Wirtschaftsphysik. verfasst von Markus Zizler Mai Fakultät für Physik Universität Regensburg Prof. Dr. Ingo Morgenstern

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1 Wirtschaftsphysik verfasst von Markus Zizler Mai 2007 Fakultät für Physik Universität Regensburg Prof. Dr. Ingo Morgenstern

2 Inhaltsverzeichnis 1 Wirtschaftsinformatik 2 2 Operations Research (OR) Entwicklungsgeschichte des OR Optimierungs- und Simulationsmodelle EDV und OR Standardmethoden und -probleme des OR Simplex-Algorithmus Branch & Bound-Vefahren Traveling Salesman Problem Planung von Transporten und Güterströmen Grundüberlegungen zu intelligenten Strategien Komplexitätsbetrachtungen Klassische Heuristiken Eröffnungsverfahren Verbesserungsverfahren Kritische Beurteilung Tabu Search Literatur 26 1

3 Kapitel 1 Wirtschaftsinformatik Die Wirtschaftsinformatik hat als interdisziplinäre Wissenschaft ihre Wurzeln in der Informatik und den Wirtschaftswissenschaften. Sie befasst sich mit Planung, Entwicklung, Implementierung, dem Betrieb, Weiterentwicklung und ökonomischen Einsatz von Informations-und Kommunikationssystemen, die zur formalisierten Unterstützung der ablaufenden Geschäftsprozesse und zur strukturierten strategischen Entscheidungsfindung in Unternehmen und in der öffentlichen Verwaltung eingesetzt werden. Ein Grundbereich der Wirtschaftsinformatik sind Management Support Systeme (MSS). Das sind Computersysteme, welche Informationen aus unternehmensinternen und -externen Quellen über alle Sachverhalte sammeln, aufbereiten und dem Management in geeigneter Form zur Verfügung stellen. Konkrete Ausprägungen der Managementunterstützungssysteme sind Management Information Systeme (MIS), Decision Support Systeme (DSS) und Executive Information Systeme (EIS). Eine symbolische Darstellung zeigt Abbildung 1.1 In Anlehung an die Systempyramide einer Unternehmung sind die im oberen Teil der Pyramide abgebildeten Systemkategorien MIS, DSS und EIS den Planungs- und Kontrollsystemen zuzuordnen. Die Wolken stellen mögliche Erweiterungen dar; die Bausteine des Fundaments sind die Betriebsbereiche für die das MSS genutzt werden kann. Decision Support Systeme sind interaktive EDV-Systeme, die Manager mit Modellen, Methoden und problembezogenen Daten in ihrem Entscheidungsprozess unterstützen, und zwar bei der Lösung von Teilaufgaben in eher schlecht strukturierten Entscheidungssituationen; der Manager soll also im Planungs- und Entscheidungsprozess unterstützt werden. DSS haben einen breiten Anwendungsbereich: so lassen sich die vielen Ausprägungsformen mit sehr heterogenen Funktions- und Leistungsspektren in allen Managementebenen und allen Phasen des Entscheidungsprozesses verwenden. Die Ergebnisse der Arbeit können nun in ein bestehendes DSS integriert, oder zu einem eigenständigen DSS ausgebaut werden. Beispielsweise könnte der Manager eines Supermarkts, mit einem entsprechend gestalteten System, aus den Verkaufszahlen der vergangenen Perioden das optimale Produktportfolio der nächsten Periode berechnen. Der Manager kann diese Berechnung direkt umsetzen, oder er kann das DSS als Instrument zur Analyse verwenden. 2

4 KAPITEL 1. WIRTSCHAFTSINFORMATIK 3 Abbildung 1.1: Einordnung von Management Support Systemen

5 Kapitel 2 Operations Research (OR) 2.1 Entwicklungsgeschichte des OR Einfach ausgedrückt ist das OR die Verwendung allgemeiner (natur-)wissenschaftlicher Methoden zum Studium irgendeines Problems. Die Technik wurde ausgearbeitet von Physikern, Mathematikern, Statistikern und Biologen; das OR ist also ein Konglomerat verschiedener Wissenszweige. Abbildung 2.1: Geschichte des OR Der Geburtsstunde des OR war irgendwann in den frühen 40er Jahren. Die neuen Verfahren, Methoden und Techniken wurden zunächst als Projektplanungsinstrumente bei der Radarentwicklung und für die Konvoigrößenoptimierung zur U-Boot-Bekämpfung eingesetzt. Im Laufe der 50er und 60er Jahre wurden die Methoden universell 4

6 KAPITEL 2. OPERATIONS RESEARCH (OR) 5 eingesetzt. Dem Enthusiasmus der 70er folgt die Ernüchterung der 80er, denn in der Praxis ist nicht jedes betriebliche Entscheidungsproblem in ein griffiges mathematisches Modell umsetzbar. In den 90ern gewinnt das OR wieder an Dynamik, u.a. befruchtet durch die Fortschritte im Rahmen der Informatik und Datenverarbeitung. Neben anderen hat das OR folgende Einsatzbereiche: Netzplantechnik als Planungs- und Kontrollinstrument in Flugzeug-, Schiffbau, Erschließungsprojekte, etc. Lineare Programmierung in der Mineralölindustrie, bei Mischungsproblemen, bei der Optimierung innerbetrieblicher Materialflüsse, bei Umladeproblemen, Produktions-, Finanzierungs- und Investitionsplanung Lagerhaltung Verschnitt- (Glas, Textilien,Holz) und Stauprobleme bei Paletten, Containern, Schiffen Inventur und Qualitätssicherung Planung von Touren und Gestaltung von Tarifen Ein kurzer Blick in die Literatur zeigt, dass die Lineare Programmierung als grundlegende Methode des OR angesehen werden kann. Gründe hierfür liegen in der schon frühen Entwicklung von Softwarepaketen auf kommerziellem Niveau. Bereits um 1970 waren alle wesentlichen theoretischen Erkenntnisse zur effektiven Behandlung von LP-Problemen auf Rechenanlagen vorhanden. Parallel zur reinen Linearen Programmierung entwickelte sich deren Verwendung zur Lösung von Problemen mit teilweise linearer Struktur. Dazu gehören zum Beispiel: Quadratische Programme mit quadratischer Zielfunktion und linearen Nebenbedingungen Quotientenprogramme, deren Zielfunktion ein Bruch linearer Ausdrücke ist, bei sonst linearen Restriktionen Separable Programme sind nichtlineare Probleme, die stückweise linearisiert werden können. Stochastischen Programmierung mit Zufallsgrößen als Modellparameter In der Theorie unscharfer Entscheidungen sind für Zielfunktionen und Restriktionen unscharfe Interpretationen zugelassen Eine große Familie von Optimierungsproblemen entzieht sich dem Zugang der Differentialrechnung, sie sind kombinatorischer Natur. Dazu gehören z.b. Zuordnungen von Maschinen zu Standorten oder Bewerbern zu Jobs. Mit Hilfe der Dynamischen

