Lineare Algebra I. Prof. H. Knörrer. inoffizielles Vorlesungsskript WS 2002/2003 ETH Zürich. Version 1.71

Transkript

1 Leae lgeba I Pof H Köe offzelles Volesugssp WS /3 ETH Züch Veso 7 geschebe vo So uchel ehscps@ybesco

2 Ihal Das Elaosvefahe vo Gauss 3 Vogff auf Maxulplao 6 Veoäue (Fsche 4, 5 6 Eschub übe Maxulplao II Leae bblduge Leae Glechugssysee 4 wedug auf Mazeulplao 5 Leae bblduge ud Maze 6 Koodaeasfoao 7 Deeae 9 Moe eechug de Deeae (llgee ewes de Exsez de Deeae 3 Rge ud Polyoe (Fsche 3 6 Dvso Res K[] 6 Äquvalezelaoe (Fsche 3 7 Egewee (Fsche 4 8 Das chaaessche Polyo 9 Dagoalseug 3 Noe, leafoe ud Sesquleafoe (Fsche 5 33 Veallgeeeug 33 Tasfoaosfoel 35 Ohooee ase 36 Ga-Schd-Vefahe 38 Ohogooale ud Uäe bblduge (Fsche De dsee Foue sche Tasfoao 4 Selbsadugee bblduge (Fsche Haupachseasfoao fü syesche Maze (Fsche Ga-Hadaad sche Uglechug 46 Dee Sue (Fsche 6, Quoee-, Dualäue 47 Quoeeveoäue (Fsche 5, 6, 7 48 Dualäue (Fsche 6 5

3 Das Elaosvefahe vo Gauss EISPIEL Löse ees belebge Glechugssyses: 3 Gegebe see de de Ebee de Glechuge x + x + x3 6 ( I x + x + 3x3 ( II x + 3x + 6x3 8 ( III ufgabe: ese he Duchsch Lösug: x ( + x + x 3 6 I x+ x+ 3x3 ( II x + x 4 6 III II ( III + x 3 x + x + x 3 x+ x34 6 ( I ( II ( I ( II x + x + 4x 3 6 ( III ( II ( III x + x + x 3 x+ x34 6 ( I ( II ( I ( II x 3 ( III ( II III LLGEMEIN DEFINITION DEFINITION ( III x 3 ( II x4 x3 ( I x 6 Lösug: ( x/ x/ x3 ( 3/ / E leaes Glechugssyse Glechuge ud Ubeae ha de Fo: ax + ax + + a x b ax + ax + + ax b a x + a x + + a x b Dafü gegebe sd de Koeffzee a Gesuch: Ubeae x, x,, x Veefache Schebwese Ee ( -Max s e Schea: a a a a a a a a a ud De Zahle a hesse Eäge E Spaleveo de Höhe p s e Schea: c C C s egelch ee ( p -Max c p b (,,, ;,,, 3

4 DEFINITION E Zeleveo de Läge p s e Schea: 4 ( p C c c DEFINITION Is ee ( -Max ud x e Spaleveo de Höhe, so s x defe als de Spaleveo de Höhe ax + ax + + a x ax ax a x x a x + a x + + ax b x Glechugssyse x b b, x b x a x da s x a x EISPIEL Glechugsyse (we espel obe: 6 3, b DEFINITION De Lösugsege des Glechugssyses x b s: Lös ( b, { x x b} EMERKUNG Duch äquvalee Ufouge wude espel das Syse ugefo x b : 6 ; b 4 DEFINITION Rag ee Max Folgede Max s Zele-Sufe Fo I dese espel s Rag 3 D h ab de 4 Zele sd u Nullzele 3 3, 3, 3 6 Päzse: Es gb e ( (Rag, sodass de Zele ( +, ( +,, Nullzele sd, ud de Zele,, ewels ch u Nulle ehale DEFINITION Ee ( -Max s Zelesufefo, we se so ausseh: D h Ee Max s auf Zelesufefo, falls < < < (,,, de ese Idex ede Zele a DEFINITION Dese Eäge a hesse Pvo-Eleee EMERKUNG Saege/lgohus: ( Übefühe e belebges leaes Glechugssyse duch äquvalee Ufouge (d h Lösugsau veäde sch ch; edoch wd de Rau ch duch gleche Veoe aufgespa x b fü welches de eweee Koeffzeeax Zelesufefo s ( Löse e Glechugssysex b, we de eweee Koeffzeeax Zelesufefo s

5 LSO ( Löse e Glechugssyse x b, we de eweee Koeffzeeax Zelesufefo s Duch Veausche de Vaabledzes a a aehe, dass de Max folgede Fo ha: a a b a b ( b, a b b + Falls b + : Kee Lösug! sose R Sd x+, x+ fee Vaable ud x, x+,, x suzessve duch x + bes: Paaeseug vo Lös(, b Lös(, b ( x x x (,,,x,,,, x b a a a x b x 3 x x 4 x 3 3 x x3 x 5 x4 x x x x (, +, Paaeseug: x 4 x 5 x 6 3 3x 3 x 3 3 x ( x 3 x x ( ( Eweee Koeffzeeax auf Zelesufefo bge DEFINITION De eleeae Zeleopeaoe sd: Veausche zwee Zele ddee des -fache ee Zele zu ee adee STZ Eleeae Zeleufoug äde chs a Lösugsau: Se C (, de eweee Koeffzeeax des Glechugssyses x b ud C ( b, Lös( b, Lös( b, EWEIS W öe aehe de Suao, dass C duch ee eleeae Zeleufoug aus C hevogeh Falls de Opeao vo Typ (Veausche zwee Zele s, so s das la Falls de Opeao vo Typ (ddee des -fache de c-e Zele zu - e Zele: a x + + a x b a x + + a x b c c ud a x + + a x b ( a + a x + + ( a + a x b + b STZ Jede Max läss sch duch eleeae Zeleufouge auf Zelesufefo bge EWEIS Se C ee Max Falls C, so s a feg Wähle das lese, sodass de -e Spale vo Null veschede s - Wähle, sodass c - Veausche de Zele ud 5

6 c - fü > ( -e Zele ( Zele c Resula: c Zu de eleeae Zeleopeaoe a a dazuehe: Mulplao ee Zele (chug! Dese Opeao veäde de Deeae Sehe späe Vogff auf Maxulplao DEFINITION Se ee ( Max ud ee ( Max Das Maxpodu C s de ( Max Eäge c a a a a c a a b b b a b b b b x Is x e Spaleveo x, so s x das Maxpodu, wobe x als ( Max aufgefass wd RECHENREGELN ( + C + C ( + C C + C E ( Max ee ( Max E E STZ Maxulplao s assozav: ( C ( C (ewes Fsche p48 STZ Maoffpozess Se T ee ( Max, Spalesue ud s posve Eäge, da gb es ee Wahschelchesveo, sodass l T ( u, u,, u (Max laue Spaleveoeu Se x gede Wahschelchesveo, so gl ltx u Veoäue (Fsche 4, 5 Se K e Köpe (z ode DEFINITION E Veoau V übe K s ee Mege V, zusae ee ee Veüpfug + : V V V;( v, w v + w ddo ud ee äussee Veüpfug : K V V; (, v w Mulplao, 6

7 sodass gl v + w w + v d h ( v, + ouave Guppe u + ( v + w ( u + v + w Es gb e euales Elee, sodass + v v + v Fü alle v V gb es ev V, sodass v + ( v ( + µ v v + µ v; ( v + w v + w ( µ v ( µ v v v, µ K EISPIEL Veschedee Veoäue: - K Rau alle Spaleveoe - Rau alle ( Maze, opoeewese ddoe ud Salaulplaoe - K[] Rau de Polyoe a + a + a + + a a, a,, a K EMERKUNG - Rau de seg dffeeebae Fuoe auf [,] ( f + g( x f( x + g( x fü x [,] K ( f( x f( x I ee Veoau V gl v v ode v v v DEFINITION EISPIEL Ee Telege W ees Veoaus V hess Ueveoau, falls W v + w W! v, w W v W! v W K v W W da v v v + v v W Ueveoau: ee ( Max Eäge K { x K x } s e Ueveoau vo d h de Lösugsege ees hoogee Glechugssyses s e Ueveoau EMERKUNG Is W Ueveoau, so s W +, selbs wede Veoau EMERKUNG Sd W ud W Ueveoäue, so auch W " W K W V W ud W W Ueveoau DEFINITION DEFINITION EISPIEL De vo v,, v aufgespae Veoau s we folg defe: spa( v,, v { v + + v,, K} v,, v V v,, v V hesse lea abhägg, falls es,, K gb, de ch alle Null sd, sodass v+ + v lea abhägge Veoe: De Nullveo läss sch als chvale Leaobao daselle: 7

