Optimale Steuerung von Rüst- und Produktionsprozessen

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1 JOHANNES KEPLER UNIVERSITÄT LINZ Nezwerk für Forschug, Lehre ud Praxs Opale Seuerug vo Rüs- ud Produkosprozesse DISSERTATION zur Erlagug des akadesche Grades DOKTOR DER NATURWISSENSCHAFTEN Ageferg a Isu für Nuersche Maheak Bereuug: A. Uv.-Prof. Dpl.-Ig. Dr. Helu Gfrerer O. Uv.-Prof. Dpl.-Ig. Dr. Rchard F. Harl Egerech vo: Mag. Soa Reer Seyr, Jul 27

2 KURZZUSAMMENFASSUNG I der vorlegede Arbe wrd e kouerlches Modell für de Plaug ud Seuerug vo Rüs- ud Produkosprozesse ewckel. Es wrd dabe ee Masche berache, a der ehrere Produke geferg werde. Für ee bese Plaugshorzo s der Bedarf für alle Produke vorgegebe. De Produkossar- ud -edzepuke solle für edes Produk so bes werde, dass de esehede Kose (Sue aus Rüs- ud Lagerkose) al sd ud gewsse Resrkoe egehale werde. Es uss zwsche de Produkosede ees Produks ud de Produkosbeg des darauf folgede Produks geüged Ze für de Urüsprozess a der Masche vorhade se, es dürfe ch zwe Produke glechzeg produzer werde, de Produkosrae s für edes Produk ach obe beschräk ud der Lagersad darf für ke Produk gesae Plaugszerau egav werde. Zuers erfolg e Überblck über de wchgse der Leraur bekae Modelle, de sch der opale Eschedugsfdug Produkosprozesse beschäfge. Als aheasche Grudlage de vor alle de Korollheore, dere zeraler Saz das Maxuprzp foruler ud auch vollsädg bewese wrd. Da wrd Hlfe des Maxuprzps für Problee Zusadsbeschräkuge de Srukur eer opale Lösug be gegebeer Abfolge vo Produkoslose bes. Is dese Srukur beka, so köe de opale Zepuke Hlfe ees Solvers (Operugsoolbox MATLAB) bes werde. Weers wrd e Algorhus zur Kosruko eer Sarlösug ewckel, de für ee Velzahl vo Bespele ee zulässge Lösug gefude werde ka. Ausgehed vo deser Sarlösug wrd da de Losrehefolge oper. Dazu werde heurssche Operugsverfahre, we de Bes-Frs-Suche ud de Tabu-Suche verwede. Abschleßed wrd das beschrebee Lösugsverfahre a zwe Bespelsere geese ud ee Modell (IZKS-Modell), das a der Fachhochschule Seyr Rahe ees Forschugsproeks ewckel wurde, verglche. Der deser Arbe ewckele Algorhus lefer Großels bessere Lösuge als das IZKS-Modell, er s allerdgs be Bespele vele Produkoslose be der Recheze Nachel.

3 ABSTRACT I hs work a couous lo szg ad sequecg odel s developed. The odel deals wh a sgle-ache, ul-e produco syse. I a fe plag horzo he dyac dead s fxed for each produc ype. Sar ad fshg es for produco are deered so ha cera resrcos are fulflled ad he resulg holdg ad seup coss are sed. Seup es are cluded, a ay oe e oly oe ype of acvy (seup or produco) ca be perfored, he produco rae has a upper boud for each produc ype ad backlog s o allowed. Frs a leraure revew of he os pora lo szg ad sequecg odels s gve. Opal corol heory s ake as he aheacal bass. The fudaeal heore of opal corol he axu prcple s forulaed ad fully proved. If he sequece of produco los s fxed, he srucure of a opal soluo ca be characersed wh he help of he axu prcple for probles wh sae cosras. For a kow srucure, a sadard solver (opzao oolbox of MATLAB) s capable of fdg he opal sar ad fshg es for all produco los. A sar algorh, whch fds a adssble soluo for uerous probles, s developed. Based o hs sar soluo, he sequece of he produco los ca be proved wh heursc search procedures such as Bes Frs Search ad Tabu Search. The work cocludes wh he resuls of soe es saces. The resuls of he preseed soluo approach are copared o aoher approach he IZKS odel whch was developed wh a research proec a he Uversy of Appled Sceces Seyr. I large pars he preseed algorh yelds beer soluos cocerg he obecve fuco bu he calculao es of exaples wh uerous produco los s a good deal bgger.

4 INHALTSVERZEICHNIS Eleug Problebeschrebug Iegrao PPS-Sysee Überblck über besehede Modelle Bezechuge Eproduk-Modelle Mehrproduk-Modelle Korollheoresche Modelle Zusaefassug Korollheoresche Grudlage Vorbereede Defoe ud Aussage Opale Seuerug Zusadsbeschräkuge Modellerug vo Rüse ud Produko Aahe ud Bezechuge Modellewcklug Opale Lösuge be gegebeer Losrehefolge Telproble : Produko Telproble 2: Rüse Möglche Zusäde ud dere Syhese Uforulerug des Grudodells Lösug vo Operugsproblee MATLAB Tesbespele be gegebeer Losrehefolge Operug der Losrehefolge Saralgorhus Rehefolgeapulaoe... 2

5 6.3 Bes-Frs-Suche Modfzere Bes-Frs-Suche Tabu-Suche Tesbespele Beschrebug der Tesugebug Verglech der Operugsalgorhe Verglech zu IZKS... 8 Leraurverzechs Ahag Dae für de Bespele Dae für de Bespele Lebeslauf Edessalche Erklärug... 3

6 EINLEITUNG. PROBLEMBESCHREIBUNG I der Produkosplaug ud -seuerug werde Modelle beög, de aufgrud ees vorgegebee Bedarfs bese, zu welche Zepuke ud welche Losgröße verschedee Produke a eer Masche geferg werde. Dabe soll ch ur e achbarer Produkospla ersell werde, soder e aufgrud eer Kosebewerug öglchs guer Produkospla. Be de Kose köe Fergugs-, Lager- ud Rüskose berückschg werde. I der Leraur gb es ee Velzahl vo Produkosodelle, de sch hrer Koplexä ud Lösbarke uerschede. Je efacher ud lecher lösbar de Modelle sd, deso gerger s de Awedbarke deser Modelle. I Rahe des dreährge Forschugsproekes Produkosoperug, das a der Fachhochschule Seyr geesa ver Idusreparer abgewckel wurde, ergabe sch kokree Probleselluge, be dee e praxsahes Operugsodell zur Plaug ud Seuerug de esehede Lager- ud Rüskose erheblch seke köe. Zel deser Arbe s es zuächs Kapel 2 ee Überblck über besehede Modelle zur Besug vo Losgröße ud Elasugszepuke zu gebe ud da Kapel 4 e kouerlches Produkosodell zu ewckel, das de Aforderuge für ee Praxsesaz gerech wrd. Dazu gehöre de Modellerug vo Rüsprozesse, e dyascher Bedarf ud de Ehalug vo Kapazäsresrkoe. Der vele Modelle öglche Leferverzug wrd de ewckele Modell ch erlaub. Dese Arbe beschräk sch auf re deerssche Modelle, da ageoe wrd, dass der Bedarf ee gewsse Plaugshorzo fxer s ud adere zufällge Eflüsse, we Maschesöruge, Produko vo Ausschuss usw. durch Scherhesbesäde abgefeder werde. Auf de Dskusso zur Besug vo opale Scherhesbesäde wrd ch egegage. Für de Aalyse des ewckele Modells wrd als aheasches Werkzeug de Korollheore verwede. E zeraler Saz der Korollheore das Maxuprzp für Aufgabe Zusadsbeschräkuge wrd Kapel 3 foruler ud bewese. M Hlfe des Maxuprzps ka de opale Srukur eer Lösug beschrebe werde