7 KAPITEL 2. OPERATIONS RESEARCH (OR) 6 Programmierung (DP) wird versucht solche Probleme zu lösen. Die DP gehört zu den Entscheidungsbaumverfahren, die das schwierige Globalproblem in Teile zerlegen und dann unter Umständen leichter lösbar sind. Neben der DP gehört auch die oft benutzte Methode Branch & Bound zu den Entscheidungsbaumverfahren. Heuristiken Arbeit stellen ein weitere Möglichkeit dar, kombinatorische Optimierungsprobleme zu lösen. Darunter sind alle Verfahren zu verstehen, die meist zu jeder Probleminstanz eine gute Lösung finden, ohne jedoch einen Beweis liefern zu können. Zu den Methoden des OR werden auch Bereiche gerechnet, die nicht primär optimierend sind: Bei der Spieltheorie geht es darum, einen Ausweg aus einer Konfliktsituation zu finden. Die Spieltheorie liefert wenig Entscheidungshilfe bei Zug-um-Zug-Spielen wie etwa Schach; dennoch haben ihre Ergebnisse großen Wert in Bezug auf rationales menschliches Verhalten. Die Warteschlangentheorie bietet eine Konfigurationshilfe durch Beschreibungsmodelle stochastischer Prozesse. So dienen Warteschlangensysteme der Entscheidungsunterstützung bei der Dimensionierung von Kassen in Warenhäusern oder Schaltern in Flughäfen. Neben den bisher beschriebenen klassischen OR-Methoden, gibt es neuerdings weitere Themenkreise, die zum OR oder verwandten Gebieten gerechnet werden: Fuzzy (= Unscharfe) Entscheidungsmodelle gestatten Zugehörigkeiten eines Elements zu einer Menge zwischen 0 (nein) oder 1(ja); das heißt das Element muss nicht eindeutig zur bzw. nicht zur Menge gehören, sondern kann gewissermaßen teilweise dazugehören. Dieser Denkansatz spiegelt menschliches Verhalten entschieden besser wieder als ein inflexibles ja oder nein. Praktisch finden diese Modelle etwa Anwendung in Investition und Finanzierung. Ein weiterer Themenkreis sind Sucherverfahren der Künstlichen Intelligenz; dazu gehören neben anderen biologische und physikalische Algorithmen, die als Hauptgegenstand der Arbeit in Kapitel?? detailliert erklärt werden. 2.2 Optimierungs- und Simulationsmodelle Bei Optimierungsmodellen erwartet man von der Modellrechnung optimale Lösungen als Entscheidungsvorschläge. Dabei müssen aber erstens eindeutige Zielsetzungen festgelegt sein, und zweitens muss der Spielraum der möglichen Entscheidungen im Modell abgebildet sein, so dass die Modellrechnungen nicht durch außerhalb des Modells zu steuernde Entscheidungsalternativen beeinflusst werden. Gewöhnlich bestehen Optimierungsmodelle aus einer Zielfunktion und mindestens einer Nebenbedingung, die in Form einer (Un-)Gleichungen formuliert wird. Meist sind es mehrere Restriktionen, seltener jedoch mehrere Zielfunktionen. Streng genommen sind Optimierungsmodelle nur dann einsetzbar, wenn keine modellexternen Entscheidungsalternativen vorliegen und auch nur eine einzige Umweltentwicklung besteht; dies trifft allerdings nur in seltenen Fällen zu.

8 KAPITEL 2. OPERATIONS RESEARCH (OR) 7 Bei vielen Entscheidungssituationen sind erstens mehrere (modellexterne) Entscheidungsalternativen vorhanden und zweitens verschiedene mögliche Umweltentwicklungen. Zur Entscheidungsvorbereitung müßte jede Alternative im Zusammenhang mit jeder Umweltentwicklung bewertet werden. Simulationsmodelle leisten solche Aufgaben: Mit ihnen werden die verschiedenen Entscheidungs-Umwelt-Konstellationen durchgespielt oder simuliert. Eine Optimierung findet hier bestenfalls außerhalb des Modells statt, nämlich in dem Sinne, dass die am günstigsten erscheinende Alternative gewählt wird. Das ist dann einfach, wenn nur eine einzige Umweltentwicklung angenommen wird. Bei mehreren möglichen Umweltentwicklungen müßten diese hinsichtlich ihrer voraussichtlichen Eintrittswahrscheinlichkeit gewichtet werden, um überhaupt zu einer klaren Bewertung der Entscheidungsalternativen zu gelangen. Die Bestimmung der günstigsten Entscheidungsalternative wird gewöhnlich auch dadurch erschwert, dass mehrere Entscheidungskriterien gleichzeitig zu berücksichtigen sind, so dass der Vorteil einer Entscheidungsalternative hinsichtlich des Entscheidungskriteriums durch den Nachteil hinsichtlich eines anderen Kriteriums verringert wird. Zwischen dem gegensätzlichen Feld von Optimierungs- und Simulationsmodellen gibt es ein Zwischenfeld. Zum Beispiel können die Entscheidungsalternativen Investitionen in verschiedene Fertigungsanlagen repräsentieren. Für jede Investition könnte dann mit Linearer Optimierung ein optimales Produktionsprogramm bestimmt werden. Hier würde also optimiert werden, aber nicht in Richtung auf einen umfassenden Entscheidungsvorschlag, sondern nur eingeschränkt hinsichtlich der modellexternen Entscheidungsalternativen. Dem Optimierungsmodell wäre also ein Simulationsmodell hierarchisch übergeordnet. 2.3 EDV und OR Für die praktische OR-Arbeit spielt die EDV eine wichtige Rolle. Dies betrifft drei verschiedene Bereiche, und zwar die Verarbeitung von Daten, die Standardprogramme und die organisatorische Verknüpfung von OR und EDV. EDV-Anlagen dienen der räumlichen Informationstransformation (Übertragung von Daten), der zeitlichen Informationstransformation (Speicherung von Daten) und der inhaltlichen Informationstransformatmplex-Verfahrenion (Umwandlung von Daten). Auch im OR-Prozess werden Daten umgewandelt, und zwar im Sinne der Modellrechnungen. Mit Hilfe des Modells werden Inputdaten transformiert in Outputdaten. Bezüglich der Speicherung von Daten werden häufig Standardmodelle auf EDV-Anlagen laufend verwaltet und für jede neue Rechnung durch aktuelle Daten auf den neuesten Stand gebracht. Was die Datenübertragung (Datenausgabe) betrifft, lassen sich die Ergebnisse der Modellrechnungen entsprechend darstellen. Nicht immer müssen neue Programme entwickelt werden; es steht eine Vielzahl von Standardpogrammen zur unmittelbaren Benutzung zur Verfügung. Dies gilt insbesondere für die Verfahren der Linearen Optimierung, für die Netzplantechnik, für zahlreiche Verfahren der Graphentheorie und Netzflussmaximierung sowie für die Transportoptimierung.

9 KAPITEL 2. OPERATIONS RESEARCH (OR) 8 Neben der Bedeutung der EDV-Anlagen als Hilfsmittel für das OR, gibt es drei gemeinsame Aspekte: OR-Projekte werden ähnlich wie EDV-Projekte im Auftrag für eine Fachabteilung durchgeführt. Für die Organisation gelten daher ähnliche Gesichtspunkte. Außerdem geht es beiderseits um die Strukturierung und Organisation der Daten; dabei gelten in beiden Bereichen gleichartige Strukturierungsprinzipien. Sowohl EDV-Software-Systeme, als auch Modelle im Sinne des OR haben Auswirkungen auf die Aufbauorganisation und die Ablauforganisation von Arbeits- und Verwaltungsprozessen. OR-Tätigkeiten und EDV-Tätigkeiten haben eine enge Beziehung zueinander. Es ist daher nützlich in beiden Bereichen Fachmann zu sein.

