Mthemtik I für E-Techniker C. Erdmnn WS /, Univerität Rotock,. Vorleungwoche Zutzmteril zur Mthemtik I für E-Techniker Übung Uneigentliche Integrle Die Funktion f ei für x definiert und in jedem Intervll [, u] Riemnn-integrierbr. Wenn u lim u fx dx exitiert und endlich it, o heißt der Grenzwert d uneigentliche Riemnn-Integrl und wird mit fx dx bezeichnet. Für den Fll, d f :, b] R in nicht definiert it, ber dennoch it, prechen wir uch hier vom uneigentlichen Riemnn-Integrl. Bogenlänge und Rottionkörper lim ft dt exitiert und endlich It f eine uf [, b] tetig differenzierbre Funktion, o gilt für die Länge der durch f gegebenen Kurve zwichen den Punkten, f und b, fb : + f x dx. It die Kurve C in der Ebene bzw. im Rum in Prmeterform mit tetig differenzierbren Funktionen x φt und y ψt und z χt, t t t, gegeben, o gilt für die Länge von C : t t φt + ψt dt bzw. φt + ψt + χt dt t t Sei f in [, b] und ei K der Körper, der durch Rottion der durch f gegebenen Kurve zwichen den Punkten, f und b, fb entteht, lo K { x, y, z : x b, y + z f x }. Dnn gilt für d Volumen von K : V K f x dx Für die Oberfläche von K ohne Kreicheiben n den Seiten gilt: numeriche Integrtion OK fx + f x dx. Rechteckformel: Trpezformel: Simponregel: wobei jeweil fx dx b 6m fx dx b n fx dx b n y + y +... + yn. y + y +... + yn + yn. y + 4y + y + 4y3 +... + ym + 4ym + ym y j fx j, x j + j h + j b n.
Flächenberechnung Sei fx gx in einem Intervll [, b], o gilt für die Fläche F zwichen dieen beiden Funktionen F fx gx dx. It die zu berechnende Fläche hingegen nur in Prmeterchreibweie x ϕt und y ψt gegeben, o gilt für die Fläche einchließlich de Kegeltück bi hin zum Urprung β F ϕtψ t ϕ tψt dt. α................................................................................................................... Aufgbe.. Überprüfen Sie die Exitenz der uneigentlichen Integrle gegebenenfll ihren Wert. 9 x dx, b 3 x dx und betimmen Sie Löung zu Aufgbe.. 9 Wegen x dx x x9 x 3 für, 3 folgt b Wegen 3 x dx x x3 x 9 x dx lim 9 x dx lim 3 6. 3 exitiert d uneigentliche Riemnn-Integrl 3 x dx nicht. Aufgbe.. Mn berechne die folgenden uneigentlichen Integrle! x dx b dx c x 3 x e x dx d x + dx, Löung zu Aufgbe.. b c d dx lim x 3 x dx y x ] y dy [y y y ] x 3 dx lim [ x x lim + x x e [ ] x dx lim x e x dx lim e x x lim e + e e x dx lim x + dx lim x + ] x x [rctn lim x rctn Aufgbe.3. Ein tromlinienförmiger Auftriebkörper wird durch Rottion eine Grphen der Funktionenchr um die x -Ache bechrieben. f k x x 4k k x mit x R, x k, k R +
Für welchen Wert von k beträgt d Volumen de Rottionkörper 64 9 Volumeneinheiten. b Berechnen Sie den mximlen Durchmeer de Rottionkörper in Abhängigkeit von k. c Bei Annäherung n x läuft der Rottionkorper pitz zu. Berechnen Sie die Größe de Winkel, den die Tngente n den Grphen von f k mit der x -Ache für x bildet. d Bei Rottion um die x -Ache und bei homogener Menverteilung liegt der Schwerpunkt de Rottionkörper u Symmetriegründen uf der x -Ache. Für eine Abzie x gilt x x[f kx] dx. V Dbei it V d Volumen de Rottionkörper. Berechnen Sie x für den Auftriebkörper. e In den Rottionkörper, der von f k für k 3 erzeugt wurde, oll ein Zylinder mit dem Rdiu.5 und der Höhe 6 untergebrcht werden. Prüfen Sie, ob dieer Zylinder in den Rottionkörper hineinpt. Begründen Sie Ihre Entcheidung. Löung zu Aufgbe.3. Zuert betimmen wir die Schnittpunkte mit der x -Ache, dmit wir die Integrtiongrenzen erhlten, dzu etzen wir f k x, lo f k x x 4k k x Somit erhlten wir l Nulltellen x und x k. x 6k k x x k x. Nun berechnen wir d Volumen, d bei Rottion von f k um die x -Ache entteht. Diee it ntürlich von k bhängig. Alo V x k 6k 6k f k xdx x 6k k xdx k 6k 9 k6. k x x 3 dx 3 k x 3 k 4 x4 3 k k 6 4 k 4 Nch Aufgbentellung gilt, d V x 64, lo erhlten wir die Gleichung 9 und omit die Löung k. V x 64 9 9 k6 b Wir berechnen d lokle Mximum zwichen und k. Alo bilden wir die erte Ableitung und etzen diee gleich Null. f kx k x x 4k 8k k x Dher beträgt der mximle Durchmeer d mx d mx f k 3 k k x x x 3 k. 3 k 3. 3
