12. Klasse TOP 10 Mathematik 12 Gesamtes Grundwissen mit Übungen G

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1 Klasse TOP Mathematik Gesamtes Grundwissen mit Übungen G Grundwissen Mathematik. Klasse: Die wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite! Zum Wiederholen kann man die Übungen des Kompakt-Überblicks verwenden. / Integration G Ü L / Wendepunkte, Integralfunktionen G Ü L / Erwartungswert, Binomialverteilung G Ü L / Testen von Hypothesen G Ü L /5 Geradengleichungen G Ü L / Ebenengleichungen G Ü L /7 Normalenform und HNF von Ebenen G Ü L /8 Lagebeziehung Gerade Gerade G Ü L /9 Lagebeziehung Gerade Ebene G Ü L / Lagebeziehung Ebene Ebene G Ü L /K Kompakt-Überblick zum Grundwissen G Ü L G=Grundwissen, Ü=Übungen, L=Lösungen

2 . Klasse TOP Grundwissen Integration y a A b f x A = b Flächen zwischen zwei Kurven: b Oberkurve minus Unterkurve : A = a y f(x)dx kann veranschaulicht werden als Fläche unter dem Graphen von f zwischen x = a und x = b, genauer: x als Flächenbilanz, wobei Flächen oberhalb der x-achse positiv zählen, unterhalb der x-achse negativ. y Oberkurve f A g (f(x) g(x))dx a Unterkurve a b x Näherungsweise können Flächen auch durch Zerlegung in Streifen und die entsprechende Summe der Streifenflächen berechnet werden ( ueb.pdf, Aufgabe ). + Zur Berechnung von A = b a f(x) dx: Zuerst besorgt man sich eine Stammfunktion F, d. h. eine Funktion, deren Ableitung F (x) den Integranden f ergibt (weitere Hinweise grund.pdf, grund.pdf, grund7.pdf und siehe unten; Hauptsatz und Begriff Integralfunktion grund.pdf). Beispiel: f(x) = x ; dann ist F (x) = x x (Kontrolle durch Differenzieren!) Nun wertet man die Stammfunktion aus durch Einsetzen Obergrenze minus Untergrenze : b f(x) dx = [F (x)] b a = F (b) F (a). a Beispiel (Klammern setzen, Vorzeichen beachten!): (x )dx = [ x x] = [ ( ) ( ) ] = 9 + = 9 Merke Stammfunktionen: f(x) x x x n für n F (x) x x x x n+ n + x = x N (x) N(x) v (x)e v(x) sin x ln x ln N(x) e v(x) cos x Tricks: Ausdrücke von der Sorte oder x kann man als x bzw. x x schreiben und mit der x n -Formel die Stammfunktion x = bzw. x x finden. Bei Brüchen mit einfachem Nenner ist es manchmal günstig, sie auseinanderzuzie- hen, z. B. bei f(x) = x +x +x x = x x + x x + x x = x + + x. Also Stammfunktion: F (x) = x + x + ln x. In Prüfungsaufgaben steht die Stammfunktion manchmal schon da und man muss durch Differenzieren ( grund5.pdf) lediglich nachweisen, dass es tatsächlich eine Stammfunktion ist. Manchmal hat man in vorhergehenden Aufgaben Umformungen gemacht, die das Integrieren wesentlich erleichtern. Beispiel: f(x) = x x+ = (x ) : (x + ) = x x+ (Polynomdivision!) Also Stammfunktion: F (x) = x x ln x +.

3 . Klasse TOP Grundwissen Wendepunkte, Integralfunktionen Krümmung und Wendepunkte f (x) bilden, f (x) =. Vorzeichenbereiche von f ermitteln ( grund7.pdf, dabei ggf. auch Definitionslücken markieren) Krümmung: f > : Graph ist in diesem Bereich linksgekrümmt; f < : rechtsgekrümmt. Dazwischen bei f (x) = : Flachpunkt; bei Vorzeichenwechsel von f sogar Wendepunkt; wenn zusätzlich zum Vorzeichenwechsel dort f (x) = : Terrassenpunkt. Die y-koordinate dieser Punkte ermittelt man durch Einsetzen in f(x). Beispiel: f(x) = (x + )(x 9)(x + 9) = (x5 + x 8x ) f (x) = (5x + x 8) y f (x) = (x + x ) f Max f (x) = : x (x + ) = ; x / = ; x =,8. x f < f > f > WP rechts-,8 links- links- gekrümmt FLAP WP(,8 y) FLAP( ) mit y = f(, 8),85 Unter einer Wendetangente versteht man die Tangente im Wendepunkt. Kriterium für Extrema ( grund.pdf) mit Hilfe der zweiten Ableitung f : Bekanntlich genügt f (x) = noch nicht für das Vorliegen eines Extremums, sondern es muss noch ein Vorzeichenwechsel (VZW) von f vorliegen. Alternativ zur Vorzeichenbetrachtung kann man die in Frage kommenden x-werte in f (x) einsetzen. Ist dann an einer solchen Stelle f (x) >, so ist dort der Graph linksgekrümmt, d. h. es handelt sich um ein Minimum, bei f (x) < entsprechend um ein Maximum. Ist an einer solchen Stelle f (x) =, so muss man doch die Vorzeichenbereiche untersuchen. In obigem Beispiel f(x) = (x + )(x 9)(x + 9) ist f ( ) = (5 ( ) + ( ) 8) = und f ( ) = ( ( ) + ( ) ) =, < und daher x = eine Maximalstelle. Integralfunktion Bei fester unterer Grenze a und variabler oberer Grenze x erhält man durch I(x) = x a f(t)dt eine Integralfunktion. Beispiel: Eine Integralfunktion zu f(t) = t + ist z. B. (bei a = ) gegeben durch I(x) = x ( t + )dt = [ 8 t + t ] x = 8 x + x ( 8 ( ) + ( )) = 8 x + x +. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion der Integrandenfunktion, d. h. I (x) = f(x). In obigem Beispiel mit I(x) = 8 x + x + ist I (x) = x + = f(x). Die Begriffe Integralfunktion und Stammfunktion sind jedoch verschieden: Eine Integralfunktion hat stets mindestens eine Nullstelle (nämlich untere Grenze x = a), eine Stammfunktion muss jedoch diese Eigenschaft nicht haben. Zusammenhänge zwischen Eigenschaften einer Stammfunktion F und f = F Eig. der Stammfkt. F Formaler Zusammenhang Eig. von f an einer Stelle x F hat Extremum F (x) = f(x) = mit VZW f hat Nullstelle mit VZW F hat Wendepunkt F (x) = f (x) = mit VZW f hat Extremum