10 Kapitel 3 Standardmethoden und -probleme des OR 3.1 Simplex-Algorithmus Der Simplex-Algorithmus ist ein Verfahren der mathematischen Optimierung; es wurde 1947 von George Dantzig entwickelt. Das Simplex-Verfahren löst ein lineares Optimierungsproblem nach endlich vielen Schritten exakt oder stellt die Unlösbarkeit des Problems fest. In eher theoretischen Ausnahmefällen können Zyklen auftreten, die das Auffinden der optimalen Lösung verhindern. Der Name rührt daher, dass die Gleichungen des Problems ein Simplex beschreiben, dessen Rand zum Auffinden der Lösung beschritten wird. Die Methoden der Linearen Optimierung (LO), auch Lineare Programmierung genannt, sind das am häufigsten benutzte Werkzeug des OR. Das Problem der Optimierung einer linearen Funktion tritt in vielen ökonomischen Zusammenhängen auf, wie zum Beispiel bei Produktionsplanungsproblemen, Mischungs- oder Verschnittproblemen. Dementsprechend kann das mathematische Modell auch viele verschiedene Formen annehmen. So ist in einem Fall die Zielfunktion zu maximieren, im anderen Fall zu minimieren; die Restriktionen können Ungleichungen sein und die Variablen können sämtlich vorzeichenbeschränkt genauso gut wie frei sein. Um nun ein einheitliches Lösungsverfahren entwickeln zu können, ist es zweckmäßig, eine Standardform zu entwickeln, in die sich alle Lineare Optimierungsprobleme (LOPs) überführen lassen. Diese Idee führt zur Standardgleichungsform: max x 0 u.d.n. x 0 c T x + b 0 (3.1) Ax = b x 0 Dabei wird angenommen, dass A eine m n-matrix mit m < n und Rang(A) = m ist. Ein weiterer Vorteil dieser Darstellung, auf die letztlich das Simplexverfahren an- 9

11 KAPITEL 3. STANDARDMETHODEN UND -PROBLEME DES OR 10 gewandt wird, liegt neben der Standardisierung darin, dass die Zielfunktion x 0 algorithmisch wie eine Restriktion behandelt werden kann. Bei der Überführung in diese Standardform sind im wesentlichen zwei Punkte zu beachten: Zum einen werden Minimierungsprobleme durch einen Vorzeichenwechsel der Zielfunktion in ein Maximierungsproblem übergeführt; und zum anderen werden die Ungleichungen durch Einführung von sogenannten Schlupfvariablen in Gleichungen übergeführt. Die Hauptaufgabe der Linearen Optimierung besteht also darin, aus der Menge aller zulässigen Lösungen eine solche herauszusuchen, die bezüglich der Zielfunktion optimal ist. Zunächst stellt sich dabei das Problem, dass diese Menge in der Regel aus unendlich vielen Punkten des R besteht, sie kann sogar unbeschränkt sein. Man hat also aus einer unendlichen Menge von Punkten einen geeigneten auszuwählen. Die entscheidende Idee zur Lösung von LOPs ist nun, sich bei diesem Auswahlproblem von vornherein auf endlich viele Punkte, die sich geometrisch als Ecken der zulässigen Lösungsmenge interpretieren lassen, zu beschränken. Denn wenn ein LOP überhaupt eine optimale Lösung besitzt, dann wird das Optimum (mindestens) in einer Ecke der zulässigen Lösungsmenge angenommen. Man hat also zur Lösung eines LOPs nur die zulässigen Ecken (Basislösungen) zu überprüfen. Dabei kann man ausgehend von einer Ecke benachbarte Ecken generieren, um jeweils einen besseren Zielfunktionswert zu bekommen. Dies wird solange fortgesetzt, bis eine optimale Ecke erreicht ist, und genau darauf basiert der Simplex-Algorithmus. Gemäß der üblichen Notation sieht ein sog. Pivottableau zu 3.1 folgendermaßen aus: x 0 x 1 x m x m+1 x n x B y 0,m+1 y 0,n y y 1,m+1 y 1,n y y m,m+1 y m,n y m0 Dabei sind x m+1,...,x n die Schlupfvariablen, die man benötigt, um aus den Ungleichungen Gleichungen zu machen; y 00 ist der Zielfunktionswert, der b 0 entspricht; und die zugehörige Basislösung ist x = (x 1,...,x m,...,x n ) T = (y 10,...,y m0,0,...,0) T (3.2) Ist die Kriteriumszeile (Zielfunktionszeile) des Pivottableaus nichtnegativ, das heißt y 0,m+1,...,y 0,n 0, so ist das Tableau bzw. die zugehörige Basislösung optimal. Das gebräuchlichste Verfahren zur Lösung von LOPs ist die Simplexmethode. Sie baut auf dem Gauß-Jordanschen Eliminationsalgorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme auf.

12 KAPITEL 3. STANDARDMETHODEN UND -PROBLEME DES OR 11 Simplex - Algorithmus S1 Optimalitätsprüfung Ist y 0j < 0 für ein j(x j nicht frei) oder y 0j 0 für ein j(x j frei) dann gehe zu S2, sonst: STOP! Optimalität liegt vor. S2 Wähle einen Spaltenindex j 0 {1,...,n} mit y 0,j0 = min{y 0,j j {1,...,n}} < 0 Gehe zu S3. S3 Gibt es ein i 0 {1,...,m} mit y i0,j 0 > 0? Falls nein, so ist die Zielfunktion nach oben unbeschränkt. STOP. Andernfalls gehe zu S4. S4 Wähle einen Zeilenindex i 0 mit y i0,j 0 > 0 und y i0,0 y i0,j 0 = min{ y i,0 y i,j0 y i,j0 > 0}. Führe einen Pivotschritt mit y i0,j 0 durch. Gehe zu S Branch & Bound-Vefahren Im folgenden bezeichnet P(Z 0 ) das kombinatorische Optimierungsproblem min f(x) x Z 0, Z 0 endlich. (3.3) Die optimale Lösung dieses Problems sei x (Z 0 ) und der optimale Zielfunktionswert f(x (Z 0 )). Die Lösung dieses Problems ist grundsätzlich durch Zielfunktionswertberechnung aller Lösungen aus dem Zulässigkeitsbereich möglich. Durch den Vergleich dieser Werte kann die optimale Lösung ermittelt werden: 1. Berechne f(x) für alle x Z x ist dann optimale Lösung, wenn f(x ) f(x) für alle x Z 0 gilt. Diese vollständige Enumeration ist aber nur bei Problemen mit einer sehr kleinen Menge Z 0 zulässiger Lösungen einsetzbar. Wesentlich günstiger ist es, den Zulässigkeitsbereich in Teilmengen einzuteilen und für einige dieser Mengen nachzuweisen, dass sie die optimale Lösung nicht enthalten. Da bei dieser Vorgehensweise nicht jede Lösung explizit betrachtet wird, werden solche Verfahren auch implizite Enumeration genannt. Ein bekanntes implizites Enumerationsverfahren ist das Branch & Bound- Verfahren. Bei dieser Methode wird anstatt des zu lösenden Problems P(Z 0 ) ein relaxiertes Problem P(Z) mit einem größeren Zulässigkeitsbereich Z Z 0 untersucht. Dies ist deswegen sinnvoll, weil das Problem P(Z) bei günstiger Wahl von Z