8 ; ; v v v 3 v + v v de Veoe sd lea abhägg 3 v v 3 DEFINITION LEMM EWEIS 8 v,, v hesse lea uabhägg, we se ch lea abhägg sd D h es gl v + + v (Nullveo läss sch u als vale Leaobao daselle v,, v sd lea uabhägg Äquvale sd folgede ussage: v,, v sd lea uabhägg ede v spa( v,, v läss sch edeug als Leaobao v v + + v schebe ( ( läss sch als edeuge Leaobao schebe v + + v ( ( Sev spa( v,, v See,,, µ,, µ K sodass v v+ + v v µ v+ + µ v v v ( v + + v ( µ v + + µ v l uabh u de vale Lösug v v ( µ + + ( µ µ µ µ ; ; µ (edeug EISPIEL lea uabhägge Veoe: e, e sd lea uabhägg K de e+ + e EISPIEL See v,, v K Spaleveoe DEFINITION DEFINITION DEFINITION v v v v v v v,, v lea uabhägg # v+ + v ha u de vale Lösug # ha u de vale Lösug (,, de ( Max Spale v,, v v v,, v hesse e Ezeugedesyse vo V, falls V spa( v,, v E Syse v,, v vo Veoe V hesse ass vo V falls v,, v e Ezeugedesyse uveüzbaes Ezeugedesyse v,, v lea uabhägg V hess edlchdesoal, falls es ee edlche ass ha

9 THEOREM Je ase ees edlchdesoale Veoaus habe glech vele Eleee DEFINITION Dese zahl hess Deso dv vo V STZ Seev, v V Äquvale sd folgede ussage De Veoe v,, v blde ee ass v,, v blde e uveüzbaes Ezeugedesyse d h s, so s v,, v, v+,, v+,, v (Veo v wude efe e Ezeugedesyse eh Fü edes v V gb es edeug bese,, K, sodass v v+ + v v v,, v sd uvelägeba lea uabhägg d h s v V, so s v,,, v v lea abhägg EWEIS ( ( Nehe ( a, da sd v,, v e Ezeugedesyse vo V Nehe v weg ud behaupe, es se e och e Ezeugedesyse vo V Wäe ewa v,, v, v+,, v och ses e Ezeugedesyse, so gäbe es Koeffzee,,, +,,, sodassv v+ + v + + v+ + + v Da wäe v + + v + ( v + + v+ + + v De Nullveo läss sch als chvale Leaobao daselle De Veoe v,, v sd lea abhägg Wdespuch! ( ( W ehe a, es gäbev V, das sch auf zwe veschedee e als Leaobao vo v,, v schebe läss, d h v v+ + v + + v µ v µ v+ + µ v + + µ v ( µ v + + ( µ v + + ( µ v v ( µ + + ( µ ( µ ( µ µ v,, v, v+,, v sd e Ezeugedesyse, de edes v V läss sch als Leaobao vo v,, v schebe, ud dese Leaobao a a da v duch eseze v,, v veüzba Wdespuch! ( (v v,, v sd wege he Edeuge lea uabhägg W ehe ee eue Veo v V dazu ud zege, dese Veoe lea abhägg wede Nach Voaussezug gb es e,,, sodassv v+ + v v + + v + ( v De Null läss sch als chvale Leaobao daselle v,,, v v lea abhägg (v ( Leae Uabhägge ech u zu zege, dass v,, v e Ezeugedesyse blde Sev V Nach Voaussezug sd v,, v, v lea abhägg, d h es gb,,,, sodass v + + v + v ohe, dass alle Koeffzee sd Wähle, so wäe v,, v lea abhägg Wdespuch! lso s STZ v ( v+ + v assauswahlsaz us ede edlche Ezeugedesyse a a ee ass auswähle 9

10 LEMM usauschlea Se v,, v ee ass vo V w v+ + v + + v Da s v,, v, w, v+,, v ass EWEIS Od (Ohe eschäug de llgeehe v w v v STZ EMERKUNG EWEIS wv,,, v blde e Ezeugedesyse, de edes v V läss sch als Leaobao vo v, v,, v schebe wv,,, v sd lea uabhägg, de s µ w + µ v + + µ v µ ( v + + v + µ v + + µ v d h µ v + ( µ + µ v + + ( µ + µ v $ µ v µ µ + µ µ lea uabhägg % µ + µ & usauschsaz Se v,, v ee ass vo V ud w,, w (spae Ueveoau auf see lea uabhägg Da s Es gb,, {,, } paawese veschede, sodass a ach usausch vo v w, v w,, v w wede ee ass ha us de usauschsaz folg das Theoe, dass e zwe ase glech vele Eleee habe, de sd v,, v ud w,, w ase, so s ach de usauschsaz ud ' (usauschlea Iduosveaeug Iduosaahe Saz gele fü, sbesodee Od w,, w, v, v+,, v ass (d h Iduossch Wäe >, so wäe wege +, also ; d h w,, w s ass be w,, w läss sch duch w zu ee lea uabhägge Syse ewee Wdespuch! Schebe w w + + w + v + + v Wäe, so wäe w + + w + w w w w uabhägg Wdespuch! ( {,, } ; sodass Nach usauschlea s w,, w, v,, v, w, v +,, v Is ch lea STZ assegäzugssaz See w,, w lea uabhägge Eleee ees edlchdesoale Veoaus V, da gb es ew,, + w, sodass w,, w, w+,, w ass vo V EWEIS ase sd uvelägebae lea uabhägge Ezeugedesysee KOROLLR d V ( + Veoe V sd ses lea abhägg

11 DEFINITION Se ( a ee ( Max De Zeleag vo s de Deso des vo de Zele vo aufgespae Ueveoau ZR( vo K (ZR Zeleau DEFINITION De Spaleag s de Deso des vo de Zele vo aufgespae Ueveoau SR( vo K (SR Spaleau STZ Spaleag Zeleag: d ZR ( d SR ( STZ - Eseh aus duch eleeae Zeleufoug, so s ZR( ZR( - Is Zelesufefo, so blde de vo veschedee Zele vo ee ass vo ZR( DEFINITION Se ee ( Max ( a De aspoee Max s de ( Max Eägea (Noao adee üche: EISPIEL aspoee Max: Eschub übe Maxulplao II NOTTION M (, K : Veoau de ( Maze EISPIEL Noao fü Maze M (, K M (, K M (, K M (, K M (, K M (, K ( ( ewes späe Leae bblduge K Köpe; V,W K -Veoäue DEFINITION Ee bbldug F : V W hess lea (leae Veoauhooophsus, falls F( v, µ w: F( v + µ F( w! vw, V;, µ K EISPIEL leae bbldug: V K W K M (, K F : K K x x EMERKUNG De Spale vo sd Fe (,, Fe ( (de lde de Ehesveoe e,, e EISPIEL V Veoau de Fuoe auf [, ] V f + f( d EMERKUNG F( Fv ( w Fv Fw, de F( F( F( F v+ + v F v + + F v v,, v V lea abhägg Fv ( + + Fv ( W de, sd v,, v lea abhägg, so gb es,, K ch alle Null, sodass v+ + v F( v + + v F(

12 EWEIS LEMM EMERKUNG v Sd V, V ud W, W Ueveoäue, so s FV F( v vv { } { } F ( W v V F( v W füf ( W See v, v F ( W, K Nach Defo s Fv (, Fv ( W v + v F ( W Fv ( + Fv ( W F( v + v v d Fv dv Koposo vo zwe leae bblduge s wede lea: Is U K -Veoau G : U V, F : V W leae bbldug, da s F G W lea, de seu ud u U, K, so s F G( u + u F( G( u + u F( G( u + G( u FGu ( + FGu ( ( FG + ( FG Iepeao des Maxpodues See M (, K, M (, K F : K K G : K K x x x x da s F G : K K de bbldug x ( x Se C c ab Se, da e c c ce c deeses s b Ge ( e b a b b c ( F G( e F( e e b c a b KOROLLR Maxulplao s assozav, de de Heeadeschalug vo bblduge s assozav DEFINITION Ee beve leae bbldug hess (Veoau-Isoophsus EMERKUNG Is F : V W e Isoophsus, so s de vese bbldug F : W V auch lea EWEIS Seew, w W;, K Seze v F ( w, v F ( w Da wd v + v duch F auf F( v+ v Fv ( + Fv ( w+ w abgeblde F ( w + w v + v F ( w + F ( w DEFINITION De Max M(, K hess veeba, falls es ee Max M(, K gb, sodass E STZ Is veeba, so s de -e Spale vo de Lösug vo x e (de allgee s de -e Spale vo glech (-e Spale vo d h ehäl a, de a de Lösuge vo x e als Spale ebeeade scheb Vefahe, u zu bese, falls se exse:

13 - C ( E - Fühe eleeae Zeleopeaoe aus, u se auf de Gesal C ( E, zu bge Da s DEFINITION V,W K -Veoäue F : V W F hess Isoophsus, falls F bev (d h veeba F auch lea; Ke F Edoophsus, falls V W ( F : V V uoophsus, falls V W ud F bev (Edo + Iso: V : V V veeba EMERKUNG: Hooophsus ( Mophsus s de Obebegff de obee egffe DEFINITION I( F F( V hess das ld vo F (I we Iage Ke( F F ({} hess de Ke vo F (alle Veoe Ogalbld, de vo F de Nullveo abgeblde wede Späe: F : x x KeF Lös (, STZ See I( F W, Ke( F V (Ueveoäue - F suev # I( F W (val, ld füll gaz W aus - F ev # Ke( F {} (val, u geh auf See vv, V Fv ( Fv, da s Fv ( v Fv Fv v v Ke( F {} v v v v DEFINITION Rag ee bbldug F s defe als ag F : d I( F EISPIEL eechug ee ass vo I(F ud Ke(F M (, K F : K K x x ag F ag I( F SR( (Spaleau ass vo I F ehäl a, de a duch Spaleopeaoe auf Spalesufefo bg (d h auf Zelesufefo U ass vo Ke( F zu bese: ge duch Zeleopeaoe auf Zelesufefo, paaesee de Lösugsau duch (,, Seze e,, e e Ke( F { x K x } Lös(, EMERKUNG Se F : V W ee eve, leae bbldug Falls v,, v lea uabhägg V, da s Fv (,, Fv ( lea uabhägg W, da s Fv ( + + Fv (, so s F( v+ + v v+ + v DEFINITION Ee Telege X vo Y hess affe Ueau, we es ee Ueveoau V vo V ud v V gb, sodass X v + V { v + v v V} EMERKUNG Se x + V affe Ueau! v X : X v+ v Is vx v V, sodass v + v v + v, so s v v} v hess de zu X gehöge Ueveoau EWEIS (Fsche 3 EMERKUNG Is F : V W ee leae bbldug, w W so s F ( w e affe Ueau zugehöge Ueveoau Ke F (Supepos: Ke F + w F ( w w F ( w EWEIS Se F ( w, wähle v F ( w Is v F, so s Fv ( + v Fv + Fv Fv ( + w, also s v + Ke F, F ( w Ud s v F ( w, so s F( v v F( v v w w 3

14 vv Ke F v v + ( v v v + Ke F lso ag( ag d Ke F Ke F, Ke d Ke F d Ke ag( ' ag d Ke ag ( ag F ( w, c + KeF Leae Glechugssysee Se M (, K b K Lös( b, { x K x b}, K Se ag STZ De Lös(, s e Ueveoau vo K de d Lös(,b s ewede lee ode affe Ueau de d Is v Lös( b,, so s Lös( b, v+ Lös(, Supeposo: allgeee Lösug spezelle Lösug + allgeee Lösug EWEIS F : K K Lös(, KeF x x d Ke F ag F ag Lös( b, F ( b STZ Lös( b, # ag ag( b, EWEIS valewese chg, we (,b auf Zelesufefo s e Zeleopeaoe äde sch de Räge ch Se (,b Zelesufe-Fo ag ( b,, Pvoeleee auf Dagoale a b a ( Res a fü,, a b ( Nullzele EISPIEL STZ a D veebae ( Max a Lösug ees uebese Glechugssyses (es gb Nullzele 4 b 5 4 b 7 b3 4 D b 4 3 D C D D M (, C K M ( (, E K C D D 6 5 : K K b Db C : K K C fü b K b : K K ( b + b Äquvale sd folgede ussage: : K Lös(, s Isoophsus 4

15 : b K Lös( b, s fü edes b bev Lös( b, ( b + Lös(, EWEIS ( ( Fü K D C D C D ( D C C C + E ( Lös(, ev, bede Räue habe d Isoophsus ( ( D C D b DD+ C b E b b ( b ( b s spezelle Lösug vo hoogee Syse Daaus folg ( ud ( EMERKUNG eseh Lös(,b aus geau ee Elee, so e a x b edeug lösba x b s edeug Lösba, we ag ag( b, Is, so s x b edeug lösba # ag veeba STZ F : V W lea dv d I F + d Ke F (folg aus folgede Saz STZ Se v,, v ee ass vo KeF w,, w ee ass vo IF u,, u V Fu ( w,, Fu ( w, da s u,, u, v,, v ee ass vo V EWEIS Ezeugedesyse: Se v V F( v µ w + + µ w Seze v µ u + + µ F( u Da s F( v µ F( u + + µ F( u F( v v dh vv KeF ( K v v v+ + v v v + + v + v v + + v + µ v + + µ v Se v+ + v + µ u+ + µ u (alle Koeffzee l uabhägg F ( F( v + + F( v + µ w + + µ u µ µ v+ + v KOROLLR Is w W, so s F ( w ewede lee ode e affe Ueau de Deso d Ke F dv ag F KOROLLR Se F : V W lea ud dv dw Da sd äquvale: F s ev F s suev F s bev (Isoophsus wedug auf Mazeulplao! Se ee Max F : K K x x Es gl: 5

16 F s Isoophsus # s veeba I dese Fall wd F - duch beschebe EWEIS - : ( E F su F bev : bev Da gb es Veoe b,, b sodass b e;,, b ( b E - KOROLLR veeba, so s E ( de F F d EMERKUNG Se GL (, K, M (, K de Mege de veebae Maze, da s GL (, K bezüglch Maxulplao ee Guppe EMERKUNG, veeba, da s auch veeba, de E E Äquvale sd: s veeba s veeba EWEIS: ( ( ag # suev EMERKUNG M (, K, M(, K EWEIS ( ( ( E E E ag + ag ag( { ag, ag } Da I(, I (, s d I( d I ag ag K F K / I F K 6 F : I ( Eschäug auf Telege I des Defosbeeches K I F I ( ag( d I d I F Ke F ( Ke " I d I d Ke F Leae bblduge ud Maze STZ See V, W edlchdesoale Veoäue v,, v V, w,, w W Sd v,, v ee ass vo V, so gb es geau ee leae bbldug F : V W F( v w ; ; F( v w Es gl: - I F spa ( w,, w - F s ev # w,, w lea abhägg Sd v,, v lea uabhägg (abe ch ubedg ass, so gb es deses ee leae bbldug F : V W F( v w

17 EWEIS Edeuge: F v + + v F v + + F v w + + w ( ( Dese Foel defe ee bbldug V W ud a uss achpüfe, dass se lea s (sehe Fsche 4 I F spa ( w,, w lea Ievä: v+ + v Ke F # F( v+ v # w+ w zu Egäze v,, v zu ee ass ud wede a KOROLLR Is ( v,, v ee ass ees Veoaus V, so gb es geau ee Isoophsus (beve bbldug : K V ( e v,, DEFINITION hess das duch de ass bese Koodaesyse Is v V KOROLLR KOROLLR 3, so hesse x ( x,, x de Koodae vo v bezüglch Zwe edlchdesoale Veoäue sd geau da Isooph, we se de gleche Deso habe Jede leae bbldug vo K K wd duch ee ( Max beschebe ( De: se F : K K lea ud,, w F e w F( e, da bescheb de ( Max w,, w de bbldug F STZ ( v,, v ee ass vo V ( w,, w ee ass vo W Zu ede leae bbldug F : V W gb es ee edeug bese Max M(, K, sodass F v a w fü,, We V K, W K ( e,, e, ( e,, e üblche Defo Ugeeh defe fü edes (, K ee leae bbldug V W DEFINITION W ee M ( F de Max, de F bzgl de ase ud dasell d h F F da V e ( ae a ( e aw F e F v a w Koodaeasfoao DEFINITION See ( v,, v ud ( w,, w zwe ase ees Veoaus V T hess de Tasfoaosax des asswechsels zwsche ud Ha v V de Koodae x ( x,, x ( v bzgl y ( y,, y ( v bzgl so s: y T x T T EMERKUNG T K S K M ( F ouav V W K K 7

18 EMERKUNG Is w s v + + s v w s v + + s v w s v + + s v chug! Idzes! ud S ( s M(, K so s T S EWEIS W zege S Fü,, ( e w s Se s( e + + s ( e s EISPIEL sv sv eechug de Tasfoaosax V,, S T S EMERKUNG Is ( e,, e de Sadadbass, so s S de Max, de aus de Spale de Veoe vo geblde wd EMERKUNG See U, V, W Veoäue übe K ase,, C ud G : U V, F : V W leae bblduge M ( F G M ( F M C C ( G EWEIS sehe Fsche 64 STZ Tasfoaosfoel Se F : V W lea, ase vo V ud, ase vo W M F T M F T Da DEFINITION Se F : V V e Edoophsus ass vo V Seze M ( F M ( F KOROLLR See, ase vo V DEFINITION Zwe EMERKUNG EMERKUNG M ( F T M( F T ode TT wobe T T Maze ud hesse ählch (ouge, falls es T GL(, K gb, sodass TT Ählche Maze beschebe deselbe leae bbldug bzgl veschedee ase Is TT, so s T T SS S T DEFINITION, M( hesse äquvale, falls es S GL (, K, TGL (, K gb, sodass ST (espch asswechsel uabh voeade Defo ud Weebeech LEMM Se F : V W lea d V, d W, agf Da gb es ase vo V, vo W, sodass E M ( F EWEIS Wähle, we ewes de Desosfoel, ee ass w,, w vo I F ud egäze se zu ee ass w,, w, w+,, w vo W Wähle v,, v aus V sodass 8

