Fachhochschule Köln. Fakultät für Informations-, Medien und Elektrotechnik

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1 Fachhochschule Köln Fakultät für Informations-, Medien und Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing J. O. Krah Übungen zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung und Regelungstechnik WS 25/26 Aufgabe 1 Ein digitaler Regler besteht im Wesentlichen aus einem gemultipleten 16-Bit Analog Digital Umsetzer, einem 12-Bit Digital Analog Umsetzer und einem 32-Bit Mikrocontroller. Ein- und Ausgangssignale sind über Operationsverstärker an den Spannungsbereich ±1V angepasst. Wie hoch sind die Quantisierungsfehler (in Volt, ADU bzw. DAU seien ideal) von Regelgröße, Führungsgröße w (analog) und Stellgröße y? Bei welchem K P eines Proportionalreglers sind die Quantisierungsfehler der Regelgröße des Stellgrößensignals genauso groß wie die des Digital Analog Wandlers der Stellgröße? Aufgabe 2 Die Helligkeit einer Anzeige soll dem Umgebungslicht angepasst werden. Hierzu soll die Beleuchtung mit ca. 1 Hz pulsweitenmoduliert werden. Es sollen ca. 15 Helligkeitsstufen anwählbar sein. Welche Datenbreite des PWM-DA-Wandlers ist hierzu erforderlich? Mit welcher Frequenz sollte der Zähler des DA-Wandlers getaktet werden? Ist es hier sinnvoll, statt des PWM-DA-Wandlers einen Sigma-Dela Wandler einzusetzen? Zeichnen Sie den Verlauf der Ausgangsspannung für den Fall, dass die Helligkeit auf 75% eingestellt wird. Seite 1 von 17

2 Aufgabe 3 Ein Sigma-Delta Digital-Analog-Wandler sei 8 Bit breit. Die Ausgangsspannung kann zwischen V und 5 V eingestellt werden. Die Taktrate betrage 1 MHz und der Ausgangfilter RC-Tiefpass 1. Ordnung habe die Zeitkonstante τ = 1 ms. Berechnen Sie 6 Taktzyklen des Verlaufs der Ausgangsspannung vor dem Filter für den Wert 17. Wie hoch ist die Spannung u am Ausgang des Tiefpassfilters? Wie ist der Spannungsripple u ss (Spitze Spitze) am Ausgang des Tiefpassfilters? Vergleichen die den Spannungsripple mit dem eines PWM-DA-Wandlers bei der gleichen Aussteuerung. Aufgabe 4 Ein Analog-Digital-Wandler soll mit einem Sigma-Delta-Modulator zweiter Ordnung aufgebaut werden. Der Modulator wird mit f s = 1 MHz getaktet. Die notwendige Auflösung beträgt 1 Bit. Welchem Rauschabstand (SNR in db) entsprechen 1 Bit? Welcher Oversampling-Faktor K wird bei Verwendung eines idealen Tiefpasses mindestens benötigt? Welche Oversampling-Faktoren K i benötigt man bei Verwendung eines a) sinc Filters b) sinc² Filters c) sinc³ Filters Welche Filter-Einschwingzeiten (Settling Time) ergeben sich bei den drei Filter / Oversampling-Faktor Kombinationen? Seite 2 von 17

3 Aufgabe 5 Ein PD-Regler soll durch einen rekursiven Algorithmus für quasikontinuierliche Abtastregelung nachgebildet werden. Die Parameter des PD-Reglers sind: K P = 5; T V = 1s Geben Sie den Regleralgorithmus für die Abtastzeiten T a =,2s und T a = 1s an. Berechnen Sie jeweils die Reglerausgangsfolge {u k } für die Reglereingangsfolge: 1; für k e k = { ; für k< und u k = für k < Für den Fall der Abtastzeit T a =,2s werde die Reglereingangsfolge durch eine Störfolge {z k } = { ; ;,1;,1; -,1; -,1; ; ; ;...} k = ; 1; 2; überlagert. Berechnen und zeichnen Sie die Ausgangsfolge {u k } des Reglers. Aufgabe 6 Gegeben sei die Differenzengleichung eines Übertragungsgliedes durch: k = α k-1 + β u k-1 mit α =,368; β =,632; k = für k < Berechnen und zeichnen Sie die Ausgangsfolge { k } für eine Eingangsfolge: 1 ; fürk u k = { ; fürk< und k = für k < Seite 3 von 17

