Seminar - Model Checking

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1 Seminr - Model Checking Äquivlenz(Klssen) - Trces, Simultion, Bisimultion,... Tim Hrtmnn

2 Gliederung Einleitung Trnsitionssysteme Beobchtbres Verhlten Äquivlenz Äquivlenzreltionen Trces Simultion Bisimultion Stotter-Reltionen 2

3 S, S Trnsitionssysteme (Aktionszentriert) : Menge von Zuständen : Trnsitionsreltion Schreibweise: Act : Menge von Aktionen I Act, I s S S, Act p q für p, q S Act p,,q : Menge ller Aktionen, die in möglich sind Lbeled Trnsition System (LTS) nch vn Glbbeek 1+2) Milner 4) s 3

4 Beispiel Trnsitionssystem s 0 b s 1 S={s 0, s 1, s 2 } s 2 c Act={, b,c} ={ s 0,, s 1, s 0,, s 2, s 1, c, s 2, s 2,b, s 1 } Strtzustände? - Mrkiert, Zustände ohne eingehende Trnsitionen, beliebig, vriiert in der Litertur Endzustände? - Zustände ohne usgehende Trnsition Eigenschften von Zuständen? 4

5 Beschriftetes Trnsitionssystem (Zustndsbsiert) Komplettes Tupel: : Menge von tomren Aussgen : Beschriftungsfunktion AP L s sei eine Aussgefunktion s erfüllt L s erfüllt Weiterhin: Strtzustände S, Act,, I, AP, L I S L s : S 2 AP Lbelled Trnsition System nch Bier, Ktoen 3) 2 AP : Potenzmenge (Powerset) von AP 5

6 Beispiel LTS s 0 s 1 { rot } { grün } L s 0 =rot, L s 1 =grün =EF grün s 1 erfülllt Vergleich: Kripke Struktur 6

7 LTS und Petri Netze Zustnd 0 Trnsition schltet Aktion Zustnd 1 7

8 LTS und Petri Netze Zustnd 0 Tür öffnen L(Z 0 )= Tür öffnen Aktion Tür öffnen L(Z 1 )= Zustnd 1 8

9 Beobchtbres Verhlten Wie unterscheiden sich zwei LTS? Für eine Antwort: ds Verhlten von beiden beobchten. Lässt sich kein Unterschied feststellen, werden sie ls gleich identifiziert Grundstzfrge: Aktionen oder Zustände beobchten? Ampel ht uf Rot geschltet oder Ampel ist im Zustnd mit der Eigenschft Rot? Beides ist gleich mächtig 9

10 Beobchten Kein Wissen über interne Abläufe oder Struktur System ist Blck Box in einem Testszenrio Von ussen sichtbre Aktionen/Aussgen Gibt es Interktion mit der Umwelt? Können Aktionen eingeschränkt werden? Trifft ein Benutzer eine Auswhl? Lssen sich finle Zustände erkennen?... 10

11 Äquivlenz Abhängig dvon ws und wie beobchtet wird, werden LTS ls gleich identifiziert O p : mögliche Beobchtungen von Äquivlenzreltionen: Reflexiv Symmetrisch Trnsitiv p p= O q O p =O q Äquivlenzklssen: [ p] O ={q S p= O q} weitere Schreibweisen: [p], p/~o,... 11

12 Trces Definition Aktionsbsiert Act ist Trce von p, wenn q, mit p q T p : Menge ller Trces von p Trce-Äquivlenz: p= T q T p =T q 12

13 Trces Beispiel Zwei Getränkeutomten links und rechts T 0,50 =T r l ={ 0,50, } T l =T r left= T right Obwohl der rechte Automt nichtdeterministisch in einen fehlerhften Zustnd geht, lässt sich nhnd der Trces kein Unterschied feststellen. 13

14 Complete Trces Definition Act ist complete Trce von p wenn q,mit p q I q = CT p : Menge ller Complete Trces von p CTrce-Äquivlenz: p= CT q CT p =CT q 14

15 Trces Definition Zustndsbsiert infinite Pth: =s 0 s 1 s 2... trce =L s 0 L s 1 L s 2... Trces TS : Menge ller Trces eines TS für initile, mximle Pfde Trce-Äquivlenz: Trces TS 1 =Trces TS 2 15

16 Complete Trces Beispiel Zwei Getränkeutomten links und rechts CT r ={ 0,50 0,50, } CT l ={ 0,50, } CT l CT r left CT right 16

17 Simultion Definition Aktionsbsiert prq p p' q' : q q' p' Rq ' p, p' S 1, q, q ' S 2, Act p wird simuliert von q, p q, wenn R mit prq Simultionsäquivlenz: p= S q p q q p 17

18 Simultion Definition Zustndsbsiert TS i = S i, Act i, i, I i, AP, L i,i=1,2 Simultion: binäre Reltion s 1 I 1 s 2 I 2 s 1, s 2 R R S 1 S 2 s 1, s 2 R gilt : (1) L s 1 =L s 2 (2) s 1 ' Post s 1 dnn s 2 ' Post s 2 mit s 1 ', s 2 ' R TS 2 simuliert TS 1,TS 1 TS 2 Simultionsäquiv.: TS 1 TS 2 TS 1 TS 2 TS 2 TS 1 18

19 Simultion Beispiel 1 Zwei Getränkeutomten links und rechts right left? Kffee Kffee 19

20 Simultion Beispiel 1 Zwei Getränkeutomten links und rechts Kffee Kffee 20

21 Simultion Beispiel 1 Zwei Getränkeutomten links und rechts Kffee Kffee 21

22 Simultion Beispiel 1 Zwei Getränkeutomten links und rechts Kffee Kffee Der rechte Automt wird vom linken simuliert. 22