13 KAPITEL 3. STANDARDMETHODEN UND -PROBLEME DES OR 12 erheblich leichter zu lösen ist. Liefert die Lösung des relaxierten Problems P(Z) eine optimale Lösung x (Z) Z 0, so ist bereits die optimale Lösung des ursprünglichen Problems P(Z 0 ) gefunden. In anderen Fall stellt f(x (Z)) eine untere Schranke des Zielfunktionswerts der gesuchten Lösung x (Z 0 ) wegen Z Z 0 dar. Die Hauptkomponenten des Branch & Bound-Verfahrens sind, wie der Name schon sagt, das Verzweigen eines Lösungsweges (Branching) und das Abschneiden eines Lösungspfades durch die Berechnung von Schranken (Bounding). Branching bedeutet die Generierung mehrerer Unterprobleme P(Z i ) aus einem Problem P(Z) durch die Aufspaltung des Zulässigkeitsbereichs Z in Untermengen Z i mit i Z i = Z. Löst man die Unterprobleme P(Z i ), so gilt wegen Z i Z: f (Z i ) f(z) i (3.4) Ist die optimale Lösung x (Z i ) eines Unterproblems P(Z i ) auch zulässig für das Problem P(Z 0 ), dann ist x (Z i ) auch optimale Lösung des Problems P(Z 0 Z i ). Wegen (Z 0 Z i ) Z 0 folgt f (Z 0 Z i ) f (Z 0 ); f (Z 0 Z i ) ist also eine obere Schranke für f (Z 0 ). Führt man die Verzweigung mit allen Problemen P(Z i ) weiter, so erhält man einen Baum von Problemen mit der Wurzel P(Z). Unter Bounding versteht man das Sperren eines Unterproblems P(Z i ) für eine weitere Verzweigung. Diese hat nämlich nur dann Sinn, wenn die optimale Lösung x (Z 0 ) in Z i enthalten sein kann. Bezeichnet man mit F die kleinste bisher gefundene obere Schranke, so können folgende Schlüsse gezogen werden: Gilt f (Z i ) F, so führt eine weitere Verzweigung von (3.4) zu keinem besseren Ergebnis; das Problem P(Z i ) wird nicht weiter berücksichtigt. Gilt f (Z i ) < F, so wird Z i weiter verzweigt. Das Verfahren bricht ab, wenn kein Problem mehr aufgespalten werden muss. Die Lösung mit dem Zielfunktionswert F ist optimale Lösung des Problems P(Z 0 ). Formalisiert sieht das Branch & Bound Verfahren zur Lösung des kombinatorischen Optimierungsproblems wiefolgt aus: Branch & Bound

14 KAPITEL 3. STANDARDMETHODEN UND -PROBLEME DES OR 13 (IT BB ) P(Z) sei relaxiertes Problem F := Q := P(Z) Solange Q Entnehme ein Element P aus Q Löse P Wenn f < F wenn x zulässig ist x := x F := f sonst Erzeuge Unterprobleme P i Q := Q P i Gehe zu (IT BB ) x ist eine optimale Lösung mit Zielfunktionswert F. 3.3 Traveling Salesman Problem Unter dem Begriff versteht man in der Literatur alles, was unter Wegstreckenplanung von Transportflotten oder Personen fällt. Briefträger, Handlungsreisende, Müllfahrzeuge oder Lieferwagen suchen nach günstigen Wegstrecken, um ihren Dienst zu leisten. Das spezielle Problem des Handlungsreisenden (engl.: Traveling Salesman Problem) besteht darin, von einem Standort aus, n 1 Kunden zu besuchen und dann zurückzukehren. Gesucht ist die zeit- oder kostengünstigste Tour. Eine exakte Definition in der Terminologie der Graphentheorie sieht wiefolgt aus: Definition Sei D = (V,E;d) ein bewerteter und gerichteter Graph mit der Knotenmenge V ( V = n), der Kantenmenge E = V V und der Bewertung d : E [0, ). 1. Man bezeichnet mit (ν 1,...,ν l ) eine Tour über die Orte ν 1,...,ν l, falls ν i V (1 i l n + 1) und ν i ν j für i j,1 i,j l 1 gilt. 2. Eine Tour (ν 1,...,ν l ) nennt man offen, wenn ν 1 ν l gilt. geschlossen, wenn ν 1 = ν l gilt. vollständig, falls jeder Ort von V in (ν 1,...,ν l ) enthalten ist. Teiltour, falls (ν 1,...,ν l ) nicht jeden Ort von V enthält. Rundreise, falls sie geschlossen und vollständig ist. 3. Die Länge einer Tour (ν 1,...,ν l ) ist definiert durch l 1 i=1 d(ν i,ν i+1 ).

15 KAPITEL 3. STANDARDMETHODEN UND -PROBLEME DES OR Das Problem der Bestimmung einer Rundreise minimaler Länge über V bezeichnet man als Traveling Saleman Problem. (TSP). Gilt d(ν i,ν j ) = d(ν j,ν i ) für alle 1 i,j n, so spricht man von einem symmetrischen TSP. 5. Gilt d(ν i,ν j ) + d(ν j,ν k ) d(ν i,ν k ) für alle 1 i,j,k n, so spricht man von einem geometrischen TSP. 3.4 Planung von Transporten und Güterströmen Zahlreiche Güter werden innerhalb eines Unternehmens, oder auch auf ihrem Weg vom Hersteller zum Verbraucher, in diversen Transportsystemen bewegt. Rohrleitungssysteme für Gase und Flüssigkeiten, Förderbandanlagen für Steine und Erden, Schienen- und Straßensysteme für alle Güterarten bis hin zum Stückgut sind Beispiele für solche Transportmittel. Sie zeichnen sich durch Orte und Wege aus: Orte, an denen Güter entstehen, ins System hineinfließen, umgeschlagen werden oder das System verlassen; Wege, über die der eigentliche Transport stattfindet. In den letzten Jahrzehnten ist eine große Zahl von Modellen entstanden, die die realen Gegebenheiten mathematisch widerspiegeln und helfen herauszufinden, wann, wo und wieviele Mengen zu transportieren sind. Transportsysteme werden in der Regel mittels Graphen dargestellt. Graphen bestehen aus Knoten (engl.: Vertex) und Kanten (engl.:edges) oder Pfeilen. Die Knoten bedeuten dann Orte und die Kanten Wegeverbindungen ohne oder mit Einbahnstraßencharakter. Die Menge der Orte V läßt sich in drei disjunkte Teilmengen V 1,V 2,V 3 zerlegen: V 1 bezeichne die Menge solcher Orte, an denen von außen das zu transportierende Gut ins System eingespeist wird; man spricht von Quellen. V 2 sind reine Umschlagorte mit ausgeglichener Flußbilanz: Input= Output V 3 bezeichne die Menge solcher Orte, an denen von außen das zu transportierende Gut aus dem System entnommen wird; man spricht von Senken. Weiterhin sei angenommen, dass in einem Quellort i V 1 maximal a i Gütereinheiten pro Zeiteinheit eingespeist werden können und aus einem Ort i V 3 mindestens b i Gütereinheiten entnommen werden sollen. x ij bezeichne den Fluß oder Güterstrom von i nach j; dieser Strom sei durch eine Wegekapazität κ ij [Gütereinheit/Zeiteinheit] beschränkt. Ferner verursache der Gütertransport von i nach j c ij > 0 Geldeinheiten Transportkosten pro Gütereinheit. Die Aufgabe, einen transportkostenminimalen Güterstrom im System zu finden, läßt sich als Lineare Optimierungsaufgabe formulieren: min x 0 = c ij x ij (3.5) i V unter den Nebenbedingungen j N(i) x ij l N(i) x li j N(i) a i i V 1 = 0 i V 2 b i i V 3