4 . Klasse TOP Grundwissen Erwartungswert, Binomialverteilung Zufallsvariablen ordnen jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu. Zum Beispiel beim zweimaligen Würfeln dem Ergebnis (; ) die Anzahl der er, hier X((; )) =. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit P (X = a) die jeweiligen Werte a auftreten. Zum Beispiel beim zweimaligen Würfeln für die Anzahl X der er: a 5 P (X = a) Der Erwartungswert µ = E(X) gibt einen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten gewichteten Mittelwert an: µ = E(X) = a P (X = a). a Die Varianz σ = V (X) und die Streuung (Standardabweichung) σ = V (x) sind Maße für die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert: σ =V (X)= (a a µ) P (X =a). In obigem Beispiel: µ = E(X) = P (X = ) + P (X = ) + P (X = ) =, σ = V (X) = ( ) 5 + ( ) + ( ) = 5 8. Wichtig zum Verständnis der Formeln für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten ist der Binomialkoeffizient, der angibt, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus n Objekten eine Teilmenge von k Stück (ohne Berücksichtigung der Reihenfolge) auszuwählen: ( n k ) = n! k!(n k)! Taschenrechner: ncr-taste. Zum ( Beispiel Lotto aus 9: 9 ) = 9!!! = 98 8 Hypergeometrische Verteilung: Urnenexperiment Ziehen ohne Zurücklegen ( )( ) S N S n-mal ohne Zurücklegen s n s P (A) = ( ) N Kugeln, davon Ereignis A: N S schwarze ( Treffer ) n N S weiße s schwarze ( Niete ) n s weiße Binomialverteilung: Urnenexperiment Ziehen mit Zurücklegen Ein Bernoulli-Experiment (zwei Versuchsausgänge: Treffer und Niete, Trefferwahrscheinlichkeit p) wird n-mal unabhängig durchgeführt (Bernoulli-Kette der Länge n zum Parameter p). Die Wahrscheinlichkeit, genau k Treffer zu erhalten, ist dann ( ) n n-mal mit Zurücklegen B(n; p; k) = p k ( p) n k k Treffer mit W. p Ereignis A: (Binomialverteilung Stochastik-Tafel). Niete mit W. q = p Genau k Treffer Die Wahrscheinlichkeit, höchstens k Treffer zu erhalten, ist k B(n; p; ) + B(n; p; ) B(n; p; k) = B(n; p; i) (Verteilungsfunktion Stochastik-Tafel) Beispiel : Bei einer bestimmten Telefon-Gesellschaft kommen 9 % aller Telefongespräche beim ersten Wählen zustande. Jemand muss Gespräche erledigen. Treffer: kommt durch, p =,9, n =. Betrachte A: kommt genau einmal nicht durch, B: kommt mindestens achtmal durch. A: d. h. genau 9 Treffer: P (A) = B(;,9; 9) = ( ) 9,99, =,77 (oder Tafel). B: Komplement B: höchstens sieben Treffer. P (B) = P n=,p=,9 (k 8) = P n=,p=,9 (k 7) =, =,9979 (Tafel) Beispiel : Wie oft muss das Experiment durchgeführt werden, um mit mindestens 9 % Wahrscheinlichkeit mindestens einmal nicht durchzukommen, wenn die W. hierfür, beträgt? Hier notiert man einen Ansatz ( Soll gelten: P n=?,p=, (k ),9 ), geht zum Komplement über ( P n=?,p=, (k = ),9, d. h.,9 n, ) und löst die entstehende Exponentialgleichung durch beidseitiges Logarithmieren ( n ln,9 ln,, d. h. n 5,, also n 57 ). ln, ln,9 Für binomialverteilte Zufallsvariablen gilt µ = E(X) = np und σ = npq = np( p). i=

5 . Klasse TOP Grundwissen Testen von Hypothesen Beispiel: Eine Telefongesellschaft behauptet, in (mindestens) 97 % der Fälle eine freie Leitung bieten zu können. Es werden Testanrufe durchgeführt. Bei welchem Versuchsausgang kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit (Testniveau) von 5 % ( 95 % Sicherheit ) von einer unwahren Aussage sprechen? Einseitiger Test: Treffer: Freie Leitung. Trefferw. p unbekannt. Bernoullikette der Länge n =. Nullhypothese H : p,97 Alternative H : p <,97 ( Die Telefongesellschaft lügt ) Ein Test besteht in der Angabe einer Entscheidungsregel (ER). ER: H ablehnen, falls Trefferzahl k k. H ablehnen H H k k +,97 H nicht ablehnen Liegt das Versuchsergebnis im Ablehnungsbereich, so wird H verworfen ( signifikante Entscheidung für H ); andernfalls kann man H nicht verwerfen. Beim Entscheidungsverfahren können Fehler auftreten: Entscheidung H nicht abgelehnt H abgelehnt Realität H : p,97 Richtiges Urteil α-fehler (Fehler. Art) Schwerer Irrtum (Zu Unrecht Vorwurf der Lüge) H : p <,97 β-fehler (Fehler. Art) Richtiges Urteil Irrtum (zugunsten der Tel.ges.) Die ER wird so festgelegt, dass der α-fehler (H abgelehnt, obwohl wahr) kleiner als die vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit ist: P n=, p=,97 } {{ }... obwohl H wahr Mit dem Stochastik-Tafelwerk folgt k = 89. ( k k } {{ } H abgelehnt... Die ER lautet also: H ablehnen, falls Trefferzahl k 89 ),5 Der β-fehler hängt davon ab, welches p tatsächlich vorliegt. Ist z. B. p =,95, so ist der β-fehler (die Telefongesellschaft für gut zu halten, obwohl sie es nicht ist): P n=, p=,95 ( H nicht abgelehnt ) = P n=, p=,95 (k k + ) = = P n=, p=,95 (k 89) =,9,58 Die Wahl der Nullhypothese hängt von der Interessenlage ab, d. h. welchen Fehler man als α-fehler unter Kontrolle haben möchte. Im Zweifelsfall hat in Prüfungen der Angabentext Vorrang; sonst wählt man als H das, was man mit Sicherheit ablehnen möchte, und als Alternative H das, was man beweisen möchte.

