8. Funktionen mehrerer Veränderlicher

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1 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Fuktoe mehrerer Veräderlcher Das Zel des Reches st Escht, cht Zahle. [Rchard Hammg, ] 8.. Worum geht es? Bsher hatte wr be der Dfferetato ur Fuktoe eer Veräderlche betrachtet. Be de meste Probleme der reale Welt trete aber mehrere Veräderlche auf: Ee Fläche der Computergrafk ka durch z = f(, beschrebe werde Der Gew ees Uterehmes st ee Fukto der Umsätze aller seer Produkte G = G(u,u,..., u Der Druck p st ee Fukto vo Temperatur T ud Volume V: p RT p(t, V V. Wr werde us desem Kaptel mt der Defto ud der Dfferetato solcher Fuktoe beschäftge. Damt köe wr da folgede Probleme ud Aweduge löse: We stellt ma Fuktoe mehrerer Veräderlcher dar? Optmerug: We fdet ma Etremwerte? Awedugsfall: We fdet ma de Regressosgerade = a+b für ee Mege vo Pukte (,? We dfferezert ma ee Fukto mehrerer Veräderlcher (partelle Dfferetato ud totales Dfferetal? Optmerug mt Nebebedguge: De Methode der Lagrage-Multplkatore. Da ma be de meste Realwelt-Optmerugsaufgabe a mehrere (vele "Stellschraube" drehe ka, sd solche Probleme vo großer praktscher Bedeutug. 8.. Defto eer Fukto mehrerer Veräderlcher Wr hatte berets Abschtt 7.5 de Multplkato ees Vektors mt eer Matr als spezelle, ämlch leare, Abbldug ees Vektors auf ee Vektor keegelert. Wr wolle m folgede belebge Abblduge vo Vektore auf Zahle defere ud hre Egeschafte utersuche. Solche Fragestelluge komme der Pras häufg vor. Z.B. ergbt sch der Gesamtwderstad ees Netzes ohmscher Wderstäde als (cht ubedgt leare Fukto aller m Netz auftretede Wderstäde. Des wrd scho a folgedem sehr efache Bespel klar: R R R 3 Bekatlch glt für de Gesamtwderstad eer Parallelschaltug: R ges R R R 3 W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 4

2 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Der Gesamtwderstad st also ee Fukto aller Ezelwderstäde oder aders gesproche, ee Fukto des Vektors der Ezelwderstäde, d.h.: R ges f R,R,R fr 3 R mt r = R R Jede kokrete Ausprägug der 3 Ezelwderstäde bldet also ee Vektor m 3- dmesoale Raum. De Koordate deser Wderstadsvektore sd dabe kee Läge, we m Ortsraum, soder ebe Wderstäde. Asoste verhalte sch dese Wderstadsvektore mathematsch geau we Ortsvektore. Da Wderstadsetze aus belebg vele Kompoete bestehe köe, st klar, dass solche Fälle Vektore mt belebg vele Kompoete auftrete köe. E aderes Bespel st der Gew ees Uterehmes, der vom Umsatz sämtlcher Produkte, de das Uterehme vermarktet, abhägg st. De Umsatzzahle aller Produkte des letzte Moats blde dabe ee Vektor m -dmesoale kartessche Raum, desse - te Achse für de moatlche Umsatz des -te Produktes steht. 3 Es macht also mathematsch durchaus S, sch mt Vektore mt belebg vele Kompoete zu beschäftge, auch we usere Aschauug auf 3-dmesoale Räume beschräkt st. Wr defere de -dmesoale Raum R we Mathe (Kap. 7.4 Vektore : Def D 8- -dmesoaler Raum Jedes Elemet der Mege R wrd als Pukt ees dmesoale Vektorraumes R bezechet. I der Regel wrd e solcher Pukt durch de Vektor bezechet. Def D 8- reellwertge Fukto mehrerer Veräderlcher Ee reellwertge Fukto f ordet jedem Pukt,.., (bzw. Vektor R aus eer zusammehägede Telmege D des R edeutg ee reelle Wert zu, ud ma schrebt: f : D R R mt f,,..., Bespel: De Temperatur auf der Erde st ee Fukto der Läge- ud Bretekoordate sowe der Höhe über dem Erdbode. ANMERKUNG: Wr beschäftge us her also mt reellwertge Fuktoe Kaptel 8.6 werde wr och kurz auf vektorwertge Fuktoe f :R de ee -dm. Vektor auf ee m-dm. Vektor abblde. Bespele: R f : R m R egehe,. I W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 5