16 KAPITEL 3. STANDARDMETHODEN UND -PROBLEME DES OR 15 Dabei bezeichnet N(i) die Menge aller Nachbarknoten von i. (3.6) heißt in der Literatur Minimum-Fluss-Problem. Fallen die Upper Bounds x ij κ ij fort, so heißt die etwas einfachere Aufgabe Umladeproblem. In der Literatur werden zahlreiche Spezialfälle von 3.6 studiert. Die Spezialfälle entstehen durch Einschränkung der Modellparameter und tragen dann auch spezielle Namen. Betrachtet man das Minimum-Fluss-Problem zum Beispiel ohne Umladeorte und ohne Verbindungen der Quellen und Senken untereinander, dann entsteht das sog. kapazitierte Transportproblem, das ohne Upper Bounds x ij κ ij einfach Transportproblem genannt wird. Eine leichte Variante des Transportproblems ist das Zuordnungsproblem: minx 0 = c ij x ij (3.6) i V 1 j N(i) unter den Nebenbedingungen mit x ij = 0,1. j N(i) i N(j) x ij 1 i V 1 x ij 1 i V 3 (3.7)

17 Kapitel 4 Grundüberlegungen zu intelligenten Strategien Die Leistungsfähigkeit von modernen Computern erlaubt den Einsatz von neuen computerbasierten Ansätzen zur Imitation von intelligentem Verhalten. In der Literatur werden diese Systeme unter dem Begriff Computational Intelligence (CI) subsumiert. Diese Bezeichnung soll einerseits eine gewisse Verwandtschaft zum Forschungsgebiet Künstliche Intelligenz (KI) aufzeigen, andererseits auch auf Gegensätzliches hinweisen. CI soll hierbei betonen, dass diese Methodengruppe stark an der numerischen Mathmatik orientiert ist und nur mit Hilfe von Computersimulationen vorgenommen werden können. Im Gegensatz dazu unterscheiden sich Ansätze aus der KI wie Expertensysteme durch den Fokus auf die Wissensverwaltung. Der Übergang zwischen den beiden Forschungsbereichen kann jedoch durchaus fließend sein. Die Methoden der CI werden oft mit dem Attribut intelligent bezeichnet. Diese ist auf ganz bestimmte Charakteristika zurückzuführen, die diesen Ansätzen unterstellt werden: so sollen lernund anpassungsfähig, flexibel, entdeckend und erklärend sein. Längst nicht alle Ansätze der CI zeigen alle genannten Eigenschaften. Jede Technik hat ihre eigenen stärken und Schwächen und muss deshalb auf die Eignung für den Einsatz in einem bestimmten Anwendungsbereich untersucht werden. Bezüglich dieser Arbeit soll geprüft werden, inwieweit Genetische und Physikalische Algorithmen geeignet sind, verschiedene Arten von Portfolios zu optimieren. Bevor in Kapitel?? und?? auf diese intelligenten Strategien eingegangen wird, sollen vorerst noch einige allgemeine Begrifflichkeiten in 4.1 und 4.2 geklärt werden. Mit Tabu-Search in?? wird schließlich ein weiteres intelligentes Verfahren zur Lösung kompinatorischer Optimierungsprobleme kurz vorgestellt. 4.1 Komplexitätsbetrachtungen Ein wichtiger Begriff des OR ist die (Lösungs-)Komplexität von Optimierungsproblemen. Da diese Komplexität von den gewählten Verfahren zur Lösung der Problemstellungen abhängt, sollen zunächst die Begriffe Algorithmus und Problem definiert werden. 16

18 KAPITEL 4. GRUNDÜBERLEGUNGEN ZU INTELLIGENTEN STRATEGIEN 17 Ein Problem P besteht aus unendlich vielen (Problem-)Ausprägungen p P mit einer gemeinsamen Struktur. Allgemein wird die Menge aller Werte, die zu einem Problem eine konkrete Ausprägung definieren, auch Input genannt. Eine Methode, mit der jede Ausprägung des Problems gelöst werden kann, nennt man Algorithmus. Wünschenswert ist ein Algorithmus, der nicht nur jede Problemausprägung p P löst, sondern auch möglichst effizient arbeitet. Bei der Bewertung der Effizienz orientiert man sich an den Ressourcen, die ein Programm zur Durchführung des Algorithmus verbraucht. Unter einem Programm versteht man dabei ein konkretes Ablaufschema von Rechenschritten, wie es zur Implementierung auf einem Rechner benötigt wird. Die Rechenzeit eines solchen Programms spielt eine wichtige Rolle. Da sie von vielen Parametern abhängt und sich ihre exakte Bestimmung daher schwierig gestaltet, orientiert man sich vereinfachend an der Anzahl der durchzuführenden Rechenoperationen. Unter der wiederum vereinfachenden Annahme, dass arithmetische Operatoren, Vergleiche und Speicheroperationen jeweils eine Zeiteinheit benötigen, können diese elementaren Rechenschritte zusammengezählt werden. Nun ist es wenig sinnvoll, die Anzahl erforderlicher Rechenschritte nur für eine spezielle Fragestellung zu berechnen; vielmehr interessiert man sich für ein Maß des Rechenaufwands zur Lösung beliebiger Problemausprägungen. Dieses Maß kann natürlich stark variieren und hängt im wesentlichen von der Größe der Ausprägung ab. Stellt man den Input einer speziellen Ausprägung als eine Sequenz von Symbolen dar, so bestimmt die Länge dieser Sequenz die Inputgröße. Da dieser Wert von der Art der Kodierung abhängt, begnügt man sich mit einer Größenordnung einer Ausprägung p, die man mit p bezeichnen kann. So beträgt beim TSP die Inputgröße einer Ausprägung mit n Orten p = n. Bezeichnet r A (p) die Anzahl der erforderlichen Rechenoperationen, die ein Programm zur Durchführung des Algorithmus A mindestens benötigt, so sind die maximal notwendigen Operationen für eine Problemausprägung der Größe n gegeben durch: sup {r A (p);p P } (4.1) p =n Für komplexitätstheoretische Betrachtungen reicht es allerdings völlig aus, diesen Term nach oben abzuschätzen und größenordnungsmäßig anzugeben. Dabei sind zunächst einige mathematische Begriffe einzuführen. Definition 1 Es sei g(n) eine beliebige, nicht-negative Funktion über dem Definitionsbereich N. 1. Man nennt eine ebenfalls nicht-negative Funktion f(n) von der Ordnung g(n), wennn ein c R und ein n 0 N existiert, so dass gilt f(n) c g(n) n n 0 (4.2) 2. Die Menge aller Funktionen, die von der Ordnung g(n) sind, bezeichnet man mit O(g(n)). O wird Landau sche Funktion oder Komplexitätsfunktion genannt.

