arithmetik, Modulo 60. Mn schreibt Z/60Z um dieses rtihmetische System mit nur 60 verschiedenen Zhlen zu benennen. Es ist üblich diese 60 Zhlen ls die gnzen Zhlen von 0 bis 59 zu betrchten. Ttsächlich können wir für jedes n N ds System Z/nZ betrchten. Dnn können wir unter Benutzung derselben Konvention sgen, dss Z/nZ = {0,, 2,..., n } ist... Ds System Z/nZ für n = 60 Wir hben gesehen, dss in dem System der modulren Arithmetik modulo 60 die Gleichung 5 + 90 = 45 gilt. Eine ndere Art drüber nchzudenken ist, indem mn sgt, dss in der normlen gnzzhligen Arithmetik gilt 5 + 90 = 05 = 60 + 45. In der Tt hben wir für jede gegebene gnze Zhl x und eine ntürliche Zhl n die eindeutigen gnzen Zhlen und b, sodss x = n + b, wobei 0 b < n. Die Zhl ist ds Ergebnis der gnzzhligen Division von x durch n und b ist der Rest, welcher us dieser gnzzhligen Division. Die 8

Opertion den Rest zu finden, wenn x durch n dividiert wird, bezeichnet mn mit x mod n. Im Einzelnen hben wir lso die Gleichung 45 = 05 mod 60. Arithmetik ht im Allgemeinen vier Opertionen: Addition, Subtrktion, Multipliktion und Division. Sgen wir lso wir hben zwei Zhlen x und y in unserem System Z/nZ. Ds heißt, wir können nnehmen, dss 0 x und y < n. Dnn können wir die Summe von x und y in Z/nZ definieren ls Anlog dzu ist die Differenz und ds Produkt ist (x + y) mod n. (x y) mod n (x y) mod n. Dies ist lles einfch, d x ± y und x y immer gnze Zhlen sind. Aber ws ist mit der Division? Die Zhl x ist nur gelegentlich eine gnze Zhl. Und y ws mchen wir, wenn y = 0 ist? Die Lösung dieses Problem ist ds Lösen einer einfchen Gleichung. Dher ist die Zhl x in Wirklichkeit die Lösung der Gleichung y z y = x. Ws ist zum Beispiel in der modulren Arithmetik modulo 60? Ds heißt 7 es gilt eine Zhl z mit 0 z < 60 zu finden, sodss = (z 7) mod 60. Die Antwort ist z = 43, d 43 7 = 30 und = 30 mod 60. Ws ist ndererseits mod 60? Ds heißt z ist so, dss 2 = (z 2) mod 60. Aber ws ist z? Die Antwort ist, dss es keine Antwort gibt! Also existiert keine Zhl in der modulren Arithmetik modulo60. Der Grund dfür ist, 2 dss wir für lle z immer eine gerde Zhl z 2 hben und d 60 ebenflls eine gerde Zhl ist, knn die Gleichung = y mod 60 nur dnn eine Lösung hben, wenn y eine ungerde Zhl ist. 9

..2 Äquivlenzreltionen, Äquivlenzklssen Definition. Sei M eine Menge. Die Menge ller Pre von Elementen us M wird ls M M geschrieben. Dher ist M M = {(, b) :, b M}. Dies wird ls krtesisches Produkt von M mit sich selbst bezeichnet. (Allgemeiner, wenn X und Y zwei verschiedene Mengen sind, dnn ist ds krtesische Produkt die Menge ller Pre (x, y) mit x X und y Y ) Eine Äquivlenzreltion uf M ist eine Teilmenge von M M. Seien, b M zwei gegebene Elemente, dnn schreiben wir b um nzuzeigen, dss ds Pr (, b) in dieser Teilmenge liegt. Für eine Äquivlenzreltion muss gelten:. für lle M (Reflexivität) 2. Wenn b, dnn gilt uch b (Symmetrie) 3. Wenn b und b c, dnn gilt c (Trnsitivität) Wenn b,dnn sgen wir ist äquivlent zu b. Beispiele. Sei M eine gegebene Menge. Die einfchste Äquivlenzreltion ist einfch die Gleichheit. Ds heißt b nur wenn = b. 2. In Z, der Menge der gnzen Zhlen, sgen wir dss für zwei Zhlen und b gilt: b flls b eine gerde Zhl ist. Dies ist dnn eine Äquivlenzreltion uf Z. 3. Wieder sei die Menge Z, diesml wählen wir uns noch eine ntürliche Zhl n N. Jetzt definieren wir ls äquivlent zu einem b genu dnn wenn eine weitere Zhl x Z existiert, sodss b = xn. Ds heißt die Differenz b ist durch n teilbr. Und wieder ist dies eine Äquivlenzreltion uf Z. (Offensichtlich ist ds 2. Beispiel lediglich ein Spezilfll von Beispiel 3. In der Tt ist dies die Äquivlenzreltion, welche wir erhlten, flls wir n = 2 wählen.) 0

Definition. Sei eine Menge M mit einer Äquivlenzreltion gegeben, dnn wird M in Äquivlenzklssen ufgesplten. Für jedes M bestehlt die Äquivlenzklsse, die enthält us den Elementen von M, die zu äquivlent sind. Die Äquivlenzklsse, die enthält wird üblicherweise ls [] geschrieben. Dher ist [] = {x M : x }. Mn bemerke, dss wenn wir zwei Äquivlenzklssen [] und [b] hben, deren Schnittmenge nicht leer ist [] [b], so muss gelten [] = [b]. Dies zeigen wir, indem wir nnehmen, dss x [] [b]. Dnn ist x und uch x b. Aber x bedeutet uch x, d die Äquivlenzreltion symmetrisch ist. Dnn gilt b d Trnsitivität gilt. Wenn dnn y [b] dnn gilt y b, ber es gilt uch b und indem wir die Trnsitivität der Äquivlenzreltion wieder benutzen erhlten wir y. Dher ist y []. Dmit ist gezeigt, dss [b] in [] enthlten ist, lso [b] []. Eine ähnliche Argumenttion zeigt, dss [] [b]. Dmit hben wir gezeigt, dss Stz. Eine uf einer Menge M definierte Äquivlenzreltion spltet die Menge M in eine Menge von disjunkten Äquivlenzklssen uf...3 Ds System Z/nZ überdcht Ansttt über Z/nZ ls Menge von Zhlen {0,..., n } nchzudenken, ist es üblich zu sgen, dss Z/nZ die Menge von Äquivlenzklssen bezüglich der durch x y x y durch n teilbr gegebenen Äquivlenzreltion ist. Dher ist Z/nZ = {[0],..., [n ]}. Wie wir gesehen hben, ist es üblich x y mod n zu schreiben, nsttt x y wenn wir diese Äquivlenzreltion beschreiben. Mn sgt, dss x kongruent zu y modulo n ist. Es ist einfch zu sehen, dss wenn zwei Zhlen x, y Z gegeben sind, dnn hben wir x y mod n genu dnn, wenn der Rest bei der Division von x durch n gleich dem Rest bei der Division von y durch n ist. Ds heißt, wenn wir mod ls eine Opertion uf Z betrchten, so gilt x y mod n genu dnn wenn x mod n = y mod n.

