Inhalt: Modellbildung technischer Systeme Zustandsraum

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1 Modellbldug echcher Syeme Zuadraum Ihal:. Löug der Zuadglechug m Zeberech, Fudamealmarx. Egechafe der Fudamealmarx 3. Gewchmarx 4. Löug der Zuadglechuge m Frequezberech 5. Grudlage der Marzeheore Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole:

2 Modellbldug echcher Syeme, Zuadraum Leraur. Böger, Regelugechk, R. Oldebourg Verlag, Müche We, 3. uflage 998. H. Ubehaue, Regelugechk I, Sudum Techk Veweg Verlag, Webade, 3. uflage 5 H. Ubehaue, Regelugechk II, Sudum Techk Veweg Verlag, Webade, 8. uflage J. Luze, Regelugechk, Sprger-Verlag Hedelberg, 5. uflage, 6 J. Luze, Regelugechk, Sprger-Verlag Hedelberg, 4. uflage, 6 O. Föllger, D. Frake, Eführug de Zuadbechrebug dyamcher Syeme Regelugechk, Eführug hre Mehode ud hre weduge, Oldebourg Verlag, Müche We, 98 K. Ogaa, Moder Corol Egeerg, Prece Hall, Fourh Edo, Upper Saddle Rver,... Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole:

3 . Löug der Zuadglechug m Zeberech, Fudamealmarx Berachug ee Syem erer Ordug: x& a x b u fagbedgug m Zepuk : x x Durch wedug der Laplace-Traformao: X x a X b U X x b U a a Rückraformao der Ze x e a x e a τ b u τ dτ Für de vekorelle Fall gl da: x e x e τ B u τ dτ I I Gl ur we auch: d e d m: e I e k k k k!! x & e x e x B u llgeme gl de Form: x 3 3 3! τ 4 4 K 4! Φ x Φ τ B u τ dτ B u τ dτ B u II Fudamealmarx- oder Übergagmarx Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 3

4 . Egechafe der Fudamealmarx merkug: I der fagwer, o äder ch II dadurch, da durch - erez wrd. x Φ x Φ B u τ dτ Egechafe der Fudamealmarx: a Φ e I b Φ e e Φ Ivererbarke c k k Φ e Φ k d Φ Φ Φ Φ e Φ ud au Φ Φ Φ Φ Φ j j j e Φ Φ Φ Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 4

5 . Egechafe der Fudamealmarx merkug: Für zevarae Syeme lä ch aürlch auch ee Fudamealmarx agebe, de vom fagwer abhägg. llerdg lä ch dee Fudamealmarx allgeme ch al Expoealfuko darelle. Egechafe der zevarae Fudamealmarx: a Φ, I b Φ, Φ, Ivererbarke c Φ, Φ, Φ, ußerdem x Φ auf zevarae überragbar: x Φ, x x Φ, τ B u τ dτ mee ur umerch löbar. Φ B u τ dτ Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 5

6 3. Gewchmarx Zur alye de Zuammehag zwche Egag- ud ugagvekor de Gewchfuko ehr üzlch. Se e zevarae Syem gegebe: y C x D u m I x e x e τ y Ce x Ce B u τ dτ τ B u τ dτ D u III E wrd folgede xr-marx III egeführ: τ G Ce B D δ bzw. G τ Ce B D δ τ Zuäzlch beache ma de Egechaf der δ-fuko: Du τ δ τ dτ D u Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 6

7 3. Gewchmarx y Ce x G τ u τ dτ Spezell für x Verallgemeerug de Duhamelche Falugegral G Ce B D δ Dehalb ka de Marx G al Verallgemeerug der Gewchfuko g dageell werde. G CΦ B D δ Gewchmarx zw. de r Egag- u. m ugaggröße Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 7

8 3. Gewchmarx Bepel: 6 x & x u; 5 y [ ] x ud x m der Fudamealmarx: 3 3 3e e 6e 6e Φ e ud d 3 3 e e e 3e folg für de Gewchmarx: G 3e e 3 [ ] 6e 6e e e 3 3 6e e 6e 3e 3 3 Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 8