6 . Klasse TOP Grundwissen Geradengleichungen 5 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor A) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: X = A + λ u, λ IR. (Interpretation: Die) Gerade besteht aus allen Punkten (x x x ), deren Ortsvektor X = ( x x x mit einer Zahl λ als A + λ u darstellbar ist) g A u A O Zwei-Punkte-Form Gerade durch die Punkte A und B: Dann kann man z. B. A als Aufpunkt und AB = B A als Richtungsvektor wählen: X = A + λ( B A), λ IR. Beispiel: Gerade g durch A( ) und B( ): g : X = + λ = + λ ( ) Als Richtungsvektor kann auch ein Vielfaches gewählt werden, also z. B.: g : X = + λ Als Aufpunkt kann jeder andere Punkt auf der Geraden gewählt werden. B A AB,, λ IR. λ IR. Lagebeziehung Punkt P Gerade g Ob P auf g liegt, wird durch Einsetzen des Punktes in die Geradengleichung entschieden. Beispiel: g : X = + λ, λ IR. P (5 ) liegt auf g, denn: 5 = Q( ) liegt nicht auf g (siehe ueb5.pdf, Aufgabe ) + λ λ = Probe: passt! Probe: passt! Lotfußpunkt F eines Punktes P auf eine Gerade g; Abstand Punkt P Gerade g F als allgemeinen Geradenpunkt aufstellen; P F u, wobei u der Richtungsvektor der Geraden ist. P g Der Abstand der Punktes P von der Geraden g ist dann F der Abstand von P und F. Beispiel: P ( ), g : X = 7 + λ 5. Ansatz: Allgemeiner Geradenpunkt F (7 + λ + λ 5λ). 7 + λ P F u: + λ ( ) =. ( + λ) + ( + λ) + ( 5λ) ( 5) =. 5λ λ =. λ =,5. Einsetzen in Ansatz für F liefert Lotfußpunkt F (,5 5,5). Abstand des Punktes P von der Geraden g: d(p, g) = P F =,5 = 9 +,5 +,5 =,5,7.,5

7 . Klasse TOP Grundwissen Ebenengleichungen Parameterform Ebenen sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor A) auf der Ebene und zwei Richtungsvektoren u und v: X = A + λ u + µ v, λ, µ IR; u und v müssen linear unabhängig sein (d. h. müssen in verschiedene Richtungen zeigen, dürfen nicht Vielfache voneinander sein). (Interpretation: Analog zu Geradengleichungen grund5.pdf) A v u a E Fälle, in denen die Ebene E durch andere Stücke gegeben ist, führt man (eventuell mittels einer Skizze) auf die obige Punkt-Richtungs-Form zurück: E durch Punkte A, B, C gegeben: Aufpunkt A, Richtungsvektoren AB = B A und AC = C A. E durch Gerade g : X = A + λ u und Punkt P / g gegeben: Aufpunkt A, Richtungsvektoren u und AP = P A. E durch sich schneidende Geraden g : X = A + λ u und h : X = B + µ v gegeben: Aufpunkt A, Richtungsvektoren u und v. E durch echt parallele Geraden g : X = A + λ u und h : X = B + µ v gegeben: Aufpunkt A, Richtungsvektoren u und AB = B A. Beispiel: Durch die echt parallelen Geraden g : X = ist die Ebene E : X = + λ, h : X = + λ + µ + λ B E v h A u g gegeben. Parameterfreie Form (Koordinatenform, Normalenform) grund7.pdf Normalenform Lagebeziehung Punkt Ebene Ob ein Punkt auf einer Ebenen liegt, wird durch Einsetzen des Punktes in die Ebenengleichung entschieden. Dies geht besonders bequem mit der Normalenform. Zwei linear abhängige Vektoren a und b, bei denen ein Vektor sich als ein λ-faches des anderen darstellen lässt, heißen auch kollinear. Drei linear abhängige Vektoren liegen in einer Ebene und heißen auch komplanar. Mit der Parameterform ist dies analog zu Geraden grund5.pdf möglich; dann muss man nach Einsetzen des Punktes aus zwei Gleichungen λ und µ bestimmen und die Probe in der dritten Gleichung machen.

8 . Klasse TOP Grundwissen Normalenform und HNF von Ebenen 7 Normalenform (Koordinatenform, parameterfreie Form) Eine Ebene kann gegeben sind durch einen Aufpunkt A und einen auf der Ebene senkrecht stehenden Normalvektor n und ist dann die Menge aller Punkte X mit n AX =, d. h. n ( X A) =, d. h. (nach Ausführung des Skalarprodukts) n (x a ) + n (x a ) + n (x a x ) = bzw. n x + n x + n x d =. Bestimmung der Normalenform aus der Parameterform X = A + λ u + µ v Der Normalvektor n steht senkrecht auf den Richtungsvektoren u und v, also n = u v ( grund9.pdf), wobei man auch ein Vielfaches als Normalvektor verwenden kann. Danach macht man den Ansatz n x + n x + n x = d und erhält d durch Einsetzen des Aufpunkts A. Beispiel: E : x = +λ +µ 5. n = 5 = 5 5 = 5 Ansatz x + x 5x = d. A( ) einsetzen: d = + 5 = 8. Also: E : x + x 5x = 8. Interpretation: Die Ebene besteht aus allen Punkten X(x, x, x ), für die diese Gleichung gilt. Durch Einsetzen von Punktkoordinaten kann man also prüfen, ob ein gegebener Punkt auf der Ebene liegt. Besondere Lage: Ist d =, so liegt der Ursprung ( ) auf der Ebene. Ist n = (z. B. F : x x = ), so ist die Ebene parallel zur x -Achse. Lotvektor und Lotfußpunkt Die Koeffizienten in der Normalenform bilden einen Lotvektor zur Ebene. In den obigen Beispielen sind n E = bzw. n F = Normalenvektoren (also Vektoren, die 5 auf der Ebene senkrecht stehen). Um den Lotfußpunkt eines Punktes P auf einer Ebene E zu finden, stellt man die Lotgerade durch P mit Richtungsvektor n auf ( n der Normalenvektor der Ebene E) und bestimmt den Schnittpunkt mit der Ebene ( grund9.pdf). Bestimmung der Hesseschen Normalenform (HNF) Man bestimmt die Länge des Normalenvektors, dividiert die Ebenengleichung durch diesen Wert und löst die Gleichung nach auf (bringt also die Konstante auf die linke Seite); erhält die Konstante dabei ein positives Vorzeichen, so multipliziert man die Gleichung mit. ( ) Beispiel : E : x + x 5x = 8. n = 5 HNF lautet somit 7 (x + x 5x 8) =. Beispiel : Die HNF der Ebene F : x x = lautet 5 ( x + x ) =.. = + + ( 5) = 7. Die Abstand Punkt Ebene Durch Einsetzen der Punktkoordinaten in der Term der HNF erhält man den Abstand des Punktes von der Ebene, wobei ein negatives Vorzeichen bedeutet, dass der Punkt im gleichen Halbraum wie der Ursprung O( ) liegt (also auf der gleichen Seite der Ebene). Beispiel: Der Abstand des Punktes P ( ) von der Ebene E : 7 (x + x 5x 8) = ist d(p, E ) = 5, und P und O liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene. Der Abstand des Nullpunkts O ist d(o, E ) = 8 7. Der Punkt Q( 8) liegt auf der Ebene E.