Addition und Multipliktion in Z/nZ sind durch die einfchen Vorschriften [x] + [y] = [x + y] und [x] [y] = [x y] für zwei Zhlen x, y Z gegeben. Aber wir müssen vorsichtig sein! Es ist nötig zu prüfen, ob diese Opertionen wohldefiniert sind. Ws heißt ds? Angenommen wir hben zwei verschiedene Zhlen x und x us Z, welche zueindnder äquivlent sind. Ds heißt x x mod n. Aber d x und x in derselben Äquivlenzklsse liegen, muss gelten [x] = [x ]. Gleichermßen wenn wir zwei Zhlen y und y hben mit y y mod n gilt [y] = [y ]. Ds bedeutet, dss die dditive Opertion, wie wir sie oben definiert hben, wohldefiniert heißt, wenn für beliebige x, x undy, y immer gilt Aber dies ist klr, d [x] + [y] = [x + y] = [x + y ] = [x ] + [y ]. [x] = [x ] x x mod n n (x x ) und [y] = [y ] y y mod n n (y y ). Dher gilt n (x x ) + (y y ) n (x + y) (x + y ) (x + y) (x + y ) mod n [x + y] = [x + y ]. Es ist nun eine einfche Übung zu zeigen, dss die Multipliktion ebenso uf in der Arithmetik von Z/nZ wohldefiniert ist. Aber es bleibt noch ds Problem der Division in Z/nZ. Ds heißt existiert zu gegebenen, b Z ein x Z, sodss x b mod n? 2

..4 Die größte gemeinsme Teiler Funktion Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir zuerst über größte gemeinsme Teiler (gretest common divisor) nchdenken. Definition. Seien x, y Z. Dnn sgen wir, dss x ein Teiler von y ist, wenn ein z Z mit y = xz existiert. Gegeben seien zwei, b Z. Die Zhl d ist ein gemeinsmer Teiler von und b, wenn d sowohl ein Teiler von ls uch von b ist. Der größte gemeinsme Teiler von und b wird mit ggt (, b) notiert. Offensichtlich ist jede gnze Zhl ein Teiler der Zhl 0. Weiterhin wenn x eine Zhl y teilt, so teilt x uch y. Dher können wir uns bei den gnzen Zhlen uf die positiven gnzen Zhlen und die Null beschränken. Seien und b beide nicht Null gegeben, dnn ist offensichtlich ein gemeinsmer Teiler. Dher hben wir immer ggt (, b). Stz.2 Seien zwei beliebige Zhlen und b, beide nicht Null, gegeben. Dnn existieren zwei weitere gnze Zhlen x und y, sodss x + yb = ggt (, b). Beweis Wenn eine der Zhlen Null ist, sgen wir = 0, dnn gilt offensichtlich ggt (, b) = b (Wir nehmen n, dss b positiv ist). Also hben wir ggt (, b) = b = 0 + b und der Stz ist in diesem Fll whr. (Von nun n werde ich die üblichere Nottion b oder nur b für die Multipliktion verwenden, nsttt die Nottion b, wie ich sie bisher verwendet hbe). Nehmen wir nun n, dss und b beide positive gnze Zhlen sind. Wenn der Stz flsch wäre, so dürfte er für ein Pr von gnzen Zhlen, b N nicht gelten. Angenommen b und dieses Pr wäre ds kleinste mögliche Gegenbeispiel für diesen Stz in dem Sinne, dss der Stz whr ist für lle Pre von gnzen Zhlen b mit b < b. Den Fll = b können wir direkt usschließen, d wir in diesem Flle ggt (, b) = b hätten und somit wäre die Lösung wieder ggt (, b) = b = 0 + b. Dmit wäre ds Pr, b kein Gegenbeispiel für den Stz. Deswegen muss gelten < b. 3

Sei nun c = b. Dnn ist c N und der Stz muss für kleinere Pre c, whr sein. Dnn existieren x, y Z mit ggt (, c) = x + y c = x + y (b ) = (x y ) + y b. Aber ws ggt (, c) = ggt (, b )? Offensichtlich ist jeder gemeinsme Teiler von und b uch ein gemeinsmer Teiler von und b. Ebenso muss jeder gemeinsme Teiler von und b uch ein gemeinsmer Teiler von und b sein. Dher gilt ggt (, c) = ggt (, b) und es muss gelten ggt (, b) = (x x ) + y b, ws der Annhme wiederspricht, dss ds Pr, b ein Gegenbeispiel für den Stz ist. Es folgt, dss es kein Gegenbeispiel geben knn und der Stz ist somit immer whr. Ds Lösen der Gleichung x b mod n Seien, b Z zusmmen mit einer ntürlichen Zhl n N gegeben. Die Frge ist, ob ein x Z ecistiert mit x b mod n? Teilt lso n die Zhl x b? Oder nders gesgt, existiert ein y Z mit Ds ist ds Gleiche wie x b = yn? b = x + ( y)n. Dher sehen wir, dss die Gleichung x b mod n nur eine Lösung hben knn, wenn jeder gemeinsme Teiler von und n uch ein Teiler von b bist. Ds heißt ggt (, n) ist ein Teiler von b. Nehmen wir ndererseits n, dss ggt (, n) die Zhl b teilt, lso b = z ggt (, n). Dnn müssen nch dem vorherigen Stz u, v Z existieren mit Dmit hätten wir ggt (, n) = u + vn. b = z ggt (, n) = z(u + vn) = (zu) + (zv)n = x + ( y)n wenn wir x = zu und y = zv setzen. Zusmmengefsst hben wir: Stz.3. Die Gleichung x b mod n ht nur dnn eine Lösung, wenn ggt (, n) ein Teiler von b ist. Wenn b = z ggt (, n) ist, dnn ist die Lösung x = zu, wobei ggt (, b) = u + vn ist. 4

..5 Ds System Z/pZ,wenn p eine Primzhl ist Die Primzhlen sind 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23,.... Eine Primzhl p N ist so, dss sie keine Teiler in N ht ußer sich selbst und die. Anders gesgt gilt für lle < p : ggt (, p) =. Angelehnt n den letzten Stz muss für lle [] Z/pZ mit [] [0] ein [b] Z/pZ existieren mit [][b] = [], lso b = mod p, sodss in der modulren Arithmetik modulo p gilt: ist b. Dher ist es immer möglich Zhlen durch zu teilen. Weiterhin ist ds Teilen durch nichts nderes ls ds Multiplizieren mit b. Allerdings, wenn n keine Primzhl ist, dnn existiert ein mit < < n und ggt (, n) >. In diesem Fll ht, nch dem vorherigen Stz, die Gleichung x mod n keine Lösung. Es ist nicht möglich Zhlen in der Modulrrithmetik modulo n durch zu teilen, wenn n keine Primzhl ist und ggt (, n) >...6 Vollständige Induktion Ein Beispiel Die Formel n k= k(k + ) = n n + ist whr für lle n N. Wie können wir zeigen, dss ds stimmt? Zuerst wissen wir, dss die Gleichung für den einfchen Fll n = gilt. Denn hier hben wir k= k(k + ) = ( + ) = + 5