23 Simultion Beispiel 1 Zwei Getränkeutomten links und rechts right left left right Kffee left = CT right Kffee left S right Der rechte Automt knn den rot mrkierten Zustnd des linken Aumten nicht simulieren. 23

24 Simultion Beispiel 2 Andere Aktionen/Eigenschften bezhlen right left left right bezhlen bezhlen Getränk Getränk Getränk Getränk left= S right Aus jedem der rot mrkierten Zustände führt eine Trnsition mit der Aktion Getränk. Eine Eigenschft wie: A bezhlen U Getränk wird von beiden Systemen erfüllt. 24

25 Simultion Beispiel 3 Zwei Getränkeutomten links und rechts left right? right left? 25

26 Simultion Beispiel 3 Zwei Getränkeutomten links wird simuliert von rechts 26

27 Simultion Beispiel 3 Zwei Getränkeutomten rechts wird simuliert von links 27

28 Simultion Beispiel 3 Zwei Getränkeutomten links und rechts right left left right left= S right left CT right Simultion ist unbhängig von Complete Trces (Vergleich: Beispiel 1 und Beispiel 3). 28

29 Bisimultion Definition prq p p' q' : q q' p' Rq ' prq q q' p' : p p ' p ' Rq' p, p' S 1, q, q ' S 2, Act Bisimultionsäquivlenz: p= B q Bisimultion R mit prq weitere Schreibweise 3+4) : p~q 29

30 Bisimultion Definition Zustndsbsiert TS i = S i, Act i, i, I i, AP, L i,i=1,2 Bisimultion: binäre Reltion (1) (2) (3) s 1 I 1 s 2 I 2 s 1, s 2 R s 2 I 2 s 1 I 1 s 1, s 2 R R S 1 S 2 s 1, s 2 R gilt : L s 1 =L s 2 s 1 ' Post s 1 dnn s 2 ' Post s 2 mit s 1 ', s 2 ' R s 2 ' Post s 2 dnn s 1 ' Post s 1 mit s 1 ', s 2 ' R Bisimultionsäquivlenz: TS 1 ~TS 2 30

31 Bisimultion Gegenbeispiel Zwei Getränkeutomten links und rechts left= S right left B right Es gibt keine Bisimultion, welche die rot mrkierten Zustände enthält. Denn drus müsste die blu gekennzeichnete Zuordnung folgen. 31

32 Bisimultion Beispiel Abstrktere LTS p und q p 0 b p 1 q 0 q 1 b p 2 p~q? q 2 b 32

33 Bisimultion Beispiel Abstrktere LTS p und q p 0 b p 1 q 0 q 1 b p 2 p~q? q 2 b B={ p 0, q 0, p 0, q 2,...} 33

34 Bisimultion Beispiel Abstrktere LTS p und q p 0 b p 1 q 0 q 1 b p 2 p~q q 2 b B={ p 0, q 0, p 0, q 2, p 1, q 1, p 2,q 1 } 34

35 (Bi)Simultion und Trces Bisimultion, Simultion und Trces lssen sich in eine Reihenfolge bringen: TS 1 ~TS 2 TS 1 TS 2 Decken sich in AP-deterministischen TS Simultion und (complete) Trces sind unbhängig Wenn TS 1 keine Terminlzustände enthält: TS 1 TS 2 Trces TS 1 Trces TS 2 35

36 (Bi)Simultion und Trces Fortsetzung: In AP-deterministischen TS: TS 1 TS 2 Trces TS 1 =Trces TS 2 Grfik für Aktionsbsierte Reltionen: Bisimultion Simultion Complete Trces Trces 36

37 Quotientensysteme (Bi)Simultion erlubt Vergleiche zwischen LTS Knn uch eingesetzt werden, um Zustände innerhlb eines LTS zu vergleichen Quotentensystem knn deutlich kleiner sein, ws effizienteres Model Checking erlubt Trces, Simultion und Bisimultion erhlten bestimmte Eigenschften (LTL, CTL) 37

38 Quotientensystem/Abstrktion Quotientensystem q bezhlen bezhlen bezhlen bezhlen Getränk Getränk Getränk Getränk l 1, l 2 [q] l~q Getränk Eine Eigenschft wie: wird von llen Systemen erfüllt. A bezhlen U Getränk 38

39 Stotter (Linerzeit) Reltionen Auch bezeichnet ls schwche / wek... Trnsition knn uf Sequenz von Trnsitionen bgebildet werden: Wenn sich der Whrheitswert der Atomren Aussgen nicht ändert So lng nur innere / unsichtbre Aktionen usgeführt werden Ermöglicht beliebig viele Stotter-Schritte innerhlb einer Äquivlenzklsse Divergenz?: verlssen Stotter-Pfde die Äquivlenzklssen? 39

40 Stotter Reltionen Beispiel s 0 {} s 1 s 2 s 3 {} {} { } s 0 und s 1 sind Stotter-Äquivlent [] es ist möglich unendlich lng in zu bleiben s 0, s 1 und s 2 sind nur Stotter-Äquivlent, wenn Divergenz nicht bechtet wird 40

41 Litertur 1) R. J. vn Glbbeek. The Liner Time - Brnching Time Spectrum I. The Semntics of Concrete, Sequentil Processes. Online vilble version ) R. J. vn Glbbeek. The Liner Time - Brnching Time Spectrum II. The semntics of sequentil systems with silent moves. Online vilble version ) Christel Bier, Joost-Pieter Ktoen. Principles of Model Checking. MIT Press ) Robin Milner. Communicting nd Mobile Systems: The Pi Clculus. Cmbridge Univ Press