3 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS ormale Fukto reellwertge Fukto vektorwertge Fukto f : R R f : R R f : R R Kurve (Hper- Fläche Pfele (Wdkarte 8.3. Darstellug eer Fukto mehrerer Veräderlcher [Papula, Bd., S. 7-86] Deses aschaulche Kaptel wrd m. Maple-Praktkumsblock (V Th. Bartz-Beelste geauer behadelt, da sch her mt Maple veles aschaulch darstelle läßt. Wr frage us her ur, welche Darstellugsforme grudsätzlch Frage komme ud gehe auf Fläche m Raum kurz e. Mehr zu desem Gebet, der sog. Vsualserug (vo Fuktoe, köe Se auch m WPF Computergrafk ud Vsualstk vo Horst Stezel erfahre. [ur Kap Vorlesug, Rest V TBB >> weter be Kap. 8.4] Aaltsche Darstellug Darstellug Form eer Glechug eplzte Form: z = f(, mplzte Form: F(,,z = Bespele Vorlesug. Ma verwedet de mplzte Form, we ee Auflösug ach eer Varable cht möglch st, oder, we se zwar przpell möglch, aber zu aufwedg oder mt uötge Schwergkete verbude st. Amerkug: Jede eplzte Form läßt sch mt F(,,z = f(,-z de "kaosche" mplzte Form brge. De umgekehrte Rchtug ka dagege schwerg se. Zum Spele ud für schöe Forme(l st der ZEIT.de-Skulpturewettbewerb wärmstes empfohle!! [Programme Surfer zege, z.b. mt (^+^+z^-*(^3+^3+z^3- ] De mplzte Form ka komplzerte Fläche m R 3 darstelle, de eplzte Form ka ur solche Fläche, de jedem (, höchstes e z zuorde ( Fuktosgebrge ohe überhägede Klppe. W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 6

4 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Tabellarsche Darstellug Bevorzugte Darstellug für Tabellekalkulatosprogramme z = f(,... k... z z... z k... z m z m z m... z mk... z m Darstellug vo Fuktoe mt mehr als zwe Veräderlche möglch über verschedee Sete mt Tabelle (z.b. Blätter Ecel Fläche m Raum Bevorzugte Darstellug Maple (plot3d Bespel "Gaussglocke": f (, 7ep Schttkurve: Höhele, Kelefeld Alteratve Darstelluge mt Maple: W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 7

5 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS f (, 7 ep 4 Abbldug 8-: (a Höheledagramm, (b Kelefeld De Verallgemeerug des Begrffs der Höhele für mehr als zwe Dmesoe st de Äqupotetalfläche (d.h. de Fläche 3 mt f( = c = cost. We fdet ma de Höhele für ee eplzte Form? Idem ma de lke Sete als kostat festsetzt ud ach auflöst. Im Bespel: 4 f (, z 7ep 4 z l 7 4 z l 7 We sch de Glechug cht aaltsch ach auflöse läßt, geht es ur mühsamer: Numersch e Raster veler Fuktoswerte bestmme ud Pukte mt gleche Werte verbde. Oder durch umersche Nullstellebestmmug. E Kelefeld läßt sch dagege für de eplzte Form mmer lecht zeche: efach verschedee feste Werte für esetze. Ü Übug: Leder st gerade Ihr Laptop kaputt ud Se habe ke Maple zur Had. Mache Se sch trotzdem e Bld vo der Fukto f (, e, dem Se hadschrftlch e Höheledagramm m Berech,,4,8 ud e Kelefeld für =.5,, erstelle. Erzeugt durch folgede Maple-Befehle: (a g:=(,->7*ep(-(^+4*^/; cotourplot(g(,,=-6..6,=-5..5,flled=true,aes=boed, colorg=[color(rgb,.5,.5,,red],fot=[helvetica,bold,]; (b plot([seq(g(,,=..3],=-6..6, leged=["=","=","=", "=3"],fot=[HELVETICA,],thckess=; 3 bzw. Hperfläche für mehr als 3 Veräderlche 4 Uter der Wurzel steht tatsächlch chts Negatves: l(z/7< -l(z/7>. Weter <-l(z/7. W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 8

