Der Suchalgorithmus von Grover

Transkript

1 Der Suchalgorhmus vo Grover Semar: Quaerecher Dozee: Prof. Johaes Köbler ud Olaf Beyersdorff Refere: Gregor Pcker

2 Das Problem...3 Der Algorhmus als Quaeschalkres...4 Verwedee Operaore...4 De Walsh-Hadamard-Trasformao...5 Darsellug vo Fukoe (U f )...6 Der Operaor V f...6 Iverso am Durchsch D...8 Grovers Idee...9 Der Algorhmus... Laufzeaalyse... Komplexäsabschäzug:...4 Weere Problemselluge...4 Mmum fde...4 Zähle der Lösuge...4 Das Kollsosproblem...4 Leraur...5

3 Das Problem Wll ma z.b. eem Telefobuch m.. Eräge ee besmme Telefoummer fde, muss ma so lage ee Erag ach dem adere durchsehe, bs ma de Rchge fde. Im Mel brauch ma, um ee besmme Erag eer usorere -lage Lse zu fde, Versuche, bem Telefobuch z.b wurde vo Bee, Berse, Brassard ud Vazra Ω( ) bewese, dass jedes Verfahre Schre beög, um e Eleme aus eem usrukurere Raum der Größe zu fde. Lov Grover, e Forscher der Bell Labs, ha auf der Tagug der Assocao for Compug Machery s 996 see eue Algorhmus für de Suche Daebake vorgesell. M der verbessere Abfrage wrd es möglch, de Suche eer Daebak m eer Mllo Eräge vo bsher 5. Schre auf weger als. Schre zu reduzere. M seem Quaealgorhmus beög ma m Sch ur Ο( ) Schre. Des s möglch, dem durch de sog. "Grover-Ierao" m Quaeregser de Wahrschelchke für das rchge Ergebs erhöh wrd, de für de falsche aber verrger. Ma ka sch aürlch a deser Selle kee Gedake über de Implemeao eer solche Daebak mache, de ee Quaeafrage m Superposoe beawore köe, soder solle das Problem absraker, dafür aber formal beschrebe. Gegebe se ee Fuko f : {,} {,}. Zu besmme s e Eleme xє{,} m f(x) =. De Fuko f sell also e Prädka über dem Suchraum {,}, der = Elemee umfass, dar. Für usere Berachuge bezeche wr ferer de Azahl der Lösuge, also derjege x, für de f(x) = gl, m. Dam s = {x Є {,} f(x) = }. M eem deermssche Asaz müsse m wors case - mal agefrag werde, um de Wer für a zu erhale. M probablssche Mel leg de erwaree Azahl vo Tess geau der Me, also be. De Behaupug s u, dass deses Problem m eem Quaeschalkres m der Komplexä O gelös werde ka, d.h. ee Verbesserug durch de Halberug des Expoee errech wrd. Für de Lösug des Problems seh des keerle weere Iformao zur Verfügug, ma müsse f also gewssermaße als Blackbox berache. 3

4 Der Algorhmus als Quaeschalkres Zur Lösug des Problems de u folgeder Quaeschalkres: Abbldug : Der Quaeschalkres Verwedee Operaore owedge Voraussezug sd: Zusäde ees Quaesysems köe durch Vekore der Läge eem uäre Raum beschrebe werde. De mahemasche Beschrebug ees Sysem aus zwe Telsyseme s das Tesorproduk ( )der Telvekore E Qub wrd durch ee ormere Vekor des Raums C beschrebe = ud = blde de Sadarbass α + β = Wr erpreere ee belebge Zusadα + β, m wege der ormerug, als Superposo der klasssche Zusäde ud ud ee α bzw. β jewels de Amplude deser Zusäde Wr bezeche de Mege der Lösuge (ud auch de Mege der Lösugsbassvekore ) L xf( x) L = xf( x) = =, L m = { = } ud de der chlösuge m { } { } 4

5 De Walsh-Hadamard-Trasformao Der Operaor wrd durch de Marx H = beschrebe. Durch Ausreche bekomm ma folgede Egeschafe deser Operao: H = ( + ) H = ( ), sowe H H = I, also H = H Dam lasse sch also aus de Sadardzusäde (Bass) glech wahrschelche Superposoe ud umgekehr herselle. Wede ma dese Trasformao auf jedes Qub ees Regsers der Bree a, so erhäl ma ee Trasformao, de wr m Folgede m H bezeche. Es gl da für Awedug auf ee Bassvekor x x H x = ( ), = wobe x = xjjmod das ere Produk für Bärdarselluge x x - x vo x ud j = vo darsell. Isbesodere s =, H = Der Hadamard Operaor erzeug aus Bass-Zusäde dere Superposoe. Des esprch z.b. be Phooe eer Drehug der Polarsao um 45 Grad 5