Aber dnn wissen wir, dss es uch für n = 2 gilt, denn 2 k= k(k + ) = = = 2(2 + ) + k(k + ) k= 2(2 + ) + + 2 2 + Mn bechte, dss die zweite Gleichung folgt, d wir bereits wissen, dss die Formel für den Fll n = whr ist. Allgemeiner betrchtet, können wir sgen, dss die Formel für den Fll n whr ist, für ein n N. Dnn können wir genu wie vorher sgen n+ k= k(k + ) = = = n (n + )((n + ) + ) + k(k + ) k= (n + )((n + ) + ) + n + (n + ) (n + ) + Um zu beweisen, dss die Formel whr ist, gehe schrittweise durch die Zhlen, 2, 3,... und so folgern wir, dss die Formel whr ist für lle n N. Dies ist ds Prinzip der vollständigen Induktion. Sei P (n) eine Aussge, welche von der Zhl n für beliebige n N bhängt. Dnn ist P (n) für lle n N whr, wenn gilt: Als erstes wird der Fll P ()bewiesen. Dnn wird ngenommen, dss der Fll P (n) für ein n N whr ist und gezeigt, dss P (n + ) uch whr ist. Wir werden die vollständige Induktion in diesem Skript oft benutzen! Sie ist eine der Grundbeweismethoden in der Mthemtik. 6

..7 Der Binomische Lehrstz: Anwendung der vollständigen Induktion Der Binomische Lehrstz gibt n, ws mit dem Ausdruck ( + b) n beim usmultiplizieren pssiert. Zum Beispiel: : + b 2 : 2 + 2 +b 2 3 : 3 + 3 2 b + 3b 2 + b 3 4 : 4 + 4 3 b+ 6 2 b 2 +4b 3 + b 4 5 : 5 + 5 3 b + 0 3 b 2 + 0 2 b 3 + 5b 4 + b 5 usw. Wir sehen, dss ein Muster uftucht. Dieses heißt P scl schesdreieck. 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 20 5 6 7 2 35 35 2 7 usw. Der Ausdruck (+b) n knn ( uch ) ls Summe geschrieben werden, hierfür wird n der Binomilkoeffezient genutzt. Schreibweise: k ( + b) n = n k=0 ( n k Betrchte ds Pscl sche Dreieck: Wir sehen Es gilt für lle n N und 0 k n : ( ) n = k ) n k b k n! k!(n k)! 7 ( 2 0 ) ( 7 =, 4 ) = 35 usw.

( n Für den Anfng reicht es, die Zhl k ) ls n! k!(n k)! zu definieren und dnn zu sehen, dss diese wirklich die Binomilkoeffizienten sind. Der Ausdruck n! heißt n-fkultät. Für n N ist n! definiert ls: n! = n (n ) (n 2)... 3 2. Es ist nur ds Produkt der Zhlen bis n. Im Spezilfll n = 0 definieren wir: 0! = Testen wir den Fll ( 7 4 ( 7 4 ) = ). Wir hben 7! 4!(7 )! = 7 6 5 4 3 2 (4 3 2 ) (3 2 ) = 35 in Übereinstimmung mit dem Pscl schen Dreieck. Aber wie können wir ds im Allgemeinen beweisen? Stz.4 Im Pscl schen Dreieck hben wir ( n + k ) = ( n k ) + ( n k ) ds ist (n + )! k!((n + ) k)! = n! (k )!(n (k ))! + n! k!(n k)! für lle n N und k n. Beweis n! (k )!(n (k ))! + n! k!(n k)! = = = = 8 k n! k!(n k + )! k n! k!(n k + )! (n + ) n! k!(n k + )! (n + )! k!((n + ) k)! + (n k + ) n! k!(n k + )! + (n + ) n! k n! k!(n k + )!

Stz.5 Für lle n N und 0 k < n gilt: ( + b) n = n k=0 ( n k ) n k b k mit ( n k ) = n! k!(n k)! Beweis Induktion nch n. Für den Fll n = ist der Stz trivil. Dher nehmen wir n, dss der Stz für den Fll n whr ist und unsere Aufgbe ist nun zu zeigen, dss der Stz unter dieser Annhme uch für den Fll n + whr ist. Wir hben: ( + b) n+ = ( + b) ( + b) n ( n ( ) ) n = ( + b) n k b k k k=0 ( n ( ) ) ( n n = n k b k + b k k=0 k=0 n ( ) n n ( n = n k+ b k + k k k=0 k=0 n ( ) n n+ ( n = n k+ b k + k k k=0 k= ( ) n n (( ) n = n+ + + 0 k k= n+ ( ) n + = (n+) k b k k k=0 Hier hben wir benutzt: erste Gleichung: trivil 9 ( n k ) n k b k+ ( n k ) n k b k ) ) n (k ) b k )) ( n (n+) k b k + n ) b n+

zweite Gleichung: Induktionsvorussetzung dritte und vierte Gleichung: trivil fünfte Gleichung: Im zweiten Term wird k durch k substituiert. sechste Gleichung: trivil siebte ( ) Gleichung: ( ) nutzt den bewiesenen Stz und die Gegebenheit, dss n n = = ist für lle n N. 0 n..8 Grundlegende Strukturen der Algebr: Gruppen und Körper Nchdem wir den Binomischen Lehrstz bgehkt hben, widmen wir uns wieder den Zhlen. Wir hben N Z Q. Die Menge der ntürlichen Zhlen N ht die Addition und Multipliktion, ber nicht die Subtrktion und Division. Die Menge der gnzen (Integer) Zhlen Z ht Addition, Subtrktion und Multipliktion, ber hier versgt die Division. In den rtionlen Zhlen Q funktionieren lle vier Bsis Rechenopertoren. (Ntürlich schliessen wir die 0 im Flle der Division us.) Weiterhin hben wir im rithmetischen System Z/nZ hben wir uch Addition, Subtrktion und Multipliktion und wenn n eine Primzhl ist, sogr die Division. Arithmetische Systeme in welchen lle vier Opertoren funktionieren werden Körper gennnt. Um die Struktur eines Körpers zu definieren, ist es m besten erst ds mthemtische Objekt Gruppe zu definieren. Aber dfür sollten wir wissen ws mit den Begriffen Funktion und Abbildung gemeint ist. Definition. Seien X und Y zwei nicht-leere Mengen. Eine Funktion f : X Y ist eine Regel, die jedem x X ein eindeutiges f(x) Y zuordnet. Beispiele f : N N mit f(n) = n 2 ist eine Funktion. f(n) = n ist keine Funktion von N nch N, d n Nfür lle n N. 20