19 F( v w fü,, Wähle ass v,, + v vo Ke F Da s v,, v ee KOROLLR zwe $ w fü,, ass vo V F( v % fü +,, & Maze sd da äquvale, we se gleche (Spaleag habe STZ Spaleag( Spaleag ( Zeleag ( EWEIS Se F : K K de vo beschebee leae bbldug Deeae so, dass E M F Wähle ase vo K ud vo K Se K Tasfoaosfoel T ( T GL(, K K E S ( T GL(, ( K M ( F ST K aosche ass (Sadadbass Da S, T veeba, habe ud ST gleche Rag, de I I T ud d S( I d I also s Spaleag vo Taspoee : E TS selbes gue Ma ehäl wede Spaleag Zeleag STZ KOROLLR Edeuge ud Exsez de Deeae K Köpe, ' Es gb geau ee (edeuge bbldug de : M (, K K de folgede Egeschafe (D-(D3 Efüll ee bbldug de : M (, K K de (D-(D3, so folge daaus de ussage (D4-(D (D De Deeae (de s lea ede Zele, d h sd a,, a, a, a K Zeleveoe, so s a a a a a a a a a a de a+ a de a de a ; de + a de a a+ a+ a+ a + a + a a a a a (D De Deeae s aleeed, d h we zwe gleche Zele ha, so s de de (D3 De Deeae s oe, d h dee eechug de Deeae: Defo fü : a b de ad bc c d Defo fü 3: (Regel vo Saus 9

20 a a a3 de a a a 3 aaa33 + aa3a3 + a3aa3 a3 a3 a 33 a3aa3 a3a3a aaa33 Übepüfe Egeschafe: (D Jedes Moo ehäl ee Fao po Zele (D Se ewa Zele Zele (D3 val (D4 de( de (D5 Is ee Zele vo glech, so s de, de: Mulplzee dese Zele De Max äde sch ch, wede (D a (D6 Eseh aus duch Veausche zwee veschedee Zele, so s de de, de, see de -e ud -e Zele veausch, < : a a a a (Leaä -e Zele de + de de de de de + + a a a a a a a (Leaä -e Zele + a ( D de + de de a+ a a+ a a+ a (D7 Is K ud eseh aus duch ddee des -fache de -e Zele zu -e Zele, so s de de ( a+ a a a ( D de de de de + a a a (D8 ( D Is ee obee Deecsax,, so s de (Podu de Dagoaleleee De, Falls alle Duch wede vo (D7 seh a, dass ( D ( D3 de de de, sos wähle axal, so dass Duch wede vo (D7 seh a, dass de de + eeug: Des lefe de Edeugesaussage vo Saz, de duch wede vo (D6, (D7 läss sch ede Max ee Dagoalax ufoe de (de (de M, K, M(, K (D9

21 (D de # veeba EWEIS: ge duch eleeae Zeleopeaoe auf Zelesufefo veeba # ag # Zelesufefo ha auf de Dagoale ee Nulle (D8 (D de de de de de (D de de (D,(D,(D5,(D6,(D7 gele aalog fü Spale NOTTION EISPIEL de eechug de Deeae: EMERKUNG De ewes fü de Exsez de Deeae ud de Säze (D ud D( fehle Moe DEFINITION Se M (, K : Wähl a veschedee Spale ud veschedee Zele aus, so eseh ee ( Max Ihe Deeae e a ee -ehge Uedeeae ode -ehge Mo Isbesodee: a a, a, a, + a, a, a, a, a, + a, a, a, a, a, + a a a, a a, + a EMERKUNG Se a a, a, + a, a, a, a, + a, a a, a, + a, EMERKUNG DEFINITION EISPIEL da s de ( de, de duch Veausche beachbae Spale ud Zele eseh: + + de ( de de ( ( ( Sd a,, a de Spale vo, so s de de(,,,, + a a e a,, a wobe e ( + De zu opleeäe Max # # ( a s de Max de Eäge # a de de opleeäe Max: a b ( c d, da s # d b c a alog fü + efh b+ ch bf ce # d + fg acg af + cd dheg ah+ bg aebd 3 3:

22 STZ KOROLLR EWEIS # # de E Is veeba, so s de # # # de ( ( ( ( ( + ( a de a, a,, a, e, a,, a a a a Leaä -e Spale ( ( ( ( ( + ( de a, a,, a, ae, a,, a de eechug de Deeae (llgee STZ Ewclugssaz vo Laplace (eechug de Deeae + a Is fes, gl de a de (Ewclug ach -e Zele + b Is fes, gl de a de (Ewclug ach -e Spale EISPIEL 3, : (Ewclug ach de Spale a a a3 a a3 a a3 a a3 de a a a3 a de a a de a3 de 3 a 33 a3 a + 33 a a 3 a3 a3 a 33 # # + EWEIS a de ( a a a de EMERKUNG # b ( de (aalog Es fehl de ewes, dass aus (D-(D3 auch D( de( de de D( de de folg: ewes de Exsez Ählche Maze habe gleche Deeae (, sd ählch, falls es T GL(, K gb, so dass de dede det de TT, de EMERKUNG vw, Spale de( vw, Fläche des Paallelogas Ece, vwv,, + w cos s Wähle ee Dehug R ( s cos Rv ( D : de(, de de(, de( a b c, sodass ( a Rv Rw R v w a c der cos + s 3 alog: sd u, vw,, so s de ( uvw,, das Volue des vo uvw,, aufgespae Paallelooops Is GL( 3,, so äde sch Volua be de leae bb x x de Fao de See x, x K

23 NWENDUNG NSTZ ( x de Zele x de Zele x x x + de 3 Zele + de Zele x x x xxx xx x xx x x 3 x3 x3 x3xx3 3x x3 x3 x Laplace-Ewclug ach Zele ( ( x xx x x x x3x x3 x3 ( x x( x3 x( x3 x llgee gl: x x x - x x x - x x x - (( -ässg x ( x x > ( x x x x x 3 x3 hess Vadeod sche Deeae auswähle, Dffeeze blde ud eade ulplzee Iepolaospolyoe (Ee Fuo duch Pue lege Gegebe x,, x K paawese veschede, w,, w K Fage: gb es e Polyo vo Gad ', so dass px ( fü,,? wo: Ja p a + a + + a ubeae Koeffzee a,, a De edgug px ( w lefe das Glechugssyse fü a,, a a + xa + + x a w a + xa + + x a w a + xa + + x a w De Koeffzeeax s veeba ud he Deeae ( x x > STZ EISPIEL Cae sche Regel (heoesche Möglche zu Löse ees Glechugssyses ( ( ( Se a, a,, a GL, K b b b K Se x x de Lösug vo x b x ( ( ( + ( x de ( a a b a a de Löse ees Glechugssyses de Cae sche Regel, b, x, x, x de EWEIS # x b b de # + x a b de a a e a a de de ( ( - ( ( + ( de a a be a a de ewes de Exsez de Deeae b ( ( ( ( ( 3

24 Sgu vo Peuaoe (sehe Übug, See de Geoeevolesug; Fsche 3 S : Guppe de Peuaoe vo {,, } sg : S { ± } Guppehooophsus sg( Tasposo sg sg da ( sg ( sg : { S sg } Guppe de geade Peuaoe Is ee Tasposo, so s S /{ } DEFINITION Se M (, K 4 de ( sg a ( a ( a ( S ERINNERUNG de efüll: (D Leaä ede Zele (D aleeed (D3 oe ÜERPRÜFUNG (D Leaä de -e Zele I ede Moo o geau e a?? vo (D Se de -e Zele glech de l-e Zele, < l, se de Tasposo, de ud l veausch de a ( a ( a ( a, ( alle geade alle ugeade ( a, ( a, ( a ( a+, ( + al, ( l a, ( a, ( a, ( a, ( a+, ( + al, ( l a ( (, falls, l ( l, falls ( l (D3 val (D de sg a a S ( ( ( a a ( sg a a ( ( ( sg ( a a de S EWEIS de( de de ewes : M Klave- ud Schaveschebeehode Se C dec sg c( ( sg ab ( sg ab ( S S,,, ( de ( de sg a( ( sg b ( l S S ( sg sg a ( a ab ( ( b S S sg ( a ( b a b ( ( ( ( ( sg a S S,,? ( b( ( sg a b (,, S Is (, so seh he de gleche Suad we obe

25 See,, {,, }, ud es gebe < l so dass l Se de Tasposo, de ud l veausch ( ( l, ( l, ( fü, l S / DEFINITION { } a b a b a b a b a b a b,, ( l, l l, ( l,, ( l l, l l, (,, ( l, l l, ( l a b a b fü, l sg a b a b a, b,, (,, (,, (,, (, ( S a, b, (,, ( (sg posv sg egav ab lso: Falls,, ( de Suefoel ch paawese veschede sd, s de zugehöge Suad Deshalb s glech ( Klaveauseadeehehode ewes, Eschub: Es gb folgede Eleeaaze (Fsche 7 Se fühe eleeae Zeleufouge aus P Peuaosax zu Tasposo vo ud aus Übug 4 vo See 6 dep Q ( ( -e Spale, -e Zele S ( P, Q (, S ( hesse Eleeaaze P bew Veausche de -e ud -e Zele P bew Veausche de -e ud -e Spale Q ( bew ddee des -fache de -e Zele zu -e Zele Q bew ddee des -fache de -e Spale zu -e Spale S ( bew Mulplao de -e Zele S bew Mulplao de -e Spale EMERKUNG ( S S falls Q Q, P P (ewes: Übug ( STZ Jedes GL(, K s Podu vo Eleeaaze 5