6 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Wetere Bespele Übuge! Mehr als zwe Veräderlche De Aschauug versagt, de Fukto läßt sch cht mehr als Gazes zu erfasse. Zahlreche Techke sd etwckelt worde, um sch deoch e Bld vo der Lage zu mache; Stchwort "Vsualserug vo Date". Bass-Methode: Festhalte vo - Parameter ud Betrachtug ees Schtts, z.b. Höheledagramm de restlche bede Parameter Aordug veler solcher Schtte rechteckgem Plot-Feld Amato, d.h. eer oder mehrere Varable wrd e zetlcher Verlauf zugeordet, ud ma beobachtet de Äderug, de sch m Bld der adere Varable als Fukto der Zet ergbt. u.v.a.m. Bespel : Aordug rechteckgem Plot-Feld: Se f: R 4 R ee Fukto vo 4 Veräderlche,,v,w: f (,, v, w ep ( v (w (.8v Wr stelle f durch e Arra vo --Höheledagramme dar, de Rehe läuft v vo - bs, de Spalte läuft w vo - bs : w = - w = - w = w = w = W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 9

7 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Welche Wrkug hat also der Parameter w, welche der Parameter v? Bespel : Wr stelle de gleche Fukto f(,,v,w als Amato dar, wobe der Amatospfad lägs der Dagoale m v-w-raum läuft, also vo v=w=- bs v=w=.5. Überlege Se: We wrd de Amato etwa aussehe? [Fraged etwckel] Lösug: s. plot3d.mws, Amato Abschtt "Mehr als zwe Veräderlche" Partelle Abletuge We scho be Fuktoe eer Veräderlche lefert der Begrff der Abletug auch be Fuktoe mehrerer Veräderlche de Schlüssel zur Aalse vo Zusammehäge. De Abletug eer Fukto mehrerer Veräderlcher wrd mttels parteller Abletuge auf de Fall edmesoaler Fuktoe zurückgeführt. Betrachte wr de Stuato zuächst be Fuktoe zweer Veräderlcher (Skzze. W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete

8 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS z = cost = cost (, Im Pukt (, sd de Schttebee = cost ud = cost egezechet. Ierhalb der jewelge Schttebee legt da ur och ee Fukto z = f( (für = cost bzw. z = g( (für = cost vor. Isbesodere beretet de Bldug der Abletug dese Fälle kee Schwergkete. Des führt us zum Begrff der partelle Abletug. Def D 8-3 Partelle Abletug De partelle Abletug. Ordug der Fukto f,,..., ach der Varable st durch de folgede Grezwert defert: lm h f,...,, h,,..., f,...,,,,..., h Umgagssprachlch bedeutet deser Grezwert: Betrachte alle Varable mt Ausahme vo als Kostate ud blde de üblche Abletug ach der Varable. Wetere, allgeme üblche Smbole für partelle Abletuge sd f f Wr werde m Folgede mest de Schrebwese f beutze, we kee Verwechslug mt dem Ide (eer Vektorfukto zu befürchte st. Bespel: De Zustadsglechug ees deale Gases lautet: W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete

9 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Ü RT pv,t V p RT pv V V p R pt T V Aschaulch: We ch das Volume um ee klee Wert V ädere, da ädert sch der Druck um RT p V V. D.h. be Volumevergrößerug skt der Druck, wel RT V (we ma be eer geschlossee Luftpumpe de Kolbe ach ausse zeht, gbt es ee rückzehede Kraft ach e, wel der Druck e edrger st als ausse, be Temperaturerhöhug stegt der Druck. Übug: Für z(, 5 3 bestmme ma z ud z Für (,, 3 e 3 l 3 s bestmme ma, ud 3 We dese Bespele zege, sd de partelle Abletuge m Allgemee selbst weder Fuktoe sämtlcher, der Ausgagsfukto auftreteder, Veräderlcher. Sd alle partelle Abletuge stetg, so heßt de Fukto stetg dfferezerbar. Def D 8-4 Stetg dfferezerbar Ist ee Fukto a alle Stelle ees Gebetes G (emal dfferezerbar ud sd de partelle Abletuge stetg, so heßt de Fukto m Gebet (emal stetg dfferezerbar. Aalog: -mal stetg dfferezerbare Fuktoe. De besodere Bedeutug deser Defto legt dar, dass stetg dfferezerbare Fuktoe eer (klee Umgebug ees Puktes durch de Fuktoswert desem Pukt ud sämtlche partelle Abletuge ageähert (appromert werde köe (s. Kap "Learserug eer Fukto". Def D 8-5 Partelle Abletuge. Ordug Ist ee Fukto mal stetg dfferezerbar, so ka jede partelle Abletug. Ordug selbst weder ach alle Varable dfferezert werde. Herdurch etstehe partelle Abletuge. Ordug. Bespel: Zu (,, st ee Abletug. Ordug Aalog: Partelle Abletuge. Ordug. W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete

10 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Ü e 3 Übug: Blde Se (,, 3 l 3 s (uter Verwedug der Ergebss, ud aus vorger Übug de. Abletuge 3 ud Satz S 8- Satz vo Schwarz Ist ee Fukto vo mehrere Veräderlche k-mal stetg dfferezerbar, so sd de gemschte Abletuge k-ter Ordug uabhägg vo der Rehefolge des Dfferezeres. We wr gerade gesehe habe, glt für k = für de Fukto u (,,... : u u u u Ü Übug: Überprüfe Se a der Fukto a e durch eplztes Nachreche, dass glt: z z cosb f(,,z z f f. Ist ee der Rehefolge ökoomscher? 8.5. Etremwerte Lokale ud globale Etremwerte [Stgl, S. 36] Aalog zur Stuato be Fuktoe mt eer Veräderlche, lasse sch auch be Fuktoe mehrerer Veräderlcher de Begrffe lokales Mmum oder Mamum defere. Notwedge Bedguge ergebe sch aus de partelle Abletuge. Def D 8-6 Relatves Mmum, relatves Mamum Ee Fukto f,,..,,,..., Mmum, we eer Umgebug vo stets: f(,..., für alle bestzt m Pukt f(,..., glt. E relatves Mamum legt vor, falls eer Umgebug stets: Sattelpukt e relatves W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 3

11 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS glt. f(,..., für alle f(,..., E Krterum für das Vorlege vo Etremwerte lefert der ächste Satz: Satz S 8- Statoärer Pukt E Pukt dem sämtlche partelle Abletuge. Ordug zu Null werde, f ( f ( f ( heßt statoärer Pukt. Ee otwedge, aber m allgemee cht hrechede Bedgug für ee Etremstelle st, dass se e statoärer Pukt st. Bemerkuge:. Be zwe Veräderlche folgt der Satz aus der Forderug, dass e Etremwert ee waagerechte Tagetalebee habe muß.. We be Fuktoe eer Veräderlche st de Bedgug aus Satz S 8- cht hreched, auch Sattelpukte köe waagerechte Tagetalebee habe. (We jeder weß, der scho mal Bergstege war, muss es zwsche zwe Gpfel ees stetge Gebrges sogar Sattelpukte gebe. Bespel (s. ebestehedes Bld: z e f (, ( / e ( / 3. De Agabe hrecheder Krtere st be mehr als zwe Varable schwerg. Für zwe Varable erhält ma als hrechedes Krterum: Satz S 8-3 Hrechedes Krterum für lokale Etrema ( Veräderlche Es se (, f (, f (, f (, de Determate der sog. Hesse- Matr. f (, : D R bestzt a der Stelle (, mt Scherhet e lokales Ee Fukto Etremum, we de folgede Bedguge zuglech erfüllt sd:. f (, ud f (, statoärer Pukt, otwedge Bedgug ud. (, W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 4

12 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Im Fall f (, legt e lokales Mamum, m Fall f (, e lokales Mmum vor. Ist (,, so legt ke Etremwert, soder e Sattelpukt vor. Satz S 8-4 Hrechedes Krterum für globale Etrema ( Veräderlche f (, : D R bestzt a eem statoäre Pukt (, mt Scher- Ee Fukto het e globales Etremum, we glt. (, ud (, oder. (, ud (, f für alle (,D (globales Mamum f für alle (,D (globales Mmum Bespele ud Übuge Vorlesug! Ü P,. Für welche Pukt Übug : Gegebe sd Pukte m zwedmesoale Raum mt de Koordate P (, st de Summe der Abstadsquadrate zu de gegebee Pukte P mmal? LS-Methode (Methode der kleste Quadrate De LS-Methode st ee der wchtgste ud gebräuchlchste Methode der Optmerug. LS steht für "least square"; oft fdet ma auch de dt. Abkürzug KQ-Methode. Awedug: Praktkum Phsk be Prof. Koch, z.b. Messuge zu Hall-Effekt oder Kodesator. Gegebe sd Meßpukte (,, de egetlch auf eer Gerade lege sollte, aber aufgrud vo Meßfehler etwas streue. Gesucht sd u de Koeffzete a ud b der Ausglechsgerade, d.h. der Gerade für de de Summe der quadratsche Abwechuge mmal wrd: Ausglechsgerade (Regressosgerade: a b a b Abwechug der Ausglechsgerade bem -te Datepukt: Wr setze voraus, dass cht alle detsch sd, de da hätte wr ee sekrechte Gerade, de wr cht als Fukto beschrebe köe. Zu mmerede Fukto: (a,b d a b d Z (Summe der Abwechugsquadrate, daher der Name "least squares" oder Methode der kleste Quadrate W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 5