Andererseits ist f(n) = n durchus eine Funktion von N nch Z. Also f : N Z. Definition. Eine Gruppe ist eine Menge G zusmmen mit einer Abbildung f : G G G welche folgende Eigenschften (Axiome) erfüllt: f((f(, b), c)) = f((, f(b, c)))für lle, b, c G. Es existiert ein Element e G mit f((e, g)) = f((g, e)) = g für lle g G. Für lle g G existiert ein Element, normlerweise mit g G bezeichnet, so dss gilt: f((g, g)) = f((g, g )) = e. Die Abbildung f : G G G ist für gewöhnlich eine bstrkte Art der Multipliktion. Hierfür schreiben wir b oder b nsttt der unständlichen Schreibweise f((, b)). Ddurch werden die Gruppenxiome zu: (b)c = (bc), für lle, b, c G - Assozitivgesetz Es existiert ein neutrles Element e G mit eg = ge = g für lle g G - Existenz eines neutrlen Elementes Für lle g G existiert ein g G mit g g = gg = e - Existenz eines Inversen Wenn dzu noch ds Kommuttivgesetz erfüllt wird b = bfür lle, b G heißt die Gruppe G belsche Gruppe. Bemerkung Wenn wir über Zhlen nchdenken, könnte mn denken, dss lle Gruppen nturgemäß Abelsche Gruppen sind. Aber dies stimmt nicht! Viele häufig benutzte Gruppen sind definitiv nicht Abelsch. Zum Beispiel die Gruppe der Mtrizen bzgl. der Multipliktion - welche genutzt wird, um 3-Dimensionle Grfiken m Computer zu berechnen - sind nicht-abelsche Gruppen. Aber nun können wir den Körper definieren. 2

Definition. Ein Körper ist eine Menge K zusmmen mit zwei Opertoren, welche Addition und Multipliktion gennnt werden. Sie sind Abbildungen + : F F F : F F F welche folgende Eigenschften (Axiome) erfüllen: F ist Abelsche Gruppe mit der Addition. Ds neutrle Element von F unter der Addition wird ls Null bezeichnet, in Zeichen 0. Für lle F gibt es ein Inverses bzgl. der Addition, nämlich. Also ist + ( ) = 0. Sei F \{0} die Menge der Elemente von F welche nicht gleich der Null sind. D.h. wir entfernen die 0 us F. Dnn ist F \{0} Abelsche Gruppe bzgl. der Multipliktion. Ds neutrle Element wird ls Eins bezeichnet, in Zeichen. Für lle F mit 0 wird ds Inverse mit notiert. Ds heißt =. Ds Distributivgesetz besgt: Für lle, b und c us F gilt sowohl Beispiele (b + c) = b + c ls uch ( + b)c = c + bc.. Die Menge der rtionlen Zhlen Q ist zusmmen mit der üblichen Additions- und Multipliktionsopertionen ein Körper. 2. Die Menge der gnzen Zhlen Z ist kein Körper, d Z\{0} keine Gruppe bezüglich der Multipliktion ist. 3. Die Mengen Z/nZ mit den von uns beschriebenen Addition und Multipliktion sind Körper, wenn n eine Primzhl ist. Wenn n nicht prim ist, dnn ist Z/nZ kein Körper. 22

Bemerkung Wenn eine Menge R eine dditive und multipliktive Opertion ht, welche lle Körperxiome ußer, dss R\{0} keine belsche Gruppe bezüglich der Multipliktion ist, heißt sie Ring. Dher ist Z/nZ, wenn n keine Primzhl ist, ein Ring, ber kein Körper. Ein nderes Stndrdbespiel ist der Ring in der Menge ller Polynome Q[x] in einer Vriblen x mit Koeffizienten us dem Körper Q. Einige einfche Konsequenzen us dieser Definition sind die Folgenden. Stz.6 Sei F ein Körper. Die folgenden Aussgen sind für lle und b in F whr.. Sowohl ls uch (für 0 ) sind eindeutig. 2. 0 = 0 = 0, 3. ( b) = ( b) = ( ) b, 4. ( ) =, 5. ( ) =, flls 0, 6. ( ) =, 7. ( )( b) = b, 8. b = 0 = 0 oder b = 0. Beweis Dies beinhltet einige einfche Übungen im Umgng mit den Definitionen.. Wenn + = 0 und + = 0, dnn ist uch + ( + ) = + 0. Dher gilt = 0 + = ( + ) + = + ( + ) = + 0 =. Dss eindeutig ist, wird nlog bewiesen. 23

2. D 0 + 0 = 0 gilt uch (0 + 0) = 0 + 0 = 0. Dnn ist 0 = 0 + ( ( 0)) = ( 0 + 0) + ( ( 0)) = 0 + ( 0 + ( ( 0))) = 0 + 0 = 0. 0 = 0 wird ebenflls nlog bewiesen. 3. 0 = 0 = ( + ( b)) = b + ( b). Dher muss gelten b = ( b). Der ndere Fll ist ähnlich. 4. + ( ( )) = 0. Aber es gilt uch + = 0 und wegen () wissen wir, dss dditive Inverse eindeutig sind. Dher ist = ( ). 5. ( ) = verläuft nlog. 6. Wir erhlten 0 = 0 = ( + ( )) = + ( ) = + ( ) und es gilt lso ( ) =. 7. 0 = 0 ( ) = ( + ( ))( ) = + ( )( ). Somit ergibt sich + 0 = = + ( ) + ( )( ) = ( )( ) und es folgt ( )( b) = (( ))(( )b) = (( )( ))b = b = b. 8. Wenn 0 ist, so gilt b = b = ( )b = (b) = 0 = 0. 24

..9 Wie Zhlen drgestellt werden Bevor wir mit den üblichen Definitionen in der Anlysis fortfhren, ist es nützlich einen schnellen Blick uf eine ndere Art Zhlen drzustellen zu werfen. In der üblichen dezimlen Nottion sieht ds zum Beispiel so us 2009 = 2 0 3 + 0 0 2 + 0 0 + 9 0 0 oder oder 22 7 = 3, 42... = 3 00 + 0 + 4 0 2 + 2 0 3 +... 2 =, 44... = 0 0 + 4 0 + 0 2 + 4 0 3 +... Kettenbruchzhlen Hier betrchten wir einfch wieder die gnze Zhl 2009 ls eigenen Kettenbruch. Jede gnze Zhl n Z ist in der Kettenbruchdrstellung sie selbst. Aber dnn gilt j 22 7 = 3 + 7 und uch 2 = + 2 + 2+ 2+... Wir können, indem wir den euklidischen Algorithmus verwenden, jede rtionle Zhl ls einen endlichen Kettenbruch drstellen 0 + + 2 + 3 +... k wobei 0 Z und i N für i =,..., k. Wenn eine Zhl irrtionl ist, so muss uch ihr Kettenbruch unendlich sein. 25

