Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Kreis Länge eines Kreisbogens b 360 r r r b Fläche eines Kreissektors 360 r r r Bogenmß Bogenmß des Winkels : Umrechnungsformel: b α Bogenmß r α Bogenmß π α 360 Grdmß Kugel Volumen V K 4 3 r3 Oberflächeninhlt O K 4 r Seite 1 von 1
Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Trigonometrie Sinus und Kosinus m Einheitskreis Der Kosinus eines Winkels ist die -Koordinte des zugehörigen Punktes P uf dem Einheitskreis. Der Sinus eines Winkels ist die y-koordinte des zugehörigen Punktes P uf dem Einheitskreis. -1 P(cos /sin ) 1-1 y 1 Vorzeichen in den Qudrnten I-IV: - + + + - + - - cossin Für negtive Winkel, d.h. für Winkel im Uhrzeigersinn gilt cos( ) cos() sin( ) sin() Beispiele: cos( 5 ) cos(5 ) 1 sin( 3 ) sin( 3 ) 1 3 Sinus- und Kosinusfunktion cos() sin() f() = sin() ID = IR W = [-1;1], Periodenlänge π punktsymmetrisch zu O(0/0) f() = cos() ID = IR W = [-1;1], Periodenlänge π chsensymmetrisch zur y- chse Seite von 1
Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Trigonometrie m llgemeinen Dreieck Sinusstz In jedem Dreieck verhlten sich die Längen zweier Seiten wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel. Für ein Dreieck BC ergibt sich demnch: b sin sin b c sin sin c sin sin Bechte: - nwendbr bei SWW (bzw. WSW) oder SsW - Liefert einen gesuchten Winkel nie eindeutig! Z.B. Winkelsumme im Dreieck zusätzlich nötig. Kosinusstz Die Summe der Qudrte der n einem Winkel nliegenden Seiten bzüglich dem doppelten Produkt dieser Seitenlängen und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels ergibt ds Qudrt der diesem Winkel gegenüberliegenden Seite. Für ein Dreieck BC ergibt sich demnch: Bechte: b c bc cos b c c cos c b b cos - nwendbr bei SSS oder SWS - Liefert einen gesuchten Winkel immer eindeutig! Seite 3 von 1
Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Eponentilfunktion und Logrithmus Eponentielles Wchstum In gleichen (Zeit-)schritten erhöht/ verringert sich der Bestnd um den gleichen konstnten Wchstumsfktor. f(t 1) f(t) > 1 : Eponentielles Wchstum 0 < < 1 : Eponentielle bnhme =1,5 f(0)=10 Eponentilfunktion f() f(0) ID=IR : Wchstumsfktor ( > 1; 0) f(0): nfngswert Logrithmus Der Logrithmus ist die Lösung der Eponentilgleichung b ( > 0, 1, b > 0) Mit Worten: Schreibweise: Der Logrithmus von zur Bsis b ist diejenige Hochzhl, mit der mn potenzieren muss, um b zu erhlten. log b Wichtige Zusmmenhänge: log 1 0 log 1 log log Seite 4 von 1
Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Rechnen mit Logrithmen Flls u > 0, v > 0, > 0, 1, b > 0, b 1 gelten folgende Regeln: log (u v) log (u) log (v) log (u : v) log (u) log (v) log (u ) log (u) logb log log b Schreibweise für den Zehnerlogrithmus: log 10 (u) lg(u) Eponentilgleichungen Zur Lösung bietet sich oft einer der beiden folgenden Wege n: Lösung durch Logrithmieren uf beiden Seiten mit einem Logrithmus beliebiger Bsis Bsp. mit Zehnerlogrithmus: 5 9 lg(5 9 lg(5) lg(9 lg(5) lg(9 7 ) lg(7 ) ) lg(7) lg( ) lg(7) lg( lg(5) lg(9) lg(7) lg() lg(9) lg() lg(7) lg(5) ( lg(3 ) lg()) lg(7) lg(5) Lösung durch Substitution lg(7) lg(5) 0,066 4 lg(3) lg() ) ) Bsp.: 16 8 6 4 (4 ) 6 4 Substitution (Ersetzung): 8 0 u 4 Einsetzen in (*): 6u 8 0 u (*) Seite 5 von 1
Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Lösen der qudrtischen Gleichung führt uf: u 1 = 4 u = Resubstitution: 4 4 1 1 4 log4 0,5 ; Gnzrtionle Funktionen Potenzfunktionen mit ntürlichen Eponenten f() n mit ID f IR und n IN heißen Potenz- Die Funktionen funktionen mit ntürlichem Eponent. n gerde n ungerde chsensymmetrisch zur y-chse punktsymmetrisch zum Ursprung lle Funktionsgrphen lle Funktionsgrphen gehen durch die Punkte gehen durch die Punkte (-1 1), (0 0), (1 1) (-1-1), (0 0), (1 1) Seite 6 von 1
Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Eigenschften gnzrtionler Funktionen Die Funktionen f() n n n 1 n 1 n n... 1 0 n, n 1, n,..., 1, 0 IR und n 0 ID f IR heißen gnzrtionle Funktionen. mit den Koeffizienten sowie Grd der gnzrtionlen Funktion Der höchste Eponent heißt Grd der gnzrtionlen Funktion. Bsp: f() 3 3 6 1 Grd: 3 Chrkteristischer Verluf Der chrkteristische Verluf ist ds Verhlten einer gnzrtionlen Funktion für betrgsmäßig sehr große -Werte. Er wird durch den Summnden mit dem höchsten vorkommenden Eponenten durch Vergleich mit der zugehörigen Potenzfunktion bestimmt. Bsp: f() 3 3 6 1 Potenzfunktion: g() 3 3 Chrkteristischer Verluf: von links oben nch rechts unten Nullstellen - Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht höchstens n Nullstellen - Ist eine Nullstelle = der gnzrtionlen Funktion f() vom Grd n beknnt, so knn mn schreiben: wobei g() eine gnzrtionle Funktion vom Grd n-1 ist. f() ( ) g(), - Die Funktion g() knn mn durch Polynomdivision erhlten: Bsp: = -1 ist eine Nullstelle der Funktion f() 3 3 6 1 Seite 7 von 1
Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Polynomdivision: - 3 3 : ( 3 3 6 1) : ( 1) 3 5 1 ( 3 3 3 ) - 5 6 5 5 1-0 1 ( 1) ( 3 ) 5 : - Ist eine Nullstelle n ml vertreten, so spricht mn von einer n-fchen Nullstelle. In einer Umgebung einer n-fchen Nullstelle ähnelt eine gnzrtionle Funktion f() einer Potenzfunktion mit Eponent n. Bsp.: f() 3 besitzt eine doppelte Nullstelle bei = 1. 1 ( 1) ( 1) In einer Umgebung von = 1 ähnelt der Grph einer Prbel. Fktorisierte Form usw. Wenn mn lle Nullstellen einer Funktion einschließlich ihrer Vielfchheiten kennt, so knn mn den Funktionsterm in fktorisierter Form ngeben. Der Koeffizient n muss llerdings ls Vorfktor mit berücksichtigt werden. f() 0,1 4 0,3 3 0,3 1,1 0,6 Nullstellen: 1 = - (einfch), = 3 (einfch) 3 = 1 (doppelt) Fktorisierte Form: f() 0,1 ( ) ( -1) ( 3) Seite 8 von 1
Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Symmetrie von Funktionsgrphen chsensymmetrie zur y-chse f(-) = f() Punktsymmetrie zum Koordintenursprung f(-) = -f() ist chsen- Der Grph der Funktion symmetrisch zur y-chse. Nchweis: f(-) ( ) f() f() Spezilfll: Gnzrtionle Funktionen sind genu dnn chsensymmetrisch zur y-chse, wenn lle Eponenten gerde sind. Gnzrtionle Funktionen sind genu dnn punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn lle Eponenten ungerde sind. Grenzwerte im Unendlichen Diejenige Zhl, welcher eine Funktion für beliebig große -Werte beliebig nhe kommt, nennt mn den Grenzwert der Funktion f für gegen plus unendlich. Schreibweise: lim f() lim steht für Limes (lt. Grenze) 1 lim d.h heißt, die Funktion divergiert 1 lim 0 Seite 9 von 1
Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Linere Trnsformtionen von Funktionen Gegeben: Funktion f() Streckung prllel zur -chse mit dem Grph G f. f() = sin() g() f(b ) Neuer Funktionsterm: (b>1: Stuchung b<1: Streckung) f()=sin() g()=sin(0,5 ) Bechte: Der Streckfktor beträgt Spezilfll: b = -1: Spiegelung n der y-chse Streckung prllel zur y-chse Neuer Funktionsterm: h() f(b ) (>1: Streckung <1: Stuchung) b 1. g()=sin(0,5 ) h()=1,5 sin(0,5 ) Bechte: Der Streckfktor beträgt. Spezilfll: = -1: Spiegelung n der -chse Seite 10 von 1
Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Verschiebung prllel zur -chse Neuer Funktionsterm: i() f(b ( - c)) c>0: Verschiebung um c nch rechts c<0: Verschiebung um c nch links h()=1,5 sin(0,5 ) i()=1,5 sin(0,5 (-π/)) Verschiebung prllel zur y-chse Neuer Funktionsterm: j() f(b ( - c)) d d>0: Verschiebung um d nch oben d<0: Verschiebung um d nch unten f()=sin() i()=1,5 sin(0,5 (-π/)) j()=1,5 sin(0,5 (-π/))-1 Seite 11 von 1
Grundwissen Mthemtik 10. Klsse Vierfeldertfel Stochstik und B bezeichnen zwei Ereignisse, und B die jeweiligen Gegenereignisse. B B P( B) P( B) P() P( B) P( B) P() P( B ) P(B) P( ) B ist die Schnittmenge von und B: sprich und B B B B ist die Vereinigungsmenge von und B: sprich oder B Merke: P( B) P( B) P( B) P( B) Bumdigrmm und Bedingte Whrscheinlichkeit Strt Bedingte Whrscheinlichkeit P() P() (B) P P( B) P() P (B) P (B ) P (B) P (B ) B B B B P( B) P( B) P( B) P( B) Bechte: Bedingte Whrscheinlichkeiten stehen nicht in der Vierfeldertfel! Seite 1 von 1