26 EWEIS Duch eee Zeleufouge läss sch de Ehesax E übefühe Es gb Eleeaaze,,, so dass E LEMM Se M M (, K, ee Eleeaax, da s de( M de dem EWEIS Is P, so s de dem de M ud M eseh aus M duch Veausche zwee Zele ( D 6 de ( M de M EWEIS Falls ch veeba, so s de ussede s ch suev, also s ch suev, also de( ede See sd Se also GL(, K Schebe als Podu vo,, vo Eleeaaze Lea de de( dede( dede ( 3 dede de de de de de de de( de de( de de de Rge ud Polyoe (Fsche 3 DEFINITION Ee Mege R, zusae zwe Veüpfuge +, :R R R hess Rg, falls: ( R, + s ouave Guppe (euales Elee assozav: ab c ( ab c a( bc Dsbuvgeseze: a ( b + c a b + a c; ( a + b c a c + bc R hess ouav, falls ouav: a b ba R hess Rg Es, falls es R gb, so dass! x R : x x x EISPIEL ouave Rg Es: (, +, Rg Es: ( M(, K, +, EMERKUNG Gb es ee ouave Rg R Es fü edes x e x, sodass x x, so s R e Köpe DEFINITION Se K e Köpe ud ee Ubese K[] : { a + a + + a a,, a K, } hess Polyog übe K ( a + a + + a ( b + b + + b c + c + + c + c ab s f a + a + + a K[] a so hess deg f de Gad vo f Is f, so sage w deg f deg( f g deg f deg g s K, so se f ( : a + a + a K d h: f defe ee bbldug f : K K f K F de Köpe zwe Eleee f + K[] s ch Null f (, f ( + + f s Nullabbldug Dvso Res K[] STZ Sd f, g K [], g, so gb es q, K [], so dass f q g + deg < deg g 6

27 f q, Res g Polyodvso: Fsche See 64 DEFINITION Ee Nullselle vo p ( K[] s e K p ( KOROLLR Is ee Nullselle vo p (, so gb es q ( K[] degq ( deg p, sodass p ( ( q ( EWEIS Seze q (, p( ( q( + K (d h ausdvde eseze STZ Fudaealsaz de lgeba Jedes Polyo f [] vo Gad ' ha ee Nullselle Daaus folg: Is f [], de f ', so gb es a,,, K so dass f a( ( EMERKUNG Is f [], ee Nullselle, so s auch ee Nullselle, de se f ( a + a + + a f a + a + + a a + a + + a f Äquvalezelaoe (Fsche 3 DEFINITION Se X ee Mege Ee Relao ~ auf X s ee Telege ~ vo X X x~y falls ( xy, ~ EISPIEL Relao: x ;, <,', > ; el DEFINITION Ee Relao ~ auf X hess Äquvalezelao, falls Reflexvä: x ~ x! x X syesch: x ~ y y ~ x asv: (x ~ y ud (y ~ z x ~ z DEFINITION De Äquvalezlasse vo x s de Telege x { y X y ~ x} vo X Äquvalezlasse sd ewede glech ode dsu de s x " y, so se z x " y Da s x ~ z ~ y x ~ y Is w x, so s w ~ x, also w ~ y, also w y x, y; y, x aalog EISPIEL Äquvalezelao (Ählche vo Maze: Ählche: X GL(, K ~ falls es S GL(, K gb : SS syesch: S S ( S ( S ~ : SS ~ C : TCT STCT S ( ST C ( ST ~ C DEFINITION X ~ se de Mege de Äquvalezlasse Is ee Äquvalezlasse, x ( dh x, so hess x Repäsea vo 7

28 EISPIEL Äquvalezelao: X, ' x ~ y falls x y duch elba s (d h x od y od : ~ EISPIEL Äquvalezlasse: : Es gb de Äquvalezlasse:,,,,, d h z {, 3, 5, } DEFINITION x + y : x + y x y x y defe ee Rgsuu auf (ouav, Es EMERKUNG Wohl defe, de s x ~ x, y ~ y el x x ud y y, also auch ( x + y ( x+ y x + y x+ y ud xy x y xy xy+ xy x y x x y + x x y xy x y EISPIEL ddo vo Äquvalezlasse: STZ + ( Z sooph zu C Z s e Köpe # ee Pzahl p W ee h F p EWEIS (offzell Iveses Elee exse, falls a ud elefed lso sche, we Pzahl a x a x + ax Falls a ud geesae Tele häe, öe a auf bede See de Glechug ele De eche See s abe u duch Telba a ud sd elefed We Pzahl s, folg, dass das vese Elee exse ( ( Nälch: a a dh va a wel: a (falls Pzahl ( lee feasche Saz Egewee (Fsche 4 DEFINITION F : V V leae bbldug ees K -Veoaus V auf sch K hess Egewe vo F, falls es e v V gb, so dass F( v v v hess e Egeveo zu Egewe EISPIEL Egewee/Egeveoe: Spegelug a ee Geade duch de Uspug Es gb Egeveoe a ud b: b a Is de Max ee Spegelug bzgl de ass de Egeveoe EISPIEL EISPIEL 3 Dehug a u Uspug Kee, Wel Egeveoe 37 b Se T de Übegagsax W ees habe Maoffpozesses gezeg, dass e Egewe s, ud dass a als zugehöge Egeveo ee Wahschelchesveo ha Spegelugsachse, sd Egeveoe zu de EISPIEL 4 I Isg-Modell Mageseug Max (,, { } Egewee, + L ± DEFINITION Ee leae bbldug F hess dagoalseba, we V ee ass ha, de aus Egeveoe vo F beseh EMERKUNG Das s äquvale dazu, dass es ee ass gb, sodass M ( F ee Dagoalax s 8

29 STZ F : V V habe dv paawese veschedee Egewee Da s F dagoalseba LEMM Se F : V EWEIS STZ V lea, v,, v Egeveoe vo F zu paawese veschedee Egewee,,, da sd v,, v lea uabhägg Lea Saz : Es gb e Syse vo lea uabhägge Egeveoe vo F v,, v ass vo Egeveoe EWEIS LEMM Duch Iduo ach val (e Veo s sch selbs lea uabhägg Se v+ v+ + v+ v uf dese Glechug F awede F( v + v F( v + F( v v + + v Glechug ulplzee v+ v Subahee bede Glechuge: ( v + + ( v Iduosvoaussezug ( ( ( DEFINITION Is F : V V ee leae bbldug ud K, so hess Eg ( F, : { v V F( v v} de Egeau vo F bzgl (Rau alle Egeveoe EMERKUNG Eg ( F, {} # s Egewe Eg ( F, s Ueveoau vo V Eg ( F, Ke( F d v, veschede Eg ( F, " Eg ( F, {}, de s v Eg ( F, " Eg ( F, v F( v v ( v v Das chaaessche Polyo Max bew Secug Movao: x x x x x ( E x ( E x ud obge eeug sage: s Egewe # Ke( F d {} # F d ch veeba # de( F d ch veeba ( de DEFINITION Das chaaessche Polyo ee leae bbldug F : V PF ( : de( F d Das chaaessche Polyo ee ( Max s V s 9

30 P ( : de( E a a a a a a P ( de ( + ( ( a + a + a ± + de a a EMERKUNG Egewe P F ( EMERKUNG EISPIEL EISPIEL #, d h s ee Nullselle vo P F Ählche Maze habe gleches chaaessches Polyo, sbesodee gleche Spu ud gleche Deeae eechug des Chaaessche Polyos: P ( de ( 3 ( 3 ( 3 de + 3 ( ( [ ( 3 + 6] + 3[ 3+ ] [ 3+ + ] ( ( ( + Dehug u Wel : EISPIEL 3 cos 8 8 s 8 s 8 cos 8 cos s s cos P ( ( + ( ( + + de ( + de ( cos + Nullselle:, ± cos cos cos ± s cos ± s e cos s s cos P ( ( + de ( + ( Spegelug!! Dagoalseug 3