c Offenichtlich it lim f kx k x x lim x x 4k 8k k x 4 und omit it der Winkel durch rctn 4 gegeben. d D Volumen htten wir bereit berechnet, nämlich V x 9 k6, omit gilt x k xf k x dx k 8 k 8 k 8 3 5 k. 9 k6 k k x 4 k x 3 x 4 dx x5 4 5 k k 4 4 k k 5 5 e Wir etzen f 3x und erhlten x 9 x x 44 9 x 4 x 9 x 36 x 3 + 9x 36. Durch Probieren erhlten wir näherungweie die Nulltellen x.3 und x 8.5, omit pt der Zylinder offenichtlich rein, d x x > 6. Aufgbe.4. Mn unteruche die folgenden Reihen uf Konvergenz! n n lnn b n ne n Löung zu Aufgbe.4. Wir benutzen d Integrlvergleichkriterium und betrchten ttt der Reihe d folgende Integrl Somit divergiert uch die Reihe ylnx dx x lnx n b Wir benutzen d Quotientenkriterium Somit konvergiert uch die Reihe n+ n n lnn. ln n + e n n e < n + n+ n ne n n bolut. dy [lny]y yln y. e n e < Aufgbe.5. Mn berechne d Volumen de Rottionkörper, der durch Drehung der Kurve y 4 x x -Ache entteht. für x um die 4
Löung zu Aufgbe.5. Wir benutzen die Formel zur Volumenberechnung für Rottionkörper der durch f gegebenen Kurve, lo Nun etzen wir einfch ein und erhlten V K f x dx. V K 4 x dx x 4 8x + 6 dx [ 5 x5 8 ] x 3 x3 + 6x x [ 3 5 64 ] 3 + 3 5 5. Aufgbe.6. Gegeben ei die Kettenlinie y e x + e x Kurventücke! über dem Intervll x. Mn betimme die Bogenlänge diee Löung zu Aufgbe.6. Die Bogenlänge it wegen + inh x coh x gegeben durch + x e e x x x [ x ] x dx + inh dx coh dx inh inh. x Aufgbe.7. Mn betimme die Länge eine Bogen der Kreievolvente x cot + t int y int t cot, t [, ]. Löung zu Aufgbe.7. Die Ableitung der Funktion ft cot + t int, int t cot it durch f t t cot, t int gegeben. Weiterhin it f t t omit it f t dt t dt. Aufgbe.8. Berechnen Sie die Oberfläche ohne die beiden Kreicheiben m Rnd de Rottionkörper, der durch Drehung der Kurve y e x, x ln, um die x -Ache entteht. Hinwei: E gilt + t dt t + t + ln t + + t 5
Löung zu Aufgbe.8. OK ln e x + e x dx yex + y dy rcinh rcinh rcinh rcinh rcinh rcinh rcinh rcinh + inh t coht dt coh t dt e t + e t dt e t + + e t dt [ et + t e t ] trcinh trcinh oder lterntiv mittel Hinwei OK ln e x + e x dx yex + y dy [ y + y + lny + ] y + y y 5 + ln + 5 ln +. Aufgbe.9. Mn berechne dx + x 4.785398 näherungweie mit der Rechteck-, Trpez- und Simponregel, wobei die Teilungpunkte,,, 3, zu benutzen 4 4 ind. Löung zu Aufgbe.9. Rechteckformel: + x dx 4 + y +... + yn + 6 + 4 7 + 4 5 + 6 3979 5 34.8459476. b Trpezformel: c Simponregel: + x dx + 3 8 7 + 8 5 + 3 5 + 533 68.7879476. + x dx + 64 7 + 8 5 + 64 5 + 8.78539569. Aufgbe.. Mn betimme die Fläche der durch die Krdiode r + co ϕ, ϕ begrenzten Figur mit Hilfe der Sektorformel. Löung zu Aufgbe.. Um die Sektorformel F β α ϕtψ t ϕ tψt dt 6
nwenden zu können, benötigen wir zuert eine Drtellung x φϕ und y ψϕ. Wegen x r coϕ, y r inϕ folgt bezüglich x und dher d dx xϕ r ϕ coϕ r inϕ dϕ d dx yϕ r ϕ inϕ + r coϕ dϕ y dx x dy [ r inϕ r ϕ coϕ r inϕ r coϕ r ϕ inϕ + r coϕ ] dϕ Somit gilt für die Krdiode r dϕ F r dϕ + coϕ dϕ + coϕ + co ϕ dϕ 3 + coϕ + coϕ dϕ [ 3 ϕ + inϕ + 4 inϕ ] 3. 7