Kpitel 2 2. Anlysis 2.. Injektionen, Surjektionen, Bijektionen Ds Gebiet der mthemtischen Anlysis ht viel mit Funktionen oder Abbildungen zu tun. Wir hben bereits gesehen, dss eine Funktione eine Vorschrift f ist, die jedem Element x X einer Menge X ein einzelnes Element f(x) Y einer Menge Y zuteilt. Mn schreibt f : X Y. Wenn wir solch eine Funktion f von X nch Y gegeben hben, sgt mn, dss X der Definitionsbereich von f ist. Weiterhin ist die Menge {f(x) : x X} Y der Bildbereich von f. Mn schreibt f(x) für den Bildbereich von X. Dher ist f(x) = {f(x) : x X}. Ht mn ein Element y Y gegeben, so schreibt mn f (y) für die Teilmenge von X, deren Elemente lle uf y bgebildet werden. Ds bedeutet f (y) = {x X : f(x) = y}. Wenn f keine Surjektion ist, so muss f (y) die leere Menge für einige Elemente us Y sein. Definition. Seien X und Y Mengen und sei weiter f : X Y eine Funktion. Dnn sgen wir, dss: f eine Injektion ist, wenn für zwei gegebene Elemente x, x 2 X mit x x 2 gilt f(x ) f(x 2 ). Oder nders gesgt gilt f(x ) = f(x 2 ) nur dnn, wenn x = x 2. 26

f eine Surjektion ist, wenn für lle y Y ein x X existiert mit f(x) = y. Wenn f eine Surjektion ist, so muss gelten f(x) = Y. f eine Bijektion ist, wenn es sowohl eine Injektion, ls uch eine Surjektion ist. Beispiele Betrchten wir die folgenden Funktionen f : Z Z: f() = 2 für lle Z. Dies ist eine Injektion, ber keine Surjektion, d nur die gerden Zhlen der Form 2 für ein Z getroffen werden. Zum Beispiel ist die Zhl 3 in Z, ber es gibt keine gnze Zhl mit 2 = 3. { 2 wenn gerde ist f() = (+) ist eine Surjektion, ber es ist wenn ungerde ist 2 keine Injektion. Zum Beispiel ist f(0) = 0 = f( ). f() = für lle Z ist eine Bijektion. Stz 2.. Sei f : X Y eine Injektion. Dnn existiert eine Surjektion g : Y X. Ebenso wenn f : X Y eine Surjektion ist, dnn existiert eine Injektion g : Y X. Beweis Angenommen es gibt eine Injektion f : X Y. Eine Surjektion g : Y X knn uf folgende Weise konstruiert werden. Mn wählt zuerst ein bestimmtes Element x 0 X. Dnn ist eine Surjektion g : Y X durch die Regel { x, wobeif(x) = y, wenn y f(x) g(y) = x 0, wenn y f(x) für lle y Y gegeben. In der nderen Richtung nehmen wir n, es existiere eine Surjektion f : X Y. Dnn knn die Injektion g : Y X in folgendermßen konstuiert werden. D f eine Surjektion ist, wissen wir wir, dss f (y) X nicht leer ist für jedes y Y. Dher wählen wir für jedes y Y ein bestimmtes x y f (y). Die Injektion g : Y X ist dnn durch die Vorschrift g(y) = x y für lle y Y gegeben. 27

Kpitel 3 3. Anlysis 3.. Injektionen, Surjekionen, Bijektionen Die mthemtische Anlysis ht viel mit Funktionen und Abbildungen zu tun. Wir wissen bereits, dss eine Funktion f eine Vorschrift ist, die einem Element x X einer Menge X ein eindeutiges Element f(x) Y us einer Menge Y zuordnet. Geschrieben f : X Y. Gegeben sei eine Funktion f, dnn heißt X ds Urbild von f und die Menge {f(x) : x X}, oder uch f(x) heißt ds Bild von f. Also: f(x) = {f(x) : x X} Für ein beliebiges Element y Y ist f (y) eine Teilmenge von X, welche lle Elemente enthält, die uf y bgebildet werden. Also: f (y) = {x X : f(x) = y} Wenn f keine Surjektion ist, muss f (y) für mnche Elemente us Y die leere Menge sein. Definition. Seien X und Y Mengen und f : X Y eine Abbildung. Dnn heißt f Injektion, wenn für zwei beliebige verschiedene x, x 2 X mit x x 2 immer gilt f(x ) f(x 2 ), bzw folglich uch gilt: f(x ) = f(x 2 ) x = x 2. 28

Surjektion, wenn für lle y Y ein x X existiert mit f(x) = y. D.h. bei einer surjektiven Abbildung f : X Y ist f(x) = Y. Bijektion, wenn f sowohl injektiv, ls uch surjektiv ist. (Ds bedeutet für jedes y Y existiert genu ein x X mit f(x) = y. Beispiele Betrchte die Funktion f : Z Z: f() = 2 für lle Z. Dies ist eine Injektion ber keine Surjektion, d nur gerde Zhlen die Form 2 für Z. Zum Beispiel existiert kein Z mit 2 = 3. {, flls gerde f() = 2 (+) ist eine Surjektion, ber keine Injektion, d zum Beispiel f(0) = 0 =, flls ungerde 2 f( ). f() = für lle Z ist eine Bijektion. Stz 2. () Sei f : X Y eine injektive Abbildung. Dnn existiert eine surjektive Abbildung g : Y X, bzw. (2) wenn es eine surjektive Abbildung f : X Y gibt, dnn existiert eine injektive Abbildung g : Y X. Beweis () Angenommen f : X Y ist injektiv. Eine surjektive Abbildung g : Y X knn wie folgt konstruiert werden. Zuerst wähle einx 0 X. Dnn ist eine Surjektion g : Y X gegeben durch die Vorschrift: { x, wobei f(x) = y, wenn y f(x) g(y) = x 0, wenn y f(x) für lle y Y. (2) Angenommen f : X Y ist surjektiv. Dnn knn eine injektive Abbildung g : Y X wie folgt konstruiert werden. D f eine Surjektion ist, wissen wir, dss für lle y Y die Menge f (y) X nicht leer ist. Also wähle für lle y Y ein Element x y f (y). Dnn ist die Injektion g : Y X gegeben durch die Vorschrift g(y) = x y für lle y Y. Bemerkung: Diese Prozedur der Auswhl von Elementen us einer Vereinigung von Mengen ist nur erlubt, wenn wir ds Auswhlxiom der Mengenlehre benutzen. Es ist möglich eine lterntive mthemtische Theorie zu entwickeln, in der ds Auswhlxiom nicht gilt, dher wäre dieser Beweis in dieser lterntiven Mthemtik nicht gültig. 29

