Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird, knn mn zur Vereinchung olgendermÿen vorgehen: Mn unterteilt die Fläche in Rechtecke jeweils gleicher Breite und ddiert deren Fläche. Abb. 1: Rechtecke zur Flächenberechnung b Dies ist zwr nur eine Näherung des Fächeninhlts, bei Unterteilung in sehr viele, sehr schmle Rechtecke wird diese Näherung jedoch sehr genu. Die Fläche A des Flächenstücks berechnet sich dnn, indem mn die Fläche der Rechtecke ddiert. Die Fläche eines Rechtecks ist ds Produkt us der Breite und der Höhe des Rechtecks. Die Breite ller Rechtecke ist, wie oben bereits ngegeben, gleich und wird mit bezeichnet. Die Höhe h des Rechtecks, ds bei der Stelle beginnt, ist genu der Funktionswert von n der Stelle : h (). Die Fläche A 1 des ersten Rechtecks, ds bei beginnt, ist demnch A 1 (). Die Fläche A des zweiten Rechtecks, ds n ds erste nschlieÿt und dher bei + beginnt, ist A ( + ), usw. Die n Rechtecke werden nun bis zum letzten Dreieck A n (dessen rechter Rnd bei b ist) uddiert, um die Gesmtäche S n zu berechnen: S n A 1 + A +... + A n Wir berechnen den Flächeninhlt zwischen einem Funktionsgrphen und der -Achse m Beispiel der Funktion ().
Übungsmteril b Abb. : Rechtecke zur Flächenberechnung m Bsp. der Funktion () S n A 1 + A + A 3 +... + A n () + ( + ) + ( + ) +... + ( + (n 1) ) + ( + ) + ( + ) +... + ( + (n 1) )] n + (1 + +... + (n 1))] ] n n + i n + i1 n(n + 1) ] D lle Rechtecke gleich breit sind, ist b n, lso S n b ] n n (b )(n + 1) + n (b ) + b (1 + 1 ] n ) Wenn nun der Flächeninhlt unter der Kurve möglichst gut durch Rechtecke ngenähert werden soll, müssen es sehr viele Rechtecke sein, m Besten unendlich viele. Die Zhl n muss lso unendlich groÿ werden. Wir verwenden dür den Limes.
Übungsmteril 3 lim S n lim n n (b ) (b ) (b ) (b )(b + ) + b (1 + 1 ] n ) + b ] (1 + ) + b ] (b ) + b 1 (b ) Wir erhlten lso ür die von und b zu beiden Seiten begrenzte Fläche unter dem Funktionsgrphen der Funktion () den Flächeninhlt 1 (b ). Wir vergleichen mit dem bestimmten Integrl b d ] 1 b 1 (b ) und erkennen: Dies entspricht genu dem berechneten Flächeninhlt! Zusmmenssung Mit Hile der Rechtecksmethode (uch: Streienmethode) und dem Übergng zu beliebig schmlen Rechtecken (lim n ) ergibt sich der Flächeninhlt unter den Kurven. Denselben Flächeninhlt erhält mn, wenn mn ds bestimmte Integrl der Funktion berechnet. Anscheinend knn lso ein bestimmtes Integrl zur Flächenberechnung benutzt werden! Im Folgenden wollen wir noch zeigen, dss die Flächenunktion A (), die den Flächeninhlt unter einer beliebigen Kurve zwischen den Grenzen und beschreibt, in der Tt eine Stmmunktion von ist. Betrchte hierzu Abbildung 3. A () h + h Abb. 3: Flächenunktion A ()
Übungsmteril 4 Die Fläche A, um den die Fläche unter der Kurve bei Verschiebung der rechten Grenze von u + h nwächst, ist A A ( + h) A (). Die neu hinzugekommene Fläche liegt betrgsmäÿig zwischen den Flächen der beiden Rechtecke: h ( + h) h A (). Also ist h ( + h) A ( + h) A () h () Division von h u beiden Seiten lieert ( + h) A ( + h) A () h () Lässt mn nun h gegen gehen, erhält mn A ( + h) A () lim () h h Au der linken Seite steht nun ber genu die Ableitung von A ()! Also olgt A () () und dmit ist die Flächenunktion ttsächlich eine Stmmunktion von ().. Beispiele zur Berechnung von Flächeninhlten mithile des bestimmten Integrls Beispiel 1 Gegeben sei die Funktion (). Gesucht ist der Flächeninhlt, den der Grph von mit der -Achse einschlieÿt. Hierzu berechnen wir die Nullstellen von mithile der qudrtischen Lösungsormel (Mitternchtormel). () 1, 1 ± 1 + 8 1 ± 3 1 1, Der Flächeninhlt berechnet sich zu 1 d 1 1 ] 1 3 3 1 1 ( 3 4 + 8 ) 4, 5 3 Beispiel Gegeben sei die Funktion () + sin. Gesucht ist der Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen, der -Achse und der senkrechten Gerde 4π. D (), berechnet mn den Flächeninhlt wie olgt: 4π ] 1 4π + sin d cos 1 16π cos(4π) 8π 1 + 1 8π 78, 96 ( ) 1 cos