9 4. Löug der Zuadglechuge m Frequezberech Für de Umwadlug der Zuadglechuge m Frequezberech Wrd de Laplace-Traformere gebrauch. L{u}U ud L{G}G Zur Bemmug der Übergagmarx Φ der Zuaddarellug, bedarf e eer Laplace-Traformao: x& y x Bu Cx D u Zuadglechug ugagglechug X x X BU Y CX DU Laplace-Traformao Durch Umformug: I X I x B U x I oder B U Löug der Zuadglechuge m Bld- oder Frequezberech Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 9

10 4. Löug der Zuadglechuge m Frequezberech Löug der Zuadglechuge m Bld- oder Frequezberech X I x I B U Egeverhale de Syem Erzwugee Reako de Syem - Φ L { I } oder L{ Φ } Φ I De Berechug der Marx Φ ergb ch durch de Bemmug der Ivere vo I-: Φ adj I I T Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole:

11 4. Löug der Zuadglechuge m Frequezberech De Berechug der Marx Φ ergb ch durch de Bemmug der Ivere vo I-: Φ adj I I T Bepel: ; I ; adj I 5 ; I 3 Φ I Φ I 3e e e e 3 3 6e e 6e 3e 3 3 Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole:

12 4. Löug der Zuadglechuge m Frequezberech Überragugfuko ee Syem au der gegebee Zuaddarellug Für e Mehrgrößeyem gl m x : Y C I BU DU oder Y C I B D U Für de Gewchmarx oder Überragugmarx m G CΦ B D δ G C I B D m Φ I G CΦ B D Für Egrößeyeme gl epreched: G c T I b d m Φ I T G c Φ b d wobe d ee kalare Größe. Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole:

13 4. Löug der Zuadglechuge m Frequezberech Mehode zur Ermlug der Überragugfuko, ach Roebrock: Für x : au X x X BU ud Y CX DU I X BU ud CX DU Y Dee Glechuge lae ch folgedermaße darelle: I C B X D U Y I P C B D Syemmarx oder Roebrock-Marx Für e Egrößeyem gl epreched m r P I c T b d wobe d e Skalar. Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 3

14 4. Löug der Zuadglechuge m Frequezberech Mehode zur Ermlug der Überragugfuko, ach Roebrock: Für de Deermae der xmxr-blockmarx de Mehrgrößeyem gl: P I C B D I D C I B Für Egrößeyeme gl epreched: P T I d c I b P I d c adj I b T m G c T I b d G c T adj I b d I I Da erhäl ma für de Überragugfuko: P G I Z N Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 4

15 4. Löug der Zuadglechuge m Frequezberech Bepel: 7 ; b ; c T [ 4] ; d I m der Deermae: I 7 7 P 7 Z P 3 4 Ud dam für de Überragugfuko: G 3 4 Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 5

16 5. Grudlage der Marzeheore, Saz vo Cayley-Hamlo De Syemmarx ee x-marx ud ehäl de vollädge Iformao de Egeverhale de Syem. I der Überragugmarx G Φ al ezger Term abhägg vo. De Glechug ehäl m Neer de Elemee der Deermae I-, welche e Polyom -er Ordug e mu. De Wurzel d de Pole de Syem. D.h., der Syemmarx al x-marx köe Pole zugeorde werde. Dee köe reel oder auch magär e. P * de I * Charakerche Glechug P a a a K a m a Φ adj I I G CΦ B D T M dem Polyom -er Ordug, lae ch de Egewere ermel. Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 6

17 5. Grudlage der Marzeheore, Saz vo Cayley-Hamlo merkug: Jeder Pol vo G zwar e Egewer vo, aber jeder Egewer vo ch mmer zwagläufg e Pol vo G! E Pol ka machmal durch ee Nullelle gekürz werde! We alle Egewere auch Pole d, da ha der Neergrad vo G de zahl der Zuadgröße. u de Pole der Überragugfuko G ka de Sablä de Syem bemm werde Hurwz, Rouh, ec.. Im Fall Mehrgrößeyeme de Sablä gewährlee, we de Pole der lke Halbebee lege. Be eer Dagoalmarx we be der Dreeckmarx lege de Egewere der Dagoalebee. Saz vo Cayley-Hamlo: Jede quadrache Marx geüg hrer charakerche Glechug. Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 7