4 Aufgabe 7 Gegeben sei eine Strecke, die durch die Hintereinanderschaltung zweier PT 1 -Glieder beschrieben werden kann. K S = 1 ; τ 1 = 2s ; τ 2 = 1s ; Dem Prozess wird in Abständen von,2 s ein Messwert für die Regelgröße entnommen und bis zur Entnahme des nächsten Messwertes gespeichert. Als Rechner wird ein PC eingesetzt. Geben Sie den PI-Regelalgorithmus an, der benötigt wird, wenn der Kreis nach dem Kriterium der gestuften Dämpfung für einen scharfen Entwurf dimensioniert werden soll. Es kann quasikontinuierliche Regelung vorausgesetzt werden. Berechnen und zeichnen Sie die Reglerausgangsfolge {u k } für die Eingangsfolge: 1; für k e k = u ; für k < k = für k < w Abtast. Speicher w τ K S Abtast. Speicher _ + Algo. u τ 1 τ 2 K S = 1; τ 1 = 2s; τ 2 = 1s; T a =,2s Seite 4 von 17

5 Aufgabe 8 Skizzieren Sie (in einem Bode-Diagramm) den Amplitudengang und den Phasengang eines Sample & Hold mit T a = 1 µs. Der S&H soll für Frequenzen, die viel kleiner als f a sind, durch ein PT 1 -Glied angenähert werden: 1 GS &H 1 + s τ Wie groß ist τ zu wählen? Aufgabe 9 Gegeben seien Signalübertrager mit den folgenden Übertragungsfunktionen: G G G K s I 1 () s = ; K I = 1s () s () s KS = 1+ s τ = s K I ( 1+ s τ ) ; K S = 1; τ = {,5s; 1s; 2s } ; K I = 1s -1 ; τ = {,5s; 1s } G 4 () s 1 e = s τ s Ta ; τ = 1s; T a = {,5s; 1s } mit K = 1V; τ = 1s Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der Impulsantworten der einzelnen Signalübertrager. Die Erregung durch einen Impuls wird dargestellt durch: 1 (t) = K τ δ(t) ; mit δ () t dt=1 Aufgabe 1 Gegeben sei die Differenzengleichung des PID-Algorithmus: u k = u k-1 + b e k + b 1 e k-1 + b 2 e k-2 mit u k = und e k = für k < Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion unter Anwendung der Verschiebungsregel nach rechts. + Seite 5 von 17

6 Aufgabe 11 Gegeben sei der PI-Stellalgorithmus: u k k Ta = KP ek + e Tn i= 1 i Berechnen Sie mit Hilfe der Summationsregel die z-transformierte G R (z) des Regelalgorithmus. Aufgabe 12 Entwerfen Sie für das analoge Filter mit der Übertragungsfunktion 1 G = ; τ 1 = 1s; τ 2 = 2s () s ( 1+ s τ ) ( + s τ ) mit Hilfe der bilinearen Transformation die zeitdiskrete Version. Die Abtastzeit betrage T a = 1s. Vergleichen Sie die Filterkoeffizienten mit den Parametern der PT 2 -Strecke aus Aufgabe 15. Aufgabe 13 Ein digitaler PI-Regler soll im quasikontinuierlichen Modus betrieben werden: K P = 3 ; T n = 2 s Berechnen Sie die Koeffizienten von G R (z) für T a =,1 s und T a =,1 s. Welche der beiden Abtastzeiten erlaubt höhere Kreisverstärkungen? Begründen Sie Ihre Antwort. Berechnen Sie die Sprungantwort des Reglers y k (T a =,1 s ; für k =... 1) mit 1 für k e k =. sonst Seite 6 von 17