13 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Apassug eer Meßwertrehe durch ee Ausglechsgrade Meßwerte Ausglechsgrade = -,38 +, Wr setze de partelle Abletuge glech Null: Z Z a b a b a b Es ergbt sch e leares Glechugsstem vo zwe Glechuge für de bede Ubekate a ud b: a b a b a bs as bs S S wobe S, S,... efach geegete Abkürzuge für de Summe sd. Ma multplzert u de. Glechug mt S ud de. Glechug mt durch, zeht voeader ab ud erhält: W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 6

14 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS b S S S S S a S S S S S S Ü Ü Übug: (a Theoretsch köte ja der Neer de obge Formel für "pathologsche" Kombatoe der auch mal Null werde. Köe Se zege, dass der Neer mmer uglech Null st? Hwes: Es glt de ützlche Idettät mt Mttelwert (b Wese Se ach, dass es sch be der Lösug {a,b} tatsächlch um e Mmum hadelt (s. Satz S 8-3 Übug: Es muss cht mmer ee Gerade se! Kombatoe vo adere "Bassfuktoe" gehe geauso gut. 5 Bespel: I eem Behälter sd radoaktve Stoffe vom Tp A, der proportaal e - zerfällt ud vom Tp B, der proportoal e - zerfällt. Durch Messuge soll ermttelt werde, wevel vom Tp A, wevel vom Tp B. Gegebe see de Messpukte: Welches Modell f(a,b ae be passt am beste zu dese Date? D.h. welche Parameter a, b mmere de Summe der Abwechugsquadrate? Zeche Se Ihr Modell ud de Messpukte e Dagramm! 8.6. Vektorfuktoe Def D 8-7 Vektorfukto Sd de Koordate ees Vektors als Fuktoe eer skalare Größe t (z.b. Zet gegebe, so legt ee Vektorfukto : R R vor. I de Kompoete erhält 3 ma: (t 3 (t (t (t Bezechet t de Zet ud,, 3 de Raumkoordate, so heßt der Ortsvektor des Puktes P(,, 3. Ist zusätzlch für de Parameter t e Itervall t t t vorgegebe, so be- 5 De allgemee Fall belebger Bassfuktoe et ma GLS = "geeralzed least square". W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 7

15 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS schrebt de Mege aller Pukte { (t t t t } ee räumlche Kurve. I Vorlesug: Raumkurve, mttlere Geschwdgket, Mometageschwdgket. Def D 8-8 Abletug eer Vektorfukto De. Abletug der Vektorfukto (t st der Grezwert: lm t (t t (t t lm t d t dt Der Vektor (t st der Tagetevektor der Bahkurve a der Stelle t. Satz S 8-5 De Koordate der Abletug ees Vektors erhält ma durch Dfferezere der Koordate des Vektors. ANMERKUNGEN:. De Deftoe gelte sgemäß auch für m statt für 3 Koordate.. De Koordatefuktoe ees Vektors köe geausogut Fuktoe vo Veräderlche se (statt ur Fuktoe vo t. Da habe wr de allgemee vektorwertge Fukto :R m R vo Veräderlche. f vor us. Jede ezele Koordate st ee Fukto We ma Fuktoe vo Veräderlche abzulete hat, st Gegestad des ächste Kaptels Der Gradet: Wo btte geht's ach obe? Stelle Se sch vor, Se stehe a eer Stelle P =(, m Fuktoegebrge f(, ud wolle wsse, wo geht es ach obe? Geauer: Wo geht's möglchst stel ach obe? Mathematscher: We ch ee (klee Schrtt der Läge ds mache, welche Rchtug wähle ch? Das Problem: Es gbt uedlch vele Rchtuge! Alle ausprobere?? Zum Glück gbt es e wesetlch efacheres Rezept, das mt ur zwe (! Messuge auskommt: Rezept: o Blde de partelle Abletuge a der Stelle (,. Nehme wr a, es se, o ud f, f. (De Abletuge sd de Steguge, d.h. der Nähe vo (, st der Zuwachs f je waagerechter Kästchekate, der Zuwachs je sekrechter Kästchekate st. Stecke de Zahle ee Vektor ud marschere de Rchtug, de der Vektor agbt. Also her: mm -Rchtug ud mm -Rchtug. W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 8

16 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS o o Vektor, Strecke: 5 mm. Zuwachs: + + = 5, also o Zuwachs/mm = 5.3 o o 5 5 Das st e höherer Zuwachs als -Rchtug allee ( oder -Rchtug allee ( Kee adere Rchtug brgt ee höhere Zuwachs/mm. Probere Se's aus! f P f Wer's geauer verstehe wll: Totales Dfferetal, Gradet Totales Dfferetal Betrachte wr ee Fukto f(, zwe Veräderlche a der Stelle P =(, : z = f(, z dz z P Totales Dfferetal d d We ch vo P e Stück wetergehe, da st: Totales Dfferetal dz = Fuktosäderug z = Als Formel: dz f z f, d f, d d, d f, Zuwachs der Tagetalebee P, we alle Koordate um (d,d, wetergegage wrd Zuwachs der Fukto, we ma um deselbe Vektor (d,d, wetergeht W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 9