6 Darsellug vo Fukoe (U f ) Ererug: Ee m eem Quaeschalkres berechebare Fuko s mmer bjekv also reversbel. Zu eer Fuko f : {,} {,} m ka ma mmer ee zugehörge umkehrbare Fuko F : {,} +m {,} +m we folg agebe: F (x,y) = (x,y f(x)) Dese s offeschlch reversbel ( se das bwese exklusve Oder) ud lefer für y = der zwee Kompoee geau das gewüsche Resula f(x). Wr bezeche m U f de uäre Trasformao, de dese Abbldug F realser: U xy f x, y f (x) Der Operaor V f Da wr am Ede eer Quaerechug ur ee Messug zur Verfügug habe, müsse wr de Amplude für de gue Bassvekore erhalb der Superposo vergrößer. Dazu beöge wr ee Mechasmus, der auf e -Qub-Regser agewede, ee Uerschedug zwsche de Amplude für x m f(x) = ud f(x) = herbeführ. Wr defere für ee Fuko f : {,} {,} ee uäre Abbldug V f für e esprechedes - Qub-Regser we folg: V f x x, f(x) = = x, f(x) = Dese Abbldug verscheb also de Phase der Kompoee x, de Lösug der Suchaufgabe sd, währed de Amplude der ch erfüllede Aele uveräder blebe. Für ee Superposo ergb Awede deses Operaors: f ( ) () V α = α f = = 6

7 Abbldug : De Wrkug des Operaors V f Dese Operao ka efach uer Zuhlfeahme des vorher defere U f realser werde, x se wederum e belebger Bassvekor: U f x, ( ) = x, ( ) f(x) () f(x) = x, - ( ) f(x) = () - x, ( ) = Vf x, ( ) Wr beuze also de Schalkres vo U f, wobe wr a de zwee Kompoee de Superposo ( ) = H alege. Es wrd ur e zusäzlches Qub beög. Ierhalb des Algorhmus wrd des de ezge Verwedug der gegebee Fuko f se. 7

8 Iverso am Durchsch D Für ee belebge Zusad φ= α = ees -Qub-Regsers als Superposo aus de = Basszusäde lege wr de Wer der Durchschsamplude avg ( φ) efach als fes. avg ( φ) = = α. Dam s ee Operao D, gea Iverso am Durchsch, folgedermaße defeer: Der Absad eer Amplude α zum Durchsch ergb sch als α avg ( φ) = = ( ( ) ( ( ))) D = avg φ α avg φ ( avg ( ) ) = φ α Abbldug 3: De Wrkug des Operaors D Abbldug 4: De Awedug auf ee Superposo Für de Verwedug m Rahme ees Algorhmus bleb allerdgs zu zege, dass dese Operao durch Quaeschalkrese realser werde ka. Dazu muss D aürlch uär se. 8

9 De -e Spale s also e Vekor d, der aus lauer Eräge vo beseh, außer a der -e Poso, dor seh Grovers Idee Zel des Quaealgorhmus muss se, e -Qub-Regser so zu präparere, dass de Wahrschelchkesamplude eer Lösugskompoee hreched groß s. Adererses muss der Algorhmus für jede Fuko f fukoere, das heß, jeder Bassvekor köe ee Lösug beschrebe. z Bege wr also dam, e Regser, beschrebe durch, ee Superposo aus alle Möglchkee zu seze. Des läss sch ach de Berachuge des voragehede Abschs lech durch Awede eer Hadamard-Trasformao erreche: z ( ) = H H = Es ergb sch e Zusad, dem jede Basskompoee m der Amplude egeh. Wede wr herauf de beres bekae Operaor V f a, der geau de Amplude der Lösugskompoee eger ud der de Fuko f asächlch ur als Blackbox verwede, erhale wr folgedes Ampludespekrum. Alle - chlösugskompoee habe uveräder Amplude, währed sch de Lösugskompoee durch auszeche. Formal s deser Schr z = V f z m dem Ergebs z = L L 9

10 uze ma jez aus, dass für de Azahl der Lösuge << gl, so folg für de m voragegagee Absch defere Durchschsamplude Zusad z :avg( z ).Som veräder de Operao Iverso am Durchsch de Amplude der chlösuge sehr weg, währed de Lösugskompoee versärk werde. Awede deser Operao auf z führ dam zu ud ergb eem Zusad ewa z z = D z 3 L L Abbldug 5: Ampludeversärkug durch de Groveroperaor Durch de Operaoe der f-korollere Phaseumkehr V f ud der Iverso am Durchsch D köe also de Amplude der Lösugsvekore aus eer glechmäßge Superposo versärk werde. De Verküpfug beder Trasformaoe G f = D V f wrd auch als Grover-Operaor bezeche ud sell das Herzsück des Suchalgorhmus dar. Dor wrd dese Operao solage erer, bs de Lösugsvekore ee hreched große Wahrschelchkes-amplude habe, also bs das Regser eem Zusad s, desse Messug zu eer Lösug führ.

