8. Funktionen mehrerer Veränderlicher

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1 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS Fuktoe mehee Veädelche Das Zel des Reches st Escht, cht Zahle. [Rchad Hammg, ] 8.. Woum geht es? Bshe hatte w be de Dffeetato u Fuktoe ee Veädelche betachtet. Be de meste Pobleme de eale Welt tete abe mehee Veädelche auf: Ee Fläche de Computegafk ka duch z f(,) beschebe wede De Gew ees Uteehmes st ee Fukto de Umsätze alle see Podukte ud m Kostestelle: G G(u,u,...,u, k,,k m ) De Duck p st ee Fukto vo Tempeatu T ud Volume V: p p(t, V) RT V. W wede us desem Kaptel mt de Defto ud de Dffeetato solche Fuktoe beschäftge. Damt köe w da folgede Pobleme ud Aweduge löse: We stellt ma Fuktoe mehee Veädelche da? Optmeug: We fdet ma Etemwete? Awedugsfall: We fdet ma de Regessosgeade a+b fü ee Mege vo Pukte (, )? We dffeezet ma ee Fukto mehee Veädelche (patelle Dffeetato ud totales Dffeetal)? Optmeug mt Nebebedguge: De Methode de Lagage-Multplkatoe. Da ma be de meste Realwelt-Optmeugsaufgabe a mehee (vele) "Stellschaube" dehe ka, sd solche Pobleme vo goße paktsche Bedeutug. 8.. Defto ee Fukto mehee Veädelche W hatte beets Abschtt 7.5 de Multplkato ees Vektos mt ee Mat als spezelle, ämlch leae, Abbldug ees Vektos auf ee Vekto keegelet. W wolle m folgede belebge Abblduge vo Vektoe auf Zahle defee ud he Egeschafte utesuche. Solche Fagestelluge komme de Pas häufg vo. Z.B. egbt sch de Gesamtwdestad ees Netzes ohmsche Wdestäde als (cht ubedgt leae) Fukto alle m Netz auftetede Wdestäde. Des wd scho a folgedem seh efache Bespel kla: R R R 3 Bekatlch glt fü de Gesamtwdestad ee Paallelschaltug: R ges R + R + R 3 W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 4

2 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. De Gesamtwdestad st also ee Fukto alle Ezelwdestäde ode ades gespoche, ee Fukto des Vektos de Ezelwdestäde, d.h.: R ges f ( R,R,R ) f() 3 R mt R R Jede kokete Auspägug de 3 Ezelwdestäde bldet also ee Vekto m 3- dmesoale Raum. De Koodate dese Wdestadsvektoe sd dabe kee Läge, we m Otsaum, sode ebe Wdestäde. Asoste vehalte sch dese Wdestadsvektoe mathematsch geau we Otsvektoe. Da Wdestadsetze aus belebg vele Kompoete bestehe köe, st kla, dass solche Fälle Vektoe mt belebg vele Kompoete auftete köe. E adees Bespel st de Gew ees Uteehmes, de vom Umsatz sämtlche Podukte, de das Uteehme vemaktet, abhägg st. De Umsatzzahle alle Podukte des letzte Moats blde dabe ee Vekto m -dmesoale katessche Raum, desse - te Achse fü de moatlche Umsatz des -te Poduktes steht. 3 Es macht also mathematsch duchaus S, sch mt Vektoe mt belebg vele Kompoete zu beschäftge, auch we usee Aschauug auf 3-dmesoale Räume beschäkt st. W defee de -dmesoale Raum R we Mathe (Kap. 7.4 Vektoe ): Def D 8- -dmesoale Raum Jedes Elemet de Mege R wd als Pukt ees dmesoale Vektoaumes R bezechet. I de Regel wd e solche Pukt duch de Vekto bezechet. Def D 8- eellwetge Fukto mehee Veädelche Ee eellwetge Fukto f odet jedem Pukt,.., (bzw. Vekto M R ) aus ee zusammehägede Telmege D des R edeutg ee eelle Wet zu, ud ma schebt: f : D R R mt f(,,..., ) Bespel: De Tempeatu auf de Ede st ee Fukto de Läge- ud Betekoodate sowe de Höhe übe dem Edbode. ANMERKUNG: W beschäftge us he also mt eellwetge Fuktoe Kaptel 8.6 wede w och kuz auf vektowetge Fuktoe f :R de ee -dm. Vekto auf ee m-dm. Vekto abblde. Bespele: R f : R m R egehe,. I W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 5