Stz 2.2 (Schröder-Bernstein) Seien X und Y Mengen. Angenommen es existiert eine Injektion f : X Y und uch eine Surjektion g : X Y. Dnn gibt es uch eine Bijektion h : X Y. Beweis Übung 3..2 Konstruktion der reellen Zhlen R Dedekind sche Schnitte Die einfchste Methode um die reellen Zhlen zu definieren ist die Nutzung des Dedekind schen Schnitts. Definition. Ein Dedekind scher Schnitt der rtionlen Zhlen Q ist ein Pr von zwei nicht-leeren Teilmengen A, B Q, so dss gilt, wenn A und x <, dnn ist uch x A. Genuso gilt wenn b B und y > b dnn ist y B. Auch sollen A B = Q und A B = sein. Schliesslich drf die Teilmenge A kein mximles Element hben. Dnn knn die Menge der reellen Zhlen R ls Menge der Dedekind schen Schnitte definiert werden. Mn könnte sgen, dss jede reelle Zhl der Punkt zwischen der oberen Menge B und der unteren Menge A ist. Wenn die gegebene Zhl rtionl ist, dnn ist sie die kleinste Zhl in B. Zum Beispiel ist es wohl beknnt, dss die Zhl 2irrtionl ist. Stz 2.3 Es gibt keine rtionle Zhl mit ( ) 2 b b = 2. Beweis Beweis durch Widerspruch. Angenommen es gibt doch eine rtionle Zhl deren qudrt gleich 2 b ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei gekürzt, d.h. wenn es ein b b gibt, ds uch die Qudrtwurzel von 2 ist, dnn muss b b sein. D die Qudrtwurzel von 2 ist gilt: b ( ) 2 = 2 b Also: 2 = 2b 2 Ds bedeutet muss eine gerde Zhl sein. Sei = 2c wobei uch c Z ist. Dnn hben wir: 2 = 4c 2 = 2b 2 Oder: 2c 2 = b 2 30

Ds wiederum bedeutet, dss uch b 2 gerde ist und dher uch b. c Wir schreiben b = 2d. Aber wir müssen hben: =, d beide die d b Qudrtwurzel von 2 sind. Dies ist unmöglich, denn wir hben gesehen, dss d < b und ngenommen, dss mximl gekürzt ist. D ber sowohl ls b uch b gerde sind, würde sich durch 2 kürzen lssen. Widerspruch! b Gegeben einer rtionlen Zhl q Q, ist uch q 2 eine rtionle Zhl. Also können wir einen Dedekind schen Schnitt (A, B) konstruieren, wobei B lle positiven Zhlen b sind mit b 2 > 2. Dnn ist A die Menge der restlichen rtionlen Zhlen, d.h. A ist die Menge der rtionlen Zhlen, die kleiner ls 2 sind und B ist die Menge der rtionlen Zhlen, die größer ls 2 sind. So definiert dieser Dedekind sche die Zhl 2. Ntürlich können uch die rtionlen Zhlen über Dedekind sche Schnitte drgestellt werden. Zum Beispiel ist die Zhl 2 einfch der Dedekind sche Schnitt (A, B) mit A = {q Q : q < 2} und B = {q Q : q 2}. Also ist hier die Zhl 2 ds kleinste Element von B. Der Grund, wrum Dedekind diese Definition ins Spiel brchte ist, dss mn so die reellen Zhlen R definieren knn ohne ds Auswhlxiom zu benutzen. Dezimlbruchentwicklung Geschrieben ls Dezimlzhl hben wir: 3 = 0, 3333333333333333... Also: 2 =, 4423562372095... Eine ndere wohlbeknnte irrtionle Zhl ist: π = 3, 4592653589793... So, wie wir wissen, dss rtionle Zhlen sich wiederholende Dezimlstellen ht, wissen wir, dss irrtionle Zhlen sich nicht wiederholen, wenn sie ls Dezimlzhl geschrieben werden. Mn könnte meinen, dss die Zhl diesselbe ist, wie die Zhl 0, 99999999999999999..., 00000000000000000... 3

welche ntürlich einfch nur die Zhl ist. Aber wenn wir lle Dezimlzhlen die in eine unendliche Folge von Neunen enden usschliessen, dnn ist jede reelle Zhl einzigrtig. Dher existiert eine lterntive Art die reellen Zhlen zu definieren, wenn wir sgen, die Menge ller möglichen Dezimlzhlen, die nicht in einer unendlichen Folge von Neunen enden. Konvergente Folgen Aber für gewöhnlich definiert mn die reellen Zhlen R ls äquivlenzklssen von konvergenten Folgen. Wir benötigen in jedem Fll die Idee von konvergenten Folgen, lso betrchten wir R ls gegeben (eine der vorherigen Definitionen nutzend) und denken über die Theorie von Folgen nch, entweder in Q oder in R selbst. 3..3 Konvergente Folgen Eine Folge ist einfch eine unendliche Aneinnderreihung von Zhlen. Zum Beispiel, die Folge, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... ist ein reltiv simpler Fll, und offensichtlich nicht kovergent. Die Zhlen der Folge werden größer und größer, sie wchsen ins Unendliche, über lle endlichen Schrnken hinus. Ein nderes Beispiel ist:,,,,,,,,... Diese Folge ist beschränkt, sie springt nur über zwischen und hin und her. Aber sie konvergiert nie gegen irgendws, d sie immer nur vor und zurück springt. Noch ein Beispiel:, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... Diese Folge läuft offensichtlich gegen Null. Im Allgemeinen, wenn wir über bstrkte Folgen nchdenken, schreiben wir:, 2, 3... Also ist die erste Zhl der Folge, 2 die zweite Zhl, usw. Eine kürzere Nottion um eine gnze Folge drzustellen. ( n ) n N. 32