7 Aufgabe 14 Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion eines Tiefpass-Filters zweiter Ordnung: Grenzfrequenz = 5 Hz, Dämpfungsgrad,5 und einer Abtastzeit von 1 ms. Aufgabe 15 Entwerfen Sie für das analoge Tiefpassfilter mit der Übertragungsfunktion G () s 1 = 1+ s τ ; τ =,1s unter Verwendung der bilinearen Transformation die zeitdiskrete Version für eine Abtastzeit T a =,2 s. I) Wie groß ist die 3dB-Grenzfrequenz des zeitdiskreten Filters, wenn keine Vorverzerrung (prewarping) der Grenzfrequenz vorgenommen wird? II) Wie ist die 3dB-Grenzfrequenz des analogen Filters vorzuverzerren, damit die Grenzfrequenz des zeitdiskreten Filters mit der ursprünglichen Grenzfrequenz des Analogfilters übereinstimmt? III) Zeichnen Sie die Amplitudengänge des Analogfilters und des Digitalfilters (mit und ohne Vorverzerrung) im doppelt-logarithmischen Maßstab. Aufgabe 16 Gegeben ist die z-übertragungsfunktion eines nicht rekursiven Filters: G(z) = b + b 1 z -1 + b 2 z -2 b =,25 ; b 1 =,5 ; b 2 =,25 ; Berechnen Sie Amplitudengang und Phasengang des Filters. Seite 7 von 17

8 Aufgabe 17 Berechnen Sie die Koeffizienten eines rekursiven digitalen Tiefpass-Filters 2. Ordnung: f g = 1 Hz ϑ =,77 T a = 1 ms a) Floating Point b) Fied Point mit 16-Bit Koeffizienten (short), einem schnellen 16 * 16-Bit = 32-Bit Multiplizierer und einem 32-Bit breiten Addierer (long). Aufgabe 18 Die folgende z-übertragungsfunktion soll mit Integer Arithmetik (Fied Point) realisiert werden. b1 z G ( z) = ; mit b 1 =,2 und a 1 =,8 1 + a1 z Skizzieren Sie das Wirkschaltbild mit den notwendigen Koeffizienten für einen 16/32-Bit Mikrocontroller. (32-Bit Addition / Subtraktion bzw. 16-Bit * 16-Bit = 32-Bit Multiplikation) Für die Koeffizienten soll das Q14-Format benutzt werden. Kennzeichen Sie farblich 16-Bit bzw. 32-Bit breite Datenpfade. Seite 8 von 17

9 Aufgabe 19 Gegeben sei die Stoßantwort eines zeitdiskreten Systems durch: g ( k ) ( ) ( 1 e ) e k = ; ; für k 1 für k Berechnen und zeichnen Sie die Antwort auf die folgenden Eingangsfolgen. I) II) III) u k u k 1; = ; 1; = ; für k für k< für k 3 für k< k 4 1; für k= u k = ; für k Wenden Sie den Faltungssatz für zeitdiskrete Systeme an: = k k i= u g i k i Seite 9 von 17

10 Aufgabe 2 Gegeben sei die Hintereinanderschaltung eines Abtasthaltegliedes -ter Ordnung und eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung. u T a 1 - s -st a K s 1 + s τ I Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion HG(z) der Anordnung. Bestimmen Sie unter Anwendung des Anfangs- und Endwertsatzes der z-transformation = lim bzw. k k lim = k k für eine sprungförmige Eingangsgröße u k = {1, 1, 1, 1,...} II Berechnen Sie die Sprungantwort. Aufgabe 21 Gegeben ist die Störübertragungsfunktion eines Regelkreises durch: G Z X ( z) Z( z) 1 z 1 z + a z ( z) = = 2 Bestimmen Sie unter Anwendung des Anfangs- und des Endwertsatzes die Werte und der Folge { k } für eine sprungförmige Störgröße: {z k } = {1, 1, 1, 1,...} Berechnen Sie für die vorgegebene Störgrößenfolge {z k } den Verlauf der Regelgrößenfolge { k } über dem Intervall [;1]. (Anm.: k = für k < ) Seite 1 von 17