19 KAPITEL 4. GRUNDÜBERLEGUNGEN ZU INTELLIGENTEN STRATEGIEN Anstatt f(n) O(g(n)) schreibt man auch f(n) = O(g(n)). O wird auch Landau sche Funktion oder Komplexitätsfunktion genannt. Diese Definition bedeutet nichts anderes, als dass für hinreichend großes n die Funktion f(n) durch g(n) beschränkt ist. Eine Funktion f(n) ist also von der Ordnung g(n), wenn gilt: f(n) c R lim = c. (4.3) n g(n) Mit diesen Vereinbarungen läßt sich ein Maß der erforderlichen Rechenoperationen zur Lösung einer Problemausprägung der Inputgröße n definieren: Definition 2 1. Sei r A (p) die Anzahl der erforderlichen Rechenoperationen eines Algorithmus A zur Lösung der Ausprägung p P. Die Funktion R A (n) mit sup {r A (p); p P } O(R A (n)) n (4.4) p =n nennt man Komplexität des Algorithmus A. Für jedes n schätzt sie die Zahl maximal durchzuführender Rechenoperationen des Algorithmus A zur Lösung einer Ausprägung der der Inputlänge n nach oben ab. 2. Ist R A (n) durch ein Polyom beschränkt, so spricht man von einem polynomialen, andernfalls von einem nicht-polynomialen Algorithmus. 3. Es seien zwei Algorithmen A und B mit den Komplexitäten R A (n) bzw. R B (n) gegeben. Dann heißt A effizienter als B, falls gilt: R A (n) O(R B (n)) R B (n) / O(R A (n)) n (4.5) Etwas genauer nennt man R A (n) auch maximale Rechenzeit; die sog. worst-case- Analyse, die sich an diesem Zeitmaß orientiert, ist der Standardfall bei komplexitätstheoretischen Untersuchungen. Der Nachteil dieser Untersuchungsmethode liegt jedoch in der fehlenden Representativität in Bezug auf praktische Probleme. In letzter Zeit gewinnt daher die average-case-analyse zunehmend an Bedeutung. Um den durchschnittlichen Aufwand eines Problems ermitteln zu können, muss jedoch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über allen möglichen Problemausprägungen in der Realität bekannt sein. Begnügt man sich mit einer endlichen Menge exemplarischer Problemausprägungen, so muss wenigstens die Repräsentativität dieser Stichprobe garantiert sein. Die Ergebnisse zur Komplexitätsuntersuchung von Algorithmen lassen sich direkt auf Probleme übertragen. Die Komplexität des effizientesten bekannten Algorithmus

20 KAPITEL 4. GRUNDÜBERLEGUNGEN ZU INTELLIGENTEN STRATEGIEN 19 zu einem Problem definiert die Problemkomplexität im schwachen Sinne. Die dieser Definition zugrundeliegende Problematik ist leicht zu erkennen: Der Gültigkeit der Komplexitätsaussage hängt von der Menge aller bekannten Algorithmen zu einem speziellen Problem ab und hat deswegen temporären Charakter. Sie ist somit für den Praktiker von Interesse, in der Theorie stellt dieses Maß lediglich eine obere Schranke für die Komplexität eines Problems dar. Kann jedoch bewiesen werden, dass kein effizienteres Verfahren als die bereits bekannten Algorithmen existiert, so spricht man auch von der Problemkomplexität im strengen Sinne. Die Menge der mit polynomialem Zeitaufwand lösbaren Probleme nimmt eine Sonderstellung ein. Existiert ein polynomialer Algorithmus zur Lösung eines Problems, so nennt man das Problem poynomial beschränkt. Die Menge aller polynomial beschränkten Probleme nennt man P; ein Problem P / P heißt nicht-polynomial beschränkt. 4.2 Klassische Heuristiken Exakte Verfahren wie das Branch & Bound liefern in endlich vielen Schritten eine optimale Lösung. Das bedeutet jedoch nicht, dass ein praktisches Problem mit einem exakten Verfahren in akzeptabler Rechenzeit gelöst werden kann. Nach Kapitel 4.1 steigt der Rechenaufwand für nicht-polynomiale Probleme mit der Inputgröße stark an. Selbst bei der heutigen raschen Entwicklung der Hardwaretechnologie können realistische Aufgaben dieser Problemklasse nicht exakt gelöst werden. Algorithmen, die keine Garantie für die Optimalität der gefundenen Lösung bieten, nennt man Heuristiken. Mit Heuristik (heureka(griech.)=ich habe gefunden) bezeichnet man hier solche Verfahren, die zu einer Optimierungsaufgabe eine weitgehend gute Lösung in möglichst kurzer Zeit liefern Eröffnungsverfahren Ganz allgemein bestimmen Eröffnungsverfahren zu einem Optimierungsproblem P der Form min f(x) so dass x Z (4.6) mit der Zielfunktion f und dem Zulässigkeitsbereich Z eine zulässige Lösung oder Ausgangslösung. Da der Zulässigkeitsbereich oft nicht explizit, sondern durch Angabe von Restriktionen implizit gegeben ist, ist die Bestimmung eines beliebigen Elements von Z nicht trivial. Im folgenden sei unterstellt, dass das Minimum von f auf Z existiert und o.b.d.a positiv ist. Ein Beispiel für ein wenig vorausschauendes Eröffnungsverfahren aus der Tourenplanung ist die Methode Nächster Nachbar. Wie der Name schon sagt, fährt man stets den Nachbarort geringster Entfernung aus der Menge noch nicht besuchter Orte an. Anders arbeitet die sogenannte Vogel sche Approximationsmethode, die im Bereich der Transportoptimierung angewendet wird. Die Grundidee liegt darin, zunächst Transportmengen mit geringen Einheitskosten zu bewegen, zusätzlich jedoch

21 KAPITEL 4. GRUNDÜBERLEGUNGEN ZU INTELLIGENTEN STRATEGIEN 20 darauf zu achten, dass alternative Transporte vom gleichen Anbieter oder zum gleichen Nachfrager erheblich teuerer wären. Während also das Verfahren Nächster-Nachbar weitgehend unabhängig von der Zielfunktion eine zulässige Lösung ermittelt, fließt bei der Vogel schen Approximationsmethode die Zielfunktion stärker in die Ermittlung der Ausgangslösung mit ein. Dieser qualitativ erkennbare Unterschied wird durch die sogenannte Performance einer Heuristik quantifiziert, bei deren Ermittlung die von der Heuristik gefundene Lösung zu der optimalen in Bezug gesetzt wird. Ausgehend von einem Optimierungsproblem P mit der zu minimierenden Zielfunktion f, ist für eine Heuristik H die Performance Per H (n) einer Problemausprägung der Größe n die kleinste Zahl, für die gilt: Per H (n) f(x H(p)) f(x, p P mit p = n (4.7) (p)) wobei x H (p) die von H ermittelte Lösung und x (p) die optimale Lösung einer Ausprägung p von P ist. Die Performance der Heuristik H für das Problem P ist dann definiert durch Per H = lim Per H(n) (4.8) n Verbesserungsverfahren In vielen Fällen bereitet die Entwicklung eines guten Eröffnungsverfahrens zu einem gegebenem Problem im Hinblick auf Performance und Rechenkomplexität Schwierigkeiten. Einen Ausweg bieten die sogenannten Verbesserungsverfahren, die eine mit einem Eröffnungsverfahren ermittelte Ausgangslösung schrittweise verbessern. Ist eine Ausgangslösung x Z bekannt, so wird mit einem Operator A(x) eine Folge zulässiger Lösungen erzeugt, deren Zielfunktionswert sich in jeder Iteration verringert. Ist dies nicht mehr möglich, so bricht das Verfahren ab. Die Folge der ermittelten Lösungen hängt ausschließlich vom Operator A(x) ab. Der Operator sollte möglichst eine bessere Lösung als x generieren; läßt sich dies nicht realisieren, so liegt eine ausgezeichnete Lösung auf dem Zulässigkeitsbereich vor. Man spricht von einem lokalen Optimum. Die Definition eines lokalen Optimums eines Funktion R n R ist eng mit dem Umgebungsbegriff verbunden, der eine Metrik (Abstandsmaß) auf dem zugrundeliegenden Zahlenraum voraussetzt. Es ist üblich, den Schritt von x nach x = A(x) als Modifikation (engl.:move) x = x m zu schreiben. Die Menge aller von einer Lösung x aus durchführbaren Modifikationen sind eingeschränkt; von x aus ist dann nicht jede beliebige Lösung x erreichbar. Man bezeichnet die durchführbaren Modifikationen mit M x. Grundsätzlich kann diese Menge für eine Problemstellung beliebig gewählt werden, jedoch sollte x = x m für kein m M x unzulässig sein. Sind für alle x Z die Mengen M x gegeben, so kann ein Umgebungsbegriff auf der Menge Z definiert werden, der mit Nachbarschaft bezeichnet wird. Gegeben sei dabei ein Problem P mit dem Zulässigkeitsbereich Z:

22 KAPITEL 4. GRUNDÜBERLEGUNGEN ZU INTELLIGENTEN STRATEGIEN 21 Sei M x die Menge der auf x in Z durchführbaren Modifikationen, dann ist die Nachbarschaft von x folgendermaßen definiert: N M (x) := x Z m M x : x = x m (4.9) Die Gesamtheit aller Nachbarschaften N M (x), x Z wird Nachbarschaftsstruktur N genannt. Gilt x N(x) x N(x ), so spricht man von einer symmetrischen Nachbarschaftsstruktur. Seien x,y Z. Die Folge von Lösungen x 1,...,x k heißt (Lösungs-)Pfad von x nach y, wenn gilt: x 1 N(x),y N(x k ) und x i+1 N(x i ) i = 1,...,k 1 (4.10) Eine Nachbarschaftsstruktur N heißt zusammenhängend, falls für alle x,y Z ein Pfad von x nach y existiert. Liefert der Operator A stets zulässige Lösungen, so generiert er ausgehend von einer Ausgangslösung x 0 einen Lösungspfad. Dabei sollte der Operator möglichst das beste x aus N(x) finden, also: f(x ) = min f(y) (4.11) y N(x) Je nach Wahl der Nachbarschaftsstruktur kann N(x) jedoch so groß werden, dass dieses Unterproblem seinerseits sehr rechen- und speicherintesiv ist. In solchen Fällen kann ersatzweise das x mit minimalen Zielfunktionswert aus einer Teilmenge N(x) N(x) ermittelt werden. Grundsätzlich ist für N(x) 2 das folgende untergeordnete Optimierungsproblem zu lösen: min f(y) y N(x) N(x) (4.12) Damit läßt sich nun der Operator A(x) seinerseits als Algorithmus formulieren: Erzeuge eine Teilmenge N(x) der Nachbarschaftslösungen N(x) und finde ein x gemäß Gleichung Bezüglich einer Zielfunktion f heißt x 0 lokales Minimum (mit Zulässigkeitsbereich Z und Nachbarschaftsstruktur N), wenn gilt: f(x 0 ) (x) x N(x 0 ) (4.13) Mit umgekehrten Vorzeichen wäre x 0 ein lokales Maximum. In beiden Fällen spricht man von einem lokalen Optimum. Die Lage eines lokalen Optimums ist dabei nicht nur durch die Zielfunktion und den Zulässigkeitsbereich bestimmt wie in der Analysis; der gewählte Nachbarschaftsbegriff spielt dabei eine ebenso große Rolle.

23 KAPITEL 4. GRUNDÜBERLEGUNGEN ZU INTELLIGENTEN STRATEGIEN Kritische Beurteilung Klassische Heuristiken sind eine mögliche Alternative zur Lösung nicht-polynomialer Probleme. Da sich die Berücksichtigung von Restriktion in Eröffnungsverfahren oft schwierig gestaltet, haben sich in der Praxis vor allem Verbesserungsverfahren durchgesetzt, deren Entwicklung die Definition einer sinnvollen Nachbarschaftsstruktur erfordert; diese ist dann entscheidend für die Performance. Eine geeignete und auch noch implementierbare Nachbarschaftsstruktur zu finden, die nahoptimale oder sogar optimale Lösungen garantiert, ist für praktische Problemstellungen fast unmöglich, da durch die Zielfunktion der konkreten Problemausprägung nicht nur die Nachbarschaftsstruktur, sondern auch der Lösungspfad bestimmt wird. Um zu verhindern, dass die Folge zulässiger Lösungen nur gegen ein lokales Optimum strebt, müssen bei der Lösungsfolge auch Verschlechterungen zugelassen werden. 4.3 Tabu Search Tabu Search ist ein Verfahren zur Lösung kombinatorischer Optimierungsprobleme und zählt wie die Verbesserungsverfahren zu den Nachbarschafts-Suchverfahren. Diese Klasse von Verfahren weist einige positive Eigenschaften auf, die an dieser Stelle erläutert werden sollen. Ein Nachbarschafts-Suchverfahren setzt zur Lösung des Optimierungsproblems nach Gleichung (4.6) eine Ausgangslösung x 0 sowie das Vorliegen einer Nachbarschaftsstruktur über dem Zulässigkeitsbereich Z voraus. Es wird eine Folgelösung aus der Nachbarschaft von x 0 ausgewählt, die im nächsten Schritt als Ausgangslösung dient. Diese Iteration wird solange fortgeführt, bis das Verfahren abbricht. Das Ergebnis ist die beste bis dahin gefundene Lösung. Als Vorteile der Nachbarschafts-Verfahren sind die einfache Ermittlung aller Nachbarlösungen sowie die schnelle Berechenbarkeit deren Zielfunktionswerte zu nennen. Denn bei geeigneter Nachbarschaftsstruktur weisen benachbarte Lösungen Gemeinsamkeiten auf, die bei der Berechnung des Zielfunktionswertes berücksichtigt werden können. Im Pseudocode stellt sich das Nachbarschafts-Suchverfahren für eine zusammenhängende Nachbarschaftsstruktur N zur Lösung eines Problems wie folgt dar: Nachbarschafts-Suchverfahren 1. Beginne mit einer Startlösung x 0 Z x := x 0 bisher beste gefundene Lösung f := f(x ) bisher bester Zielfunktionswert k := 0 Zähler Iterationen k := 0 Zähler Iterationen seit letzter Zielverbesserung Die Zähler k und k werden bei den Abbruchbedingungen benötigt. 2. Wähle x k+1 N(x k ).