Aber wenn wir über ds Konzept der Konvergenz nchdenken, ist es klr, dss wir uch eine Idee der Distnz zwischen zwei Zhlen benötigen. Definition. Gegeben einer reellen (oder rtionlen) Zhl x, ist der Absolutbetrg von x definiert durch: { x, wenn x 0 x = x, wenn x < 0 So könnte mn sgen, dss x gleich Null ist, wenn x null ist. Sonst ist x die Distnz von x zu 0. Allgemeiner ist zu zwei gegeben Zhlen und b die Distnz zwischen den beiden b. Es ist eine simple Sche zu zeigen, dss die Dreiecksungleichung immer gilt. Diese besgt, dss für lle x, y R gilt: x + y x + y Definition. Die Folge ( n ) n N konvergiert zu, wenn für lle positiven Zhlen ε > 0, dnn gibt es ein hinreichend großes N ε N, sodss n < ε für lle n N ε. Hier schreiben wir: lim n = n Wenn eine Folge nicht konvergiert, dnn sgen wir sie divergiert. Diese Definition ist weniger bstrkt. Aber sie sgt uns zum Beispiel nicht wirklich, ws mit dereinfche Folge,,,,,,,,... ; Obwohl diese Folge nicht konvergiert - lut der Definition - konvergiert sie doch in einer gewissen Weise zu den Punkten und. Beschränkte Mengen Gegeben sei die Menge der reellen Zhlen R und betrchten wir eine beliebige Teilmenge A R. Definition. Sgen wir, dss A R nch oben beschränkt ist, wenn ein K R existiert, sodss K für lle A. Die Zhl K wird obere Schrnke von A gennnt. Anlog heißt A nch unten beschränkt, wenn es ein L R gibt, sodss L für lle A. Dnn ist L untere Schrnke von A. Wenn A nch oben und nch unten beschränkt ist, sgen wir, dss A beschränkt ist. In diesem Fll existiert ein M R mit M für lle A. Wenn A und A beschränkt ist, dnn ist die kleinste obere Schrnke sup(a). Anlog ist inf(a) die größte untere Schrnke von A. 33

Beispiele Sei [0, ] = {x R : 0 x }. Dnn ist die obere Schrnke und 0 die untere Schrnke. Also ist [0, ] beschränkt. Nun sei [0, ) = {x R : 0 x < }. Diese ist ntürlich uch beschränkt, weiterhin ist die obere Schrnke und 0 die untere Schrnke, obwohl nicht in [0, ) enthlten ist. N R ist nch unten beschränkt (mit größter untere Schrnke ), ber nicht nch oben beschränkt. Z R ist weder nch oben, noch nch unten beschränkt. Teilfolgen Definition. Sei i : N N eine Abbildung, sodss für lle n, m N mit m < n gilt i(m) < i(n). Dnn ist eine Teilfolge zu einer gegebenen Folge ( n ) n N bezüglich der Abbildung i die Folge ( i(n) ) n N. Betrchen wir zum Beispiel wieder die Folge (( ) n ) n N. Dnn nehmen wir die Abbildung i : N N mit i(n) = 2n. In diesem Flle erhlten wir die Teilfolge ( ) ( ) i(n) n N = ( ( ) 2n) n N = (( ( ) 2) n) n N = (n ) n N. Dies ist die triviler Weise konvergente, konstnte Folge von en, welche offensichtlich zu konvergiert. In diesem Beispiel sehen wir, dss diese Folge wirklich us zwei konvergenten Teilfolgen besteht, wobei die eine zu der Zhl und die ndere zu der Zhl konvergiert. Andererseits ht die Folge (n) n N keine konvergente Teilfolge. Alle Teilfolgen divergieren einfch gegen Unendlich. Ds Problem ist, dss sie immer größer werden und lle Schrnken übersteigen. Um dies zu verhindern, hben wir die folgende Definition. Definition. Die Folge ( n ) n N heißt beschränkt, wenn die Menge { n : n N} beschränkt in R ist. (Ebenso sgen wir die Menge ist nch oben oder unten beschränkt, wenn diese Bedingungen für die Menge nwenden.) Es gibt noch eine interessnte Verfeinerung dieser Definition. Definition. Sei ( n ) n N eine Folge. Dnn ist lim sup n = lim sup{ m : m n}, n n 34

sofern dieser Limes existiert. Ebenso gilt lim inf n = lim inf{ m : m n}, n n flls der Limes existiert. Mn redet von Limes Superior und Limes inferior. Stz 2.4 (Bolzno-Weierstrß). Sei ( n ) n Neine beschränkte Folge in R. Dnn existiert eine konvergente Teilfolge, die zu einer Zhl in R konvergiert. Beweis D die Folge beschränkt ist, müssen zwei reelle Zhlen existieren mit x < y, sodss x n y für lle n N gilt. Sei nun z = x+y, lso ist z der Punkt uf der Hälfte 2 der Strecke zwischen x und y. Jetzt splten wir ds ursprüngliche Intervll von x bis y in zwei gleich große Teilintervlle, nämlich ds untere von x bis z und ds obere von z bis y. D unsere Folge unendlich viele Elemente enthält, müssen in einem der beiden Teilintervlle unendlich viele Folgeglieder liegen. Sgen wir es liegen unendlich viele Elemente der Folge im unteren Teilintervll. In diesem Fll setzen wir x = x und y = z. Wenn nur endlich viele Elemente der Folge in dem unteren Teilintervll liegen, so müssen im oberen Teilintervll unendlich viele Elemente liegen, dnn setzen wir x = z und y = y. Dnn teilen wir ds neue Intervll wieder in gleiche Hälften und wählen ds neue Teilintervll von x 2 bis y 2 ls so, dss in diesem wieder unendlich viele Folgeglieder liegen. Durch diese Methode erhlten wir neue Folgen (x n ) n N und (y n ) n N und es gilt x x x 2 x 3 x 4... y 4 y 2 y 2 y y Wir wissen, dss y n x n = y x 2 n ist. Dher nähern sich die beiden Folgen immer mehr neinnder n, je größer ds n wird. Wähle nun (A, B) ls den folgenden Dedekind schen Schnitt der rtionlen Zhlen. B = {q Q : q x n, n}. Wir definieren A = Q\B. Sgen wir, dss R eine reelle Zhl ist, die uns durch den Dedekind schen Schnitt (A, B) gegeben ist. Dnn gibt es eine 35