9 . Klasse TOP Grundwissen Lagebeziehungen Gerade Gerade 8 Beispiele: g : X = Richtungsvektoren parallel (d. h. Vielfache voneinander)? ja nein Aufpunkt der einen Geraden Geraden gleichsetzen in die andere einsetzen liegt drauf liegt nicht drauf eindeutige Lösung Widerspruch identisch echt parallel schneiden sich windschief +λ g : X = 8 +λ Lagebeziehung von g und g : Die Richtungsvektoren sind nicht parallel. Falls nicht schon geschehen, müssen vor dem Gleichsetzen die Parameter verschiedene Bezeichnungen erhalten. I + λ = + λ ( ) II + λ = + λ III + λ = 8 + 5λ Aus zwei Gleichungen (z. B. I und II) λ und λ berechnen: = 5λ ; λ = in I: λ = Probe mit der dritten (noch nicht verwendeten) Gleichung: = (stimmt). Die Geraden schneiden sich. Schnittpunkt: λ in g einsetzen (oder λ in g ): S( ). g : X = 5,8,,8 +λ, λ, λ, λ IR. Lagebeziehung von g und g : Die Richtungsvektoren sind parallel,, denn =,,. 5 Aufpunkt von g (,8,8 ) in g einsetzen:,8,8 = 8 5, also,8 = + λ, also λ =,,8 = + λ, Probe stimmt = 8 + 5λ, Probe stimmt. Also sind g und g identische Geraden. Schnittwinkel sich schneidender Geraden Wenn sich zwei Geraden schneiden, so berechnet sich der Schnittwinkel aus den Richtungsvektoren u und u mit cos ϕ = u u u u Beispiel: Für obige Geraden g, g ist cos ϕ = ,9, also ϕ,9. Geraden schneiden sich senkrecht, wenn sie sich schneiden und die Richtungsvektoren aufeinander senkrecht stehen (also deren Skalarprodukt u u = ist). Abstand paralleler Geraden = Abstand des Aufpunkts der einen Geraden von der anderen Geraden ( grund5.pdf) Abstand windschiefer Geraden Ebenengleichung für die Ebene aufstellen, die g enthält und zu g parallel ist (also mit g und Richtungsvektor u ), HNF aufstellen und Abstand des Aufpunkts der Geraden g von dieser Ebene bestimmen.

10 . Klasse TOP Grundwissen Lagebeziehungen Gerade Ebene 9 Beispiel: Allgemeinen Geradenpunkt einsetzen in die Normalenform der Ebene Eindeutige Lösung Typ = Typ = schneiden sich echt parallel Gerade liegt in der Ebene g : X = + λ E : 5x + x + x = Allgemeiner Geradenpunkt G( + λ λ) in E: 5( + λ) + + ( λ) = ; λ =,; g und E schneiden sich. Schnittpunkt: λ in G einsetzen: S(,,). Schnittwinkel von Gerade und Ebene Falls sich Gerade und Ebene schneiden, so berechnet man den Schnittwinkel aus dem Richtungsvektor u der Geraden und dem Normalenvektor n der Ebene mit u n sin ψ = u n ( ) Beispiel: Für die obigen g, E ergibt sich sin ψ =,5, also ψ, Besondere Lage Gerade und Ebene schneiden sich senkrecht, wenn der Richtungsvektor der Geraden und der Normalenvektor der Ebene parallel (also Vielfache voneinander) sind. Ist u n =, so sind Gerade und Ebene parallel (echt parallel oder zusammenfallend, kann entschieden werden durch Einsetzen des Aufpunkts der Geraden in die Ebene). Abstand einer parallelen Gerade von einer Ebene HNF der Ebene aufstellen; Abstand des Aufpunkts der Gerade von der Ebene bestimmen. Achsenpunkte einer Ebene, Spurgeraden Für Zeichnungen können die Achsenpunkte (Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen) und Spurgerade (Schnittgeraden mit den Koordinatenebenen) nützlich sein. Achsenpunkt mit der x -Achse: Punkte auf der x -Achse sind von der Bauart A (x ), Einsetzen in die Normalenform liefert x. x Für obige Ebene E ergibt sich: A ( ), A ( 5 ), A ( ). S Spurgeraden können meist ( ueb9.pdf) berechnet werden g als Verbindungsgeraden der Achsenpunkte. A Für obige Ebene E ergibt sich z. B. als Spurgerade mit der x x -Ebene: A A : X = + σ 5, σ IR. S E x Spurpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen A A ergeben sich als Schnittpunkte mit den Ebenen x = (x x - S x Ebene) usw. durch Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts. Für obige Gerade g ergibt sich: Mit x x -Ebene: G in x = : λ =, λ =, also S ( ). Mit x x -Ebene: G in x = : =, kein Schnitt mit der x x -Ebene, g ist parallel dazu. Mit x x -Ebene: G in x = : + λ =, λ =, also S ( ). Lot fällen (d. h. Punkt P auf Ebene E projizieren), P an E spiegeln ueb9.pdf. Lotfußpunkt eines Punktes P auf eine Gerade g ueb9.pdf.