7 EINLEITUNG 4 ud für ee vorgegebe Abfolge vo Produkoslose Hlfe der Operugs- Toolbox MATLAB bereche werde (sehe Kapel 5). M der Operug der Losrehefolge els heursscher Verfahre beschäfg sch Kapel 6. De Abschluss blde Kapel 7 der Auswerug eer Rehe vo Tesbespele..2 INTEGRATION IN PPS-SYSTEME De Ewcklug vo eue Produkosodelle erforder auch de Möglchke der Iegrao besehede Produkosplaug ud -seuerugssysee (PPS-Sysee). Zwe Asäze dazu werde Folgede kurz ursse:.2. TOC De Idee der Theory of Cosras (TOC) sae vo Goldra ud Cox (sehe [], []). Ee zerale Rolle deser Theore spel der kapazve Haupegpass ees Uerehes. E Uerehe ka axal ee Mege produzere, de der Egpass zuläss. Daher uss der Egpass de zur Verfügug sehede Ze opal uze. De Usezug der TOC-Phlosophe passer füf Schre (sehe [], [2]):. Idefzere de Egpass. 2. Nuze de Egpass aus. 3. Orde alles adere de Egpass uer. 4. Erhöhe de Egpasskapazä. 5. Gehe zu Schr, falls das Kapazäsproble des ale Egpasses gelös s. Für de Egpass Schr 2 wrd der Leraur (sehe [35]) vorgeschlage, Aufräge so lage zusaezufasse, bs durch de Esparug vo Rüszee e realserbarer Produkospla eseh. De Ausuzug des Egpasses köe durch de Esaz vo operede Verfahre weer verbesser werde. Es s daher ausreched e Modell für ee Masche zu berache, da da deses Modell auf de Egpassasche agewede werde ka..2.2 APS Advaced Plag Syses (APS) versuche de besehede Defze vo PPS- Sysee weer auszuerze, de ehrere ergäzede Sofwareodule ageboe

8 EINLEITUNG 5 werde (sehe [26]). Dazu gehöre u. a. Module zur Absazplaug, Trasporplaug, Produkosgrob- ud Feplaug (Produco Schedulg). I der Produkosfeplaug werde uer Ebezehug vo Kapazäsresrkoe ud de Esaz vo heurssche Operugsverfahre, we geesche Algorhe ud Sulaed Aealg, Produkospläe ersell. Als Zelfuko ka ee Kobao aus oaler Durchlaufze, Rüskose, Rüszee, Verspäugskose ud Berebskose defer werde. Sofware zu APS bee aber auch de Möglchke egee Operugsalgorhe o- der Heurske zu schrebe ud das Progra ezubde.

9 2 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE I dese Kapel werde de wchgse aheasche Modelle vorgesell, de sch der opale Eschedugsfdug Produkosprozesse beschäfge. Se gebe, uer verschedee Aahe ud Resrkoe, Awor auf de Frage we vel vo ee Produk (Losgröße) zu welche Zepuk produzer werde soll, da ee bese Zelgröße opal wrd. De Modelle köe charakerser werde durch Modellerug der Ze (seg dskre, edlch uedlch) Azahl der Fergugssufe Azahl der Produke Bedarf (kosa dyasch, seg dskre) Leferverzug (erlaub oder ch erlaub) Modellerug vo Rüszee ud Rüskose Produkoskapazä (beschräk ubeschräk) Operugsparaeer Oper werde alle vorgeselle Modelle de esehede Kose. Dazu gehöre Lagerkose, Rüskose ud Fergugskose. Fergugskose werde ur da s Zelfukoal aufgeoe werde, we se pro Megeehe ch kosa sd. I deser Arbe werde re deerssche Modelle vorgesell, sochassche Eflüsse, z. B. auf de Bedarf, werde eger. Der Überblck beg de hsorsch erse Modelle, de sch auf e Produk ud ee Masche beschräke (EOQ, EPL, Wager-Wh-Modell). Aus dese Grudodelle ewckele sch koplexere Modelle, de ehrere Masche ud Produke zulasse (ELSP, CLSP, CSLP, DSLP,...). Parallel zur Ewcklug vo zedskree Modelle wurde kouerlche Modelle ewckel, de de Mehode der Korollheore aalyser werde köe. Dazu gehöre uer adere das HMMS-Modell ud de Modelle vo Khelsky, Koga ud Mao. Zu Abschluss deses Kapels werde alle vorgeselle Modelle ochals kurz zusaegefass ud gegeübergesell.

10 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 7 2. BEZEICHNUNGEN I de beschrebee Modelle werde de ue aufgelsee Bezechuge verwede. Ob de Größe Vekore oder skalare Größe sd, häg vo ewelge Modell ab ud wrd späer och geauer defer. ME GE ZE d() y() x() c k I k S k P K q.. Azahl der Produke.. Ze ZE oder Zeperode.. Megeehe.. Geldehe.. Zeehe.. Bedarfsrae zu Zepuk ME/ZE.. Lagersad zu Zepuk ME.. Produkosrae zu Zepuk ME/ZE.. Produkoskapazä ME/ZE.. Lagerkose GE/(ME ZE).. Rüskose GE.. Produkoskose GE/ME.. Gesakose GE.. Losgröße ME 2.2 EINPRODUKT-MODELLE I dese Absch sd de erse efache Modelle zur Losgrößebesug zusaegefass. Se habe geesa, dass ur e Produk berache wrd bzw. be ehrere Produke ka edes Produk soler behadel werde. Uerschede gb es de Aahe zur Produkoskapazä ud zu Bedarf EOQ-MODELL (ECONOMIC ORDER QUANTITY) Deses Modell war das erse Modell zur Losgrößebesug ud wurde vo Ford W. Harrs 93 ewckel (sehe [5]). I der deuschsprachge Leraur wrd dafür auch de Bezechug Losgrößeforel vo Adler verwede.

11 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 8 Dabe werde folgede Aahe geroffe: De Zeachse wrd als seg ud uedlch berache. Verschedee Produke köe soler berache werde. De Fergug der Produke s esufg. De Nachfrage s beka ud zelch kosa ( d = d ). Leferverzug s ch erlaub. Es gb kee Kapazäsbeschräkug, das gesae Los wrd auf eal produzer ud s sofor verfügbar. Be der Produko ees Loses esehe Rüskose, de vo der Losgröße uabhägg sd. Durch de geroffee Aahe eseh für e Produk e charakersscher Lagerverlauf, der Abbldug 2. dargesell s. q y() q τ = d Abbldug 2. Lagerverlauf be EOQ-Modell Zel s es, de Gesakose pro Zeehe zu ere. Be de Gesakose werde Rüs- ud Lagerkose berückschg. 2 q ks + k K I 2 kd S kq I = d = + M. (2.) τ q q 2 d M Hlfe der Dfferealrechug ergb sch als opale Losgröße für deses Modell 2kd q = S. (2.2) k I

12 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 9 M deser Losgröße sell sch e Glechgewch vo Rüs- ud Lagerkose eer Perode τ e EPL-MODELL (ECONOMIC PRODUCTION LOT) Das EOQ-Modell wurde vo Taf 98 (sehe [4]) erweer, de er ee edlche aber kosae Produkosrae aah. Asose gele deselbe Aahe we be de Modell vo Harrs. De Produkosrae uss dabe größer se als de Bedarfsrae, da der Bedarf überhaup gedeck werde ka. Der Lagerverlauf für deses Modell s Abbldug 2.2 dargesell. Zel des EPL-Modells s ebefalls de Merug der Rüsud Lagerkose pro Zeehe. De opale Losgröße ka els Dfferealrechug bes werde ud laue q = 2kd S. d ki c (2.3) ( c ) c d q y() τ Abbldug 2.2 Lagerverlauf be EPL-Modell WAGNER-WHITIN-MODELL Wager ud Wh ewckele 958 e Modell, be de gegeüber de EOQ- Modell der Bedarf ch kosa se uss (sehe [43]). De Aahe deses Modells sd: De Zeachse wrd dskree Zeperode egeel ( =,...,T ). Verschedee Produke köe soler berache werde. De Fergug der Produke s esufg.

13 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE Der Bedarf s beka ud ka dyasch se, d. h. er ka eder Zeperode ee adere Wer aehe. Leferverzug s ch erlaub. Es gb kee Kapazäsbeschräkug, das gesae Los wrd auf eal produzer ud s sofor verfügbar. Wrd eer Perode e Los aufgeleg, so esehe Rüskose, de vo der Losgröße uabhägg sd. De Rüskose köe aber vo Perode zu Perode varere. Zel s es, de berachee T Zeperode de Gesakose, besehed aus Rüskose ud Lagerkose zu ere. I Grudodell werde leare Lagerkose ageoe ud als Zelfukoal ergb sch da T () S () δ () I M., (2.4) K = k q + k y = { } wobe δ q(), ee bäre Rüsvarable s ud agb, ob eer Perode e Los q() aufgeleg wrd oder ch. Der Lagersad ka Hlfe der Lagerblazglechug bereche werde: () = ( ) + () () = y( T) = y y q d y. (2.5) De produzere Losgröße dürfe ebeso we der Lagersad e egav se: (),y() q. (2.6) Für de opale Lösug deses Modells ka, kokave Kosefukoe Zelfukoal vorausgesez, gezeg werde, dass eder Zeperode de so geae Zero veory propery gl: q y =. (2.7) De Zero veory propery besag, dass ers weder produzer wrd, we der Lagersad s. De Losgröße eer Perode s daher eweder oder de Sue vo folgede Perodebedarfswere. Dese Egeschaf wrd be der Kosruko vo Lösuge ausgeuz.