11 Der Algorhmus : Erzeuge glechmäßge Superposo: ( ) z H : Wede 4arcs -mal G f = D V f a. 3: Führe Messug des Regsers durch ud erhale x 4: Prüfe f(x)?= ja: Ausgabe x, Ede e: Gehe zu. π Laufzeaalyse Wr berache de Ieraoe gemäß Schr m Algorhmus. Se jewels l de Amplude eer Lösugskompoee ach der -e Grover-Ierao ud k dejege ees ch lösede Bassvekors. Für de Ausgagszusad vor der erse Rude gl demach lo = k = () ach Awede vo V f der -e Rude ergb sch ach Defo des Operaors als Zwscheresula k = k - l = l - Auf dese Zusad wrd da de Iverso am Durchsch agewede, dabe ergb sch für de l + ( ) k Durchschsamplude avg = ud m der Defo vo D k = avg -k l = avg -l Eseze ud Ausreche führ schleßlch zum verschräke rekursve Glechugssysem k = k l () l = k + l (3)

12 Wr seze ferer de Wkel gl: θ=arcs. Für weere Berachuge hale wr fes, dass som s θ = s θ = cosθ = cos θ = M deser Wahl vo θ sd k = cos( ( + ) θ) ud (4) l s = + θ (( ) ) Bewes Lösuge des Glechugssysems () ud (3) m Sarwer () (5) k l o - = cos( θ) = = = s( θ) = = ud Wr zege de Erfüllug der rekursve Bezehuge () ud (3) per Iduko. See de Glechuge also für (-) korrek. l = l + k = l + k = l + k

13 l ( θ) s ( θ) l s ( θ) cos ( θ) k = cos + ach de Fukoe für de doppele Wkel gl: s α= s αcosα ud cos α= cos α s α, daraus folg: l = cos( θ ) l + s ( θ ) k = l cos( θ ) + k s ( θ ) = s (( ) θ) cos( θ) + cos ( ) θ s θ ( ) ( ) wege l- = s ((( - ) + ) θ) ud k- = cos( (( ) + ) θ) - gele ach Voraussezug gl da l s θ = (( + ) ) wege Addosheorem ( ) s α +β = s αcosβ+ cosαsβ also geau de Behaupug (3). De Korrekhe der esprechede Glechug für k ka aaloger Wese erfolge. De Gülgke vo (4) ud (5) für alle folg da per Idukosschluss. Dam geh ach der -e Ierao jede der Lösugskompoee m Superpososspekrum m eer Amplude vo l = s (( + ) θ) e. De Wahrschelchke, ee deser Lösuge zu messe, beräg demach l (ach Quaeposula). Ee belebge der lösede Kompoee mss ma also m Wahrschelchke l. Wr würde m Scherhe, das heß m Wahrschelchke, ee Lösug erhale, wel =, s + θ = ( ) ( ) also we ( ) Dazu muss ( ) θ π π + = se, was geau für = passer. 4θ π π Deswege wrd m Algorhmus der Grover-Operaor = 4θ mal agewede. Durch 4arcs de owedge Eschräkug auf gaze Zahle ergb sch e gerger Fehler. 3

14 Komplexäsabschäzug: s θ = θ für θ kle π π π = = O 4 4arcs 4 ( ) Weere Problemselluge Mmum fde Häufg gb es zu eem Suchproblem ke Prädka, welches für jedes Eleme Aufschluss über de Erfüllug der Suche gb, soder es wrd ach eem Eleme gefrag, welches sch durch ee Relao zu de reslche auszeche. Für de Suche ach dem Mmum läss sch e Quaealgorhmus agebe, desse Ker ee Grover-Ierao s. Deser fde das Mmum m Wahrschelchke O ( ) Schre. Zähle der Lösuge E Weg, m eem Quae-Verfahre de Azahl vo Lösuge ees Suchproblems zu fde, komber grudlegede Idee vo sowohl Grovers Suche als auch Shors Fakorserugsalgorhmus. Dabe wrd ausgeuz, dass sch de Amplude der Lösugskompoee eerses, sowe der chlösugsaele adererses uer Awedug des Grover-Operaors perodsch veräder. De Größe deser Perode ka m der Quae-Fourer-Trasformao aäherd besmm werde ud erlaub dam de gewüsche Rückschluss auf de Azahl der Lösuge. Das Kollsosproblem Zu eer Fuko f(x) werde xo xm f(x) = f(x) gesuch. Deses Problem spel der Krypologe ud -aalyse ee Rolle. 4

15 Leraur Veles für das Thema Grover-Suche vo Lov Grover selbs fde sch m lal e-pr Archv hp://xxx.lal.gov Grovers Suchalgorhmus vo Adreas Berger ThIS/Semare/ss/QC/berger.pdf Quaecompuer vo Jacobo Torá hp://heore.formak.u-ulm.de/persoe/j.hml 5