11 . Klasse TOP Grundwissen Lagebeziehungen Ebene Ebene Betrachte Ebenengleichungen in Normalenform Gleichungen identisch Normalenvektor parallel, Normalenvektor (d. h. bis auf einen Faktor) aber Gleichungen nicht identisch nicht parallel identisch echt parallel schneiden sich Beispiele:. E : x + x 5x = 7 und F : x x + x + = sind identisch.. E : x + x 5x = 7 und F : x x + x = sind echt parallel.. E : x + x 5x = 7 und F : x x + x = schneiden sich. Zur Bestimmung der Schnittgerade eliminiert man (wenn nicht schon eine solche Gleichung vorliegt) eine Variable: E : x + x 5x = 7 F : x x + x = ( ) 5x 8x = Da es sich um ein unterbestimmtes Gleichungssystem handelt ( Gleichungen für Variable), bedeutet die fehlende dritte Gleichung, dass man meist ( ueb.pdf, Aufgabe e) eine Variable frei wählen kann, d. h. man hat nun einen Wunsch frei in Form eines Parameters, z. B. x = λ in ( ): x = λ in E: x = 7 x + 5x = 7 ( + 8λ) + 5λ = 5 + 9λ 5 5 Die Schnittgerade lautet damit: 8 x 5 9 X = x = 5 + λ 5 oder etwas schöner X = 5 + λ x Schnittwinkel sich schneidender Ebenen Falls sich die Ebenen schneiden, so berechnet man den Schnittwinkel aus den Normalenvektoren n und n mit cos ϕ = n n n n Beispiel: Für die Ebenen E und F aus obigem Beispiel ist cos ϕ = + ( )+( 5) ,8, also ϕ 5,5. Ebenen schneiden sich senkrecht, wenn die Normalenvektoren aufeinander senkrecht stehen (also deren Skalarprodukt n n = ist) Abstand paralleler Ebenen HNF einer Ebene bestimmen; beliebigen Punkt auf der anderen Ebene wählen (z. B. zwei Koordinaten beliebig, dritte aus der Ebenengleichung berechnen) und dessen Abstand von der anderen Ebene ermitteln. Beispiel (mit den Ebenen E und F aus ( obigem ) Beispiel ): Bestimmung der HNF von E: n = = =. Also HNF von E: 5 (x + x 5x 7) =. Beliebiger Punkt auf F, z. B. mit (? ): ( ). Einsetzen in den Term der HNF liefert den Abstand d(e, F ) = ( 7) =.

12 Blatt auf DIN A vergrößern, Karteikarten ausschneiden und Rückseite an Rückseite zusammenkleben!. Klasse TOP Grundwissen Kernsätze K Integration Wie berechnet man Integrale, z. B. (x 7)dx? Wie ist ein solches Integral zu deuten? Wie berechnet man die Fläche A zwischen zwei Kurven? Wendepunkte, Integralfkten Wie untersucht man eine Funktion auf Wendepunkte? Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung? E(X), Binomialverteilung Wie berechnet man allgemein Erwartungswerte? Für Binomalvert./Bernoullikette: E(X) =?, V (X) =?, Pn=5,p=,85(X = 8) =?, Pn=5,p=,85(X 8) =? Testen von Hypothesen Welche Vorgehensweise liegt bei Hypothesentests meist vor, z. B.: Die Vermutung Trefferw. p >,85 soll auf %-Niveau hochsignifikant bewiesen werden bei Stichprobenlänge n = 5 Geradengleichungen 5 Wie sind im Raum Geraden g gegeben? Wie die Gerade durch zwei Punkte A, B? Wie prüft man, ob P auf g liegt? Wie berechnet man den Abstand eines Punktes von einer Geraden? L Stammfunktion F (also mit F = f) auswerten Ober- minus Unter- grenze, z. B. (x 7)dx = [x 7x] = 8 =. Flächenbilanz der ober-/unterhalb der x-achse liegenden Flächen. A: Ober- minus Unterkurve. L f (x) = lösen und Vorzeichenbereiche betrachten (f > : linksgekrümmt), Stelle mit Krümmunngswechsel ist WP. HdI: Die Ableitung der Integralfunktion I(x) = x a f(t)dt ergibt den Integranden: I = f. L E(X) = Summe Wert xi mal W. P (X = xi) ( Merkhilfe). Bin.vert.: E(X)=np, V (X)=npq, P...(X = 8) = ( n k) p k q n k = = ( 5 8),85 8,5 =,8, P...(X 8)= P...(X 7)= =,9858=, ( Tafel). L H : p,85, H : p >,85 Entscheidungsregel: H ablehnen, falls Trefferzahl k k. k wird so bestimmt, dass α = (H PH abgelehnt) = = Pn=5,p=,85(k k), (Stochastik-Tafel hier k = 9). L5 g : X = A + λ u mit Aufpunkt A und Richtungsvektor u, AB : X = A + λ( B A). P einsetzen, drei Gleichungen für gleiches λ. Fußpunkt als allg. Geradenpunkt ansetzen, P F u =. Ebenengleichungen Wie sind Ebenen in Parameterform gegeben? Wie stellt man eine Ebene durch drei Punkte A, B, C auf? Ebenen-Normalenform und HNF 7 Wie berechnet man aus E : X = A + λu + µ v die Normalenform E : nx + nx + nx = d? Wie fällt man ein Lot von P auf E? Wie bestimmt man Hesse-Normalform und Abstand d(p, E)? Lagebeziehung Gerade Gerade 8 Wie bestimmt man die gegenseitige Lage zweier Geraden? Wie gegebenenfalls den Schnittwinkel ϕ? Lagebeziehung Gerade Ebene 9 Wie bestimmt man die gegenseitige Lage Gerade g Ebene E? Wie ggf. den Schnittwinkel ψ? Von welcher Bauart sind Achsenpunkte z. B. auf der x-achse? Welche Gl. hat die xx-ebene? Lagebeziehung Ebene Ebene Wie erkennt man die gegenseitige Lage zweier Ebenen? Wie bestimmt man gegebenenfalls die Schnittgerade s und den Schnittwinkel ϕ? L Aufpunkt A und zwei Richtungsvektoren u, v: E : X = A + λ u + µ v. Drei-Punkte-Gleichung: E : X = A + λ( B A) + µ( C A). L7 Normalvektor n = u v, Ansatz nx +... = d, A einsetzen d. Lotgerade (Aufpunkt P, Richtungsvektor n) mit E schneiden. HNF: Ebenengl. durch ± n teilen, d(p, E): Punkt in Term der HNF einsetzen. L8 Richtungsvektoren parallel? Falls ja: Aufpunkt der einen Geraden in die andere einsetzen identisch oder echt parallel. Falls nein: Gleichsetzen Schnittpunkt oder windschief. cos ϕ = u v u v. L9 Allg. Geradenpunkt in E einsetzen schneiden sich ( λ =... ) bzw. Gerade in der Ebene ( = ) bzw. echt parallel ( = ). sin ψ = u n u n. A( x). xx-ebene: x =. L Normalvektoren parallel? Ebenen identisch oder echt parallel oder sich schneidend. s: Unterbest. Gl.system lösen (eine Variable freier Wunsch λ, andere durch λ ausdrücken). cos ϕ = n n n n.