14 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE Das Wager-Wh Modell ka verschedee Algorhe gelös werde, de eweder opale Lösuge oder Näherugslösuge lefer. E Asaz zur exake Lösug s de dyasche Operug ( dyac prograg ). De gebräuchlchse Näherugsverfahre werde Folgede beschrebe (sehe [4], [44]): LUC (leas u cos) De Bedarfe vo aufeaderfolgede Perode werde so lage zusaegefass, bs ale Sückkose errech werde. PPB (par perod balacg) De Bedarfe vo aufeaderfolgede Perode werde so lage zusaegefass, bs aäherd e Glechgewch zwsche Rüs- ud Lagerkose errech wrd. Slver-Meal-Verfahre De Bedarfe vo aufeaderfolgede Perode werde so lage zusaegefass, bs de durchschlche Kose/ZE al sd. Grezkoseverfahre vo Groff De Bedarfe vo aufeaderfolgede Perode werde so lage zusaegefass, bs de argale Verrgerug der durchschlche Rüskose pro Perode glech de argale Aseg der durchschlche Lagerkose pro Perode s. Näherugswese Losgröße-Savg-Verfahre Das Savg-Verfahre der Toureplaug wrd auf das Losgrößeproble agewad. De ezele Zeperode (, 2, 3,...) werde als Koe dargesell. Zusäzlch wrd och e zeraler Koe () egerche. De Kae werde Kose bewere (Kae vo zu Koe Rüskose, Kae vo + de Lagerkose, de esehe, we ee Megeehe a Ede der Perode bs zur Perode + gelager wrd. Für ede Zusaelegug vo zwe beachbare Koe (Losbldug) wrd da der Savgswer (Koseerspars) bereche. Ausgehed vo eer Sarlösug ( eder Perode wrd produzer) werde schrwese de bede Koe de größe Savgswer zusaegefass, bs es kee posve Savgswere ehr gb.

15 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE MEHRPRODUKT-MODELLE De Modelle dese Absch rage de Aforderuge der Praxs Rechug, de ehrere Produke auf eer Masche berache werde, dere Produkoskapazä beschräk s. Das ha zur Folge, dass de Produke ch ehr voeader soler berache werde köe ud da de Lösug der forulere Problee u eges koplexer wrd ELSP-MODELL (ECONOMIC LOTSIZING AND SCHEDULING PROBLEM) Deses Modell s de Erweerug des EPL-Modells auf ehrere Produke (sehe [34]). Es gele daher folgede Aahe De Zeachse wrd als seg ud uedlch berache. Es werde ehrere Produke geferg. Es ka zu ee Zepuk er ur e Produk geferg werde. De Fergug der Produke s esufg. De Nachfrage s beka ud zelch kosa. Leferverzug s ch erlaub. De Produkosrae c s ee bekae, edlche, kosae Größe. Be der Produko ees Loses esehe Rüskose, de vo der Losgröße uabhägg sd. Der Bedarf d() = d, de Rüskose k S, de Lagerkose k I ud de Produkoskapazä c sd dese Modell -desoale Vekore, wobe sch de -e Kopoee auf das -e Produk bezeh. Da der Bedarf kosa s ud e uedlcher Zerau berache wrd, wrd e zyklscher Fergugspla bes. Für edes Produk wrd durch deses Modell ee Perodedauer T ( cycle e ) bes, de agb welche Zeabsäde e Los deses Produks aufgeleg wrd. De Losgröße ergb sch da auoasch aus de vorgegebee Bedarf. Zel s es, de Bedarf ohe Leferverzug zu decke ud de esehede Rüs- ud Lagerkose pro Zeehe zu ere. Das Zelfukoal laue daher ( ) K k kid c S d T = + M. (2.8) T T 2c = =

16 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 3 De Lösug deses allgeee Probles s NP-hard. Grudsäzlch gb es zwe Lösugsasäze für deses Modell. Aufsuche eer aalysche opale Lösug zusäzlche Aahe, we z. B. T = T 2 =... = T = TC ( coo cycle approach ) oder T = T C ( basc perod approach ). Aufsuche vo akzepable Lösuge für das ursprüglche Proble heurssche Asäze. Für de coo cycle approach leee Hassa [4] de opale Lösug aalysche ab. De geesae Perodedauer dese Modell erhäl a der Forel T C = = 2 = k S d kd I c (2.9) Segersed beschreb [37] ee heurssche Asaz zur Lösug des ELSP-Modells Rüszee, wobe er sch auf ee edlche Zerau eschräk ud für edes Produk ee Afagslagersad vorgb. Jese ud Khoua erweer [2] das ELSP-Modell zu ELDSP-Modell (Ecooc Lo ad delvery schedulg proble). Se berache ee Masche, de ehrere Kopoee ferg, da rasporer werde ud auf eer adere Alage zusaegebau werde. Dadurch ergebe sch zusäzlch Trasporkose für das Zelfukoal. Für deses Modell, das auch Rüszee Berach zeh, wrd durch de agegebee Algorhus de opale Lösug de coo cycle approach bes. Gr ud Moo behadel [8] zwe Varaoe des ELSP-Modells Rüszee ud Sllsadskose. Eal wrd ee fxe Produkosrae ageoe ud de Produkosrehefolge heurssch fesgeleg. Für de fxere Rehefolge wrd da de opale Lösug bereche. De zwee Varao läss flexble Produkosrae zu ud ergäz de Zelfuko Produkoskose, de vo de Produkosrae abhäge. Für deses Modell wrd der coo cycle approach uersuch. Soa, Va Dok ud Gaala uersuche [39] das ELSP-Modell Rüszee ud beschräker Halbarkesdauer der Produke. Se verwede de basc perod approach für hre Algorhus.

17 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE CLSP-MODELL (CAPACITATED LOTSIZING PROBLEM) Deses Modell s de Erweerug des Wager-Wh-Modells auf ehrere Produke (sehe [34]). Es gele daher folgede Aahe: De Zeachse wrd dskree Zeperode egeel ( =,...,T ). De Fergug der Produke s esufg. Der Bedarf s beka ud ka dyasch se. Leferverzug s ch erlaub. I eer Zeperode köe ehrere Produke geferg werde. De zur Verfügug sehede Produkoskapazä C eer Zeperode s beschräk. We eer Zeperode e Produk geferg wrd, so esehe Rüskose, de vo der Losgröße uabhägg sd. Zel s es, de Bedarf zu decke ud de Sue aus Rüs-, Produkos- ud Lagerkose zu ere. T = = ( Sδ () I () P () ()) K = k + k y + k q M. (2.) ( ) { } wobe δ q (), ee bäre Rüsvarable s ud agb, ob eer Perode e Los q () vo Produk aufgeleg wrd oder ch. Der Lagersad ka Hlfe der Lagerblazglechug bereche werde: () = ( ) + () () = y( T) = y y q d y (2.) De beöge Kapazä Perode darf de vorhadee Kapazä C ch übersege: cq () C (2.2) = E Produk ka ur da eer Zeperode geferg werde, we auch gerüse wrd. De axale Losgröße s der kuulere Bedarf bs zu Ede des Berachugszeraus.