3 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. omale Fukto eellwetge Fukto vektowetge Fukto f : R R f : R R f : R R Kuve (Hpe-) Fläche Pfele (Wdkate) 8.3. Dastellug ee Fukto mehee Veädelche [Papula, Bd., S. 7-86] Deses aschaulche Kaptel wd m. Maple-Paktkumsblock (V Th. Batz-Beelste) geaue behadelt, da sch he mt Maple veles aschaulch dastelle läßt. W fage us he u, welche Dastellugsfome gudsätzlch Fage komme ud gehe auf Fläche m Raum kuz e. Meh zu desem Gebet, de sog. Vsualseug (vo Fuktoe), köe Se auch m WPF Computegafk ud Vsualstk vo Host Stezel efahe. [u Kap Volesug, Rest V TBB >> wete be Kap. 8.4] Aaltsche Dastellug Dastellug Fom ee Glechug eplzte Fom: z f(,) mplzte Fom: F(,,z) Bespele Volesug. Ma vewedet de mplzte Fom, we ee Auflösug ach ee Vaable cht möglch st, ode, we se zwa pzpell möglch, abe zu aufwedg ode mt uötge Schwegkete vebude st. Amekug: Jede eplzte Fom läßt sch mt F(,,z) f(,)-z de "kaosche" mplzte Fom bge. De umgekehte Rchtug ka dagege schweg se. Zum Spele ud fü schöe Fome(l) st de ZEIT.de-Skulptuewettbeweb wämstes empfohle!! [Pogamme Sufe zege, z.b. mt (^+^+z^-)*(^3+^3+z^3-) ] De mplzte Fom ka komplzete Fläche m R 3 dastelle, de eplzte Fom ka u solche Fläche, de jedem (,) höchstes e z zuode ( Fuktosgebge ohe übehägede Klppe ). W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 6

4 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS Tabellasche Dastellug Bevozugte Dastellug fü Tabellekalkulatospogamme z f(,)... k... z z... z k... z m z m z m... z mk... z m Dastellug vo Fuktoe mt meh als zwe Veädelche möglch übe veschedee Sete mt Tabelle (z.b. Blätte Ecel) Fläche m Raum Bevozugte Dastellug Maple (plot3d) Bespel "Gaussglocke": f (, ) + 4 7ep Schttkuve: Höhele, Kelefeld Alteatve Dastelluge mt Maple: W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 7

5 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. f (, ) ep Abbldug 8-: (a) Höheledagamm, (b) Kelefeld De Veallgemeeug des Begffs de Höhele fü meh als zwe Dmesoe st de Äqupotetalfläche (d.h. de Fläche 3 mt f() c cost). We fdet ma de Höhele fü ee eplzte Fom? Idem ma de lke Sete als kostat festsetzt ud ach auflöst. Im Bespel: 4 f (, ) z 7ep + 4 z l ± z l 7 We sch de Glechug cht aaltsch ach auflöse läßt, geht es u mühsame: Numesch e Raste vele Fuktoswete bestmme ud Pukte mt gleche Wete vebde. Ode duch umesche Nullstellebestmmug. E Kelefeld läßt sch dagege fü de eplzte Fom mme lecht zeche: efach veschedee feste Wete fü esetze. Ü Übug: Lede st geade Ih Laptop kaputt ud Se habe ke Maple zu Had. Mache Se sch totzdem e Bld vo de Fukto f (, ) e, dem Se hadschftlch e Höheledagamm m Beech,,4,8 ud e Kelefeld fü.5,, estelle. Ezeugt duch folgede Maple-Befehle: (a) g:(,)->7*ep(-(^+4*^)/); cotouplot(g(,),-6..6,-5..5,flledtue,aesboed, colog[color(rgb,.5,.5,),ed],fot[helvetica,bold,]); (b) plot([seq(g(,),..3)],-6..6, leged["","","", "3"],fot[HELVETICA,],thckess); 3 bzw. Hpefläche fü meh als 3 Veädelche 4 Ute de Wuzel steht tatsächlch chts Negatves: l(z/7)< -l(z/7)>. Wete <-l(z/7). W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 8

6 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. Wetee Bespele Übuge! Meh als zwe Veädelche De Aschauug vesagt, de Fukto läßt sch cht meh als Gazes zu efasse. Zahleche Techke sd etwckelt wode, um sch deoch e Bld vo de Lage zu mache; Stchwot "Vsualseug vo Date". Bass-Methode: Festhalte vo - Paamete ud Betachtug ees Schtts, z.b. Höheledagamm de estlche bede Paamete Aodug vele solche Schtte echteckgem Plot-Feld Amato, d.h. ee ode mehee Vaable wd e zetlche Velauf zugeodet, ud ma beobachtet de Ädeug, de sch m Bld de adee Vaable als Fukto de Zet egbt. u.v.a.m. Bespel : Aodug echteckgem Plot-Feld: Se f: R 4 R ee Fukto vo 4 Veädelche,,v,w: f (,, v, w) ep ( ( v) (w + )(.8v) ) W stelle f duch e Aa vo --Höheledagamme da, de Rehe läuft v vo - bs, de Spalte läuft w vo - bs : w - w - w w w Welche Wkug hat also de Paamete w, welche de Paamete v? W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 9