Teilfolge ( i(n) ) n N mit lim i(n) =. n Definition. Die Folge ( n ) n N wird ls monoton steigend bezeichnet, wenn für lle n gilt n n+. Sie ist monoton fllend, wenn n n+ für lle n gilt. Letztendlich bezeichnet mn eine Folge ls monoton, wenn sie entweder monoton steigend oder monoton fllend ist. Es ist eine einfche Übung zu zeigen, dss der Stz 2.4 die Richtigkeit des folgenden Stzes mit einbezieht. Stz 2.5. Jede beschränkte, monotone Folge in R konvergiert. Drus können wir schlussfolgern, dss Stz 2.6. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Beweis Dies ist ziemlich offensichtlich. Angenommen die Folge ( n ) n N konvergiert zu einem Punkt R. Wähle ε =. Dnn existiert ein N() N mit n < für lle n N(). Wir hben die Zhlen, 2,..., N(). Sei M entweder die Größte dieser Zhlen, oder sonst +, je nchdem ws größer ist. Dnn muss gelten n M für lle n N. Dher ist die Folge von oben durch M und von unten durch M beschränkt. Cuchy-Folgen Definition. Eine Folge ( n ) n N heißt Cuchy-Folge, wenn für lle ε > 0 eine Zhl N(ε) N existiert, sodss n m < ε für lle m, n N(ε). Es ist erneut eine Übung, zu zeigen, dss Stz 2.7. Jede konvergente Folge ist eine Cuchy-Folge. Eine ndere und üblichere Art die reellen Zhlen zu definieren geht über Äquivlenzklssen von Cuchy-Folgen von rtionlen Zhlen. Die Äquivlenzreltion ist die Folgende: Seien ( n ) n N und (b n ) n N zwei Cuchy-Folgen mit n und b n Q für lle n. Dnn werden wir sgen, dss sie zueinnder äquivlent zueinnder sind, genu dnn wenn für lle ε > 0 ein N(ε) N, sodss n b n < ε für lle n N(ε). Die Ttsche, dss dies wirklich eine Äquivlenzklsse bleibt ls Übung überlssen. Dnn ist R definiert ls die Menge von Äquivlenzklssen der Menge der Cuchy-Folgen in Q. Aber nicht lle Cuchy-Folgen konvergieren!! Wenn wir über die Menge der reellen Zhlen sprechen, so konvergieren ntürlich lle Cuchy-Folgen. Wie wir bereicht gesehen hben, ist dies ein 36

einfcher Weg die Menge der reellen Zhlen zu definieren! Aber wenn wir Mengen betrchten, die nicht gnz R sind, dnn stimmt es ntürlich nicht, dss lle Cuchy-Folgen konvergieren. Betrchten wir zum Beispiel die Menge (0, ] = {x R : 0 < x }. Die Folge ( ) n n N ist in dieser Menge eine Cuchy-Folge. Betrchten wir diese in R, so konvergiert sie zu der Zhl 0. In (0, ] jedoch konvergiert sie nicht gegen 0, d die 0 kein Element der Menge (0, ] ist. Ebenso wenn wir die rtionlen Zhlen Q betrchten, so gibt es viele Cuchy- Folgen, die zu einer irrtionlen Zhl konvergieren, wenn wir sie in R betrchten. Jedoch gehören die irrtionlen Zhlen nicht zu Q und somit konvergieren solche Folgen uch nicht in Q. Andererseits konvergieren lle Cuchy-Folgen in R. Beginnen wir mit einem einfchen Beispiel um zu zeigen, dss lle Cuchy- Folgen beschränkt sind. Dher existiert lim n N sup n. Sei B die Menge ller rtionlen Zhlen größer oder gliech dem lim n N sup n und sei A = Q\B. Dnn ist ds Pr (A, B) ein Dedekind scher Schnitt von Q, der eine reelle Zhl R repräsentiert und wir können schlussfolgern, dss die Cuchy- Folge ( n ) n N gegen diese Zhl konvergiert. Um dies zu zeigen, sei ε > 0 vorgegeben. Ds Problem ist nun zu zeigen, dss ein N(ε) N existiert, sodss n < ε für lle n N(ε). Zu Anfng wählen wir uns eine rtionle Zhl q B mit q < ε. Dnn 6 muss eine ndere Zhl p B existieren mit p > und p q < ε. 3 Wenn wir uns die Definition des lim n N sup n nschuen, sehen wir, dss ein N N existiert, sodss n < p für lle n N. D die Folge ( n ) n N eine Cuchy-Folge ist, existiert eine weitere Zhl N 2 N sodss für lle n, m N 2 gilt n m < ε. Betrchten wir weiterhin die 3 Definition von lim n N sup n, dnn sehen wir, dss eine beliebig große Zhlen m mit m < q existieren. Wählen wir N(ε) = mx{n, N 2 } und wählen wir weiter m N mit q < m, so hben wir für lle n N(ε) n = ( q) + (q m ) + ( m n ) q + q m + m n < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Drus ergibt sich der folgende Stz Stz 2.8 Alle Cuchy-Folgen konvergieren in R. 37

Summen, Produkte und Quotienten von konvergenten Folgen Seien ( n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen in R mit lim n = und lim b n = b. n n Dnn konvergiert die Folge ( n + b n ) n N ebenso und es gilt lim ( n + b n ) = + b. n Dzu sei ε > 0 gegeben und sei N (ε), N b (ε) N mit n < ε und 2 b b m < ε für lle n N 2 (ε) und m N b (ε). Wählen wir dnn N(ε) = mx{n (ε), N b (ε)}, lso die größere der beiden Zhlen. Für jedes k N(ε) gilt dnn ( + b) ( k + b k ) = ( k ) + (b b k ) ( k ) + (b b k ) < ε 2 + ε 2 = ε Wir benutzen hier die Dreiecksungleichung für die Betrgsfunktion. Offensichtlich konvergiert die Differenz der beiden Folgen zu der Differenz der Grenzwerte. Für die Multipliktion wählen wir erneut die konvergenten Folgen ( n ) n N und (b n ) n N wie vorher. Es gilt lso lim n n = und lim n b n = b. Sei nun M > 0 sodss und n < M für lle n N. Ebenso sei M b > 0 so, dss b und b m M b für lle m N. (Diese Zhlen müssen existieren, d konvergente Folgen beschränkt sind.) Sei nun ε > 0 gegeben und wir wählen N (ε), sodss für lle n N (ε) gilt n < ε 2M b. Wir wählen weiter N b (ε) so, dss für lle m N b (ε) b b m < ε 2M. 38

Dnn wählen wir N(ε) = mx{n (ε), N b (ε)}. So gilt wieder für jedes k N(ε) b k b k = b b k + b k k b k b b k + b k k b k = b b k + b k k ε ε < + b k 2M 2M b ε 2 + ε 2 = ε. Nehmen wir nun n, dss ( n ) n N eine konvergente( Folge die zu konvergiert, welches nicht Null ist. Dnn konvergiert die Folge (es knn sein, dss n )n N endlich viele Elemente der Folge Null sein können, dher betrchten wir diese Nullelemente nicht) zu. Um dies zu sehen, sei M > 0 eine untere Schrnke der Folge der Beträge ( n ) n N, welche gegen den Wert konvergiert. Sei ε > 0 gegeben, dnn wählen wir uns ein N(ε) N so groß, dss für lle n N(ε) gilt, dss n < ε M 2. Dnn gilt n = n n = n n < εm 2 n ε. Wenn wir dnn eine konvergente Folge durch eine konvergente Folge dividieren, die nicht zu Null konvergiert, so wählen wir ds Inverse der Folge und multiplizieren dnn dmit. Drus ergibt sich Stz 2.9 Konvergente Folgen können ddiert, subtrhiert, multipliziert und dividiert werden (solnge sie nicht zu Null konvergieren) um neue konvergente Folgen zu erhlten, welche zu der Summe, der Differenz, dem Produkt oder dem Koeffizienten der Grenzwerte der gegebenen Folgen konvergieren. 39