18 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 5 T {,..., } : q() d( τ) δ() (2.3) τ = De produzere Losgröße dürfe ebeso we der Lagersad e egav se: q(),y() (2.4) Deses Proble s beres für e Produk NP-hard. M verefachede Aahe ka es aber Hlfe der dyasche Operug gelös werde. Für ehrere Produke werde heurssche Asäze verwede CSLP-MODELL (CONTINUOUS SETUP LOTSIZING PROBLEM) Basered auf de CLSP-Modell werde CSLP-Modell (sehe [34]) zwe Aahe abgeäder: Rüskose esehe ur zu Beg eer Losproduko ud ch eder Perode, der produzer wrd. I eer Perode ka ur e Produk produzer werde. Für de Gesakose Zelfukoale ergb sch da T = = ( S ( δ () δ ) I () P () ()) K = k ax, + k y + k q M. (2.5) ( ) { } wobe δ q (), ee bäre Rüsvarable s ud agb, ob eer Perode e Los q () vo Produk aufgeleg wrd oder ch. Der Lagersad wrd beschrebe durch () = ( ) + () () = y( T) = y y q d y (2.6) De beöge Kapazä Perode darf de vorhadee Kapazä { } () δ () C ch übersege:,..., : cq C (2.7) I eer Perode wrd axal e Produk geferg: δ () (2.8) = Für Losgröße ud Lagersad gele Nchegaväsbeschräkuge:

19 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 6 q(),y() (2.9) Auch das CSLP-Modell s für e Produk NP-hard. E exaker Algorhus für e Produk basered auf der Relaxao der Kapazäsbeschräkug wrd vo Kararkar e al. [23] vorgesell. Für ehrere Produke verwedee Kararkar ud Schrage [24] Heurske zur Lösug des Probles DLSP-MODELL (DISCRETE LOTSIZING AND SCHEDULING PROBLEM) Das DLSP-Modell (sehe [34], [4]) baser auf de CSLP-Modell de weselche Uersched, dass de Produkosege eer Perode eweder s oder der volle Produkoskapazä esprch. Ma sprch daher auch vo all or ohg produco. Gegeüber de CSLP-Modell wrd also de Varable für de Losgröße q () Perode ees Produks ersez durch cδ sch da T = =. Für de Gesakose Zelfukoale ergb ( S ( δ () δ ) I () P () δ ()) K = k ax, + k y + k c M. (2.2) der bäre Rüsvarable ( q( )) {, } δ. Für de Lagersad gl: () = ( ) + () () = y( T) = () y y q d y y (2.2) I eer Perode wrd axal e Produk geferg: δ () (2.22) = Deses Modell wurde ersals vo Flescha [5] foruler ud vo h [6] auf rehefolgeabhägge Rüskose erweer WEITERE MODELLE Drexl ud Haase schwäche [3] de all or ohg -Aahe des DLSP-Modells ab, de se pro Zeperode de Produko vo axal zwe Produke zulasse. Für deses PLSP-Modell (Proporoal Loszg ad Schedulg Proble) schlage se ee Lösugsasaz vor ud vergleche deses Modell CSLP ud DLSP. Haase erweer

20 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 7 [3] das PLSP u Rüszee, rehefolgeabhägge Rüskose, Übersude, parallele Masche ud Fehlege. Das GLSP-Modell (Geeral Loszg ad Schedulg Proble) wurde vo Flescha ud Meyr [7]. Deses Modell uersuch ee Masche beschräker Kapazä, auf der ehrere Produke geferg werde. De Ze wrd dabe fxe Makroperode (z. B. Woche oder Moae) egeel, de da ee fxe Azahl vo Mkroperode varabler Läge uerel werde. foruler. De Azahl der Produke, de eer Makroperode produzer werde s Gegesaz zu DLSP ud PLSP ch ehr beschräk. I ee edlche Plaugszerau uss e vorgegebeer dyascher Bedarf, der pro Makroperode gegebe s, ohe Leferverzug gedeck werde. De esehede Rüs- ud Lagerkose solle er werde. Meyr verallgeeer das GLSP-Modell [3] zu GLSPST-Modell (Geeral Loszg ad Schedulg Proble wh Seup Tes), wobe er rehefolgeabhägge Rüszee eführ. Der vo Meyr vorgeselle Lösugsasaz beseh aus zwe Tele. Zuers wrd de Rüsrehefolge els hreshold accepg oder sulaed aealg fesgeleg. Be gegebeer Rehefolge wrd ächse Schr das dabe esehede leare Proble als u cos ework flow proble foruler ud ee duale Algorhus zur Reoperug bes. Repala beschreb [33] e Eascheodell ehrere Produke, de varable Produkosrae produzer werde köe. Der Bedarf s zu dskree Zepuke vorgegebe ud uss ohe Leferverzug gedeck werde. Das Zelfukoal er Rüs- ud Lagerkose. Rüszee werde ch berückschg. 2.4 KONTROLLTHEORETISCHE MODELLE Vele Modelle zur Produkosplaug ud seuerug beschäfge sch der zelche Ewcklug ees Syses, das durch verschedee Größe (z. B. Lagersad) beschrebe werde ka. Das Syse soll so durch Escheduge (z. B. Sarzepuke der Produko, Losgrößebldug) geseuer werde, dass e gewüsches Zel (z. B. ale Kose) errech wrd. Dabe lege Noralfall ehrere Resrkoe vor, de be der Eschedugsfdug berückschg werde üsse, we z. B. de Beschräkug der Produkoskapazä. Wrd de zelche Ewcklug des Syses kouerlch durch Dfferealglechuge beschrebe, so s de Korollheore e geegees Werkzeug, u solche Modelle zu aalysere.

21 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 8 Her folg e Überblck über ege korollheoresche Produkosodelle. De Forulerug ud der Bewes des Maxuprzps der Korollheore für Aufgabe Zusadsbeschräkuge folge Kapel HMMS-MODELL Vo Hol, Modgla, Muh ud So 96 wurde [8] e Korollodell ewckel, das de Produko ees Produkes auf eer Masche beschreb. Der Lagersad y () charakerser de Zusad des Produkossyses, de Produkosrae x( ) de als Seuervarable. Zwsche Lagersad ud Produkosrae gl der Zusaehag: () = () = y y x d y (2.23) wobe de sege Fuko d() de Nachfrage des Produkes beschreb. Zel s es, de quadrasche Abwechuge vo ee vorgegebee Soll-Lagersad y (), eer Soll- Produkosrae x ud ee Soll-Edlagersad y T so gerg we öglch zu hale: ( 2 2 I ) T 2 J = k y y + x x d+ S y T yt M. 2 (2.24) Nebebedguge, we z. B. de Nchegavä vo Lagersad ud Produkosrae, sd her ch vorhade. De allgeee Lösug deses Korollodells ka aalysch bes werde ud s [4] für S = agegebe: () () ζ () () y ki k I = C e + C2 e + x k d I k ζ + I (2.25) Dabe bezeche y = ζ ud x = ζ + d ee parkuläre Lösug des Syses y = x d I x = k y y + x (2.26) De Kosae C ud 2 x( T) x T = bes. C werde aus de Radbedguge y = y ud ARROW-KARLIN-MODELL I Modell vo Arrow ud Karl, das [] 958 beschrebe wurde, wrd ebefalls e Produk ud ee Masche berache. Zusad ud Korolle sd durch de Lagersad

22 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 9 ud de Produkosrae defer, wobe hr Zusaehag durch de Lagerblazglechug beschrebe wrd: () = () = y y x d y Lagersad ud Produkosrae dürfe ch egav se: (2.27) y,x (2.28) Für das Zelfukoal werde leare Lagerhalugskose K I ud zeuabhägge zuehede argale Produkoskose = KP ageoe: KP x, = KP x K P =,K P > für x >,K P > K y, k y I I (2.29) T ( P I ) J = K x + k y d M. (2.3) Zur Lösug deses Probles werde aus de owedge Bedguge ege Aussage für opale Lösuge abgelee, dere Hlfe e kosrukver Algorhus ( Vorwärsalgorhus ) ewckel wrd (sehe [4]) MODELL VON BAI UND VARANASI I [2] aalysere Ba ud Varaas e Korollodell für ee Masche ud e Produk. Der Zusaehag zwsche der Produkosrae (Seuerug) ud de Lagersad (Zusad) erfolg weder durch () = () = y y x d y (2.3) wobe der Bedarf d( ) durch ee sückwese kosae Fuko agegebe s. De Produkosrae s dese Modell ach obe ud ue beschräk: x() X (2.32) Fehlege sd erlaub, se werde aber Zelfukoal, das quadrasche Lager- ud Fehlegekose ufass, besraf. J T 2 y () d = M. (2.33)