7 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. Bespel : W stelle de gleche Fukto f(,,v,w) als Amato da, wobe de Amatospfad lägs de Dagoale m v-w-raum läuft, also vo vw- bs vw.5. Übelege Se: We wd de Amato etwa aussehe? [Faged etwckel] Lösug: s. plot3d.mws, Amato Abschtt "Meh als zwe Veädelche" Patelle Abletuge We scho be Fuktoe ee Veädelche lefet de Begff de Abletug auch be Fuktoe mehee Veädelche de Schlüssel zu Aalse vo Zusammehäge. De Abletug ee Fukto mehee Veädelche wd mttels patelle Abletuge auf de Fall edmesoale Fuktoe zuückgefüht. Betachte w de Stuato zuächst be Fuktoe zwee Veädelche (Skzze). z cost cost (, ) Im Pukt (, ) sd de Schttebee cost ud cost egezechet. Iehalb de jewelge Schttebee legt da u och ee Fukto z f() (fü cost) bzw. z g() (fü cost) vo. Isbesodee beetet de Bldug de Abletug dese Fälle kee Schwegkete. Des füht us zum Begff de patelle Abletug. Def D 8-3 Patelle Abletug De patelle Abletug. Odug de Fukto f (,,..., ) ach de Vaable st duch de folgede Gezwet defet: ( ) f lm h (,...,, + h,,..., ) f(,...,,,,..., ) + h + Umgagsspachlch bedeutet dese Gezwet: Betachte alle Vaable mt Ausahme vo als Kostate ud blde de üblche Abletug ach de Vaable. W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete

8 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. Aschaulch: Setze - Vaable fest, da passt de veblebede Vaable ee Schautafel (otes ode blaues Rechteck obge Zechug), d.h. ee Gaphe fü ee omale Fukto, de w we üblch ablete köe). Wetee, allgeme üblche Smbole fü patelle Abletuge sd f ( ) ( ) ( ) f ( ) W wede m Folgede mest de Schebwese ( ) f beutze, we kee Vewechslug mt dem Ide (ee Vektofukto) zu befüchte st. Ü Bespel: De Zustadsglechug ees deale Gases lautet: RT p( V,T) V p RT pv V V p R pt T V Aschaulch: We ch das Volume um ee klee Wet V ädee, da ädet sch de Duck um RT p V V. D.h. be Volumevegößeug skt de Duck, wel RT V < (we ma be ee geschlossee Luftpumpe de Kolbe ach ausse zeht, gbt es ee ückzehede Kaft ach e, wel de Duck e edge st als ausse), be Tempeatuehöhug stegt de Duck. Übug: Fü z (,) bestmme ma z ud z Fü (,, 3 ) 3 e l 3 + s + bestmme ma, ud 3 We dese Bespele zege, sd de patelle Abletuge m Allgemee selbst wede Fuktoe sämtlche, de Ausgagsfukto auftetede, Veädelche. Sd alle patelle Abletuge stetg, so heßt de Fukto stetg dffeezeba. Def D 8-4 Stetg dffeezeba Ist ee Fukto a alle Stelle ees Gebetes G (emal) dffeezeba ud sd de patelle Abletuge stetg, so heßt de Fukto m Gebet (emal) stetg dffeezeba. Aalog: -mal stetg dffeezebae Fuktoe. De besodee Bedeutug dese Defto legt da, dass stetg dffeezebae Fuktoe ee (klee) Umgebug ees Puktes duch de Fuktoswet desem Pukt W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete

9 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. ud sämtlche patelle Abletuge ageähet (appomet) wede köe (s. Kap "Leaseug ee Fukto"). Def D 8-5 Patelle Abletuge. Odug Ist ee Fukto mal stetg dffeezeba, so ka jede patelle Abletug. Odug selbst wede ach alle Vaable dffeezet wede. Heduch etstehe patelle Abletuge. Odug. Bespel: Zu (,, K ) st ee Abletug. Odug ( ) Aalog: Patelle Abletuge. Odug. Ü 3 e Übug: Blde Se (,, 3 ) l 3 + s + (ute Vewedug de Egebss, ud aus voge Übug) de. Abletuge 3 ud Satz S 8- Satz vo Schwaz Ist ee Fukto vo mehee Veädelche k-mal stetg dffeezeba, so sd de gemschte Abletuge k-te Odug uabhägg vo de Rehefolge des Dffeezees. We w geade gesehe habe, glt fü k fü de Fukto u (,,...) : ( u ) ( u ) u u Ü Übug: Übepüfe Se a de Fukto a e duch eplztes Nacheche, dass glt: z z cosb f(,,z) z f f. Ist ee de Rehefolge ökoomsche? W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete

10 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS Etemwete Lokale ud globale Etemwete [Stgl, S. 36] Aalog zu Stuato be Fuktoe mt ee Veädelche, lasse sch auch be Fuktoe mehee Veädelche de Begffe lokales Mmum ode Mamum defee. Notwedge Bedguge egebe sch aus de patelle Abletuge. Sattelpukt Def D 8-6 Relatves Mmum, elatves Mamum Ee Fukto f (,,.., ) bestzt m Pukt (,,..., ) e elatves Mmum, we ee Umgebug vo stets: f(,..., fü alle ) > f(,..., glt. E elatves Mamum legt vo, falls ee Umgebug stets: f(,..., fü alle ) < f(,..., ) E Kteum fü das Volege vo Etemwete lefet de ächste Satz: ) glt. Satz S 8- Statoäe Pukt E Pukt dem sämtlche patelle Abletuge. Odug zu Null wede, f ( ) f ( ) K f ( ) heßt statoäe Pukt. Ee otwedge, abe m allgemee cht hechede Bedgug fü ee Etemstelle st, dass se e statoäe Pukt st. Bemekuge: W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 3

11 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS Be zwe Veädelche folgt de Satz aus de Fodeug, dass e Etemwet ee waageechte Tagetalebee habe muß.. We be Fuktoe ee Veädelche st de Bedgug aus Satz S 8- cht heched, auch Sattelpukte köe waageechte Tagetalebee habe. (We jede weß, de scho mal Begstege wa, muss es zwsche zwe Gpfel ees stetge Gebges soga Sattelpukte gebe.) Bespel (s. ebestehedes Bld): z f (, ) e ( ) / + e ( + ) / 3. De Agabe hechede Ktee st be meh als zwe Vaable schweg. Fü zwe Vaable ehält ma als hechedes Kteum: Satz S 8-3 Hechedes Kteum fü lokale Etema ( Veädelche) Es se (,) f (, )f (,) [ f (, ] Δ de Detemate de sog. Hesse-Mat. ) f(,) : D R bestzt a de Stelle (, ) mt Schehet e lokales Ee Fukto Etemum, we de folgede Bedguge zuglech efüllt sd:. (, ) ud f (, ) statoäe Pukt, otwedge Bedgug f ud. Δ, ) ( > < legt e lokales Mamum, m Fall f (, ) Im Fall f (, ) > e lokales Mmum vo. Ist Δ, ), so legt ke Etemwet, sode e Sattelpukt vo. ( < Satz S 8-4 Hechedes Kteum fü globale Etema ( Veädelche) f(,) : D R bestzt a eem statoäe Pukt (, ) mt Schehet Ee Fukto e globales Etemum, we glt. (, ) > Δ ud f (,) < fü alle (,) D (globales Mamum) ode. (, ) > Δ ud f (,) > fü alle (,) D (globales Mmum) Bespele ud Übuge Volesug! W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 4

12 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. Ü Ü Übug : Bestmme Se de lokale Etema vo W(, ) ( ) Übug : Gegebe sd Pukte m zwedmesoale Raum mt de Koodate P,. Fü welche Pukt P (,) st de Summe de Abstadsquadate zu de ge- gebee Pukte P mmal? LS-Methode (Methode de kleste Quadate) De LS-Methode st ee de wchtgste ud gebäuchlchste Methode de Optmeug. LS steht fü "least squae"; oft fdet ma auch de dt. Abküzug KQ-Methode. Awedug: Paktkum Phsk be Pof. Koch, z.b. Messuge zu Hall-Effekt ode Kodesato. Gegebe sd Meßpukte (, ), de egetlch auf ee Geade lege sollte, abe aufgud vo Meßfehle etwas steue. Gesucht sd u de Koeffzete a ud b de Ausglechsgeade, d.h. de Geade fü de de Summe de quadatsche Abwechuge mmal wd: Ausglechsgeade (Regessosgeade): a + b d a + b Abwechug de Ausglechsgeade bem -te Datepukt: W setze voaus, dass cht alle detsch sd, de da hätte w ee sekechte Geade, de w cht als Fukto beschebe köe. Zu mmeede Fukto: Z (a,b) d ( a + b ) (Summe de Abwechugsquadate, dahe de Name "least squaes" ode Methode de kleste Quadate) Apassug ee Meßwetehe duch ee Ausglechsgade Meßwete Ausglechsgade ,38 +, W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 5