11 Aufgabe 22 Berechnen Sie die Originalfolge {f k } der z-transformierten: z F( z) = mit a =,9 z a indem Sie den Quotienten in eine Mac-Laurin-Reihe entwickeln: Aufgabe 23 F ( z) = f 2 + f1 z + f2 z + Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion mit Halteglied HG(z) für folgende kontinuierliche Strecke: PT 1 mit Totzeit: T 1 = 2 s ; T t = 1 s ; K S =,5 ; T a =,5 s stt KS e G() s = 1 + s T Aufgabe 24 1 Gegeben ist die Laplace-Übertragungsfunktion eines PD-Reglers: Gs () = K(1 + T s ) P v... Bestimmen Sie grafisch Betrag und Winkel der Übertragungsfunktion in einer Ortskurve mit K P = 1 und T v = 1 s. Gegeben ist jetzt die Zeitdiskrete-Übertragungsfunktion im Z-Bereich: Gz ( ) = b+ b z 1 Bestimmen Sie grafisch Betrag und Winkel der Übertragungsfunktion in einer Ortskurve mit mit b = 2, und b 1 = -1,6 Seite 11 von 17

12 Aufgabe 25 Gegeben sei ein Abtastregelkreis nach Abb. 11. w e T 1 - e-st s _ Algorith. Ks. e -st t z _ Die Regelstrecke sei eine reine Totzeitstrecke mit K S = 1 und T t = 1s. Die Abtastzeit werde zu T a = 1s gewählt. Zur Regelung soll ein I- bzw. ein PI-Algorithmus eingesetzt werden. Der Regelkreis soll für Störverhalten dimensioniert werden. Für kontinuierliche Regelung werden folgende Empfehlungen gegeben: Kriterium der gestuften Dämpfung I-Regelung:,6 KI = T K t S,5 KI = K T S t PI-Regelung:,3 K P = K S,375 K P = K S =, TT Tn =, 5 TT Tn 35 I) Dimensionieren Sie den Kreis nach den Empfehlungen für I-Regelung. 1) Geben Sie den I-Algorithmus und die z-übertragungsfunktion des Reglers an. 2) Geben Sie die z-übertragungsfunktion des Regelkreises für Störverhalten und die dazugehörige Differenzengleichung an. 3) Berechnen und zeichnen Sie die Übergangsfunktion des Abtastregelkreises für Störverhalten. II) Dimensionieren Sie den Regelkreis nach den Empfehlungen für PI-Regelung. 1) Geben Sie den PI-Algorithmus und die z-übertragungsfunktion des Reglers an. 2) Geben Sie die z-übertragungsfunktion des Regelkreises für Störverhalten und die dazugehörige Differenzengleichung an. 3) Berechnen und zeichnen Sie die Übergangsfunktion des Abtastregelkreises für Störverhalten. Seite 12 von 17