23 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 2 M Hlfe des Maxuprzp werde Egeschafe vo opale Lösuge abgelee, wobe zuers de Zeervalle, dee der Bedarf größer s als de axal öglche Produkosrae, uersuch werde. I eer Ugebug vo solche Iervalle ka ch exak ach de Bedarf produzer werde, soder es uss de volle Kapazä ausgeüz werde. Es wrd e Algorhus agegebe, der für de Kosruko vo opale Lösuge verwede wrd MODELLE VON KOGAN ET AL. Koga berache [27] e Korollodell für ee Masche, e Produk ud ee uedlche Zerau. Der Zusad wrd durch de Lagersad beschrebe, de Korolle durch ee beschräke Produkosrae. Der Bedarf s durch ee perodsche Fuko Perodeläge T gegebe, de auch für de Lagersad gl. () = () = y( T) y x d y (2.34) x() X (2.35) I Zelfukoal sehe quadrasche Lager-, Fehlege ud Produkoskose. T I () I () p 2 () M. (2.36) J = k y + k y + k x d y + bezeche dabe de posve Lagersad, y de Fehlege. k + I ud k I sd de Lagersad bzw. Fehlege verbudee Kosesäze. Deses Modell wrd Folgede K bezeche. Koga uersuch für K dre Spezalfälle:. ubeschräke Kapazä, syersche Lager- ud Fehlegekose, polyoaler Bedarf. 2. verachlässgbare Produkoskose 3. verachlässgbare Lager- ud Fehlegekose Für de allgeee Fall wrd e odfzeres Scheßverfahre vorgeschlage. Koga, Khelsky, Shub ud Mao ewckel [29] e Korollodell, das ehrere Masche (Idex k =,..., K ) ud Produke (Idex =,..., ) ufass. Jede Ma-

24 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 2 sche ka sch edlch vele Zusäde befde, de durch de Idex =,..., J ( k ) agegebe werde. Das Wechsel vo ee Maschezusad zu ee adere wrd durch de Rüszusad V k ud ee Seuervarable u k beschrebe: k () () V = u k J k V = V V = k k k = (2.37) V = bedeue, dass sch Masche k Zusad befde. V ], [ zeg a, dass e k Urüsvorgag läuf, sos s der Fukoswer. De Urüsvarable u k s beschräk durch k () u T. (2.38) k De Sue über alle Urüsvarable eer Masche uss ergebe, da ch glechzeg ehrere Urüsvorgäge safde. J k uk () = (2.39) = De Produkosrae s ee asche- ud zusadsabhägge Größe, de ebefalls beschräk s: x k (2.4) Produzer ka ur da werde, we de Masche sch rchge Zusad befde. Das wrd durch ee Fuko θ odeller, de s für posve Arguee ud sos de Wer a. ( x () ) V () θ k k (2.4) De Ewcklug des Lagersades ka Hlfe vo produk-, asche- ud zusadsabhägge Kapazäe bes werde. Der Afagslagersad s vorgegebe. k () () () y = x c d y k k k = y (2.42) I Zelfukoal werde quadrasche Lager- ud Fehlegekose berückschg.

25 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 22 T J = k () 2 I y d M. (2.43) 2 = Der Zusad des Syses wrd also durch de Lager- ud Rüszusäde beschrebe, Korollvarable sd de Produkosrae ud de Urüsvarable. Deses Modell wrd Folgede K2 bezeche. Zur Lösug deses Probles wrd ee erave Prozedur vorgeschlage. Dazu wrd zuers e Rüszusad gewähl, der de Afagsbedguge aus (2.37) erfüll ud für de () V, V = k k (2.44) gl. Für de vorgegebee Rüszusad werde opale Produkosrae ud Lagersäde bes (Proble A). Das erfolg der [3] beschrebee edecoposo -Mehode. I ächse Schr wrd für de bese Produkosrae de Rüszusäde oper, u de Lagersäde zu reduzere (Proble B). Dazu wrd das Zelfukoal learser ud de Ze dskreser. Das esehede Proble s da els Learer Operug lösbar. De Telproblee A ud B werde erav gelös. I ee uersche Expere wurde e zwesufger Produkosprozess berache, de aus dre Rohsoffe, ver Zwscheproduke ud ver Edproduke geferg werde. I [25] wrd das Modell K2 auf rehefolgeabhägge Rüszee erweer ud das Zelfukoal ewas verallgeeer: T = ( ()) J = K y d M., (2.45) wobe K ee kovexe, dfferezerbare Kosefuko s. Für deses Modell, das Folgede K3 bezeche wrd, wrd aus de Maxuprzp ee Rüsbedgug abgelee. Se gb ee Zusaehag zwsche adugere Fukoe zu Afagszepuk ud zu Edzepuk des Rüses a. Dese Egeschaf wrd für ee Algorhus verwede, der auf de Scheßverfahre baser. I ee uersche Expere wrd e esufger Produkosprozess zwe parallele Masche ud ver Produke uersuch.

26 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 23 Koga foruler [28] e Korollodell für ehrere Masche ud Produke, wobe de Produkosrae dskre s. Es ka er ur voller Produkoskapazä oder gar ch produzer werde. Rüse s dese Modell, dass K4 bezeche wrd, ch berückschg. I Zelfukoal werde quadrasche Lagersads- bzw. Fehlegekose ud leare Produkoskose berückschg. Da es ch zu ee sädge Uschale zwsche de Produkosrae ud ko, wo Grezfall ee Produkosrae < errech werde ka, wrd ee Mdesprodukosdauer für edes Produk egeführ. Aus de Maxuprzp werde Egeschafe für opale Produkosreges abgelee. Für de uersche Lösug wrd de Ze dskreser ud de edecoposo -Mehode verwede. I ee Bespel wrd e zwesufger Produkosprozess dre Rohsoffe, dre Zwscheproduke ud dre Edproduke uersuch. I eder Produkossufe sehe zwe parallele Masche zur Verfügug. De Recheze für deses Proble berug 3,5 Mue auf ee PC ZUSAMMENFASSUNG De Modelle EOQ, EPL ud das Verfahre vo Wager-Wh werde Abbldug 2. ochals gegeübergesell. Dese Modelle sd alle exak lösbar, se habe aber de Nachel, dass se de Realä ur sehr agelhaf wedergebe: Es wrd ur e Produk berache. De Produkosrae s be EOQ ud Wager-Wh ubeschräk. Der Bedarf uss be EOQ ud EPL kosa se. Rüszee werde ch berückschg. Deoch s azuerke, dass dese Verfahre, besoders EOQ, wege hrer Efachhe der Praxs verwede werde, obwohl de Aahe des Modells elwese überhaup ch zureffe. Beres de Verwedug vo Näherugsverfahre für Wager-Wh (z. B. Groff), de sadardäßg gägge PPS-Sysee pleeer sd, würde sgfkae Esparuge be Lager- ud Rüskose bewrke.

27 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 24 Ze EOQ EPL Wager-Wh seg, uedlch seg, uedlch Masche Produke dskre, edlch Leferverzug e e e Rüskose kosa, pro Los kosa, pro Los Rüsze e e e dyasch, pro Perode Bedarf kosa kosa dyasch Produkoskapazä ubeschräk beschräk ubeschräk Zelfuko Lagerkose ud Rüskose Lagerkose ud Rüskose Tabelle 2. Verglech der Modelle EOQ, EPL ud Wager-Wh Lagerkose ud Rüskose Tabelle 2.2 bee ee Gegeübersellug der Modelle ELSP, CLSP, CSLP ud DLSP. Das ELSP erweer das sege EPL-Modell auf ehrere Produke, de adere Modelle sd Weerewckluge des dskree Modells vo Wager-Wh auf ehrere Produke. Se habe auch geesa, dass de Kapazä ch ehr ubeschräk s, Rüszee sd de Grudodelle ch egrer. De erhöhe Praxsrelevaz ha zur Folge, dass dese Modelle NP-hard sd, d.h. für Problee eer Größeordug, we se Produkosberebe vorkoe, läss sch verüfger Recheze kee exake Lösug erel. Daher werde of heurssche Lösugsverfahre oder lokale Näherugsverfahre agewede. Bespele dafür sd: Geesche Algorhe Sulaed Aealg Tabu Search A Coloy Opzao. E ehodsch aderer Zugag bee de Korollheore. Se s für dyasche Modelle geege, dee Produkosrae, Bedarf, Lagersad usw. durch sege Fukoe beschrebe werde. Tabelle 2.3 ud Tabelle 2.4 fasse de vorgeselle Produkosodelle zur Korollheore ochals zusae.