13 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 6 W setze de patelle Abletuge glech Null: ( ) ( ) + + b a b a Z b a Z Es egbt sch e leaes Glechugsstem vo zwe Glechuge fü de bede Ubekate a ud b: + + b a b a S bs as S bs a + + wobe S, S,... efach geegete Abküzuge fü de Summe sd. Ma multplzet u de. Glechug mt S ud de. Glechug mt duch, zeht voeade ab ud ehält: ( ) ( ) S S S S S S a S S S S S b Übug: (a) Theoetsch köte ja de Nee de obge Fomel fü "pathologsche" Kombatoe de auch mal Null wede. Köe Se zege, dass de Nee mme uglech Null st? Hwes: Es glt de ützlche Idettät ( ) Mttelwet mt (b) Wese Se ach, dass es sch be de Lösug {a,b} tatsächlch um e Mmum hadelt (s. Satz S 8-3) Übug: Es muss cht mme ee Geade se! Kombatoe vo adee "Bassfuktoe" gehe geauso gut. 5 Bespel: I eem Behälte sd adoaktve Stoffe vom Tp A, de 5 De allgemee Fall belebge Bassfuktoe et ma GLS "geealzed least squae". Ü Ü

14 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. popotaal e - zefällt ud vom Tp B, de popotoal e - zefällt. Duch Messuge soll emttelt wede, wevel vom Tp A, wevel vom Tp B. Gegebe see de Messpukte: Welches Modell f(a,b) ae + be passt am beste zu dese Date? D.h. welche Paamete a, b mmee de Summe de Abwechugsquadate? Zeche Se Ih Modell ud de Messpukte e Dagamm! 8.6. Vektofuktoe De Kögsetappe: Sthese vo Leae Algeba ud Aalss: We ka ch ee Vekto ablete? Def D 8-7 Vektofukto Sd de Koodate ees Vektos als Fuktoe ee skalae Göße t (z.b. Zet) gegebe, so legt ee Vektofukto : R R vo. I de Kompoete ehält ma: 3 (t) (t) (t) 3(t) Bezechet t de Zet ud,, 3 de Raumkoodate, so heßt de Otsvekto des Puktes P(,, 3 ). Ist zusätzlch fü de Paamete t e Itevall t t t vogegebe, so beschebt de Mege alle Pukte { (t) t t t } ee äumlche Kuve. I Volesug: Raumkuve, mttlee Geschwdgket, Mometageschwdgket. Def D 8-8 Abletug ee Vektofukto De. Abletug de Vektofukto (t) st de Gezwet: lm Δt (t + Δt) (t) Δt lm Δt Δ d & Δt dt De Vekto & (t ) st de Tagetevekto de Bahkuve a de Stelle t. Satz S 8-5 De Koodate de Abletug ees Vektos ehält ma duch Dffeezee de Koodate des Vektos. ANMERKUNGEN:. De Deftoe gelte sgemäß auch fü m statt fü 3 Koodate. W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 7

15 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS De Koodatefuktoe ees Vektos köe geausogut Fuktoe vo Veädelche se (statt u Fuktoe vo t). Da habe w de allgemee vektowetge Fukto f :R R vo us. Jede ezele Koodate st ee Fukto m vo Veädelche. We ma Fuktoe vo Veädelche abzulete hat, st Gegestad des ächste Kaptels De Gadet: Wo btte geht's ach obe? Stelle Se sch vo, Se stehe a ee Stelle P (, ) m Fuktoegebge f(,) ud wolle wsse, wo geht es ach obe? Geaue: Wo geht's möglchst stel ach obe? Mathematsche: We ch ee (klee) Schtt de Läge ds mache, welche Rchtug wähle ch? Das Poblem: Es gbt uedlch vele Rchtuge! Alle auspobee?? Zum Glück gbt es e wesetlch efachees Rezept, das mt u zwe (!) Messuge auskommt: Rezept: o Blde de patelle Abletuge a de Stelle (, ). Nehme w a, es se, o ( ) ud f (, ) f. (De Abletuge sd de Steguge, d.h. de Nähe vo (, ) st de Zuwachs f je waageechte Kästchekate, de Zuwachs je sekechte Kästchekate st.) Stecke de Zahle ee Vekto ud maschee de Rchtug, de de Vekto agbt. Also he: mm -Rchtug ud mm -Rchtug. o o Vekto, Stecke: + 5 mm. Zuwachs: + + 5, also 5 o Zuwachs/mm o o Das st e höhee Zuwachs als -Rchtug allee () ode -Rchtug allee () Kee adee Rchtug bgt ee höhee Zuwachs/mm. Pobee Se's aus! f P f We's geaue vestehe wll: Totales Dffeetal, Gadet. Goße Bedeutug fü de paktsche Optmeug: We ch e Modell mt 5 ode ode 5 Dmesoe habe (Paamete-Tug fü Smulatosmodell), da b ch desem hochdmesoale Raum bld we e Maulwuf! Nu de Gadet gbt m de Ifomato, we ch a de Steueköpfe dehe muss, um mee Output zu vebesse. Vohe och ee kuze Auflockeug: E Applet zu PSO (Patcle Swam Optmzato) vo zegt e Bespel fü ee kompleee Optmeugsstatege. E Schwam st tellgete als see Idvdue ( WPF Spele, Smulato u. Damsche Ssteme, Kaptel Patkel- ud Schwamssteme). W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 8