13 Klasse Übungsaufgaben Integration mit dem ne-. Gegeben ist f(x) = ex e x + benstehenden Graphen. y f x (a) Berechnen Sie für A = f(x)dx eine Abschätzung nach oben, indem Sie wie in der Abbildung die Streifenflächen berechnen und summieren. (b) Berechnen Sie den exakten Wert von A (beachten Sie: Der Zähler ist Ableitung des Nenners, also f(x) von der Bauart N (x) N(x) ). Um wie viel % weicht die Abschätzung aus Teilaufgabe (a) hiervon ab? (c) Die Verkaufszahlen eines bestimmten Autotyps (in Stück) im Jahre x (Markteinführung vor zwei Jahren: x = ) werden modellhaft durch die Funktion f beschrieben. Welche Bedeutung haben dann lim f(x) und f(x)dx in diesem Kontext? x. Skizzieren Sie die Graphen zu den Funktionen mit f(x) = (x )x und g(x) = (x ) und berechnen Sie (a) den Inhalt A der Fläche, die vom Graphen von f und der x-achse eingeschlossen wird; (b) den Inhalt A der Fläche zwischen den Graphen von f und g; (c) A =,5 f(x)dx und deuten Sie das Vorzeichen hiervon; (d) den Inhalt A der Fläche, die von der Tangente an g im Punkt (,5), der x- Achse und dem Graphen von g eingeschlossen wird; (e) b so, dass b. Berechnen Sie: (a) (b) (c) x x 5 dx x ( x 5)dx x e x dx g(x)dx = und deuten Sie die Ergebnisse.

14 Klasse Übungsaufgaben Wendepunkte, Integralfunktionen Anwendungsaufgaben siehe ueb.pdf, Aufgabe (c), ueb.pdf, Aufgabe, grund8.pdf (Optimierungsaufgabe) und ueb.pdf, Aufgabe.. Zu betrachten ist die Integralfunktion I(x) = x cos t dt, x IR. Berechnen Sie den Term von I(x). Zeigen Sie: I() < (obwohl cos t für t [; π ]). Formulieren Sie eine Begründung für diese Beobachtung.. (a) Untersuchen Sie f(x) = x x auf Extrema und Wendepunkte (x-werte und Art genügen jeweils). (b) Untersuchen Sie f(x) = x + x auf Extrema (x-werte und Art genügen) und Wendepunkte. Zeigen Sie, dass bei x = ein Wendepunkt vorliegt, und berechnen Sie die Wendetangente in diesem Punkt. (c) Untersuchen Sie f(x) = x auf Extrema und Wendepunkte.. Bestimmen Sie für f(x) = x x (siehe auch ueb5.pdf/aufgabe 5) die Lage des Wendepunkts.. Gegeben ist die Funktionenschar f k mit f k (x) = kx. Das Schaubild zeigt die Graphen für k = und k =. y π k = x x k = Bestimmen Sie die Lage des Wendepunkts in Abhängigkeit vom Parameter k. Überzeugen Sie sich davon, dass sich für k = die in der Abbildung gezeigte Lage des Wendepunktes ergibt. 5. Berechnen Sie den Term einer achsensymmetrischen Funktion. Grades, deren Wendepunkt bei x = liegt, wobei der Wendepunkt zugleich Nullstelle ist und darin die Steigung hat.. Zeigen Sie: I(x) = x ln x+ x I(x) = x ln t+ t dt. + ln(x + ) 7 ln ist der Term der Integralfunktion Der Integrand f(t) = ln t+ hat die Nullstelle x =. Was folgt daraus für den Graphen t von I?