28 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 25 Ze ELSP CLSP, CSLP DLSP seg, uedlch dskre, edlch Masche Produke dskre, edlch Leferverzug e e e Rüskose kosa, pro Los dyasch, pro Perode Rüsze e e e dyasch, pro Los Bedarf kosa dyasch dyasch Produkoskapazä beschräk beschräk oder C Zelfuko Lagerkose ud Rüskose Lagerkose ud Rüskose Tabelle 2.2. Verglech der Modelle ELSP, CLSP, CSLP ud DLSP Lagerkose ud Rüskose De erse korollheoresche Modelle, we das HMMS-Modell ud das Arrow- Karl-Modell, berache ur e Produk ud beschräke de Produkoskapazä ch. Das Modell vo Ba s ebefalls e Eprodukodell, de Kapazä s allerdgs beschräk. I HMMS-Modell ud Modell vo Ba werde Fehlege zugelasse. Rüszee ud Rüskose werde alle dre Modelle ch heaser. Für dese Modelle ka de Lösug aalysch oder Hlfe ees Algorhus bes werde. Koga e al. habe Berech der Korollheore ehrere Modelle zur Produkosseuerug ewckel. K s e Eprodukodell, für das Spezalfälle de Lösuge aus de Maxuprzp abgelee werde köe. De Modelle K2-K4 sd vo hoher Koplexä, da ebe der Erweerug auf ehrere Masche auch Rüszee, elwese rehefolgeabhägg, egrer werde. Rüskose werde Zelfukoal ch berückschg, Fehlege sd alle Modelle erlaub. De Schwergke der Korollheore beseh dar, dass of ur ühsa aus de owedge Bedguge Egeschafe für ee opale Lösug abgelee werde köe. Hrechede Bedguge werde für dese Modelle ch uersuch. Aus de bese Egeschafe werde Algorhe ewckel, de ur für klee Probledesoe geese werde.

29 ÜBERBLICK ÜBER BESTEHENDE MODELLE 26 HMMS Arrow-Karl Ba Ze seg seg seg Masche Produke Leferverzug a e a Rüskose e e e Rüsze e e e Bedarf seg seg sückwese kosa Produkoskapazä Zelfuko ubeschräk ubeschräk beschräk quadrasche Abwechug vo Soll- Lagersad ud Soll- Produkosveau Tabelle 2.3. Verglech vo korollheoresche Modelle leare Lagerkose ud kovexe Produkoskose K K2, K3 K4 Ze seg seg seg Masche k k Produke Leferverzug a a a Rüskose e e e Rüsze e a a quadrasche Lager- ud Fehlegekose Bedarf seg seg seg Produkoskapazä beschräk beschräk oder C Zelfuko quadrasche Lager-, Fehlege- ud Produkoskose kovexe Lagerud Fehlegekose Tabelle 2.4. Verglech vo korollheoresche Modelle 2 quadrasche Lager- ud Fehlegekose, leare Produkoskose

30 3 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN I dese Kapel wrd das Maxuprzp für e Korollproble Zusadsbeschräkuge foruler ud auch bewese (sehe Absch 3.2). U dese Saz zu zege, werde ege Defoe ud Aussage beög, de Absch 3. beschrebe ud elwese bewese werde. Alle Defoe, Aussage ud Bewese dese Kapel sd aus [2] überoe. 3. VORBEREITENDE DEFINITIONEN UND AUSSAGEN I dese Absch werde alle owedge Defoe ud Aussage für de Bewes des Maxuprzps (Saz 3.7) ageführ. Der Saz vo Baach (Saz 3.) wrd für de Bewes des Sazes vo Luserk (Saz 3.5) ud für de Haupsaz für lokalkovexe Aufgabe (Saz 3.6) beög. Der Saz vo Hah-Baach (Saz 3.2) ud desse Forulerug als Treugssaz (Saz 3.3) sd ebefalls Voraussezug für de Bewes vo Saz 3.6. Deser Haupsaz ud der Saz vo Reß (Saz 3.4) sd de Grudlage, u das Maxuprzp zu zege. 3.. DER SATZ VON BANACH UND DER SATZ VON HAHN-BANACH Der Saz vo Baach über de offee Abblduge ud de verse Operaor laue: Saz 3. (Saz vo Baach) Es see X ud Y Baachräue ud Λ :X Y e learer seger Operaor, desse Wereege gaz Y s, d. h. es gele IΛ = Y. Da s das Bld eder offee Telege des Raues X offe Y. We der Operaor Λ außerde ukehrbar edeug s, d. h. KerΛ = { } gl, so s Λ e learer Hoöoorphsus. Der Saz vo Hah-Baach laue: Saz 3.2 (Saz vo Hah-Baach, Ope Mappg Theore) Es see X e learer opologscher Rau, A X ee kovexe offee Mege ud L X e Telrau, der kee geesae Puke der Mege A ha. Da exser auf X e seges leares Fukoal * x der Egeschaf

31 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 28 * x,x > für alle x A * x,x = für alle x L (3.) Dabe gb * x,x de Wer des leare Fukoals * x Puk x a. Dre wchge Folgeruge aus de Saz vo Hah-Baach sd: Es se X e separerer (Hausdorffscher) lokalkovexer learer opologscher Rau. Da exser zu ede x X,x e Fukoal * x aus de zu X kougere Rau * * X so, dass x,x gl. Es se L e abgeschlosseer Telrau des Hausdorffsche lokalkovexe leare opologsche Raues X. Da ehäl der Ahlaor L des Telraues L e vo Null verschedees Elee. Dabe verseh a uer de Ahlaor de Mege * * * { } L = x X x L: x,x = (3.2) Es se X e learer orerer Rau. Da exser zu ede x X,x, e Fukoal x X der Egeschaf * * * * x,x = x, x = (3.3) Der Saz vo Hah-Baach ka auch For ees Treugssazes foruler werde. Saz 3.3 (Treugssaz) Es see A ud B dsuke kovexe Mege ee leare opologsche Rau X ud es se A. Da exser auf X e chrvales seges leares Fukoal * x, das de Mege A ud B re, d. h. für alle x A, y B s de Uglechug erfüll. * * x,x x,y (3.4)

32 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN DER SATZ VON RIESZ Se T e kopaker Hausdorffscher Rau, da wrd C sege Abblduge aus T () () () C T der Nor T der Baachrau der x. = x. = ax x (3.5) bezeche. Saz 3.4 (Saz vo Reß) Jedes leare sege Fukoal * Gesal * () () = T x auf C T läss sch auf edeuge Wese der x,x. = x dµ (3.6) darselle, wobe µ,..., µ reguläre Borelsche Maße auf T sd. Dabe gl 2 = * x d µ = T + µ µ µ sd. 2 (3.7) = +, wobe µ + ud µ der posve bzw. der egave Tel des Maßes µ Is T das Iervall [ ],, < < <, so ka a de Saz vo Reß folgede For gebe: Jedes leare sege Fukoal * Wese der Gesal * T = () µ x auf ([ ] ) C, läss sch auf edeuge x,x. = a x + x d (3.8) darselle, wobe a ud (),..., µ µ Fukoe beschräker Varao sd, de rechsseg seg sd ud Puk verschwde.

33 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN DER SATZ VON LJUSTERNIK Bevor der Saz vo Luserk foruler wrd, werde dre vorbereede Leaa beög. Das erse Lea s ee Verallgeeerug des Przps der koraherede Abblduge auf egewerge Abblduge. Daher werde zuers de Begrffe egewerg ud korahered defer. Defo 3. Es see X ud Y Mege. M 2 Y wrd de Gesahe aller Telege der Mege Y bezeche. Jede Abbldug Φ :X 2 Y heß egewerge Abbldug aus X Y. Es se Z e erscher Rau der Merk ρ. Sd A ud A 2 belebge Telege vo Z, so wrd de Größe ( A,A ) sup ( z,a ) supf ( z,w) δ = ρ = ρ (3.9) 2 2 z A z A w A de Abwechug der Mege A vo der Mege A 2 gea. Uer de Hausdorffsche Absad h( A,A 2) zwsche de Mege A ud A 2 verseh a de größere der bede Abwechuge δ ( A,A ) ud δ ( A,A). 2 2 Es se Φ ee egewerge Abbldug des Raues Z sch. Se wrd korahered auf der Mege A Z gea, we es ee Zahl θ, < θ <, gb, dass de Uglechug ( Φ Φ ( 2) ) θρ( 2) h z, z z,z (3.) für alle z ud z 2 aus A erfüll s. Lea 3. (Przp der koraherede egewerge Abblduge) Es se Z e vollsädger erscher Rau der Merk ρ. I eer Kugel deses { } Raues ρ U z,r = z z,z < r r > se de egewerge Abbldug Φ :U ( z,r) defer, wobe de Mege Φ ( z) für edes z U( z,r) 2 Z chleer ud abgeschlosse see. Ferer soll vorausgesez werde, dass ee Zahl θ, < θ <, exser