31 ERINNERUNG Se F : V V leae bbldug EISPIEL FRGE Falls F dagoalseba s, so s PF ( ( ( (, wobe,, de Egewee vo F sd, dv Falls P ( ( ( ud,, paawese veschede, so s F dagoalseba chug! ch ede Max s dagoalseba Dagoalsebae: P Nch dagoalseba s z ( We es dagoalseba wäe, wäe es ählch zu Nullax Was passe, we de ch paawese veschede sd? W ehe a: P ( F ',,, paawese veschede; + + LEMM d Eg ( F, EWEIS : val : Se v,, v s ass vo Eg ( F, Egäze zu ass ( v,, v, v,, v s s+ vo V M ( F STZ EWEIS EISPIEL s s P( ( P( s deses s-fache Nullselle s Äquvale sd F s dagoalseba PF ( zefäll Leafaoe, ud fü ede Egewe vo F s d Eg ( F, glech de Velfachhe de Nullselle P F ( ählch we Fall veschedee Egewee Wäe ( 7 dagoalseba, so gäbe es S GL(, K, so dass 7 SS S ( 7E S SS 7SES SS 7E Dagoalax Deso des Egeaus Velfachhe de Nullselle: sehe obe 3 3 P ( ( ( + 3 Velfachhe de Nullselle s ( E x 3 Dagoalax, 3

32 x Eg ( F, s Lösugsau vo x x 3 Zeleag s d Lösugsau 3 ag STZ Se FG, : V EWEIS 3 V zwe leae bblduge, de ouee, d h F G G F Fee see F ud G bede dagoalseba Da sd F ud G sula dagoalseba, d h es gb ee ass v,, v vo V, bezüglch dee sowohl F als auch G duch Dagoalaze beschebe wede Wähle ass, bzgl dee F duch Dagoalax : M ( F : : d Eg ( F, Is v Eg ( F,, so s FG ( v G ( F ( v G (, v G v also s G( v Eg ( F D h G blde Eg ( F sch ab M, : : G : P ( P ( P ( P ( Da G dagoalseba, s ach obge Saz edes P ( G Podu vo Leafaoe ud de Mulplzä edes Egewees s glech d Eg ( G, Nach obge Saz s edes dagoalseba, d h es gb S GL(, K, so dass SS D Dagoalax S S S S D SM ( G S D SM ( F S M ( F EMERKUNG Se M(, K dagoalseba, N ' N N N N + + +, wobe,, de Egewee sd EISPIEL (zu eeug obe Isg-Modell: Z N e v+ e v N L wobe L e v e v STZ EWEIS N N ZN + +, wobe allg Fall: P ( ( L + del L D, e cosh ± e s + e v v v v+ v v+ v v v v ( cosh e + + e e e e + e e

33 Egewee: sd geade ± veschede L dagoalseba eeug Saz Noe, leafoe ud Sesquleafoe (Fsche 5 ERINNERUNG (See, Übug 3 Se V e Veoau übe ode Ee No auf V s ee bbldug V ', v v fü de gl: v v v + w v + w ( v, w V, ode Deecsuglechug v # v EISPIEL No auf : v v + v + + v v v + + v v ax v,, No auf : glech we obe, ausse: v v + + v EMERKUNG Is ee No auf v, so s dvw (, : v w ee Me auf V De: - dvw (, # v w # v w # v w - dvw (, v w ( ( v w w v dwv (, - duw (, u w ( u v + ( vw u v+ v w duv (, + dvw (, EMERKUNG De Sadado auf o vo Sadadsalapodu xy, xy + + xy x y x x, x EMERKUNG Salapodu Noee Rau ( X, Mesche Rau ( Xd, Uehug gl ch Veallgeeeug DEFINITION Se V e Veoau übe ee Köpe K Ee bbldug s : V V K hess leafo, falls s( v + µ v, w s( v, w + µ ( v, w (, µ K; vv,, ww, V sv, w+ µ w svw, + µ vw, DEFINITION Dese leafo hess syesch, falls svw (, swv (, ud schefsyesch, falls svw (, swv (, EISPIEL leafoe: - Sadadsalapodu - V s Veoau de sege Fuoe auf [ ag, ]: s( fg, + f( gd ( DEFINITION Se K Ee syesche leafo auf V hess posv def (Salapodu, falls svv (, >! v V DEFINITION Se s ee leafo auf de K -Veoau de ass ( v,, v De Max vo s bezüglch s M s s v, v ( ( (,,, b a 33

34 EMERKUNG Is v x ( v + + xv x K V w yv + + yv ( y so s y, s v w xm x y x,, x M s x, M s y y EWEIS Se M ( s a s v, v, d h svw (, s xv, yv xys ( v, v, leaä x y EMERKUNG s syesch # M ( s syesch d h M ( s M ( s chug! def s K Es a se, dass sv ( v x x x x+ x,,, x x x x+ x x xx x + 4x x + x 4+, >!, ohe, dass s posv 34

35 Tasfoaosfoel STZ See, ase vo V, see leafo, wobe T de Tasfoaosax vo de ass zu M ( s ( T M ( s T ass s y K T v V See vv, V v x y v x v EWEIS Seze T T, M ( s, M ( s ( ( x Ty x Ty yy xx Ty Ty y TTy sehe Lea y TT y! y, y K TT LEMM Se C M(, K, sodass ycy! y K Da s C EWEIS c ece x K NOTTION Is s ee syesche leafo, so hess qv svv (, de zugehöge quadasche Fo q( v q( v Is V K, de Max vo s bezüglch de Sadadbass, so s q( x,, x xx a xx a x + a xx, < STZ Polasaosdeä svw (, qv ( + w qv qw STZ Is, e Salapodu auf de -Veoau V, so s v v, v q( v EWEIS - ee No v v v v v v v v v v,,, posv def - v # q( v # v - Deecsuglechug: Z z: v + w v + w quadee # v + w, v + w v + v w + w leaä, Syee # vv, + ww, + vw, vv, + v w + ww, # vw, v w De Deecsuglechug folg also aus de Uglechug de Cauchy-Schwaz sche Uglechug vw, v w! vw, V Es gl vw, v w # vw, lea abhägg EWEIS Fall v ud w Fü alle, µ : v + µ w, v + µ w : ww,, dvdee alles duch ww, vv, + µ vw, + µ µ : vw, v vv, + µ vw, + µ ww, v + w w 35

36 w w vw, + vw, EMERKUNG uf vw, v w vw, v w ählch abe ücwäs ha a de Sadado + + z z z zz + + zz s ch eh b-lea DEFINITIONEN Se V e -Veoau Ee Sesquleafo auf V s ee bbldug s : V s v + µ v, w s v, w + µ v, w (, + µ (, + µ (, sv w w svw vw Se hess Hee sch (ählch we syesch, falls swv (, svw (, EISPIEL Sesquleafo auf : vw, vw + + vw EMERKUNG Is z x + y z ; x, y z x+ y zz, w+ yx, + y xx, + yy, + ( xy, xy Wähl a de -Veoausoophsus, x ( xy, ( y x + y so espch, x x w y, y x, y x, y x x x x zz, y, w y, y y schefsyesch V EMERKUNG Is, ee Hee sche Fo auf -Veoau V, so s vv, fü alle v V, de vv, vv, DEFINITION Is ee ass vo V ud s ee Sesquleafo auf V, so hess M ( s ( s( v, v a s( v, v de Max vo s bzgl de ass,,, Is v ( x, w ( y, so s svw (, xy EWEIS s Hee sch # (Hee sche Max EMERKUNG Tasfoaosfoel: zwee ass, T T M ( s TT EWEIS aalog zu eelle Fall DEFINITINON ee Hee sche Fo hess posv def ode Salapodu, falls vv, > fü alle v DEFINITION E bzw Veoau, zusae ee Salapodu, hess e euldsche bzw uäe Veoau EMERKUNG Cauchy-Schwaz sche Uglechug gl auch fü uäe Veoäue Ohooee ase 36

37 DEFINITION Se V e euldsche bzw uäe Veoau vw, V hesse ohogoal, falls vw, ( v9 w See U,W Ueveoäue U hess ohogoal zu W (U 9 W falls u 9 w fü alle u U, w W Is U Ueveoau, so s das ohogoale Koplee U 9 v V v 9 u fü alle u U { } U 9 U v Ee Syse ( v,, v vo Veoe V hess ohogoal, falls v 9v fü Es hess ohooal, falls es ohogoal s ud v v Ohooalbass, we es ohooal ud ass s EMERKUNG E ohogoales Syse vo, vo veschedee Veoe, s ses lea uabhägg EWEIS Se v+ v+ + v ud v + + v, v, v eüze Leaä: EMERKUNG da 9 v v v v v v v v v v,, v l uabh, + +, +, + +, Is v,, v Ohooalbass ud ( v v+ + v V, so s vv, EWEIS lde Salapodu vo ( v STZ Ga-Schd sche Ohooalseugssaz Se W, V Ueveoau Ohooalbass w,, w Da gb es ee Egäzug zu ee Ohooalbass, w,, w, w+,, w vo V KOROLLR ( W {} V ha Ohooalbass EMERKUNG 9 9 W spa ( w+,, w sbesodee dw + dw dv EWEIS : val, Se w w 9 W w, w fü,, w spa w+,, w LEMM Se V e euldsche ode uäe Veoau U, V Ueveoau ass w,, w Fee se v V Da gb es ee edeug beses v U, so dass v v 9U v hess de ohogoale Poeo vo v auf U, v po U v 37