15 Klasse Übungsaufgaben Erwartungswert, Binomialverteilung. Erklären Sie anschaulich die Bedeutung von ( ) n k in der B(n; p; k)-formel.. Beim Lotto aus 9 befinden sich 9 Kugeln in der Lostrommel, aus denen ohne Zurücklegen gezogen werden. (a) Der Spielteilnehmer hat vor der Ziehung Zahlen auf dem Spielschein angekreuzt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit (W.), dass sich unter den gezogenen Kugeln genau vorher angekreuzte befinden. (b) Wie viele Möglichkeiten für die Ziehung aus 9 gäbe es, wenn die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, von Interesse wäre?. Eine Maschine soll Papier auf eine bestimmte Länge zuschneiden. Das Schneidewerkzeug liefert nur zu 8 % korrekt geschnittene Blätter. Das Experiment soll als Bernoulli-Kette betrachtet werden. (a) Erscheint Ihnen die hierfür nötige Unabhängigkeitsannahme gerechtfertigt? (b) Geben Sie die W. an, dass sich unter Blättern mindestens 98 höchstens 9 mindestens 9 mindestens 7 und höchstens 9 einwandfreie befinden. (c) Das Schneidewerkzeug wird ausgetauscht, wenn unter 5 Blättern weniger als k = 5 einwandfreie sich befinden. Wie groß ist die W. für einen Austausch? Wie muss die Zahl k geändert werden, damit die Austausch-Wahrscheinlichkeit mindestens 99 % beträgt? (d) Beim Zuschnitt entsteht auf ganze mm gerundet zu % die Papierlänge 95 mm, zu 8 % die Länge 9 mm, zu 5 % 97 mm, zu % 98 mm, zu 7 % 99 mm und zu 5 % mm. Berechnen Sie Erwartungswert und Streuung.. In einer Klasse mit 5 Jugendlichen (davon Mädchen) geben je Buben und Mädchen an, für das Studium bereits Geld zu sparen. (a) Es wird eine Person zufällig ausgewählt. Mit welcher W. handelt es sich um ein Mädchen, wenn die ausgewählte Person zur Gruppe der Sparer gehört? (b) Nun werden nacheinander Schüler zufällig ausgewählt. Zu betrachten ist das Ereignis Es wird genau ein Sparer ausgewählt. Zeigen Sie, dass sich die W. für Ziehen ohne bzw. mit Zurücklegen um mehr als Prozentpunkte unterscheiden. Warum ist der Unterschied bei Ziehen aus einer großen Personenzahl geringer? Im Folgenden soll im Modell Ziehen mit Zurücklegen gerechnet werden. (c) Wie groß ist die W., dass frühestens die vierte gezogene Person weiblich ist, spätestens die vierte gezogene Person weiblich ist, die vierte gezogene Person die zweite weibliche ist? (d) Berechnen Sie, wie oft das Experiment Auswahl einer Person durchgeführt werden muss, um mit mehr als 99 % W. mind. einen männl. Sparer zu ziehen. (e) Nun wird aus Personen mit gleichen prozentualen Anteilen wie in der Schulklasse gezogen. Wie groß ist die Zahl µ der zu erwartenden männlichen Nichtsparer? Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man genau diese Anzahl? Wie groß ist die Streuung σ für diese Anzahl? Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich die Zahl der gezogenen männlichen Nichtsparer im Intervall [µ σ; µ + σ]?

16 Klasse Übungsaufgaben Testen von Hypothesen. Eine politische Partei möchte bei der nächsten Wahl die 5 %-Hürde überspringen. Wie sollte (auf %-Signifikanzniveau) aufgrund einer Umfrage unter Wahlberechtigten entschieden werden, ob noch Wahlkampf hierfür betrieben werden soll?. In einem Kinderspiel wird aus den Ziffern 5 jeweils die gewürfelte Ziffer ausgestrichen. Nikola vermutet, da nach solchen Spielen nur bei wenigen bereits nach dem sechsten Wurf alle Ziffern gestrichen waren, der verwendete Würfel biete nur eine geringe Chance für ein Sechs-Wurf-Spiel. Erstellen Sie einen entsprechenden Test auf 5 %-Niveau für Nikolas Vermutung (= H / H : Laplace-Würfel). k k B(; ; i) 777 i=... 7,5 8,89 9,557...,9, Ein Hersteller, der in eine große Ladung Natursteinplatten unterschiedliche Anteile. Wahl und. Wahl mischt, möchte die Verärgerung anspruchsvoller Kunden, die mehr als 7 %. Wahl erwarten, vermeiden und führt mit einer Stichprobe von 5 Stück einen entsprechenden Hypothesentest durch. (a) Begründen Sie Ihre Wahl von Nullhypothese und Alternative. (b) Stellen Sie die Entscheidungsregel (ER) für einen Test auf Niveau 5 % auf. (c) Wie ist bei dieser ER zu entscheiden, wenn % der Stichprobe. Wahl waren? (d) Wie groß ist bei dieser ER das Risiko des Herstellers, eine Lieferung irrtümlich nicht für gut zu halten, obwohl tatsächlich 85 % der Steine. Wahl sind?. In einer Gewinnshow behauptet ein Kandidat, anhand des unterschiedlichen Abnutzungsgrads der Spielkarten aus einem Rommé-Blatt ( Karten, davon Joker) mit 5 % Treffsicherheit blind eine Karte auszuwählen, bei der es sich um einen Joker handelt. Er hat mit einem jeweils neuen Kartenstapel Versuche, von denen er mindestens mal ein Joker herausziehen muss. (a) Berechnen Sie gemäß dem Grundsatz in dubio pro reo mit Hilfe des hier abgebildeten Histogramms der B(n; p)-verteilung bzw. mit entsprechenden Formeln α- und β-fehler. (b) Wie müsste die Entscheidungsregel für einen Test auf %-Niveau für n = 8 Versuche gewählt werden? (c) Warum ist im Histogramm zu n = 8 der Berg schmäler als im ersten? (d) Welche Möglichkeit ergibt sich daraus, gleichzeitig α- und β-fehler zu verkleinern?,5,,,, B(; ; k) k B(8; ; k),, 8 k

17 Klasse Übungsaufgaben Geradengleichungen 5. Gegeben ist die Gerade g : X = + λ Prüfen Sie, ob die folgenden Punkte auf g liegen: Q( ), R( ), S(5 )., λ IR. Berechnen Sie die Koordinaten eines Punktes T auf g mit T (?? ).. Zeigen Sie, dass die Punkte A( 8), B( ), C( ) und D( 7 7 8) auf einer Geraden liegen, indem Sie die Gleichung der Geraden AB aufstellen und zeigen, dass C und D auf AB liegen.. Berechnen Sie den Abstand des Punktes D(,5,5 ) von der Geraden AB durch A( ) und B( ) und berechnen Sie damit die Fläche des Dreiecks ABD. Vergleichen Sie mit dem Vektorprodukt-Ergebnis (vgl. grund9.pdf).. Welche besondere Lage haben folgende Geraden im Koordinatensystem: (a) g : X = λ 5, λ IR. (b) h : X = µ, µ IR. 5. Gegeben ist die Schar der Punkte P a (a a) mit dem reellen Parameter a. (a) Geben Sie in Punkt-Richtungsform die Gleichung der Geraden g an, auf der alle Punkte P a liegen. (b) Welche Lage haben die Punkte P,5, P und P zueinander? Welche Lage haben die Punkte P, P und P zueinander?. (a) Gegeben ist die Gerade g : X = + τ, τ IR. Wie lautet die Gleichung der Geraden p, die durch senkrechte Projektion von g in die x x -Grundebene entsteht? (b) Nun werde im zweidimensionalen Raum die Gerade y = x +,5 betrachtet. Wie könnte diese Gerade in Punkt-Richtungsform beschrieben werden?