34 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 3 ( Φ Φ ( 2) ) θρ( 2) für alle 2 ( ) z, ( z) < r. h z, z z,z z,z U z,r ( ) ρ Φ θ (3.) Da exser zu eder Zahl r ρ ( Φ ) ( θ) z, z < r< re Elee z aus r r B z, = w ρ ( w,z) θ θ (3.2) z Φ ( z) ee Puk z. Darüber haus gb es uer de Puke, de deser Bedgug geüge, 2 ρ( z,z ) ρ( ) z, Φ θ z. (3.3) Bewes Es se z, z,... ee Folge de Egeschafe ( ) Φ ( ) z U z,r für =,,... z z für =, 2,... ρ z,z < θ r für =,,... + (3.4) Dese Folge wrd dukv kosruer. Das Elee z s dasselbe, das der Voraussezug des Leas aufr ud ( z,z) z e belebges Elee aus Φ z, für das ρ < r gl. Ma ehe a, dass beres de erse + Eleee z, z,..., z der Folge ausgewähl wurde. Da gl ( ( ) ( )) ( ) h Φ z, Φ z θρ z,z < θ r. (3.5) Daraus folg de Exsez ees Elees z + Φ ( z) ρ Weers gl ach der Dreecksuglechug (we k+ + s) ( z,z ) ( z,z ) ( z,z ) z +,z < θ r. ρ k k+ ρ k k+ ρ k+ k+ k k k θ (3.6) + < ( θ θ ) r < r. θ Daraus folg für k = ud k+ = +

35 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 32 ρ ( z,z ) also z U( z,r) r + < < r, (3.7) θ. M der Kosruko des Eleees + z + s de Iduko beede. Aus (3.6) folg, dass z, z,... ee Cauchy-Folge s. Da der Rau Z vollsädg s, koverger se gege e Elee z Z. Führ a der Uglechug ρ ( z,z) r < θ (3.8) de Grezübergag durch, so erhäl a de Bezehug r z B z, U z,r θ Adererses gl. (3.9) ( z, ( z) ) ( ( z ), ( z) ) h( ( z ), ( z) ) ( z,z) ρ + Φ ρ Φ Φ Φ Φ θρ. (3.2) Daraus folg de Exsez eer Folge w, w,... vo Eleee der Mege Φ ( z), de gege z koverger. Daher gl z Φ ( z), wel ach Voraussezug de Mege ( z) Φ abgeschlosse s. We ρ( z, Φ ( z) ) =, so gl z Φ ( z) erfüll. Is aber ( z, ( z) ) ρ Φ >, da wähl a ud de Bedgug (3.3) s offeschlch r so, dass r ρ ( z, Φ ( z) ) < r < ( θ) r (3.2) 2 r gl. Für deses r fde a ee Puk z B z, θ geüg. Da gl r 2 ρ ρ Φ θ θ ( z,z) < z, ( z), der der Bezehug z Φ ( z ). (3.22)

36 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 33 Lea 3.2 Es see X e Baachrau ud M, M 2 leare Magfalgkee X, welche Traslaoe e ud desselbe Telraues L sd. Da gl ( 2) δ ( 2) δ ( 2 ) { 2 2 2} hm,m = M,M = M,M = f x x x M,x M. (3.23) Bewes Es geüg zu zege, dass folgede Bezehug gl: ρ x M x M : ρ x,m = x,m. (3.24) Es se x M,x 2 M 2, x 2 e belebges Eleee der Magfalgke M 2 ud ferer x = x2 + x x 2. Da s x M ud es gl ρ x,m x x = x x. (3.25) Da dese Uglechug für edes x 2 M 2 läss sch achwese, dass ρ( x,m ) ρ( x,m ) erfüll s, gl ρ( x,m ) ρ( x,m ) Aalog gl, wo das Lea bewese s. Lea 3.3 Es see X ud Y Baachräue ud Λ :X Y e seger, learer Operaor. Se C ( Λ) { Λ = } f x x X, x y = sup. (3.26) y Y y We da IΛ = Y gl, da s C ( Λ ) <. Bewes Is IΛ = Y, so ehäl ach de Saz vo Baach über offee Abblduge (Saz 3.) das Bld der Eheskugel des Raues X be der Abbldug Λ ee Ugebug des Nullpukes Y, d. h., es läss sch e δ > agebe, dass zu ede y Y, y δ, e Puk x X exser, für de x ud Λ x = y gl. Deshalb s für belebges y Y, y,

37 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 34 { } { } f x x X, Λx y δ y f x x X, Λx δ y y δ y also C ( Λ) δ = = =, (3.27). Das Lea s da bewese. Saz 3.5 (Der verallgeeere Saz vo Luserk) Es see X ud Y Baachräue ud Λ :X Y e seger, learer Operaor ud F ee Abbldug eer Ugebug U des Pukes x X Y. Es se IΛ = Y ud es gebe ee Zahl δ > so, dass δc ( Λ) < 2 ud Λ x,x U : F x F x x x δ x x. (3.28) Da exsere ee Ugebug U U des Pukes x, ee Zahl K > ud ee Abbldug ξ x( ξ) der Ugebug U X so, dass de Bezehuge ( ξ + ( ξ) ) = ( ) ( ξ) ( ξ) F x F x x K F F x (3.29) für alle ξ U erfüll sd. Bewes Ma wähle r > so, dass de Kugel U x, r der Ugebug U agehör. Aus (3.28) 2 folg, dass de Abbldug F Puk x seg s. Daher ka a ee Ugebug des Pukes U U x,r x agebe, der r C( Λ) sup F( ξ) F( x ) (3.3) ξ U 2 gl, da ach Lea 3.3 C ( Λ ) < s. x Nu wähl a e feses Elee ξ U ud berache de egewerge Abbldug ( x) der Kugel U ( ) ψ ξ,r de Rau X, de durch ψ x = x Λ F ξ + x F x (3.3) ξ

38 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 35 defer wrd, wobe Λ ( y) das volle Urbld des Pukes y be der Abbldug Λ bezeche wrd. Auf Grud der Wahl vo r ud U s ξ + x U für alle ξ U, ( ), so dass de Mege ψ ( x) für alle x U (,r) x U,r ξ ch leer sd. Für edes y Y s de Mege Λ ( y) ee leare Magfalgke, de de Telrau KerΛ parallel s. De Mege ( x) ξ ψ habe da deselbe Egeschaf. Se sd sbesodere sälch abgeschlosse. Auf Grud vo Lea 3.2 ud Lea 3.3 gl ( ψξ ψξ ( 2) ) 2 ψξ ( ) { 2} { 2 Λ Λ ( ξ ) 2} { Λ Λ( 2) ( ξ ) ( ξ 2) } h x, x = f z z z x, =, = f z z z = x F + x + F x, =, = f z z = x x F + x + F + x ( Λ) ( ξ ) ( ξ ) Λ C F + x F + x x x. 2 2 (3.32) Berückschg a de Uglechug (3.28) ud sez θ δc ( Λ) θ < 2), so erhäl a ( ξ ξ ) 2 2 = (ach Voraussezug s h ψ x, ψ x θ x x. (3.33) Aus der Uglechug (3.3) folg { } (, ξ ) = f z z = F + F( x ) ρ ψ Λ ξ r C( Λ) F( ξ) F( x ) < ( θ) r. 2 (3.34) De Bezehuge (3.33) ud (3.34) zege, dass de Abbldug ( x) ψ alle Voraussezuge vo Lea 3. geüg. Daher exser e Vekor x x( ξ ) ξ = so, dass eerses ( ( ) ) ( ) x ξ ψ x ξ Λ F ξ + x ξ F x F ξ + x ξ = F x (3.35) ξ gl ud adererses ach der Uglechug (3.34) de Bezehug ( Λ) 2 2C x ( ξ) ρ(, ψξ ) F ξ F x K F ξ F x θ θ = (3.36) erfüll s. Der Saz s da bewese.