17 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Def D 8-9 Totales Dfferetal ( Veräderlche Das totale Dfferetal dz eer Fukto z = f(, m Pukt (, st defert durch: Es glt:, d f, d dz f dz z we d, d hreched kle sd (s. Zechug. De Tagetalebee m Pukt (, st gegebe durch:, f, ( - + f, Z(, f ( - Zum Bewes der Tagetalebeeglechug setzt ma allgemeer Form a b( c( a ud führt ee Koeffzeteverglech durch. Z Be Fuktoe vo Varable erwetert ma des gaz aalog: Def D 8- Totales Dfferetal ( Veräderlche Das totale Dfferetal dz eer Fukto z f,,..., f( wrd defert durch: dz f d + f d f dabe sd alle partelle Abletuge m betreffede Pukt zu ehme. hre- Es glt auch her: dz z f( d f( ched kle st. d, we d d,d,...,d ( Bespele: z z z 3, 5,d.3,d. f, f(3,5 3 f( d, d f(3.3, z.64 dz d d also glt tatsächlch: z dz z z ( d( d d d dd dz d d dz z bs auf Terme. Ordug (dz: schraffert, z: gelber Htergrud d dd d W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete

18 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS E deales Gas geügt der Zustadsglechug V,T RT p (für Mol. Das totale Df- V feretal deser Fukto lautet somt: dp p V dv p T dt RT dv V R V dt ud gbt äherugswese de Äderug des Drucks be klee Volume- ud Temperaturäderuge weder Aweduge Totales Dfferetal Ketteregel Bespel Zetabhäggket: I vele Aweduge hat ma Fuktoe z = f(,,t, dee de Parameter = (t ud = (t auch weder vo eem Parameter t (Zetparameter abhäge. Da de Abletug ach der Zet so häufg vorkommt, hat sch herzu auch ee egee "Pukt"-Schrebwese egebürgert: dz z dt We geau verädert sch z, we sch de Zet um e hreched klees dt verädert? Satz S 8-6 Ketteregel ( Parameter Ist z = f(,,t ee Fukto vo Veräderlche = (t ud = (t, de selbst weder vo eem Parameter t (z. B. Zet abhäge, so hat de zusammegesetzte Fukto z z(t f (t, (t,t de Abletug (Dfferezerbarket aller betelgte Fuktoe vorausgesetzt z dz dt f d f dt d ft dt Ü Übug: Erweter Se das Ergebs aus Satz S 8-6 sgemäß auf de Fuktoe f (t f(,, z t, cos z ep( t, z e t dem Se f df dt blde! Bewes vo Satz S 8-6 Vorlesug (über totales Dfferetal Der Gradet: Woher weht der Wd? [Stgl, S. 343 ud 353] lat. Verb: grador, gressus sum = schrete lat. Substatv gradus = Schrtt, Stadpukt, Stufe (vgl. graduell W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete

19 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS (hägt also eg mt userem Bld vom Ausschrete m Fuktoegebrge zusamme Def D 8- Gradet Der Gradet grad f eer Fukto z= f(,,..., st ee Vektorfukto (s. Def D 8-7, de aus de partelle Abletuge besteht. Wertet ma de Gradet a eer bestmmte Stelle P = (,,..., aus, so etsteht (grad f(p, e efacher Vektor: f grad f f (grad f(p f f (P (P I de bede folgede Blder stelle de Grauschatteruge de Fukto f dar, wobe schwarz de höchste Fuktoswert darstellt, ud de Pfele smbolsere de zugehörge Gradete: [ ] Ma beachte: Der Gradet "lebt" m Raum (,, dem de Fukto f defert st, NICHT m Raum (,,z, de ma braucht, um sch de Fukto vorzustelle. [ Vorlesug: weso der Gradet de Wdrchtug agbt] Bespel: Der Gradet der Fukto f(, = lautet grad f, a der Stelle (,=(, wrd er zum Vektor ( grad f(,, a der Stelle 3 8 (,=(, wrd er zum Vektor ( grad f(,. 6 De Abletug eer Fukto mehrerer Veräderlcher f( = f(,,..., ach der Zet läßt sch mt dem Gradete sehr kompakt schrebe: df ( df (,, d dt dt grad f dt Satz S 8-7 Egeschafte des Gradete. Der Gradet ( grad f(p steht sekrecht auf der durch P verlaufede Äqupotetalle- oder fläche, also der Puktmege { PR f(p = f(p }.. Der Gradet west de Rchtug des stelste Astegs. D. h. de Äderug vo f a der Stelle P hat Rchtug vo ( grad f(p hre Mamalwert, ämlch de Betrag ( grad f(p. W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete

20 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Der Gradet hat also ee sehr aschaulche Bedeutug m "Fuktoegebrge". ( grad f(p. f(p=f(p ( grad f(p. f(p=f(p ( grad f(p. f(p > f(p > f(p f(p=f(p Bespele ud Bewes vo Satz S 8-7 Vorlesug Ü Übug: Wr befde us m Pukt P=(,,z=(,,-. I welcher Rchtug hat de Fukto f f(,,z ep( hre stelste Asteg? z Der Gradet spelt ee große Rolle der Optmerug, be der ma oft e bestmmtes Fehlersgal zu mmere hat. Statt uzählge (uedlch vele Fuktosdffereze auszuprobere, recht es für glatte Fuktoe, a der Stelle P de Gradete auszureche (ee Vektor aus lauter Zahle! ud e Stückche de Gegerchtug zu marschere. Ma sprcht vom Gradete-Abstegsverfahre (egl. gradet descet, eer wchtge Methode der Optmerug Learserug eer Fukto [evtl. m Selbststudum, we Zet kapp] Bespel: Nehme wr de komplzert aussehede Fukto f(, ep(t dt Jemad verlagt vo us, dass wr de Fukto der Nähe vo (, =(, tabellere, d.h. wr solle ausreche f(, ???.???.??? W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 3

21 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Nu st das Itegral aaltsch gar cht berechebar, ud umersche Methode sd us vel zu vel Aufwad. We komme wr da raus? Aus dem totale Dfferetal dz z f( d f( h ( h,,h folgt ach Def D 8- mt Satz S 8-8 Learserug T d umttelbar: Für Vektore h mt kleem Betrag h st h P( h f f f ( h ee gute Näherug für h f( um. f. Ma et P( h auch de Learserug der Fukto De Fukto ( Ordug. P h st de Talor-Etwcklug eer Fukto vo Veräderlche bs zur. Beachte: De Learserug bs zur. Ordug lefert gerade de Glechug für de Tagetalebee durch de Pukt. Der Vektor h ethält de free Parameter. Lösug zum Bespel: Es st T (, ud f, f ep(, also st f(,, f(, f( f(,.5 de Formel aus Satz S 8-8 f. Weterh köe wr ausreche (zum Glück!, de das Itegral wrd zu. Wr setze h f f( h f( h.5 h h Werte für h {-.,.,.} ud h {-.,.,.} e ud erhalte schleßlch. W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 4 de verschedee Näherug f. f(, De eakte Lösug ka mt Maple umersch ausgerechet ud m Verglech mt der Learserug vsualsert werde (s. plot3d.mws, Abschtt Learserug f(, eakt

22 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS De Learserug st also ee sehr gute Näherug. Ud se st vel weger Aufwad! W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 5

23 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Optmerug mt Lagrage-Multplkatore [Papula, Bd., S ], De meste reale Optmerugsprobleme habe Nebebedguge: Mamere de Gew, wobe de Summe der Masche-Stude kostat st Mmere de Frestude eem Studepla, wobe jeder Raum jeder Stude ur durch ee Klasse belegt se darf usw. Bespel: Wo lege de Etrema vo Z(, = +, we de Nebebedgug + =5 ezuhalte st? [Lösug de Übuge] Der smple Asatz: Nebebedgug ach eer Varable auflöse, z.b. =(, Z(, esetze, da Etrema vo F( = Z(,( suche. Des geht jedoch cht mmer: Se Z(, ee zu optmerede Zelfukto ud (,= de Nebebedgug. De obge Methode fuktoert cht (gut, we de Auflösug vo (,= ach oder cht möglch oder aber zu aufwedg st; we de Auflösug =( zwar gelgt, aber Z(,( = F( zu uötg komplzerte Abletuge F'( oder F''( führt. De Methode der Lagrage-Multplkatore betet her ee gute Trck: Satz S 8-9 Lagrage-Multplkator Gegebe ee zu optmerede Zelfukto Z(, ud ee Nebebedgug (,=, de glechzetg ezuhalte st. Deses Problem wrd folgede Schrtte gelöst:. Blde de Hlfsfukto F(,, Z(, (, Der (och ubekate Parameter heßt Lagrage-Multplkator. Setze de partelle Abletuge glech Null: F F F Z Z (, (, (, (, (, Aus dese 3 Glechuge lasse sch de 3 Ubekate, ud bestmme. 3. Gbt es mehrere Lösuge, so ka ma durch Esetze Z(, herausfde, welche der Lösuge e Mamum (bzw. Mmum se ka. (Ee hrechede Nachwes hat ma damt allerdgs cht W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 6