18 5. Grudlage der Marzeheore, Saz vo Cayley-Hamlo Saz vo Cayley-Hamlo: Jede quadrache Marx geüg hrer charakerche Glechug. E gl m P * : * P a I a a K P * ee Marx ke Polyom we P! Bewe: adj I I adj I * I P Für de x Polyommarx gl: m P * I vo lk folg: P * I I adj I * ud durch Eeze vo P a a I I adj I Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 8

19 Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 9 I I a Durch Koeffzeeverglech glecher Poeze vo : I a I a I a I a M I Durch Mulplkao vo lk m I ud Mulplkao der zwee Glechug m uw, ud de leze m folg da durch ddo: a a I a K qed. 5. Grudlage der Marzeheore, Saz vo Cayley-Hamlo

20 Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: Bepel: I P * Ereze durch I P * 4 P * 5. Grudlage der Marzeheore, Saz vo Cayley-Hamlo

21 5. Grudlage der Marzeheore, Saz vo Cayley-Hamlo Bepel: Berechug vo Poeze vo mel Cayley-Hamlo. M * P I ud durch Mulplkao m - folg.. u I I.5.5. Bepel: Berechug der Summe: 3 u * P I I Für 3 I 3 ergb ch da durch Mulplkao m ud Eeze vo : 3 3 I 3 Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole:

22 5. Grudlage der Marzeheore, Saz vo Cayley-Hamlo, wedug auf Marzefukoe Polyom der Ordug p: F f p f K f p Weerh e P* e Polyom der Ordug < p: * P a a K a Da ka durch F durch P* dvder werde F Q P * R Q da Ergeb der Dvo ud R e Repolyom vom Grad höche -. Nach Bldug der Marzefuko ergb ch: F f p I f K f p wobe de Syemmarx x ud P* hr charakerche Polyom. alog gl: F Q P * R Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole:

23 5. Grudlage der Marzeheore, Saz vo Cayley-Hamlo, wedug auf Marzefukoe alog gl: F Q P * R Da ach Cayley-Hamlo P* folg: F I α K R α α l Koequez ach Cayley-Hamlo: Jede x -Marxfuko F der Ordug p durch ee Fuko vo höche --er Ordug darellbar. De Fudamealmarx ka da m F Φ e we folg dargeell werde: Φ R e α I α Kα Zur Bemmug der Koeffzee brauch ma: F Q P * R Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 3

24 5. Grudlage der Marzeheore, Saz vo Cayley-Hamlo, wedug auf Marzefukoe Zur Bemmug der Koeffzee brauch ma: F Q P * Da P* folg: F R R Ud ez für de Egewere e: F R ud e α α Kα Dam ergebe ch de Egewere, alo Glechuge zur Bemmug der Koeffzee α j. merkug: Her wrd voraugeez, da de Egewere verchede d! Sd de Egewere mehrfach, da gl: d d µ µ e µ d [ α µ α K α d k k ] für µ,,...m k - Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 4

25 Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 5 R F R F j j j j F R j j j j I F R ufgrud vo ud m al Egewere der Marx Für de Ierpolaoformel vo Lagrage gl: Erez ma durch ud m Zähler durch I, o erhäl ma de Ewcklugaz vo Sylverer. R e Polyom --er Ordug 5. Grudlage der Marzeheore, Ewcklugaz vo Sylveer

26 5. Grudlage der Marzeheore, Ewcklugaz vo Sylveer Spezell gl agewad auf F e Φ m F j e j j Φ e j j I j M al Egewere vo. merkug: De Egewere müe alle verchede e! De wedug wrd dre Schre augeführ:. Berechug der Egewere vo. Berechug der Klammer 3. Berechug der Fudamealmarx Φ durch ddere der Produke. Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 6

27 Mecharoche Syeme, Zuadraum, Fole: 7 Bepel: I Egewere: 3 ; I I Ud dam de Fudamealmarx: 3e e e e 6 e 6 e e 3e 3 6 e 6 3 e Φ 5. Grudlage der Marzeheore, Ewcklugaz vo Sylveer