18 Klasse Übungsaufgaben Ebenengleichungen. Das nebenstehende am Hang stehende Zelt ist gegeben durch P A(8 5 ), B(5 8 ), C(7 7 5), P ( ) sowie die Geraden g : X 5 h = + λ 5, λ IR, g x A h : X = + µ, µ IR, und k : X = σ x 5 5 k C B x, σ IR. Stellen Sie Ebenengleichungen in Parameterform auf: (a) Ebene E, die durch die Punkte A, B, C gegeben ist. (b) Ebene E, die durch die Gerade k und den Punkt B festgelegt ist. Überzeugen Sie sich zuvor davon, dass der Punkt B nicht auf der Geraden k liegt. (c) Ebene E, die durch die beiden echt parallelen Geraden g und k festgelegt ist. (d) Ebene E, die durch die sich schneidenden Geraden g und h festgelegt ist.. Gegeben sind der Punkt A( ) und die Vektoren u = (a) Warum ist X = + λ + µ und v =, λ, µ IR, keine Ebene? (b) Betrachten Sie nun die Ebene E mit Aufpunkt A und Richtungsvektoren u, v. Wenn man für die Parameter nur Zahlen aus dem Intervall E [; ] zulässt, also λ, µ [; ], so erreicht man nur Punkte v im nebenstehend dargestellten, von u und v aufgespannten Parallelogramm. A u Zeigen Sie durch Einsetzen in die Parameterform, dass P ( ) zwar auf der Ebene, aber nicht im eben genannten Parallelogramm liegt.. Gegeben sind die Punkte A( ), B( 5), C( 5) und D( ). Warum kann man mit dem sog. Spatprodukt ( grund9.pdf) ( AB AC) AD prüfen, ob die Punkte A, B, C, D in einer Ebene liegen? Was bedeutet dies im Fall der hier gegebenen Punkte für die lineare (Un-?)Abhängigkeit der Vektoren AB, AC und AD? x. Gegeben ist die hier dargestellte Ebene E. A ( ) (a) Geben Sie eine Gleichung von E an. A (b) Spiegeln Sie die Punkte A ( ), A, A am A Punkt Z( ) und stellen Sie damit die Gleichung x der gespiegelten Ebene E auf. Z A x Tipp: Mögliche Vorgehensweise zum Spiegeln der Punkte: ZA = A Z mit Spitze minus Fuß nach A auflösen.. A A

19 Klasse Übungsaufgaben Normalenform und HNF von Ebenen 7. Bestimmen Sie jeweils eine Normalform der folgenden Ebenen (a) E : x = + λ + µ, λ, µ IR 5 (b) E : x = + λ + µ (c) E : x = + λ + µ (d) Welche besondere Lage liegt jeweils vor?,, λ, µ IR λ, µ IR (e) Alternativ zum Vektorprodukt ist auch eine Umwandlung von der Parameter- in die parameterfreie Normalform möglich durch Eliminieren der Parameter. Beispiel mit der Ebene E aus grund7.pdf: x = + λ + µ ( ) ( ) x = + λ + µ x = + λ + 5µ x + x = 5µ x + x = µ ( 5) E : x + x 5x = 8 Relativ schnell geht dies bei den Ebenen aus den Teilaufgaben (b) und (c); führen Sie dies aus! (f) Lohnend ist die Methode aus Teilaufgabe (e) auch bei der Umwandlung ( ) ( von Geraden im IR. Bringen Sie auf diese Weise die Gerade X ) = +λ, λ IR, auf die Form x = mx + t.. Stellen Sie die Lotgerade auf die Ebene E : x x + 7x = durch den Punkt P ( ) auf. Zeigen Sie, dass P nicht auf E liegt.. Schreiben Sie die Ebene E : X = in der Form 9 n x + n x + n x = d und zeigen Sie dann, dass P ( ) auf E liegt.. Gegeben sind die Ebenen E : x x + x = und F : x + x + x =. (a) Berechnen Sie jeweils die Hesse-Normalform (HNF)! (b) Liegt der Punkt P ( ) näher an E oder an F? (c) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte ( x ) auf der x -Achse, die Abstand von der Ebene E haben. (d) Welchen Gleichung hat eine Kugel um M(9 7 ), die die Ebene E genau berührt? Falls die Kugel k um M den Radius hat, welchen Radius hat dann der Schnittkreis mit der Ebene E?

20 Klasse Übungsaufgaben Lagebeziehung Gerade Gerade 8. Weisen Sie die Lagebeziehung für die Geraden aus grund.pdf nach: g : X = + λ, h : X = + µ, λ, µ IR.. Gegeben sind die Geraden aus ueb.pdf, Aufgabe : 5 g : X = + λ 5, h : X = + µ, und k : X = (a) Warum kann man die Lagebeziehung von g und h schnell sehen? (b) Weisen Sie die Lagebeziehung von g und k nach.. Gegeben sind die Geraden g : X = + λ g : X = 8 + σ und g : X = Untersuchen Sie jeweils die Lagebeziehung: + τ, g : X = σ 5 5, λ, µ, σ IR. + µ, λ, µ, σ, τ IR. 9, (a) g und g ; (b) g und g ; (c) g und g ; (d) g und g ; falls sich die Geraden schneiden, bestimmen Sie auch den Schnittwinkel; falls die Geraden parallel sind, bestimmen Sie auch den Abstand.. Gegeben ist das nebenstehende Oktaeder durch A( ), B( ), C( ), D( ) und S( ). (a) T ist der Schnittpunkt der Geraden g und h, wobei g eine Parallele zu BS durch D ist und h eine Parallele zu AS durch C ist. Bestimmen Sie die Koordinaten von T. (b) Die im Bild gezeigte Gerade hat die Gleichung Y Z : X = + σ, σ IR. Zeigen Sie, dass die Gerade Y Z und die x -Achse sich schneiden. x B A x Ergänzender Hinweis: Der Abstand der windschiefen Geraden AS und g kann hier leicht bestimmt werden, da AS in der Ebene x = und g in der parallelen Ebene x = liegt. Der Abstand der beiden windschiefen Geraden ist also. T Z Y g D h x C S

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