38 v v v v u U EWEIS EWEIS Fee gl: dvv (, dvu (, uu { } Seze : v, w,, v : w Da s v v, w v, v v, w v v 9U, da vw, w, w w, w Edeuge: Se v U v v 9U v v v v vv 9U v v, v v v v v v Meugsegeschaf: Se u U d( v, u vu, v u ( v v + ( vu,( v v + ( v u vv, v v + vu, v u + vu, v v + v v, vu d( v, v + d( v, u des Ohooalseugssazes Falls W V, so s chs zu zege sose Wähle v V \ W v: po w v ; w : v v ; w 9W w w + w Da blde w,, w, w + e Ohooalsyse Seze deses Vefahe spa w,, w + fo Ga-Schd-Vefahe LGORITHMUS Gegebe w,, w Ohooalsyse, v,, + v V sodass w,, w, v+,, v ass Modfzee suzessve dese ass, de a fü v obge ewes v+, v+,, v vewede 38

39 KOROLLR Se M(, K syesch (hee sch s posv def # ( S GL(, : S S EWEIS fü : - : fü x : xx x SSx ( Sx( Sx Sx, Sx > : Wähle Ohooalbass fü de duch bese leafo M s E MSadadbass s T de Max des asswechsels vo Sadadbass zu Tasfoaosegel: M s TMSadad s T E TT S : T T T T T Ohogooale ud Uäe bblduge (Fsche 55 DEFINITION EMERKUNG LEMM Is F : V Se V e euldsche ode uäe Veoau Ee leae bbldug F : V V hess ohogoal bzw uä, falls! v, w V : F( v, F( w v, w Da gl: F( v v v 9 w # F( v 9 F( w F s Isoophsus ud F s ebefalls ohogoal bzw uä De wege s F :Ke( F {} bev Isoophsus v Jede Egewe F ha eag De s F( v v, so s F( v v v V lea ud gl F( v v fü alle v V, so s F ohogoal bzw uä EWEIS Wege de Polasaosdeä ohogoal: vw, 4v+ w v w uä: vw, 4v+ w v w + v+ w vw 5 4 ; 6 < 7 s, duch bes DEFINITION GL(, hess ohogoal, falls GL(, hess uä, falls STZ Se F : V V leae bbldug, Ohooalbass vo V F ohogoal bzw uä # M ( F ohogoal bzw uä EMERKUNG EWEIS Ohogoale bzw uäe bblduge vo bzw auf sch (bzgl Sadadsalapodues wede bzgl Sadadbass geade duch ohogoale bzw uäe Maze beschebe uäe Fall Se M ( F, v ( x, w ( y ( v, w xy xf y F uä #! x, y : x E y ( F v, F w ( x( y x y E # # 39

40 DEFINITION (ege spezelle Ueguppe vo veebae Maze U ( { GL (, } Ueguppe vo GL (, SU ( { U ( de } Ueguppe vo GL (, O { GL (, } Ueguppe vo GL (, SO ( { O ( de } Ueguppe vo GL (, EMERKUNG U ( E dede de de de de Da O GL (, " U Is O(, so s de ± LEMM Se M(, K, K, Äquvale sd ohogoal bzw uä De Spale vo blde Ohooalbass De Zele vo blde Ohooalbass EMERKUNG Is O(, so gb es [, a b EWEIS Se ( c d cos s ode cos s s cos s cos Dehug Spegelug $ + a c Spale Ohooalbass % b + d ( ab + cd &, a cos b s c s d cos E E cos s s cos cos s + s cos Dehug Spegelug Dehug 3 a Spegelug De dsee Foue sche Tasfoao LEMM Gegebe ' ud fü,, e : e, e,, e w w e,, e, STZ 4 W habe e, e,,,, vw, vw d h e,, e s ee Ohooalbass fü e e,, (,,, (,,, ud

41 EWEIS e l e l l e l l l l e, e e e l l e l l e l l ( ( e e l ( l e ( e ( e ( e ( e STZ Se f Ff ( Ff : fˆ : f, e,, F s ee leae Tasfoao auf Se hess de dsee Foue sche Tasfoao Ff ( fˆ ˆ,, f F f + g f + g, e,, f + g, e ( ( fe, + ( ge,,, fe, + ge, Ff + Fg F F F F F wobe F e EWEIS f ( F F f,, F f f F, ˆ f e f f e f STZ Fü alle f, g s Ff, Fg f, g d h F s uä EWEIS val STZ Se D+, D de fowads ad bacwads dffeece Opeaoe auf D+ f : ( f f, f3 f,, f f Df: ( ff, ff,, f f 4

42 ode ( D f f f ( D f f f wobe f f f + f MOTIVTION [, ] STZ + + f ( x C [, f ( f + l f f : f ( f,, f s ee Raseug vo f f ( x + f ( x # D+ x FD f e fˆ + ( FD f e fˆ ode FD ( + F FD+ f : D, + F e D+ f e f + f e f + e fe l + e fe l fe fe fe l EMERKUNG ( e fˆ ( FD f e fˆ DEFINITION De dsee Laplace Opeao > auf s > : DD + ( > + f D D f F f f > + + 4

43 THEOREM 4s 4 s F F > 4s MORL NWENDUNG De dsee Laplaceopeao wd vo de dsee Foueasfoao dagoalse 4 s,, sd de Egewee vo > See,,, veele Posoe vo gleche Ioe vo de Masse M Glechgewch W beache e efaches Modell fü lee Oszllaoe auf de chse u he Posoe + u,, ( u s de bwechug I usee Modell beeflusse sch u de ebeeadelegede Ioe eade De poeelle Eege U ( u,, u de Kee ha dese Fo: K K K U ( u,, u ( + u ( + + u+ ( u u+ + d M u,, U d u d # M u K( u+ + u u d d u ( u,, u M U K> U d d FM U FK> U d d FM F FU FK> F U d d M FF FU K ( F> F FU d 4s d M FU K FU w d 4s d M ( FU K 4s ( FU d s ( U ( u, e cos ( u, e + e s M STZ SU a b ( { a, b, a + b b a } EWEIS : la e e e e a b, Se SU ( Da de Zele Ohooalbass: a c c c + b + b c b ( d ( a ac + bd }, 43

44 a b ( b a ( de a + b KOROLLR SU ( s hoöooph zu 3 S STZ Se SO( 3 Da gb es ee Ohooalbass vo ud [,, bzgl dee duch ee Max de Fo folgede Fo beschebe wd cos s s cos Isbesodee s ee Dehug u de ese dese assveoe P ha Gad 3, ha also ee eelle Nullselle Da ohogoal, s EWEIS ( w w 3 w 44 Se w e Egeveo zu w Egäze w zu ee Ohooalbass ( w, w, w 3 leae bbldug F bzgl s vo de Gesal, O( Fall de +, SO( Dehug Fall de, De Max de zu gehöede bescheb ee Spegelug, s also ählch zu ( s ählch zu Veausche ese ud zwee assveo bescheb ee 8 Dehug bescheb also ede Fall ee Dehug Selbsadugee bblduge (Fsche 56 DEFINITION STZ Se V euldsche ode uäe Veoau Ee leae bbldug F : V V hess selbsaduge, falls fü alle vw, V F v, w v, F w Se ee Ohooalbass F selbsaduge # M ( F syesch bzw hee sch EWEIS Se v ( x, w ( y F( v, w ( x y x y vf, w xy selbsaduge #! xy, : xy xy #,

45 LEMM F selbsaduge alle Egewee vo F sd eell D h PF ( zefäll eelle Leafaoe EWEIS Se e Egewe ud v e zugehöge Egeveo F ( v, v v, F ( v STZ v, v v, v v, v eell F selbsaduge es gb ee Ohooalbass vo Egewee KOROLLR Se syesch bzw hee sch ( S O( / U ( ud,,, sodass SS ( S S EWEIS Duch Iduo übe dv : Nchs zu ewese Iduossch Nach Lea: P ( ± ( ( F Se v e Egeveo zu v { } W : v V v, v Is w W, so s selbsad F( w, v w, F( v w, v wv, F( w, W, dw Iduosvoaussezug: F W ha Ohooalbass v,, v vo Egeveoe W v Haupachseasfoao fü syesche Maze (Fsche 57 STZ s : syesche leafo, bzgl Sadadbass duch syesche Max beschebe EWEIS sxy (, xy syesch Es gb ee Ohooalbass (,, w w vo, sodass M ( s NWENDUNG (,, sd de Egewee, w,, w de Egeveoe vo Is qv svv (, v x, so s de zugehöge quadasche Fo ud qv ( x+ + x qv axx + ax < wähed v ( x Sadadbass Tägheseso ees sae Köpes ee Pu O aufgehäg Köpefeses Koodaesyse Uspug O Köpe: Edlch vele Massepue: Koodae v, Masse (,, N Raufeses Koodaesyse, das zu Ze übees Lasse de Köpe Welgeschwdge oee O 45