24 KAPITEL 4. GRUNDÜBERLEGUNGEN ZU INTELLIGENTEN STRATEGIEN 23 Falls f(x k+1 ) < f, dann setze x := x k+1, f := f(x k+1 ), k := 0. Setze in jedem Fall k := k + 1 und k := k Falls kein Abbruch, so gehe zu 2. Mögliche Abbruchbedingungen sind das Erreichen einer maximalen Anzahl k max von Iterationen insgesamt.... einer maximalen Anzahl k max von Iterationen ohne Zielverbesserung.... einer unteren Schranke f min des Zielfunktionswertes. Eine Variante dieses Verfahrens ist das Verbesserungsverfahren. Im Iterationsschritt wird genau das x k+1 gewählt, das den geringsten Zielfunktionswert unter den Lösungen der Nachbarschaft N(x k ) aufweist. Gilt f(x k+1 ) f(x k ), so bricht dieses Verfahren ab. Dieser Algorithmus liefert jedoch nur ein lokales Optimium. Eine andere Variante ist ein Monte-Carlo-Nachbarschaftsverfahren. Im Iterationsschritt wird zunächst zufällig ein x k+1 N(x k ) ausgewählt und diese Lösung angenommen, wenn f(x k+1 ) < f(x k ) gilt. Im anderen Fall wird die neue Lösung mit einer Wahrscheinlichkeit zugelassen, die umso kleiner ist, je mehr sich der Zielfunktionswert verschlechtert hat. Im Unterschied zur Monte-Carlo-Methode läßt sich Tabu-Search bis auf die Variante Probabilistisches Tabu-Search als ein deterministisches Verfahren formulieren. Es wurde 1986 von GLOVER und von HANSEN unabhängig voneinander entwickelt und in den letzten Jahren mit Erfolg auf viele Standardprobleme des OR angewendet. Die entscheidende Idee von Tabu-Search besteht darin, in jeder Iteration die beste Nachbarlösung aufzusuchen und sie auch dann zu akzeptieren, wenn sie schlechter als die augenblickliche ist. Dadurch wird auf sehr einfache Art eine Konvergenz in ein lokales Optimum vermieden. Da in jedem Schritt die Nachbarlösung mit dem besten Zielfunktionswert ausgewählt wird, verhält sich Tabu-Search zunächst wie das Verbesserungsverfahren. Es erzeugt eine Folge von Lösungen, die gegen ein lokales Optimum konvergiert, sucht dann aber weiterhin Lösungen auf, bis eines der oben genannten Abbruchkriterien erfüllt ist. Weil in jeder Iteration eine aufgesuchte Nachbarlösung nicht besser als die aktuelle sein muss, kann ein Lösung auch mehrfach aufgesucht werden. Da diese Entscheidung deterministisch getroffen wird, können Zyklen von Lösungen entstehen, die das Auffinden eines globalen Optimums verhindern. Die Vermeidung von Zyklen ist kein triviales Problem. Formal wird deren Auftreten durch eine Einschränkung der Nachbarschaft N(x k ) einer Lösung x k auf eine Teilmenge N (x k ) weitgehend vermieden. Ähnlich wie beim Verbesserungsverfahren wird dann diejenige Folgelösung x k+1 N (x k ) gewählt, die den besten Zielfunktionswert aufweist. Das grundsätzliche Verfahren von Tabu- Search läßt sich wie folgt beschreiben:

25 KAPITEL 4. GRUNDÜBERLEGUNGEN ZU INTELLIGENTEN STRATEGIEN 24 Tabu-Search 1. Beginne mit einer Startlösung x 0 Z x := x 0 f := f(x ) k := 0 k := 0 bisher beste gefundene Lösung bisher bester Zielfunktionswert Zähler Iterationen Zähler Iterationen seit letzter Zielverbesserung Die Zähler k und k werden bei den Abbruchbedingungen benötigt. 2. Ermittle die Nachbarschaft N(x k ) und N (x k ) N(x k ) Falls N (x k ) =, dann STOP Wähle eine Nachfolgelösung x k+1 N (x k ). 3. Falls f(x k+1 ) < f, dann setze x := x k+1, f := f(x k+1 ), k := 0. Setze in jedem Fall k := k + 1 und k := k Falls kein Abbruchkriterium in Abhängigkeit von k, k und f erfüllt ist, so gehe zu 2., sonst STOP. Die beste gefundene Lösung ist x mit dem Zielfunktionswert f := f(x ). Dieser Pseudocode zeigt Tabu-Search als modifiziertes Nachbarschafts-Suchverfahren. Die Ziele, einerseits möglichst schnell zum Optimum zu gelangen und andererseits Zyklen während der Suche zu vermeiden, können durch mehrere Strategien erreicht werden, die im oben angegebenen Pseudocode ihren Niederschlag in der eingeschränkten Nachbarschaftsmenge finden. Die Vermeidung beliebiger Zyklen während der Suche ist praktisch nicht möglich, denn zur Erkennung von Zyklen der Länge n müßten die letzten n Lösungen gespeichert werden. Gilt für eine Folge von Lösungen ab einem bestimmten n x i = x i+n i > n, so liegt ein Zyklus der Länge n vor. Die Identifizierung längerer Zyklen als n kann ohnehin nicht, aber auch kürzere Zyklen können nur mit vielen Zusatzprüfungen in der abgespeicherten Liste erkannt werden. Da dieses Vorgehen zu rechenaufwendig ist, überprüft man lediglich hinreichende Bedingungen für deren Vorliegen. Hinreichend aber nicht notwendig für die Vermeidung von Zyklen während der Suche ist das Verbieten bereits untersuchter Lösungen. So können zu diesem Zweck in eine sogenannte Tabu-Liste T abgelegt werden. Lösungen der Tabu-Liste nennt man tabu; sie dürfen im Verlauf des Suchprozesses nicht mehr aufgesucht werden. Wird die Nachbarschaft jeder Lösung auf solche eingeschränkt, die nicht tabu sind, so werden ständig neue Lösungen aufgesucht und dadurch Zyklen vermieden. Die Nachfolgelösung wird also aus der Menge N (x) = N(x) T gewählt. Nur hinreichend und nicht notwendig ist diese Vorgehensweise deshalb, weil Suchpfade denkbar sind, die eine Lösung mehrfach enthalten aber keinen Zyklus darstellen.

26 KAPITEL 4. GRUNDÜBERLEGUNGEN ZU INTELLIGENTEN STRATEGIEN 25 Abbildung 4.1: Zykelfreier Lösungspfad, bei dem eine Lösung zweimal durchlaufen wird Bei praktischen Anwendungen mit einem Zulässigkeitsraum von mehreren tausend Lösungen kann die Tabu-Liste jedoch sehr groß werden. Abgesehen von einem immensen Speicheraufwand müßte in jeder Iteration die gesamte Liste durchsucht werden, um den Tabu-Status einer Lösung festzustellen. Eine Reduzierung des Speicher- und Rechenaufwands ließe sich durch eine Tabu-Liste mit begrenzter Länge T = k erreichen. T wird dabei als sogenannte Schlange organisiert, d.h. in jedem Schritt wird die älteste Tabu-Lösung entfernt und die neu angenommene Lösung hinzugefügt. Diese ist dann für die nächsten k Iterationen tabu. Aber auch diese Verfahrensweise hat ihre Nachteile. Zum Beispiel besteht beim TSP über n Orte jede Lösung aus einer vollständigen Rundreise. Bei n = 1000 müßten alle Tabu-Lösungen mit jeweils 1000 Orten mit der zu untersuchenden Lösung verglichen werden. Bei großen Problemen ist daher selbst bei begrenzter Tabu-Liste zum einen der Speicheraufwand sehr groß und zum anderen die Überprüfung des Tabu-Status sehr aufwendig. Offensichtlich ist die Abspeicherung der bereits aufgesuchten Lösungen nicht der geeignete Weg, Zyklen während des Suchprozesses zu vermeiden. Stattdessen werden die Lösungen des Zulässigkeitsraumes durch Attribute charakterisiert; über diese wird der Tabu-Status einer Lösung verändert.

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