24 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS De Sache mutet we e Taschespelertrck a: Erst ergäze wr e, erhalte so ee eue Fukto F(,,, elmere da weder ud habe ageblch ee Lösug vo Z(,, de de Nebebedgug ehält? Weso? I Vorlesug bewese wr, weso deser Trck fuktoert. Amerkug: Das Verfahre der Lagrage-Multplkatore läßt sch ohe Schwergkete auch auf Fuktoe vo Varable mt m Nebededguge (m< verallgemeer. De Hlfsfukto lautet da: F( m,,,,, m Z(,, (,, ud de (+m partelle Abletuge ud damt Glechuge ergebe sch aalog. De Nebebedguge müsse Glechugsform vorlege. Be Nebebedguge Uglechugsform helfe de Lagrage Multplkatore cht weter, her braucht ma adere Optmerugsmethode (Smple oder Iteror Pots. Das wolle wr aber her cht weterverfolge. Bespel: Auf eer ebee Bühe soll der Pukt A optmal ausgeleuchtet werde. Es glt das Lambertsche Gesetz I cos B (, r r De Lchtquelle festem Abstad a st auf eer sekrechte Stage verschebbar. Lösug: Nebebedgug st a s r s a r Zu mmere: I cos F(,r, (r s a r I s F r cos r I cos Fr s 3 r r h A a I r 3 ta 3 r ta I ta ta Da de gesuchte Lösug m. Quadrate lege muss (9, kommt ur de +-Lösug Frage: arcta Über de Nebebedgug folgt r = a/s =.5a sowe h = a ta =.77a. W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 7

25 Prof. Dr. Wolfgag Koe Mathematk, SS Ü Übug: E Zufallsepermet habe 4 möglche Ergebsse, de mt de Wahrschelchkete p,...,p 4 auftrete. Wel ees deser Ergebsse mmer herauskomme muss, glt offeschtlch p + p + p 3 + p 4 =. Be welche Wahrschelchkete wrd das Produkt Z(p,...,p 4 =p p p 3 p 4 mamal? Zege Se mt Lagrage-Multplkatore, dass de Lösug p =...=p 4 =.5 st! 8.9. Fazt Wchtge Begrffe ud Ergebsse aus desem Kaptel ware: reelle Fukto mehrerer Veräderlcher Vektorfukto Tagetalebee f : R R : R R : Veräderlche, abhägge Größe m : Veräderlche, m abhägge Größe Ebee m Raum R durch de Pukt, f(, de alle Rchtuge de Stegug der (stetge Fukto f hat. f ( cost m -Raum. Für R Äqupotetalfläche Fläche mt. Fläche zu Le, de Höhele. partelle Abletug ach werde de alle Veräderlche außer als kostat festsetze, da "ormal" ach ablete totales Dfferetal Zuwachs der Tagetalebee be Verrückug um d Gradet vo f Vektorfukto m Raum R, de. Kompoete st f. Wchtge Ergebsse: Fuktoe mehrerer Veräderlcher lasse sch über Fläche m Raum, über Höheledagramme oder über Kelefelder vsualsere. o Höhele: z = f(, ach auflöse o Kele: alle Veräderlche bs auf ee kostat festsetze. De Dfferetalrechug eer Veräderlche läßt sch auf Fuktoe mehrerer Veräderlcher übertrage. o partelle Abletug: alle Veräderlche bs auf ee kostat, da ablete. Der Gradet st der Vektor aller. partelle Abletuge (Kap Er steht a jeder Stelle sekrecht auf de Äqupotetalfläche ud west Rchtug des stelste Astegs. Etremwerte: Hrechede Krtere sd für mehr als Varable schwerg, für Varable aber gut agebbar (Satz S 8-3. Mt der Methode der kleste Quadrate (LS-Methode (Kap lasse sch gut Ausglechsgerade bestmme. Vele reale Optmerugsprobleme mt mehrere Veräderlche habe ebe eem Mamerugszel auch wetere Nebebedguge zwsche de Veräderlche Glechugsform. Her hlft de Methode der Lagrage-Multplkatore (Kap etscheded weter. W. Koe ZD-MatheSS9-et.doc Sete 8