39 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 36 Beerkug Aus de Bewes vo Saz 3.5 folg, dass de Zahl K vo δ abhägg s ud der Zusaehag K ( Λ) = 2C δ C Λ (3.37) gl. Verkleer a δ, so wrd auch de Zahl K kleer HAUPTSATZ FÜR LOKALKONVEXE AUFGABEN Bevor de Problesellug ud der Haupsaz für dese Probleklasse erläuer werde, erfolg de Defo der Begrffe Subdffereal, glechäßg dfferezerbar, lokalkovex ud regulär lokalkovex. Defo 3.2 Es se f ee hoogee Fuko auf X. Da verseh a uer de Subdffereal vo f Nullpuk, das f Süzfukoale vo f sd: * * * { } bezeche wrd, de Mege aller Fukoale * x, de f = x X x X : f x x,x. (3.38) Se g ee Fuko auf X, für de Puk x de Rchugsableug exser, da heß de Mege g( x) g ( x;) = Subdffereal der Fuko g Puk x. Ma sag, de Fuko g s subdfferezerbar Puk x, we g( x) ch leer s. Defo 3.3 See X ud Y Hausdorffsche lokalkovexe leare opologsche Räue. Ee auf X defere Fuko f s lokalkovex Puk x, we hre Rchugsableug dese Puk exser ud kovex s. Is weers G:X Y ee Abbldug vo X Y, so s dese Abbldug Puk x Rchug x dfferezerbar, we der Grezwer ( + ) G x x G x G ( x ;x) l λ λλ = (3.39)

40 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 37 exser. Ma e de Abbldug G Puk x glechäßg dfferezerbar Rchug x, we zu eder Ugebug D Pukes x ud ee Zahl λ > exsere, sodass ( + λ ) G x z G x λ für alle z U ud alle < λ < λ gl. Y des Nullpukes ee Ugebug U X des G x ;x V (3.4) Ee auf X defere Fuko f heß regulär lokalkovex Puk x, we se lokalkovex ud dese Puk bezüglch aller Rchuge glechäßg dfferezerbar s. Dezufolge s de Rchugsableug eer Fuko x, de dese Puk regulär lokalkovex s, ee sege kovexe Fuko. X Es see X ud Y Baachräue, U ee belebge Mege, f,..., f Fukoe auf U ud F ee Abbldug vo X U Y. Ma berache folgede Problesellug: f x,u f F x,u = f x,u, =,..., u U (3.4) De Lagrage-Fuko deses Probles wrd defer als ( x,u, λ,..., λ * ) *, y = λ f x,u + y,f ( x,u) L. (3.42) = We de Fukoe x f ( x,u) lokalkovex sd ud de Abbldug x F( x,u) (u fes) dfferezerbar s, so s auch de Lagrage-Fuko lokalkovex x. M xf ud xl werde de Subdffereale der Fukoe f bzw. L als Fukoe vo x ud f ( x,u;z) * ud ( x,u, λ,..., λ, y ; z) L hre Rchugsableuge Puk x Rchug z bezeche. Das Sybol Σ wrd dese Absch für das folgede - desoale Splex verwede: Σ = a = ( α,..., α) α, α. (3.43) =

41 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 38 Saz 3.6 Es se ( x *,u*) e zulässges Elee vo Proble (3.4). Der Puk x * besze ee Ugebug V de folgede Egeschafe: Für edes u U Für edes u U gehör de Abbldug x F( x,u) sd de Fukoe x f ( x,u) Puk x * regulär lokalkovex. Puk x * zur Klasse C., =,..., auf V seg ud Zu ede edlche Syse vo Puke u,...,u aus U ud ede δ > exsere ee Ugebug V V ( x V ) ( εσ ) *, ee Zahl ε > ud ee Abbldug v:v U so, dass v( x, ) = u für alle x V gl ud für alle x,x V * ud a,a de Uglechuge εσ ( ) ( ) x ( * *)( ) F x,v x,a F x,v x,a F x,u x x α α ( F x *,u F x *,u* ) δ x x + α α = = ( ) α f x,v x,a f x,u f x,u f x,u * * = δ x x * + α, =,..., = (3.44) erfüll sd. Der Wereberech des leare Operaors x F x,u x besz Y ee edlche Kodeso. x * * Is da ( x *,u*) e lokales Mu vo (3.4), da exsere ch glechzeg verschwdede Lagragesche Mulplkaore λ,..., λ, y * Y * so, dass * * * ( x,u, λ,..., λ, y ) F ( x,u ) y λ f ( x,u ) L = + λ x * * x * * x * * = * * ( x *,u*, λ,..., λ, y ) = ( x *,u, λ,..., λ, y ) L L. u U f ( x,u ) =, =,..., * * (3.45) gl.

42 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 39 Bewes I dese Bewes werde dre Telfälle uerschede, zwe earee ud e ch eareer Fall. Es werde folgede Bezechuge beuz: L = IF ( x,u ) Y s de Wereege des leare Operaors x * * * F x,u. x * * B = L + F x,u Y s de Gesahe der y Y, zu dee Eleee x X ud u U exsere, dass y = F ( x,u ) x+ F( x,u) s. x * * * L= l B s de leare Hülle der Mege B. Nach Voraussezug ha der Telrau L ee edlche Kodeso ( = Deso des Fakorraues Y L ) ud s daher abgeschlosse. L s ebefalls e abgeschlosseer Telrau, da er als Sue vo L ud ees edlchdesoale Telraues darsellbar s. Erser eareer Fall: Es se L Y. Da exser ach der zwee Folgerug aus de Saz vo Hah-Baach (Saz 3.2) e chrvales Fukoal, das de Ahlaor des Telraues L agehör. Für deses gl also * y,fx x,u * * x F x,u * y Y * * + = (3.46) für alle x X ud u U. Für u u* dass x X: * x * * = folg aus deser Bezehug wege y,f x,u x = gl. D. h. es s eerses F x,u =, * * F x,u y =. (3.47) * * x * * Adererses ergb sch aus (3.46) für x = de Bezehug y,f x,u = y,f x,u = u U. (3.48) * * * * * Sez a λ =... = λ =, so sd wege (3.47) ud (3.48) de Bezehuge (3.45) erfüll. Zweer eareer Fall: Es se L = Y. Da folg aus der Edlchke der Kodeso vo L, dass B. Gl dabe B, da exser ach de Treugssaz (Saz 3.3) e chrvales Fukoal y * Y *, das de Mege B ud das Nullelee re, d. h. e Fukoal y * * y,y für alle y B. Das bedeue, dass für alle x X ud u U de Uglechug

43 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 4 * y,fx x,u * * x F x,u * + (3.49) erfüll s. Sez a dese Bezehug u = u* e, da erhäl a * y,fx x,u * * x (3.5) * * für alle x X ud da F ( x,u ) y =. Eseze vo x = (3.49), lefer de Uglechug x * * y,f x,u = y,f x,u (3.5) * * * * * für alle u U. We erse Fall sd daher auch ez λ =... = λ = ud gesucher Lagragescher Mulplkaore. * y e Syse Ncheareer Fall: Deser Fall s charakerser durch L A. se * * f x,u = für,..., k Mege C der Eleee = ud µ µ * * k+,..., k, y Y folgeder Egeschaf: Zu ede Elee deser Mege exsere x X ud u U = Y ud B. O. B. d. f x,u < für = k +,...,. Ma berache de + = µ F x,u x F x,u F x,u y x * * * * * f x,u ; x + f x,u f x,u <, =,..., k. * * * * * (3.52) Zu Bewes des Sazes rech es aus, zu zege, dass das Iere der kovexe Hülle der Mege C s ch leer s ud dass cov C. We dese bede Bezehuge gele, λ,..., λ, y Y + da exser älch e chrvales Fukoal, das de kovexe Hülle vo C ud de Nullvekor voeader re, d. h. dass k * k * k * λµ + y,y (3.53) = für alle µ,..., µ, y C gl. De leze Uglechug bedeue, dass für alle x X ud k u U de Bezehug k = λ ( f ( x,u ;x) + f ( x,u) f ( x,u )) * * * * * * + y,f x,u x+ F x,u F x,u x * * * * * (3.54)

44 KONTROLLTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 4 gl oder, we a λ =... = λ = sez, dass de Uglechug k+ L * ( λ λ ) x,u,,...,, y, x x * * * * ( x *,u, λ,..., λ, y ) L ( x *,u*, λ,..., λ, y ) + L (3.55) gl. Sez a dese Uglechug acheader u = u* ud x = e, so ko a weder zu de erse bede Bezehuge (3.45). De dre Bezehug, de kopleeäre Schlupfbedguge, s ebefalls erfüll, da {,..., }. Es bleb also och zu zege, dass vorausgesez wrd, s offeschlch auch π ( B) λ = für f x,u < * * cov C ud cov C. Da B, wobe π :Y Y L de kaosche Abbldug s. Wel der Rau Y L edlchdesoal s, exsere edlch vele Puke z,..., z π ( B) z... z, dere leare Hülle Y L überes ud für de + + = s. Nach Defo vo ( B) ( F( x,u )) π * =. Für dese u z U gl daher π gb es Eleee u U, =,...,, π F( x *,u ) =. (3.56) = Es werde u folgede Bezechuge egeführ: = { < } U, x X x ; c = ax f ( x,u ) + sup f (( x,u );x) ; * * * x = k U = u U α,, α = : = (3.57) F x,u F x,u, f x,u f x,u, k ; ( * ) α ( * ) ( * ) α ( * ) = = = B = F x,u U, + F x,u. x * * *