16 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS Totales Dffeetal [evtl. u Def. bge, Rest m Selbststudum] Betachte w ee Fukto f(,) zwe Veädelche a de Stelle P (, ): z f(,) z dz Δz P Totales Dffeetal d d We ch vo P e Stück wetegehe, da st: Totales Dffeetal dz Fuktosädeug Δz Als Fomel: dz f Δz f (, ) d + f (, ) d ( + d, + d) f(, ) Zuwachs de Tagetalebee P, we alle Koodate um (d,d, ) wetegegage wd Zuwachs de Fukto, we ma um deselbe Vekto (d,d, ) wetegeht Def D 8-9 Totales Dffeetal ( Veädelche) Das totale Dffeetal dz ee Fukto z f(,) m Pukt (, ) st defet duch: Es glt: (, ) d f (, )d dz f + dz Δz we d, d heched kle sd (s. Zechug). De Tagetalebee m Pukt (, ) st gegebe duch: (, ) f (, )( - ) + f (, ) Z(, ) f + ( - ) Zum Bewes de Tagetalebeeglechug setzt ma allgemee Fom a + b( ) + c( ) a ud füht ee Koeffzeteveglech duch. Z W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 9

17 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. Be Fuktoe vo Vaable ewetet ma des gaz aalog: Def D 8- Totales Dffeetal ( Veädelche) Das totale Dffeetal dz ee Fukto z f(,,..., ) f( ) wd defet duch: dz f d + f d f dabe sd alle patelle Abletuge m beteffede Pukt zu ehme. he- Es glt auch he: dz Δz f( + ) f( ) ched kle st. d d, we d d,d,...,d ) ( Bespele: )z + z z f (,) f( + d, + d) f(3.3,5.) Δz.64 3, 5,d.3,d. f(3,5) 3 dz d + d also glt tatsächlch: Δ z dz )z Δz dz dz ( + d)( + d) d + d + dd d + d Δz bs auf Teme. Odug (dz: schaffet, Δz: gelbe Htegud) d dd d 3) E deales Gas geügt de Zustadsglechug ( V,T) RT p (fü Mol). Das totale Df- V feetal dese Fukto lautet somt: RT dp pv dv + ptdt dv + V R V dt ud gbt äheugswese de Ädeug des Ducks be klee Volume- ud Tempeatuädeuge wede. W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete

18 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS Aweduge Totales Dffeetal Ketteegel Bespel Zetabhäggket: I vele Aweduge hat ma Fuktoe z f(,,t), dee de Paamete (t) ud (t) auch wede vo eem Paamete t (Zetpaamete) abhäge. Da de Abletug ach de Zet so häufg vokommt, hat sch hezu auch ee egee "Pukt"-Schebwese egebüget: dz z& dt We geau veädet sch z, we sch de Zet um e heched klees dt veädet? Satz S 8-6 Ketteegel ( Paamete) Ist z f(,,t) ee Fukto vo Veädelche (t) ud (t), de selbst wede vo eem Paamete t (z. B. Zet) abhäge, so hat de zusammegesetzte Fukto z z(t) f( (t),(t),t) de Abletug (Dffeezebaket alle betelgte Fuktoe voausgesetzt) dz d d z & f + f + f dt dt dt t Ü Übug: Ewete Se das Egebs aus Satz S 8-6 sgemäß auf de Fuktoe f (t) f(,, z) t, cos z ep( t, z e + t ) dem Se f & df dt blde! Bewes vo Satz S 8-6 Volesug (übe totales Dffeetal) De Gadet: Wohe weht de Wd? [Stgl, S. 343 ud 353] lat. Veb: gado, gessus sum schete lat. Substatv gadus Schtt, Stadpukt, Stufe (vgl. gaduell) (hägt also eg mt useem Bld vom Ausschete m Fuktoegebge zusamme) Def D 8- Gadet De Gadet gad f ee Fukto z f(,,..., ) st ee Vektofukto (s. Def D 8-7), de aus de patelle Abletuge besteht. Wetet ma de Gadet a ee bestmmte Stelle P (,,..., ) aus, so etsteht (gad f)(p ), e efache Vekto: f M gad f M f (gad f)(p f ) f (P M M (P ) ) W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete

19 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. I de bede folgede Blde stelle de Gauschatteuge de Fukto f da, wobe schwaz de höchste Fuktoswet dastellt, ud de Pfele smbolsee de zugehöge Gadete: [ ] Ma beachte: De Gadet "lebt" m Raum (,), dem de Fukto f defet st, NICHT m Raum (,,z), de ma baucht, um sch de Fukto vozustelle. [ Volesug: weso de Gadet de Wdchtug agbt] Bespel: De Gadet de Fukto f(,) lautet gad f, a de Stelle (,)(,) wd e zum Vekto ( gad f)(,), a de Stelle (,)(,) wd e zum Vekto ( gad f)(,). 6 De Abletug ee Fukto mehee Veädelche f() f(,,..., ) ach de Zet läßt sch mt dem Gadete seh kompakt schebe: df ( ) df (, K, ) d dt dt gad f dt Satz S 8-7 Egeschafte des Gadete. De Gadet ( gad f)(p ) steht sekecht auf de duch P velaufede Äqupotetalle- ode fläche, also de Puktmege { P R f(p) f(p ) }.. De Gadet west de Rchtug des stelste Astegs. D. h. de Ädeug vo f a de Stelle P hat Rchtug vo ( gad f)(p ) he Mamalwet, ämlch de Betag ( gad f)(p ). De Gadet hat also ee seh aschaulche Bedeutug m "Fuktoegebge". W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete

20 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. ( gad f)(p ). f(p)f(p ) ( gad f)(p ). f(p)f(p ) ( gad f)(p ). f(p ) > f(p )> f(p ) f(p)f(p ) Bespele ud Bewes vo Satz S 8-7 Volesug Ü Übug: W befde us m Pukt P(,,z)(,,-). I welche Rchtug hat de Fukto f f(,,z) ep( he stelste Asteg? + z ) De Gadet spelt ee goße Rolle de Optmeug, be de ma oft e bestmmtes Fehlesgal zu mmee hat. Statt uzählge (uedlch vele) Fuktosdffeeze auszupobee, echt es fü glatte Fuktoe, a de Stelle P de Gadete auszueche (ee Vekto aus laute Zahle!) ud e Stückche de Gegechtug zu maschee. Ma spcht vom Gadete-Abstegsvefahe (egl. gadet descet), ee wchtge Methode de Optmeug Leaseug ee Fukto [evtl. m Selbststudum, we Zet kapp] Bespel: Nehme w de komplzet aussehede Fukto f (, ) + ep(t ) dt Jemad velagt vo us, dass w de Fukto de Nähe vo (, )(,) tabellee, d.h. w solle auseche f(,) ???.???.??? W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 3

21 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. Nu st das Itegal aaltsch ga cht beecheba, ud umesche Methode sd us vel zu vel Aufwad. We komme w da aus? Aus dem totale Dffeetal dz Δz f( + d) f( ) h ( h, K,h folgt ach Def D 8- mt Satz S 8-8 Leaseug T d ) umttelba: Fü Vektoe h mt kleem Betag h st f ( + h) P( h) f( ) + f ( ) h ee gute Näheug fü ( + h) f( ) um. f. Ma et P( h ) auch de Leaseug de Fukto De Fukto ( ) Odug. P h st de Talo-Etwcklug ee Fukto vo Veädelche bs zu. Beachte: De Leaseug bs zu. Odug lefet geade de Glechug fü de Tagetalebee duch de Pukt. De Vekto h ethält de fee Paamete. Lösug zum Bespel: Es st T (, ) ud f, f ep( ), also st f (,), f(,) f( ) f(,).5. Weteh köe w auseche (zum Glück!), de das Itegal wd zu. W setze de Fomel aus Satz S 8-8 f ( + h) f( ) + f( ) h + f( ) h.5 + h + h W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 4 de veschedee Wete fü h {-.,.,.} ud h {-.,.,.} e ud ehalte schleßlch. Näheug f. f(,) De eakte Lösug ka mt Maple umesch ausgeechet ud m Veglech mt de Leaseug vsualset wede (s. plot3d.mws, Abschtt Leaseug) f(,) eakt De Leaseug st also ee seh gute Näheug. Ud se st vel wege Aufwad!

22 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS Optmeug mt Lagage-Multplkatoe [Papula, Bd., S ], De meste eale Optmeugspobleme habe Nebebedguge: Mamee de Gew, wobe de Summe de Masche-Stude kostat st Mmee de Festude eem Studepla, wobe jede Raum jede Stude u duch ee Klasse belegt se daf usw. Bespel: Wo lege de Etema vo Z(,) +, we de Nebebedgug + 5 ezuhalte st? [Lösug de Übuge] De smple Asatz: Nebebedgug ach ee Vaable auflöse, z.b. (), Z(,) esetze, da Etema vo F() Z(,()) suche. Des geht jedoch cht mme: Se Z(,) ee zu optmeede Zelfukto ud ϕ(,) de Nebebedgug. De obge Methode fuktoet cht (gut), we de Auflösug vo ϕ(,) ach ode cht möglch ode abe zu aufwedg st; we de Auflösug () zwa gelgt, abe Z(,()) F() zu uötg komplzete Abletuge F'() ode F''() füht. De Methode de Lagage-Multplkatoe betet he ee gute Tck: Satz S 8-9 Lagage-Multplkato Gegebe ee zu optmeede Zelfukto Z(,) ud ee Nebebedgug ϕ(,), de glechzetg ezuhalte st. Deses Poblem wd folgede Schtte gelöst:. Blde de Hlfsfukto F(,, λ ) Z(, ) + λϕ(, ) De (och ubekate) Paamete λ heßt Lagage-Multplkato. Setze de patelle Abletuge glech Null: F F F λ Z Z (, ) + λϕ (, ) + λϕ ϕ(, ) (, ) (, ) Aus dese 3 Glechuge lasse sch de 3 Ubekate, ud λ bestmme. 3. Gbt es mehee Lösuge, so ka ma duch Esetze Z(,) heausfde, welche de Lösuge e Mamum (bzw. Mmum) se ka. (Ee hechede Nachwes hat ma damt alledgs cht) W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 5