13 Aufgabe 26 Der in der Abb. gegebene Abtastregelkreis soll mit Hilfe der Einstellregeln für das Betragsoptimum dimensioniert werden. w _ e T 1 - e s -st Algorith. K S1 1 + s. τ S1 K S2 1 + s.τ S2 K S1 =,5; K S2 = 2; τ S1 = 2s; τ S2 = 1s Bestimmen Sie die Reglerkennwerte für kontinuierliche PI-Regelung und berechnen Sie hieraus den Regleralgorithmus, wenn die Abtastzeit T a =,2s bzw. T a = 1,s gewählt wird. Berechnen und zeichnen Sie die Führungsübertragungsfunktionen für beide Abtastzeiten und vergleichen Sie die Ergebnisse mit denen für kontinuierliche Regelung. Aufgabe 27 Gegeben ist ein Regelkreis nach folgender Abb.: w _ T 1 - e s -st Algorith. K s. e -st t K S = 1; T t = 1s; T a = 1s I) Kompensationsregler 1) Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion des Kompensationsreglers, wenn die Führungsübertragungsfunktion des Regelkreises mit G W ( z) = z vorgegeben ist. 2) Berechnen und zeichnen Sie die Übergangsfunktion von Regel- und Stellgröße des Regelkreises für die Dimensionierung nach Aufgabenteil 1) II) Deadbeat-Regler 1) Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion für einen Deadbeat-Regler ohne Stellgrößenvorgabe. 2) Berechnen und zeichnen Sie die Übergangsfunktion von Regel- und Stellgröße des Regelkreises für die Dimensionierung nach Aufgabenteil 1) III) Berechnen und zeichnen Sie die Übergangsfunktion des Kompensationsreglers und des Deadbeat-Reglers. Seite 13 von 17

14 Aufgabe 28 Folgende Übertragungsfunktion einer Regelstrecke mit Halteglied ist gegeben: ( 1 α ) z HG( z) = 1 α z Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion G R (z) eines Reglers bei dem die z- Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises G W (z) = z -1 wird. Aufgabe 29 Gegeben ist ein Abtastregelkreis nach folgender Abbildung: w e _ T G (z) R HG (z) mit HG und den Koeffizienten b z + b z ( z) = 2 1+ a1 z + a2 z a 1 = -,9744; a 2 =,2231; b 3 =,1548; b 4 =,939 für eine PT 2 -Strecke mit Totzeit mit den Parametern: τ 1 = 1s; T t = 2s; T a = 1s τ 2 = 2s ; K S = 1 I) Deadbeat-Regler ohne Stellgrößenvorgabe 1) Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion für einen Deadbeat-Regler ohne Stellgrößenvorgabe. 2) Berechnen und zeichnen Sie die Übergangsfunktion von Regel- und Stellgröße des Regelkreises für die Dimensionierung nach Aufgabenteil 1) II) III) IV) Deadbeat-Regler mit Stellgrößenvorgabe 1) Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion für einen Deadbeat-Regler mit Stellgrößenvorgabe: u = u 1. 2) Berechnen und zeichnen Sie die Übergangsfunktion von Regel- und Stellgröße des Regelkreises für die Dimensionierung nach Aufgabenteil 1) Berechnen und zeichnen Sie die Übergangsfunktion des Deadbeat-Regelalgorithmus mit und ohne Stellgrößenvorgabe. Stellen Sie die Differenzengleichung für die abgetastete Strecke auf und zeichnen Sie die Übergangsfunktion. Seite 14 von 17