Übungsmteril 5.3 Berechnung der Fläche zwischen zwei Kurven Bei vielen Augben ist nicht der Flächeninhlt zwischen einer Kurve und der -Achse zu berechnen, sondern der Flächeninhlt zwischen zwei Kurven. Abbildung 4 zeigt ein Beispiel hierür. g 1 Abb. 4: Die Funktionen und g schlieÿen eine Fläche ein In diesem Fll geht mn wie olgt vor: Mn berechnet durch Gleichsetzen die -Koordinten der n Punkte, in denen sich die Funktionen und g schneiden (dies können zwei, ber uch mehr Punkte sein) und nschlieÿend ds Integrl 3 () g() d + n () g() d +... + () g() d. 1 Ohne Betrgsbildung können sich bei einem oder mehreren Integrlen uch negtive Werte ls Ergebnis ergeben, wenn in einem Intervll ] i ; i+1 die Funktion g über der Funktion liegt (siehe uch Abbildung 4). Dher ist die Betrgsbildung nötig (ein Flächeninhlt ist immer eine positive Zhl). n 1 Beispiel Gegeben seien die Funktionen () 1 4 3 + 5 und g() 1 ( + 1). Zunächst die Berechnung der Schnittpunkte: () g() 1 4 3 + 5 1 ( + 1) 1 4 3 1 1 1 4 1 8 4, 3 Mn erhält lso drei Schnittpunkte. Nun die Berechnung des Integrls:
Übungsmteril 6 4 () g() d + () g() d 1 4 3 1 4 d + 1 4 3 1 d 1 16 4 1 ] 6 3 + 1 16 4 1 6 3 (1 + 8 6 4) + 64 16 6 16 5 3 + 64 6 1 6 + 64 6 74 6 11 3 ] 4.4 Volumenberechnung* Wie mn den Fächeninhlt unter einer Kurve berechnet, ist uns nun beknnt. Wenn ds eingeschlossene Flächenstück nun um eine Achse (z.b. um die -Achse) rotiert, entsteht drunter ein Volumen. Dieses lässt sich ebenlls mit den bereits beknnten Mitteln errechnen. Sei eine Funktion zwischen und b, deren Grph um die -Achse rotiert. Es gilt olgende Formel ür ds zwischen und b eingeschlossene Volumen V ( < b): V b () d π b ()] d Beispiel Abbildung 5 zeigt die Funktion () 4 5. Abb. 5: Die Funktion () h 4 5 Wenn die eingeschlossene Fläche um die -Achse rotiert, erhlten wir ein Volumen in Form eines
Übungsmteril 7 Sektglses. Wie hoch steht die Sektmenge, wenn,1 l Sekt engeschenkt wird? V π h ] 4 h ] 5 4 4 h d π 5 d π 5 π 5 h, 1l ˆ, 1dm 3 1cm 3 π 5 5 h 1cm 3 h cm 8, 9cm π Der Sekt reicht bis zur Höhe von 8,9cm..5 Augbe 1) Wie groÿ ist die Fläche zwischen dem Grph der Funktion () 3, der -Achse und den beiden senkrechten Gerden und? ) Wie groÿ ist die Fläche, die die Funktionen () sin und g() cos im Bereich ; π] einschlieÿen? 3) Berechne die Fläche zwischen dem Funktionsgrph zu () + 4 + 6 und der Sehne durch die Punkte A(-/?) und B(4/?). Lösung 1) () 3, und A 3 d 3] 8 8 ) () sin, g() cos, ; π] Berechnung der Schnittpunkte: sin cos 1 π 4, 5π 4 π/4 5π/4 π A (sin cos) d + (sin cos) d π/4 + (sin cos) d 5π/4 (cos + sin] π/4 + (cos + sin] 5π/4 π/4 + (cos + sin] π 5π/4 + 1 + + + 1 + ( ) 4 3) () + 4 + 6, A(-/?), B(4/?) () 6 A(-/-6); (4) 6 B(4/6)
Übungsmteril 8 Berechne die Funktionsgleichung der Sehne s durch A und B: s : m + t, m A B A B 6 6 4 1 6 + t, t A A 6 () s() Die Schnittpunkte der Funktion und der Sehne s sind die Punkte A und B. Die Integrtionsgrenzen sind lso - und 4. A 4 4 () s() d + + 8 d 4 + 4 + 6 + d 1 3 3 + + 8 1 3 64 + 16 + 3 ( 1 3 8 + 4 16) 11 3 + 48 + 3 + 1 ] 4 41 1 3