23 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. De Sache mutet we e Taschespeletck a: Est egäze w e λ, ehalte so ee eue Fukto F(,,λ), elmee da λ wede ud habe ageblch ee Lösug vo Z(,), de de Nebebedgug ehält? Weso? I Volesug bewese w, weso dese Tck fuktoet. Amekug: Das Vefahe de Lagage-Multplkatoe läßt sch ohe Schwegkete auch auf Fuktoe vo Vaable mt m Nebededguge (m<) veallgemee. De Hlfsfukto lautet da: m F(, K,, λ, K, λm ) Z(, K, ) + λϕ(, K, ) ud de (+m) patelle Abletuge ud damt Glechuge egebe sch aalog. De Nebebedguge müsse Glechugsfom volege. Be Nebebedguge Uglechugsfom helfe de Lagage Multplkatoe cht wete, he baucht ma adee Optmeugsmethode (Smple ode Iteo Pots). Das wolle w abe he cht wetevefolge. Bespel: Auf ee ebee Bühe soll de Pukt A optmal ausgeleuchtet wede. Es glt das Lambetsche Gesetz I cos α B ( α, ) De Lchtquelle festem Abstad a st auf ee sekechte Stage veschebba. Lösug: Nebebedgug st a s α s α a Zu mmee: I cos α F( α,, λ) + λ( s α a) I s α Fα + λ cos α I cos α F + λ s α 3 α h A a I λ λ 3 ta α 3 ta I ta α α ta α ± Da de gesuchte Lösug m. Quadate lege muss ( α 9 ), kommt u de +-Lösug Fage: α acta Übe de Nebebedgug folgt a/sα.5a sowe h a taα.77a. W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 6

24 Pof. D. Wolfgag Koe Mathematk, SS 5.3. Ü Übug: E Zufallsepemet habe 4 möglche Egebsse, de mt de Wahschelchkete p,...,p 4 auftete. Wel ees dese Egebsse mme heauskomme muss, glt offeschtlch p + p + p 3 + p 4. Be welche Wahschelchkete wd das Podukt Z(p,...,p 4 )p p p 3 p 4 mamal? Zege Se mt Lagage-Multplkatoe, dass de Lösug p...p 4.5 st! 8.9. Fazt Wchtge Begffe ud Egebsse aus desem Kaptel wae: eelle Fukto mehee Veädelche Vektofukto Tagetalebee f : R R : R R : Veädelche, abhägge Göße m : Veädelche, m abhägge Göße + Ebee m Raum R duch de Pukt (, f( ) ), de alle Rchtuge de Stegug de (stetge) Fukto f hat. f ( ) cost m -Raum. Fü R Äqupotetalfläche Fläche mt. Fläche zu Le, de Höhele. patelle Abletug ach wede de alle Veädelche auße als kostat festsetze, da "omal" ach ablete totales Dffeetal Zuwachs de Tagetalebee be Veückug um d Gadet vo f Vektofukto m Raum R, de. Kompoete st f. Wchtge Egebsse: Fuktoe mehee Veädelche lasse sch übe Fläche m Raum, übe Höheledagamme ode übe Kelefelde vsualsee. o Höhele: z f(,) ach auflöse o Kele: alle Veädelche bs auf ee kostat festsetze. De Dffeetalechug ee Veädelche läßt sch auf Fuktoe mehee Veädelche übetage. o patelle Abletug: alle Veädelche bs auf ee kostat, da ablete. De Gadet st de Vekto alle. patelle Abletuge (Kap. 8.8.). E steht a jede Stelle sekecht auf de Äqupotetalfläche ud west Rchtug des stelste Astegs. Etemwete: Hechede Ktee sd fü meh als Vaable schweg, fü Vaable abe gut agebba (Satz S 8-3). Mt de Methode de kleste Quadate (LS-Methode) (Kap. 8.5.) lasse sch gut Ausglechsgeade bestmme. Vele eale Optmeugspobleme mt mehee Veädelche habe ebe eem Mameugszel auch wetee Nebebedguge zwsche de Veädelche Glechugsfom. He hlft de Methode de Lagage-Multplkatoe (Kap ) etscheded wete. W. Koe ZD-MatheSS-et.doc Sete 7