15 Aufgabe 3 Skizzieren Sie das Wirkschaltbild eines Geschwindigkeitsbeobachters mit den Eingangsgrößen Beschleunigung a(t) und Lage (t) und der Ausgangsgröße Geschwindigkeit v(t). Berechnen Sie die beiden Koeffizienten des Beobachters, für ω = 2 π 5 Hz und ϑ = 1. 2 Der Beobachter soll mit einem Digitalrechner (mit Floating Point) realisiert werden. Berechnen Sie die Koeffizienten, wenn die Integrationen durch je eine Rechtecknäherung mit T a = 1 µs durchgeführt werden soll. Skizzieren Sie ein Wirkschaltbild bei dem die Integratoren jeweils durch die z-übertragungsfunktion z G I ( z) = ersetzt werden. Berechnen Sie die notwendigen Koeffizienten. 1 z Aufgabe 31 Gegeben sei eine induktive Last mit R = 1 Ω und L = 1 mh. Der Strom durch die induktive Last soll mit einem digitalen Regelkreis (PI-Regler) versehen werden. Der Leistungssteller stellt die vom Regelalgorithmus vorgegebene Spannung nach einer Totzeit von T t = 1 µs ein. Zeichnen Sie einen Wirkschaltplan des Systems. Bestimmen Sie die dominante Zeitkonstante des Systems. Wie lautet die z-übertragungsfunktion des PI-Reglers? Welche Abtastzeiten T a sind sinnvoll, wenn der digitale Regler folgende Daten aufweist: ADC: 1 µs Umsetzzeit, 12-Bit Auflösung DAC: 5 µs Umsetzzeit, 16-Bit Auflösung PI-Algorithmus: 1 µs Rechenzeit, floating-point Berechnen Sie die z-übertragungsfunktion HG(z). Berechnen Sie die Führungsübertragungsfunktion G w (z) des geschlossenen Regelkreises im z- Bereich. Seite 15 von 17

16 Aufgabe 32 a Die Pulsweitenmodulation eines Servoumrichters mit 6 V DC Zwischenkreisspannung wird mit 8 khz Schaltfrequenz betrieben. Die Abtastfrequenz beträgt 16 khz, damit jede Schaltflanke berechnet werden kann. An die Endstufe wird ein Servomotor mit R = 1 Ω und L = 1 mh angeschlossen. Hinweis: Die Pulsweitenmodulation kann durch eine Totzeit mit T t = T a / 2 angenähert werden. 1. Wie hoch ist die Abtastzeit? 2. Berechnen Sie Parameter K S, T der Regelstrecke. 3. Legen Sie den PI-Regler des Stromregelkreises (K P und T n ) nach den Kriterium der gestuften Dämpfung, scharfer Entwurf aus (mit Berücksichtigung des Sample & Hold und der PWM). 4. Welche Reglerparameter ergeben sich, wenn für die A/D-Wandlung des Stromes und den Algorithmus eine weitere Totzeit mit T t = T a angesetzt wird? 5. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises nach Punkt 3, wenn die Totzeit durch ein PT 1 -Glied angenähert wird. 6. Berechnen Sie die Parameter des diskreten PI-Reglers (b und b 1 ) 7. Sollte der Stromregler mit 16 oder 32 Bit berechnet werden? Aufgabe 32 b Aufbauend auf dem Stromregelkreis soll jetzt ein Drehzahlregelkreis geschlossen werden. Die Daten des Motors sind Drehmomentkonstante: K t = 1 Nm/A und Trägheitsmoment J = 1 kgcm 2 (=,1 kgm 2 ) 1. Bestimmen Sie die Parameter K I (Integrationsbeiwert) und T E (Ersatzzeitkonstante des Stromreglers) 2. Legen Sie den PI-Regler des Drehzahlregelkreises (K P und T n ) nach dem symmetrischen Optimum aus. Seite 16 von 17

17 Aufgabe 33 Die Geschwindigkeit v in einem digitalen Antrieb soll mit Hilfe eines Beobachters (Observer) ermittelt werden. Die Beschleunigung wird mit einem Ferraris Sensor ( U ~ a) gemessen. Die Lage wird mit einem digitalem Encoder ermittelt. Zeichen Sie das Blockschaltbild des Beobachters. Bestimmen Sie die Parameter des Beobachters, wenn die Grenzfrequenz 5 Hz betragen soll. Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des Beobachters G VE (s) (Encoder Lage a Geschwindigkeit) Skizieren Sie das Bode Diagramm von G VE (s) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des Beobachters G VF (s) (Ferraris Sensor a Geschwindigkeit) Skizieren Sie das Bode Diagramm von G VF (s) Berechnen Sie die Summe der Übertragungsfunktionen G V (s) = G VE (s) + G VF (s) Seite 17 von 17