46 Was s de esche Eege? Geschwdge des -e Massepues N E ( ( quadasche Fo De Max dese quadasche Fo hess Tägheseso des Köpes bzgl O De Rchuge de Egeveoe vo hesse Haupäghesachse, de Egewee Haupäghesoee EMERKUNG Se S { x x } q( ( v x + + x ( x S qx ax ( x S q x ax q( x x " S W, V dw W, V dw { } { q( x W S } ax " Max Koea zu Hadaad sche Uglechug (Übug, ufgabe 3 Fsche 54 EMERKUNG Sd v,, v Spaleveoe v, v v, v v, v v, v v, v de EWEIS Se ( v,, v v v ( v, v ( v v ( de, de de de, DEFINITION Se,, v v EMERKUNG (,, : de (,,,,, so s de ( v,, v de ( v, v,,, G v v v v hess Ga sche Deeae vo v,, v vol ( v,, v G( v,, v Sd v,, v lea abhägg, so s (,, posv def EWEIS Wähle Ohooalbass w,, w vo ( v, v,, G v v asose s de ( v, v,,, sodass spa ( v,, v, spa ( w,, w, wobe als Spale de ese Kopoee vo v bzgl de ass w,, w Ga-Hadaad sche Uglechug STZ vol ( v,, v v v Ohogoalsyse ud Glechhe gl geau da, we v,, v EWEIS Falls v,, v lea abhägg val, sos v, v posv def Übug aus See : (, v v 46

47 de v, v v, v v, v vol ( v,, v v v Dee Sue (Fsche 6, Quoee-, Dualäue DEFINITION Se V e Veoau übe K W,, W Ueveoäue vo V { } W + W + + W : w + w + + w w W,, w W hess de Sue vo W,, W - s Ueveoau - W,, W spa ( W,, W - d( W + + W dw + + dw W W 3 W V STZ Desosfoel: d( W + W dw + dw d( W " W EWEIS Se v,, v ee ass vo W " W d ( W " W Egäze zu ee ass v,, v, w,, w vo W dw + Egäze zu ee ass v,, v, w,, w vo l W dw + l EHUPTUNG v,, v, w,, w, w,, w s ass vo l W + W d( W + W + l + Ezeugedesye Leae Uabhägge: Se v+ + v + µ w+ + µ w + µ w + + µ lw l v v + + v + µ w + + µ w W v W " W Seze ( ( µ w + + µ lw l W ( v v+ + v K ( ud ( sd zwe Daselluge vo v als Leaobao vo v,, v, w,, w (ewes vo W µ µ µ LEMM Se W " W { } EWEIS v v µ w µ w W l l µ µ l V W + W Da sd äquvale: Jedes v V auf edeuge Wese de Fo v w + w w W, w W geschebe wede Is w W, w W, so sd w, w lea uabhägg I dese Fall sag a, V s de dee Sue V W? W vo W ud W Is v w + w w + w w, w W, w, w W So s w + w ( w + w 47

48 w w w w W " W { } W W w w, w w w w, w w Wäe w, w lea abhägg, so gäbe es zwe veschedee Daselluge vo W W Wäe v W " W, so wäe v + ( v STZ See WW,, V Ueveoäue Äquvale sd V W? W Is ( w,, w ee ass vo W, ( w,, w l ee ass vo W, so s EWEIS ( w,, w, w,, w ee ass vo V l V W + W ud dw + dw dv ( w,, w, w,, w l ezeug V Desosfoel dv + l ass val Desosfoel d ( W " W, W " W {} KOROLLR Is W, V Ueveoau, so gb es ee Ueveoau W, sodass V W? W EWEIS Wähle ass w,, w vo W Egäze zu ass w,, w, w,, wl Seze W spa ( w,, w l DEFINITION W,, W, V Ueveoäue V W?? W (Dee Sue, falls - V W + + W - Is w W,,, so s w,, w lea uabhägg STZ Äquvale sd: V W?? W Sd ase vo W so s (,, ass vo V V W + + W ud dv dw + + dw EWEIS (ählch EISPIEL Dee Sue: F : V V dagoalseba Egewee,, (paawese veschede V Eg ( F,?? Eg ( F, DEFINITION Se V e euldsche bzw uäe Veoau; WW,, V Ueveoäue V s de ohogoale dee Sue V W W, falls V W?? W ud W 9W fü EMERKUNG Is W, V Ueveoau, so s V W W 9 Quoeeveoäue (Fsche 5, 6, 7 EINFÜHRUNG [, ] L [,] Lebesgue-egebae Fuoe $ W f L f ( d % + Ueveoau & 48

49 ERINNERUNG F : V W lea Sd v,, v ass vo Ke F w,, w ass vo I F u,, u, v,, v ass vo V STZ so s ( dv d I F + d Ke F Faoseug U spa ( u,, u Da gl: - V U? Ke F - F U I F s e Isoophsus U - Se P : V U? KeF U u + v u de Poeo auf u DEFINITION Se V e Veoau, W, V Ueveoau Äquvalezelao auf V: v ~ v # vv W V W (Mege de Äquvalezlasse hess Quoeeveoau Äquvalezlasse vo v V s de affe Ueau vo v + W STZ Ma a auf V W geau ee K - Veoausuu defee, sodass de Quoeeabbldug : V V W, v v + W v + W - s suev, Ke W - d W d d W - uveselle Egeschaf des Quoee: Is F : V W lea, Ke F : U, so gb es e F : V U W, sodass das Daga ouav V v U u + v u F F V U F W Ke F U P V F U F I F, W DEFINITION Veoausuu: Defo vo de ddo ( vo Äquvalezlasse ( v U v U : v + v + U + ( + EMERKUNG wohldefe, de s v ~ v, v ~ v ( v + v ~ ( v+ v so s ( v + v v+ v v v + v v U also ( v + U v + U suev, Ke U val Deso: folg aus Desosfoel fü F( v + U : F( v LEMM Is V W? W so s V W W W e Isoophsus 49

50 EWEIS W s suev, de s dw d V W W v V, schebe v w + w w Ww, W ( w v + W dw d V W W s Isoophsus Dualäue (Fsche 6 DEFINITIONEN V e K -Veoau V : { : V K lea } hess Dualau ( K -Veoau vo V Eleee vo V e a Leafoe auf V EISPIEL Leafo: V C ([ a, b] Veoau de sege Fuoe auf [ ab, ] a < b 5 b : f + f ( d; f f ( a a DEFINITION Se ( v,, v ee ass vo V Fü,, Se v : V K de Leafo (Fuoal v (chug: v v v STZ (,, EWEIS v $ ; d h v ( v % & häg vo ud ch u vo v ab! s ass vo V Jede Leafo wd bezüglch de ass vo V ud vo K duch ee edeuge Max ( a,, a beschebe av + + a v KOROLLR v V v V : v ( v ( v e+ + e v e + + e vv wele e EISPIEL! ( de: Egäze v zu ass vo V Dualau: V K, ( e,, e ( e,, e e ( x,, x x V ; v ; v x x + x x x x v ( ( ; v ( ( x x DEFINITION Se U, V Ueveoau U : V ( u! v U hess ulao auf U Ueveoau vo STZ EWEIS { } du dv du Geaue gl: u,, u ee ass vo U u,, u, v,, v ass vo V u,, u, v,, v duale ass vo V,, v v ass vo U,, v v U, lea uabhägg, da Tel ee ass vo V Z z:,, v v ezeuge U Se also U, V : µ u + + u + v + + v V

51 µ U u v + + v DEFINITION Se F : V W leae bbldug De zu F duale bbldug F : W V s defe als F F V F F W EMERKUNG F s lea, de ( F G G F U V W F K STZ Is ( v,, v ass vo V ud ( w,, w ass vo W ( M F M F EWEIS Se M ( F ; M ( F F( v ( ( ( ( aw a w F v w F v F w ( v ( F w b v F w v b a b STZ V V v v EWEIS ( ( v d V < : V V s Isoophsus v,, v ass vo V v v v v v v I Weee defzee w V ud V els EMERKUNG F F ; de EMERKUNG U, V Ueveoau U U EWEIS : : Se u U, U EMERKUNG F : V ( ( ( u u u U, : du dv du dv ( dv du du W lea F Ke F, V I F, W F V : I F W : Ke F STZ a ( I F Ke F b ( Ke F I F EWEIS b : : Se I F ; d h F W Fü x Ke F : ( x F ( x F( x, : Se ( Ke F ; d h V Ke F Wähle ass ( u,, u, v,, v vo V sodass v,, v ass vo Ke F ( F G G ( F ( K 5

52 KOROLLR a ( v ( v w F( u,, F( u w, blde da ass vo FV Egäze zu ass ( w,, w, w+,, w vo W (! W ( w ( u fü,, ( w fü +,, F ( u F( u ( w ( u fü,, F v F v v F, d h Nach (b agewede auf fü,, I F F ( Ke F I F I F ( Ke F Ke F ( I F ag F ag F de: ag F d( I F d( Ke F dv d Ke F d I F ag F ( Desosfoel KOROLLR Fü Maze s Zeleag Spaleag ag ag Leae lgeba I WS /3 Pof H Köe Copygh 3 by So uchel lle Reche vobehale ehscps@ybesco 5